高二数学抛物线练习题

专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。

高二数学抛物线试题答案及解析1.已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被曲线截得的弦恰好被点所平分？【答案】（1）；（2）即【解析】（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程，或根据定义来求抛物线方程.（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；（3）求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值.试题解析：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，其方程为.（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，依题意，得.①当直线的斜率不存在时，不合题意.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，消去，得，（*）∴，解得.此时，方程（*）为，其判别式大于零，∴存在满足题设的直线且直线的方程为：即.解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，依题意，得.∵在轨迹上，∴有，将，得.当时，弦的中点不是，不合题意，∴，即直线的斜率,注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）∴存在满足题设的直线且直线的方程为：即.【考点】（1）抛物线的标准方程；（2）直线与抛物线的综合问题.2.如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1,2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上．（1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程；（2）当直线与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】（1）所求抛物线的方程是，准线方程是．（2）．且由①-②得直线AB的斜率为-1．【解析】（1）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p，即求出抛物线的方程，进而求得抛物线的准线方程；（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，则可分别表示、，根据倾斜角互补可得，进而得出与之间的等式关系，最后把点A、B代入抛物线的方程并将两式相减后即可求得直线AB的斜率．试题解析：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为．因为点P（1,2）在抛物线上，所以，解得．故所求抛物线的方程是，准线方程是．（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，则，．因为与的斜率存在且倾斜角互补，所以．又由，均在抛物线上，得①②所以，所以．且由①-②得直线AB的斜率为-1．【考点】抛物线的应用．3.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．4.已知抛物线上的任意一点到该抛物线焦点的距离比该点到轴的距离多1．（1）求的值；（2）如图所示，过定点（2，0）且互相垂直的两条直线、分别与该抛物线分别交于、、、四点．（i）求四边形面积的最小值；（ii）设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（i）四边形面积的最小值是48（ii）【解析】（1）直接利用抛物线的定义（2）（i）S四边形ABCD，，利用弦长公式，以及基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题的解法求解（ii）恒过定点问题的常规解法试题解析：（1）由已知∴（2）（i）由题意可设直线的方程为（），代入得设则，∴6分同理可得 7分S四边形ABCD8分设则∴S四边形ABCD∵函数在上是增函数∴S四边形ABCD ，当且仅当即即时取等号∴四边形面积的最小值是48. 9分（ii）由①得∴∴∴， 11分同理得 12分∴直线的方程可表示为即当时得∴直线过定点（4,0）. 14分注：第（2）中的第（i）问：S四边形ABCD（当且仅当时取等号）也可.【考点】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．5.已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】⑴⑵当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.【解析】⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标. 试题解析：⑴设，则，由得，;即;所以轨迹方程为;⑵设，由题意得（否则）且,所以直线的斜率存在，设其方程为，因为在抛物线上,所以，将与联立消去，得;由韦达定理知①;(1)当时，即时，,所以，,所以.由①知：,所以因此直线的方程可表示为，即.所以直线恒过定点(2)当时，由，得==将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点;所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点. 12分【考点】相关点法求曲线方程;分类讨论.6.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由抛物线方程可知，，焦点在轴正半轴，所以其准线方程为。

高二数学抛物线试题答案及解析1.抛物线截直线所得弦长等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设直线与抛物线交点坐标分别为，将直线方程代入抛物线方程并化简的，由根与系数的关系可知，由弦长公式可知弦长，答案选A.【考点】直线与抛物线相交弦长公式2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．3.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】A.【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.【考点】抛物线的简单性质.4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A．B．C．4D．【答案】B．【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的简单性质．5.设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于两点且点恰为的中点，则【答案】8【解析】设，因为是的中点，所以，由点在抛物线上，所以所以所以答案填：8.【考点】抛物线的定义与标准方程.6.如图，已知某探照灯反光镜的纵切面是抛物线的一部分，光源安装在焦点上，且灯的深度等于灯口直径，且为64 ，则光源安装的位置到灯的顶端的距离为____________．【答案】.【解析】先以反射镜定点为原点，以顶点和焦点所在直线为轴，建立直角坐标系．设抛物线方程为，依题意可点在抛物线上，代入抛物线方程得，求得，进而可求得焦距为，即为所求．【考点】抛物线的应用．7.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点．求证：(1)为定值；(2) 为定值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设过焦点的直线方程与联立，利用韦达定理，即可得出结论；（2）利用，及根与系数的关系即可得出．(1)抛物线的焦点为，设直线的方程为．由消去，得.由根与系数的关系，得(定值)．当轴时，，，也成立．(2)由抛物线的定义，知，.(定值)．当轴时，，上式仍成立．【考点】抛物线的简单性质.8.已知抛物线过点．（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积．【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）.【解析】（1）先由抛物线过点得到，进而解出的值，这样即可确定该抛物线的方程，进而再根据抛物线的几何性质得到准线方程；（2）由（1）中抛物线的方程先确定，进而根据点斜式可写出直线的方程，设点，联立直线与抛物线的方程，消去得到，进而根据二次方程根与系数的关系得到，进而可根据弦长计算公式计算出弦长，然后由点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，进而可求出的面积.（1）根据抛物线过点可得，解得从而抛物线的方程为，准线方程为 5分（2）抛物线焦点坐标为，所以直线 6分设点联立得：，即 8分则由韦达定理有： 9分则弦长 11分而原点到直线的距离 12分故 13分.【考点】1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.点到直线的距离公式.9.抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的性质可知抛物线的焦点坐标为【考点】抛物线的性质．10.在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离为，到轴的距离为，且．（1）求点的轨迹的方程；（2）若直线斜率为1且过点，其与轨迹交于点，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）方法一：由抛物线的定义直接得到结果；方法二：根据题中所给数据直接列出等式，化简即可得到结果．（2）将直线，与，联立，得，利用弦长公式得，将韦达定理代入即可得到结果．（1）方法一：由抛物线的定义可知，；方法二：，．可得，．（2）直线，联立，得，【考点】1．抛物线的定义；2．直线与抛物线的位置关系．11.点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 .【答案】【解析】∵P点到直线x=-1的距离等于P点到抛物线y2=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时，点P到点A（0，-1）的距离与到直线x=-1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=.【考点】抛物线的简单性质．12.在平面直角坐标系xOy中，焦点为F(5，0)的抛物线的标准方程是．【答案】y2＝20x【解析】焦点为F(5，0)，所以抛物线开口向右，标准方程可设为，又所以，抛物线的标准方程是y2＝20x【考点】抛物线的焦点坐标与方程关系13.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M到y轴的距离是( )A．B．C．1D．【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义可知点到准线的距离为1，所以点到的距离为。

高二数学抛物线试题答案及解析1.设抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，则|PF|等于【答案】6【解析】因为抛物线焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为4，所以由抛物线焦半径公式得|PF|=x+=4+2=6.【考点】本题主要考查抛物线的定义及几何性质。

点评：简单题，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等。

2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为．【答案】【解析】解：抛物线，∴p=．设A、B、M到准线y=-的距离分别为A′、B′、M′，则由抛物线的定义可得AB=AA′+BB′．再由线段AB的中点M的纵坐标为2可得2MM′=AA′+BB′，即 2（2+1 32 ）=AA′+BB′=AB，∴AB=，故答案为．3.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则它被抛物线截得的弦长为 .【答案】16【解析】解：因为设直线方程为y=(x-2)与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，得到弦长公式求解得到为16.或者利用抛物线的定义可知弦长为两个的和加上4得到。

4.抛物线的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（0，2）C．（1，0）D．（0，1）【答案】D【解析】解：因为根据题意2p=4,焦点在y轴上，因此焦点坐标为（0，1），选D5.抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为, 则的值为 .【答案】1【解析】解：因为抛物线的准线方程为,顶点在原点,抛物线与直线相交所得弦长为,联立方程组得到，所以p=16.设不在轴下方的动点到的距离比到轴的距离大求的轨迹的方程；过做一条直线交轨迹于，两点，过，做切线交于点，再过，做的垂线，垂足为,若，求此时点的坐标．【答案】见解析.【解析】第一问利用设点坐标，结合已知的关系式得到化简得到轨迹方程。

第二问中用直线与抛物线的方程联立所以由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，∵是抛物线的焦点，∴，∴∴可得到。

……………………6分设N点坐标为（a,b）则…………………………8分由（1）知，所以为线段的中点，取线段的中点，∵是抛物线的焦点，∴，∴，∴，，，∴,…………………………12分即，所以，，∴，∴所求点的坐标为…………………………15分7.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】结合抛物线的对称性可知过抛物线的焦点作直线和，其中有四个交点，那么这四个交点与抛物线的焦点F可构成两个等边三角形.故应选C.8.的焦点坐标为 .【答案】.【解析】抛物线的焦点坐标为.9.设抛物线的准线与x轴的交点为，过点作直线交抛物线于两点.(1)求线段中点的轨迹方程；(2)若线段的垂直平分线交轴于，求证：；(3)若直线的斜率依次取时，线段的垂直平分线与x轴的交点依次为，当时，求的值.【答案】(1)(2)见解析(3)【解析】本试题主要是考查了抛物线方程以及抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用，求解中点轨迹方程。

3.3 抛物线【题组一 抛物线的定义】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．3B ．4C D【答案】A【解析】抛物线上的点P 到准线的距离等于到焦点F 的距离， 所以过焦点F 作直线43110x y -+=的垂线，则该点到直线的距离为12d d +最小值，如图所示；由(1,0)F ，直线43110x y -+=，所以123d d +==，故选A.2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于（ ） A ．12B ．1C ．3 2D ．2【答案】D【解析】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p = ∵p ＞0，∴p=2.故选D ．3．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（文））已知抛物线24y x =上点B （在第一象限）到焦点F 距离为5，则点B 坐标为（ ）A ．()1,1B ．()2,3C ．()4,4D ．(【答案】C【解析】设()()000,,0B x y y >， 因为点B 到焦点F 距离为5即5BF =, 根据抛物线定义：00152pBF x x =+=+=， 解得：04x =，代入抛物线方程24y x =， 得04y =即()4,4B 故选：C4．（2020·广东佛山.高二期末）已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2，则M 的横坐标是（ ）A ．32B ．52C ．74D ．94【答案】C【解析】抛物线2y x =焦点1(,0)4F ，准线方程为14x =-，设点M 的横坐标为0x ，根据抛物线的定义，0017||2,44MF x x =+=∴=.故选:C5．（2020·定远县民族学校高二月考（理））已知抛物线C ：28x y =的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ） A ．2 B ．2± C ．4 D ．4±【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =，所以04x =±，故选D ．6．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1 B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞2【答案】D【解析】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ．7．（2019·河南濮阳.高二月考（文））若点P 为抛物线2:2C y x =上的动点，F 为C 的焦点，则||PF 的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．14D ．18【答案】D【解析】由y ＝2x 2，得212x y =，∴2p 12=，则128p =， 由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF |的最小值为18．故选D ． 【题组二 抛物线的标准方程】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若13sin MFG ∠=，则抛物线C 的方程是（ ） A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】C【解析】作MD EG ⊥，垂足为点D ．由题意得点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭在抛物线上，则082px =得04px =．①由抛物线的性质，可知，0||2pDM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=，所以011||||332p DM MF x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，解得：0x p =．②． 由①②，解得：02x p ==-（舍去）或02x p ==．故抛物线C 的方程是24y x =． 故选C ．2．（2020·定远县育才学校高二月考（文））设斜率为2的直线l 过抛物线2y ax ＝ ()0a ≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ．若(OAF O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±8x【答案】D【解析】2y ax ＝的焦点是,04a F （），直线l 的方程为2()4a y x =-，令0x =得,(0,)22a ay A =，所以由OAF △的面积为4得，214,64,8224a a a a ⋅⋅===±，故选D .3．（2020·天津和平.耀华中学高二期末）设抛物线22y px = (0p >)的焦点为F ,准线为l ,过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点,分别过,A B 作l 的垂线,垂足为,C D .若3AF BF =,且三角形CDF 的面积为则p 的值为( )A B C D 【答案】C【解析】过点B 作BM l ∥交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ， 设点()()1122,,A x y B x y 、，由3AF BF =得12322p p x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即123x x p -=……①， 又因为NF AM ∥,所以14NF BF AM AB ==, 所以()1214NF x x =-， 所以()212142pOF ON NF x x x =+=+-=……②， 由①②可解得123,26p px x ==， 在Rt ABM ∆中，1283AB x x p p =++=， 124=3AM x x p -=，所以BM p ==，所以132CDF S P P ∆==,解得2p =或2p =-（舍去）， 故选：C4．（2018·河南洛阳.高二一模（文））已知点(0,2)A ，抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛物线准线相交于N ，若MN =，则p 的值为（ ）A ．4B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】依题意F 点的坐标为（2p，0），设M 在准线上的射影为K由抛物线的定义知|MF|=|MK|，5FM MN ∴=则|KN|：|KM|=2：1，02402FN k p p -==--，42p∴-=得p=2，选C. 5．（2019·黑龙江香坊.哈尔滨市第六中学校高二期中（文））已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.【答案】2 2【解析】点(1,2)M 代入抛物线方程得：2221p =⨯，解得：2p ＝；抛物线方程为：24y x =，准线方程为：1x ＝-，点M 到焦点的距离等于点M 到准线的距离：112--=（）故答案为2,26．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ．若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF-=，则抛物线C 的标准方程为____．【答案】22y x =【解析】如图所示，设(0)2AFO παα∠=<<，过点B 作BB l '⊥于点B '，由抛物线的定义知，BF BB ='，FC p =，ABB AFO α∠=∠='；在Rt AB B '∆中，cos BB BF ABABα=='，cos BF AB α=，从而(1cos )AF BF AB AB α=+=+；又1AF AF BF-=，所以(1cos )1cos AB AF AB αα+-=，即1cos 1cos AF αα+-=，所以1cos AF α=；在Rt AFC ∆中，cos CF pAFAFα==，cos p AF α=， 所以1·cos 1cos p αα==， 所以抛物线C 的标准方程为22y x =．故答案为22y x =．7．（2020·四川省广元市川师大万达中学高二期中）已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为_____.【答案】2；【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣， 因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切，所以3+=4，解得p=2． 故答案为2【题组三 直线与抛物线的位置关系】1．（2018·湖南衡阳市八中高二期中（文））过点(0,1)作直线,使它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点,这样的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条2．（2020·四川南充.高二期末（文））已知过点M （1，0）的直线AB 与抛物线y 2=2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ，OB 的斜率之和为1，则直线AB 方程为______． 【答案】2x +y -2=0【解析】依题意可设直线AB 的方程为：x=ty+1，代入y 2=2x 得2220y ty --=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1y 2=-2，y 1+y 2=2t ，所以12121212122()22422OA OB y y y y t k k t x x y y y y ++=+=+===--，∴21t -=，解得12t =-， ∴直线AB 的方程为：x=12y -+1，即2x+y-2=0．故答案为2x+y-2=0． 3．（2020·四川阆中中学高二月考（文））直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于________. 【答案】94【解析】如图，直线440kx y k --=过定点1(4，0)，而抛物线2y x =的焦点F 为1(4，0)，∴弦AB 的中点到准线14x =-的距离为1||22AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于19244+=． 故答案为：94．4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））设抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点，过AB 的中点M 作y 轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P ，若32PF =，则直线l 的方程为__________．0y --=【解析】抛物线方程为24y x =，∴抛物线焦点为()1,0F ，准线为:1l x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，因为P 在第一象限，所以直线AB 的斜率0k >， 设直线AB 方程为()1y k x =-，代入抛物线方程消去y ，得()2222240k x k x k -++=，21212224,1k x x x x k+∴+==， 过AB 的中点M 作准线的垂线与抛物线交于点P ， 设P 点的坐标为()00,x y ，可得()01212y y y =+， ()()11221,1y k x y k x =-=-，()21212224422k y y k x x k k k k k+∴+=+-=⋅-=， 得到00221,y x k k =∴=，可得212,P k k ⎛⎫⎪⎝⎭，32PF =，32=，解之得22k =，所以k =)1y x =-0y -=,0y --=. 【题组四 弦长】1．（2019·安徽滁州.高二期末（理））已知,A B 为抛物线2:4C y x =上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若5AB FB =，则||AB =（ ）A ．252B ．10C ．254D ．6【答案】C【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，又(1,0)F ，∴()221,FB x y =-，∴21255x x x -=-，2125y y y -=，∴1212544x x y y =-⎧⎨=-⎩，由()()22222244454y x y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得21144x x ==，，∴1225||24AB x x =++=. 故选C ．2．（2020·江西赣州.高二月考（理））过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线交抛物线C 于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，且1243x x +=，则弦AB 的长为（ ） A ．163B ．4C ．103D ．83【答案】C【解析】抛物线的焦点弦公式为：12x x p ++，由抛物线方程可得：2p =，则弦AB 的长为12410233x x p ++=+=.本题选择C 选项. 3．（2020·河南淇滨。

2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|. 2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离B ．F 到y 轴的距离C ．F 点的横坐标D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p 20(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy －p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，② ①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k 2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2， x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫14，－1B.⎝⎛⎭⎫14，1C ．(1,2)D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝⎛⎭⎫14，－1.故选A. 二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5.12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p 2＝2⎝⎛⎭⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝⎛⎭⎫p 2＋2－1，解得p ＝2.三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①， 当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时， 求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k)2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2. ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85， 解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为 d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎨⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。

高二数学抛物线试题1.抛物线上的点到直线的距离最小值为A．B．C．D．3【答案】A【解析】在抛物线上任设一点，则该点到直线的距离为，所以最小值为.【考点】点到直线的距离.2.斜率为2的直线L经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（）.A.1B.C.D.【答案】B【解析】设斜率为2且经过抛物线的焦点F的直线L的方程为，联立，得，即；设，中点；则；因为AB的中点到抛物线准线的距离为1，所以，.【考点】直线与抛物线的位置关系.3.已知圆C：的圆心为抛物线的焦点，直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，则该圆的方程为（）.A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为抛物线的焦点为，即为圆C的圆心，又直线3x＋4y＋2＝0与圆C相切，所以圆心到直线的距离即为半径，则有，故选C.【考点】点到直线的距离公式，圆的切线的性质，抛物线的焦点坐标公式，圆的标准方程.4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A．B．C．4D．【答案】B.【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的简单性质．5.已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________．【答案】4【解析】抛物线的准线方程为：x=-1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点∵A在圆C：，圆心C（4，1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴=4．【考点】圆与圆锥曲线的综合；考查抛物线的简单性质；考查距离和的最小．6.抛物线的焦点坐标是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知条件中表示的是焦点在y轴上抛物线，2p=4，p=2，而焦点坐标为，故选B.【考点】抛物线的焦点坐标.7.已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为,且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】⑴⑵当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.【解析】⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线和的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标. 试题解析：⑴设，则，由得，;即;所以轨迹方程为;⑵设，由题意得（否则）且,所以直线的斜率存在，设其方程为，因为在抛物线上,所以，将与联立消去，得;由韦达定理知①;(1)当时，即时，,所以，,所以.由①知：,所以因此直线的方程可表示为，即.所以直线恒过定点(2)当时，由，得==将①式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为,即,所以直线恒过定点;所以由(1)(2)知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点. 12分【考点】相关点法求曲线方程;分类讨论.8.已知为抛物线上的两点，且的横坐标分别为，过分别作抛物线的切线，两切线交于点，则的纵坐标为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为为由抛物线上的两点，且的横坐标分别为，所以两点的坐标分别为.由抛物线得，求导可得.所以过点的切线的斜率为4，故过点的切线方程为.同理写出过点的切线方程.所以它们交点的纵坐标是-4.故选C.【考点】1.曲线上的点.2.曲线的切线.3.直线的交点.9.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点F坐标为(，0)，则直线l的方程为y=2(x-)，它与y轴的交点为A(0，-)，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选B．【考点】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质，直线方程的点斜式。

抛物线一、单选题1．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））准线方程为1y =的抛物线的标准方程是( ) A ．22x y = B ．22y x =C ．24x y =- D ．24y x =-【答案】C 【解析】根据题意，抛物线的准线方程为1y =，即其焦点在y 轴负半轴上，且12p=，得2p =， 故其标准方程为24x y =-.故选：C2．（2019·乐清市知临中学高二期末）抛物线22y x =的焦点坐标为（ ） A ．1(0,)2B ．1(0,)8C ．1(,0)2D ．(1,0)【答案】B 【解析】整理抛物线方程得212x y =， ∴焦点在y 轴，14P =，∴焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭，故选B.3．（2020·北京高三月考）抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ）A ．1(0,)2- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(0,4)-【答案】B-，故选B.准线方程为：，与y轴的交点为(0,1)4．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线24=上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的x y距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】y=-，因为点A的纵坐标抛物线24x y=焦点在y轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所为4，所以点A到抛物线准线的距离为415以点A与抛物线焦点的距离为5.5．（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选6．（2020·江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线2C y px p=>的焦点为F,准线为l,且l过点:2(0)()N,则MN MF+的最小值为1,22,3,M-在抛物线C上,若点()A．2 B．3C．4 D．5【答案】B由题可得,:2l x =-.由抛物线的定义可知,2M MF x =+,所以MN MF +=2123M MN x ++≥+=.故选B ．7．（2020·湖北省高三月考（理））已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y -+-=相切，则p =（ ） A ．6 B ．8 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】因为抛物线2:2C x py =的准线为2py =-， 又准线l 与圆()()22:1216M x y -+-=相切， 所以242p+= ，则4p =. 故选D8．（2020·天津高三一模）已知抛物线24y x =与()220x py p =>的焦点间的距离为2，则p 的值为（ ）A ．B ．4C ．6D ．12【答案】A 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，抛物线()220x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2=，0p >，解得p =故选：A.9．（2020·陕西省西安市远东一中高二期末（理））已知抛物线2:6C x y =的焦点为F 直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为5，则||||AF BF +=（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】抛物线2:6C x y =中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF |+|BF |＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为122y y +=5， ∴12y y +＝10， ∴|AF |+|BF |＝13； 故选：C .10．（2020·山东省青岛第一中学高三月考）已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ） A ．16 B ．10 C ．12 D ．8【答案】C 【解析】因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥． 由抛物线定义知1||||||2AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=． 故选：C ．二、多选题11．（2019·辽宁省高二期末）已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，则p 的值可取（ ）A ．1B ．2C ．9D ．18【答案】BD 【解析】设00(,)M x y ，所以有2002y px =，由点M 到其准线及对称轴的距离分别为10和6，所以有0102px +=，06y =，所以有20020021020360226y px p x p p p y ⎧=⎪⎪+=⇒-+=⇒=⎨⎪=⎪⎩或18p =.故选：BD12．（2020·山东省高三开学考试）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC抛物线()2:20C x py p =>的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得抛物线的准线方程为2py =-，点()2E t ，到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24x y =，准线为1y =-，故A 错误，B 正确； 由题知直线l 的斜率存在，()0F ，1，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1y kx =+，由21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，所以()21212242y y k x x k +=++=+，所以AB 的中点Q 的坐标为()2221k k +，， 221242244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为222r k =+， 在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，即C 正确，故选：BC.13．（2019·山东省高二期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．2p = B ．F 为AD 中点C ．2BD BF =D ．2BF =【答案】ABC如图所示：作AC ⊥准线于C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线于E . 直线的斜率为3，故tan 3AFM ∠=，3AFM π∠=，4AF =，故2MF =，3AM =.2,232p A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线得到2p =； 2NF FM ==，故AMF DNF ∆≅∆，故F 为AD 中点；6BDE π∠=，故22DB BE BF ==；2BD BF =，4BD BF DF AF +===，故43BF =； 故选：ABC .三、填空题14．（2020·黑龙江省铁人中学高二月考（文））设抛物线22y x =-上一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是______. 【答案】338【解析】抛物线方程的标准形式为：22y x =-，准线方程为18y =，由抛物线的定义得：点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线18y =的距离d ，因为点P 到x 轴的距离是4，所以133488d =+=，故填：338.15．（2019·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理））抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a ＝________. 【答案】18- 【解析】抛物线2y ax =的标准方程为21x y a=, 则a ＜0且2＝－14a， 得a ＝－18. 16．（2020·北京高三其他）如果抛物线22y px =上一点()4,A m 到准线的距离是6，那么m =______. 【答案】42± 【解析】抛物线22y px =的准线方程为2px =-， 由题意得462p+=，解得4p =. ∵点()4,A m 在抛物线22y px =上， ∴2244m =⨯⨯，∴42m =± 故答案为：42±.17．（2019·浙江省诸暨中学高三一模）抛物线24y x =的焦点F 坐标为_____，过F 的直线交抛物线24y x =于A 、B 两点，若2AF FB =，则A 点坐标为_____. 【答案】()1,0 (2,22± 【解析】抛物线24y x =的焦点F 的坐标为()1,0；设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为1x my =+，()111,AF x y =--，()221,FB x y =-，由2AF FB =得122y y -=，122y y ∴=-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my --=，124y y ∴=-， 所以121242y y y y =-⎧⎨=-⎩，解得1y =±，21124y x ∴==，因此，点A的坐标为(2,±. 故答案为：()1,0；(2,±. 四、解答题18．（2020·四川省阆中中学高二月考（文））已知抛物线212y x =，双曲线221y x m-=，它们有一个共同的焦点.求：（1）m 的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.【答案】（1）8m =，3e =；（2）准线方程为3x =-，渐近线方程为y =± 【解析】（1）抛物线212y x =的焦点为(3,0)，由双曲线221(0)y x m m-=>，可得19m +=，解得8m =，双曲线的1a =，3c =，则3ce a==； （2）抛物线212y x =的准线方程为3x =-，双曲线2218y x -=的渐近线方程为y =±.19．（2019·凤阳县第二中学高二期中（文））抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），焦点为F ．（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．【答案】（1）抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）；（2）M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1． 【解析】（1）抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y 2=2px ，把（4，4）代入，得，16=2×4p ，∴p=2 ∴抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）（2）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），F （1，0），M 是PF 的中点，则x 0+1=2x ，0+y 0="2y" ∴x 0=2x ﹣1，y 0=2y∵P 是抛物线上一动点，∴y 02=4x 0∴（2y ）2=4（2x ﹣1），化简得，y 2=2x ﹣1． ∴M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1．20．（2020·安徽省高二期末（文））已知抛物线()2:20C y px p =>上的点()5,M m 到焦点F 的距离为6.（1）求,p m 的值；（2）过点()2,1P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，求直线l 方程. 【答案】（1）2p =，m =±（2）230x y --=. 【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：562pMF =+=，解得：2p =， 2:4C y x ∴=，25420m ∴=⨯=，解得：m =±（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差得：()()()1212124y y y y x x +-=-，1212124l y y k x x y y -∴==-+， ()2,1P 为AB 的中点，122y y ∴+=，2l k ∴=，∴直线l 的方程为：()122y x -=-，即230x y --=.21．（2020·河南省实验中学高三二模（文））过点P(-4,0)的动直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>相交于D 、E 两点，已知当l 的斜率为12时，4PE PD =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设DE 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围.【答案】()124x y =；()22b > 【解析】()1由题意可知,直线l 的方程为()142y x =+,与抛物线方程2:2(0)C x py p =>方程联立可得, ()22880y p y -++=,设()()1122,,,D x y E x y ,由韦达定理可得,12128,42p y y y y ++==, 因为4PE PD =,()()22114,,4,PE x y PD x y =+=+,所以214y y =,解得121,4,2y y p ===,所以抛物线C 的方程为24x y =; ()2设():4l y k x =+,DE 的中点为()00,x y ,由()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩,消去y 可得24160x kx k --=, 所以判别式216640k k ∆=+>,解得4k <-或0k >,由韦达定理可得,()20002,4242D E x x x k y k x k k +===+=+,所以DE 的中垂线方程为()21242y k k x k k--=--, 令0x =则b =()2224221y k k k =++=+, 因为4k <-或0k >,所以2b >即为所求.22．（2020·广东省高二期末）已知直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，且OAB是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）24y x =（2）0k =或1k =-或12k = 【解析】（1）直线4x =与抛物线2:2C y px =（0p >）相交于A ，B 两点，可设A ，(4,B -，又OAB 是等腰直角三角形，可得OA OB ⊥，1=-，解得2p =， 即有抛物线的方程为24y x =；（2）直线l 过定点(2,1)-，斜率为k ，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即0k =； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩可得222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=，0k ≠， 由2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k +=--=，解得1k =-或12k =， 综上可得0k =或1k =-或12k =，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 23．（2019·安徽省阜阳第一中学高二期中（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，若点P 在C 上，过点P 作PE 垂直于l ，交l 于E ，PEF 是边长为8的正三角形.（1）求C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线m 与C 交于A ，B 两点，若3MA MB =，求直线m 的方程.【答案】（1）28y x =（2）66y x =-或66y x =-+ 【解析】（1） 由PEF ∆是边长为8的等边三角形，（2） 得||||||8PE PF EF ===，又由抛物线的定义可得PE l ⊥．设准线l 与x 轴交于D ，则//PE DF ，从而60PEF EFD ∠=∠=︒，在Rt EDF ∆中，1||||cos 842DF EF EFD =∠=⨯=，即4p =． 所以抛物线C 的方程为28y x =；（2）设直线m ：1x ty =+，代入28y x =得2880y ty --=，设11(,)A x y ，22()B x y ，则128y y t +=，128y y =-， 因为3MA MB =， 所以123y y =，设123y y =-，则112y t =，24y t =-，()1248t t ⨯-=- 解得6t =±， 所以直线方程为616x y =±+， 即66y x =-或66y x =-+。

抛物线及其标准方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·大理高二检测)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),则它的标准方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8xC.x2=8yD.x2=-8y2.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=1,那么它的焦点坐标为( )A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(-1,0)3.(2013·遵义高二检测)以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( )A.y=3x2或y=-3x2B.y=3x2C.y2=-9x或y=3x2D.y=-3x2或y2=9x4.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于8的点的横坐标是( )A.5B.4C.3D.25.(2013·汝阳高二检测)一个动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )A.(0,2)B.(0,-2)C.(2,0)D.(4,0)二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·安阳高二检测)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是.7.已知抛物线y2=2px的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为.8.(2012·陕西高考)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽米.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013·宜春高二检测)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过-=1的左焦点,而且与x轴垂直,又抛物线与此双曲线交于点(,),求抛物线和双曲线的方程.10.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.11.(能力挑战题)已知抛物线的方程为x2=8y,F是焦点,点A(-2,4),在此抛物线上求一点P,使|PF|+|PA|的值最小.答案解析1.【解析】选D.由条件可知,抛物线的焦点在y轴负半轴上,且=2,∴p=4,所以它的标准方程为x2=-8y.【举一反三】把题中条件改为“准线方程为x=-7”,它的标准方程如何?【解析】由条件可知=7,即p=14.∵准线方程为x=-7,∴焦点是x轴正半轴上的(7,0)点,故方程为y2=28x.2.【解析】选D.由y2=ax的准线方程为x=-得,-=1,∴a=-4,从而抛物线方程为y2=-4x,其焦点为(-1,0).3.【解析】选D.圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心为(1,-3),设抛物线方程为y2=ax或x2=by,把(1,-3)代入并解得a=9,b=-,∴方程为y2=9x或y=-3x2.4.【解析】选A.由题知抛物线的准线方程为x=-3,设P(x,y),则x+3=8,∴x=5.5.【解题指南】利用抛物线的定义求解.【解析】选C.∵y2=8x的准线方程为x=-2,且动圆的圆心在抛物线上.根据抛物线的定义,动圆圆心到直线x=-2的距离等于到焦点的距离,∴动圆必过定点即焦点(2,0).【变式备选】若动点P到定点(1,1)的距离与到直线2x+y-1=0的距离相等,则P 点的轨迹是( )A.抛物线B.线段C.直线D.射线【解析】选A.因为点(1,1)不在直线2x+y-1=0上,故点的轨迹是以点(1,1)为焦点,以直线2x+y-1=0为准线的抛物线,故选A.6.【解题指南】运用方程的思想,列方程组求解.【解析】抛物线y=4x2的焦点坐标为(0,),设M(x0,y0),则解得y0=.答案:7.【解析】∵抛物线方程为y2=2px,∴其焦点在x轴上,又∵圆(x-3)2+y2=16与x 轴的交点为(-1,0)和(7,0),由题意知准线方程为x=-1或x=7,即焦点为(1,0)或(-7,0),∴=1或-7,解得p=2或-14.答案:2或-148.【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.【解析】建立适当的坐标系,如图所示,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在此抛物线上,代入可求出抛物线的方程是x2=-2y,当y=-3时,x2=-2×(-3)=6,所以x=±,水面宽是2米.答案:29.【解析】设抛物线方程为:y2=2px(p>0),将点(,)代入方程得p=2,所以抛物线方程为:y2=4x.准线方程为:x=-1,由此知道双曲线方程中:c=1;焦点为(-1,0),(1,0),点(,)到两焦点距离之差为2a=1,∴双曲线的方程为:-=1.10.【解题指南】可以利用直接法求出动点P的轨迹方程,也可以用定义法求轨迹方程.【解析】方法一:设点P的坐标为(x,y),则有=|x|+1.两边平方并化简,得y2=2x+2|x|,所以y2=即点P的轨迹方程为y2=方法二:由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).综上,点P的轨迹方程为y2=【误区警示】解答本题时,方法一中,距离很容易因忘加绝对值号而出错,方法二也很容易因思考不全面而漏掉x<0的情况.11.【解题指南】根据抛物线的定义把|PF|转化为点P到准线的距离,画出草图,通过观察图形,利用“数形结合”的思想即可求出点P的坐标.【解析】∵(-2)2<8×4,∴点A(-2,4)在抛物线x2=8y的内部.如图,设抛物线的准线为l,过点P作PQ⊥l于点Q,过点A作AB⊥l于点B,由抛物线的定义可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当P,Q,A三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点P的坐标为(-2,y0),代入x2=8y得y0=,故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(-2,).关闭Word文档返回原板块高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

吉林省实验中学2014-2015学年度上学期高二文科数学课后作业（十三）一、选择题1．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 2．(2010·湖南文，5)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．123．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±62B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，±72C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，±32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，±1024．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y5．(2011～2012·厦门市质检)抛物线y 2＝mx 的焦点为F ，点P (2,22)在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线准线的距离为( )A．1 B.3 2C．2 D.5 26．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A．2B．3C．4D．57．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是()A．x＋4＝0 B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x8．设过抛物线的焦点F的弦为AB，则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．以上答案都有可能9．(2010·东北师大附中模拟)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1 B. 3C.33 D.3610．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为()A．2 3 B. 3C.12 3 D.14 3二、填空题11．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)．若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．12．已知圆x2＋y2＋6x＋8＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.13．以双曲线x216－y29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________．14．(2011·山西省忻州市联考)点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________．15．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线x2 16－y29＝1的渐近线都相切，则圆心的坐标是________．三、解答题16．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．17．已知点A (0，－2)，B (0,4)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝y 2－8.(1)求动点P 的轨迹方程．(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C 、D 两点．求证：OC ⊥OD (O 为原点)18．已知点M (－2,4)及焦点为F 的抛物线y ＝18x 2，在此抛物线上的点P ，使|PM |＋|PF |的值最小，求P 点坐标．。

高二数学抛物线试题答案及解析1.抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】A.【解析】设，连接AF、BF，由抛物线的定义知，，在梯形ABPQ中，；应用余弦定理得，配方得，又因为，所以，得到.所以，即的最大值为，故选A.【考点】抛物线的简单性质.2.准线为的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．y2=﹣8x C．y2=4x D．y2=8x【答案】B【解析】设抛物线方程为，准线方程，解得，抛物线方程【考点】抛物线方程的应用.3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x2－y2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于，则抛物线的方程为A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y【答案】B【解析】抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上排除C、D，设抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为，双曲线的渐进线方程为，由面积为可得，所以，答案选B。

【考点】圆锥曲线的基本性质4.已知抛物线.（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；（2）已知△的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）（）.【解析】（1）这是解析几何中的常规问题，注意设而不求思想方法的使用；（2）求轨迹方程的方法有：直接法、定义法、代入转移法、几何法、参数法等，这里使用的是直接法，直接法的步骤是：建系、设点、列式、坐标化、化简整理、最后是多退少补，特别要注意多退少补.试题解析：（1）由，消去整理得： 2分设，则，所以 6分（注：用其他方法也相应给分）（2）设点的坐标为，由边所在的方程过定点，8分所以, 即（） 14分（注:没写扣1分）【考点】1.直线与抛物线；2.求轨迹方程.5.斜率为2的直线L 经过抛物线的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（）.A.1B.C.D.【答案】B【解析】设斜率为2且经过抛物线的焦点F的直线L的方程为，联立，得，即；设，中点；则；因为AB的中点到抛物线准线的距离为1，所以，.【考点】直线与抛物线的位置关系.6.已知抛物线方程，则抛物线的焦点坐标为 .【答案】【解析】因为抛物线的焦点坐标为；所以抛物线的焦点坐标为.【考点】抛物线的性质.7.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A．B．C．4D．【答案】B．【解析】由题意可设抛物线方程为，因为点到该抛物线焦点的距离为3，所以，即，即抛物线方程为，又因为点在抛物线上，所以，所以，故选B．【考点】抛物线的简单性质．8.抛物线的焦点是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由抛物线的方程知其焦点坐标在轴上，且，即，所以抛物线的焦点坐标为.【考点】抛物线的定义.9.已知点M是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C:上，则的最小值为__________．【答案】4【解析】抛物线的准线方程为：x=-1过点M作MN⊥准线，垂足为N∵点M是抛物线y2=4x的一点，F为抛物线的焦点∵A在圆C：，圆心C（4，1），半径r=1∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小∴=4．【考点】圆与圆锥曲线的综合；考查抛物线的简单性质；考查距离和的最小．10.抛物线的准线方程是，则的值为（）A．B．C．8D．【答案】A【解析】首先把抛物线方程转化为标准方程的形式，再根据其准线方程为即可求之．【考点】抛物线的定义．11.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上．设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）证明：圆与轴必有公共点；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）1 （2）见解析（3）存在，【解析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，再由中点坐标公式求得FA的中点，由中点在抛物线上求得p的值；（2）联立直线方程和抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系；（3）法一、假设平面内存在定点M满足条件，设出M的坐标，结合（2）中求得的P，Q的坐标，求出向量的坐标，由恒成立求解点M的坐标．（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得．（2）由（1）得抛物线的方程为，从而抛物线的准线方程为由得方程，由直线与抛物线相切，得且，从而，即，由，解得，∴的中点的坐标为圆心到轴距离，∵所圆与轴总有公共点．（3）假设平面内存在定点满足条件，由抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，由（2）知，∴。

高二数学抛物线试题答案及解析1.已知定点在抛物线的内部，为抛物线的焦点，点在抛物线上，的最小值为4，则= ．【答案】4【解析】由下图可知：当点Q移动到点M时最小，又因为点所以抛物线的准线方程为,所以即．【考点】抛物线的定义及性质．2.如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线的方程及其准线方程；（Ⅱ）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值及直线的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是, 准线方程是．；（2）1．【解析】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；(3)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值．试题解析：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为因为点在抛物线上,所以，得．故所求抛物线的方程是, 准线方程是．（II）设直线的方程为，即：，代入，消去得：．设，由韦达定理得：，即：．将换成，得，从而得：，直线的斜率．【考点】(1)抛物线的方程；（2）直线与抛物线的综合问题．3.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作抛物线的两条切线交于点，则有（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】设出过点F的直线方程即，联立方程组，化简整理得，设，，则由韦达定理得，．，．由可得，，所以，所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为，．所以在点A处的切线方程为，即．同理在点B处的切线方程为．于是解方程组可得，，所以点C的坐标为．所以故答案应选A．【考点】直线与抛物线的位置关系；向量的数量积．4.已知抛物线:与点，过的焦点且斜率为的直线与交于,两点，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题可得抛物线的焦点坐标为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，设直线与抛物线的交点坐标分别为，，则由得，则有，，所以得，，又，，因为所以有，即，即，所以，选D【考点】抛物线的概念、向量的运算5.以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（）A．B．（2，0）C．（4，0）D．【答案】B【解析】画出如下示意图，可知，抛物线的焦点F坐标为(2,0)，准线方程为直线x=-2，根据抛物线的定义,取抛物线上任意一点P，则R=PH=PF，因此所画的圆必过焦点(2,0).【考点】抛物线的定义.6.抛物线y＝x2到直线 2x－y＝4距离最近的点的坐标是 .【答案】【解析】设与直线平行的直线方程为，将和联立消去并整理可得，即时直线与相切。

抛 物 线题型一 抛物线的定义与方程1.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．432.如图,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <,原点O 为AD 的中点,抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点,则_____=ab.3.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 得一个焦点,若FQ PF 4=,则=QF （ ） A. 27 B. 3 C. 25D. 24.设F 为抛物线C:23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为（ ） A. 33 B.938 C. 6332 D. 94题型二 抛物线的性质1. 抛物线26y x =,过点()4,1P 引一条弦,使它恰好被P 点平分,则该弦所在的直线方程为______．2.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足23AFB π∠=,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则||||MN AB 的最大值是（ ） A 33 C 3 D 33.直线l 过抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C 交于A,B 两点,则p= ,+= .4.设F 1,F 2分别为椭圆C 1：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2222111x y a b -= (a 1＞0,b 1＞0)的公共左,右焦点,它们在第一象限内交于点M ,∠F 1MF 2＝90°,若椭圆C 1的离心率e ∈33[]42,则双曲线C 2的离心率e 1的取值范围是________________．5.已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点,过F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,AB 的中点为C ,过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ,若1CC 的中点为()1,4M ,则p =（ ） A. 4 B. 8C. 42D. 826.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,M 为虚轴的一端点,若以M 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点N ,且M ,N ,F 三点共线,则该双曲线的离心率为________.7.（多选）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ,P 为其上一动点,当P 运动到（2,t ）时,|PF |＝4,直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,点M （4,1）,下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝4x B ．|PM |+|PF |的最小值为6 C ．存在直线l ,使得A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称D ．当直线l 过焦点F 时,以AF 为直径的圆与y 轴相切题型三 抛物线与其它曲线综合1. 抛物线22(0)x py p =>的焦点为F,其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点,若△ABF 为等边三角形,则p ＝ ．2.抛物线)0(42>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ,点A 是两曲线的交点,且AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为A.215+B.12+C.13+D.2122+题型四 切线问题1.过点M(2,－2p)作抛物线x 2＝2py(p>0)的两条切线,切点分别为A,B,若线段AB 的中点的纵坐标为6,则p 的值是________．2.已知抛物线1C :212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C :2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C的一条渐近线,则p =（ ）A ．316B ．38C ．233D ．433题型五 斜率、弦长、面积1.已知F 是抛物线2y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）,则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．1728D ．102.已知A 、B 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点,O 是坐标原点,满足2AF FB =,3||OABSAB =,则p 的值为3.如图,已知抛物线的方程为22(0)x py p =>,过点(0,1)A -作直线l 与抛物线相交于,P Q 两点,点B 的坐标为(0,1),连接,BP BQ ,设,QB BP 与x 轴分别相交于,M N 两点.如果QB 的斜率与PB 的斜率的乘积为3-,则MBN ∠的大小等于 .题型六 范围与最值1.已知抛物线y 2＝4x ,过点p （4,0）的直线与抛物线相交于A （x 1, y 1）B （x 2, y 2）两点,则y 12＋y 22的最小值是_______2.已知抛物线ｙ2=8x,定点A （3,2）,F 为焦点,P 为抛物线上的动点,则｜PF ｜＋｜PA ｜的最小值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8 A3.如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,且过点(2,4),圆,过圆心的直线l 与抛物线和圆分别交于P ,Q,M,N,则的最小值为（ ）A ． 36B ． 42C ． 49D ． 50设抛物线方程为由抛物线过定点得,抛物线方程,焦点为,4.已知F 为抛物线212y x =的焦点,过F 作两条夹角为045的直线12,l l , 1l 交抛物线于,A B 两点, 2l 交抛物线于,C D 两点,则11AB CD+的最大值为（ ） A ． 124+ B ． 122+ C ． 12+ D ． 22+题型七 直线与抛物线位置关系1.在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1,记点M 的轨迹为C .（1）求轨迹为C 的方程；（2）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -,求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k 的相应取值范围.2.已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点,1C 与2C 的公共弦的长为26（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =,求直线l 的斜率 （ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明：直线l 绕点F 旋转时,MFD ∆总是钝角三角形3.已知抛物线2:2(0)E y px p =>,直线3x my =+与E 交于A B 、两点,且6OA OB =,其中O 为坐标原点．（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为(3,0)-,记直线CA CB 、的斜率分别为12k k ，,证明22212112m k k +-为定值．4.设点30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,动圆P 经过点F 且和直线32y =-相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W .（Ⅰ）求曲线W 的方程；（Ⅱ）过点F 作互相垂直的直线12,l l ,分别交曲线W 于,A B 和,C D . 求四边形ACBD 面积的最小值 .5.已知抛物线S 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,ABC ∆的三个顶点都在抛物线上,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点,若BC 所在直线l 的方程为4200.x y +-=（I ）求抛物线S 的方程；（II ）若O 是坐标原点,P 、Q 是抛物线S 上的两动点,且满足PO OQ ⊥.试说明动直线PQ 是否过一个定点.6.设抛物线C ：22(0)y px p =>过点(3,6)H -,其准线为l ,焦点为F 。

高二数学抛物线典型试题高二数学抛物线典型试题一：选择题一：选择题1.若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（的值为（ ） A ． ﹣2 B ． 2 C ． ﹣4 D ． 42．已知圆x 2+y 2﹣6x ﹣7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p=（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 13.一个动圆与定圆F ：（x+2）2+y 2=1相外切，且与定直线L ：x=1相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程是（的轨迹方程是（ D ）A ． y 2=4x B ． y 2=﹣2x C ． y 2=﹣4x D ． y 2=﹣8x 4．已知点（x ，y ）在抛物线y 2=4x 上，则（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 05.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若=﹣4则点A 的坐标是（的坐标是（ ）A ． （2，±2）B ． （1，±2）C ． （1，2）D ． （2，2） 6．设P 为抛物线y 2=2px （p ＞0）上任意一点，F 为抛物线焦点，为抛物线焦点，定点定点A （1，3），且|PA|+|PF|的最小值为，则抛物线方程为（，则抛物线方程为（ ）A ． y 2=2（）x B ． y 2=4x C ． y 2=8x D ． y 2=4（）x 7．已知点P 是抛物线22x y =上的一动点上的一动点,,焦点为F ,若定点(1,2)M ,则当P 点在抛点在抛 物线上移动时物线上移动时,,||||PM PF +的最小值等于的最小值等于（ ） A ．52 B ．2 C ．32 D ．3 8.已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P （2，2）为AB 的中点，则抛物线C 的方程为（的方程为（ ）A ． y 2=4x B ． y 2=﹣4x C ． x 2=4y D ． y 2=8x 9顶点在原点、焦点在x 轴上的抛物线被直线y=x+1截得的弦长是，则抛物线的方程是（ ）A ． y 2=﹣x 或y 2=5x B ． y 2=﹣x C ． y 2=x 或y2=﹣5x D ． y 2=5x 10.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2=ax （a ≠0）的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（C ）A ． y 2=±4x B ． y 2=4x C ． y 2=±8x D ． y 2=8x 11抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，倾斜角为60°的直线l 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，|AF|=3，则抛物线的方程为（，则抛物线的方程为（ ）A ． y 2=3x B ．C ．或x D ． y 22=3x 或y 22=9x 12.设F 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，当=且|FA|+|FB|+|FC|=3时，此抛物线的方程为（时，此抛物线的方程为（ ）A ． y 2=2x B ． y 2=4x C ． y 2=6x D ． y 22=8x 二：填空题二：填空题13．抛物线y 2=2px （p ＞0）上有点A ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为方程为 y 2=8x ．14.抛物线y=ax 2的准线方程是y=1，则a 的值为的值为﹣ ．15.过抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A ，B 两点，A ，B 在x 轴上的正射影分别为D ，C ．若梯形ABCD 的面积为，则P= 2 ．16．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴的正半轴上，点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）C （x 3，y 3）在抛物线上，若△ABC 的重心恰为抛物线的焦点F ，且|FA|+|FB|+|FC|=6，则抛物线的方程为程为 x 2=4y ．三：解答题三：解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M （x ，y ）和N （﹣4，y ）满足． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；的方程；（2）若过点D （1，﹣1）的直线与轨迹交C 于A 、B 两点，且D 为线段AB 的中点，求此直线的方程．直线的方程．18．已知抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 在直线l ：x ﹣y+1=0上（I ）求抛物线C 的方程；的方程；（Ⅱ）设直线l 与抛物线C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的坐标．的坐标．19.已知过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点，斜率为的直线交抛物线于A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）两点，且|AB|=9，（1）求该抛物线的方程；）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若，求λ的值．的值．20．已知点A 是抛物线y 2＝2px(p>0)上一点，F 为抛物线的焦点，准线l 与x 轴交于点K ，已知｜AK ｜＝2｜AF ｜，三角形AFK 的面积等于8．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G ，H.求｜GH ｜的最小值．｜的最小值．21．已知F 1、F 2分别是椭圆13422=+y x 的左、右焦点，曲线C 是以坐标原点为顶点，以F 2为焦点的抛物线，自点F 1引直线交曲线C 于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴对称的点记为M ，设Q F P F 11l =. (1)写出曲线C 的方程；的方程；(2)若Q F u M F 22=，试用λ表示u ；(3)若λ∈[2, 3]，求，求|PQ|的取值范围。

专题25：抛物线的定义与方程一、单选题1．已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线上的一个动点，()3,1A ，则APF 周长的最小值为（ ） A．2+B ．4+C ．3D ．62．已知A ，B 分别为抛物线21:4C y x =与圆222:70+-+=C x y 上的动点，抛物线的焦点为F ，P ，Q 为平面两点，当AF AB +取到最小值时，点A 与P 重合，当-AF AB 取到最大时，点A 与Q 重合，则直线的PQ 的斜率为（ ）A ．3B ．12C ．1D ．33．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PAPF的最大值是（ ）A ．2 BC D 4．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MNAB 的最大值是A ．1B C D ．25．已知点P 是曲线24y x =上任意一点，过点P 向y 轴引垂线，垂足为H ，点Q 是曲线x y e =上任意一点，则PH PQ +的最小值为（ ） A．1B 1C 1D 16．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为A ．993,,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．()93,44,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[]3,5 7．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则9PNQM+的最小值为A ．36B ．42C ．49D ．50二、多选题8．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线”三、填空题9．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A ，B 两点，且3AF FB =，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________.10．已知抛物线24y x =，圆22:(1)1F x y -+=，直线(1)(0)y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D ，则·AB CD 的值是__________．11．F 为抛物线24y x =的焦点，点P 在抛物线上，Q 是圆22(2)(1)1x y -+-=上的点，则PQ PF+最小值是__________．12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，Q 是线段PF 上的点，且2PQ QF =，则直线OQ 的斜率的最大值为______.13．如图，过抛物线214y x =的焦点的直线交抛物线与圆()2211x y +-=于,,,A B C D 四点，则AB CD ⋅= ______.14．如图，过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别向C 的准线l 作垂线，垂足为A 1，B 1，已知△AA 1F 与△BB 1F 的面积分别为9和1，则△A 1B 1F 的面积为________.15．抛物线C: 24y x =的焦点为F ,设过点F 的直线l 交抛物线与,A B 两点，且43AF =,则BF =______. 16．已知抛物线22y px =的准线方程为1x =-，焦点为,,,F A B C 为抛物线上不同的三点，,,FA FB FC 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=，则直线AC 的方程为_________．四、双空题17．己知圆()22:116,C x y P ++=是圆C 上任意点，若1,0A ，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是_______﹔若A 是圆C 所在平面内的一定点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹是:△一个点△圆△椭圆△双曲线△抛物线，其中可能的结果有__________．18．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，A (-2，1)，B (-2，4)，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q 为抛物线E ：y 2=4x 上的动点，Q 在直线x =-1上的射影为H ，则12++PB PQ QH 的最小值为___________.参考答案1．B【分析】根据抛物线的定义，结合两点间距离公式进行求解即可. 【解析】抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，过P 做PQ l ⊥，垂足为Q ，设APF 周长为c ，c PA PF AF PA PF PA PF =++=+=+由抛物线的定义可知：PF PQ =，因此c PQ AP =++当,,P A Q 在同一条直线上时，c 有最小值，即PA l ⊥时，min 3(1)4c =--=故选：B 2．D【分析】根据AF AB +取到最小值时，点A 与P 重合，利用抛物线的定义得到2PC l ⊥，从而得到点P 的坐标，连接2FC ，由抛物线的定义得到Q 为2FC 与抛物线1C 的交点求解. 【解析】如图所示：222:70+-+=C x y，即(221x y +-=，圆心为(2C ，抛物线21:4C y x =的焦点为()1,0F ，记1C 的准线为l ，过点A 作1AD l ⊥，过2C 作22C D l ⊥，1121AF AB AD AB AD AC +=+≥+-，当21,,A C D 共线时，点B 在2AC 上，此时(2,P ， 连接2FC ，()222111AF AB AF AC AF AC FC -≤--=-+≤+，此时Q 为2FC 与抛物线1C 的交点，)2:1FC y x =--，由)214y x y x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为Q 在第一象限，所以12Q ⎛ ⎝，所以22PQ k =-，故选：D【点评】 本题关键是抛物线定义的灵活应用. 3．B【分析】设直线PA 的倾斜角为θ，设PP '垂直于准线于P '，由抛物线的性质可得PP PF '=，则1cos PAPA PF PP θ=='，当直线P A 与抛物线相切时，cos θ最小，PAPF 取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P 的坐标，然后进行计算得到结果.【解析】设直线PA 的倾斜角为θ，设PP '垂直于准线于P '，由抛物线的性质可得PP PF '=，所以则1cos PAPA PFPP θ=='， 当cos θ最小时，则PAPF 值最大，所以当直线P A 与抛物线相切时，θ最大，即cos θ最小， 由题意可得()1,0A -，设切线P A 的方程为：1x my =-，214x my y x=-⎧⎨=⎩，整理可得2440y my -+=， 216160m ∆=-=，可得1m =±，将1m =±代入2440y my -+=，可得2y =±，所以1x =， 即P 的横坐标为1，即P 的坐标()1,2±，所以PA ==，()112PP '=--=，所以PA PF 的最大值为：2= 故选：B ．【点评】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 4．A【分析】设||,||AF a BF b ==，由抛物线定义，梯形的中位线定理，得2||MN a b =+，再根据余弦定理得222AB a b ab =+-，结合基本不等式求得AB 的范围，从而得到MN AB的最大值.【解析】设||,||AF a BF b ==，连接,AF BF ，过A 作准线l 的垂线，垂足为Q ，过B 作准线l 的垂线，垂足为P ，由抛物线的定义得：||||,||||AF AQ BF BP ==， 则2||||||MN AQ BP a b =+=+. 则在ABF ∆中，由余弦定理可得：22222||||2||||cos AB AF BF AF BF AFB a b ab =+-⋅∠=+-， 而2222222()()()3()344a b a b AB a b ab a b ab a b ++=+-=+-≥+-⋅=， 因此=2a bAB MN +≥，即1MN AB ≤（当且仅当a =b 时取等号）. 故选：A【点评】本题考查了抛物线的基本性质，综合运用了余弦定理，基本不等式知识，属于较难题. 5．D【分析】先将所求问题转化为求x y e =上任意一点到抛物线焦点F 的距离的最小，再利用导数求最值即可得到答案.【解析】如图，设抛物线的焦点为F ，则(1,0)F ，由抛物线的定义知||1||PH PF +=，所以||1||||1PH PQ PF PQ QF +=-+≥-，当且仅当,,Q P F 三点共线时，等号成立，设(,)x Q x e ，则222||(1)x QF x e =-+，令22()(1)x f x x e =-+，则'2()2(1)2x f x x e =-+，由复合函数单调性知，'()f x 在R 上单调递增，且'(0)0f =，所以当0x >时，'()f x '(0)0f >=，当0x <时，'()f x '(0)0f <=， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，所以()min (0)2f x f ==min ||QF =，所以PH PQ +1.故选：D【点评】本题考查抛物线中的最值问题，涉及到抛物线的定义，两点间的距离公式，导数求函数的最值，是一道较为综合的题目，属于有一定难度的题. 6．A【分析】根据重心坐标公式求出R 的横坐标为()3R P Q x x x =-+，纵坐标为()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立，用m 、k 求出表示出R 的坐标，结合抛物线的方程，求出k 的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．【解析】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得133P Q RPQ R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+， 设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky my x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+， 故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-， 将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-，则()()228228360k m k ∆=+=->，得2102k ≤<，则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A.【点评】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题． 7．B【分析】设拋物线的标准方程，将点代入拋物线方程，求得拋物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，根据韦达定理可得124x x =，则229910PN QM PC QC +=++，由焦半径公式以及基本不等式，即可求得结果.【解析】设抛物线方程为22y px =由抛物线过定点()2,4得28p =，抛物线方程28y x =，焦点为()22,0C ， 圆的标准方程为()2221,x y -+=∴圆心为()2,0，半径1r =，由于直线过焦点，可设直线方程为()2y k x =-，设()()1122,,,,P x y Q x y()()22248408y k x kx k x k y x⎧=-⇒-++=⎨=⎩，124x x ∴= 又()()22229199910PN QM PC QC PC QC +=+++=++()()12122921093030123042x x x x =++++=++≥=+=，12x x =时等号成立，9PN QM ∴+的最小值为42，故选B.【点评】本题主要考查抛物线的方程与性质，以及直线与抛物线的位置关系、利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式a b +≥“一正二定三相等”. 8．BCD【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P 的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．【解析】由题意可得，点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1， 即等价于“点P 到点M 的距离等于到直线'l ：1x =-的距离”故P 点轨迹是以()10M ，为焦点，直线'l ：1x =-为准线的抛物线， 其方程是24y x =，故A 错误;点P 的轨迹方程是抛物线24y x =，它与直线'l 没交点， 即两者是没有交会的轨迹，故B 正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24y x =有交点， 把26y x =+代入抛物线24y x =， 消去y 并整理得2590x x ++= 因为25419110∆=-⨯⨯=-<，无解，所以26y x =+不是“最远距离直线”，故C 正确； 把112y x =+代入抛物线24y x =， 消去y 并整理得21240x x -+=， 因为()2124141280∆=--⨯⨯=>，有解， 所以112y x =+是“最远距离直线”，故D 正确． 故选：BCD ．【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题． 9．53【分析】根据题意得到p 的值，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ，再利用三角形相似得到BC 和AC 的关系，从而得到BF ，AF ，CF 的关系，求出4=AD ，即可得到答案．【解析】焦点F 到准线的距离为2p =，过点A 作AD 垂直于准线l 于点D ，过点B 作BE 垂直于l 于点E ，延长AB 交l 于点C ， 则BCE ACD ∆∆∽，所以13BC BE BF AC AD AF ===， 记BC x =，则3AC x =， 因为||3||AF FB =，所以1142BF AB x ==，332AF BF x ==， 因为32CF BC BF x =+=，F 为AC 的中点， 所以24AD FG ==，所以342AF x ==，即84,33x BE ==即线段AB 的中点到y 轴的距离为11523AD BE -+-=． 故答案为：53．【点评】方法点睛：.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得0||2pPF x =+；若过焦点的弦AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．10．1 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ,则1212(1)(1)(11)(11)AB CD AF DF x x x x ⋅=--=+-+-= ,由()1y k x =-与24y x =联立方程消y 得222212(24)0,1k x k x k x x -++== ,因此 1.AB CD ⋅= 11．2 【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ，根据抛物线的定义知PQ PF PQ d +=+ ，由圆的几何性质及平面几何体知识可得，PQ d +的最小值是圆心到准线的距离与半径的差，即312PQ PF PQ d +=+≥-= ，故答案为2 .12【分析】要求直线OQ 的斜率的最大值,由直线的斜率公式可知应求点Q 的横、纵坐标的关系,由题可设点200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,进而根据2133OQ OP OF =+求得OQ ,再由均值不等式求得最值.【解析】由题可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,显然,当00y <时,0OQk <；当00y >时,0OQ k >,要求OQ k 的最大值,设00y >,因为2PQ QF =,所以2PQ QF =,即()2OQ OP OF OQ -=-,所以200221,33363y y p OQ OP OF p ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以2223236OQyky py pp yp==≤=++当且仅当222y p=时等号成立,即OQk,故答案为【点评】本题考查与抛物线有关的最值问题,考查利用均值不等式求最值,考查运算能力与转化思想.13．1【分析】设过抛物线的焦点F的直线1y kx=+，与214y x=联立，结合抛物线的第一定义和韦达定理及圆的性质，求出AB CD⋅的乘积【解析】抛物线的焦点为()0,1F，准线为1y=-，可设直线方程为1y kx=+，直线1y kx=+，与214y x=联立得：()224210y k y--+=，可得1A Dy y=,111A AAB AF y y=-=+-=,111D DCD DF y y=-=+-=,1AB CD∴⋅=答案为1.【点评】抛物线的弦长问题通常转化为到准线距离,本题既考查了直线与圆，又考查了直线与抛物线的应用问题14．6【解析】【分析】直线:2pAB x my=+代入抛物线方程，利用韦达定理，计算11,AA F BB FS S∆∆，相乘化简可得求()42194pm+=，由三角形面积公式可得116A B FS p∆==.【解析】设直线:2p AB x my =+， 代入抛物线方程，消元可得2220y pmy p --=，设()()1122,A x y B x y ，则21212,2y y p y y pm =-+=，121111111119222222AA F y p p S AA y x y y p ∆⎛⎫=⨯=+=+= ⎪⎝⎭， 122122221111222222BB Fy p p S BB y x y y p ∆⎛⎫=⨯=+=+= ⎪⎝⎭， ()()11221222121221444AA F BB Fy y p S S y y y y p ∆∆⎡⎤∴⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()4222222142444p p p m p p p ⎡⎤=++⨯+⨯⎢⎥⎣⎦()42194p m =+=，111262A B F p S y y p ∆∴=-===，故答案为6.【点评】解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 15．4 【解析】设点A 、B 的横坐标分别为A x 、B x ，由焦半径公式得43AF =11,33A A A x x y =+⇒==±，3A y =时，3113AB AF k k ===- ，AB的方程为)1y x =- ，与24y x =联立可得，231030x x -+= ，解得=3B x ，所以314BF =+= ，同理，A y =4BF =，故答案为4 .16．210x y --= 【解析】试题分析:由题设可得，设，则，由0FA FB FC ++=可得，即，又，故由,,FA FB FC 成等差数列可得，由此可得．而，且，即的中点坐标为由此可得.故由点斜式方程可得，应填答案.考点：抛物线的几何性质及向量等差数列等知识的综合运用． 【易错点晴】抛物线是平面解析几何中的重要圆锥曲线之一，也是高中数学中的重要知识点和历届高考必考的考点之一.本题以抛物线的焦点弦满足的向量等式,,FA FB FC 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=为背景，考查是抛物线的定义和平面向量的坐标运算及分析问题解决问题的综合能力.解答时先设三点的坐标，再借助向量等式建立坐标之间的关系，从而使得问题获解.17．22143x y += △△△【解析】由圆()22:116,C x y ++=则圆心()1,0C -，半径r =4;因为线段AP的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，如图（1）示：所以4QA QP PC QC QC ==-=-， 所以42QA QC AC +=>=，符合椭圆的定义，所以点Q 的轨迹是以()()1,01,0A C -、为焦点，长轴为4 的椭圆，故22,1,3a c b ===,所以点Q 的轨迹方程是22143x y +=；（1）若点A 在圆C 内不同于点C 处，如图（1）所示，则有42QA QC AC +=>=，符合椭圆的定义，故点Q 的轨迹是以()()1,01,0A C -、为焦点，长轴为4 的椭圆，所以△正确；（2）若点A 与C 重合，如图（2）所示，则有122QP QA PC ===，符合圆的定义，故点Q 的轨迹是以()1,0C -为圆心，2为半径 的圆，所以△正确；（3）若点A 在圆C 上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段AP 的垂直平分线必过点C,故Q 与C 重合故点Q 的轨迹一个点，所以△正确；（4）若点A 在圆C 外，如图（4）所示，则4QA QP PC QC QC ==+=+，所以4QA QC AC -=<，故点Q 的轨迹是以()()1,01,0A C -、为焦点，实轴长为4的双曲线的一支，所以△不正确；（5）点A 不论在什么位置，点Q 的轨迹都不可能是抛物线，故△不正确.故答案为：22143x y +=；△△△.【点评】求动点轨迹方程的方法： （1）定义法；（2）参数法；（3）轨交法. 18．()2224x y ++=【分析】（1）利用直译法直接求出P 点的轨迹．（2）先利用阿氏圆的定义将12PB 转化为P 点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得12++PB PQ QH 的最小值． 【解析】设P （x ，y ），由阿氏圆的定义可得第 21 页 共 22 页||1||2PA PB =，即2222(2)(1)1,(2)(4)4x y x y ++-=++-化简得()2224x y ++= ||1||2PA PB =，则1||||2PA PB = 设(1,0),F 则由抛物线的定义可得||||QH QF =12PB PQ QH PA PQ QF AF ∴++=++≥= 当且仅当,,,A P Q F 四点共线时取等号，12PBPQ QH ∴++ 故答案为：()2224x y ++=【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．第22页共22页。

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十五 抛物线及其标准方程基础全面练 (20分钟 35分)1．下列抛物线中，其方程形式为y 2＝2px(p>0)的是( )【解析】选A.根据方程形式为y 2＝2px(p>0)，可得其图象关于x 轴对称，且x≥0，故可得该抛物线对称轴为x 轴，开口朝右．【补偿训练】抛物线y ＝14 x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2【解析】选A.因为y ＝14 x 2，所以x 2＝4y ，所以抛物线的准线方程是y ＝－1.2．抛物线y ＝2x 2的焦点到准线的距离为( )A ．18B ．12C ．14D ．4【解析】选C.根据题意，抛物线的方程为y ＝2x 2，其标准方程为x 2＝12 y ，其中p ＝14 ， 则抛物线的焦点到准线的距离p ＝14 .3．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2 x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2 ，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4【解题指南】由|PF|＝4 2 及抛物线的定义求出点P 的坐标，进而求出面积．【解析】选C.抛物线C 的准线方程为x ＝－ 2 ，焦点F( 2 ，0)，由|PF|＝4 2 及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝3 2 ，从而y P ＝±2 6 ，所以S △POF ＝12 |OF|·|y P |＝12 × 2 ×2 6 ＝2 3 .4．已知抛物线的方程为x ＝136 y 2，则该抛物线的准线方程是________．【解析】x ＝136 y 2，焦点在x 轴上，且p 2 ＝9，所以抛物线的准线方程是x＝－9.答案：x＝－95．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ 3 ，那么|PF|＝________．【解析】如图，∠AFE＝60°，因为点F(2，0)，所以点E(－2，0)，则|AE||EF|＝tan 60°，即|AE|＝4 3 ，所以点P的坐标为(6，4 3 )，故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8.答案：86．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．【解析】(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)，又p2＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x2＝8y.(2)因为点(3，－4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0). 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝163，2p1＝9 4.所以所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.所以抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0).所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.综合突破练(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2021·柳州高二检测)已知点A⎝⎛⎭⎫2，a为抛物线y2＝4x图象上一点，点F为抛物线的焦点，则||AF等于()A．3 B．2 2 C．2 D． 2【解析】选A.由抛物线方程知F⎝⎛⎭⎫1，0，所以||AF＝2＋1＝3.2．若点P到定点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是()A．y2＝－16xB．y2＝－32xC．y2＝16xD．y2＝16x或y＝0(x＜0)【解析】选C.因为点F(4，0)在直线x＋5＝0的右侧，且P点到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4，0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等．故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故P点的轨迹方程为y2＝16x.3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A．172B．3 C． 5 D．92【解析】选A.由抛物线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，如图，所以点P 到准线x ＝－12 的距离d ＝|PF|，易知点A(0，2)在抛物线y 2＝2x 的外部，连接AF ，当A ，P ，F 三点共线时取最小值，又|PA|＋d ＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋（2－0）2 ＝172 ，故最小值为172 .4．过点A(1，0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【解析】选D.设P 为满足条件的点，则点P 到点A 的距离等于点P 到y 轴的距离，即点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，所以点P 的轨迹为抛物线．5．抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点F ，其准线与双曲线x 23 －y 23 ＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解析】选C.如图，在正三角形ABF 中，DF ＝p ，BD ＝33 p ，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2 ， 又点B 在双曲线上，故13p 23 －p 243 ＝1，解得p ＝6.二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的点且||MF ＝3，N ⎝⎛⎭⎫－2，0 ，则直线MN 的斜率为________．【解析】设M(x ，y)，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2，由||MF ＝3，则x ＋2＝3，得x ＝1，y ＝±2 2 ，故MN 的斜率为±221－（－2） ＝±223 .答案：±2237．以椭圆x 216 ＋y 29 ＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．【解析】因为椭圆的方程为x 216 ＋y 29 ＝1，所以右顶点为(4，0).设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0)，则p 2 ＝4，即p ＝8，所以抛物线的标准方程为y 2＝16x.答案：y2＝16x8．已知P为抛物线y2＝4x上的任意一点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4，5)，|PA|＋d的最小值为________．【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线l：x＝－1.由题意得d＝|PF|－1，所以|PA|＋d≥|AF|－1＝（4－1）2＋52－1＝34 －1，当且仅当A，P，F三点共线时，|PA|＋d取得最小值34 －1.答案：34 －1三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )，双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且双曲线的离心率为2，求抛物线与双曲线的方程．【解析】由抛物线y2＝2px经过点M(4，－4 2 )得，8p＝32，解得p ＝4，所以抛物线焦点为(2，0)，又因为双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，故c＝2，又由双曲线的离心率为2，可得a＝1，b＝c 2－a 2 ＝ 3 ，所以抛物线方程为：y 2＝8x ，双曲线方程为：x 2－y 23 ＝1.10．若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 .求点M 的轨迹方程．【解题指南】把|MF|比M 到y 轴的距离大12 ，转化为|MF|与点M 到x ＝－12 的距离相等，从而利用抛物线定义求解．【解析】由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离比它到y 轴的距离大12 ，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 的距离与它到直线l ：x ＝－12 的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px(p>0)的形式，而p 2 ＝12 ，所以p ＝1，2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x(x≠0).创新迁移练1．已知曲线C 的方程为F(x ，y)＝0，集合T ＝{(x ，y)|F(x ，y)＝0}，若对于任意的(x 1，y 1)∈T ，都存在(x 2，y 2)∈T ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称曲线C 为Σ曲线．下列方程所表示的曲线中，是Σ曲线的有________．(写出所有Σ曲线的序号)①x2＝1；②x2－y2＝1；③y2＝2x；2＋y2④|y|＝||x＋1.＝1的图象既关于x轴对称，也关于y轴对称，且【解析】①x22＋y2图象是封闭图形，所以对于任意的点P⎝⎛⎭⎫x2，y2x1，y1，存在着点Q⎝⎛⎭⎫使得OP⊥OQ，所以①满足；②x2－y2＝1的图象是双曲线，且双曲线的渐近线斜率为±1，所以渐近线将平面分为四个夹角为90°的区域，当P，Q在双曲线同一支上，此时∠POQ<90°，当P，Q不在双曲线同一支上，此时∠POQ>90°，所以∠POQ≠90°，OP⊥OQ不满足，故②不满足；③y2＝2x的图象是焦点在x轴上的抛物线，且关于x轴对称，连接OP，再过O点作OP的垂线，则垂线一定与抛物线交于Q点，所以∠POQ＝90°，所以OP⊥OQ，所以③满足；④取P⎝⎛⎭⎫0，1，若OP⊥OQ，则有y2＝0，显然不成立，所以此时OP⊥OQ 不成立，所以④不满足．答案：①③2．某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1 000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？【解析】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，所以A(10，－2).设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，则102＝－2p(－2)，所以p＝25，所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－150x2.若货船沿正中央航行，船宽16 m，而当x＝8时，y＝－150×82＝－1.28 m，即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(m)，而船体高为5 m，所以无法通行，又因为5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(t)，即若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050 t，而船最多还能装1 000 t货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．关闭Word文档返回原板块。

高二数学抛物线一、选择题1．抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点到其准线的距离是( )A .|a|4B .|a|2C ．|a|D ．－a 22．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．抛物线y 2＝2px(p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>p 2)，则点M 的横坐标是( ) A ．a ＋p 2 B ．a －p 2C ．a ＋pD ．a －p 4．过点M(2,4)作与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线l 有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条5．已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－26．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF|＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF等于( ) A .45 B .23 C .47 D .12二、填空题7．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________．8．若动点P 在y ＝2x 2＋1上，则点P 与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x 2＝y ＋1上一定点A(－1,0)和两动点P ，Q ，当PA ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是______________．三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线的标准方程．能力提升12．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A .12B ．1C ．2D ．4 13．已知抛物线y 2＝2px (p>0)上的一点M 到定点A ⎝⎛⎭⎫72，4和焦点F 的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43y C ．y 2＝－92x D ．x 2＝43y 2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( )A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( ) A ．2a B .12a C ．4a D .4a二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________. 三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．。