2018高考复习课件第七章数列.ppt

真题演练集训1．[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin Bsin C ，则tan Atan Btan C 的最小值是________．答案：8解析：由sin A ＝sin(B ＋C)＝2sin Bsin C ，得sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝2sin Bsin C ，两边同时除以cos Bcos C ，得tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ，令tan B ＋tan C ＝2tan Btan C ＝m ，因为△ABC 是锐角三角形，所以2tan Btan C>2tan Btan C ，则tan Btan C>1，m>2.又在三角形中有tan Atan Btan C ＝－tan(B ＋C)tan Btan C＝－m 1－12m ·12m ＝m 2m －2＝m －2＋4m －2＋4 ≥2m －24m －2＋4＝8， 当且仅当m －2＝4m －2，即m ＝4时等号成立， 故tan Atan Btan C 的最小值为8.2．[2014·福建卷]要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 答案：160解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ×4x ＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立， 所以该容器的最低总造价为160元．3．[2013·天津卷]设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 答案：－2解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a|＋|a|b ＝24|a|＋|a|b＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b≥a 4|a|＋2 b 4|a|×|a|b ＝a 4|a|＋1. 当且仅当b 4|a|＝|a|b且a<0， 即b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．课外拓展阅读基本(均值)不等式在压轴题中的应用关于基本(均值)不等式的高考试题，它可以涉及的知识点很多，尤其是在数列、解析几何中运用时，难度一般较大，需要有较强的分析问题及解决问题的能力．1．与数列搭配基本不等式在数列解答题中多出现在第(2)问中，常见的是比较大小或证明不等式，问题的求解需要有较强的运算能力．[典例1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝2S n 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －9b n －1＋18>64b n n ＋9b n ＋1(n>1)． [思路分析] (1)根据等差数列和等比数列的性质易求；(2)中数列{b n }满足b n ＝2S n 2n －1，这是一个等差数列的前n 项和与一个关于n 的一次函数之比，数列{b n }极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关知识解决．(1)[解] 因为a 1，a 2，a 7成等比数列，所以a 22＝a 1a 7，即(a 1＋d)2＝a 1(a 1＋6d)．又a 1＝1，d ≠0，所以d ＝4.所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝n ＋2n(n －1)＝2n 2－n.(2)[证明] 因为b n ＝2S n 2n －1＝2n 2n －12n －1＝2n ， 所以{b n }是首项为2，公差为2的等差数列．所以T n ＝n 2＋2n 2＝n 2＋n.所以2T n －9b n －1＋18＝2n 2＋2n －18(n －1)＋18＝2n 2－16n ＋36＝2(n 2－8n ＋16)＋4＝2(n －4)2＋4≥4，当且仅当n ＝4时等号成立．①64b nn ＋9b n ＋1＝64×2n n ＋92n ＋1 ＝64nn 2＋10n ＋9＝64n ＋9n ＋10≤646＋10 ＝4，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时等号成立．② 又①②中等号不可能同时取到，所以2T n －9b n －1＋18>64b n n ＋9b n ＋1(n>1)．温馨提示 本题在求解时注意，两次放缩取等号的条件不一致，最后结果不能取等号．2．与函数、导数共现在函数的解答题中出现的基本(均值)不等式一般都与导数有密切的联系，在多数情况下问题的求解需要构造新的函数，通过合理转化，巧妙放缩去完成．求解这类问题一般难度较大，在高考中常以压轴题的形式出现，需要较强的综合能力．[典例2] 已知h(x)＝ln(x ＋1)－ax x ＋1. (1)当a>0时，若对任意的x ≥0，恒有h(x)≥0，求实数a 的取值范围；(2)设x ∈N 且x>2，试证明：ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x. (1)[解] h(x)＝ln(x ＋1)－ax x ＋1， 则h(x)的定义域为(－1，＋∞)，h ′(x)＝11＋x －a 1＋x 2＝x ＋1－a1＋x 2.①当0<a ≤1时，对任意的x ≥0，h ′(x)≥0恒成立，则h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)≥h(0)＝0，所以满足题意．②当a>1时，h(x)在x ∈(0，a －1]上单调递减，h(x)在x ∈[a －1，＋∞)上单调递增．若对任意的x ≥0，恒有h(x)≥0，则h(x)的最小值h(a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立．令m(a)＝ln a ＋1－a(a>1)，则m ′(a)＝1－a a，m ′(a)<0， m(a)在a ∈(1，＋∞)上单调递减，所以当a ∈(1，＋∞)时，有m(a)<m(1)＝0， 与h(a －1)＝ln a ＋1－a ≥0恒成立矛盾． 所以实数a 的取值范围为(0,1]．(2)[证明] 由(1)知，ln(1＋x)≥x 1＋x， 所以ln x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21×32×43×…×x x －1 ＝ln 2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln xx －1 ＝ln(1＋1)＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1 ≥12＋121＋12＋…＋1x －11＋1x －1＝12＋13＋14＋…＋1x. 所以ln x ≥12＋13＋14＋…＋1x.。