初中数学专题复习资料-----幂的运算性质

初中数学幂的性质有哪些幂是数学中的一种基本运算，具有多个重要的性质。

下面我将详细介绍幂的性质，包括指数、底数和幂之间的关系以及幂的运算规则：1. 幂的指数性质：-幂的零指数规则：对于任何非零数a，a^0 = 1。

任何数的0次幂都等于1。

-幂的一指数规则：对于任何数a，a^1 = a。

任何数的1次幂都等于它本身。

-幂的乘法规则：对于任何数a和正整数m、n，a^m × a^n = a^(m+n)。

相同底数的幂相乘，指数相加。

-幂的除法规则：对于任何数a和正整数m、n，a^m ÷ a^n = a^(m-n)。

相同底数的幂相除，指数相减。

-幂的幂运算规则：对于任何数a和正整数m、n，(a^m)^n = a^(m×n)。

幂的幂，底数不变，指数相乘。

-幂的负指数规则：对于任何非零数a和正整数n，a^(-n) = 1 / (a^n)。

底数的倒数自乘的次数等于指数的绝对值。

2. 幂的底数性质：-底数为0的幂：对于任何非零数a，0^n = 0，其中n为正整数。

任何非零数的0次幂都等于0。

-底数为1的幂：对于任何数a，1^n = 1，其中n为任意整数。

任何数的任意次幂都等于1。

-负数的幂：对于任何负数a和正整数n，a^n = (-a)^n × (-1)^n。

负数的幂可以转化为正数的幂和(-1)的幂的乘积。

3. 幂的运算规则：-幂的乘法规则：(a × b)^n = a^n × b^n，其中a、b为任意数，n为正整数。

底数的乘积的幂等于底数分别取幂的乘积。

-幂的除法规则：(a ÷ b)^n = a^n ÷ b^n，其中a、b为任意数且b≠0，n为正整数。

底数的商的幂等于底数分别取幂的商。

-幂的幂运算规则：(a^n)^m = a^(n×m)，其中a为任意数，n和m为正整数。

幂的幂，底数不变，指数相乘。

这些是幂的主要性质，它们对于解决数学问题和进行数学运算都具有重要的意义。

期末复习---幂的运算性质和整式的乘除一 知识要点：一）幂的运算性质1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．n m a a ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 2、幂的乘方，底数不变，指数相乘mn n m a a =)( （m 、n 为正整数）．3、积的乘方等于各因式分别乘方的积．再把所得的幂相乘。

（n 为正整数） 4、同底数幂的除法同底数幂相除法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减公式：a m ÷a n =a n m -（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）5、（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。

公式：a 0=1（2）任何不等于零的数的-p （p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

公式：a p -=pa 1 二）整式的乘法1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.【注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减】2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如：a (m+n+p)=a m+a n+a p .【注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号.本质是乘法分配律。

】3.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.(a +b)(m+n)=(a +b)m+(a +b)n=a m+bm+a n+bn .计算时是首先把(a +b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.【温馨提示】 1.在单项式(多项式)乘以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算．()n n n b a ab =2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．多项式与多项式相乘中，展开式的项数与两个多项式的项数的积相同，不要漏项．三）、整式的除法1.单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

初中幂的运算
初中数学中，幂是一个重要的概念。

幂的运算常常出现在数学中的各个领域，如代数、几何、概率等。

那么，什么是幂的运算，它有哪些性质呢？
定义：
幂运算是指将一个数（称为底数）乘以自身多次（称为指数）的运算。

在数学符号中，幂运算通常表示为：a^n。

性质：
1、相同底数的幂，指数相加。

a^m * a^n = a^(m+n)
2、幂的乘法，底数不变，指数相加。

(a^m)^n = a^(mn)
3、幂的除法，底数不变，指数相减。

a^m / a^n = a^(m-n)
4、两个幂的乘积，底数相同，指数相加。

a^m * b^m = (ab)^m
5、幂的乘积，底数不同，指数相同。

a^m * b^m = (a*b)^m
6、幂的倒数，幂的指数变为相反数。

(a^m)^(-1) = a^(-m)
以上是初中幂的运算的基本定义和性质，掌握这些知识，能够帮助我们更好地理解和应用幂运算。

幂的运算知识要点归纳及答案解析【要点概论】要点一、同底数幂的乘法特点+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一特点，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，算法更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭重点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，算法时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题解析】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅； （3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【标准答案与解析】 解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，算法时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体． 举一反三： 【变式】算法：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【标准答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-． （3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅ 【标准答案与解析】 解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、算法：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-． 【标准答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=． （3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知25mx=，求6155m x -的值．【标准答案与解析】 解：∵ 25mx=，∴ 62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=．【总结升华】（1）逆用幂的乘方法则：()()mnm n n m a a a ==．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【标准答案】 解：32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m，85=n，求328+m n的值．【标准答案】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题算法是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-． 【标准答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法特点1、算法：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ． 【标准答案与解析】解：（1）353519(2)(2)(2)(2)(2)b b b b b +++⋅+⋅+=+=+．（2）23235(2)(2)(2)[(2)](2)x y y x x y x y x y -⋅-=-⋅--=--． 【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：()()(),n n n a n a a n ⎧⎪-=⎨-⎪⎩为偶数,为奇数 ()()()()()nnnb a n a b b a n ⎧-⎪-=⎨--⎪⎩为偶数为奇数． 类型二、幂的乘方法则 2、算法：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-g ； （3）22412()()m m xx -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【标准答案与解析】解：（1）23[()]a b --236()()a b a b ⨯=--=--．（2）32235()()2y y y y +-⋅666662220y y y y y =+-=-=． （3）22412()()m m xx -+⋅4(22)2(1)8822106m m m m m x x x x x -+-+-=⋅=⋅=．（4）3234()()x x ⋅61218x xx =⋅=．【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行算法时要注意符号的算法及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式．3、已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【思路点拨】由于已知8,8mn的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把328+m n变成323288(8)(8)m n m n ⨯=⨯，再代入算法.【标准答案与解析】 解：因为3338(8)464===mm , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把8,8mn当成一个整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算特点，使运算更加方便、简洁. 举一反三： 【变式】已知322,3mm ab ==，则()()()36322mm m m a b a b b +-⋅＝ ．【标准答案】－5；提示：原式()()()()23223232m m m m ab a b =+-⋅∵∴ 原式＝23222323+-⨯＝－5.类型三、积的乘方法则4、算法：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅- 【思路点拨】利用积的乘方的运算特点进行算法. 【标准答案与解析】解：（1）24442448(2)(1)2()16xy x y x y -=-⋅⋅⋅=-． （2）24333[()]a a b -⋅-231293636274227()()()a a b a a ba b =-⋅-=-⋅-⋅=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 【标准答案】A ；提示：只有⑤正确；()3236928x yx y -=-；()326m maa -=-；()3618327aa =；()()57121351071035103.510⨯⨯⨯=⨯=⨯同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一特点. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n -（n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即1nna a -=（a ≠0，n 是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算特点仍然成立.m n m n a a a +=（m 、n 为整数，0a ≠）；()mm m ab a b =（m 为整数，0a ≠，0b ≠）()nm mn a a =（m 、n 为整数，0a ≠）.要点诠释：()0na a -≠是n a 的倒数，a 可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如()1122xy xy -=（0xy ≠），()()551a b a b -+=+（0a b +≠）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成10na ⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即10na -⨯的形式，其中n 是正整数，1||10a ≤<.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、算法：（1）83x x ÷；（2）3()a a -÷；（3）52(2)(2)xy xy ÷；（4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则算法．(2)、(4)两小题要注意符号． 【标准答案与解析】解：（1）83835x x xx -÷==．（2）3312()a a aa --÷=-=-．（3）5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===．（4）535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】（1）运用法则进行算法的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、算法下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷- （3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再算法，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0． 【标准答案与解析】解：（1）5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-．（2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=- （3）64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯．（4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行算法．3、已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【标准答案与解析】解： 121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======g g g ． 当32m=，34n=时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和算法，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】已知2552mm⨯=⨯，求m 的值． 【标准答案】解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵ 底数52不等于0和1， ∴ 15522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =． 类型二、负整数次幂的运算4、算法：（1）223-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）23131()()a b a b ab ---÷．【标准答案与解析】解：（1）222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===g g ．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】算法：4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭．【标准答案】解： 4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭ 45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+ 1151611732832=+++= 5、 已知1327m =，1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n m 的值＝________． 【标准答案与解析】解： ∵ 331133273m -===，∴ 3m =-． ∵ 122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，∴ 422n -=，4n =-． ∴ 4411(3)(3)81n m -=-==-． 【总结升华】先将127变形为底数为3的幂，122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4162=，然后确定m 、n 的值，最后代值求nm ．举一反三： 【变式】算法：（1）1232()a b c --；（2）3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭； 【标准答案】 解：（1）原式424626b a b c a c --==． （2）原式8236981212888b b c b cb c c---=⨯==． 类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数：（1）0.00001；（2）0.000000203；（3）-0.000135；（4）0.00067【标准答案与解析】解：（1）0.00001＝510-；（2）0.000000203＝72.0310-⨯；（3）-0.000135＝41.3510--⨯；（4）0.00067＝46.710-⨯.【总结升华】注意在10n a -⨯中n 的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】一.选择题1. ()()35c c -⋅-的值是( )．A. 8c -B. ()15c -C. 15cD.8c 2．2n n a a +⋅的值是( )．A. 3n a +B. ()2n n a +C. 22n a +D. 8a 3．下列算法正确的是( )．A.224x x x +=B.347x x x x ⋅⋅=C. 4416a a a ⋅=D.23a a a ⋅=4．下列各题中，算法结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×210＝310B. 1000×1010＝3010C. 100×310＝510D. 100×1000＝4105．下列算法正确的是( )．A.()33xy xy =B.()222455xy x y -=-C.()22439x x -=-D.()323628xy x y -=-6．若()391528m n a b a b =成立，则( )．A. m ＝6，n ＝12B. m ＝3，n ＝12C. m ＝3，n ＝5D. m ＝6，n ＝5二.填空题7. 若26,25m n ==，则2m n +＝____________．8. 若()319x a a a ⋅=，则x ＝_______．9. 已知35n a =，那么6n a =______．10．若38m a a a ⋅=，则m ＝______；若31381x +=，则x ＝______．11. ()322⎡⎤-=⎣⎦______； ()33n ⎡⎤-=⎣⎦ ______； ()523-＝______．12.若n 是正整数，且210n a =，则3222()8()n n a a --＝__________.三.解答题13. 判断下列算法的正误．（1）336x x x += ( ) （2） 325()y y -=- ( )（3）2224(2)2ab a b -=- （ ） （4） 224()xy xy = ( )14.（1） 3843()()x x x ⋅-⋅-； （2）2333221()()3a b a b -+-；（3）3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯； （4）()()3522b a a b --；（5）()()2363353a a a -+-⋅；15.（1）若3335n n x x x +⋅=，求n 的值．（2）若()3915n m a b b a b ⋅⋅=，求m 、n 的值．【标准答案与解析】一.选择练习题1. 【标准答案】D ；【解析】()()()()353588c c c c c +-⋅-=-=-=. 2. 【标准答案】C ；【解析】2222n n n n n a a a a ++++⋅==.3. 【标准答案】D ；【解析】2222x x x +=；348x x x x ⋅⋅=；448a a a ⋅=.4. 【标准答案】C ；【解析】100×210＝410；1000×1010＝1310；100×1000＝510.5. 【标准答案】D ；【解析】()333xy x y =；()2224525xy x y -=；()22439x x -=.6. 【标准答案】C ；【解析】()333915288,39,315m n m n a ba b a b m n ====，解得m ＝3，n ＝5. 二.填空题7. 【标准答案】30；【解析】2226530m n m n +==⨯=g .8. 【标准答案】6；【解析】3119,3119,6x a a x x +=+==.9. 【标准答案】25；【解析】()2632525n n a a ===. 10.【标准答案】5；1；【解析】338,38,5m m a a a a m m +⋅==+==；3143813,314,1x x x +==+==.11.【标准答案】64；9n -；103-；12.【标准答案】200；【解析】()()32322222()8()81000800200n n n n a a a a --=-=-=. 三.解答题13.【解析】解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×14.【解析】解：（1）3843241237()()x x x x x xx ⋅-⋅-=-⋅⋅=-； （2）233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+； （3）3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯；（4）()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--； （5）()()236331293125325272aa a a a a a -+-⋅=-⋅=-. 15.【解析】解：（1）∵3335n n x xx +⋅= ∴ 4335n x x +=∴4n ＋3＝35∴n ＝8（2）m ＝4，n ＝3解：∵()3915n m a b ba b ⋅⋅= ∴ 333333915n m n m a b b a b a b +⋅⋅=⋅=∴3n ＝9且3m ＋3＝15∴n ＝3且m ＝4就这么多了，祝大家思修不挂科！！！页眉设计。

幂的四种运算法则摘要：一、幂的定义与性质1.幂的定义2.幂的性质二、幂的运算法则1.幂的乘方2.幂的除法3.幂的加法4.幂的减法三、实际应用与例子1.幂在实际生活中的应用2.幂的运算例子四、总结与展望1.总结幂的四种运算法则2.展望幂的进一步研究正文：幂的四种运算法则广泛应用于数学、物理、化学等领域，掌握这些运算法则对于解决实际问题具有重要的意义。

一、幂的定义与性质幂是指将一个数连乘若干次，其中乘方的指数表示连乘的次数。

例如，2的3 次方（2）表示将2 连乘3 次，即2×2×2=8。

幂的性质包括：幂的乘方、幂的除法、幂的加法和幂的减法等。

二、幂的运算法则1.幂的乘方：幂的乘方是指将一个幂与另一个幂相乘，例如，a 的m 次方与a 的n 次方相乘，结果为a 的m+n 次方。

如：2 × 2 = 2。

2.幂的除法：幂的除法是指将一个幂除以另一个幂，例如，a 的m 次方除以a 的n 次方，结果为a 的m-n 次方。

如：2 ÷ 2 = 2。

3.幂的加法：幂的加法是指将两个同底数的幂相加，例如，a 的m 次方与a 的n 次方相加，结果为a 的m+n 次方。

如：2 + 2 = 2。

4.幂的减法：幂的减法是指将两个同底数的幂相减，例如，a 的m 次方与a 的n 次方相减，结果为a 的m-n 次方。

如：2 - 2 = 2。

三、实际应用与例子幂在实际生活中有广泛的应用，如计算机科学中的二进制运算、物理学中的量子力学、化学中的化学反应等。

例如，在计算机科学中，二进制数的幂运算可以用于实现加密和解密算法。

在物理学中，量子力学中的波函数和薛定谔方程都涉及幂运算。

以下是一些幂运算的例子：1.计算2 的5 次方：2 = 2×2×2×2×2 = 32。

2.计算2 的3 次方除以2 的2 次方：2 ÷ 2 = 2×2×2 ÷ 2×2 = 2。

欢迎共阅第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂的乘法数
数，负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负正数的任何次幂都是正逆运算：
是正整数相加。

即法则：底数不变，指数a a a a a a m n m n m m n n
n )
,m (知识点二：幂的乘方与积的乘方
1、幂的乘方)
()()
,(a a a a m n m m n
mn mn n 逆运算：是正整数即底数不变，指数相乘。

2、积的乘方(ab)
(ab)n n n n n n )
(,b a b a n 逆运算；是正整数再把所得的幂相乘。

即
把每一个因式分别乘方知识点三：同底数幂的除法
同底数幂的除法m
nm a n m n m a a a a a a n 10101095-5n -0n -m n m 1)
0010(02.50000502.0)
1-10(96.6696000)
,
0a (110)0a (1),,,0a (的个数数字前第一个非的负几次方原数字个数的几次方科学记数法是正整数定负整指数幂的意义：规的数的零次幂都等于。

即任何不等于零指数幂的意义：规定是正整数变，指数相减。

即同底数幂相除，底数不。

七年级下册数学幂的运算一、幂的运算知识点。

1. 同底数幂的乘法。

- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即a^m· a^n = a^m + n（a≠0，m、n为整数）。

- 例如：2^3×2^4 = 2^3 + 4=2^7 = 128。

- 推导：a^m表示m个a相乘，a^n表示n个a相乘，那么a^m· a^n就是(m + n)个a相乘，所以结果为a^m + n。

2. 幂的乘方。

- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

即(a^m)^n=a^mn（a≠0，m、n为整数）。

- 例如：(3^2)^3 = 3^2×3=3^6 = 729。

- 推导：(a^m)^n表示n个a^m相乘，a^m中有m个a相乘，那么n个a^m相乘就有mn个a相乘，所以结果为a^mn。

3. 积的乘方。

- 法则：积的乘方等于乘方的积。

即(ab)^n=a^n b^n（a≠0，b≠0，n为整数）。

- 例如：(2×3)^2 = 2^2×3^2=4×9 = 36。

- 推导：(ab)^n=⏟(ab)×(ab)×·s×(ab)_n个(ab)=⏟(a× a×·s× a)_n个a×⏟(b× b×·s×b)_n个b=a^n b^n。

4. 同底数幂的除法。

- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

即a^m÷ a^n = a^m - n（a≠0，m、n为整数且m>n）。

- 例如：5^5÷5^3 = 5^5 - 3=5^2 = 25。

- 特殊情况：当m = n时，a^m÷ a^n=a^m - n=a^0，规定a^0 = 1(a≠0)；当m < n时，a^m÷ a^n=(1)/(a^n - m)。

二、典型例题。

1、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：2、幂的乘方：3、积的乘方：4、同底数幂的除法：2、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：2、负整数指数幂：七年级数学（下）第一章《整式的运算》一、 知识点：3、同底数幂的乘法（1）()()=-⨯-6533 （2）=⋅+12m m b b4、幂的乘方填空：（1）()232＝ （2）()=55b （3）()=-312n x5、积的乘方填空：（1）()=23x （2）()=-32b （3）421⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy ＝6、同底数幂相除，=0a ，=-p a （是正整数p a ,0≠）填空：（1）=÷47a a （2）()()=-÷-36x x （3）()()=÷xy xy 42、同底数幂的乘法1. 111010m n +-⨯=________,456(6)-⨯-=______.2. 25()()x y x y ++=_________________.3. 31010010100100100100001010⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=___________.4. 若1216x +=,则x=________.5. 若34m a a a =,则m=________;若416a x x x =,则a=__________;若2345y xx x x x x =,则y=______;若25()x a a a -=,则x=_______.6. 若2,5m n a a ==,则m n a +=________.7. 下面计算正确的是( )A ．326b b b =；B ．336x x x +=；C ．426a a a +=；D ．56mm m =8. 81×27可记为( )A.39;B.73;C.63;D.12310. 计算19992000(2)(2)-+-等于( )A.39992-;B.-2;C.19992-;D.199923、幂的乘方与积的乘方1. 计算 221()3ab c - 23()n a a ⋅ 5237()()p q p q ⎡⎤⎡⎤+⋅+⎣⎦⎣⎦23222(3)()a a a +⋅ 221()()n n x y xy -⋅ 2.1001001()(3)3⨯- =_________ ， 若2,3nn x y ==,则()n xy =_______,3.若a 为有理数,则32()a 的值为( )A.有理数B.正数C.零或负数D.正数或零4.若33()0ab <,则a 与b 的关系是( )A.异号B.同号C.都不为零D.关系不确定5.计算82332()()[()]p p p -⋅-⋅-的结果是（ ）6.44x y ⨯= ( )4、同底数幂的除法1.计算52()()x x -÷-=_______,10234x x x x ÷÷÷ =______.2.水的质量0.000204kg,用科学记数法表示为__________.3.若0(2)x -有意义,则x_________.4.计算 02(3)(0.2)π--+- 2324[()()]()m n m n m n -⋅-÷-5.若5x-3y-2=0,则531010x y ÷=_________.6.如果3,9m n a a ==,则32m n a -=________.《幂的运算》提高练习题1、计算（﹣2）100+（﹣2）99所得的结果是（ ）4、a 与b 互为相反数，且都不等于0，n 为正整数，则下列各组中一定互为相反数的是（） A 、a n 与b n B 、a 2n 与b 2n C 、a 2n+1与b 2n+1 D 、a 2n ﹣1与﹣b 2n ﹣15、下列等式中正确的个数是（ ）①a 5+a 5=a 10；②（﹣a ）6•（﹣a ）3•a=a 10；③﹣a 4•（﹣a ）5=a 20；④25+25=26．A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个8、已知3x （x n +5）=3x n+1+45，求x 的值．9、若1+2+3+…+n=a，求代数式（x n y ）（x n ﹣1y 2）（x n ﹣2y 3）…（x 2y n ﹣1）（xy n ）的值．10、已知2x+5y=3，求4x •32y 的值． 11、已知25m •2•10n =57•24，求m 、n ．12、已知a x =5，a x+y =25，求a x +a y 的值． 13、若x m+2n =16，x n =2，求x m+n 的值．14、已知10a =3，10β=5，10γ=7，试把105写成底数是10的幂的形式 _________ ．15、比较下列一组数的大小．8131，2741，96116、如果a 2+a=0（a≠0），求a 2005+a 2004+12的值．17、已知9n+1﹣32n =72，求n 的值． 18、若（a n b m b ）3=a 9b 15，求2m+n 的值．21、已知：2x =4y+1，27y =3x ﹣1，求x ﹣y 的值．22、计算：（a ﹣b ）m+3•（b ﹣a ）2•（a ﹣b ）m •（b ﹣a ）523、若（a m+1b n+2）（a 2n ﹣1b 2n ）=a 5b 3，则求m+n 的值．24、用简便方法计算：（1）（2）2×42 （2）（﹣0.25）12×412（3）0.52×25×0.125 （4）[（）2]3×（23）3一、同底数幂的乘法83a a a a m =∙∙,则m= 7、－t 3·(－t)4·(－t)58、已知n 是大于1的自然数,则()c -1-n ()1+-∙n c 等于 ( )8、.若53-k =1，则k= 。

八年级幂的运算知识点在八年级数学中，幂的运算是一个非常重要的知识点。

掌握了幂的运算，可以更好地理解和解决数学题目，为高中数学打下坚实的基础。

那么，幂数学在八年级具体有哪些内容呢？下面就来一一讲解。

一、幂的定义和简单运算幂是指一个数的几次方，比如$a^2$就是a的平方，表示为a×a。

幂具有以下运算法则：1.同底数幂相乘规则：两个数的底数相同，指数相加，即$a^m×a^n=a^{m+n}$。

2.同底数幂相除规则：两个数的底数相同，指数相减，即$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$。

3.幂的乘方规则：一个数的幂的幂，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{m×n}$。

4.负指数的意义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，即分母是$a^n$，分子为1的分数。

二、零数幂和整数幂1.零数幂的概念：$0^n=0$（n≠0），因为任意数乘以0都等于0，所以0的n次方都等于0。

2.整数幂的概念：正整数幂是指将正整数作为底数所得到的幂；负整数幂是指将负整数作为底数所得到的幂。

正整数的n次方表示为$a^n$，负整数的n次方表示为$(-a)^n$。

对于负整数，以下四条规律需要注意：（1）奇数次方的负数结果为负数，如$(-5)^3=-125$。

（2）偶数次方的负数结果为正数，如$(-6)^4=1296$。

（3）负数的奇次方与其相反数的奇次方相反，如$(-3)^3=-27$，$3^3=27$，$-3^3=-27$。

（4）负数的偶次方与其相反数的偶次方相等，如$(-2)^4=16$，$2^4=16$。

三、小数幂小数幂是指将小数作为底数的幂，如$0.5^3=0.125$。

小数幂的计算方法与整数幂的计算规律相同。

四、分数幂分数幂是指将分数作为底数的幂，如$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$。

分数幂的计算方法需要使用根式，将分数幂转化为根的形式，如$(\frac{1}{2})^3=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1 }{2}$。

（完整word版）初中数学专题复习资料-----幂的运算性质初中数学专题复习资料-----幂的运算性质【知识梳理】1、知识结构2、知识要点（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 nm nma a a +=?←→a m+n=a m·a n（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()mn nma a =←→a mn =(a m )n=(a n )m（3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即()nn nb a ab =←→a n b n=(ab)n（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 nm n m a a a -=÷←→a m-n=a m÷a n （a ≠0）（5）零指数和负指数：规定10=a ，ppa a1=-（其中a ≠0，p 为正整数）（其中，m 、n 均为整数） 3、中考预测对于幂的运算性质的考查，在中考中多以选择题和填空题出现，以考查对该性质的掌握，题目侧重于基础知识的掌握和运用，以及对该性质的理解，题目不会很难，但是会有一定的综合性，应准确把握和理解幂的运算性质，防止混淆。

（一）同底数幂的乘法【解题讲解-------基础训练】【例1】 1、（－12）2×（－12）3= 。

2、（－b ）2·（－b ）4·（-b)= ，（m+n ）5·（n+m ）8= 。

3、a 16可以写成（） A ．a 8+a 8； B ．a 8·a 2； C ．a 8·a 8； D ．a 4·a 4。

4、下列计算正确的是（） A ．b 4·b 2=b 8B ．x 3+x 2=x 6C ．a 4+a 2=a 6D ．m 3·m =m 4【解题讲解-------能力提升】【例2】1、下面的计算错误的是（）A ．x 4·x 3=x 7B ．（－c ）3·（－c ）5=c 8C ．2×210=211D ．a 5·a 5=2a 102、x2m+2可写成（） A ．2xm+2Bx 2m +x2C ．x 2·xm+1D ．x 2m ·x 23、若x ，y 为正整数，且2x·2y=25，则x ，y 的值有（）对。

七年级下册数学幂运算知识点讲解数学是一门具有挑战和启发性的学科。

作为一名初中生，了解和掌握幂运算是十分重要的。

在这篇文章里，我们将详细介绍七年级下册数学幂运算的知识点，以便可以更好地理解和掌握这方面的基础知识。

一、幂的定义幂运算，简单地说就是同一个自然数相乘的运算。

数学中，幂表示一个数字或是变量的次方。

也就是说，“幂”是一个数的指数，可以表示成X^N，其中X是底数，N是幂。

例如：X²表示X的平方，X³表示X的立方。

在这里，需要注意一点：我们通常使用X^N这种形式来表示一个数X的N次幂。

这里，幂是一个指数，它告诉我们计算的是多少个X的乘积，X^N的结果就是将X连乘N次得到的值。

二、幂运算的性质了解幂运算的性质，有助于我们更好地掌握计算方法。

以下是几个值得注意的幂运算的性质：1、乘方的交换律：a^b×a^c=a^(b+c)或者a^b×a^c=(a^b)^c。

2、乘方的结合律：(a×b)^c=a^c×b^c3、除法的定义：a^b/a^c=a^(b-c)或者a^b/(a^c)=(a^(b-c))4、幂的乘积：a^b∙c^b=(a∙c)^b5、乘方的倒数：a^(-b)=1/a^b，其中a≠0。

三、幂运算的计算学习数学，当然要重视计算方法。

接下来，我们将介绍一些求幂的简单计算方法：1、相同底数的乘方：如果底数相同，幂相加。

例如：3^2×3^4=3^(2+4)=3^62、不同底数，幂相同：如果幂相同，底数相乘。

例如：2^3×3^3=(2×3)^3=6^33、底数不同，幂不同：根据指数运算法则化简。

例如：5^6×(2/5)^6=(5×2/5)^6=2^6=64四、幂运算的应用幂运算在数学中的应用十分广泛。

无论是几何还是代数，自然科学还是社会科学，都离不开幂运算。

在这里，我们列举一些常见的应用案例，大家可以自行探索：1、幂运算在计量学中的应用2、幂运算在图表中的应用3、幂运算在物理学中的应用4、幂运算在流体动力学中的应用5、幂运算在传输技术中的应用总之，幂运算是数学中十分基础和重要的一部分。

第11讲 幂的运算考点·方法·破译幂的运算性质（其中m 、n 、p 都为正整数）：1．m n m n a a a+⋅= 2．()m n mn a a= 3．()n n n ab a b =4．m n m n a a a-÷= 5．011(0)(0)p p a a a a a-=≠=≠， 经典·考题·赏析【例1】下列算式，正确的个数是（ ）①3412a a a ⋅=②5510a a a += ③336()a a = ④236(2)6a a -- A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解法指导】①同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果应为7a ；②合并同类项，结果为52a ；③幂的乘方，底数不变，指数相乘，即过位9a ；④积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，结果为68a -，故选A【变式题组】01.计算212()()n n c c+⋅的结果是( ) A ．42n c +B ．44n c +C ．22n c +D ．34n c + 02．计算100101(2)(2)-+-＝_______________ 03．如果3915()n m a b b a b ⋅=，则m ＝_________，n ＝____________04．计算2323()()()n n x y x y +-⋅-＝_______________【例２】若2n+12448n +=，求n 的值.【解法指导】将等式的左右两边变形为同底数幂的形式.解：∵2n+12448n +=，∴2n+122248n +=，22222232n n n ⋅+=⋅，243232n ⋅=⋅，∴24,2n n ==【变式题组】01．若24m =，216n=，求22m n +的值02．若35n x=，求代数式2332(2)4()n n x x -+的值03．若3m x =，6n x =，则32m n x-＝________.04．已知33m a=，32n b =，求233242()()m n m n m n a b a b a b +-⋅⋅⋅的值05．已知232122192m m ++-=，求m 的值【例３】（希望杯）552a =-，443b =-，335c =-，226d =-，那么a 、b 、c 、d 的大小关系为（ ）A ．a >b >c >dB ．a >b >d >cC ．b >a >c >dD ．a >d >b >c 【解法指导】逆用幂的乘方公式()mn m n aa =，将a 、b 、c 、d 变为指数相同的幂的形式. 解：∵55511112(2)32a =-=-=-，44411113(3)81b =-=-=-，33311115(5)125c =-=-=-，22211116(6)36d =-=-=-，∴a >d >b >c.故选D【变式题组】01．已知3181a =，4127b =，619c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a >b >cB ．a >c >bC ．a <b <cD ．b >c >a 02．已知503a =，404b =，305c =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a <b <c B ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 【例4】求满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数【解法指导】将左右两边变成指数相同的幂的形式解：∵200300(1)3x -> ∴21003100[(1)](3)x ->∴2(1)27x -> ∵x 为正整数∴1x -> 1x >∴x 的最小正整数为7【变式题组】01．求满足2003005n ＜的最大整数值n.02．如果x 、y 是正整数，且2232x y ⋅=，求满足条件的整数x 、y03．求满足22(1)1n n n +--=的整数n.演练巩固 反馈提高01．（无锡）下列运算正确的是（ ）A ．3412x x ⋅=B ．623(6)(2)3x x x -÷-=C ．23a a a -=-D ．236(2)6x x -=-02．（泰州）下列各式计算正确的是（ ）A ．23523a a a +=B ．235(2)6b b =C ．2(3)()3xy xy xy÷= D ．56236x x x ⋅=03．当n 为正整数时，221()n x +-等于（ ）A ．42n x +-B ．41n x +-C ．41n x +D ．42n x +04．计算3224()a a a +⋅的结果为（ ）A ． 92aB ．62aC ．68a a +D ．12a 05．下列命题中，正确的个数是（ ）（１）m 为正奇数时，一定有等式(4)4m m -=-（２）等式(2)2m m-=，无论m 为何值时都不成立 （３）三个等式：236326236()()[))]a a a a a a -=-=--=，，（（都不成立； （４）两个等式：3434(2)2m m m m x y xy -=-，3434(2)2n n n n x y x y -=-都不一定成立. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 06．下列各题中，计算正确的是（） A ．322366()()m n m n --=B ．322331818[()()]m n m n --=-C ．2222398()()m n mn m n --=-D ．232399()()m n mn m n --=-07．已知22|2||238|0y x x x y x y y x -+-+=⋅-⋅，则＝_______________08．32125a a x x xx +⋅⋅=，则关于y 的方程ay ＝a ＋14的解是________________ 09．在555511(2)(3)()()23----，，，中，最大的数是_________________10．一块长方形草坪的长是1m a -米，宽是3m a+米（m 、n 均为大于1的正整数），则该长方形草坪的面积是______________2米.11．计算 ⑴2001100021()(2)34-⋅＝_______________ ⑵200120022003113(1)(1)()345⋅-⋅-＝____________________ 12．计算⑴122n n y yy y +⋅-⋅⑵4344()()2()()x x x x x x x -+⋅-+⋅---⋅⑶4224223322()()()()()()x x x x x x x x +-⋅--⋅-⋅-⑷232223()7()()()x y x x y -+⋅-⋅-13．若2(32)|235|0a b a b ++++=，化简：2322231()()()a a ax y bxy x y z a⋅-⋅14．已知n 是正整数，216n x=，求322211()()1616n n x x -的值15．已知a 、b 、c 为自然数，且227371998a b c ⋅⋅=，求2010()a b c --的值培优升级 奥赛检测01．（江苏竞赛）若1122222n n n n x y +--=+=+，，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ） A ．x ＝4y B ．y ＝4xC ．x ＝12yD ．y ＝12x 02．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +- C ．78 D ．7403．化简2231424m m m ++--＝__________________ 04．15825⨯的位数为_____________________05．2001200220033713⨯⨯所得积的末位数字是____________________06．若3436x y ==，，求2927x y x y --+的值07．是否存在整数a 、b 、c 满足91016()()()28915a b c ⋅⋅=？若存在，求出a 、b 、c 的值；若不存在，说明理由.08．如果整数x 、y 、z 满足10981()()()271615256x y z ⋅⋅=，求()x y x y z ---的值09．已知311n m +能被10整除，求证：42311n m +++也能被10整除10．设a 、b 、c 、d 都是非零自然数，且543219a b d c a ==-=，c ，，求d b -的值11．（江苏竞赛）已知k 、x 、y 、z 是整数，且k >x >y >z ，若k 、x 、y 、z 满足方程16(2222)330k x y z +++=，求k 的值。

幂的运算法则与性质是数学中的重要基础知识之一。

熟练掌握和应用幂的运算有助于更轻松地解决实际问题、加强公式应用能力和进一步发展解题思路与方式等，其在代数、几何、三角函数等领域都有着广泛的应用。

以下是对幂的运算法则与性质的详细探讨。

一、幂的定义与性质幂的定义表示一个数自乘若干次的运算，记作a^n，其中a为底数，n为指数。

根据定义，可以得到幂的一些基本性质：1. 任何非零数的0次幂都等于1，即a^0=1（a≠0）。

2. 当底数相同时，幂的乘法可以转化为指数的加法，即a^m*a^n=a^(m+n)。

3. 当底数相同时，幂的除法可以转化为指数的减法，即a^m/a^n=a^(m-n)（a≠0）。

4. 幂的乘方，即(a^m)^n=a^(m*n)。

二、幂的运算法则幂的运算法则主要包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方以及商的乘方等。

1. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

用公式表示为a^m*a^n=a^(m+n)。

这个法则在实际运算中非常常用，可以用于将同底数的不同指数相乘转化为一个同底数的简单形式。

2. 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。

用公式表示为a^m/a^n=a^(m-n)（a≠0）。

这个法则在解决幂的除法问题时非常有用，可以将复杂的除法问题转化为简单的减法问题。

3. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

用公式表示为(a^m)^n=a^(m*n)。

这个法则在处理复合幂的问题时非常有用，可以将一个幂的幂转化为一个更简单的幂形式。

4. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

用公式表示为(ab)^n=a^n*b^n。

这个法则在解决多个因数的幂的问题时非常有用，可以将多个因数的幂转化为每个因数单独幂的乘积。

5. 商的乘方法则：商的乘方，等于把被除数和除数分别乘方，再把所得的幂相除。

用公式表示为(a/b)^n=a^n/b^n（b≠0）。

七年级下幂知识点幂是初中数学中非常重要的概念，它在各个年级中都有不同程度的涉及。

在七年级下册中，幂作为一个重要的知识点，值得我们认真学习和掌握。

一、幂的概念幂指的是同一数的连乘积。

其中，同一的数称为“底数”，连乘的次数称为“指数”。

幂的表示方法是“a的n次幂”，即aⁿ。

其中a 称为底数，n称为指数。

二、幂运算的基本性质1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

例如，a² × a³ = a⁵。

2.同底数幂相除，底数不变，指数相减。

例如，a⁵ ÷ a³ = a²。

3.幂的乘方，底数不变，指数相乘。

例如，(a²)³ = a⁶。

4.幂的除法，底数不变，指数相除。

例如，a⁷ ÷ a² = a⁵。

三、幂的应用1.幂在数学中的应用幂在数学中有着非常重要的应用。

例如，在几何中，我们可以通过计算幂来求出各种图形的面积或者体积。

在代数中，我们可以通过幂来求解各种方程。

在实际生活中，幂还有着广泛的应用——例如，电压、电流、功率等等。

2.幂在计算机中的应用计算机科学中，幂同样也有着重要的应用。

例如，在计算机程序中，我们可以通过使用幂运算符“**”来计算幂。

四、幂的习题1.计算下式的值：(2² × 3³) ÷ (2³ × 3²).解析：把底数相同的幂合并，得到：2⁻¹ × 3。

2.化简下面的幂：a⁵ × a⁶.解析：底数相同的幂相乘，指数相加，可得到a¹¹。

3.求解a² = 81的解。

解析：可以通过计算得知，81 = 3⁴。

因此，原式可以变形为a²= 3⁴，进而得到a = 3²或者a = -3²。

因此，方程的解为a = ±9。

总结：通过本文的学习，我们了解了幂的概念、幂运算的基本性质，并掌握了幂在数学、计算机科学、实际生活中的应用。

七年级幂的知识点幂，是我们学习数学中一个非常基础而重要的概念。

在小学，我们曾经了解过乘方的概念，而在七年级学习中，我们开始学习更为深入的幂的知识。

本文将与大家一同回顾七年级幂数的定义、性质、运算法则以及应用等知识点。

一、幂的定义在数学中，幂是指某个数自己乘以自己多次的运算。

比如 2 的3 次方，表示为 2³，即 2×2×2=8。

其中，2 被称为底数，3 被称为指数。

我们可以用如下的式子来表示：aⁿ=a×a×a×a×……×a（n 个 a 相乘）其中，a 表示底数，n 表示指数，aⁿ 表示 n 个 a 相乘的结果。

当 n = 0 时，a⁰恒等于 1，不论 a 的值为多少。

二、幂的性质幂具有多种性质，下面仅列举其中的几种：1. 幂的指数为正整数时，底数越大，幂的结果越大。

例如，当 a > 1 时，a² > a¹。

2. 幂的指数为负整数时，底数越小，幂的结果越大。

例如，当 0 < a < 1 时，a⁻³ > a⁻²。

3. 幂的指数为 0 时，任何底数的幂都等于 1。

例如，当 n = 0 时，a⁰ = 1。

4. 幂的指数相加时，相当于底数相乘。

例如，a²×a³ = a⁵。

5. 幂的指数相减时，相当于底数相除。

三、幂的运算法则在学习幂数时，我们需要了解幂的基本运算法则，即：1. 幂的乘法法则：当两个底数相同时，幂的乘法可以简化为底数不变，指数相加。

例如，2³×2⁴ = 2⁷。

2. 幂的除法法则：当两个底数相同时，幂的除法可以简化为底数不变，指数相减。

例如， 2⁷/2³ = 2⁴。

3. 幂的乘方法则：当幂的指数再次幂运算时，可以简化为底数不变，指数相乘。

4. 幂的倒数法则：根据幂的定义，当底数为非 0 实数时，幂的倒数为：a⁻ⁿ=1/aⁿ。

名师总结优秀知识点幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质a m a n a m n(其中m, n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（ 1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（ 2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m a n a p a m n p（m, n,p 都是正整数）.（ 3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即a m n a m a n（m, n都是正整数）.要点二、幂的乘方法则( a m )n a mn(其中m, n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：((a m )n ) p a mnp(a 0，m, n, p均为正整数)（ 2）逆用公式：a mn a mna nm，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题 .要点三、积的乘方法则( ab) n a n b n(其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：(abc)n a n b n c n(n 为正整数).（ 2）逆用公式：a n b n ab n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计1010算更简便 . 如：121012 1.22要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时, 指数才可以相加 . 指数为 1，计算时不要遗漏 .（ 3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式( 特别是系数 ) 都要分别乘方 .（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）4243 44；（2） 2a3 a4a5a22a6 a ；（3）( x y)n(x y)n 1(x y)m 1(x y)2 n 1 ( x y)m 1．【答案与解析】解：（ 1）原式423449．（ 2）原式2a3 4a522a6 12a7a72a7a7．（ 3）原式( x y) n n1 m 1( x y)2 n 1 m 1( x y) 2n m( x y)2 n m2( x y) 2n m．【总结升华】（ 2）（ 3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的指数是1．在第（ 3）小题中把x y 看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）35( 3)3( 3)2；（2）x p(x) 2 p(x) 2 p1（ p 为正整数）；（3）32(2) 2n(2) （ n 为正整数）．【答案】解：（ 1）原式35(3)33235333235 32310．（2）原式x p x2 p(x2 p 1 )x p 2 p 2 p1x5 p 1 ．（3）原式2522n(2)252 n 1262n ．名师总结优秀知识点2、已知2x 220 ，求2x的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2x 22x 22【答案与解析】解：由 2x 220 得 2x2220 ．∴2x 5 ．【总结升华】（ 1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（ 2）同底数幂的乘法法则的逆运用：a m n a m a n．类型二、幂的乘方法则3、计算：（ 1）(a m)2；（ 2）[(m) 3 ]4；（3） (a3 m) 2．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（ 1）题中的底数是a，（ 2）题中的底数是m ，（3）题中的底数 a 的指数是3m ，乘方以后的指数应是 2(3 m) 6 2m ．【答案与解析】解：（ 1）( a m)2a2 m．（2）[(m)3 ] 4(m)12m12．（ 3）(a3 m)2a2(3m)a6 2 m ．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆. 幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知x2 m5，求1 x6m 5 的值．5【答案与解析】解：∵x2m 5 ，∴ 1 x6m51 (x55【总结升华】（ 1）逆用幂的乘方法则：a 举一反三：2m)35135 ．2055mn( a m) n(a n ) m．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．【变式 1】已知x a 2 ， x b 3 ．求 x3a2b 的值．【答案】解：x3a 2b x3a x2b( x a )3( x b )223 3289 72．【变式 2】已知8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【答案】解：因为 83m(8m )34364 ,82n(8n )25225 .所以83m 2 n83 m82 n6425 1600 .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）(ab)2ab2；（ 2）(4ab)364a3b3；（ 3）( 3x3)29x6．【答案与解析】解：（ 1）错，这是积的乘方，应为：(ab)2a2b2．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：( 3x3)29 x6．【总结升华】（ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1) (b2)3 (b 2)5(b 2) ；名师总结 优秀知识点(2) ( x 2y)2(2 y x)3 ．【答案与解析】解：（ 1） (b 2)3(b 2) 5 (b 2) (b 2) 3 5 1(b 2)9 ．（ 2） ( x 2y)2 (2 y x)3 ( x 2 y)2 [ (x 2 y)3 ]( x 2 y) 5 ．【总结升华】（ 1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：( a) na n (n 为偶数 ),(a b) n(b a )n n(为偶数 )(b ．a n (n 为奇数 ),a) n ( n 为奇数 )类型二、幂的乘方法则2、计算：b)2 ]3 ；（ 1） [(a（ 2） ( y 3 )2 ( y 2 )3 2y y 5 ；（ 3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 ；（ 4） (x 3 ) 2 ( x 3 )4 ．【答案与解析】解：（ 1） [( a b)2 ] 3( a b)2 3 ( a b)6 ．（2） ( y 3 )2 ( y 2 )32 y y 5y 6 y 6 2 y 62 y 6 2 y 60 ．（3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 x 4(2 m 2) x 2( m 1) x 8m 8 x 2m 2x 10m 6 ．（4） ( x 3 )2 ( x 3 )4 x 6 x 12 x 18 ．【总结升华】 （ 1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（ 2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式． 3、已知 8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【思路点拨】 由于已知 8m, 8n的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把入计算 .【答案与解析】 解：因为 83m(8m )3 4364 ,82n(8n )2 52 25 .所以 83m 2 n 83 m 82 n 64 25 1600 . 【总结升华】 运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知 a 3 m2, b2m3，则 a2 m 3b m 6a 2b 3m b m＝【答案】 － 5；提示：原式a 3 m 2b 2m 3a 3 m2b 2 m2∵∴ 原式＝ 2233 22 32 ＝－ 5.类型三、积的乘方法则4、计算：24（ 2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3] 3（ 1） (2 xy )83m 2 n 变成 83m 82 n (8m ) 3 (8n )2 ，再代. 把 8m , 8n 当成一个整体问题就会迎刃而解.．【思路点拨】 利用积的乘方的运算性质进行计算 .【答案与解析】解：（ 1） (2 xy 2 )4(1)24 x 4 ( y 2 )4 16x 4 y 8 ．（2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3 ]3 (a 2 )3 ( a 12b 9 )3 a 6 ( a 36 ) b 27 a 42b 27 ．【总结升华】 （ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．① 2x 2y3 36x 6 y9②a 2 m3a6 m③ 3a 633a 9④ 51057 107 35 1035⑤0.51000.5 2 10021012名师总结优秀知识点A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】 A；提示：只有⑤正确；2x2 y3 38x6 y9；a2 m 3a6m；3a6 327a18；51057107351012 3.51013同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m a n a m n（ a ≠0，m、n都是正整数，并且 m n ）要点诠释：（ 1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（ 2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式 .（ 3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 即a0 1 （ a ≠0）要点诠释：底数 a 不能为0， 00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0 次方的积 . 因此常数项也叫0 次单项式 .要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n （ n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即 a n 1（ a ≠0， n是正整数） .a n.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立a m a n a m n（ m 、 n 为整数，a0 ）；ab m a m b m（m为整数， a0 ， b 0 ）a m na mn（ m 、 n 为整数，a0 ）.要点诠释： a n a 0是 a n的倒数， a 可以是不等于0的数，也可以是不等于110 的代数式 . 例如2xy2xy（ xy 0 ），51 b 0）.a b5（ aa b要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10 的数表示成a10n的形式，其中 n 是正整数， 1| a |10（ 2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 a 10 n的形式，其中 n 是正整数， 1 | a | 10.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：5（ 1）x8x3；（ 2）( a)3 a ；（3） (2 xy) 5(2 xy)2；（ 4）11333．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．( 2) 、 ( 4) 两小题要注意符号．【答案与解析】解：（ 1）x8x3x83x5．（2）( a)3a a3 1a2．（3）(2 xy)5(2 xy) 2(2 xy)52(2 xy) 38x3 y3．535321 ．（4）111133339【总结升华】（ 1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（ 1）( x y)5( x y)（ 2）(5a 2b)12(2b 5a)5名师总结 优秀知识点（ 3） (3 106 )4 (3 106 )2 （ 4） [( x 2 y)3 ]3 [(2 y x)2 ]4【思路点拨】（ 1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如 (5a 2b)12 (2b 5a)12．（ 2）注意指数为 1 的多项式．如 x y 的指数为 1，而不是 0．【答案与解析】解：（ 1） ( x y) 5( x y)( x y) 5 1 ( x y) 4 ．（2） (5a 2b)12 (2b 5a)5 (2 b 5a)12 (2 b 5a) 5 (2 b 5a)7（3） (3 106) 4 (3 106 )2(3 106) 4 2 (3 106)29 1012 ．（4） [( x 2 y) 3 ]3 [(2 y x) 2 ] 4 (x 2 y)9 ( x 2 y)8 ( x 2 y)9 8 x 2 y ． 【总结升华】 底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算． 3、已知 3m2 ， 3n 4 ，求 9m 1 2n 的值．【答案与解析】解：9m 1 2n 9m 1(32 )m 1 32m 2 32 m3232m32 (3m )2 32 ．92n(32 ) 2n 34n34n(3n )4(3n )4当 3m 2 ， 3n4 时，原式22 32 9 ．44 643m ， 3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数【总结升华】 逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含 的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三： 【变式】已知 2 5m 5 2m ，求 m 的值．【答案】5 m 1解：由 25m 5 2m 得 5m 12m 1 ，即 5m 12m 11，1，2∵底数 5不等于 0和 1，2m 1∴55 ，即 m 1 0 ， m 1 ．22类型二、负整数次幂的运算24、计算：（1）2 ；（ 2） a 2 b3 (a 1b)3( ab) 1 ．3【答案与解析】221 1 9 ； 解：（ 1）3244239（2） a 2b 3 (a 1b)3 (ab) 1 a 2b 3 a 3b 3 aba 0b b ．【总结升华】 要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：4【变式】计算： 2 51 2 1 2 3 2 (3.14)0 ．2【答案】1 4解： 252 1 23 2 (3.14)021 24 1 12 1 1 16 1 1 2 1 252 23 32 2 81 116 1 532817321 1 n 5、 已知 3m， 16，则 m n 的值＝ ________．27 2【答案与解析】解： ∵3m11 3 3，∴ m 3 ．27331n∵2 n ， 16 24 ，∴ 2 n24 ， n 4 ．2∴m n ( 3) 4( 1 1 ．3)4 81【总结升华】 先将11 n变形为底数为3 的幂，2 n ， 16 24 ，然后确定 m 、 n 的值，最后代值求 m n ．27 2举一反三：1 b 2c 3 3【变式】计算： （ 1） ( a 1b 2c 3 )2 ；（ 2） b 2 c 3；2【答案】解：（ 1）原式2 4c 6b 46 ． a b2 ca8b8（2）原式b 2 c3 8b 6 c98b 8 c12 ．12c类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数： （ 1） 0.00001 ；（ 2）0.000000203 ；（ 3）-0.000135 ；（ 4） 0.00067【答案与解析】解：（ 1） 0.00001 ＝ 10 5；（ 2） 0.000000203 ＝ 2.03 10 7 ； （ 3） -0.000135 ＝ 1.35 10 4 ；（ 4） 0.00067 ＝ 6.7 10 4 .【总结升华】 注意在 a10 n中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】 一. 选择题351.cc 的值是 ( ) ．A.c 8B.15C.c 15D. c 8c2． a na n 2的值是() ．A. a n 3B. a n n 2C. a 2 n 2D. a 83．下列计算正确的是( ) ．A. x 2x 2 x 4B.x 3 x x 4x 7C. a 4 a 4 a 16D.a a 2a 34．下列各题中，计算结果写成10 的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100 × 102 ＝ 103B. 1000 × 1010 ＝ 1030C. 100 × 103 ＝ 105D. 100× 1000＝ 1045．下列计算正确的是 ( )．A. xy 3xy3B. 5xy225x 2 y 4C.3x22 9x4D. 2 xy2 3 8x 3 y66．若 2a m b n 38a 9b 15 成立，则 ( )．A. m ＝ 6， n ＝ 12B. m ＝ 3， n ＝12C. m＝ 3，n＝ 5D. m＝ 6，n＝5二. 填空题7.若 2m6, 2n 5 ，则2m n＝____________．8.若 a3x a a19，则 x ＝_______．9.已知a3n5，那么a6n ______．10．若a3a m a8，则 m ＝______；若33x181 ，则 x ＝______．11.23______；33______ ；3252n＝ ______ ．12. 若 n是正整数，且 a2n10 ，则 (a3n )28(a2 )2n＝ __________.三. 解答题13.判断下列计算的正误．（ 1）x3x3x6()（2）( y3)2y5( )（ 3）( 2ab2)22a 2b4（）（4）(xy 2 )2xy 4() 14. （ 1）x(x3 )8(x4 )3；（2）( 1 a2b3)3(a3b2 )2；3（3）10 ( 0.3103 ) (0.4 105) ；（ 4）b 2a 32a5；b（5）5a6 23a3 3a3；15. （ 1）若x n x3 n 3x35，求 n 的值．（ 2）若a n b m b 3a9b15，求 m 、 n 的值．【答案与解析】一. 选择题1.【答案】 D；35c 35c88.【解析】c c c2. 【答案】 C；【解析】 a n a n 2a n n 2a2n 2 .3.【答案】 D；【解析】 x2x22x2； x3 x x4x8； a4 a4a8.4.【答案】 C；【解析】 100×102＝104； 1000×1010＝1013；100× 1000＝105 .5.【答案】 D；【解析】3x3 y3； 5xy2225x2 y4； 3x224 . xy9x6.【答案】 C；【解析】2a m b n38a3 m b3 n8a9b15 ,3 m 9,3 n 15 ，解得 m ＝3， n ＝5.二. 填空题7.【答案】30；【解析】 2m n2m2n6530 .8.【答案】6；【解析】 a3x 1a19,3 x119, x 6 .9.【答案】25；【解析】 a6n a3 n 25225 .10.【答案】 5； 1；【解析】 a3 a m a3 m a8,3 m 8, m 5 ； 33x 181 34 ,3 x 1 4, x 1.11.【答案】 64；n9；310；12.【答案】 200；【解析】 ( a3 n ) 28( a2 )2n a2 n 328 a2 n1000 800 200 .名师总结 优秀知识点三 . 解答题 13. 【解析】解：（ 1）×；（ 2）×；（ 3）×；（ 4）× 14. 【解析】 解：（ 1） x ( x 3) 8( x 4 )3xx 24 x 12x 37 ； （2） ( 1a 2b 3 )3 ( a 3b 2 )21 a 6b 9 a 6b 4 ；327（3） 10 ( 0.3 103 ) (0.4 105) 0.3 0.4 10103 105 1.2 108 ；（4） b2a 352a 32a 52a8；2a bb b b （5）5a 623a 3 3 a 3 25a 12 27a 9 a 32a 12 .15. 【解析】解：（ 1）∵ x n x 3 n 3x 35∴x 4n 3x 35∴ 4 n ＋3＝ 35 ∴ n ＝ 8（ 2） m ＝ 4， n ＝ 3解：∵ a n b m 3a 9b 15b∴ a 3n b 3m b 3a 3nb 3 m 3 a 9b 15∴ 3 n ＝9 且 3 m ＋ 3＝15 ∴ n ＝ 3 且 m ＝ 4。

名师总结优秀知识点幂的运算（基础）【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质a m a n a m n(其中m, n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（ 1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（ 2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 a m a n a p a m n p（m, n,p 都是正整数）.（ 3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即a m n a m a n（m, n都是正整数）.要点二、幂的乘方法则( a m )n a mn(其中m, n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：((a m )n ) p a mnp(a 0，m, n, p均为正整数)（ 2）逆用公式：a mn a mna nm，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题 .要点三、积的乘方法则( ab) n a n b n(其中 n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（ 1）公式的推广：(abc)n a n b n c n(n 为正整数).（ 2）逆用公式：a n b n ab n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计1010算更简便 . 如：121012 1.22要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时, 指数才可以相加 . 指数为 1，计算时不要遗漏 .（ 3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式( 特别是系数 ) 都要分别乘方 .（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）4243 44；（2） 2a3 a4a5a22a6 a ；（3）( x y)n(x y)n 1(x y)m 1(x y)2 n 1 ( x y)m 1．【答案与解析】解：（ 1）原式423449．（ 2）原式2a3 4a522a6 12a7a72a7a7．（ 3）原式( x y) n n1 m 1( x y)2 n 1 m 1( x y) 2n m( x y)2 n m2( x y) 2n m．【总结升华】（ 2）（ 3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a的指数是1．在第（ 3）小题中把x y 看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）35( 3)3( 3)2；（2）x p(x) 2 p(x) 2 p1（ p 为正整数）；（3）32(2) 2n(2) （ n 为正整数）．【答案】解：（ 1）原式35(3)33235333235 32310．（2）原式x p x2 p(x2 p 1 )x p 2 p 2 p1x5 p 1 ．（3）原式2522n(2)252 n 1262n ．名师总结优秀知识点2、已知2x 220 ，求2x的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：2x 22x 22【答案与解析】解：由 2x 220 得 2x2220 ．∴2x 5 ．【总结升华】（ 1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（ 2）同底数幂的乘法法则的逆运用：a m n a m a n．类型二、幂的乘方法则3、计算：（ 1）(a m)2；（ 2）[(m) 3 ]4；（3） (a3 m) 2．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（ 1）题中的底数是a，（ 2）题中的底数是m ，（3）题中的底数 a 的指数是3m ，乘方以后的指数应是 2(3 m) 6 2m ．【答案与解析】解：（ 1）( a m)2a2 m．（2）[(m)3 ] 4(m)12m12．（ 3）(a3 m)2a2(3m)a6 2 m ．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆. 幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、已知x2 m5，求1 x6m 5 的值．5【答案与解析】解：∵x2m 5 ，∴ 1 x6m51 (x55【总结升华】（ 1）逆用幂的乘方法则：a 举一反三：2m)35135 ．2055mn( a m) n(a n ) m．（2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．【变式 1】已知x a 2 ， x b 3 ．求 x3a2b 的值．【答案】解：x3a 2b x3a x2b( x a )3( x b )223 3289 72．【变式 2】已知8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【答案】解：因为 83m(8m )34364 ,82n(8n )25225 .所以83m 2 n83 m82 n6425 1600 .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）(ab)2ab2；（ 2）(4ab)364a3b3；（ 3）( 3x3)29x6．【答案与解析】解：（ 1）错，这是积的乘方，应为：(ab)2a2b2．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：( 3x3)29 x6．【总结升华】（ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：(1) (b2)3 (b 2)5(b 2) ；名师总结 优秀知识点(2) ( x 2y)2(2 y x)3 ．【答案与解析】解：（ 1） (b 2)3(b 2) 5 (b 2) (b 2) 3 5 1(b 2)9 ．（ 2） ( x 2y)2 (2 y x)3 ( x 2 y)2 [ (x 2 y)3 ]( x 2 y) 5 ．【总结升华】（ 1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：( a) na n (n 为偶数 ),(a b) n(b a )n n(为偶数 )(b ．a n (n 为奇数 ),a) n ( n 为奇数 )类型二、幂的乘方法则2、计算：b)2 ]3 ；（ 1） [(a（ 2） ( y 3 )2 ( y 2 )3 2y y 5 ；（ 3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 ；（ 4） (x 3 ) 2 ( x 3 )4 ．【答案与解析】解：（ 1） [( a b)2 ] 3( a b)2 3 ( a b)6 ．（2） ( y 3 )2 ( y 2 )32 y y 5y 6 y 6 2 y 62 y 6 2 y 60 ．（3） ( x 2 m 2 ) 4 (x m 1 )2 x 4(2 m 2) x 2( m 1) x 8m 8 x 2m 2x 10m 6 ．（4） ( x 3 )2 ( x 3 )4 x 6 x 12 x 18 ．【总结升华】 （ 1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆．（ 2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式． 3、已知 8m 4 ， 8n 5 ，求 83m 2 n 的值．【思路点拨】 由于已知 8m, 8n的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把入计算 .【答案与解析】 解：因为 83m(8m )3 4364 ,82n(8n )2 52 25 .所以 83m 2 n 83 m 82 n 64 25 1600 . 【总结升华】 运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.举一反三：【变式】已知 a 3 m2, b2m3，则 a2 m 3b m 6a 2b 3m b m＝【答案】 － 5；提示：原式a 3 m 2b 2m 3a 3 m2b 2 m2∵∴ 原式＝ 2233 22 32 ＝－ 5.类型三、积的乘方法则4、计算：24（ 2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3] 3（ 1） (2 xy )83m 2 n 变成 83m 82 n (8m ) 3 (8n )2 ，再代. 把 8m , 8n 当成一个整体问题就会迎刃而解.．【思路点拨】 利用积的乘方的运算性质进行计算 .【答案与解析】解：（ 1） (2 xy 2 )4(1)24 x 4 ( y 2 )4 16x 4 y 8 ．（2） [ a 2 ( a 4b 3 ) 3 ]3 (a 2 )3 ( a 12b 9 )3 a 6 ( a 36 ) b 27 a 42b 27 ．【总结升华】 （ 1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （ 2）注意系数及系数符号，对系数－ 1 不可忽略．举一反三：【变式】下列等式正确的个数是( )．① 2x 2y3 36x 6 y9②a 2 m3a6 m③ 3a 633a 9④ 51057 107 35 1035⑤0.51000.5 2 10021012名师总结优秀知识点A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】 A；提示：只有⑤正确；2x2 y3 38x6 y9；a2 m 3a6m；3a6 327a18；51057107351012 3.51013同底数幂的除法【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m a n a m n（ a ≠0，m、n都是正整数，并且 m n ）要点诠释：（ 1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（ 2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0 不能作除式 .（ 3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. 即a0 1 （ a ≠0）要点诠释：底数 a 不能为0， 00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0 次方的积 . 因此常数项也叫0 次单项式 .要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的n （ n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数，即 a n 1（ a ≠0， n是正整数） .a n.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立a m a n a m n（ m 、 n 为整数，a0 ）；ab m a m b m（m为整数， a0 ， b 0 ）a m na mn（ m 、 n 为整数，a0 ）.要点诠释： a n a 0是 a n的倒数， a 可以是不等于0的数，也可以是不等于110 的代数式 . 例如2xy2xy（ xy 0 ），51 b 0）.a b5（ aa b要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10 的数表示成a10n的形式，其中 n 是正整数， 1| a |10（ 2）利用 10 的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即 a 10 n的形式，其中 n 是正整数， 1 | a | 10.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：5（ 1）x8x3；（ 2）( a)3 a ；（3） (2 xy) 5(2 xy)2；（ 4）11333．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．( 2) 、 ( 4) 两小题要注意符号．【答案与解析】解：（ 1）x8x3x83x5．（2）( a)3a a3 1a2．（3）(2 xy)5(2 xy) 2(2 xy)52(2 xy) 38x3 y3．535321 ．（4）111133339【总结升华】（ 1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（ 1）( x y)5( x y)（ 2）(5a 2b)12(2b 5a)5名师总结 优秀知识点（ 3） (3 106 )4 (3 106 )2 （ 4） [( x 2 y)3 ]3 [(2 y x)2 ]4【思路点拨】（ 1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如 (5a 2b)12 (2b 5a)12．（ 2）注意指数为 1 的多项式．如 x y 的指数为 1，而不是 0．【答案与解析】解：（ 1） ( x y) 5( x y)( x y) 5 1 ( x y) 4 ．（2） (5a 2b)12 (2b 5a)5 (2 b 5a)12 (2 b 5a) 5 (2 b 5a)7（3） (3 106) 4 (3 106 )2(3 106) 4 2 (3 106)29 1012 ．（4） [( x 2 y) 3 ]3 [(2 y x) 2 ] 4 (x 2 y)9 ( x 2 y)8 ( x 2 y)9 8 x 2 y ． 【总结升华】 底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算． 3、已知 3m2 ， 3n 4 ，求 9m 1 2n 的值．【答案与解析】解：9m 1 2n 9m 1(32 )m 1 32m 2 32 m3232m32 (3m )2 32 ．92n(32 ) 2n 34n34n(3n )4(3n )4当 3m 2 ， 3n4 时，原式22 32 9 ．44 643m ， 3n的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数【总结升华】 逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含 的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三： 【变式】已知 2 5m 5 2m ，求 m 的值．【答案】5 m 1解：由 25m 5 2m 得 5m 12m 1 ，即 5m 12m 11，1，2∵底数 5不等于 0和 1，2m 1∴55 ，即 m 1 0 ， m 1 ．22类型二、负整数次幂的运算24、计算：（1）2 ；（ 2） a 2 b3 (a 1b)3( ab) 1 ．3【答案与解析】221 1 9 ； 解：（ 1）3244239（2） a 2b 3 (a 1b)3 (ab) 1 a 2b 3 a 3b 3 aba 0b b ．【总结升华】 要正确理解负整数指数幂的意义．举一反三：4【变式】计算： 2 51 2 1 2 3 2 (3.14)0 ．2【答案】1 4解： 252 1 23 2 (3.14)021 24 1 12 1 1 16 1 1 2 1 252 23 32 2 81 116 1 532817321 1 n 5、 已知 3m， 16，则 m n 的值＝ ________．27 2【答案与解析】解： ∵3m11 3 3，∴ m 3 ．27331n∵2 n ， 16 24 ，∴ 2 n24 ， n 4 ．2∴m n ( 3) 4( 1 1 ．3)4 81【总结升华】 先将11 n变形为底数为3 的幂，2 n ， 16 24 ，然后确定 m 、 n 的值，最后代值求 m n ．27 2举一反三：1 b 2c 3 3【变式】计算： （ 1） ( a 1b 2c 3 )2 ；（ 2） b 2 c 3；2【答案】解：（ 1）原式2 4c 6b 46 ． a b2 ca8b8（2）原式b 2 c3 8b 6 c98b 8 c12 ．12c类型三、科学记数法6、用科学记数法表示下列各数： （ 1） 0.00001 ；（ 2）0.000000203 ；（ 3）-0.000135 ；（ 4） 0.00067【答案与解析】解：（ 1） 0.00001 ＝ 10 5；（ 2） 0.000000203 ＝ 2.03 10 7 ； （ 3） -0.000135 ＝ 1.35 10 4 ；（ 4） 0.00067 ＝ 6.7 10 4 .【总结升华】 注意在 a10 n中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数（包括小数点前边的零）．【巩固练习】 一. 选择题351.cc 的值是 ( ) ．A.c 8B.15C.c 15D. c 8c2． a na n 2的值是() ．A. a n 3B. a n n 2C. a 2 n 2D. a 83．下列计算正确的是( ) ．A. x 2x 2 x 4B.x 3 x x 4x 7C. a 4 a 4 a 16D.a a 2a 34．下列各题中，计算结果写成10 的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100 × 102 ＝ 103B. 1000 × 1010 ＝ 1030C. 100 × 103 ＝ 105D. 100× 1000＝ 1045．下列计算正确的是 ( )．A. xy 3xy3B. 5xy225x 2 y 4C.3x22 9x4D. 2 xy2 3 8x 3 y66．若 2a m b n 38a 9b 15 成立，则 ( )．A. m ＝ 6， n ＝ 12B. m ＝ 3， n ＝12C. m＝ 3，n＝ 5D. m＝ 6，n＝5二. 填空题7.若 2m6, 2n 5 ，则2m n＝____________．8.若 a3x a a19，则 x ＝_______．9.已知a3n5，那么a6n ______．10．若a3a m a8，则 m ＝______；若33x181 ，则 x ＝______．11.23______；33______ ；3252n＝ ______ ．12. 若 n是正整数，且 a2n10 ，则 (a3n )28(a2 )2n＝ __________.三. 解答题13.判断下列计算的正误．（ 1）x3x3x6()（2）( y3)2y5( )（ 3）( 2ab2)22a 2b4（）（4）(xy 2 )2xy 4() 14. （ 1）x(x3 )8(x4 )3；（2）( 1 a2b3)3(a3b2 )2；3（3）10 ( 0.3103 ) (0.4 105) ；（ 4）b 2a 32a5；b（5）5a6 23a3 3a3；15. （ 1）若x n x3 n 3x35，求 n 的值．（ 2）若a n b m b 3a9b15，求 m 、 n 的值．【答案与解析】一. 选择题1.【答案】 D；35c 35c88.【解析】c c c2. 【答案】 C；【解析】 a n a n 2a n n 2a2n 2 .3.【答案】 D；【解析】 x2x22x2； x3 x x4x8； a4 a4a8.4.【答案】 C；【解析】 100×102＝104； 1000×1010＝1013；100× 1000＝105 .5.【答案】 D；【解析】3x3 y3； 5xy2225x2 y4； 3x224 . xy9x6.【答案】 C；【解析】2a m b n38a3 m b3 n8a9b15 ,3 m 9,3 n 15 ，解得 m ＝3， n ＝5.二. 填空题7.【答案】30；【解析】 2m n2m2n6530 .8.【答案】6；【解析】 a3x 1a19,3 x119, x 6 .9.【答案】25；【解析】 a6n a3 n 25225 .10.【答案】 5； 1；【解析】 a3 a m a3 m a8,3 m 8, m 5 ； 33x 181 34 ,3 x 1 4, x 1.11.【答案】 64；n9；310；12.【答案】 200；【解析】 ( a3 n ) 28( a2 )2n a2 n 328 a2 n1000 800 200 .名师总结 优秀知识点三 . 解答题 13. 【解析】解：（ 1）×；（ 2）×；（ 3）×；（ 4）× 14. 【解析】 解：（ 1） x ( x 3) 8( x 4 )3xx 24 x 12x 37 ； （2） ( 1a 2b 3 )3 ( a 3b 2 )21 a 6b 9 a 6b 4 ；327（3） 10 ( 0.3 103 ) (0.4 105) 0.3 0.4 10103 105 1.2 108 ；（4） b2a 352a 32a 52a8；2a bb b b （5）5a 623a 3 3 a 3 25a 12 27a 9 a 32a 12 .15. 【解析】解：（ 1）∵ x n x 3 n 3x 35∴x 4n 3x 35∴ 4 n ＋3＝ 35 ∴ n ＝ 8（ 2） m ＝ 4， n ＝ 3解：∵ a n b m 3a 9b 15b∴ a 3n b 3m b 3a 3nb 3 m 3 a 9b 15∴ 3 n ＝9 且 3 m ＋ 3＝15 ∴ n ＝ 3 且 m ＝ 4。

第二讲七年级数学幂的概念和幂的计算第二讲：七年级数学幂的概念和幂的计算一、基本概念及运算1.幂的概念：幂代表乘方运算，包括底数和指数，例如光在真空中的传播速度为3×10^8米/秒。

2.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an= am+n（m、n是正整数）。

3.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n= amn（m、n是正整数）。

4.积的乘方：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得到的幂相乘，即（ab）n= anbn（n是正整数）。

5.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am÷an= am-n（m、n是正整数）。

6.特殊值：1）a= 1（a≠0），任何不等于零的数的零次幂等于1.2）a-n= 1 / an，任何不等于的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。

课后练：1.纠正错误：1）a3＋a3＝a6；→ a3＋a3＝a42）a3·a2＝a6；→ a3·a2＝a53）(x4)4＝x8；→ (x4)4＝x164）(2a2)3＝6a6；→ (2a2)3＝8a65）(3x2y3)2＝9x4y5；→ (3x2y3)2＝9x4y66）(－x2)3＝x6；→ (－x2)3＝－x67）(－a6) (－a2)2＝a8；→ (－a6) (－a2)2＝a16 8）(a)2＝a2；→ (a)2＝a^29）－2^(-2)＝4；→ -2^(-2)=-0.252.计算：1）x^3·x·x^2 = x^62）(am1)^3 = am33）[(x+y)^4]^5 = (x+y)^204）(-2a5b2)^3 = -8a15b65）(-2x)6÷(-2x)3 = -4x^36）(-3a3)2÷a2 = 9a47）(-2)÷(-2)3÷(-2)2÷(π-2005) = (π-2005)/8 3.计算：1）(-x)3·x·(-x)2 = -x^62）(-x)8÷x5+(-2x)·(-x)2 = -x^23）y2yn1+y3yn2-2y5yn4 = y2n1+y3n2-2y5n4 4）(-22)3+22×24+(125)+|-5|-7 = 04.计算：1）(m-n)9·(n-m)8÷(m-n)2 = -(n-m)72）(x+y-z)3n·(z-x-y)2n·(x-z+y)5n = -(x+y-z)3n5.逆向思维训练：计算：(-2)2010+(-2)2009(-0.25)2010×4^2009 = -2.0001×10^20092已知10m=4，10n=5，求103m2n的值。