高中物理专题讲解——在动力学中临界极值问题的处理

动力学临界问题的类型与处理方法〇、问题的缘起高中物理中的动力学临界问题是一类较难的题目，本文尝试从牛顿第二定律的等号的含义的挖掘出发，提出这类问题的产生原因、基本类型和基本解决方法。

一、动力学临界问题的本质——供需匹配问题牛顿第二定律ma F =∑，等式的左边是其他物体提供给物体的力（供），右边是物体以加速度a 运动时所需要的力（需），因此ma F =∑实际上是供需匹配的方程。

当某些外界条件变化时，a 可能变化，因此物体所需要的力可能发生变化，这就存在供需匹配问题。

动力学临界问题，本质上讲，就是供需匹配问题： ①供需相匹配（等号成立），则可维持两物体间的某种关联（如相对静止、距离不变等）； ②若供需不匹配（等号不成立），则两物体间的该种关联被破坏（如两物体相对滑动、距离增大或者减小等）。

二、动力学临界问题的类型依据其他物体提供给物体的力的特点，可将动力学临界问题分为两大类型：供可变型和供不可变型。

1、供可变型其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。

具有这种特点的力，主要是两大类：静摩擦力和弹力。

具体分析如下：（1）静摩擦力：-F f m ≤F f ≤F f m ，N f F F 0m μ=若：所需F f ≤F f m ，则两物体相对静止，若：所需F f ＞F f m ，则两物体相对滑动。

（2）弹力：F N ≥0， 0≤F T ≤F T m①支持力/压力F N ：所需F N ≥0，则两物体相互接触，所需F N ＜0，则两物体相互分离。

②绳中张力F T ：所需F T 满足0≤F T ≤F T m ，则绳子绷直，两物体维持某间距，所需F T ＜0，则绳子松弛，两物体间距减小，靠近，所需F T ＞F T m ，则绳子绷断，两物体间距增大，分开。

2、供不可变型特定位置处，其他物体提供的力是一个确定的值；若需要的力等于该值，则能够维持物体间的相对位置，若需要的力不等于该值，则两物体接近或者远离。

考点二 动力学中的临界与极值问题动力学中的临界问题一般有三种解法：1.极限法在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的．2．假设法有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法．3．数学法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件．命题点1 接触与脱离的临界条件3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2)【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有kx 1＝(M ＋m )g ①kx 2－mg ＝ma ②x 1－x 2＝12at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2.F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ，F max ＝M (g ＋a )＝168 N.【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N命题点2 相对滑动的临界条件4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小；(2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小．【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma解得a ＝5 m/s 2.(2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg )解得n ≤3.33即小铅块最多只能带动3个木块运动设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s.【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s命题点3 数学方法求解极值问题5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.求：(1)物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？【解析】 (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得L ＝v 0t ＋12at 2① v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据得a ＝3 m/s 2③v ＝8 m/s ④(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ⑤F sin α＋F N －mg cos θ＝0⑥又F f ＝μF N ⑦联立⑤⑥⑦式得F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋ma cos α＋μsin α⑧ 由数学知识得cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑨ 由⑧⑨式可知对应F 最小的夹角α＝30°⑩联立③⑧⑩式，代入数据得F 的最小值为F min ＝1335N. 【答案】 (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30°1335N“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T＝0.(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．。

动力学中的九类常见问题临界极值问题【问题解读】1.题型概述在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。

问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。

2.临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。

临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。

(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。

(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。

当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。

【方法归纳】求解临界、极值问题的三种常用方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学方法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件解题此类题的关键是：正确分析物体的受力情况及运动情况，对临界状态进行判断与分析，挖掘出隐含的临界条件。

【典例精析】1(2024河北安平中学自我提升)如图所示，A、B两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知m A=m B =1kg，轻弹簧的劲度系数为100N/m。

若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使木块A由静止开始以2m/s2的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A向上做匀加速运动开始到A、B分离的过程中。

微专题21动力学中的临界和极值问题1．直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a 相同、F N ＝0.2.靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.3.极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程.4.数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．1.(多选)如图所示，一块足够长的轻质木板放在光滑水平地面上，质量分别为m A ＝1kg 和m B ＝2kg 的物块A 、B 放在长木板上，A 、B 与长木板间的动摩擦因数均为μ＝0.4，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现用水平拉力F 拉A ，取重力加速度g ＝10m/s2.改变F 的大小，B 的加速度大小可能为()A ．1m/s 2B ．2m/s 2C ．3m/s 2D ．4m/s 2答案AB 解析当A 对长木板的静摩擦力达到最大值时，B 的加速度最大，将轻质长木板和B 看成整体，由牛顿第二定律得μm A g ＝m B a B max ，解得a B max ＝0.4×1×102m/s 2＝2m/s 2，因为a B max <μg ＝4m/s 2，所以结果是合理的，因此，B 的加速度大小可能为1m/s 2、2m/s 2，不可能为3m/s 2、4m/s 2，故A 、B 正确，C 、D 错误.2.如图所示，水平桌面上放置一个倾角为45°的光滑楔形滑块A ，一细线的一端固定于楔形滑块A 的顶端O 处，细线另一端拴一质量m ＝0.2kg 的小球．若滑块与小球一起以加速度a 向左做匀加速运动(取g ＝10m/s 2)，则下列说法正确的是()A ．当a ＝5m/s 2时，滑块对球的支持力为22N B ．当a ＝15m/s 2时，滑块对球的支持力为22N C ．当a ＝5m/s 2时，地面对A 的支持力一定大于两个物体的重力之和D ．当a ＝15m/s 2时，地面对A 的支持力一定小于两个物体的重力之和答案A 解析设加速度为a 0时滑块对小球的支持力恰好等于零，对小球受力分析，受重力、拉力，根据牛顿第二定律，水平方向有F 合＝F cos 45°＝ma 0，竖直方向有F sin 45°＝mg ，解得a 0＝10m/s 2.当a ＝5m/s 2时，小球未离开滑块，水平方向有F cos 45°－F N cos 45°＝ma ，竖直方向有F sin 45°＋F N sin 45°＝mg ，解得F N ＝22N ，故A 正确；当a ＝15m/s 2时，小球已经离开滑块，只受重力和细线的拉力，滑块对小球的支持力为零，故B 错误；当系统相对稳定后，竖直方向没有加速度，受力平衡，所以地面对A 的支持力一定等于两个物体的重力之和，故C 、D 错误．3.如图所示，静止在光滑水平面上的斜面体，质量为M 、倾角为α，其斜面上有一静止的滑块(可视为质点)，质量为m ，重力加速度为g .现给斜面体施加水平向右的力使斜面体加速运动，若要使滑块做自由落体运动，图中水平向右的力F 的最小值为()A.Mgtan αB.Mg sin αC.Mg cos αD ．Mg 答案A 解析设滑块由静止到斜面体底端的距离为l ，滑块做自由落体运动到达地面时竖直方向的位移为l sin α，在水平向右的力F 的最小值作用下，斜面体在水平方向的位移恰好为l cos α，对滑块有l sin α＝12gt 2，对斜面体有l cos α＝12at 2，F ＝Ma ，解得F ＝Mg tan α，故选项A 正确．4．(多选)如图所示，粗糙的水平面上有一内壁为半球形且光滑的容器，容器的质量为2kg ，与地面间的动摩擦因数为0.25，在水平推力作用下置于容器内质量为1kg 的物块(可视为质点)与容器一起向左做加速运动，OP 连线与水平线的夹角θ＝53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g ＝10m/s 2)，则()A ．容器的加速度大小为7.5m/s 2B ．容器对物块的支持力大小为12.5NC ．推力F 的大小为42ND ．地面对容器的支持力大小等于30N答案ABD 解析物块受力如图所示，对物块，由牛顿第二定律得mg tan θ＝ma ，解得a ＝7.5m/s 2，故A 正确；由平衡条件可知，容器对物块的支持力F N ＝mg sin θ＝1×10sin 53°N ＝12.5N ，故B 正确；以物块与容器组成的系统为研究对象，由牛顿第二定律得F －μ(M ＋m )g ＝(M ＋m )a ，代入数据解得F ＝30N ，故C 错误；对物块与容器组成的系统，在竖直方向没有加速度，受力平衡，由平衡条件可知，地面对容器的支持力大小F N 地＝(m ＋M )g ＝(1＋2)×10N ＝30N ，故D 正确．5.(多选)如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则()A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μg C ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg 答案BCD 解析当A 、B 刚要发生相对滑动时，A 、B 间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即F f ＝2μmg .对物块B ，根据牛顿第二定律得2μmg －12μ×3mg ＝ma ，解得a ＝12μg .对整体，根据牛顿第二定律有F －12μ×3mg ＝3ma ，解得F ＝3μmg ，可知当F >3μmg 时，A 、B 发生相对滑动，故C 正确．当F <2μmg 时，即水平拉力小于A 、B 之间的最大静摩擦力，则A 、B 不会发生相对滑动；对整体分析，由于整体受到地面的最大静摩擦力F fmax ＝12μ×3mg ＝32μmg ，当F ≤32μmg 时，A 、B 相对地面静止，故A 错误．当F ＝52μmg <3μmg 时，A 、B 保持相对静止，对整体分析，根据牛顿第二定律有F －12μ×3mg ＝3ma ，解得A 的加速度为13μg ，故B 正确．设B 的最大加速度为a max ，由牛顿第二定律得2μmg －32μmg ＝ma max ，得a max ＝12μg ，可知B 的加速度不会超过12μg ，故D 正确．6．(多选)如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为m 的物体A 、B (B 与弹簧连接，A 、B 均可视为质点)，弹簧的劲度系数为k ，初始时刻物体处于静止状态．现用竖直向上的拉力F 作用在A 上，使A 开始向上做加速度大小为a 的匀加速运动，测得A 、B 的v －t 图像如图乙所示，物体B 的v －t 图像在t 2时刻的斜率与t 轴平行，已知重力加速度大小为g ，则()A ．施加力F 前，弹簧的形变量为2mgkB ．施加力F 的瞬间，A 、B 间的弹力大小为m (g ＋a )C ．A 、B 在t 1时刻分离，此时弹簧弹力等于B 的重力D ．B 上升速度最大时，A 、B 间的距离为12at 22－mg k答案AD 解析施加力F 前，A 、B 整体受力平衡，则弹簧弹力F 0＝2mg ＝kx 0，解得弹簧的形变量x 0＝2mg k，选项A 正确；施加力F 的瞬间，即t ＝0时刻，对B ，根据牛顿第二定律有F 0－mg －F AB ＝ma ，解得A 、B 间的弹力大小F AB ＝m (g －a )，选项B 错误；A 、B 在t 1时刻分离，此时A 、B 具有共同的速度与加速度，且F AB ＝0，对B 有F 1－mg ＝ma ，解得此时弹簧弹力大小F 1＝m (g ＋a )，选项C 错误；t 2时刻B 上升速度最大，加速度为零，则kx 2＝mg ，解得此时弹簧的形变量x 2＝mg k ，B 上升的高度h ＝x 0－x 2＝mg k ，A 上升的高度H ＝12at 22，所以A 、B 间的距离Δh ＝12at 22－mg k，选项D 正确．7.如图所示，质量为m ＝1kg 的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体的质量为M ＝2kg ，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面光滑，现对斜面体施加一水平推力F ，要使物块m 相对斜面静止，试确定推力F 的取值范围．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10m/s 2)答案14.4N ≤F ≤33.6N 解析假设水平推力F 较小，物块相对斜面具有下滑趋势，当刚要下滑时，推力F 具有最小值，设大小为F 1，此时物块受力如图甲所示，取加速度方向为x 轴正方向，对物块分析，在水平方向有F N sin θ－μF N cos θ＝ma 1竖直方向有F N cos θ＋μF N sin θ－mg ＝0对整体有F 1＝(M ＋m )a 1代入数值得a 1≈4.8m/s 2，F 1≈14.4N ；假设水平推力F 较大，物块相对斜面具有上滑趋势，当刚要上滑时，推力F 具有最大值，设大小为F 2，此时物块受力如图乙所示，对物块分析，在水平方向有F N ′sin θ＋μF N ′cos θ＝ma 2在竖直方向有F N ′cos θ－μF N ′sin θ－mg ＝0对整体有F 2＝(M ＋m )a 2代入数值得a 2≈11.2m/s 2，F 2≈33.6N ，综上所述可知推力F 的取值范围为14.4N ≤F ≤33.6N.8.如图所示，一弹簧一端固定在倾角为θ＝37°的光滑固定斜面的底端，另一端拴住质量为m 1＝4kg 的物体P ，Q 为一质量为m 2＝8kg 的物体，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝600N/m ，系统处于静止状态．现给Q 施加一个方向沿斜面向上的力F ，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2s 时间内，F 为变力，0.2s 以后F 为恒力，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g ＝10m/s 2.求力F 的最大值与最小值．答案72N 36N 解析设开始时弹簧的压缩量为x 0，由平衡条件得(m 1＋m 2)g sin θ＝kx 0代入数据解得x 0＝0.12m因前0.2s 时间内F 为变力，之后为恒力，则0.2s 时刻两物体分离，此时P 、Q 之间的弹力为零，设此时弹簧的压缩量为x 1对物体P ，由牛顿第二定律得kx 1－m 1g sin θ＝m 1a前0.2s 时间内两物体的位移x 0－x 1＝12at 2联立解得a ＝3m/s 2对两物体受力分析知，开始运动时拉力最小，分离时拉力最大，F min ＝(m 1＋m 2)a ＝36N对Q，应用牛顿第二定律得F max－m2g sinθ＝m2a 解得F max＝m2(g sinθ＋a)＝72N.。

高中物理-动力学中的临界和极值问题在应用牛顿运动定律解决动力学问题时，会出现一些临界或极值条件的标志： 1．若题目中出现“恰好”“刚好”等字眼，明显表示过程中存在临界点．2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就对应临界状态．3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，而极值点往往是临界点．4．若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等即是求收尾加速度或收尾速度． 一、接触与分离的临界条件物体分离的临界条件是相互作用力由原来的不为零变为零．因此解答此类问题，应该对原状态下研究对象的受力和运动状态进行分析，由牛顿第二定律或平衡条件列方程，令其中相互作用的弹力为零解得临界状态的加速度，以临界加速度为依据分析各种状态下物体的受力情况及运动状态的变化．质量为m 、半径为R 的小球用长度也为R 的轻质细线悬挂在小车车厢水平顶部的A 点，现观察到小球与车顶有接触，重力加速度为g ，则下列判断正确的是( )A ．小车正向右做减速运动，加速度大小可能为3gB ．小车正向左做减速运动，加速度大小可能为33gC ．若小车向右的加速度大小为23g ，则车厢顶部对小球的弹力为mgD ．若细线张力减小，则小球一定离开车厢顶部 [解析] 如图所示，小球恰好与车顶接触的临界状态是车顶对小球的弹力恰为零，故临界加速度a 0＝g tan θ，由线长等于小球半径可得，θ＝60°，a 0＝3g .小球与车顶接触时，小车具有向右的加速度，加速度大小a ≥3g ，A 、B 项错；当小车向右的加速度大小a ＝23g 时，ma F N ＋mg＝tan θ，解得F N ＝mg ，C 项正确；细线张力F T ＝ma sin θ，小球与车顶接触的临界(最小)值F Tmin ＝2mg ，当张力的初始值F T >2mg 时，张力减小时只要仍大于或等于临界值，小球就不会离开车厢顶部，D 项错误．[答案] C二、绳子断裂与松弛的临界条件绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T ＝0.如图所示，小车内固定一个倾角为θ＝37°的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为m ＝2 kg 的小球，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则：(1)当小车以a 1＝5 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？(2)当小车以a 2＝20 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？[解析] 本题中存在一个临界状态，即小球刚好脱离斜面的状态，设此时加速度为a 0，对小球受力分析如图甲所示．将细线拉力分解为水平x 方向和竖直y 方向两个分力，则得到F cos θ＝ma 0 F sin θ－mg ＝0a 0＝g tan θ＝403m/s 2.(1)a 1＝5 m/s 2<a 0，这时小球没有脱离斜面，对小球受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律得 F cos θ－F N sin θ＝ma 1 F sin θ＋F N cos θ－mg ＝0 解得F ＝20 N ，F N ＝10 N.(2)a2＝20 m/s2>a0，这时小球脱离斜面，设此时细线与水平方向之间的夹角为α，对小球受力分析如图丙所示，由牛顿第二定律得F cos α＝ma2F sin α＝mg两式平方后相加得F2＝(ma2)2＋(mg)2解得F＝(ma2)2＋(mg)2＝20 5 N.[答案](1)20 N(2)20 5 N三、相对滑动的临界条件两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值，并且还要考虑摩擦力方向的多样性．(多选)如图所示，小车内有一质量为m的物块，一轻质弹簧两端与小车和物块相连，处于压缩状态且在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，形变量为x，物块和小车之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动过程中，物块和小车始终保持相对静止，则下列说法正确的是()A．若μmg小于kx，则小车的加速度方向一定向左B．若μmg小于kx，则小车的加速度最小值为a＝kx－μmgm，且小车只能向左加速运动C．若μmg大于kx，则小车的加速度方向可以向左也可以向右D．若μmg大于kx，则小车的加速度最大值为kx＋μmgm，最小值为kx－μmgm[解析]若μmg小于kx，而弹簧又处于压缩状态，则物块所受弹簧弹力和静摩擦力的合力水平向左，即小车的加速度一定向左，A对；由牛顿第二定律得kx－F f＝ma，当F f＝μmg时，加速度方向向左且最小值为a min＝kx－μmgm，随着加速度的增加，F f减小到零后又反向增大，当再次出现F f＝μmg时，加速度方向向左达最大值a max ＝kx＋μmgm，但小车可向左加速，也可向右减速，B错；若μmg大于kx，则物块所受弹簧弹力和静摩擦力的合力(即加速度)可能水平向左，也可能水平向右，即小车的加速度方向可以向左也可以向右，C对；当物块的合外力水平向右时，加速度的最大值为μmg－kxm，物块的合外力水平向左时，加速度的最大值为μmg＋kxm，则小车的加速度最大值为kx＋μmgm，最小值为0，D错．[答案]AC四、加速度或速度最大的临界条件当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．(多选)(2016·潍坊模拟)如图所示，一个质量为m 的圆环套在一根固定的水平长直杆上，环与杆的动摩擦因数为μ，现给环一个水平向右的恒力F ，使圆环由静止开始运动，同时对环施加一个竖直向上、大小随速度变化的作用力F 1＝kv ，其中k 为常数，则圆环运动过程中( )A ．最大加速度为FmB ．最大加速度为F ＋μmgmC ．最大速度为F ＋μmgμkD ．最大速度为mgk[解析] 当F 1<mg 时，由牛顿第二定律得F －μ(mg －kv )＝ma ，当v ＝mg k 时，圆环的加速度最大，即a max ＝Fm ，选项A 正确，B 错误；圆环速度逐渐增大，F 1＝kv >mg ，由牛顿第二定律得F －μ(kv －mg )＝ma ，当a ＝0时，圆环的速度最大，即v max ＝F ＋μmgμk，选项C 正确，D 错误． [答案] AC五、数学推导中的极值问题将物理过程通过数学公式表达出来，根据数学表达式解出临界条件，通常用到三角函数关系．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2. (1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得： L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg (sin θ＋μcos θ)＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为： F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s (2)30°1335N 六、滑块一滑板模型中的临界问题在滑块—滑板模型中，若两者一起运动时优先考虑“被动”的“弱势”物体，该物体通常具有最大加速度，该加速度也为系统一起运动的最大加速度，否则两者将发生相对运动．(2016·湖北荆州模拟)物体A 的质量m 1＝1 kg ，静止在光滑水平面上的木板B 的质量为m 2＝0.5 kg 、长l ＝1 m ，某时刻A 以v 0＝4 m/s 的初速度滑上木板B 的上表面，为使A不至于从B 上滑落，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力F ，若A 与B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，试求拉力F 应满足的条件．(忽略物体A 的大小)[解析] 物体A 滑上木板B 以后，做匀减速运动， 加速度a A ＝μg ①木板B 做加速运动，有F ＋μm 1g ＝m 2a B ②物体A 不滑落的临界条件是A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度v t ，则v 20－v 2t 2a A ＝v 2t2a B＋l ③ 且v 0－v t a A ＝v ta B④ 由③④式，可得a B ＝v 202l－a A ＝6 m/s 2，代入②式得F ＝m 2a B －μm 1g ＝0.5×6 N －0.2×1×10 N ＝1 N ，若F ＜1 N ，则A 滑到B 的右端时，速度仍大于B 的速度，于是将从B 上滑落，所以F 必须大于等于1 N. 当F 较大时，在A 到达B 的右端之前，就与B 具有相同的速度，之后，A 必须相对B 静止，才能不会从B的左端滑落．即有：F ＝(m 1＋m 2)a ， μm 1g ＝m 1a ，所以F ＝3 N ，若F 大于3 N ，A 就会相对B 向左端滑下． 综上，力F 应满足的条件是1 N ≤F ≤3 N. [答案] 1 N ≤F ≤3 N1．(2016·西安质检)如图所示，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出，砝码的移动很小，几乎观察不到，这就是大家熟悉的惯性演示实验．若砝码和纸板的质量分别为2m和m，各接触面间的动摩擦因数均为μ.重力加速度为g.要使纸板相对砝码运动，所需拉力的大小至少应大于()A．3μmg B．4μmg C．5μmg D．6μmg解析：选D.纸板相对砝码恰好运动时，对纸板和砝码构成的系统，由牛顿第二定律可得：F－μ(2m＋m)g＝(2m ＋m)a，对砝码，由牛顿第二定律可得：2μmg＝2ma，联立可得：F＝6μmg，选项D正确．2．(多选)(2016·湖北黄冈模拟)如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体(物体与弹簧不连接)，初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图乙所示(g＝10 m/s2)，下列结论正确的是()A．物体与弹簧分离时，弹簧处于原长状态B．弹簧的劲度系数为750 N/mC．物体的质量为2 kgD．物体的加速度大小为5 m/s2解析：选ACD.物体与弹簧分离时，弹簧的弹力为零，轻弹簧无形变，所以选项A正确；从题图乙中可知ma ＝10 N，ma＝30 N－mg，解得物体的质量为m＝2 kg，物体的加速度大小为a＝5 m/s2，所以选项C、D正确；弹簧的劲度系数k＝mgx0＝200.04N/m＝500 N/m，所以选项B错误．3．(多选)如图所示，质量均为m的A、B两物块置于光滑水平地面上，A、B接触面光滑，倾角为θ，现分别以水平恒力F作用于A物块上，保持A、B相对静止共同运动，则下列说法中正确的是()A．采用甲方式比采用乙方式的最大加速度大B．两种情况下获取的最大加速度相同C．两种情况下所加的最大推力相同D．采用乙方式可用的最大推力大于甲方式的最大推力解析：选BC.甲方式中，F最大时，A刚要离开地面，A受力如图丙所示，则F N1cos θ＝mg①对B：F′N1sin θ＝ma1②由牛顿第三定律可知F′N1＝F N1③乙方式中，F 最大时，B 刚要离开地面，B 受力如图丁所示，则F N2cos θ＝mg ④ F N2sin θ＝ma 2⑤由①③④可知F N2＝F N1＝F N1′⑥由②⑤⑥式可得a 2＝a 1，对整体易知F 2＝F 1， 故选项B 、C 正确，选项A 、D 错误．4.如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2m ，B 和C 物体的质量均为m ，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下，B 、C 间绳子所能达到的最大拉力是( )A.12μmg B ．μmg C ．2μmg D ．3μmg 解析：选B.因桌面光滑，当A 、B 、C 三者共同的加速度最大时，F BC ＝m C a 才能最大．这时，A 、B 间的相互作用力F AB 应是最大静摩擦力2μmg ，对B 、C 整体来讲：F AB ＝2μmg ＝(m B ＋m C )a ＝2ma ，a ＝μg ，所以F BC ＝m C a ＝μmg ，选项B 正确．5.如图所示，用细线将质量为m 的氢气球拴在车厢地板上的A 点，此时细线与水平方向成θ＝37°角，气球与固定在水平车顶上的压力传感器接触，小车静止时，细线恰好伸直但无弹力，压力传感器的示数为气球重力的12.重力加速度为g ，sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8.现要保持细线方向不变而传感器示数为零，下列方法中可行的是( )A ．小车向右加速运动，加速度大小为12gB ．小车向左加速运动，加速度大小为12gC ．小车向右减速运动，加速度大小为23gD ．小车向左减速运动，加速度大小为23g解析：选C.小车静止时细线无弹力，气球受到重力mg 、空气浮力f 和车顶压力F N ，由平衡条件得f ＝mg ＋F N ＝32mg ，即浮力与重力的合力为12mg ，方向向上．要使传感器示数为零，则细线有拉力F T ，气球受力如图甲所示，由图乙可得12mg ma ＝tan 37°，小车加速度大小为a ＝23g ，方向向左．故小车可以向左做加速运动，也可以向右做减速运动，C 选项正确．6.如图所示，质量为m ＝1 kg 的物体，放在倾角θ＝37°的斜面上，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g ＝9.8 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.要使物体与斜面相对静止且一起沿水平方向向左做加速运动，则其加速度多大？解析：当物体恰不向下滑动时，受力分析如图甲所示 F N1sin 37°－F f1cos 37°＝ma 1F f1sin 37°＋F N1cos 37°＝mg F f1＝μF N1解得a 1＝3.6 m/s 2当物体恰不向上滑动时，受力分析如图乙所示F N2sin 37°＋F f2cos 37°＝ma2F N2cos 37°＝mg＋F f2sin 37°F f2＝μF N2解得a2＝13.3 m/s2因此加速度的取值范围为3.6 m/s2≤a≤13.3 m/s2.答案：3.6 m/s2≤a≤13.3 m/s2。

2020年高考物理备考微专题精准突破专题1.12动力学中的临界极值问题【专题诠释】1．临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点．(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态．(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点．(4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度．2．几种临界状态和其对应的临界条件临界状态临界条件速度达到最大物体所受的合外力为零两物体刚好分离两物体间的弹力F N＝0绳刚好被拉直绳中张力为零绳刚好被拉断绳中张力等于绳能承受的最大拉力【高考领航】【2019·江苏高考】如图所示，质量相等的物块A和B叠放在水平地面上，左边缘对齐。

A与B、B与地面间的动摩擦因数均为μ。

先敲击A，A立即获得水平向右的初速度，在B上滑动距离L后停下。

接着敲击B，B立即获得水平向右的初速度，A、B都向右运动，左边缘再次对齐时恰好相对静止，此后两者一起运动至停下。

最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。

求：(1)A被敲击后获得的初速度大小v A；(2)在左边缘再次对齐的前、后，B运动加速度的大小a B、a B′；(3)B被敲击后获得的初速度大小v B。

【答案】(1)2μgL(2)3μgμg(3)22μgL【解析】A、B的运动过程如图所示：(1)A被敲击后，B静止，A向右运动，由牛顿第二定律知，A的加速度大小a A＝μgA在B上滑动时有2a A L＝v2A解得：v A＝2μgL。

(2)设A、B的质量均为m对齐前，A相对B滑动，B所受合外力大小F＝μmg＋2μmg＝3μmg由牛顿第二定律得F＝ma B，得a B＝3μg对齐后，A、B相对静止，整体所受合外力大小F′＝2μmg由牛顿第二定律得F′＝2ma B′，得a B′＝μg。

动力学中的临界问题1．动力学中的临界极值问题在物体的运动状态发生变化的过程中，往往达到某个特定的状态时，有关的物理量将发生突变，此时的状态即为临界状态，相应物理量的值为临界值.若题目中出现 “最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界值出现．2．发生临界问题的条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0.(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值．3.临界问题的解法一般有三种极限法：在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的． 假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．数学方法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．特别提醒临界问题一般都具有一定的隐蔽性，审题时应尽量还原物理情境，利用变化的观点分析物体的运动规律，利用极限法确定临界点，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向．例1如图所示，质量为m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ，对物体施加一个与水平方向成θ角的力F ，试求：（1）物体在水平面上运动时力F 的值；（2）物体在水平面上运动所获得的最大加速度。

动力学中的临界极值问题
临界极值问题在动力学中是指系统的某个物理量在经过变化时达到临界值的问题。

这个物理量可以是系统的能量、动量、速度等等。

临界极值问题在动力学中有很多应用，下面以力学中的临界速度问题为例进行解释。

在力学中，临界速度是指物体在某个运动过程中速度达到临界值时的问题。

通常情况下，物体的速度会随着时间的增加而增加，但当速度达到某个临界值时，物体的运动状态会发生突变。

临界速度问题可以通过求解物体受到的合力和运动方程来解决。

当物体受到的合力等于零时，即达到了临界速度。

在这个临界速度下，物体的加速度为零，速度不再改变，达到了稳定的运动状态。

临界速度问题在实际生活中有很多应用。

例如，在过山车设计中，设计师需要确定过山车的速度达到临界值时的运动状态，以保证乘客的安全。

同样，在飞行器设计中，确定飞行器起飞和降落时的临界速度也是一个关键问题。

总之，临界极值问题在动力学中是指系统的某个物理量达到临界值时的问题，通过求解物体受力和运动方程可以解决问题。

临界速度问题是其中的一个重要应用。

动力学中临界与极值问题一、分离问题相互接触的物体间可能存在弹力，在接触面间弹力变为零时，它们将要分离．抓住相互接触物体分离的这一条件，就可顺利解答相关问题.例1：一弹簧秤的秤盘质量m1=1．5kg，盘内放一质量为m2=10．5kg的物体P，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m，系统处于静止状态，如图9所示。

现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F是变化的，在0．2s后是恒定的，求F的最大值和最小值各是多少？3.如图a所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体（物体与弹簧不连接）。

初始时物体处于静止状态，现用竖直向上的拉力F作用物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移x的关系如图b所示（g-10m/s2），则正确的结论是（） A．物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态B．弹簧的劲度系数为7.5N/cm C．物体的质量为3kgD．物体的加速度大小为5m/s24．如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到向右的恒力FB＝2 N，A受到的水平力FA ＝(9－2t)N(t单位是s)．从t＝0开始计时，则 ( )A．A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的倍 B．t＞4 s后，B物体做匀加速直线运动 C．t＝4.5 s时，A物体的速度为零D．t＞4.5 s后，A、B的加速度方向相反5、在一正方形小盒内装一小圆球,盒与球一起沿倾角为θ的光滑斜面下滑,如图所示. 若不计摩擦,当θ角增大时,下滑过程圆球对方盒前壁压力及对方盒底面的压力将如何变化( ) A.N′变小,N变小B.N′变小,N为零C.N′变小,N变大D.N′不变,N变大二、相对滑动问题存在摩擦的物体产生相对滑动的临界条件是静摩擦力取最大静摩擦力，例2．如图所示，A、B两物块的质量分别为2m和m，静止叠放在水平思考： 1 何时分离时？2分离时物体是否处于平衡态。

动力学中的临界极值问题动力学中极值问题的临界条件和处理方法1．“四种”典型临界条件 (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0.(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时．2．“四种”典型数学方法 (1)三角函数法； (2)根据临界条件列不等式法；(3)利用二次函数的判别式法；(4)极限法． 【练习】1．如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直弹簧上并保持静止，用大小等于mg 的恒力F 向上拉B ，运动距离h 时，B 与A 分离．下列说法正确的是( )A ．B 和A 刚分离时，弹簧长度等于原长 B ．B 和A 刚分离时，它们的加速度为gC ．弹簧的劲度系数等于mg hD ．在B 与A 分离之前，它们做匀加速直线运动2． (多选)如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( )A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止B ．当F ＝52μmg 时，A的加速度为13μgC ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg3．如图所示，物体A 放在物体B 上，物体B 放在光滑的水平面上，已知m A ＝6 kg ，m B ＝2 kg.A 、B 间动摩擦因数μ＝0.2.A 物体上系一细线，细线能承受的最大拉力是20 N ，水平向右拉细线，下述中正确的是(g 取10 m/s 2)( )A ．当拉力0＜F ＜12 N 时，A 静止不动B ．当拉力F ＞12 N 时，A 相对B 滑动C ．当拉力F ＝16 N 时，B 受到A 的摩擦力等于4 ND ．在细线可以承受的范围内，无论拉力F 多大，A 相对B 始终静止 4．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小． (2)拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？“传送带模型”问题分析传送带问题的三步走1．初始时刻，根据v物、v带的关系，确定物体的受力情况，进而确定物体的运动情况．2．根据临界条件v物＝v带确定临界状态的情况，判断之后的运动形式．3．运用相应规律，进行相关计算．【练习】5．(多选)如图所示，水平传送带A、B两端相距x＝4 m，以v0＝4 m/s的速度(始终保持不变)顺时针运转，今将一小煤块(可视为质点)无初速度地轻放至A端，由于煤块与传送带之间有相对滑动，会在传送带上留下划痕．已知煤块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，取重力加速度大小g＝10 m/s2，则煤块从A运动到B的过程中()A．煤块到A运动到B的时间是2.25 s B．煤块从A运动到B的时间是1.5 sC．划痕长度是0.5 m D．划痕长度是2 m6．如图所示为粮袋的传送装置，已知A、B两端间的距离为L，传送带与水平方向的夹角为θ，工作时运行速度为v，粮袋与传送带间的动摩擦因数为μ，正常工作时工人在A端将粮袋放到运行中的传送带上．设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度大小为g.关于粮袋从A到B的运动，以下说法正确的是()A.粮袋到达B端的速度与v比较，可能大，可能小或也可能相等B.粮袋开始运动的加速度为g(sin θ－μcos θ)，若L足够大，则以后将以速度v做匀速运动C.若μ≥tan θ，则粮袋从A端到B端一定是一直做加速运动D.不论μ大小如何，粮袋从Α到Β端一直做匀加速运动，且加速度a≥g sinθ7．(多选)如图所示，水平传送带A、B两端相距x＝3.5 m，物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，物体滑上传送带A端的瞬时速度v A＝4 m/s，到达B端的瞬时速度设为v B.下列说法中正确的是()A．若传送带不动，v B＝3 m/sB．若传送带逆时针匀速转动，v B一定等于3 m/sC．若传送带顺时针匀速转动，v B一定等于3 m/sD．若传送带顺时针匀速转动，有可能等于3 m/s8．如图所示，倾角为37°，长为l＝16 m的传送带，转动速度为v＝10 m/s，动摩擦因数μ＝0.5，在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m＝0.5 kg的物体．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.g＝10 m/s2.求：(1)传送带顺时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间；(2)传送带逆时针转动时，物体从顶端A滑到底端B的时间．9．如图所示，为传送带传输装置示意图的一部分，传送带与水平地面的倾角θ＝37°，A、B两端相距L＝5.0 m，质量为M＝10 kg的物体以v0＝6.0 m/s的速度沿AB方向从A端滑上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数处处相同，均为0.5.传送带顺时针运转的速度v＝4.0 m/s，(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：(1)物体从A点到达B点所需的时间；(2)若传送带顺时针运转的速度可以调节，物体从A点到达B点的最短时间是多少？。

高中物理：动力学中的临界、极值问题1．动力学中的典型临界问题(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离的临界条件是弹力N ＝0.(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绝对张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛与拉紧的临界条件是T ＝0.(4)加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度．当出现加速度为零时，所对应的速度便会出现最大值或最小值．2．求解临界极值问题的三种常用方法(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．(3)数学法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件．[典例3] 如图所示，质量m ＝1 kg 的光滑小球用细线系在质量为M ＝8 kg 、倾角为α＝37°的斜面体上，细线与斜面平行，斜面体与水平面间的摩擦不计，g 取10 m/s 2.试求：(1)若用水平向右的力F 拉斜面体，要使小球不离开斜面，拉力F 不能超过多少？(2)若用水平向左的力F ′推斜面体，要使小球不沿斜面滑动，推力F ′不能超过多少？[解析] (1)小球不离开斜面体，两者加速度相同、临界条件为斜面体对小球的支持力恰好为0对小球受力分析如图：由牛顿第二定律得：mg ·cot 37°＝maa ＝g cot 37°＝403m/s 2 对整体由牛顿第二定律得：F ＝(M ＋m )a ＝120 N.(2)小球不沿斜面滑动，两者加速度相同，临界条件是细线对小球的拉力恰好为0，对小球受力分析如图：由牛顿第二定律得：mg tan 37°＝ma ′a′＝g tan 37°＝7.5 m/s2对整体由牛顿第二定律得：F′＝(M＋m)a′＝67.5 N.[答案](1)120 N(2)67.5 N[规律总结]求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．7．如图所示，有一光滑斜面倾角为θ，放在水平面上，用固定的竖直挡板A与斜面夹住一个光滑球，球质量为m.若要使球对竖直挡板无压力，球连同斜面应一起()A．水平向右加速，加速度a＝g tan θB．水平向左加速，加速度a＝g tan θC．水平向右减速，加速度a＝g sin θD．水平向左减速，加速度a＝g sin θ解析：球对竖直挡板无压力时，受力如图所示，重力mg和斜面支持力N的合力方向水平向左．F＝mg tan θ＝ma，解得a＝g tan θ，因此斜面应向左加速或者向右减速．答案：B8．(多选)如图所示，粗糙水平面上放置质量分别为m、2m和3m的3个木块，木块与水平面间动摩擦因数相同，其间均用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T.现用水平拉力F拉其中一个质量为2m 的木块，使3个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是()A．绳断前，a、b两轻绳的拉力比总为4∶1B．当F逐渐增大到T时，轻绳a刚好被拉断C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳a刚好被拉断D．若水平面是光滑的，则绳断前，a、b两轻绳的拉力比大于4∶1解析：取三木块为整体，则有F－6μmg＝6ma，取质量m、3m的木块为整体，则有T a －4μmg＝4ma，隔离m则有T b－μmg＝ma，所以绳断前，a、b两轻绳的拉力比总为4∶1，与F、μ无关，A对，D错；当a绳要断时，则a＝T4m－μg，所以拉力F＝1.5T，B错，C对．答案：AC9．一弹簧秤的秤盘A 的质量m ＝1.5 kg ，盘上放一物体B ，B 的质量为M ＝10.5 kg ，弹簧本身质量不计，其劲度系数k ＝800 N /m ，系统静止时如图所示．现给B 一个竖直向上的力F 使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.20 s 内，F 是变力，以后F 是恒力，求F 的最大值和最小值．(g 取10 m/s 2)解析：设刚开始时弹簧压缩量为x 1，则x 1＝(m ＋M )g k＝0.15 m ① 设两者刚好分离时弹簧压缩量为x 2，则kx 2－mg ＝ma ②在前0.2 s 时间内，由运动学公式得：x 1－x 2＝12at 2③ 由①②③解得：a ＝6 m/s 2由牛顿第二定律，开始时：F min ＝(m ＋M )a ＝72 N最终分离后：F max －Mg ＝Ma即：F max ＝M (g ＋a )＝168 N.答案：168 N 72 N。

有关“物理”的临界与极值问题高中物理中的临界与极值问题涉及到多个知识点，包括牛顿第二定律、圆周运动、动量守恒等。

有关“物理”的临界与极值问题如下：1.牛顿第二定律与临界问题：●牛顿第二定律描述了物体的加速度与合外力之间的关系。

当物体受到的合外力为零时，物体处于平衡状态。

●在某些情况下，物体受到的合外力不为零，但物体仍然处于平衡状态，这是因为物体受到的合外力恰好等于某个临界值。

这种状态被称为“临界平衡”。

●在解决与临界平衡相关的问题时，通常需要考虑物体的平衡条件和牛顿第二定律。

通过分析物体的受力情况，可以确定物体是否处于临界平衡状态，以及需要施加多大的力才能使物体离开临界平衡状态。

2.圆周运动中的极值问题：●圆周运动中的极值问题通常涉及向心加速度和线速度的最大值和最小值。

●当物体在圆周运动中达到最大速度时，其向心加速度最小。

此时，物体的线速度最大，而向心加速度为零。

●当物体在圆周运动中达到最小速度时，其向心加速度最大。

此时，物体的线速度最小，而向心加速度为最大值。

●在解决与圆周运动中的极值问题相关的问题时，通常需要考虑向心加速度和线速度之间的关系，以及如何通过分析物体的受力情况来确定其最大速度和最小速度。

3.动量守恒与极值问题：●动量守恒定律描述了系统在不受外力作用的情况下，系统内各物体的动量之和保持不变。

●在某些情况下，系统受到的外力不为零，但系统仍然保持动量守恒。

这是因为系统受到的外力恰好等于某个临界值。

这种状态被称为“临界动量守恒”。

在解决与临界动量守恒相关的问题时，通常需要考虑系统的动量守恒条件和外力的作用。

通过分析系统的受力情况，可以确定系统是否处于临界动量守恒状态，以及需要施加多大的外力才能使系统离开临界动量守恒状态。

动力学的临界极值解题技巧
以下是 6 条关于动力学的临界极值解题技巧：
1. 嘿，同学们，要注意寻找关键点呀！就像在走迷宫时找到那关键的出口一样。

比如说在一个物体沿斜面下滑的问题中，当摩擦力达到最大静摩擦力时，这就是一个关键的点，这时候往往就是出现临界极值的时候，这多重要啊，是不是？
2. 哇哦，要善于运用极限思维哟！可以想象一下，如果情况变得超级极端会怎样。

比如一个小球在绳子牵引下做圆周运动，当绳子拉力接近零的时候，不就是到了临界极值点嘛，厉害吧！
3. 嘿，咱得学会分析变化趋势呀！就跟看股票走势似的。

像那种两个物体通过弹簧相连的问题，当弹簧压缩到最短或伸长到最长时，那不就是极值的时刻嘛，懂了吧！
4. 哎呀呀，要特别关注特殊条件呢！好比游戏里的特殊道具。

比如说一个物体在光滑曲面上运动，当它刚好要离开曲面的时候，这不就是关键的特殊条件吗，这时候就是出现临界极值啦，神奇吧！
5. 嘿哟，要把握动态过程哦！就如同看着一场精彩的比赛。

比如一个滑块在木板上滑动，从相对静止到相对滑动的那个瞬间，就是临界极值出现的时刻呀，有意思吧！
6. 哇塞，别忽略了隐藏条件呀！就像隐藏在谜题里的关键线索。

像是在有电场和磁场的区域中，当粒子的运动轨迹发生突变的时候，往往就是临界极值在捣鬼，明白了吗？
我觉得呀，掌握了这些动力学的临界极值解题技巧，就像是掌握了打开难题大门的钥匙，能让我们在解题的道路上更加得心应手！。

动力学临界问题的类型和处理技巧动力学临界问题是指在连续系统中，当一些参数取特定值时，系统的行为会发生显著变化，通常会出现稳定态与不稳定态之间的转变或者出现周期性的运动。

这些问题在物理学、化学、工程学以及生物学等领域中都有重要的应用。

1.同宿临界：同宿临界是指当系统参数达到其中一特定值时，系统在稳定态与不稳定态之间出现切换。

典型的例子是在化学反应中的化学平衡点，当温度、压力或浓度等参数发生变化时，反应体系将从不稳定态向稳定态过渡，反应速率变化明显。

2.分岔临界：分岔临界是指当系统一些参数改变时，系统的稳定态之间产生分岔现象。

例如，在分岔临界下，液滴在滑坡顶部的平衡状态将无法确定，可能会选择以不同的方式滑落。

3.透明临界：透明临界是指在系统中存在从透明到不透明的突变现象。

典型的例子是计算机图形学中的阴影投射，当光源趋近于物体表面时，物体的阴影发生突变。

处理动力学临界问题的技巧与问题类型密切相关。

以下是一些常见的处理技巧：1.稳定性分析：稳定性分析是研究系统施加微小扰动后是否趋于稳定态的方法。

通过线性化系统方程，可以得到系统的稳定性条件。

当参数达到临界值时，稳定性条件发生变化，从而导致系统行为的显著变化。

2.极限环分析：极限环是指在动力学系统中出现的周期性运动。

通过分析系统非线性特性和极限环的存在条件，可以预测系统在临界点附近运动的行为。

3.数值模拟：数值模拟是通过数值方法对动力学系统进行模拟和分析的技术手段。

通过在临界点附近进行数值模拟，可以研究系统的行为变化，并预测系统在临界点的稳定态。

4.实验观测：实验观测是研究动力学临界问题的重要手段。

通过改变系统参数，观察系统行为的变化，并记录实验数据，可以揭示临界点的存在和系统行为的变化。

总之，动力学临界问题是一个具有重要应用价值的研究领域。

通过理论分析、数值模拟和实验观测等手段，可以揭示系统在临界点附近的动力学行为，并为解决一些现实问题提供理论依据。

在实际研究中，还需要结合具体问题的特点，选择合适的处理技巧进行分析。

一．解决动力学中临界极值问题的基本思路所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。

至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。

极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。

临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。

动力学中的临界和极值是物理中的常见题型.在解决临办极值问题注意以下几点：1.临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。

2.临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。

3.许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。

4.有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。

5.临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

6.确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。

解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。

一:匀变速运动中的临界点与极值问题1.A、B两车停在同一点，某时刻A车以2m/s2的加速度开出，2s后B车同向以3m/s2的加速度开出，问：B车追上A车之前，在A车启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？二：在共点力动态平衡中与临界极值相关问题2.如图所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μ<tanθ），滑轮的摩擦不计，要使物体静止在斜面上，求物体B质量的取值范围．三：动力学中的临界极值问题。

专题二：动力学中的临界极值问题1. 当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件. 用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键.2. 临界或极值条件的标志⑴有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；(4) 若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3. 动力学中的典型临界条件(1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N= 0.(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T= 0.(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时.[例 1 如图所示，质量为mi= 1 kg的物块放在倾角为9 = 37°的斜面体上，斜面体质量为M= 2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为[1 = 0.2，地面光滑，现对斜面体施水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力20.6，cos 37 °= 0.8，g= 10 m/s )F的取值范围. (sin【例2】如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为6 kg，m>= 2 kg，A B之间的动摩擦因数i二0.2，开始时F= 10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则()A.当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态B•两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动A BC•两物体从受力开始就有相对运动D.两物体始终没有相对运动质疑与反思:(1) 、若m=2Kg, m B=6Kg,贝U:(2) 、若F作用于B物体，则:【变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T.现用水平拉力F拉质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是口2m ■A.质量为2m的木块受到四个力的作用【变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为 m = 4 kg的物块P, Q 为一重物，已知Q 的质量为m = 8 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k = 600 N/m, 系统处于静止，如图所示.现给 Q 施加一个方向沿斜面向上的力 F ,使它从 静止开始沿斜面向上做匀加速运动， 已知在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力，求：力F 的最大值与最小值.(sin 37°= 0.6 ,g = 10 m/s 2)专题二：动力学中的临界极值问题1.当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点， 这个转折点所对应的 状态B.当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断C •当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳还不会被拉断 D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m 和2m 的木块间的摩擦力为F T 【变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为 叽可认为最大静摩擦 力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2mB 和C 物体的质量均为m 滑轮光滑，砝码盘中可 以任意加减砝码•在保持 能达到的最大拉力是(A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下, ) 1A. . 2 mgB.卩 mgC. 2 卩 mgD. 3 卩 mg 【变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为 m = 2 kg 、m = 1 kg 的两物块，t = 0时刻同 时施加两个力，其中F — 2 N 、F 2= (4 — 2t) N,方向如图所示.则两物块分离的时刻为(恥 爪7777777777777777777777777A. 1 sB. 1.5 sC. 2 sD. 2.5 s叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件. 用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键.2 •临界或极值条件的标志⑴有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界占；八、、)(2) 若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；(3) 若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界点；⑷若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度.3•动力学中的典型临界条件(1) 接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N= 0.(2) 相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.(3) 绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T= 0.(4) 加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a= 0时.【例1 如图所示，质量为mi= 1 kg的物块放在倾角为9 = 37°的斜面体上，斜面体质量为M k 2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为卩=0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F,要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围.(sin 37°= 0.6 , cos 37°= 0.8 ,2g= 10 m/s )审题指导此题有两个临界条件：当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性, 此时物块受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物块受到的摩擦力沿斜面向下•找准临界状态是求解此题的关键.解析(1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F i,此时物块受力分析如图所示，取加速度的方向为x轴正方向. F ti对物块，£1水平方向有F N sin 0 —^F N COS 0 = ma竖直方向有F N COS 0 + uF©n 0 —mc= 0对M m整体有F i= ( M+ n) a i代入数值得：a i = 4.8 m/s 2, F i= 14.4 N(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为水平方向有F N sin 0 + cos 0 = ma竖直方向有F N cos 0 —U F N' sin 0 —mc= 0对整体有F2= (M+ m)a2代入数值得a2= 11.2 m/s 2, F2= 33.6 NF 拉质量为3m 的木块，使三个木块以同一加速度运动综上所述可知推力F 的取值范围为：14.4 N < F W 33.6 N答案 14.4 N < F < 33.6 N【例2 如图所示，物体A 叠放在物体B 上，B 置于光滑水平面上，A 、B 质量分别为HA = 6 kg ,2 kg ，A B 之间的动摩擦因数 卩二0.2，开始时F = 10 N ，此后逐渐增加，在增大到 45 N 的过程中，则()A. 当拉力F<12 N 时，物体均保持静止状态B •两物体开始没有相对运动，当拉力超过C •两物体从受力开始就有相对运动D.两物体始终没有相对运动 答案 D解析 当A 、B 间的静摩擦力达到最大静摩擦力，即滑动摩擦力时， A 、B 才会发生相对 运动.此时对B 有：F fmax = ym A g = 12 N,而F fmax = m B a ，a = 6 m/s ，即二者开始相对运动时的加速度为6 m/s 2,此时对A 、B 整体：F = ( m A + m)a =48 N ，即F>48 N 时，A 、B 才 会开始相对运动，故选项 A B C 错误，D 正确.质疑与反思：【变式训练1】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为 m 2m 和3m 的三个木块，其中质量 为2m 和3m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T .现用水平拉力 12 N 时，开始相对运动A •——7777777777777777777777777(1)、若 m=2Kg, m B =6Kg,贝U:⑵、若F 作用于B 物体，则:A.质量为2m 的木块受到四个力的作用B. 当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断C •当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳还不会被拉断D.当轻绳刚要被拉断时，质量为 m 和2m 的木块间的摩擦力为F T 答案 C解析 质量为2m 的木块受重力、地面的支持力、轻绳的拉力、木块 m 的压力和摩擦力 五个力作用，选项A 错误；当轻绳达到最大拉力 F T 时，对m 和2m 整体，F T = 3mq 再对 三个木块整体，F = (m^ 2m+ 3m)a ，得到F = 2F T ,选项B 错误，C 正确；对木块 m 由 1F f = ma 得到F f = §F T ，选项D 错误.【变式训练2：如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为 叽可认为最大静摩擦 力等于滑动摩擦力),A 物体质量为2m , B 和C 物体的质量均为m 滑轮光滑，砝码盘中可 A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下, )1A.尹 mgC. 2 卩 mgD. 3 卩 mg答案 B解析 因桌面光滑，当A 、B 、C 三者共同的加速度最大时，F BC = ma 才能最大.这时，A 、 B 间的相互作用力F AB 应是最大静摩擦力2卩mg 对BC 整体来讲：F AB = 2卩mg= (R B + m e ) a以任意加减砝码•在保持 能达到的最大拉力是(B.卩 mg=2ma a=^g,所以F BC=ma=卩mg选项B正确.【变式训练3】光滑水平面上并排放置质量分别为m= 2 kg、m= 1 kg的两物块，t = 0时刻同mi时施加两个力，其中只=2 N、F2= (4 —2t) N,方向如图所示.则两物块分离的时刻为(77771777777777777777^7777A. 1 sB. 1.5 sC. 2 sD. 2.5 s答案D解析两物块未分离时，设m与m之间的作用力为F,对m：F—F i= ma；对m：F2—F =ma.两个物块分离时，F= 0,即有：一Fp ma, F2 = ma.代入数据得t = 2.5 s，选项D正确.【变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m= 4 kg的物块P, Q为一重物，已知Q的质量为m= 8 kg,弹簧的质量不计，劲度系数k= 600 N/m, 系统处于静止，如图所示.现给Q施加一个方向沿斜面向上的力F,使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s时间内，F为变力，0.2 s以后，F为恒力，求：力F的最大值与最小值.(sin37 °= 0.6 , g= 10 m/s 2)解析从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0.从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等.设刚开始时弹簧压缩量为X。