因式分解拆项添项

因式分解添项拆项规律

当我们需要对一个多项式进行因式分解时，可以利用添项拆项规律来简化计算。添项拆项规律指的是在多项式中添加或移除一些数学运算符号，以便将多个单项式合并或拆分成更简单的形式。

下面是一些常见的添项和拆项规律：

1. 合并同类项：对于一个多项式，合并所有具有相同指数的变量的项。例如：3x

+ 4x = 7x。

2. 提取公因式：如果一个多项式中的每一项都可以被一个公共因子整除，可以将这个公因子提取出来。例如：2x + 4y = 2(x + 2y)。

3. 分解差平方：对于一个差的平方形式，可以分解成两个因子的乘积。例如：a^2

- b^2 = (a + b)(a - b)。

4. 分解完全平方差：对于一个完全平方差形式，可以分解成两个因子的乘积。例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

5. 分解立方差：对于一个立方差形式，可以分解成两个因子的乘积。例如：a^3 -

b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。

6. 分解和的平方：对于一个和的平方形式，可以分解成两个因子的乘积。例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

7. 分解差的立方：对于一个差的立方形式，可以分解成两个因子的乘积。例如：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)。

通过灵活运用这些添项拆项规律，我们可以将复杂的多项式简化为更简单的形式，并且更容易进行进一步的计算或分析。

添项拆项法因式分解

添项拆项法是一种将多项式进行因式分解的方法。它基于多项式的加法和减法性质，通过拆分多项式的项来找到可以因式分解的因子。

多项式是由一系列的项组成的，每一项包含了常数和某个变量的幂次。要进行添项拆项法因式分解，我们首先需要了解多项式的结构和每一项的性质。

一个多项式的基本结构如下：

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0

其中an, an-1, ..., a2, a1, a0是多项式的系数，x是变量，n是多项式的次数。

接下来，我们将介绍如何使用添项拆项法对多项式进行因式分解。

我们要观察多项式中每一项的系数和次数，然后尝试将多项式拆分为更小的部分。 比如，我们有一个多项式f(x) = 3x2 + 9x + 6。我们可以观察到每一项的系数3、9、6都可以被3整除，因此我们可以使用3来拆分每一项。这样我们就可以将多项式写成如下形式：

f(x) = 3(x2 + 3x + 2)

现在，我们可以继续观察括号内的多项式，并尝试进行进一步的拆分。在这个例子中，我们可以发现x2 + 3x + 2不能再进一步拆分为更小的部分。因此，我们可以得出以下因式分解：

f(x) = 3(x + 2)(x + 1)

通过添项拆项法，我们成功地将多项式f(x)分解为了两个一次多项式的乘积。

让我们再看一个稍微复杂一些的例子。考虑多项式g(x) = 2x3 +

10x2 + 12x + 6。观察每一项的系数，我们发现它们都可以被2整除。因此，我们可以使用2来拆分多项式，得到如下形式：

g(x) = 2(x3 + 5x2 + 6x + 3) 现在，我们要继续观察括号内的多项式，尝试进行进一步的拆分。在这个例子中，我们可以将x3 + 5x2 + 6x + 3重写为x2(x + 5) +

3(x + 1)。这样，我们可以得到以下因式分解：

g(x) = 2(x + 1)(x + 3)(x + 1)

因式分解

（拆添项、配方、双十字、主元） 第四讲

2

拆添项

一、拆项与添项：

拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如222

32aaa；

添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如22

1221aaaa.

拆项和添项都是代数式的恒等变形. 在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进

行因式分解.

这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需

要同学们通过多做练习来掌握.

【铺垫1】 ★★☆☆☆

分解因式：3

87xx

【例题1】 ★★★☆☆

分解因式：

（1）3

2xx

（2）4

14xx

（3）42

201820172018xxx

3

配方法

二、配方法：

（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的

一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．

（2）方法：配方主要是配中项2ab，或配一个平方项2

b（或2

a）．如何配方依赖于对题目特点的观

察和分析．

应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式

22

AB的形式，使多项式可分解为



ABAB

的形式．

【铺垫2】 ★☆☆☆☆

分解因式：42

1xx

【例题2】 ★★☆☆☆

分解因式：

（1）44

4xy （2）42

59xx

（3）4224

23aabb

4

【例题3】 ★★★☆☆

432

2321xxxx

【悬赏题】 ★★★★☆

分解因式：5

1xx

【悬赏题】 ★★★★☆

分解因式：4

44

xyxy

5

双十字相乘

双十字相乘法：

⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如FEyDxCyBxyAx

22

的二次多项式进行因式

分解.

⑵条件：①

21aaA

1

4.拆项与添项

为便于进行分组分解，常常将一项（或若干项）拆为两项（或几项）的和．

4.1 拆 开 中 项

前面已经说过，在分组分解时，常常将项数平均分配．但是，像344xx这样的式子，只有三项，怎么能平均分成两组呢？方法是先将一项拆为两项．如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的，那么以拆开中项为宜．

例1 分解因式：.344xx

解 344xx

334xxx

)33()(4xxx

)1(3)1)(1(2xxxxx

).3)(1(23xxxx

例2 分解因式：.)(1322abxxab

解 322)(1abxxab

)()1(3222abxbxxa

)1()1)(1(2axbxaxax

).1)(1(2bxaxax

在这两个例子中，都有一个因式是x的一次多项式．第8单元将讨论求一次因式的一般方法．

4.2 皆 大 欢 喜

拆项的目的无非是在适当分组后使得每一组都可以“提”或“代”（同时，组与组之间也可以“提”或“代”）．因此，有时也不一定都是拆开中项．

例3 分解因式： .233332323bbbaaa

解 前三项比完全立方公式少1，四、五、六项的和也比立方公式少1．如果把2拆为两个1，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜，于是

233332323bbbaaa

)133()133(2323bbbaaa

33)1()1(ba

])1()1)(1()1)[(2(22bbaaba 2

).1)(2(22babababa

4.3 旧 事 重 提

例4分解因式：.4224bbaa

解在第2单元中，我们已经巧妙地导出了这个多项式的因式分解(例11中得到的公式(9))．现在，我们用拆项的方法来导出公式(9)．