初二：因式分解之添项拆项法（王老师每天一讲）

添项拆项法：因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时.整理.化简常将几

个同类项合并为一项.或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分

解因式时.需要 恢复

那些被合并或相互抵消的项.即把多项式中的 某一项拆成两项或多项

.或者在多项式中添上 两个仅符合相反的项. 前者称为拆项.后者称为添项．拆项.添项的

目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解

例1:

下面是两道简单的添项拆项题，大家可以练练手。。

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因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应

用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法

灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需

的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独

特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组

分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解

的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

式分解中常用的公式，例如：

　（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

　(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2；

　(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

　(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再补充两个常用的公式：

　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知是的三边，且，abc，，ABC222abcabbcca

则的形状是（ ）ABC

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam

例2、分解因式：bxbyayax5102

练习：分解因式1、 2、bcacaba21yxxy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ayaxyx22

例4、分解因式：2222cbaba

圈垒ｚ　

因式分解中的“拆　

关键词：因式分解拆项法添项法　因式分解是多项式乘法的逆向运算，　是代数恒等变形的基础，体现了一种“化　归”的思想．提取公因式法、公式法、二次　三项式的“十字相乘法”、分组分解法是因　式分解的基本方法，因式分解的基本原则　是必须进行到每一个多项式因式都不能　再分解为止．但是，有些多项式运用以上　因式分解的基本方法仍然无法达到分解　因式的目的．这时，就要使用拆项法和添　项法．所谓拆项，就是把多项式中某～项　拆成两项或多项的和（相当于整式加法中　合并同类项的逆运算），再通过适当分组，　达到分解因式的目的．所谓添项，就是在　要分解的多项式中加上仅仅符号相反的　两项和，再运用完全平方公式或平方差公　式，即可将原多项式分解因式．拆项法和　添项法是技巧性较强的变形，通过拆项法　或添项法配成完全平方式或进行适当分　组分解是常见的思路．而想要做到这～　点，首先要认真观察多项式的结构特点和　数量关系，分析出多项式与完全平方式或　分组分解法的关系，才能正确地进行拆、　添项，使问题得到解决．　在语文的教学过程中，常常会见到诸　如“拆东墙补西墙”、“锦上添花”等语句．　今天，我们在数学的多项式因式分解这一　领地也来探讨一下“拆”与“添”的奥妙吧！　一、“拆”东墙补西墙，巧妙无比　对于一些多项式分解因式，有时运用　因式分解的基本方法无法达到目的．此　时，必须另辟蹊径：把多项式中的某些项　拆成一项或几项，再进行巧妙的组合，从　而达到解决问题的目的．　例１　分解因式：　＋　一２．　分析：题目中有平方项和立方项，此　时须将一２拆成一１和一ｌ项，然后进行　巧妙的分组，再运用公式进行因式分解，　最后就可以达到目的．　解：原式＝ａ２－１＋　－１＝（ａ－１）（ａ＋１）　＋（ａ－１）（ａ２＋ａ＋１）＝（ａ－１）（ａ２＋２ａ＋２）．　例２分解因式：　。＋　＋１　７ｘ＋ｌ０．　分析：本题的“拆”项有多种方法，各有　千秋．不同的拆法和不同的组合法使我们　眼前一亮，大有“一山更比一山高”的感慨．　＂与“添＂　一广东省揭西县第一中学李伟锋　解法一：　原式　。＋２ｘ　＋６ｘｚ＋１　７ｘ＋ｌ　０　＝　（ｘ＋２）＋（　＋２）（６ｘ＋５）　＝（　＋２）（　＋６ｘ＋５）　＝（　＋１）（　＋２）（　＋５）　解法二：　原式＝　＋８ｘ　＋７ｘ＋ｌ　Ｏｘ＋１　０　＝　（　＋８ｘ＋７）＋１０（ｘ＋１）　＝　（　＋１）（ｘ＋７）＋ｌ０（　＋１）　一（ｘ＋１）　（ｘ＋７）＋１０］　＝（ｘ＋１）（　＋７ｘ＋ｌ０）　＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋５）．　例３分解因式：ｘ４＋２ｘ３—９ｘ　－２ｘ＋８．　分析：本题解题的关键是把一％ｚ拆成　和一　项，然后进行两两分组，就会出　现公因式（Ｘ２－１），提取公因式（　Ｌ１）后，会　发现剩下的多项式又可以分解因式，从而　最终达到分解因式的目的．　解：原式＝（：６４－￣　）＋（２　一２　）一（‰　一　８）＝　（　一１）＋２ｘ（：６２－１）～８（　－１）　：（　—１）（　＋２ｘ一８）　＝（ｘ＋１）（　一１）（ｘ＋４）（ｘ－２）．　例４分解因式：ｘ３＋６ｘ２＋ｌ　ｌｘ＋６．　分析：本题的突破口是把多项式中的　甑　和ｌ１　两项各拆成两项，然后分组进　行分解因式，从而达到分解因式的目的．　解：原式＝（　－Ｉｘ　）＋（５ｘ　＋　）＋（　＋６）　（ｘ＋１）＋５ｘ（ｘ＋１）＋６（ｘ＋１）　一（ｘ＋１）（　＋５ｘ＋６）　一（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）．　二、锦上“添”花。魅力无穷　有些多项式分解因式，甚至拆项法　也完成不了，这时就要运用添项法，解决　问题．　例１分解因式：　＋４．　分析：完成本题的技巧是“添”４ｘ２项　后，同时减去４　项，再运用完全平方公　式和平方差公式，便可迎刃而解了．　解：原式一（　）　＋　４—４ｘ　一（　＋２）　一　（２ｘ）　＝（ｘ２＋２ｘ＋２）（　Ｌ２ｘ＋２）．　例２分解因式：ａ３＋ｂ３＋ｃ。－３ａｂｃ．　分析：解决本题的关键是利用（ａ＋ｂ）　＝ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａｂ　＋６。进行“添”项，将原式加　上３ａ２ｂ和３ａｂ　，将口　。配成（ａ＋ｂ）。，同时　减去３　和３ａｂ　，与式子中的３　ｃ有公　２０１３・２３　因式３ａｂ提出，含有（ａ＋ｂ＋ｃ），而（ａ＋ｂ）　３－ｃ。中可以用立方和公式展开，也含有　（ａ＋ｂ＋ｃ），即可使本题简单化．　解：原式　＝ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋ｂ３＋ｃ０—３　一３Ⅱ６　—３ａｂｃ　＝（ａ＋ｂ）３＋ｃＬ３　（ａ＋６＋ｃ　ｊ　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）［（ａ＋ｂ）　一（ａ＋ｂ）ｃ＋ｃ　卜　３　（ａ＋ｂ＋ｃ）　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａＺ＋６　＋ｃ　一曲一功。一ｂｃ）．　例３分解因式：（１＋　）　一　（１＋　）　＋　（１一ｙ）　．　分析：本题难度较大，看似较难找到　突破口，事实上，只要注意到多项式中含　有两项的平方和，只需添加两项积的两　倍，就可用配方法恰当分解．　解：原式　＝（１＋ｙ）　＋２（１＋ｙ　（１一ｙ）＋　（１一ｙ）　一２（１　）　（１　）一２　（１＋ｙ　）　＝［（１＋，，）＋　（１一ｙ）Ｙ一２ｘ　（１一ｙ　＋１＋　）　＝（ｘｍ－ｘ２ｙ＋ｙ＋１）Ｌ　＝（　＋１＋２ｘ）（　），　＋卜２　）　－（ｘ＋１）（　＋１一ｌ　＋ｙ）（　一１）（　一１一ｘｙ—Ｙ）　＝（　＋１）（　一１）（　＋　—　ｙ＋１）（　＿，，—ｊ　一１）．　三、“拆”与“添”双剑合璧。引人回昧　如果单纯运用拆项或添项也无法解　决的问题，这时，就必须“双管齐下”，运　用“拆”与“添”联合出击，找到解决问题　的方法．　例分解因式：Ｘ３＿７ｘ＋６．　分析：此题的解法灵活多样，这里只　讲解“添”与“拆”项法的完美结合．在原式　中加上　，再加上　，然后把一７　拆成　和一６　，最后进行两两巧妙组合，从而　达到“柳暗花明又一村”的境界．　解：原式　＝—　＋　０＋　４—　一６　＋６　＝　。（　一１）　（　。一１）一６（　—１）　＝—　（　一１）＋　（　一１）（　＋　＋１）一６（　一１）　＝（　一１）［－ｘ。ｉ　ｘ（ｐ６２　＋１）一６］　＝（　一１）（　＋　一６）　＝（　一１）（ｘ－２）（　＋３）．　总之，利用拆项法和添项法对多项式　进行分解因式，靠的是勤加训Ｉ练，练就一　双“火眼金睛”，那么拆项和添项就可以运　用自如了．

一元三次因式分解的方法与技巧

1. 嘿，你知道吗？先试试提取公因式法呀！比如 x³+2x²+x，这里每一项都有 x，那就可以把 x 提出来变成 x(x²+2x+1)，这多简单呀！

2. 还有哦，公式法也超好用的！就像 a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，比如说

8+27x³=(2+3x)(4-6x+9x²)，是不是一下子就清楚了呢？

3. 分组分解法也别错过呀！像 x³-3x²+4x-12，就可以分成(x³-3x²)和(4x-12)两组，然后再分别处理，多有意思啊！

4. 你想过吗？十字相乘法也能在一元三次因式分解里大显身手哦！比如

2x³-5x²-3x，用十字相乘法就能找到思路，很神奇吧！

5. 换元法有时候就像一把钥匙呢！比如遇到很复杂的式子，换个元说不定就豁然开朗啦，就像走迷宫找到了出口一样兴奋！

6. 添项拆项法就像是在玩拼图游戏，把式子拆开再组合，比如 x³+6x-7，通过巧妙添项拆项就能分解啦，是不是很妙？

7. 咱再来说说主元法呀，把某个字母当成主要的来对待，其他的就围绕着它，像解谜题一样有趣，你还不试试？

8. 双十字相乘法也很厉害呀，面对一些特别的式子，它可是能轻松搞定的，这可是个厉害的武器呢！

9. 最后，综合运用这些方法，那就能在一元三次因式分解的世界里畅游啦！不管遇到多么难的式子，都别害怕，一个个方法试过去，肯定能找到答案，相信自己呀！

我的观点结论就是：一元三次因式分解的方法多种多样，只要掌握了这些方法和技巧，再加上一些耐心和细心，就没有解不开的式子！