拆项添项法因式分解

因式分解难题举例

一、巧用公式法

1、 分解因式：a3+b3+c3－3abc．

解 原式=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc

=［(a+b)3+c3］－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)［(a+b)2－c(a+b)+c2]－3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)．

说明 公式a3+b3+c3－3ab=(a+b)3－3ab(a+b)+c3－3abc c是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式其变形为 a3+b3+c3－3abc

显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3－3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

2、 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an－bn来分解． 解 因为

x16－1=(x－1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，

所以

二、拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

例4 分解因式：x3－9x+8．

分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

数学因式分解方法：双十字相乘法与拆法添项法

5、双十字相乘法

在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的差不多方法，关于比较复杂的多项式，专门是某些二次六项式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也能够运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：

(1)用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图

(2)把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这两个因式在第二个十字中交叉之积的和等于原式中含y的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x的一次项

例5分解因式

①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2

③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2

解①原式=(2x-3y+1)(2x+y-3)

2x-3y1

2xy-3

②原式=(x-5y+2)(x+2y-1)

x-5y2

x2y-1

③原式=(b+1)(a+b-2)

0ab1

ab-2

④原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)

2x-3yz

3x-y-2z

说明：③式补上oa2,可用双十字相乘法，因此此题也可用分组分解法。

如(ab+a)+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)

④式三个字母满足二次六项式，把-2z2看作常数分解即可：

6、拆法、添项法 关于一些多项式，假如不能直截了当因式分解时，能够将其中的某项拆成二项之差或之和。再应用分组法，公式法等进行分解因式，其中拆项、添项方法不是唯独，可解有许多不同途径，对题目一定要具体分析，选择简捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4

解析法一：可将-4拆成-1，-3即(x3-1)+(3x2-3)

法二：添x4,再减x4,.即(x4+3x2-4)+(x3-x4)

法三：添4x,再减4x即，(x3+3x2-4x)+(4x-4)

法四：把3x2拆成4x2-x2,即(x3-x2)+(4x2-4)

学生做题前请先回答以下问题

问题1:因式分解的四种基本方法有哪些?

问题2:添项拆项的目的是使多项式能够用 进行因式分解，这种方法技巧性

强，需要充分关注多项式的

问题3:换元、添项拆项是复杂多项式进行分解因式的常用技巧之一，通过对复杂多项式的

处理，最终都转化为

因式分解综合应用(添项拆项)

一、单选题(共10道，每道10分)

1.把4x4+1因式分解，正确结果是( ) (人教版)

A.4(x+1)*8.(2x²+2x+1X2x²-2x+1)

c.(x²+2x+2)(x²-2x+2)p.(2x²+1)²

答案：B

解题思路：

原式=(2x²)²+4x²+1-4x²

=(2x²+1)²-4x

=(2x²+1+2x)(2x²+1-2x)

=(2x²+2x+1)(2x²-2x+1)

故 选 B .

试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法

2.把x⁴+2°因式分解，正确结果是( )

A.(x²+8)²8.(x²-4x+8)(x²+4x+8)

c.(x-2)²(x+2)²D,(x²-8)²

答案：B

解题思路：

原式=(x2)²+16x²+8²-16x²

=(x²+8)²-(4x)²

=(x²+4x+8)(x²-4x+8)

故选B

试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法

3.把x³-1因式分解，正确结果是( )

A.(X+1Xx-1)8.(x-1)<2-x+1)

c.(x-1(2+x+1。.(x+1)<²-x+1)

答案：C

解题思路：

法(一):

原式=x² -x+x² - 1

=x2(x-1)+(x+1)(x-1)

=(x-1)(x²+x+1)

法(二):

原式=x²-x+x-1

=x(x+1)(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x²+x+1)

故选C.

试题难度：三颗星知识点：因式分解的技巧-—添项拆项法

4.把4x⁴+y⁴+3x²y²因式分解，正确结果是( )

第 1 页 共 6 页 因式分解的配方法和拆添项法参考答案 

知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则

是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。 

A卷 

一、填空题 

1、分解因式：_______________893

=+-xx

.

（拆项法） 

答案：()()

812

-+-xxx 

解析：原式()

()()()()

=---+=---=+--=181118188

23

xxxxxxxxxx()()

812

-+-xxx 

提示：本题的关键是将x9

-拆为x

-和x8

-. 

2、分解因式：_______________12224

=-+++aaxxx.

（添项法） 

答案：

()()1122

++--++axxaxx 

解析：原式()

()

=--+=-+-++=22

22224

1212axxaaxxxx()()

1122

++--++axxaxx 

提示：本题的关键是将通过添加2

x，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。，构造完全平方公式，进而利用平方差公式分解。

3、分解因式：____________________15

=++xx.

（添项法） 

答案：()()

11232

+-++xxxx 

解析：原式()()

()()()

111111222232225

+++++-=+++-=+++-=xxxxxxxxxxxxxx 

()()

11232

+-++=xxxx 

提示：本题的关键是将通过添加2

x

，构造立方差公式，进而提取公因式分解。，构造立方差公式，进而提取公因式分解。

4、（第15届“希望杯”初二试题）分解因式：_____________232432234

=++++babbabaa. 

答案：()

2

22

abba

++ 

解析：原式()()

=+++++=

22334224

222baabbabbaa()

()()

=++++22

22

2abbaabba 

()2

22abba

++ 

提示：本题的关键是将通过拆项

22

3ba，构造完全平方公式。