圆周角练习题

圆周角练习题（一）选择1．圆周角是24°，则它所对的弧是[ ]A．12°；B．24°；C．36°；D．48°．2．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是[ ]A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．3．如图7－45，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有[ ]A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．4．如图7－46，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=[ ]A．16°；B．32°；C．48°；D．64°．（二）计算角形外接圆半径长及各锐角的正切值．6．如图7－47，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠ABC．求AC 的长．7．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，BC=a，∠BCD=75°（见图7－48）．求BD的长．8．如图7－49，半圆的直径AB=13cm，C是半圆上一点，CD⊥AB于D，并且CD=6cm．求AD的长．9．如图7－50，圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E，EC=8cm．求BE的长．10．已知：如图7－51，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=a．求DE的长．11．如图7－52，在⊙O中，F，G是直径AB上的两点，C，∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB．求∠FDG的大小．12．如图7－53，⊙O的内接正方形ABCD边长为1，P为圆周上与A，B，C，D不重合的任意点．求PA2＋PB2＋PC2＋PD2的值．13．如图7－54，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=135°，以A为圆心，AB 为半径作⊙A交AD，BC于E，F两14．如图7－55，⊙O的半径为R，弦AB=a，弦BC∥OA，求AC的长．15．如图7－56，在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA的平，p°，求△ABC的三个内角．16．如图7－57，在⊙O中，BC，DF为直径，A，E为⊙O17．如图7－58，等腰三角形ABC的顶角为50°，AB=AC，以数．18．如图7－59，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．19．如图7－60，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．20．以△ABC的BC边为直径的半圆，交AB于D，交AC于E，EF⊥BC于F，AB=8cm，AE=2cm，BF∶FC=5∶1（见图7－61）．求CE的长．21．已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径．22．如图7－62，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．23．如图7－63，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．为60°，∠B=105°，⊙O的半径为6cm．求BC的长．25．已知：如图7－65，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD ⊥AB于E．求CD的长．26．如图7－66，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB 的弦．求∠ACE的度数．27．已知：如图7－67，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，28．如图7－68，△ABC内接于圆O，AD为BC边上的高．若AB=4cm，AC=3cm，AD=2．5cm，求⊙O的半径．29．设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（图7－69），求EF的长．30．如图7－70，在⊙O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm．求BK∶AK的值．弦AB交CD于F．若AF=20cm，BF=40cm，求O点到弦CD的弦心距．32．如图7－72，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O，且AD=4cm，AB=CB=1cm，求CD的长．（三）证明33．如图7－73，已知△ABC内接于半径为R的⊙O，A为锐34．已知：如图7－74，在△ABC中，AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC的外接圆于E，连接BE．求证：BE=DE．点，AD交BC边于E．求证：AB为AD和AE的比例中项．36．已知：如图7－76，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D．求证：D为BC的中点．37．已知：如图7-77，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC 交⊙O于E．求证：AE平分∠OAD．38．已知：如图7-78，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．求证：DF2=HF·GF．39．已知：如图7-79，圆内接四边形ABCD中，BC=CD．求证：AB·AD+BC2=AC2．40．已知：如图7-80，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是41．如图7-81，AB是⊙O的弦，P是AB所对优弧上一点，直径CD⊥AB，PB 交CD于E，延长AP交CD的延长线于F．求证：△EPF∽△EOA．42．已知：如图7-82，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M43．已知：如图7-83，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AED．44．如图7-84，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．45．如图7-85，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．46．已知：如图7-86，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．47．已知：如图7-87，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．48．已知：如图7-88，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．（1）求证：AC⊥BE；（2）求AB的长．49．如图7-89，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD是⊙O 的直径，且D点在AB上．。

圆周角练习题1．弦长等于半径，那么这条弦所对的圆周角度数为 ．2．以锐角为顶角的等腰三角形，其底为半圆的直径，半圆被两腰截得的三条弧之比为1:2:1，则这个等腰三角形顶角的度数为 ．3．已知AC 、BC 是⊙O 中的两条弦，且AC ⊥BC ，AC=12，BC=9，则⊙O 的直径等于 ，弦BC 的弦心距等于 ．4．如图1，AB 是⊙O 的直径，以OA 为直径的⊙O 1与⊙O 的弦AC 交于点D ，如果∠BAC=︒30，OD=5cm ，那么AB= ．5．已知AB 是半圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，交半圆O 于C ，且AD 、DB 的长是方程0452=+-x x 的两根，则CD= ．6．矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，P 为AD 上一点，BP=4.8，BP 交以BC 为直径的圆于点Q ，则QC= ．7．如图2，在ABC ∆中，∠B=︒80，⊙O 截ABC ∆三边所截得的线段长都相等，则∠AOC= ．8.若直角三角形的两条直角边的长分别为8cm 和6cm ，则这个直角三角形外接圆的直径为 ．9已知3cm 长的一条弦所对的圆周角是︒135，那么圆的直径是10如图所示，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，过OC 的中点M 作弦EF ∥AB ． 求证：CBE ABE ∠=∠21· · O O 'CBAD 图1 图2 ·OBCA· ABC E F M O11已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求的度数．12已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交⊙O于E．求证：AE平分∠OA D．13已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M为上一点，AM 的延长线交DC于F．求证：∠AMD=∠FM C．。

《圆周角定理》练习题一．选择题（共16 小题）1．如图， A、 B、 C三点在⊙ O上，若∠ BOC=76°，则∠BAC的度数是（）A．152°B．76°C．38°D．14°2．如图，⊙ O是△ ABC的外接圆，∠ ACO=45°，则∠B的度数为（）A．30° B ．35°C．40°D．45°第1题图第2题图第3题图3．如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（）个．A．1B．2C．3D．44．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠ C=25°，则∠ BOD的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°5．如图，已知在⊙ O中，点 A，B，C 均在圆上，∠AOB=80°，则∠ ACB等于（）A．130°B．140°C．145°D．150°第4题图第5题图第6题图6．如图， MN是⊙ O的直径，∠ PBN=50°，则∠M AP等于（）A．50° B ．40°C．30°D．20°7．如图，CD是⊙ O的直径，A、B 是⊙ O上的两点，若∠ ABD=20°，则∠ ADC的度数为） A ．40°B．50° C ．60°D．70°8．如图， AB是半圆的直径，点 D 是的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55° B ．60° C ．65° D ．70°第7题图第8题图第9题图9．如图， AB是⊙ O的直径， C， D 为圆上两点，∠ AOC=130°，则∠ D 等于（）A．25°B．30°C．35°D．50°10．如图，∠ 1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 的大小关系是（）A．∠ 4＜∠ 1＜∠ 2＜∠ 3B．∠ 4＜∠ 1=∠ 3＜∠ 2C．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3∠2D．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3=∠ 211．如图，AB是半圆 O的直径，∠BAC=60°， D 是半圆上任意一点，那么∠ D 的度数是（）A ．30°B．45°C．60°D．90°第10题图第11题图第12题图12．如图，在⊙O中， OA⊥ BC，∠ AOC=50°，则∠ ADB的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．50°13．在⊙ O中，点 A、 B 在⊙ O上，且∠ AOB=84°，则弦A B所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°14．以下列图，在⊙O中， AB是⊙ O的直径，∠ ACB的角均分线CD交⊙ O于 D，则∠ ABD的度数等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°15．已知如图，AB是⊙ O的直径， CD是⊙ O的弦，∠ CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°第 10题图第11题图第12题图16．如图， AB是圆的直径，AB⊥ CD，∠ BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30°B．50°C．60°D．70°二．填空题（共8 小题）17．如图，⊙ O的直径 CD经过弦 EF 的中点 G，∠ DCF=20°，则∠EOD等于．第 17题图第18题图第19题图18．如图，点A、 B 在⊙ O上，∠ AOB=100°，点C 是劣弧 AB上不与 A、 B 重合的任意一点，则∠ C=°．19．在⊙ O中，弦 AB=2cm，∠ ACB=30°，则⊙O的直径为cm．20．如图，⊙ O中弦 AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是．第 20题图第21题图第22题图21．如图，等腰△ ABC的底边 BC的长为 4cm，以腰 AB为直径的⊙ O交 BC于点 D，交 AC于点E，则 DE的长为cm．22．如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ攻击，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择种射门方式．三．解答题（共16 小题）25． 28．如图， AB是⊙ O的直径， C 是⊙ O上的点， AC=6cm，BC=8cm，∠ ACB的均分线交⊙O 于点 D，求 AB和 BD的长．26．如图，已知 CD是⊙ O的直径，弦 AB⊥ CD，垂足为点 M，点 P 是上一点，且∠ BPC=60°．试判断△ ABC的形状，并说明你的原由．27、如图，△ ABC的高 AD、 BE订交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于点G，连接 BG．求证： HD=GD．28．已知：如图， AB为⊙ O的直径， AB=AC，BC交⊙ O于点 D，AC交⊙ O于点 E．∠ BAC=40°（1）求∠ EBC的度数；（2）求证： BD=CD．29．如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A=30°，BC=3cm．求⊙ O的半径．30．如图， AB是⊙ O的直径，过圆上一点 C 作 CD⊥ AB于点 D，点 C是弧 AF 的中点，连接AF 交 CD于点 E，连接 BC交 AF 于点G．（1）求证： AE=CE；．31．如图，△ ABC中， AB＞ AC，∠ BAC的均分线交外接圆于D， DE⊥ AB于 E， DM⊥ AC于 M．（1）求证： BE=CM．（2）求证： AB﹣ AC=2BE．32．如图， OA是⊙ 0 的半径，以OA为直径的⊙ C与⊙ 0 的弦 AB 订交于点D．求证： AD=BD．33．如图，已知： AB是⊙ O的弦， D为⊙ O上一点， DC⊥ AB于 C， DM均分∠ CDO．求证：M 是弧 AB的中点．34．如图，△ ABC的三个极点都在⊙ O上， CD是高， D 是垂足， CE是直径，求证：∠ ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙ O的直径， AF⊥ BC于 D，证明： BE=CF．36．已知 AB为⊙ O的直径，弦BE=DE，AD， BE 的延长线交于点C，求证： AC=AB．37．如图， AB是圆 O的直径， OC⊥ AB，交⊙ O于点 C， D是弧 AC上一点， E 是 AB 上一点，EC⊥ CD，交 BD于点 F．问： AD与 BF 相等吗？为什么？38．如图， AB是⊙ O的直径， AC、DE是⊙ O的两条弦，且 DE⊥ AB，延长 AC、DE订交于点 F，求证：∠ FCD=∠ ACE．39．如图，已知⊙ O是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，作 CE⊥ AD，垂足为 E，CE的延长线与 AB交于 F．试解析∠ ACF与∠ ABC可否相等，并说明原由．40．如图，△ ABC内接于⊙ O，AD为△ ABC的外角均分线，交⊙ O于点 D，连接 BD，CD，判断△DBC的形状，并说明原由．41．如图， AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点 E， G是上的任意一点，AG、DC的延长线订交于点F，∠ FGC与∠ AGD的大小有什么关系？为什么？42．如图， AB是圆 O的直径， C 是圆 O上一点， D 是弧 AC中点， DE⊥ AB垂足为 E， AC分别与 DE、 DB订交于点 F、 G，则 AF 与 FG可否相等？为什么？43．如图， OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦 AB 交于点 D，求证： D 是 AB的中点．44．如图，在△ ABC中，∠ACB=90°， D 是 AB 的中点，以 DC为直径的⊙ O交△ ABC的边于G，F，E 点．求证：（ 1）F 是 BC的中点；（2）∠ A=∠ GEF．45．如图，圆内接四边形 ABCD的外角∠ DCH=∠ DCA，DP⊥ AC垂足为 P，DH⊥ BH垂足为 H，求证： CH=CP， AP=BH．《圆周角定理》 22参照答案与试题解析一．选择题（共16 小题）1．（ 2012? 呼伦贝尔）如图，A、B、C 三点在⊙ O上，若∠ BOC=76°，则∠ BAC的度数是（）A．152°B．76° C ．38° D ．14°【解答】解：∵所对的圆心角是∠BOC，圆周角是∠ BAC，又∵∠ BOC=76°，∴∠ A=76°×=38°．应选 C．2．（ 2015? 眉山）如图，⊙O是△ ABC的外接圆，∠ ACO=45°，则∠ B 的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵ OA=OC，∠ ACO=45°，∴∠ OAC=45°，∴∠ AOC=180°﹣ 45°﹣ 45°=90°，∴∠ B=∠ AOC=45°．应选 D．3．（ 2010 秋 ? 海淀区校级期末）如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（）个．A．1B． 2C．3D．4【解答】解：∠ 1 和∠ 3 吻合圆周角的定义，∠2极点不在圆周上，∠4的一边不和圆订交，故图中圆周角有∠ 1 和∠ 3 两个．应选 B．4．（ 2015? 珠海）如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠ C=25°，则∠BOD的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【解答】解：∵在⊙ O中，直径CD垂直于弦AB，∴= ，∴∠ DOB=2∠C=50°．应选： D．5．（ 1997? 陕西）如图，已知在⊙O中，点 A， B， C均在圆上，∠ AOB=80°，则∠ACB等于（）A．130°B．140°【解答】解：设点 E 是优弧∵∠ AOB=80°C．145°D．150°AB上的一点，连接EA， EB∴∠ E=∠AOB=40°∴∠ ACB=180°﹣∠ E=140°．应选： B．6．如图， MN是⊙ O的直径，∠ PBN=50°，则∠M AP等于（）A．50° B．40° C．30° D．20°【解答】解：连接OP，可得∠ MAP= ∠ MOP，∠ NBP= ∠ NOP，∵MN为直径，∴∠ MOP+∠NBP=180°，∴∠ MAP+∠NBP=90°，∵∠ PBN=50°，∴∠ MAP=90°﹣∠ PBN=40°．应选 B．7．（ 2007? 太原）如图，CD是⊙ O的直径， A、B 是⊙ O上的两点，若∠ ABD=20°，则∠ ADC 的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ ABD=20°∴∠ C=∠ABD=20°∵CD是⊙ O的直径∴∠ CAD=90°∴∠ ADC=90°﹣ 20°=70°．应选 D．8．（ 2013? 苏州）如图，AB是半圆的直径，点 D 是的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB等于（）A．55° B．60° C．65° D．70°【解答】解：连接BD，如图，∵点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD，∴∠ ABD=∠CBD，而∠ ABC=50°，∴∠ ABD= ×50°=25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ DAB=90°﹣ 25°=65°．应选 C．9．（2009? 枣庄）如图，AB是⊙ O的直径， C，D为圆上两点，∠AOC=130°，则∠ D 等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°【解答】解：∵∠ AOC=130°，∴∠ BOC=50°，∴∠ D=∠BOC=25°．应选A．10．（ 2013 秋 ? 沙洋县校级月考）如图，∠1、∠ 2、∠ 3、∠ 4 的大小关系是（）A．∠ 4＜∠ 1＜∠ 2＜∠ 3B．∠ 4＜∠ 1=∠ 3＜∠ 2C．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3∠2 D ．∠ 4＜∠ 1＜∠ 3=∠ 2【解答】解：如图，利用圆周角定理可得：∠ 1=∠ 3=∠ 5=∠ 6，依照三角形的外角的性质得：∠ 5＞∠ 4，∠ 2＞∠ 6，∴∠ 4＜∠ 1=∠3＜∠ 2，应选 B．11．（ 2012 秋 ? 天津期末）如图，AB 是半圆 O的直径，∠ BAC=60°， D 是半圆上任意一点，那么∠ D 的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【解答】解：连接BC，∵AB 是半圆的直径∴∠ ACB=90°∵∠ BAC=60°，∴∠ ABC=90°﹣∠ BAC=30°，∴∠ D=∠ABC=30°．应选 A．12．（ 2009? 塘沽区二模）如图，在⊙ O中，OA⊥ BC，∠AOC=50°，则∠ ADB的度数为（）A．15° B．20° C．25° D．50°【解答】解：∵ OA⊥BC，∠ AOC=50°，∴，∴∠ ADB= ∠AOC=25°．应选 C．13．（ 2012 秋 ? 宜兴市校级期中）在⊙对的圆周角是（）A．42° B ．84° C．42°或 138°O中，点D．84°或A、 B 在⊙ O上，且∠ AOB=84°，则弦 96°AB所【解答】解：如图，∵∠AOB=84°，∴∠ ACB=∠ AOB=×84°=42°，∴∠ ADB=180°﹣∠ ACB=138°．∴弦 AB所对的圆周角是： 42°或138°．应选 C．14．（ 2011? 南岸区一模）以下列图，在⊙O中， AB是⊙ O的直径，∠ACB的角均分线CD交⊙O于 D，则∠ ABD的度数等于（）A．90° B．60° C．45° D．30°【解答】解：连接AD，∵在⊙ O中， AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，∵CD是∠ ACB的角均分线，∴= ，∴AD=BD，∴△ ABD是等腰直角三角形，∴∠ ABD=45°．应选 C．15．（ 2015 秋 ? 合肥校级期末）已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙ O的弦，∠ CDB=40°，则∠ CBA的度数为（）A．60° B．50° C． 40° D．30°【解答】解：连接AC，∵AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∵∠ A=∠CDB=40°，∴∠ CBA=90°﹣∠ A=50°．应选 B．16．（ 2013? 万州区校级模拟）如图，AB 是圆的直径，AB⊥ CD，∠ BAD=30°，则∠AEC的度数等于（）A．30° B．50° C．60° D．70°【解答】解：∵∠ BAD=30°，∴=60°，∵AB 是圆的直径，AB⊥ CD，∴= =60°，∴=180°﹣ 60°=120°，∴∠ AEC==×120°=60°．应选 C．二．填空题（共8 小题）17．（ 2016? 大冶市模拟）如图，⊙ O的直径 CD经过弦 EF的中点 G，∠ DCF=20°，则∠ EOD 等于 40° ．【解答】解：∵⊙ O的直径 CD过弦 EF 的中点 G，∠ DCF=20°，∴弧 DF=弧 DE，且弧的度数是40°，∴∠ DOE=40°，答案为 40°．18．（ 2015? 历城区二模）如图， AB是半圆的直径，点 D是弧 AC的中点，∠ ABC=50°，则∠DAB的度数是 65° ．【解答】解：连接BD，如图，∵点 D 是的中点，即弧CD=弧 AD，∴∠ ABD=∠CBD，而∠ ABC=50°，∴∠ ABD= ×50°=25°，∵AB 是半圆的直径，∴∠ ADB=90°，∴∠ DAB=90°﹣ 25°=65°．故答案为65°．19．（ 2013 秋 ? 滨湖区校级期末）如图，点 A、 B 在⊙ O上，∠ AOB=100°，点 C 是劣弧 AB 上不与 A、B 重合的任意一点，则∠ C= 130 °．【解答】解：在优弧AB上取点 D，连接 AD、 BD，如图，∴∠ D=∠ AOB=×100°=50°，∵∠ D+∠C=180°，∴∠ C=180°﹣ 50°=130°．故答案为130．20．（ 2008 秋? 苏州校级期中）球员甲带球冲到 A 点时，伙伴乙已经助攻冲到 B 点．有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种种射门方式较为合理．【解答】解：连接OC．依照圆周角定理，得∠PCQ=∠B，PCQ＞∠ A，依照三角形的外角的性质，得∠则∠ B＞∠ A．故答案为第二种．21．（ 2015? 黄岛区校级模拟）在⊙ O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，则⊙ O的直径为4cm．【解答】解：连接OA， OB，∵∠ ACB=30°，∴∠ AOB=60°，∴△ AOB是等边三角形，∴O A=OB=AB=2cm，∴⊙ O的直径=4cm．故答案为：4．22．（ 2014 春? 海盐县校级期末）如图，⊙O中弦 AB 等于半径 R，则这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°．【解答】解：连接OA、 OB，∠ APB和∠ AP′B为弦 AB所对的圆周角，如图，∵弦 AB等于半径R，∴△ OAB为等边三角形，∴∠ AOB=60°，∴∠ APB= ∠AOB=30°，∴∠ AP′B=180°﹣∠ APB=150°，即这条弦所对的圆心角是60°，圆周角是30°或 150°．故答案为60°；是 30°或 150°．23．（ 2012? 义乌市模拟）如图，等腰△BC于点 D，交 AC于点 E，则 DE的长为ABC的底边2 cm．BC的长为4cm，以腰AB为直径的⊙O交【解答】解：连接AD，∵∠ DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠ DEC=∠B，又等腰△ ABC， BC为底边，∴A B=AC，∴∠ B=∠ C，∴∠ DEC=∠C，∴D E=DC，∵AB 为圆 O的直径，∴∠ ADB=90°，即 AD⊥ BC，∴BD=CD= BC，又 BC=4cm，∴D E=2cm．故答案为： 224．（ 2012 秋? 哈密地区校级月考）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 攻击，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C 点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门．第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择第二种射门方式．【解答】解：设 AP与圆的交点是C，连接 CQ；则∠ PCQ＞∠ A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠ B；因此∠ B＞∠ A；因此选择第二种射门方式更好．故答案为：第二．三．解答题（共16 小题）25．（ 2009? 沈阳模拟）如图，△ ABC的高 AD、BE 订交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于点G，连接 BG．求证： HD=GD．【解答】证明：∵∠ C=∠ G，△ ABC的高 AD、 BE，∴∠ C+∠DAC=90°，∠ AHE+∠DAC=90°，∴∠ C=∠ AHE，∵∠ AHE=∠BHG=∠ C，∴∠ G=∠ BHG，∴BH=BG，又∵ AD⊥ BC，∴HD=DG．26．（ 2013 秋 ? 虞城县校级期末）如图，已知CD是⊙ O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P 是上一点，且∠ BPC=60°．试判断△ABC的形状，并说明你的原由．【解答】解：△ ABC为等边三角形．原由以下：∵AB⊥ CD，CD为⊙ O的直径，∴弧 AC=弧 BC，∴AC=BC，又∵∠ BPC=∠A=60°，∴△ ABC为等边三角形．27．（ 2013 秋 ? 耒阳市校级期末）已知：如图，AB为⊙ O的直径， AB=AC， BC交⊙ O于点 D，AC交⊙ O于点 E．∠ BAC=40°（1）求∠ EBC的度数；（2）求证： BD=CD．【解答】（ 1）解：∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠C，∵∠ BAC=40°，∴∠ C=（180°﹣40°）=70°，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ AEB=90°，∴∠ EBC=90°﹣∠ C=20°；证明：连接AD，如图，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，∴AD⊥ BC，而AB=AC，∴BD=DC．28．（ 2014 秋 ? 高密市期中）如图， AB是⊙ O的直径， C是⊙ O上的点， AC=6cm， BC=8cm，∠ACB的均分线交⊙ O于点 D，求 AB和 BD的长．【解答】解：如图，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，∠ ADB=90°．∴AB===10（ cm）．∵A C=6cm，BC=8cm，∵C D是∠ ACB的均分线，∴∠ ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴B D= AB=5 cm．综上所述， AB和 BD的长分别是10cm， 5cm．29．（ 2013 秋? 宜兴市校级期中）如图，△ ABC是⊙ O的内接三角形，∠ A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连接 BD，如图，∵CD为直径，∴∠ CBD=90°，∵∠ D=∠A=30°，∴C D=2BC=2× 3=6，∴⊙ O的半径为 3cm．30．（ 2010 秋 ? 瑞安市校级月考）如图， AB是⊙ O的直径，过圆上一点 C 作 CD⊥ AB 于点 D，点 C 是弧 AF 的中点，连接 AF交 CD于点 E，连接 BC交 AF于点 G．（1）求： AE=CE；（2）已知 AG=10， ED： AD=3：4，求 AC的．【解答】（ 1）明：∵点 C 是弧 AF 的中点，∴∠ B=∠ CAE，∵AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，即∠ ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥ AB，∴∠ B+∠BCD=90°，∴∠ B=∠ CAE=∠ ACE，∴A E=CE⋯（ 6 分）（2）解：∵∠ ACB=90°，∴∠ CAE+∠CGA=90°，又∵∠ ACE+∠BCD=90°，∴∠ CGA=∠BCD，∵A G=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3： 4，∴A D=4， DE=3，∴AC=⋯（ 10 分）．31．（ 2015 秋 ? 中市期中）如，△ABC中， AB＞ AC，∠ BAC的均分交外接于D， DE ⊥AB 于 E，DM⊥ AC于 M．（1）求： BE=CM．（2）求： AB AC=2BE．【解答】证明：（ 1）连接 BD，DC，∵AD均分∠ BAC，∴∠ BAD=∠CAD，∴弧 BD=弧 CD，∴BD=CD，∵∠ BAD=∠CAD， DE⊥ AB， DM⊥ AC，∵∠ M=∠DEB=90°， DE=DM，在 Rt △ DEB和 Rt △ DMC中，，∴R t △ DEB≌ Rt △ DMC（ HL），∴B E=CM．（2）∵ DE⊥ AB， DM⊥AC，∵∠ M=∠DEA=90°，在 Rt △ DEA和 Rt △ DMA中∴R t △ DEA≌ Rt △ DMA（ HL），∴A E=AM，∴A B﹣ AC，=AE+BE﹣ AC，=AM+BE﹣ AC，=AC+CM+BE﹣ AC，=BE+CM，=2BE．32．（ 2013? 宁夏模拟）如图， OA是⊙ 0 的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ 0 的弦 AB订交于点D．求证： AD=BD．【解答】证明：连接OD，如图，∵OA为⊙ C的直径，∴∠ ADO=90°，∴OD⊥ AB，∴AD=BD．33．（ 2011 秋 ? 宁波期中）如图，已知：AB是⊙ O的弦， D 为⊙ O上一点， DC⊥ AB于 C，DM 均分∠ CDO．求证： M是弧 AB的中点．【解答】解：连接OM∵OD=OM，∴∠ ODM=∠OMD，∵DM均分∠ ODC，∴∠ ODM=∠CDM，∴∠ CDM=∠OMD，∴CD∥ OM，∵CD⊥ AB，∴OM⊥ AB，∴弧 AM=弧 BM，即点 M为劣弧 AB 的中点．34．（2009 秋 ? 哈尔滨校级期中）如图，△ ABC的三个极点都在⊙ O上， CD是高， D 是垂足，CE是直径，求证：∠ ACD=∠ BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠ EAC=90°，∴∠ ACE=90°﹣∠ AEC，∵CD是高， D 是垂足，∴∠ BCD=90°﹣∠ B，∵∠ B=∠ AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ ACE=∠BCD，∴∠ ACE+∠ECD=∠ BCD+∠ ECD，∴∠ ACD=∠BCE．35．已知：如图，AE是⊙ O的直径， AF⊥ BC于 D，证明： BE=CF．【解答】证明：∵ AE是⊙ O的直径，∴∠ ABE=90°，∴∠ E+∠BAE=90°，∵A F⊥ BC于 D，∴∠ FAC+∠ACB=90°，∵∠ E=∠ ACB，∴∠ BAE=∠FAC，∴弧 BE=弧 CF，∴B E=CF．36．（ 2015 秋 ? 哈尔滨校级期中）已知 AB为⊙ O的直径，弦 BE=DE，AD，BE的延长线交于点C，求证： AC=AB．【解答】证明：连接AE，∵AB 为⊙ O的直径，∴∠ AEB=90°，∴∠ AEB=∠AEC=90°，∵弦 BE=DE，∴= ，∴∠ DAE=∠BAE，∵∠ C=90°﹣∠ DAE，∠ B=90°﹣∠ BAE，∴∠ B=∠ C，∴A C=AB．37．如图， AB是圆 O的直径， OC⊥ AB，交⊙ O于点 C， D是弧 AC上一点， E 是 AB 上一点，EC⊥ CD，交 BD于点 F．问： AD与 BF 相等吗？为什么？【解答】解： AD和 BF相等．原由：如图，连接 AC、 BC，∵OC⊥ AB，∴∠ BOC=90°∴∠ BDC=∠BAC=45°∵EC⊥ CD，∴∠ DCE=∠ACB=90°，∴△ DCF和△ ACB都是等腰直角三角形，∴DC=FC， AC=BC，∵∠ DCA+∠ACF=∠ BCF+∠ACF=90°，∴∠ DCA=∠FCB在△ ACD和△ BCF中，{ ，∴△ ACD≌△ BCF∴D A=BF．38．如图， AB是⊙ O的直径， AC、DE是⊙ O的两条弦，且 DE⊥ AB，延长 AC、DE订交于点 F，求证：∠ FCD=∠ ACE．【解答】证明：连接AD， AE，∵AB 是直径． AB⊥ DE，∴AB 均分 DE，弧 ACE=弧 AD，∴∠ ACD=∠ADE，∵A、 C、 E、 D四点共圆，∴∠ FCE=∠ADE，∴∠ FCE=∠ACD，∴∠ FCE+∠DCE=∠ DAC+∠ ECD，∴∠ FCD=∠ACE．39．如图，已知⊙ O是△ ABC的外接圆， AD是⊙ O的直径，作 CE⊥ AD，垂足为 E，CE的延长线与 AB交于 F．试解析∠ ACF与∠ ABC可否相等，并说明原由．【解答】解：延长 CE交⊙ O于 M，∵AD是⊙ O的直径，作CE⊥ AD，∴弧 AC=弧 AM，∴∠ ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ ABC内接于⊙ O，AD为△ ABC的外角均分线，交⊙ O于点 D，连接 BD，CD，判断△DBC的形状，并说明原由．【解答】解：△ DBC为等腰三角形．原由以下：∵AD为△ ABC的外角均分线，∴∠ EAD=∠DAC，∵∠ EAD=∠DCB，∠ DBC=∠ DAC，∴∠ DBC=∠DCB，∴△ DBC为等腰三角形．一．解答题（共 6 小题）1．如图， AB是⊙ O的直径，弦CD⊥ AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC的延长线订交于点F，∠ FGC与∠ AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠ FGC与∠ AGD相等．原由以下：连接 AD，如图，∵CD⊥ AB，∴= ，∴∠ AGD=∠ADC，∵∠ FGC=∠ADC，∴∠ FGC=∠AGD2．如图， AB 是圆 O的直径， C 是圆 O上一点， D 是弧 AC中点， DE⊥AB垂足为 E，AC分别与DE、 DB订交于点 F、G，则 AF与 FG可否相等？为什么？【解答】解： AF=FG，原由是：连接AD，∵AB 是直径， DE⊥ AB，∴∠ ADB=∠DEB=90°，∴∠ ADE=∠ABD，∵D 为弧 AC中点，∴∠ DAC=∠ABD，∴∠ ADE=∠DAC，∴A F=DF，∠ FAE=∠ DAC，∴D F=FG，∴A F=FG．3．如图， AB为⊙ O的直径，以 OA为直径作⊙ C， AD为⊙ O的弦，交⊙ C 于 E，试问，当 D 点在⊙ O上运动时（不与 A 重合）， AE与 ED的长度有何关系？证明你的结论．【解答】解： AE=ED．原由：连接OE，∵AO是⊙ C的直径，∴∠ OEA=90°，∴OE⊥ AD，∵OE过圆 O的圆心 O，∴A E=ED．4．如图， OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦 AB交于点 D，求证： D 是 AB的中点．【解答】证明：连接OD，∵OA为⊙ C的直径，∴∠ ODA=90°，即OD⊥ AB，∴D 是 AB的中点．5．（ 2007? 鄂尔多斯）如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， D 是 AB的中点，以DC为直径的⊙ O 交△ ABC的边于 G， F， E 点．求证：（ 1）F 是 BC的中点；（2）∠ A=∠ GEF．【解答】证明一：（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D 是AB的中点，∴BD=DC= AB，（ 2 分）∵DC是⊙ O的直径，∴D F⊥ BC，（ 4 分）∴B F=FC，即 F 是 BC的中点；（5 分）（2）∵D，F 分别是AB，BC的中点，∴DF∥ AC，（ 6 分）∴∠ A=∠ BDF，（ 7 分）∵∠ BDF=∠GEF（圆周角定理），（ 8 分）∴∠ A=∠ GEF．（ 9 分）证明二：（1）连接 DF， DE，∵DC是⊙ O直径，∴∠ DEC=∠DFC=90°．（ 1分）∵∠ ECF=90°，∴四边形 DECF是矩形．∴E F=CD， DF=EC．（2 分）∵D 是 AB的中点，∠ ACB=90°，∴E F=CD=BD= AB．（ 3 分）∴△ DBF≌△ EFC．（4 分）∴BF=FC，即 F 是 BC的中点．（5 分）（2）∵△ DBF≌△ EFC，∴∠ BDF=∠FEC，∠ B=∠ EFC．（ 6 分）∵∠ ACB=90°（也可证AB∥ EF，得∠ A=∠ FEC），∴∠ A=∠ FEC．（ 7 分）∵∠ FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等），（8分）∴∠ A=∠ GEF．（ 9 分）（此题证法很多，大纲卷参照答案中，又给出了两种不同样的证法，可供参照．）6．（ 2000? 兰州）如图，圆内接四边形 ABCD的外角∠ DCH=∠ DCA，DP⊥AC垂足为 P，DH⊥BH 垂足为 H，求证： CH=CP， AP=BH．【解答】证明：（ 1）在△ DHC与△ DPC中，∵∠ DCH=∠DCA， DP⊥ AC， DH⊥ BH， DC为公共边，∴△ DHC≌△ DPC，∴CH=CP．（2）连接 DB，由圆周角定理得，∠DAC=∠ DBH，∵△ DHC≌△ DPC，∴DH=DP，∵DP⊥ AC，DH⊥ BH，∴∠ DHB=∠DPC=90°，∴△ DAP≌△ DBH，∴A P=BH．。

圆周角练习题1．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D在⊙O上，若∠BDC=20°，则∠AOC等于度．2．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为．第1题第2题第3题第4题第5题3．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=68°，∠ADC= 度．4．如图，已知AB为⊙O的直径，∠CAB=32°，则∠ADC= °．5．如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，则∠ABC= 度．6．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠ABO=30°，∠ADO=20°，则∠BOD= ．第6题第7题第8题第9题第10题7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，AB=6，则BC的长是．8. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠B＝100°，则∠AOC＝________.9．如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO=15°，则∠ACB= ．10.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两个点，若∠BAD=55°，则∠ACD= °．11.AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.(1)若CD＝6，AC＝8，则⊙O的半径为________；(2)求证CF＝BF.12．已知，△ABC中，∠A=68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E （Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如图②，当DE=BE时，求∠C的大小．13.已知：△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，OD⊥BC，垂足为H．（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB14. 如图，在⊙O中，AE平分∠BAD，BE平分∠ABD.求证CB＝CE＝CD.15.已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC及点D到BC的距离；（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．图①图②16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17.已知等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图1，且圆O的直径为10cm，求CD的长；（2）若AP不过圆心O，如图2，PC=3cm，求PD的长．。