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混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构内力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney 通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley 和Mchenry 的试验研究再次证实，1962年，Barnard 在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin ，P.T.Wang ，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。
钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。
但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。
近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。
由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。
1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。
典型的曲线如图1所示，图中采用无量纲坐标。
sc c E E N f y x 0,,===σεε 式中，c f 为混凝土抗压强度；c ε为与c f 对应的峰值应变；0E 为混凝土的初始弹性模量；s E 为峰值应力处的割线模量。
常用混凝土受压应力—应变曲线的比较及应用σσεεp 图1-2 Sargin曲线式中:εc1为相应于压应力峰值σ0的压应变εc1=-0.0022，εc1为从原点到压应力峰值点的割线模量, 1c E =0σ/0.0022，0E 为混凝土初始弹性模量；εu为混凝土极限压应变, 其大小与1c E 、0E 及εc1有关。
1.3清华过镇海曲线清华大学的过镇海教授在1982年结合自己多年的研究成果提出了自己的混凝土受压应力-应变曲线表达式，如图1-3所示。
第I 阶段中，OA 仍为二次抛物线，与德国人R üsch 提出的抛物线模式相同如下：])(2[2000εεεεσσ-⨯= )(0εε≤ （1-1） 第II 阶段中，下降段AB 用有理分式表示如下： 0200)1(εεεεαεεσσ+-=)(0u εεε<< （1-5）σσεε0图1-3 过镇海曲线εAB其中，α，0ε见下表：表1-1 材料 强度等级 水泥标号α 0ε／10-3普通混凝土 C20～C30 325 425 0.4 0.8 1.40 1.60 C40 425 2.0 1.80 陶粒混凝土 CL25 425 4.0 2.00 水泥砂浆 M30～M40325,4254.02.501.4 美国Hognestad 曲线美国人E.Hognestad 在1951年提出的应力-应变全曲线方程分为上升段和下降段，上升段与德国人R üsch 所提出模型的上升段相同，但是下降段采用一条斜率为负的直线来模拟，如图1-4所示，上升段表达式如下：])(2[2000εεεεσσ-⨯= )(0εε≤ （1-1）下降段表达式为：)1(000εεεεασσ---=u)(0u εεε<<（1-6）其中：α=0.015；εu =0.038经过化简以后，表达式变为如下： )()012.0014.0(u 00ε<ε<εε-σ=σ(1-7)σσ0ε2图1-4 Hongestad曲线0.85σ0εu对于以上四种常见的混凝土单轴受压应力—应变曲线先将其优缺点进行总结，如下表：表1-2优点 缺点中国规范（1）OA 段表达式比较简单，又能反映应力—应变曲线上升段的特点；AB 段则更为简单。
混凝土本构关系曲线公式
混凝土本构关系曲线公式是描述混凝土材料的力学行为的数学表达式。
本构关系曲线公式用于描述混凝土在受力过程中的应力-应变关系，从而提供了设计工程结构和进行力学分析的基础。
在混凝土力学中，常用的本构关系曲线公式是指数函数模型（也称作Ramberg-Osgood模型），其数学表达式如下：
σ = Eε + σy[(ε/εy)^n]
其中，σ表示混凝土的应力，ε表示混凝土的应变，E是混凝土的弹性模量，σy是混凝土的屈服强度，εy是混凝土的屈服应变，n是指数函数模型中的形状参数。
通过该公式，可以将混凝土在不同应力和应变条件下的力学行为进行模拟和分析。
具体而言，当混凝土受到载荷时，其应力会随着应变的增加而线性增加，直到达到屈服应变为止，之后应力将开始非线性增长。
需要注意的是，混凝土的力学行为受到多种因素的影响，如材料的配比、龄期、温度等。
因此，在实际工程中，根据具体情况和需要，可以选择不同的本构关系曲线公式进行分析和设计。
混凝土本构关系曲线公式提供了描述混凝土力学行为的数学模型。
通过该公式，我们可以对混凝土在受力过程中的应力-应变关系进行分析，为工程结构设计和力学分析提供基础。
混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构内力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley和Mchenry的试验研究再次证实，1962年，Barnard在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin，P.T.Wang，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。
钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。
但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。
近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。
由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。
1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。
典型的曲线如图1所示，图中采用无量纲坐标。
sc c E E N f y x 0,,===σεε 式中，c f 为混凝土抗压强度；c ε为与c f 对应的峰值应变；0E 为混凝土的初始弹性模量；s E 为峰值应力处的割线模量。
混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构内力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney 通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley 和Mchenry 的试验研究再次证实，1962年，Barnard 在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin ，P.T.Wang ，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。
钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。
但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。
近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。
由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。
1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。
典型的曲线如图1所示，图中采用无量纲坐标。
sc c E E N f y x 0,,===σεε 式中，c f 为混凝土抗压强度；c ε为与c f 对应的峰值应变；0E 为混凝土的初始弹性模量；s E 为峰值应力处的割线模量。
常用混凝土受压应力—应变曲线的比较及应用摘要：为了对受弯截面进行弹塑性分析及其他研究，在对各种混凝土受压应力应变曲线研究的基础上，总结出了四种常用曲线，这些曲线已经被广泛应用。
对四种常用曲线进行简介，并指出了它们的适用范围及优缺点。
在进行受弯截面弹塑性分析时，介绍了运用四种常用曲线对其受力性能进行分析的计算模式，并且运用实际案例进行受弯截面弹塑性分析，方便工程师们参考和借鉴。
关键词：混凝土；受压应力应变曲线；本构关系；受弯截面0 引言混凝土受压应力—应变曲线是其最基本的本构关系，又是多轴本构模型的基础，在钢筋混凝土结构的非线件分析中，例如构件的截面刚度、截面极限应力分布、承载力和延性、超静定结构的内力和全过程分析等过程中，它是不可或缺的物理方程，对计算结果的准确性起决定性作用。
近年来，国内外学者对其进行了大量的研究及改进，已有数十条曲线表达式，其中部分具有代表性的表达式已经被各国规范采纳。
常用的表达式包括我国《混凝土结构设计规范》(GB50010-2010)、CEB-FIP Model Code(1990)、清华过镇海以及美国学者Hognestad 建议的混凝土受压应力应变关系，在已有研究的基础上，本文将对各个表达式在实际运用中的情况进行比较，并且通过实际算例运用这些表达式进行受弯截面弹塑性分析，从而为工程师们在实际应用时提供参考和借鉴。
1 常用混凝土受压应力—应变曲线比较至今已有不少学者提出了多种混凝土受压应力应变曲线，常用的表达式采用两类，一类是采用上升段与下降段采用统一曲线的方程，一类是采用上升段与下降段不一样的方程。
1.1 中国规范我国《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）采用的模式为德国人R üsch1960年提出的二次抛物线加水平直线，如图1-1所示。
上升阶段的应力应变关系式为：)(])(2[02000ε≤εεε-εε⨯σ=σ （1-1）A 点为二次抛物线的顶点，应力为0σ，是压应力的最大值，A 点的压应变为0ε。
混凝土的本构关系简介及各受压应力应变全曲线比较一：学术风格正文：一、混凝土的本构关系简介混凝土是一种常用的结构材料，其力学性能的研究对于结构设计具有重要意义。
混凝土的本构关系是指材料的应力应变关系，描述了材料在受力作用下的变形行为。
混凝土的本构关系的研究有助于理解混凝土的力学性能，指导结构的设计与施工。
二、混凝土的受压应力应变全曲线比较1. 弹性阶段：混凝土在受力初期表现出线弹性行为，即应力与应变成正比关系。
这个阶段称为弹性阶段，其应力应变关系呈线性。
2. 塑性阶段：当混凝土受力达到一定程度时，开始出现非线性变形，应变的增加速度逐渐减缓。
这是由于混凝土内部的微观结构发生破坏，颗粒间的强度开始减小，导致整体应变增加。
3. 屈服阶段：当应力进一步增加，混凝土达到一定的应变时，开始出现明显的应力下降。
这个阶段称为屈服阶段，将塑性应变较小的一部分与显著的应力下降相连系。
此时，混凝土内部产生裂缝，并且裂缝的增长加速。
4. 破坏阶段：当应力继续增加，混凝土出现明显的破坏现象。
一般表现为裂缝的扩展、混凝土的脱层或破碎等。
此时，混凝土已经失去了承载能力。
附件：本文档涉及的附件包括混凝土本构关系的实验数据、各受压应力应变全曲线的比较图表等。
法律名词及注释：1. 本构关系：材料力学中，描述材料应力应变关系的数学模型。
2. 弹性阶段：材料在受力初期表现出线弹性行为，即应力与应变成正比关系的阶段。
3. 塑性阶段：材料在经历弹性阶段后出现非线性变形，应变的增加速度逐渐减缓的阶段。
4. 屈服阶段：材料在达到一定应变时出现明显的应力下降的阶段。
5. 破坏阶段：材料在经历屈服阶段后出现明显的破坏现象，失去承载能力的阶段。
二：商务风格正文：一、混凝土的本构关系简介混凝土是一种广泛应用于建筑工程中的材料，对于了解混凝土的力学性能具有重要意义。
混凝土的本构关系是指材料在受力作用下的应力应变关系，是研究混凝土力学性能的基础。
二、混凝土的受压应力应变全曲线比较1. 弹性阶段：在混凝土的受力初期，材料表现出弹性行为，即应力与应变成正比关系。
混凝土应力应变全曲线的试验研究混凝土作为建筑材料广泛应用于各种建筑结构中，其应力应变行为是混凝土结构和混凝土材料研究的重要内容。
混凝土的应力应变关系直接影响着结构的强度、稳定性和耐久性，因此对于混凝土应力应变全曲线的试验研究具有重要意义。
本文将围绕混凝土应力应变全曲线的试验展开讨论，以期为混凝土工程的应用和发展提供有益的参考。
在本次试验中，我们采用了电子万能试验机（WDW-100）和混凝土压力试验机（YYD-200）对混凝土试件进行应力应变全曲线的测试。
试件为100mm×100mm×100mm的立方体，成型龄期为28天。
在试验过程中，通过拉伸和压缩两种方式对试件施加荷载，并采用引伸计和压力传感器测量试件的变形参数。
按照设计的试验方案，我们对每个试件进行了应力应变全曲线的测试，并得到了完整的曲线。
通过对曲线图的观察和分析，可以清楚地看到混凝土试件在受力过程中的弹性变形、塑性变形和破坏三个阶段。
通过对试验结果的分析，我们发现混凝土应力应变全曲线具有以下特征和规律：弹性变形阶段：在施加荷载的初期，混凝土试件表现出弹性变形特征，应力与应变呈线性关系。
此时，混凝土的弹性模量较高，抵抗变形的能力较强。
塑性变形阶段：随着荷载的不断增加，混凝土试件开始进入塑性变形阶段。
在这个阶段，应变随应力的增加而迅速增大，而应力与应变的关系逐渐偏离线性关系。
这是由于混凝土内部的微裂缝逐渐产生、扩展和贯通，导致结构内部发生不可逆的塑性变形。
破坏阶段：当荷载继续增加到一定程度时，混凝土试件突然破坏，应力发生急剧下降。
这个阶段标志着混凝土结构的极限承载能力达到极限，结构失去稳定性。
通过本次试验，我们得到了混凝土应力应变全曲线，分析了曲线特征和规律，并探讨了该曲线对混凝土疲劳性能和裂纹扩展行为的影响。
试验结果表明，混凝土的应力应变关系是一个复杂的过程，不仅与材料的组成和结构有关，还受到外界环境和加载条件等多种因素的影响。
水电站设计D H P S 第13卷第2期1997年6月全级配混凝土单轴受压应力～应变全曲线试验研究杨成球 吴 政(成都勘测设计研究院,成都,610072)摘 要 采用近似理想刚性试验机,对全级配混凝土试件(Υ45c m×90c m)及相应湿筛混凝土试件(Υ15c m×30c m)进行了单轴压缩下应力～应变全过程曲线的试验研究。
研究结果表明:全级配混凝土的弹性模量高于湿筛混凝土,全级配混凝土的极限应力、峰荷应变低于湿筛混凝土,全级配混凝土与湿筛混凝土的应力～应变全过程曲线基本相似,泊松比值相等。
关键词 砼 应力～应变关系 泊松比 试验机 试验1 前 言众所周知,混凝土应力～应变全过程曲线的测定,对于建立混凝土本构关系和工程有限元计算具有重要的意义。
人们可从试验中认识到,混凝土的破裂过程开始并不意味着它的承载能力完全丧失。
常用的普通试验机,由于没有足够的刚度或者不能维持恒定的应变速率加载,故在达到最大荷载混凝土试件产生裂纹时,因试验机本身释放大量的弹性应变能对混凝土试件造成的冲击破坏而无法进行测试,因此通常只能测出混凝土试件应力～应变曲线的上升段。
然而,采用刚性试验机直接进行试验,可避免在混凝土试件破坏过程中因试验机释放大量弹性应变能所造成试件的突然破坏,故能测出应力～应变全曲线。
混凝土应力～应变全曲线表明:当所施加的荷载达到最大极限荷载时,混凝土中的裂纹也未扩展贯通引起混凝土完全破坏;随着混凝土中应力下降,应变不断增加,混凝土中的裂纹继续扩展贯通直至引起混凝土破坏。
本文采用近似理想刚性试验机(50M N)对全级配混凝土及相应湿筛混凝土的应力～应变全曲线进行试验研究,与此同时还测定了混凝土的泊松比和体应变。
2 试验概况结合二滩水电站大坝混凝土工程进行了两大组全级配混凝土与相应湿筛混凝土应力～应变全曲线的试验研究。
试验采用渡口525号硅酸盐大坝水泥,河门口火电厂电收尘二级粉煤灰。
骨料采用二滩水电站导流洞开挖出的新鲜正长岩人工粗细骨料,人工砂细度模数为2182。
混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构内力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney 通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley 和Mchenry 的试验研究再次证实，1962年，Barnard 在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin ，P.T.Wang ，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。
钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。
但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。
近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。
由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。
1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。
典型的曲线如图1所示，图中采用无量纲坐标。
sc c E E N f y x 0,,===σεε 式中，c f 为混凝土抗压强度；c ε为与c f 对应的峰值应变；0E 为混凝土的初始弹性模量；s E 为峰值应力处的割线模量。
混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土受压应力－应变全曲线方程混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构内力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney 通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley 和Mchenry 的试验研究再次证实，1962年，Barnard 在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin ，P.T.Wang ，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。
钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。
但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。
近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。
由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。
1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。
典型的曲线如图1所示，图中采用无量纲坐标。
sc c E E N f y x 0,,===σεε 式中，c f 为混凝土抗压强度；c ε为与c f 对应的峰值应变；0E 为混凝土的初始弹性模量；s E 为峰值应力处的割线模量。
此典型曲线的几何特性可用数学条件描述如下： ①x=0，y=0； ②0≤x<1，22x yd d <0，即上升段曲线xy d d 单调减小，无拐点；③C 点x=1处，xy d d =0和y=1.0，曲线单峰；④D 点22x yd d =0处坐标x D >1.0，即下降段曲线上有一拐点；⑤E 点33x yd d =0处坐标x E （≥x D ）为下降段曲线上曲率最大点；⑥当x →≦，y →0时，xy d d →0；⑦全部曲线x ≥0，0≤y ≤1.0。
这些几何特征与混凝土的受压变形和破坏过程完全对应，具有明确的物理意义。
2、混凝土单轴受压曲线方程的比较和分析对于混凝土在单轴受压下的应力应变关系，已经做了大量的试验研究工作，在此基础上不少学者提出了多种混凝土受压应力应变曲线方程。
(1) Hongnestad 的模型0.0020.0038fcf c模型的上升段为二次抛物线，下降段为斜直线。
上升段：2200022,x x y f c -=⇒⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=≤εεεεσεε 下降段：115.085.015.01,0---=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=≤≤u u o u o c u x xx y f εεεεσεεε式中，c f ——峰值应力（棱柱体抗压强度）；0ε——相应于峰值应力时的应变，取0ε＝0.002； u ε——极限压应变，取u ε＝0.0038。
混凝土受压应力应变曲线上升段，对x 求一阶导数：x y 22-='当x ＝1时，y '＝0；当x ＝0时，y '＝2。
很容易得出曲线满足典型曲线的条件③。
在Hongnestad 公式中y '＝2是一个固定值，所以Hongnestad 公式只能在工程上作为一个近似公式使用。
对x 求二阶导数，得：2-=''yHongnestad 公式满足条件②。
受压应力应变曲线下降段的形状，更敏感地反映混凝土的延性和破坏过程的缓急，以往的曲线公式都不能很好的反映混凝土受压应力应变曲线的下降段，Hongnestad 公式不满足典型曲线下降段的要求。
Hongnestad 的模型一般可以作为钢筋混凝土简支梁的实例分析，采用三维模型，对矩形截面钢筋混凝土简支梁进行模拟分析。
梁单元类型采用ANSYS 中的6面体8节点单元。
在ANSYS 中需要输入的物理参数有弹性模量E 和泊松比μ，参考《混凝土结构设计规范》(GB50010--2002)规定的材料力学指标的标准值，查得相应的取值，对混凝土简支梁进行数值分析。
Hongnestad 的模型已经纳入CEB-FIP MC90等混凝土结构设计规范。
(2) Saenz 的模型表达式：2)2(1xx N Nxy +-+=在混凝土应力应变曲线上升段需要满足条件①②③⑦，显然Saenz 公式满足条件①⑦。
下面看是否满足②③。
上升段曲线对x 求一阶导数得：[]22)2(1x x N NxN y +-+-='容易得：N y y x x ='='==01,0，满足条件③。
Saenz 公式的sx E E N N y 00,=='=其值对于不同强度的混凝土是变化的。
曲线对x 求二阶导数：[][]3223)2(1)2(26)2(8)84(22x x N N N Nx x N N N N Nx y +-+------+=''则：2101840)2(2N N y N N y x x --=''--=''==因为sE E N 0=显然N>1且N 的值是变化的，对于Saenz 公式只有2≥N 时条件②才满足，所以只有当2≥N ，即混凝土的初始弹性模量和峰值割线模量的比值大于等于2时，采用Saenz 公式才是合适的。
当N 小于2时，Saenz 公式则不能成立。
实际应用中，当遇到这种情况时，总是强令N=2，这样处理显然是不合理的。
同时Saenz 公式不能反映强度等级低的混凝土峰值部分 比强度等级高的混凝土峰值部分更为扁平这一事实。
即不能满足特征⑧。
在工程应用中，Saenz 公式就可以作为FRP 约束混凝土应力应变的曲线模型，进行建模分析。
Saenz 基于Pantazopoulou 的研究成果，引入体积应变v ε。
l c l c v εεεεεεθ2+=++=式中，θεεε,,l c 分别为轴向应变、横向应变和环向应变，对于圆柱体，θεε=l ，规定压应变为正，拉应变或者膨胀应变为负。
将FRP 约束混凝土应力应变曲线分成3段：)0005.00(≤≤=c c c c E εεσ )00206.00005.0(sec ≤≤=c cc E εεσ)00206.0()00206.0(0,cc c c ct v c c E f εεεσ≤≤-+=式中，coc f E '=5700；0,v c f 为体积应变为0时的轴向应力； )00206.0()(0,--'=cc v c cc ct f f E ε。
在第二阶段约束混凝土轴向应变与横向应变的关系为()00206.00005.000156.00005.0000618.02.02≤≤⎪⎭⎫⎝⎛---=c c c l εεεε割线模量为βεA cE E +=11sec ，式中，A ε为面积应变，对于圆柱体，l A εε2=；β为割线模量软化率，310)44.114.3(-⨯+-=p μβ，其中p μ为极限 横向应变与轴向应变比值绝对值。
21Clecclu p K C -=-=εεμ 式中，21,C C 为参数，分别取6.21和0.63；rup f f lu ,εξε=；le K 为FRP ，侧向有效刚度，02c f f le f D E t K '=。
本模型先通过式21Clecclu p K C -=-=εεμ计算cc ε，再根据式c c E εσsec =计算ccf '。
上述模型是在FRP 约束混凝土应力应变关系双直线特征的基础上建立的分段式模型，它回避了FRP 约束力的变化过程，极大简化了计算过程，适用范围较广，但它的精度受峰值点或极限点应力、应变的计算影响较大，且没有明确的物理含义。
(3) 清华大学过镇海教授提出的模型过镇海教授提出的应力应变全曲线模型为两段式模型。
)1(1)1(10)2()23(232⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤-+-+=x xx x x x a x a ax y α式中，α,a 分别为使用年限t 的函数。
由公式中参数α,a 的物理意义可知：a 值小和α值大，则曲线陡，曲线下的面积小，表明此混凝土的塑性变形小，残余强度低，破坏过程急速， 材质较脆，接近于使用年限长的混凝土；反之，a 值大和α值小，则混凝土变形大，残余强度较高，破坏缓慢延性较好，适用于使用年限短的混凝土。
本着这样原则，将公式的混凝土应力应变曲线上升段、下降段与试验所测的不同使用年限的既有混凝土的应力应变全曲线上升段、下降段分别相比较，选取一个吻合程度最好的值，具体数值见表l 。
根据a 、α值与使用年限t 的关系，对其进行非线性拟合，可由下列公式确定：)2(6.193.0)46.261(-+=ea)3(75.007.11)76.131(-+=eα图1 参数a 与使用年限的关系 图2 参数α与使用年限的关系图1、图2表示参数a 、α试验值和理论计算值的比较，吻合程度较好。
这样，将a 值和α值直接代入式（1），就可以得到不同使用年限既有未碳化混凝土的应力应变曲线方程，如式（4）所示：)76.131()46.261(23275.007.11)4(6.193.01)1(10)2()23(--+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤≤-+-+=eea x x x x x x a x a ax y αα式中，t 为混凝土的使用年限。
图3 不同使用年限混凝土应力应变曲线试验值与计算值的比较同强度养护28d 的新混凝土和既有混凝土的试验平均应力应变曲线与按式（4）计算的理论曲线的比较如图3所示，试验曲线与理论曲线吻合得较好。
清华大学叶知满对掺F 矿粉或粉煤灰高强混凝土应力应变全曲线试验研究时，对下降段曲线采取的就是过镇海教授的模型。
xx d xy +-=2)1(式中，d x f y c c,,εεσ==——下降段参数，经统计可得d 与c f 关系式为（参图4） 24)1026.7(c f d -⨯=图4 下降段参数d 随c f 变化关系图5给出了理论方程与实测曲线的比较，可知理论方程与实测曲线吻合较好。
图5 理论曲线与实测曲线的比较3、结束语建立混凝土轴压应力应变全曲线的数学模型，首先要弄清楚应力应变全 曲线的几何特点，观察和分析实测应力应变全曲线，通过与典型试验曲线的比较，分析Hongnestad 公式、Saenz 公式和过镇海提出的公式在混凝土受压应力应变曲线上升段、下降段的适用范围，以及各自的拟合情况。
