直线与平面的夹角 学案带答案

六、学习后记
直线和平面所成的角学案答案
6
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
例 1：在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，试求直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角.
解：，由正方体的性质可知， DD1 平面ABCD ，
所以 BD1 在平面 ABCD 内的射影为 BD.
A．30°
B．60°
C．45°
D．90°
4．正方体，ABCD﹣A1B1C1D1 中，直线 A1B 与平面 A1ACC1 所成的角为（ ）
A．30
B．45
C．60°
D．900
5．在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1=AD=2AB．若 E，F 分别为线段 A1D1，CC1 的中点， 则直线 EF 与平面 ABB1A1 所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，直线 l 是平面 α 的斜线，AB⊥α，B 为垂足，如果 θ=45°，∠AOC=60°，
则∠BOC=（ ）
A．45°
B．30°
C．60°
D．15°
5．正四面体 ABCD 中，E、F 分别是棱 BC、AD 的中点，则直线 DE 与平面 BCF 所成角的正
弦值为（ ）
A．
B．
C．
所以
，
13Baidu Nhomakorabea
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
因此直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值
．
7．解：取 AC 的中点 E，连接 BE，C1E， ∵正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，∴BE⊥面 ACC1A1， ∴∠BC1E 就是 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角，
A
B
例 2. 如图取 AB 中点 E，连结 CE，由正三棱柱可知：CE⊥平面 AA1B1B.连结 EB1，
∴∠CB1E 就是 B1C 与平面 AA1B1B 所成的角
设棱长 AA1=1，设 <e1,e2>=60°， <e1,e3>=<e2,e3>=90°
，依题意，可得：|e1|=|e2|=|e3|,
7
解：过 A1 作 A1O C1O 交 AD1 于点 O，易知： A1O 截面ABC1D1 ，
所以 OC1 为直线 A1C1 在平面 ABC1D1 内的射影.
由直线和平面所成角的定义，所以
D1 A1
A1C1O 即为直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
O D
C1 B1
C
在 A1C1O 中，可知 A1C1O 30 .
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
直线与平面的夹角 学案
编制单位 临朐第二中学 编制人 谢文利 审核人 （董洪安） 编号
学习目标 ①理解掌握直线和平面所成的角定义
②初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤
重点难点
（1）直线和平面所成的角的定义的生成. （2）求直线和平面所成的角的方法步骤.
在 Rt△OAB，cos∠AOB=
=，
Rt△AOC 中，
Rt△OCB 中， ∴cos∠AOB•cos∠BOC=
=cos∠AOC
∴
∴∠BOC=45° 故选 A． 5．解：连接 EF，由 BF=CF，BD=CD 可得 FE⊥BC，DE⊥BC ∴∠FED 是线面所成角
设棱长 a，CD=a，ED=BF=CF= a
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伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
5．解：取 BB1 中点为 N，连接 FN，取 FN 中点为 M，连接 A1M，A1F 易得 EF∥A1M，EF=A1M ∵A1F 是 EF 在面 A1ABB1 上的投影∴∠MA1N 为所求的角令 AB=1， 在△MA1N 中，A1N= ，所以 A1M= ， 则 cos∠MA1N= 故选 A 6．解：过 P 作底面 ABC 的垂线，垂足为 O，连接 CO 并延长交 AB 于 E， 因为 P 为边长为 1 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA=PB=PC= ， 所以 O 是三角形 ABC 的中心 且∠PCO 就是 PC 与平面 ABC 所成的角， ∵CO= CE= × ×1= ． 且 PC= ，
.
向量法求斜线与平面所成的角 例 2、已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1，求直线 CB1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值。
跟踪训练：
2
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 在正四面体 ABCD 中，AD=1，求 AD 与平面 BCD 所成的角；
∴cos∠PCO= = = ； ∴∠PCO=30°． 即 PC 与平面 ABC 所成的角为 30°． 故选：A．
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伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
五、课后巩固
1．解：由题意，过 P 作与 a、α 所成的角都是 45°的射线形成两个圆锥 ∵直线 a 与平面 α 所成的角为 30° ∴两个圆锥的侧面相交，且交线：有 2 条 故选 A． 2．解：如图所示，设 VA=VB=VC=2a，AB=BC=AC=a， 因为是正三棱锥，所以顶点 P 的射影 0 为底面中心，也是重心， 所以∠VB0 即为侧棱与底面所成的角 B0= ， ∴cos∠VBO= = 故选 A．
三角形 BCF 是等腰三角形，则 EF= a 由余弦定理，cos∠FED=
则 SIN∠FED=
故选 B
6．解：由对称性点 C 在平面 AOB 内的射影 D 必在∠AOB 的平分线上
作 DE⊥OA 于 E，连接 CE 则由三垂线定理 CE⊥OE，
设 DE=1
，又∠COE=60°，CE⊥OE⇒OC=2，
3 ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=600， AA1 2 a ，求证：A1O⊥平面 ABCD。
3
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 三、小结反思（新宋体小 4 号)
四、当堂检测（新宋体小 4 号) 1、正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长相等，AC1 与面 BB1C1C 所成角的余弦值为（ ）
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 ∵
∴ 又∵
∴
，
∴
， ∴ 直线 CB1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值是 .
跟踪训练
在正四面体 ABCD 中，AD=1，(1)求 AD 与平面 BCD 所成的角；
解：(1)如图，因为四面体 ABCD 是正四面体，所以 A 在底面 BCD 的射
公式法求斜线与平面所成的角
例 3：如图，已知 AB 为平面 的一条斜线，B 为斜足， AO ，O 为垂足，BC 为 内的一条 直线， ABC 60, OBC 45 ，求斜线 AB 和平面 所成的角.
A
B
O
C
跟踪训练： 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面是边长为 a 的菱形，O 为菱形 ABCD 的中心，
D．
6．已知∠AOB=90°，C 为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线 OC 与平面 AOB 所成
角的正弦值为
7．在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为 1，则 BC1 与侧面 ACC1A1
所成的角是
．
8．如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱 AA1= ，M 为 A1B1 的中点，则 AM
cos ABO cos ABC cos 60 1 2 2 cos CBO cos 45 2 2 2 ，
所以 ABO 45 .
1B
2．
解：取 AD 中点 F，交 AC 于点 M，连接 MC，则 EF⊥AC，EF⊥A1A，得 EF⊥面 ACC1A1．
∴∠EC1M 就是直线 C1E 与平面 ACC1A1 所成角，
直线 l，则这样的直线 l 可作（ ）条．
A．2
B．3
C．4
D．无数
2．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，长方体的高 AA1=3，则 BC1 与对角面 BB1D1D 所成角的正弦值等于（ ）
O
A
1
B
2
C
二、典例剖析
（一）定义法求斜线与平面所成的角
1
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
例 1：在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，试求直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角.
D1 A1
C1 B1
D
D
A
C
C
B
跟踪训练：
在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
5 A、 4
10 B、 4
5 C、 2
10 D、 2
2．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，若 E 为棱 AB 的中点，则直线 C1E 与平面 ACC1A1 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，对角线 BD1=8，BD1 与侧面 BC1
所成的角为 30°，则 BD1 和底面 ABCD 所成的角为（ ）
3 解：连接 A1C1 交 B1D1 于点 O1，连接 BO1，易证 C1O1⊥平面 BB1D1D． 所以∠C1BO1 为 BC1 与对角面 BB1D1D 所成的角， 于是 sin∠C1BO1= ． 故选 C．
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伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
4．解：作 AC⊥OC，垂直为 C ∵AB⊥α，根据三垂线定理可得，OC⊥BC
影是底面三角形 BCD 的中心 O，延长 DO 交 BC 于 E，E 是 BC 的中点，∠ADE
就为 AD 与平面 BCD 所成的角 θ。
∴
，
又
，
8
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
∴
。∴
。
例三
解：由斜线和平面所成的角的定义可知， ABO 为 AB 和平面 所成的角.因为
与平面 AA1C1C 所成角的正切值为 ．
5
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 9．在四棱锥 P﹣ABCD 中，ABCD 为正方形，PA⊥平面 ABCD，若 PA=AB，则 PC 与面 PAB 所成角的余弦值为 ．
10．正四面体 ABCD 中，E、F 分别是 BC、AD 的中点，那么 EF 与平面 BCD 所成的角的大小 为．
（3）初步掌握公式 cos cos1 cos2 及公式的应用.
知识链接(新宋体 4 号)
1、直线和平面的位置关系有哪几种？
（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 2、平面的斜线及斜线在平面内的射影的定义：
（3）直线和平面相交
学习过程
一、课内探究
问题 1：平面的斜线和平面内的直线所成的最小角
问题 2：1、2、 三个角之间的关系.
设正方体棱长为 4，则 EM=2sin45°= ，
MC=AC﹣AM=
，
∴MC1=
，
tan∠EC1M=
，
故选 C．
9
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
3． 解：∵BD1 与侧面 BC1 所成的角为∠D1BC1，则∠D1BC1=30°． 又 BD=8，∴D1C1=4，∴BD=4 ．又 D1B 与底面 ABCD 所成的角为∠D1BD，
由直线和平面所成角的定义，
则 D1BD 为 BD1 与平面 ABCD 所成的角
2
在 Rt
D1BD
中，
tan
D 1
BD
2 ，所以
D1 A1
D
D
A
C1 B1
C
C
B
2 直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角为 arctan 2 .
跟踪训练：在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
从而 cos∠D1BD= = ，∴∠D1BD=45°．
故选 C 4．解：取 BC 的中点 O，连接 BO，OA1 由正方体的性质可得 BO⊥AC，BO⊥AA1 且 AA1∩AC=A ∴BO⊥平面 AA1C1C ∴∠BA1O 即为直线与平面所成的角 设正方体的棱长为 a，则
在 Rt△BOA1 中
=
∴∠BA1O=30° 故选 A．
A．
B．
C．
D．
6．设 P 是边长为 1 的正△ABC 所在平面外一点，且
的角为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4
，那么 PC 与平面 ABC 所成
伟人之所以伟大，是因为共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。
五、课后巩固
1．已知直线 a 与平面 α 所成的角为 30°，P 为空间一定点，过 P 作与 a、α 所成的角都是 45°的
，BE= ，