从点阵到空间群--中科院物理所课件

晶体结构的对称性-董成
全同操作
❖ (1)全同操作(Identity)，符号表示为1 (E)，对 应于物体不动的对称操作，对应的变换矩阵 为单位矩阵。
注意：符号表示为国际符号也称为赫尔曼-毛古因HermannMauguin符号，括号内为熊夫利斯Schönflies 符号。
矩阵表示
晶体结构的对称性-董成
❖ 由于平衡或和谐的排列所显示的美。 ❖ 形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元
的排列构型的精确对应。
晶体结构的对称性-董成
晶格
晶体结构的对称性-董成
晶体点阵与晶体对称性
❖ 在每个重复周期都选取一个代表点，就可以 用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性。 而平移对称性是晶体最为基本的对称性。整 个点阵沿平移矢量 t=ua+vb+wc
点阵点。
5. 晶体结构： 原子在晶体中的周期性排列。 它可以通过在每 点阵点安放一个称为基元（或型主）的一组原子来描述。
晶体结构的对称性-董成
不要混淆点阵点和原子
1. 阵点是在空间中无穷小的点。 2. 原子是实在物体。 3. 阵点不必处于原子中心。
晶体结构= 结构基元@点阵 晶体结构是在每 个点阵点上安放 一个结构基元。
晶体结构的对称性从点阵到空间群
中国科学院物理研究所 董成
晶体结构的对称性-董成
主要内容
❖ 晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞 ❖ 晶体学中的对称操作元素： (旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、螺
旋轴和滑移面) ❖ 晶体学点群，晶系和点阵型式 ❖ 空间群及其应用：空间群符号，等效点系，
分数坐标，不对称单位
❖ 在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称 操作，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反)是点式操作;使空 间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作，如平移，螺 旋转动和滑移反映。

[ 答案: 是 ]
[ 思考题: T 群的不可约表示是几维的? 为什么? ]
[ 答案: 都是一维的, 因为阿贝尔群各元素自成一类, 故不
可约表示数 r 和类数 c 都等于群元数 h ( r = c = h ),
又因为 j nj 2 = h ( j = 1 ---- r ), 则nj 皆为1. ] *
因此有 PT = C ( T )
10
B2 = A-1 B1 A = C4-1 C2 C4 = C2 ( 习题 )
B1 = B2 = C2 D3 ( B1 ) = D4 ( B2 ) = -1 D3 ( B2 ) = D4 ( B1 ) = -1
以上两计算结果表明群C2v 的3 和4 是相对于群C4v 的共轭表示
习题: 用新的点群操作表示法证明下列关系式
则称 1 和 2 为群 H 相对于群 G 的共轭表示 (2) 例1: 群C2v 的 3 和 4 是相对于群C4v 的共轭表示
H: C2v E C2 v’ v” D1 1 1 1 1 1
G: C4v E C2 2v 2d 2C4
D2 2 1 1 -1 -1
D3 3 1 -1 1 -1
D4 4 1 -1 -1 1
Ck = Ck1 Ck2 Ck3 = exp [- 2 i ( P1/N1 + P2/N2 + P3/N3 ) ] = exp [-2 i i (Pi /Ni)] (i = 1, 2, 3) [提问:多少个不可约表示?]
三维平移群 { | R n } 有 N1 N2 N3 个 (群元数) 不可约表示 *
二, 平移群不可约表示的性质
6
(1) 平移群 T = { | R n } 的不可约表示 Ck 为 exp ( i k • R n ),

晶体的化学性质
晶体在特定条件下可以发 生化学反应，参与催化和 合成等重要化学过程。
晶体的力学性质
晶体的力学性质决定了晶 体的强度和变形特性，在 工程领域有重要应用。
晶体的应用
1
半导体材料
晶体在半导体领域有广泛应用，包
晶体管和集成电路
2
括集成电路和太阳能电池。
晶体管和集成电路的发明使得电子
技术得以飞速发展。
晶体的结构和性质
本课件介绍了晶体的结构和性质。包括晶体的概念和分类，晶体的周期性结 构和晶胞，晶体的点阵和空间群，晶体的物理、化学和力学性质，以及晶体 的应用。
晶体的概念和分类
Hale Waihona Puke 晶体的定义晶体是具有周期性结构的固体材料，由原 子、离子或分子按照一定规律排列而成。
晶体的分类
晶体可以根据化学成分、晶体形态和晶体 结构等特征进行分类。
3
晶体振荡器和滤波器
晶体振荡器和滤波器是电子设备中
医用晶体材料
4
关键的频率控制元件。
晶体材料在医学领域用于制作医疗 设备，如X光片和超声传感器。
结束语
晶体在现代科技中扮演着重要的角色，推动了许多领域的发展。展望未来，晶体的应用前景仍然 广阔。
晶体的结构
晶体的周期性结构
晶体具有高度有序的周期性 结构，使其具有特定的物理 和化学性质。
晶体的晶胞和晶格
晶体的结构是由晶胞和晶格 组成的，晶胞是最小重复单 元。
晶体的点阵和空间群
晶体的点阵和空间群描述了 晶体的几何特征和对称性。
晶体的性质
晶体的物理性质
晶体具有独特的光学、热 学和电学性质，可以应用 于光学器件、导热材料和 电子元件。

该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中 心反演而图形不变。
这是一个独立的对称操 作。它既没有 4 次旋转 轴也没有对称中心，不 能分解成其他基本对称 要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
对称面
对称面是一个假想的平面，相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子，把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。 垂直于对称面作任意直线，位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点 晶体中如果存在有对称面，则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分 在结晶学中，对称面一般用符号 “m” 表示。
倒转轴
倒转轴是一种复合对称 要素，由一根假想的直线 和在此直线上的一个定点 组成。相应的对称操作是 绕此直线旋转一定角度以 及对此定点的倒反。 根据晶体对称轴定律，倒 转轴也只有 1 次、2 次、 3 次、4 次和 6 次 5 种
倒反类倒转轴 中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操
点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶
体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点
群。32点群
特征对称元素与7 大晶系
在32晶体学点群中，某些点群均含有一种相同的对称元素， 这样的对称元素叫做特征对称元素。
根据相应的对称性特征，晶体结构可以分为 7 类， 称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成

X射线衍射
X射线衍射
X射线主要与电子云相互作用 只考虑原子对X射线的弹性反射
晶面反射
相长干涉需要光程相等
bc ad dac bca
Bragg 把晶体对 X光的衍射当作由原子平面（晶面）的镜面反射， 在满足镜面反射的衍射方向上，一个晶面内所有原子的散射波位相 相同、相互叠加，形成相长干涉
晶体结构的探测
虽然点群和空间群理论以及晶格理论都是19世纪提出的， 但直到1912年Laue发现了晶体X射线衍射现象之后才得以 从实验上观测到晶体结构并证实了上述理论。
普通光学显微镜受分辨率的限制，无法观测原子排列，使 用X光源，至今又没有可以使X光聚焦的透镜，所以只能依 靠衍射现象来间接观测晶体中的原子排列。
这就是X射线衍射的劳厄条件；
可以证明劳厄条件和布拉格条件等价。
劳厄条件
k
k
G
h
k k Gh
k k
k
Gh
k
Ewald球
k k Gh
劳厄法
晶体取向固定，采用波长在 min 和max 之间的连续 波长的X射线；
劳厄法
晶体取向固定，采用波长在 min 和max 之间的连续 波长的X射线；
1.2
(nm )
eV 12
波长与晶格常数可比时，如波长 0.1nm 对应 的能量 150 eV 。因此适合于晶体结构研究的 是20~250eV的低能电子束。
电子带电，与原子相互作用强，穿透深度约几个 原子层间距量级，因此低能电子衍射(Low Energy Electron Diffraction, LEED)主要用于晶体表面结构 研究。
T (Rn ) (r ) (r Rn )
电子密度具有平移对称性

上述的推导过程完全可以推广到其它晶系的空间群。把上述办
法依次用于7种晶系，共导出66种空间群。如果再考虑点群元素与
布喇菲点阵之间的取向关系，又能得到另一些空间群，结果总共得
出7320种20/1点0/9式空间群。
1
附表3 73种点式空间群
1 2020/10/9
3.4.2 非点式空间群
非点式空间群必包含1个非初基平移T的非点式操作，引入了 这种非点式操作，又可以导出157种非点式空间群。
石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴 附近的螺旋链。左边为其中一个三次螺旋，右方显示的是螺旋连 接构成晶体框架。
1 2020/10/9
滑移面
由镜面和平移组合产生的对称元素称为滑移反映面，简称滑移
1 2020/10/9
子群、母群及生殖元素
子群：若群GA的全部元素是群G中的元素，并且两者的结合律 相同，称GA是群G的子群，而G是群GA的母群。如果对称元素GA和 GB能够得到G的全部对称元素，则称这两个对称元素为群G中的两 个生殖元素(Generating Element).
3.2点群的描述及图示
的全2对020/称10/点9 群。
1
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的 正规点系的数目和点群具有对称操作的数目相同，即与点群的阶数 相同。
1 2020/10/9
立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴， 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等效 点系共有48个点。
230种
对称操作全部作用于同一个公共点上的，至少包
含一个比初基平移还要小的平移τ。 157种
1

3
单位元素 —— 不动操作
第一章 晶体结构
任意元素的逆元素 ——绕转轴角度，其逆操作 为绕转轴角度－ ； 中心反演的逆操作仍是中心反演； A 操作 —— 绕OA轴转动/2 —— S点转到T'点
B 操作 —— 绕OC轴转动/2 —— T'点转到S点 —— T点转到T'点
连续进行A和B操作 —— 相当于C操作
t 为一非完整格矢。
10
n度螺旋及其轴
绕轴每转2π/n角度后，再沿该轴的方向平移 T/n的l 倍，则晶体中的
原子与相同的原子重合。
第一章 晶体结构
(l为小于 n 的整数， 为沿轴方向上的周期矢量) T
晶体只能有1、2、3、4和6度螺旋轴。
例1：4度螺旋轴
A4
例2： 金刚石结构
上下底心的连线就是4度螺旋轴
可以证明8个基本的点对称操作可组合成32个点群。
空间群 (space group) ——包含点群的对称操作和平移对称操作的所 有组合方式。 (布喇菲格子和复式格子)
可以证明有230个空间群。
6
第一章 晶体结构
(一)、点群 —由点对称操作作为元素构成的群。
从宏观上看晶体是有限的，有限物体的对称群不能包含 平移操作，所以晶体的宏观对称性质用点群描写。
n12346由6种对称素可以组成10种二维点群按照点群对基矢的要求划分二维格子有4个晶系5种布拉伐格子25晶系轴和角度布拉伐格子简单斜方长方简单长方中心长方正方简单正方六角简单六方二维晶格的晶系和布拉伐格子26晶体表面相对于晶体表面结构的研究表明晶体表面的结构不完全是晶体内部相应结构的面的延续晶体表面是晶体三维周期性结构和真空之间的过渡层可以将它看作是特殊的相表面相晶体内部与表面平行的平面基矢晶体表面二维晶格基矢这两族基矢有可能是不同的表面的再构27典型表面再构之一晶体表面平面的密勒指数例如111si面原子排列的周期为体内相应平面的7倍28典型表面再构之二不同的方法可以获得不同的再构表面表面的再构现象与表面原子的驰豫原子的吸附有关通常可由低能电子衍射leed获得表面再构的几何规其中s为表面吸附原子29预告

俯视图(单胞)： (左)一般等效点位置 (右)对称元素分布
8 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z;
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. 1 a mmm 0,0,0.
Pban (D24h, No. 50)
P 2/b 2/a 2/n
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P R
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
R3, R3m, R32, R3, R3m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
6, 62m, 6/mmm
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm,P622, P6, P6m2, P62m
四个三次轴
立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
P, I, F
晶系 点群 布拉菲点阵
73种点式空间群
三 斜 1, 1
P
P1, P1
单 斜 2, m, 2/m
P
P2, Pm, P2/m
B B2, Bm, B2/m
正交
222, mm2, mmm
P C I
5/6+
+
1/3+ 1/6+
2/3+
+
1/3+
+
1/3+ 2/3+
1/3+ 2/3+
+ +
2/3+ 1/3+
1/2+ + 1/2+
+ +
1/2+
1、非点式空间群举例分析

1 0 0 cossin0 cossin0 0 1 0sincos0sincos0 0 0 1 0 0 1 0 0 1
.
（6）旋转反映轴--映轴 • 旋转反映 Sn，包括绕对称轴的逆时针旋转360°/n，接着
作垂直反射。 • 符号为ñ (Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
如平移，螺旋转动和滑移反映。
.
• 对称操作： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换 前不可区分（复原，重合）。
• 对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。
.
1、点式操作
（1）全同操作 • (1) 全同操作(Identity)，符号表示为1 (E)，对应于物体不动
的对称操作，相对应的变换矩阵为单位矩阵。
2、写出沿三个坐标轴X，Y和Z的4次旋转轴的表示矩阵。
.
（3）倒反中心(Inversion center) 倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Center of symmetry)，它的操作是通过一个点的倒反(反演)，使空间 点的每一个位置由坐标为(x、y， z)变换到(- x， - y， - z)。符号为1(i)，变换矩阵为
.
（4）反映面--镜面 ① 反映面，也称镜面，反映操作是从空间某一点向反映面 引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取 一点，使其到反映面的距离等于原来点到反映面的距离。 符号为m (s)。 ② 为了表示反映面的方向，可以在其符号后面标以该面的 法线。如法线为[010]的反映面，可记为m [010]。
_~ _~ _~ _~ _~ 1 2 ,2 1 ,3 6 ,4 4 ,6 3
.
2、非点式对称操作
• 非点式对称操作：是由点式操作与平移操作复合后形成的新 的对称操作-

+
2/3+
6 5/6+
1
64 1/3+ 2/3+1/3+ 1/6+
+
+
+
2/3+
1/2+
1/3+
+
6 六次旋转轴
无
61
c/6
62
2c/6
63 六次螺旋轴
3c/6
64
4c/6
65
5c/6
6 六次反演轴
无
滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成
的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
Pmmm (D21h, No. 47)
y
P 2/m 2/m 2/m
x
+ ,- -, + +, - - ,+
对称轴符号
符 号
对称轴
图示 符号
沿轴向的 右手螺旋 平移特征
1 一次旋转轴 无
无
1 一个反演轴
无
无
2 二次旋转轴
平行于纸面
c/2
21
二次螺旋轴
平行于纸面
a/2或b/2
3 三次旋转轴
无
31 三次螺旋轴
c/3
32
2c/3
3 三次反演轴
无
符 号
对称轴
4 四次旋转轴

42
7大晶系与32点群的对应关系。
43
2）7大晶系和32晶体学点群关系
将32种对称性可划分为7种晶系
44
三、32种晶体学点群
45
三、32种晶体学点群
46
47
48
49
50
51
230种晶体学空间群
❖ 除了宏观对称要素之外，还有平移、平移与旋转结合形成 的螺旋对称轴、平移和反映结合形成的滑移面等微观对称 要素。
60
61
62
63
64
65
66
点群和空间群
1
晶体对称性
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
标原点上，则有(x,y,z)点与(-x,-y,-z)点等同。
15
三、镜象(镜面反映、对称面)
1.镜象 如图所示，A和A’等同，如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示—— ;
(2)国际符号表示——m。
z A x, y, z
A
A
O
y
x
A x, y,z O-xy 相当于镜面。
16
四、n度旋转—反演轴(象转轴)
合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。n只能取1，2，3 ，4，6。
晶体不能有5度或6度以上的转轴。 (2)对称轴表示方式 ①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示
C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示

63
Pmm2
点对称和平移对称操作产生新的非基本操作
2020/1/15
64
P222
2020/1/15
65
PMMM
2020/1/15
66
Cmm2
出现滑移面
2020/1/15
67
2020/1/15
68
2020/1/15
69
2020/1/15
70
2020/1/15
71
各晶系空间群特征概要
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
俯视图
方向
原点
2020/1/15
112
2020/1/15
113
2020/1/15
114
原点位置
• 点式空间群：对称性等于空间群点群的点 上，非点式:取在最高对称性的点上，有反 演中心则取在
不对称单位（ Asymmetric Unit ）
商群与点群一一对应商群不一定是点群商群中不含整数平移操作空间群中的任何操作都可以用h个基本操作与平移群的操作组合而得202011753一般等效位置商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点点阵类型加一般等效点系描述空间群等效位置确定商群的对称性及所属的晶系由点阵类型便知道平移群的对称性确定单胞内的原子数及位置202011754国际表中对称操作的表示202011755对称操作的分类及几何符号202011756由对称操作的矩阵求对应的几何符号1查表确定对应点对称操作2确定对称元素的取向和位置a反映b纯旋转c旋转倒反202011757反映面滑移面滑移分量平行滑移面滑移面的位置分量垂直滑移面滑移面位置
独立原子位置
加心产生新的对称操作：滑移线
33
2020/1/15

现代科技中的晶体——高强度材料
在Ni、Co、 Al等基体中生长 出的碳化钽针状 晶体，像混凝土 中的钢筋一样， 使材料强度大大 增加.
8.3 晶体的周期性结构与点阵
8.3.1 结构基元与点阵
晶体的周期性结构使得人们可以把 它抽象成“点阵”来研究.将晶体中重 复出现的最小单元作为结构基元(各个 结构基元相互之间必须是化学组成相 同、空间结构相同、排列取向相同、 周围环境相同),用一个数学上的点来 代表,称为点阵点.整个晶体就被抽象 成一组点,称为点阵.
1981年发展的碰撞锁模染料激光器产生飞秒(1 fs=10-15 s) 级激光脉冲. 90年代, 更稳定的全固体超快掺钛蓝宝石飞秒激 光器出现, 使飞秒化学成为物理化学界的重要研究领域. 1999 年诺贝尔化学奖授予Ahmed H Zewail教授,以表彰他利用飞秒 激光脉冲技术研究超快化学反应过程和过渡态的开拓性工作.
正确做法是按统一取法把每一对离子A-B作为结构 基元，抽象为点阵点, 就得到正确的点阵——立方简单.
CsCl型晶体的点阵——立方简单
NaCl型晶体中，按统一的方式将每一对离子A-B抽象 为一个点阵点. 于是，点阵成为立方面心.
NaCl型晶体结构
NaCl型晶体的点阵—立方面心
金刚石晶体结构
金刚石中每个原子都 是C, 但它们都能被抽象为 点阵点吗？
❖ 晶体特有的性质是异向性、自范性、对称性、 确定的熔点、X光衍射效应:
晶
体
的
云 母
异
片
向
性
产地:甘肃省肃北县
玻 蜡滴 璃
片
云母薄片上的热导率有异向性
蓝晶石两个方向上的硬度差异显著,有“二硬石”之称; 古代的宝石工匠早就知道钻石的八面体面（111）特别难以 抛光……

全对称点群 1 2/m
mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
点群各符号的顺序
晶系
在国际符号中的位置
1
2
3
三斜 只用一个符号
单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
正交 2或2沿a
四方 4或4沿c
2或2沿b 2或2沿a和b
2或2沿c 2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
222 32 422 622
D2 D3 D4 D6 二面体点群
11种中心对称点群：
23 432
TO 立方点群
1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m
S2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h
D6h
Th Oh
10种新子群：
1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m
六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
立方 4、4、2或2
沿<100>
3或3沿<111>
第九讲—点式空间群
2或2沿<110>
1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4)
6(L6)
3(L3)
23(3L24L3)
1(C) m(P) mm2 4/m
(L22P) (L4PC)
6 (S35)
第S九3讲, —S点32式(空C间32群), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E)
65, 64,
63,
62,
6, 66

a, b
轴滑移面
c
n
对角滑移面 (网)
d
“金刚石” 滑移面
沿[100]滑移a/2，或沿[010] 滑移b/2，或沿<100>滑移
无
沿z轴滑移c/2，或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2
(a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方)
(a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4, 或(a±b±c)/4(四方和立方)
四个三次轴
立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
P, I, F
24
晶系 点群 布拉菲点阵
73种点式空间群
三 斜 1, 1
P
P1, P1
单 斜 2, m, 2/m
P
P2, Pm, P2/m
B B2, Bm, B2/m
正交
222, mm2, mmm
65、64、63、62、61
d；n；c、b、滑移面：a ۞
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
(L66P)
(3Li44L36P)
点 群
4/mmm 6/mmm 3(Li3)
(L44L25PC) (L66L27PC)
432
(3L44L36L2)及Βιβλιοθήκη 其422622

●在证明P与G/T之间同构关系时，实际上也证明了： 旋轴的轴次与旋转轴的轴次是一样的。 ●空间群的点群就是让空间群对称操作中的所有平移 （包括点阵平移tj与小于初基平移的wi）都等于0 之后剩下的点对称操作的集合。 显然，空间群的点群必为32个晶体学点群之一。 ●空间群G与它的商群G/T同态，商群G/T与空间群的点 群P同构，则空间群G与它的点群P同态。 即每一个空间群总是与一个晶体学点群同态的。 ●空间群的点群P中的操作不一定是该空间群的对称操 作。如G中有41，但点群P中的4不一定是G中的 对称操作。
P4
I4
P4
P41
P42 P43
I4
I41 I42=I4 I41=I43
例二：单斜晶系13种空间群的推导 单斜晶系：P，C b∥2，b⊥m 同态的点式空间群：P2, C2, Pm, Cm, P2/m, C2/m 2→21, m→a, c, n a P2 →P21 C2 →C21 = C2 Pm →Pc (Pa, Pn) C2 c Cm →Ca=Cm，Cc=Cn P2/m →P21/m，P2/c，P21/c C2/m →C21/m=C2/a=C21/a=C2/m C2/m →C2/c=C2/n=C21/c=C21/n a ¼ ¼ a ¼ a 1/4 1/4
方法：把点式空间群中的点操作(Wi,0)依次换成(Wi,wi), 2→21, 4 →41, 42, 43, m→a, b, c, n, d 抛弃其中不可能的组合，归并其中相同的， →230种空间群 例一：与点群4（C4）同态的空间群的推导 同态的点式空间群：P4，I4 →P41，P42，P43，I41，I42，I43
1/4 1/4
c Cm
c Cc
c
1/4
1/4