人教b版选修2-2合情推理与演绎推理

高中数学学习材料

（灿若寒星 精心整理制作）

合情推理与演绎推理

一、归纳推理

例1．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？

变式1.设平面内有n条直线)3(n，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(nf表示这n条直线交点的个数，则)4(f=____________；当4n时，)(nf ．（用n表示）

变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么

(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?

(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成

部分?

强化训练

1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .

2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a＞b＞0,m＞0，则mamb与ab之间的大小关系为 .

3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.

①A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆

②由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

③由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆2222byax=1的面积S=ab

④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 . 二、类比推理

（一）数列中的类比

例1.在等差数列na中，若010a，则有等式naaa21

),19(1921Nnnaaan成立，类比上述性质，相应地：在等比数列nb中，若19b，则有等式 成立.

强化练习

1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛an｝等和数列，且21a，公和为5。那么18a的值为_______________，这个数列前n项和nS的计算公式为_______________。

2.若数列)}({*Nnan是等差数列，则有数列

;)(,......*321也是等差数列Nnnaaaabnn类比上述性质，相应地：若数列)}({*Nncn是等比数列，且0nc，则有数列。Nndn也是等比数列)(_______,__________*

（二）几何中的类比

例1.如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则2211NOMNOMSS=21OMOM·21ONON；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？

例2 . 已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A′,B′,C′,则''AAOA+''BBOB+''CCOC=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.

''AAOA+''BBOB+''CCOC=ABCOBCSS+ABCOCASS+ABCOABSS=ABCABCSS=1，

请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.

强化练习

1.在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则.222BCACAB”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .”

2.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比EBAE=BCAC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 .

3.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为42a.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .

(三)解析几何中的类比

例1.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为PMk、PNk时，那么PMk与PNk之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线12222byax写出具有类似特性的性质，并加以证明.

强化训练

1.已知两个圆：122yx， ①与1)3(22yx ② 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .

2．如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当FBAB时,其离心率为512,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （

）

A.512 B.512 C.51 D.51

（四）定义、运算中的类比

例1.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：

十进制 1 2 3 4 5 6 …….

二进制 1 10 11 100 101 110 ……..

观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是

强化训练 O x A B

F y 1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：

①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”；②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”；③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；④“t≠0,mt=xtm=x”类比得到“p≠0,a·p=x·pa=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”；⑥“bcac=ba”类比得到“cbca=ba”.

以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 .

2.下面使用类比推理恰当的是 .

①“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”

②“(a+b)c=ac+bc”类推出“cba=ca+cb”

③“(a+b）c=ac+bc”类推出“cba=ca+cb(c≠0)”

④“（ab）n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”

3.下面给出了关于复数的四种类比推理：

①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；

②由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；

③方程),,(02Rcbacbxax有两个不同实数根的条件是042acb可以类比得到：方程),,(02Ccbacbzaz有两个不同复数根的条件是042acb；

④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.

其中类比错误的是 ( )

A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③

4.定义ADDCCBBA,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )

（1） （2） （3） （4） （A） （B）

A.DADB, B.CADB, C.DACB, D.DADC,

三、演绎推理

例1.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .

例2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线

b平面，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

例3．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。

例4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。

合情推理与演绎推理（答案）

一、归纳推理

例1．解析：（1）设)(nf为n个点可连的弦的条数，则

变式1.【答案】5，)2)(1(21nn

解：由图B可得5)4(f，

由2)3(f，5)4(f，9)5(f，

14)6(f，可推得∵n每增加1，则交点增加)1(n个，

∴)1(432)(nnf2)2)(12(nn)2)(1(21nn．

变式2.（1）16，11（2）)2(21,22nnn

强化训练

1.答案 白色2.答案 mamb＞ab3.答案 ②4.答案 (5,7)

二、类比推理

（一）数列中的类比

例1.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：

等差数列

用减法定义 性质用加法表述（若,,,,*Nqpnm且

,qpnm则qpnmaaaa）；

等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若,,,,*Nqpnm且

,qpnm则qpnmaaaa）. 图B 由此，猜测本题的答案为：).,17(*172121Nnnbbbbbbnn

事实上，对等差数列na，如果0ka，则nknnknaaaa222121

0kkaa. 所以有：naaa212121(nnnaaaaa