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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例

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人教A版高中数学 选修2-2 第一章 1.4生活中的优化问题举例 名校课件(集体备课)

人教A版高中数学 选修2-2 第一章 1.4生活中的优化问题举例 名校课件(集体备课)

生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 称为优化问题，优化问题有时也称为 最值问题．解决这些问题具有非常重 要的现实意义．
知识回顾
导数的单调性
一般地，函数的单调性与导数的 关系:
在某个区间(a,b)内，如果f′x > 0，
那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；
如果 f′x， <那0么函数y=f(x)在这个区
那么瓶子半径多大时，能使每瓶饮 料的利润最大和最小？
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮 料的利润是
y = f r = 0.2 4 πr3 - 0.8πr2
3
=
0.8π
r3 3
- r2
,0
<
r
≤
6.
令 f ' r = 0.8π r2 - 2r = 0
当r=2时，f ' r = 0. ；当r∈(2,6)时，
间内单调递减.
新课导入
在过去的学习中，我们一般把优 化问题转化为数学中的函数问题，进 而转化为求函数的最值问题．
导数是求函数最大（小）值的强 有力的工具.如何学以致用，利用导数 求解优化问题呢？
3.4 生活中的优化问题举例
教学目标
知识与能力
能把背景性的问题结合生活 经验通过分析问题逐步引入到数 学问题中,熟悉数学建模的过程， 培养发现问题、分析问题、解决 问题的能力.
并不是瓶子越小，利润越大.当 瓶子半径在（0,2）之间时，每瓶容 量受限，导致售出的饮料量减少，或 者人们不想买太小瓶的饮料，而影响 利润.
例4 磁盘的最大存储量问题
知识点
计算机把信息存储到磁盘上，磁盘 是带有磁性介质的圆盘，并由操作系 统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指 不同半径所构成的同心圆轨道，扇区 是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道 上的定长的弧可作为基本存储单元， 根据其磁化与否可分别记录数据0或1， 几个基本单元通常称为比特(bit).
2016-2017学年人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 课件(47张)

2016-2017学年人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 课件(47张)


温馨提示 在解决实际优化问题中， 不仅要注意将问 题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示， 还应确定函 数关系式中自变量的取值范围．
2．解决优化问题的一般步骤
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)磁盘的最大存储量问题是优化问题．( (2)求某长方体容器的容积问题是优化问题．( (3)汽油的使用效率的提高问题是优化问题．( 解析：(1)(2)是优化问题，(3)不是优化问题． 答案： (1)√ (2)√ (3)× ) ) )
解：因为赔付价格为 s 元/吨，所以乙方的实际年利 润为 1 000－s t 1 000 ω＝2 000 t－st，ω′＝ －s＝ . t t
1 0002 令 ω′＝0，得 t＝t0＝ s .当 t＜t0 时，ω′＞0；
当 t＞t0 时，ω′<0.所以 t＝t0 时，ω 取得最大值．
审题指导：根据题设中的比例关系求出比例系数 k(k ＞0)， 再根据题意列出函数关系式建立数学模型后再利用 导数求最值． [规范解答] 设每小时的燃料费为 y1， 比例系数为 k(k ＞0)，(1 分) 则 y1＝kv ，当 v＝12 时，y1＝720，
2
所以 720＝k· 122，得 k＝5.(3 分)
1 0002 因此乙方取得最大年利润的年产量为 t0＝ s 吨．
第一章
导数及其应用
1．4 生活中的优化问题举例
[学习目标] 1.会解决生活中的优化问题(重点)． 2. 会利用导数解决某些实际问题(难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．优化问题 生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小， 利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列 问题，这些问题统称为优化问题．
高中数学人教A版选修2-2课件：1-4 生活中的优化问题举例

高中数学人教A版选修2-2课件：1-4 生活中的优化问题举例


栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
解:设矩形广告的高和宽分别为 x cm,y cm,面积为 S cm2. 则每栏的高和宽分别为(x-20) cm, 由两栏面积之和为 2(x-20)· 得 y=
18 000 + 25. x-20 y-25 2 y-25 2
cm,其中 x>20,y>25.
= 18 000,
广告的面积 S=xy=x 所以 S'=
(x-20)
2
18 000 18 000x + 25 = + 25x. x-20 x-20 18 000[(x-20)-x] -360 000
+ 25 =
(x-20)
2
+ 25.
令 S'>0,得 x>140, 令 S'<0,得 20<x<140. 所以函数在(140,+∞)内单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当 x=140时,S取得最小值. 当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 栏目 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小导引 .
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
解:设容器底面一条边长为 x m,则另一条边长为(x+0.5) m,高为
14.8-4������-4(������+0.5) 4
= (3.2 − 2������) m.
3.2-2������ > 0, 解得0<x<1.6. ������ > 0, 设容器的容积为 y m3, 则 y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, 所以 y'=-6x2+4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx+1.6. 令 y'=0,则 15x2-11x-4=0, 由 解得 x1=1,x2=−
2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.4生活中的优化问题举例

2016-2017学年高中数学新人教版选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.4生活中的优化问题举例

域；
y＝a· vs ＋bv2· vs ＝sav＋bv， ∴所求函数及其定义域为 y＝sav＋bv，v∈(0，c].
第二十二页，编辑于星期五：解十七析点答分案。
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
反思第与二感十三悟页，编辑于星期五：解十析七点答分。案
跟踪训练3 工厂A到铁路的垂直距离为20 km，垂足为B，铁路线上距离B处 100 km的地方有一个原料供应站C，现在要从BC段上的D处向工厂修一条公 路，使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省，已知每千米的铁路运费 与公路运费之比为3∶5，则D点应选在何处？
∴h＝28526＝4.
第四十一页，编辑于星期五：解十析七点答分案。
课堂小结
1.解应用题的思路方法：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结 论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学 知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合 适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确 的判断，确定答案. 2.解决最优化问题首先要确定变量之间的函数关系，建立函数模型.要熟 记常见函数模型，如二次函数模型、三次函数模型、分式函数模型、幂 指对模型、三角函数模型等. 3.除了变量之间的函数关系式外，实际问题中的定义域也很关键，一定要 结合实际问题的意义确定定义域.
重点突破
自查自纠
第三页，编辑于星期五：十七点 分。
知识梳理
自主学习
知识点一 利用导数解决生活中的优化问题的步骤
1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中
变量之间的函数关系 y＝f(x)； 2.求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； 3.比较函数在区间端点和在 f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最 大(小)值.
高二数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例

高二数学人教A版选修2-2课件：1.4 生活中的优化问题举例


+x)
=51
840 ������
+120x2-312.
因为 x 表示相邻两增压站之间的距离,则 0<x≤120.
故
y
与
x
之间的函数关系式为
y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120).
(2)y=51
840 ������
+120x2
-312(0<x≤120),
则 y'=-51������8240+240x=2���4���20(x3-216).
案例探究
思悟升华
导数在解决实际问题中的应用
某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费,预 计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)2万件.
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式. (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).
Lmax=L
6
+
2 3
������
=4
3-
1 3
������
3
,
Q(a)=
9(6-������),3
≤
������
<
9 2
,
4
3-
1 3
������
3
,
9 2
≤
������
≤
5.
综上,若 3≤a<92,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,
最大值 Q(a)=9(6-a)(万元);若92≤a≤5,则当每件售价为
高中数学(人教A版选修2-2)课件1.4生活中的优化问题举例

高中数学(人教A版选修2-2)课件1.4生活中的优化问题举例


(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并 求出此时运输成本的最小值． 分析 根据全程运输成本＝每小时运输成本×运输总时 间建立函数关系式，然后利用导数方法求最值．
解 (1)设全程运输成本为f(x)元，则 1 4 1 3 400 f(x)＝(19200x －160x ＋15x)·x 1 3 5 2 ＝48x －2x ＋6000(0<x≤100)． 当x＝60千米/时， 1 5 3 f(60)＝48×60 －2×602＋6000＝1500(元)． 答：汽车以60千米/小时的速度匀速行驶时，全程运输成 本为1500元．
题型三 成本最低利润最大问题 例3 甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶 到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运 1 输成本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是t＝ 19200 x4－ 1 3 x ＋15x. 160 (1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成 本面的宽为x，高为y.则当xy2取极大值 时，横梁的强度最大．又y2＝d2－x2.
∴f(x)＝xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)． f′(x)＝d2－3x2. d 6 令f′(x)＝0，解得x＝ ，y＝ 3 d. 3 根据实际，当x趋近于0或d时，强度很小，因此f
题型二
用料最省问题
例2 要设计一个容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧 面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单 位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h 之比为何值时造价最省？ 分析 把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造价 表示为r的函数．
V 解 由V＝πr h，得h＝πr2，

d 为 3
3 6 强度的极大值，同时也是最大值．所以当宽为 3 d，高为 3 d时，横梁的强度最大．
人教版高中选修2-2数学1.4生活中的优化问题举例课件(2)

人教版高中选修2-2数学1.4生活中的优化问题举例课件(2)


此时y=
128 8
16
答 ： 应 使 用 版 心 宽 为 8 d m ， 长 为 1 6 d m ， 四 周 空 白 面 积 最 小
运用新知
在边长为60cm的正方形铁片的四 角上切去相等的正方形，再把它的边 沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱 子，箱底的边长是多少时，箱子的容 积最大？最大容积是多少？
运用新知
• [解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为 (60－2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) ＝4x3－240x2＋3600x. ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) 当0<x<10时，V′(x)>0， 当10<x<30时，V′(x)<0.
Y
x
另设四周空白面积为Ｓ，
实例讲解
则 S 2 (x 2 ) 2 2 y 1
4x2y8 （２）
（１）式代入（２）式中得：
S(x)4x2568(x0). x
令 S(x：由解法(一)得
S(x)4x2568≤ 24x•2568
x
x
当 且 仅 当 4 x 2 5 6 ,即 x 8 (x 0 ) 时 S 取 最 小 值 x
生活中的优化问题举例(一)
h
1
引入新课
生活中经常会遇到求什么条件下可使用 料最省，利润最大，效率最高等问题，这些 问题通常称为优化问题.这往往可以归结为 求函数的最大值或最小值问题.其中不少问 题可以运用导数这一有力工具加以解决.
引入新课
复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象 是一条连续不断的曲线，则求f (x) 的最值 的步骤是：
人教A版高中数学选修2-2课件：第一章 1.4生活中的优化问题举例(共81张PPT)

人教A版高中数学选修2-2课件：第一章 1.4生活中的优化问题举例(共81张PPT)


人若软弱就是自己最大的敌人。 健康的身体是实目标的基石。 知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。——《论语》 成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神来自他们的博学。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专…… 你没那么多观众，别那么累。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想，更不庸人自扰。 不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 无所不能的人实在一无所能，无所不专的专家实在是一无所专…… 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。 绝大多数人，在绝大多数时候，都只能靠自己。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 学习不但意味着接受新知识，同时还要修正错误乃至对错误的认识。 没有不会做的事，只有不想做的事。 炫耀是需要观众的，而炫耀恰恰让我们失去观众。 目标再远大，终离不开信念去支撑为，不利人乎即止。——《 墨子》 痛不痛只有自己知道，变没变只有自己才懂。不要问我过得好不好，死不了就还好。 贪婪是最真实的贫穷，满足是最真实的财富。
人教A版高中数学选修2-2课件-1·4-数学：1.4《生活中的优化问题举例》PPT课件(新人教A版-选修2-2)

人教A版高中数学选修2-2课件-1·4-数学：1.4《生活中的优化问题举例》PPT课件(新人教A版-选修2-2)


r
(0，2)
2
(2，6]
f '(r)
-
0
+
f (r)
减函数↘ 极小值 增函数↗
∵f (r)在(0，6]上只有一个极值点
∴由上表可知，当r=2时，利润最小
h
6
解：设每瓶饮料的利润为y，则 yf(r) = 0 0..2 8 π(4 rp 3 r -3 r 2 )0.8 (0p r 2r6) 3 3
r
(0，2)
现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
1dm
宽 1 2 8 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S(x)(x4)(1282)128 x
2x5128 (x0) x
2
(2，6]
f '(r)
-
0
+
f (r)
减函数↘ 极小值 增函数↗
∵当r∈(0，2)时， f(r)<f(0)0 而当r∈(2，6]时， f(r )< f(6 ) _ _ 2_ 8_ .8_ p_ _ _ _
故f (6)是最大值
答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大，
当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小.
h
7
说明
1、设出变量找出函数关系式；确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义
2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ， 则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或 最小值.
(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.4 生活中的优化问题举例

【原创】人教A版选修2-2：第一章 1.4 生活中的优化问题举例

若v0<16，当v∈(8，v0]时，y′<0，y在(8，v0]上为减 函数；当v∈[v0,16)时，y′>0，y在[v0,16)上为增函数．
故当v＝v0时，y取得极小值，也是最小值，此时全程 燃料费最省． 综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费 最省；若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省．
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
类题·通法 (1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四 边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面 积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． (2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面 积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．解决此类 问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知 图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将 图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×
40 3x＋5
＋6x＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
数学 ·人教A版选修2-2
第一章导数及其应用
(2)f′(x)＝6－32x＋40502，
令f′(x)＝0，即32x＋40502＝6，
解得x＝5，x＝－235(舍去)．
当0≤x<5时，f′(x)<0，当5<x≤10时，f′(x)>0，
(1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ 提示：计算出圆柱的表面积即可．
(2)如何制作使用材料才能最省？
提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设
圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S＝2πx2＋
1
000 x
(x＞
高中数学人教A版选修2-2(同步课件)：1-4 生活中的优化问题举例

高中数学人教A版选修2-2(同步课件)：1-4 生活中的优化问题举例

第一章 导数及其应用
§1.4 生活中的优化问题举例
学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
实
新知探究 点点落
知识点 生活中的优化问题
1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题， 这些问题通常称为 优化问题 . 2.利用导数解决优化问题的实质是 . 求函数最值 3.解决优化问题的基本思路是：
数学建模 上述解决优化问题的过程是一个典型的
过程.
答案 返回
题型探究
破
重点难点 个个击
类型一 面积、容积的最值问题 例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm
的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三 角形，再沿虚线折起，使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P ，
成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为
________ cm.
解析答案
800 故 x＝5 时，为 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.
解析答案 返回
达标检测
1
2 3 4
1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为 ( A A.4 B.6 C.4.5 D.8
)
解析 设底面边长为x，高为h，
256 则 V(x)＝x · h＝256，∴h＝ x2 ，
2
256 2 4×256 ∴S(x)＝x ＋4xh＝x ＋4x·x2 ＝x ＋ x ，
2 2
4×256 ∴S′(x)＝2x－ x2 .

人教A版数学选修2-2 1.4 生活中优化问题举例(共17张ppt)(共17张PPT)


• 2、已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q， • 价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得 出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：收入
1 1 R q p q 25 q 25q q 2 8 8
2、某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的 高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
V R 则h . R 2 V S ( R ) 2R 2 2R 2 2V 2R 2 . R R 2V V 3 由S ( R ) 2 4R 2 R h 3 R 即h=2R. 2 可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
变式： 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样 选取才能使所用材料最省？
S 2R 2 提示：S 2Rh 2R h 2R
当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个 极大值就是函数V (x)的最大值.
2
60 40 3 V (40) 40 ( ) 16000 (cm h ) 2
答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3
问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? • 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品 一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道 它的道理吗? • 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
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则|CD|＝3－x.由 AD⊥BC，∠ACB＝45° 知，△ADC 为等腰直 角三角形，所以|AD|＝|CD|＝3－x. 由折叠前 AD⊥BC 知，折叠后，如图②所示，AD⊥DC， AD⊥BD，且 BD∩DC＝D，所以 AD⊥平面 BCD.又∠BDC＝ 1 1 90° ，所以 S△BCD＝ |BD|· |CD|＝ x(3－x)． 2 2 1 1 1 1 3 2 于是 VA＝ | AD |· S ＝ (3 － x )· x (3 － x ) ＝ ( x － 6 x △ BCD BCD 3 3 2 6 ＋9x)．
3.导数在实际问题中的应用
[典例] (12 分)如下图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴
长为 2，短半轴长为 1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状， 下底 AB 是半椭圆的短轴，上底 CD 的端点在椭圆上，记|CD| ＝2x，梯形的面积为 S.
(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数解析式， 并写出其定义域； (2)求面积 S 的最大值．
[解]
k (1) 由题设，每年能源消耗 费用为 C(x) ＝ 3x＋5
(0≤x≤10)， 40 再由 C(0)＝8，得 k＝40，因此 C(x)＝ . 3x＋5 而建造费用为 C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x) 40 800 ＝20C(x)＋C1(x)＝20× ＋6x＝ ＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5 3x＋5
[随堂即时演练]
1．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时， 它的高为 A．6 m B． 8 m ( )
利用导数解决利润最大问题
[例 3] 某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的 资金用于广告促销． 经调查， 每年投入广告费 t(单位： 百万元)， 可增加销售额约为－t2＋5t(单位：百万元，且 0≤t≤5)． (1)若该公司将当年的广告费控制在 3 百万元之内，则应 投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和 技术改造．经预测，每投入技术改造费 x(单位：百万元)，可 1 3 增加的销售额约为－ x ＋x2＋3x(单位：百万元)．请设计一个 3 资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销 售额－投入)．
[类题通法] 利润最大问题的解决方法 利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说， 利润等于总收入减去总成本，而总收入等于产量乘价 格． 由此可以得到利润与产量的函数关系式， 进而用导数 求最大利润．
[活学活用] 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨 1 2 产品的价格 p(元/吨)之间的关系式为 p＝24 200－ x ，且生 5 产 x 吨的成本为 R＝50 000＋200x(元)． 问： 该厂每月生产多 少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？
[类题通法] 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1) 抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式 y＝ f(x)． (2)求函数 f(x)的导数 f′(x)，并解方程 f′(x)＝0，即求 函数可能的极值点． (3)比较函数 f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函 数值的大小，得出函数 f(x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案．
利用导数解决费用最省问题
[例 2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋 的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物 每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm) k 满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源 3x＋5 消耗费用为 8 万元． 设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消 耗费用之和． (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时， 总费用 f(x)达到最小？并求最小值．
18 000 18 000x S(x)＝x x－20 ＋25 ＝ x－20 ＋25x，
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′(x)＝ ＋25＝ ＋25. x－202 x－202
令 S′(x)>0，得 x>140， 令 S′(x)<0，得 20<x<140. ∴函数 S(x)在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调 递减， ∴S(x)的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时，y＝175. 即当 x＝140，y＝175 时，S(x)取得最小值 24 500， 故当广告牌的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告牌 的面积最小.
[解] 元，则有
(1)设投入 t 百万元的广告费后增加的收益为 f(t)百万
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t ＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， ∴当 t＝2 时，f(t)取得最大值 4， 即投入 2 百万元的广告费时， 该公司由此获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为 x 百万元， 则用于广告促销的 资金为(3－x)百万元，又设由此获得的收益是 g(x)，则
解： 如右图所示， 依题意， 点 C 在线段 AD 上， 设 C 点距 D 点 x km，则 AC＝50－x，因为 BD＝40， 所以 BC＝ BD2＋CD2＝ 402＋x2.
设总的水管费用为 y 元，则 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0＜x＜50)， 5ax y′＝－3a＋ 2 2. x ＋40 令 y′＝0，解得 x1＝30，x2＝－30(舍去)． 当 0＜x＜30 时，y′＜0； 当 30＜x＜50 时，y′＞0， 所以当 x＝30 时，y 取得最小值， 此时 AC＝50－30＝20(km)， 即供水站建在 A， D 之间距甲厂 20 km 处， 可使水管费用最省．
解：依题意，每月生产 x 吨时的利润为
f(x)＝24
1 2 200－ x x－(50 000＋200x) 5
1 3 ＝－ x ＋24 000x－50 000(x≥0)． 5
3 2 f′(x)＝－ x ＋24 000， 5 令 f′(x)＝0，解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 当 0<x<200 时 f′(x)>0，当 x>200 时 f′(x)<0， ∴x＝200 时，f(x)取最大值， 1 最大值为 f(200)＝－ ×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000. 5 故该厂每月生产 200 吨产品才能使利润达到最大，最大利润为 315 万元．
[解题流程]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[活学活用] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与 甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸 的垂足 D 与 A 相距 50 km， 两厂要在此岸边合建一个供水站 C， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元，问：供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
400 1 3 400 1 4 解：(1)Q＝P·v ＝19 200v －160v ＋15v·v 1 1 2 3 ＝19 200v －160v ＋15×400
v3 5 2 ＝ － v ＋6 000(0＜v≤100)． 48 2 v2 (2)Q′＝ －5v， 16 令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80. 当 0＜v＜80 时，Q′＜0； 当 80＜v≤100 时，Q′＞0， ∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值， 2 000 且 Qmin＝Q(80)＝ (元). 3
[活学活用] 甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度 不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 P (元) 1 1 3 4 关于速度 v (千米/时)的函数关系是 P＝ v－ v ＋15v. 19 200 160 (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式． (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此 时运输成本的最小值．
1.4
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
[提出问题]
某厂家计划用一种材料生产一种盛 500 mL 溶液的圆 柱形易拉罐． 问题 1： 生产这种易拉罐， 如何计算材料用的多少呢？
提示：计算出圆柱的表面积即可．
问题 2：如何制作使用材料才能最省？
提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆 1 000 柱的底面半径为 x，列出圆柱表面积 S＝2πx ＋ x (x＞0)，
1 3 令 f(x)＝ (x －6x2＋9x)， 6 1 由 f′(x)＝ (x－1)· (x－3)＝0，且 0＜x＜3，解得 x＝1. 2 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1,3)时，f′(x)＜0. 2 所以当 x＝1 时，f(x)取得最大值 f(1)＝ ， 3 2 即 VABCD 取得最大值 . 3 故当|BD|＝1 时，三棱锥 ABCD 的体积最大．
1 3 2 g(x)＝－3x ＋x ＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3
1 3 ＝－ x ＋4x＋3(0≤x≤3)， 3 ∴g′(x)＝－x2＋4. 令 g′(x)＝0，解得 x＝－2(舍去)或 x＝2. 当 0≤x＜2 时，g′(x)＞0；当 2＜x≤3 时，g′(x)＜0， 故 g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数． ∴当 x＝2 时， g(x)取最大值， 即将 2 百万元用于技术改造， 1 百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．
2 400 (2)f′(x)＝6－ ， 3x＋52 2 400 令 f′(x)＝0，即 ＝ 6， 3x＋52 25 解得 x＝5 或 x＝－ (舍去)． 3 当 0＜x＜5 时，f′(x)＜0， 当 5＜x＜10 时，f′(x)＞0，故 x＝5 是 f(x)的最小值点， 800 对应的最小值为 f(5)＝6×5＋ ＝70. 15＋5 当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元．