最优捕鱼策略参赛队员：张玉英刘小红崔丽娜摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，使幼鱼能够在良好的环境下生长并促进渔业的发展，对于在可实现持续收获的前提下，如何才能得到最高的年收获量的问题，本文建立了一个在一定约束条件下的最优化模型。
我们取每年开始捕鱼时刻作为鱼数量的计数时刻，在规定期限内以固定努力方式进行捕捞，在实现可持续捕捞的前提下追求最大效益。
利用微分方程模型，考虑到自然死亡率和成活率对于数量的影响，分析了在一年中不同阶段分界点上鱼数量的关系，通过讨论在无限长的捕捞活动中为保持鱼数量恒定又能获得最大捕获量而采取的措施来解决问题一；并在已知条件下，讨论在短期内（5年）获得最大收获量且在不超过最大破坏程度范围之内，以及其后能够趋于稳定所采取的策略来解决问题二。
本模型以Scheafer模型为基础使用微分方法和优化问题相结合的思想，充分利用LINGO软件包和MATLAB 软件编程得到问题的解，最后对模型进行了评价及推广。
关键词：微分优化问题可持续捕捞捕捞强度系数死亡率成活率一、问题重述1．1 问题背景为了保护人类赖以生存的自然环境，使人类可利用的资源能够持续下来，可再生资源(如渔业、林业资源等)的开发必须适度。
目前渔业已经成为一种促进经济发展的有效产业，而大多数渔民为了更多的获得利润，不惜大量过度捕捞，破坏了鱼生长的环境。
使得幼龄鱼以及待产卵鱼受到不好的影响从而使次年及以后鱼的生长得到限制，直接的会影响渔业得发展。
于是一种合理、简化的策略被提到捕鱼问题中来：在可实现持续收获的前提下，求最大产量或最佳效益考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略。
假设这种鱼分4个年龄组：称为1龄鱼，2 龄鱼，3 龄鱼,4龄鱼.各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55, 17.86,22.99(克)；各年龄组的自然死亡率为0.8(1/年)；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109⨯105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，1龄鱼和2龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼,成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.22 ⨯109/( 1.22 ⨯109 +n)。
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。
通常用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。
渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
1．2 问题提出1. 建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。
2. 某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。
已知承包时各年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1,3.29(⨯109条),如果固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、问题分析2.1 问题一的分析题是一个在一定约束条件下的最优化问题，题目已给出鱼的年龄组及相应的重量。
假设各年龄组鱼的自然死亡率是相同的，还规定采用固定努力量捕捞方式，指出使用单一的捕捞渔具进行工作。
问题一求解的关键是捕捞强度系数k值，因为它直接影响到单位时间捕捞量。
因此，我们在无限长的捕捞活动中保持鱼群数量恒定的前提下，要得到最优收获量就必须知道k的取值范围。
对问题一的求解我们采用列其微分方程来求解，其方程可以通过对各关键词的理解得到。
(1) 对于自然死亡率λ的理解定义平均自然死亡率λ是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的正比例系数。
由假设条件知它是一个与环境等其它因素无关的常数。
由于鱼群是连续变化的，而1，2龄鱼全年以上及3, 4龄鱼在后四个月的数量只与死亡率有关,与其它因数无关。
设鱼群数量为X ，则在时间),(t t t ∆+内，鱼群数量的减少等于鱼群的死亡数量，即t t X t X t t X ∆-=-∆+)()()(λ两边同时除以t ∆t 时，得)()()(t X t t X t t X λ-=∆-∆+两边同时取0→t 时的极限，得)()(t X dt t dX λ-= （1）(2) 对捕捞强度系数的理解捕捞强度系数k 一定，且只在捕捞期内(即每年的前八个月）捕捞3、4龄鱼，因此只会影响3、4龄鱼鱼群的数量，而不会影响其它的鱼群数量。
我们可以看到3、4 龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k 有关，而且还与死亡率a 有关，类似于1）的分析，可以得到3龄鱼鱼群(前8个月）的数量变化规律)(42.0)()(t kX t X dt t dX --=λ （2）类似可得到4龄鱼群（前8个月）的数量变化规律)()()(t kX t X dt t dX --=λ （3）(3) 对于持续捕获的理解随着时间的推移，各年龄组的鱼群数量必将发生变化，但持续捕获要求每年开始捕捞时渔场中各年龄鱼群条数不变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得到关系式：上一年龄组鱼群年底的数量等于下一年龄组鱼群年初的数量（1龄鱼除外），即3,2,1),0()1(1==+i X X i i (4)(4) 对成活率α的理解鱼在每年8月第一次产卵完毕，又已知平均每条4龄鱼的产卵量5^10109.1⨯(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，因此可将每年的产卵量n 表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⨯=)32()32(215^10109.143X X n (5)又已知成活率n +⨯⨯=101122.1101122.1α （6）产卵量与成活率的乘积就是1龄鱼每年年初的数量，即α⨯=n X )0(1 (7)(5) 对最高收获量的理解根据第（2）点的分析，在t 时刻的捕捞重量等于3龄鱼捕捞重量与4龄鱼捕捞重量之和，即g X g X t k t k t S 4433)()(42.0)(+= （8）由于捕捞被看成连续的工作，捕捞总收获量即年收获量H 可以用t 时刻捕捞量)(t S 于t 在捕捞期内的积分,即⎰=320)()(t d t S H （9）要求最高的年收获量，即求H 的最大值。
2.2问题二的分析该问题要求我们在鱼量不受太大破坏，采用固定努力量的捕捞方式，为此公司制订一种策略使其收获量最大。
（1）与问题一的相同之处由于对各年龄组鱼群数量起影响作用的各因素不变(如：平均死亡率、成活率、捕捞期等），因此每年内各年龄组的鱼群数量变化情况与问题一相同。
（2）与问题一的不同之处问题一要求持续捕获，各变量呈周期变化，只要考虑一个周期的变化情况即可。
但是问题二要求鱼量不受太大的破坏，不限制各年龄组年初鱼群的数量，就是说各年龄组鱼群的初值发生变化，因此要考虑每一年的捕获量，再将5年的求和，得到问题二的目标函数。
三、模型假设1、虽然鱼群本身是离散的，但突然增加或减少的只是个体，与整体相比很小，因此我们可以认为大规模鱼是随时间连续变化的。
2、只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程不考虑鱼的迁入与迁出。
3、自然死亡发生在各齡鱼生长的任何时间。
4、根据已知条件，我们可以认为鱼在每年8月底瞬间将卵全部产完，而卵在12月底全部孵化完毕。
5、产卵发生在八月初，产卵期间的自然死亡发生在产卵后。
6、 4 龄鱼在第4年末未死亡或未被捕获的数量占全部数量的比例很小,因此可以认为还是4龄鱼。
7、 3龄鱼与4龄鱼的产卵和孵化均发生在一年中的后四个月，孵化成活的幼鱼在第二年初成为1龄鱼。
8、持续捕获是各年龄组的鱼群数量呈周期性变化,周期为一年,因此可以只考虑鱼群数量在一年内的变化情况。
9、不考虑环境影响,各年龄组平均死亡率为0.8%/年。
四、符号说明4.1 符号说明λ——表示年平均自然死亡率，单位1/年;t——表示时间，()1,0t；∈i——表示i龄鱼，4,3,2,1=i；——表示每条i龄鱼的平均重量，单位/g；giα——表示成活率；4.2 问题一的符号说明k——表示年平均捕捞率；n——表示每年的产卵量；X i——表示i龄鱼在时刻t的数量；(t)S i——表示t时刻i龄鱼的捕捞总重量，i=3,4；(t)H ——表示年总收获量，即捕捞总重量。
4.3 问题二的符号说明j ——表示年数，()5,4,3,2,1∈j ；k ——表示年平均捕捞强度系数；n i——表示第i 年的产卵量； )(,t X j i ——表示t 时刻i 龄鱼在第j 年的数量；)(,t S j i ——表示t 时刻i 龄鱼，j 年的捕捞总重量, 4,3=i ；H i——表示第i 年总收获量，即捕捞总重量。
五、模型建立与求解5.1 问题一的模型建立与求解5.1.1 模型的建立未死亡的4龄鱼在年末的各个特征（重量、产卵个数等）均不 发生改变，即仍是4龄鱼。
1、对于一年内各年龄组鱼的数量变化，建立以下的微分方程。
（1）1龄鱼和2龄鱼的生长只受捕捞的作用，其数量变化如下式： )()()(11t t d t d XX λ-= ，[]1,0∈t （10） )()()(22t t d t d X X λ-= ，[]1,0∈t （11）（2） 3龄鱼和4龄鱼在前8个月的生长过程，受捕捞和自然死 亡的影响，数量变化如以下微分方程所示： )(42.0)()()(333t k t t d t d X X X --=λ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,0t （12） )()()()(444t k t t d t d X X X --=λ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈32,0t （13）（3）由假设可知3龄鱼和4龄鱼在后4个月的数量变化只受自 然死亡的影响，如以下微分方程所示： )()()(33t t d t d X X λ-= ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,32t （14） )()()(44t t d t d X X λ-= ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,32t （15） 2、建立恒定捕捞方案（1）实现可持续捕获，即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼的 数量不变。
又相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化 是连续的，就是说第j 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第1+j 年初第1+i 年龄组鱼的条数。
所以有以下等式： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⨯=)32()32(215^10109.143X X n （16） n +⨯⨯=101122.1101122.1α （17）α⨯=n X )0(1 （18）)1()0(12X X= （19） )1()0(23X X= （20） )1()1()0(434X X X += （21）② 在t 时刻的捕捞量等于3龄鱼捕捞重量与4龄鱼的捕捞重量和，即g X g X t k t k t S 4433)()(42.0)(+= （22）由于捕捞是一个连续的工作，因此捕捞总收获量为 ⎰=320)()(t d t S H （23）要求最高的年收量，即求H 的最大值。
