微分方程建模举例—96年竞赛题 捕鱼问题

1996年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。

A题最优捕鱼策略.............................................................................................. 错误！未定义书签。

B题节水洗衣机................................................................................................ 错误！未定义书签。

1997年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。

A题零件的参数设计........................................................................................ 错误！未定义书签。

B题截断切割.................................................................................................... 错误！未定义书签。

1998年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。

A题投资的收益和风险...................................................................................... 错误！未定义书签。

捕鱼问题摘要本文针对草鱼的捕捞成本、损失率随水位的变化关系及如何捕鱼投放市场获得最大效益的问题，主要采用建立微分方程，最优化等方法来解决了以下问题：(1)采用分段考虑的思想，建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系，如下：200001800,6002240018001200),1200(224001200400,18800400,20≤<⨯+≤<-⨯+≤≤⨯+<i i i i i i i i i x a x x a x x x x (2)采用建立微分方程的方法，建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系，如下：t i y 201515⎪⎭⎫⎝⎛⨯=(3)因为随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，经过的合理分析，最终决定将水位与捕鱼的损失率确定为反函数关系，建立了草鱼损失率随时间变化的函数关系，如下：2)4.010(8.0t p i -=(4)采用优化的方法，建立最佳捕捞并将鲜活草鱼投放市场的模型，并利用lingo 软件求得的结果见表1：总效益 322304.7元时间/天 012 3 4 5 6 捕捞量 1814.516 1607.823 0 0 0 0 0 供应量 1800 1593.8350 0 0 0 0 时间/天 7 8 910111213 捕捞量 0 0 1835.798 1840.867 410.4669 824.4023 407.9926 供应量 0 0 1800 1800 400 800 393.8353 时间/天 14 151617181920 捕捞量 0 1263.158 1918.363 1952.489 2004.454 2090.350 2250.000 供应量120018001800180018001800关键词：微分方程 MATLAB 反比例函数 最优化 LINGO表1=i z一、问题重述该题是经营商为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。

北京理工大学数学学院《常微分方程》小论文捕鱼业效益最大化的微分方程模型2012/12/18捕鱼业效益最大化常微分方程模型摘要在将可持续发展作为基本国策的大背景下，像渔业这样的再生资源应该在持续稳产的前提下追求效益的最大化。

本文考察一个渔场，首先建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论渔场的效益最大化问题，最后提出相应的优化方案及建议。

关键字:渔场鱼量捕捞强度平衡点稳定条件效益一、问题分析如今人们大范围过度捕捞导致了渔业的日渐枯竭，近海资源已经被严重透支，到远洋争议海域捕鱼又充满了危险，近年不断有渔船被日韩海监船扣压，更有甚者，去年3月份与韩国海警爆发冲突，导致一人死亡，引发各种问题。

然而怎样才能实现捕鱼业效益的最大化呢？应该如何控制捕捞强度才能实现效益的最大化？本文就这些问题进行了以下分析：①建立渔场鱼量x，捕捞强度E关于t的微分方程；②由上述微分方程组求出平衡点并分析其稳定性；③在稳定条件下求出渔场效益；④对其效益进行分析提出优化方案.二、模型假设：（1）在无捕捞条件下，渔场中的余量x(t)的增长服从logistic规律（即阻滞增长模型）；（2）单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为E；（3）捕捞强度E(t)的变化率与利润成正比；（4）鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率的费用为常数c；三、模型建立与求解1.在无捕捞条件下x(t)关于时间的微分方程) (1)ẋ(t)=f(x)=rx(1−xNr为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长量.2.捕捞情况下渔场鱼量满足的方程单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为捕捞强度，于是单位时间的捕捞量为：h(x)=Ex (2)根据以上假设并记F(x)=f(x)-h(x)得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程为：)−Ex (3)x(t)=F(x)=rx(1−xN3.捕捞强度E(t)关于时间的微分方程E(t)=k(T−S) (4)k为比例常数，T为单位时间的收入，S为单位时间的支出.其中T=ph(x)=pEx, S=cE (5)4.求平衡点并分析其稳定性我们并不需要解方程(3)和(4)以得到x(t)，E(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定此时的效益.接下来我们将求解方程(3)和(4)的平衡点并分析其稳定性.{ẋ(t )=u (x,E )=rx (1−x N )−Ex E (t )=v (x,E )=k (T −S )……（6） 将（5）式带入下面的代数方程组，{u (x,E )=0v(x,E)=0, 解出平衡点为，（0,0），（N ，0），（c p ,r(1−c Np )）.稳定性分析：当x=0,E=0时，即渔场鱼量为0且捕捞强度为0，此种情况不具有分析意义；当x=N ，E=0时，即渔场鱼量为环境最大容纳量，没有捕捞，同样，这种情况也不具有分析意义；当x=c p ，E=r(1−c Np )时，由于（6）为非线性方程组，所以我们将采用线性近似的方法讨论此时的稳定性。

最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。

根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。

由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。

其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。

由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。

关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。

一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。

水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。

据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。

捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。

同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。

承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。

2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。

数理学院《数学建模》课程设计题目1、 鱼群的适度捕捞问题鱼群是一种可再生资源，若目前鱼群的总数为x 公斤，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数变为y 公斤。

反映x 与y 之间相互关系的曲线称为再生产线，记为)(x f y =。

现设鱼群的再生产曲线为)1(Nxrx y -=，)1(>r 。

为使鱼群的数量维持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕捞。

问鱼群的数量控制在多大时，才能使我们获得最大的持续捕获量？2、定价问题某公司考虑为某新产品定价，该产品的单价拟从每件 6元、7元、8元和 9元这四个中选取一个，每年允许价格有 1元幅度的变动，该产品预计畅销五年，据预测不同价格下各年的利润如下表所示.每年预计利润额单价 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年7元 8元 9元12 15 16 13 16 17 17 17 16 21 18 15 23 17 143、水厂建造问题某城市拟建A 、B 两个水厂。

从建造和经营两方面考虑，水厂分小、中、大三种规模，日均贮水量分别为30万吨、40万吨及50万吨。

由于水资源的原因，A 、B 两个水厂日进水量总和不超过80万吨。

A 、B 两个水厂共同担负供应六个居民区用水任务，这六个居民区的位置及拥有的家庭户数由表1给出，每户日均用水量为1.0吨，水厂供应居民点用水的成本为1.05元/吨公里。

(1)方案使总成本最低；(2)若A 、B 两个水厂的位置尚未确定，请你确定它们的位置及供水方案使总成本最低；(3)如果该某城市要在平直河岸L(设L 位于横坐标轴)上建一抽水站P ，供应同岸的A 、B 两个水厂。

考虑到输水管道沿线地质情况等原因，假设在修建OA 、OB 、OP 三段管道（如图1）时，每公里的耗资由相应的管道日供水量决定，参见表2。

水厂按超额加价收取水费，即每户日基本用水量为0.6 吨，每吨水费1.2元，超额用水量的水费按基本用水量的水价加价20％。

试确定该城市将供水收益全部用于偿还修建OA 、OB 、OP 三段管道投资费用的最优方案。

可持续鱼捕捞问题摘要为了保护人赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须湿度。

本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。

对于实现可持续捕获量，即每一年初的各年龄组鱼群条数等于前一年鱼群的条数，由于1,2龄鱼无法捕捞，所以对于1，2龄鱼的数量就是3,4龄鱼产卵中成活的数量总和，而3,4龄鱼则是1,2龄鱼成长的加上原本存在的数量。

从题中可以看出，所使用的捕捞渔网只捕捞3,4龄鱼，不捕捞1,2龄鱼，这在一方面也保护的鱼群的延续，在整体分析实现鱼捕捞可持续的最大量时，使用MATLAB软件进行计算与模拟。

综合得到以下结论：1.每一年各龄鱼各自的存活量；2.4龄鱼存活量为原有的加上1,2,3龄鱼成长的；3.考虑各龄鱼每一年不同的变化，实现鱼塘的可持续发展关键词：改变，增加，变化，减少，可持续发展1.捕捞采用固定努力量捕捞，即只允许每年的1-8月捕捞，产卵和孵化器为每年的后四个月；2.产卵期时鱼的自然死亡率发生在产卵之后；3.4龄鱼和3龄鱼每年只产卵一次，且产卵集中在9月份，到十二月份孵化完毕;4.使用1.3mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，且每年投入的捕捞能力固定不变；5.只考虑该鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出，也不考虑其他方面的影响；6.自然死亡的鱼也在捕捞范围之内，即计入捕获量，并且能够全部捕捞符号说明F表示i龄鱼在T年的数量；i（T）F表示i龄鱼在T年初的数量；i,0（T）r表示自然死亡率；n表示4龄鱼产卵量；k表示固定捕捞系数；m表示卵的成活率；如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。

最佳捕鱼策略摘要渔业作为一种再生资源产业，在可持续发展的时代主题下，保证其持续稳产是形势所趋。

本文利用微分方程和非线性规划理论，探讨在可持续收获的条件下，如何通过调整捕捞强度系数，实现捕鱼量的最大化。

针对问题一，首先推导出鱼群产卵、自然死亡、年龄随时间变化等诸因素与各年龄组鱼群数量的数学表达式，结合可持续捕捞，形成一组约束条件，以年捕获量最大作为目标函数，建立非线性规划模型。

用Lingo 编程求解得到：当捕捞强度系数k 取17.36时，年捕获量最大，为3.88×1011克。

然后利用Matlab 画出了在保证可持续捕获的前提下，年度捕获量随捕捞强度系数k 变化的图象，并经过多次计算，验证了结果的准确性和稳定性。

针对问题二，在问题一模型的基础之上，修改约束条件。

首先采用每年的捕捞努力量固定，但各年彼此之间的捕捞努力量不尽相同的方式，然后采用每年的捕捞努力量都保持不变的方式，并将两个模型比较得出采用模型二收益更大。

鉴于此问是多元非线性规划问题，且数据较大，为了得到全局最优解，我们采用Matlab 进行求解，最终得到结果为：1k2k3k4k5kGG13.8815.8818.3633.095.52121.7210⨯得到最大的捕获量为1.72⨯1012克，从而制定出最佳捕鱼策略。

此外，在模型的推广中，改变模型一的假设，在认为4龄鱼一年后仍为4龄鱼的基础上，对问题一进行了改进，得出的结果虽相差甚微，但是思路更具逻辑性。

关键词：微分方程 多元非线性规划 马尔萨斯人口增长模型一、 问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对鳀鱼的最优捕捞策略，该种鱼的基本信息如表1所示；表1. 鳀鱼的基本信息1龄鱼 2龄鱼 3龄鱼 4龄鱼 平均重量 5.0711.5517.8622.99自然死亡率 0.8产卵量 00.5545×1051.109×105这种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n 之比）为1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011 + n ）.渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业。

最优捕鱼策略的数学模型舒兰1，杜文胜1，彭碧琛21武汉大学数学与统计学院；2武汉大学计算机学院摘要本文针对渔业的合理开发和利用问题，通过分析，将渔场的鱼按年龄分组，做出合理的假设，综合解决这一问题。

对问题（1），考虑时间连续而年龄离散的实际情况，达到实现可持续捕获。

运用微分方程方法建立目标函数是最大收获量的非线性约束模型，并使用Matlab 求解。

求出最优捕捞努力量应为17.36429，该年的最大收获量为3.88656×1011千克。

对问题（2），分别从产量和为稳态两个方面进行了讨论使渔场的生产能力既未受到太大破坏又使5年的总收获量最高。

通过α-法，将多目标规划转化为单目标规划，并使用Matlab求解。

得到了固定努力量为17.4687时，3、4龄鱼的总捕获量最高为1.60545×1012千克。

并分析讨论了平衡点的稳定性问题。

通过模拟的方法对原始数据进行了分析。

最后讨论了模型的优缺点及改进方向。

关键词：最大捕捞量；捕捞强度系数；α-法；稳态目录1.问题的重述 (1)2.模型的假设与符号表示 (1)2.1模型的假设 (1)2.2符号说明 (2)3.问题的分析 (2)4.模型的建立与求解 (3)4.1在持续收获前提下追求最大产量的模型 (3)4.1.1建立鱼群的变化及每年的收获量的微分方程模型 (3)4.1.2模型求解 (5)4.1.3对4龄鱼全部死亡的合理性分析 (5)4.2承包5年的最优捕捞模型 (6)4.2.1多目标规划模型 (6)4.2.2模型求解 (7)5.模型优缺点及改进方向 (9)5.1模型的优缺点 (9)5.2模型的改进方向 (9)参考文献 (9)附录 (10)。

最佳捕鱼策略摘要为了实现鳀鱼持续的经济效益，可持续的捕捞方案必不可少。

本文建立了最优化模型，求出了在可持续条件下最大的鳀鱼年收获量以及自然死亡率和捕捞强度系数对模型的影响，并向渔业管理部门提出的鳀鱼资源利用的政策建议。

针对问题一，以一年为周期，年初各个年龄组鳀鱼的数量由上一年相关年龄组的数量决定，分别建立微分方程，得到各个年龄组鳀鱼数量与时间的关系式。

以可持续条件下各个年龄组鳀鱼数量相同为约束条件，以捕捞的3、4龄鱼最大数量为目标函数建立最优化模型。

采用Lingo17.0对模型进行求解，得到年初1龄鱼的数量为1110195994.1⨯条，年初2龄鱼的数量为1010373946.5⨯条，年初3龄鱼的数量为1010414670.2⨯条，年初4龄鱼的数量为710395523.8⨯条，年收获量最大值为1110887536.3⨯克。

针对问题二，由模型I 得出年收获量是自然死亡率和捕捞强度系数的关系。

将捕捞强度系数赋一固定值，用Matlab 软件得出了在4龄鱼的捕捞强度系数为5的情况下，年收获量和自然死亡率成反向关系。

针对问题三，由前述得到的年收获量与自然死亡率和捕捞强度系数的关系，运用Matlab2016求解得到当4龄鱼的捕捞强度系数(k)以0.01为步长，从0到20分布时对应的F(k)的数值，并以k 的取值为横坐标，对应的F(k)为纵坐标，绘制捕获量F(m)随捕捞强度系数变化的曲线图，得出年收获量与捕捞强度系数成正向关系。

最后，本文从提高捕捞技术、保护鳀鱼苗种和生存环境、开发产业链等四个方面对鳀鱼资源的综合利用提出了建议。

关键词：年收获量最优化模型1问题重述和分析本题是最优化问题，此问涉及的各个变量为：每条1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼的平均重量分别是 5.1g、11.6g、17.9g、23.0g，自然死亡率为0.8，各个年龄组鳀鱼产卵量情况，产卵孵化期为每年后4月，3龄鱼和4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1，卵的存活率等。

【关键字】实验最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MA TLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。

二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。

考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，… ，4龄鱼的某种鱼。

该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。

而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比率称为捕捞强度系数。

使用只能捕捞3、4龄鱼的网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。

该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均质量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为1.109ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为1.22ⅹ1011/（1.22ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,29.7,10.1,3.29（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。

三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比率相对很小，可假设全部死亡。

d、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。

（且可设xi（t）：在t时刻i龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n：每年的产卵量；k：4龄鱼捕捞强度系数；2ai0：每年初i龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max（total（k））=17.86t∈[0，1]，x1（0）= n ×t∈[0，1]，x2（0）= x1（1）t∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1）s.t. t∈[2/3，1]，x3（-）= x3（+）t∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）t∈[2/3，1]，x4（-）= x4（+）四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1.先建立一个buyu.m的M文件：function y=buyu(x);global a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=-0.8*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=-0.8*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-(0.8+0.4*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=-0.8*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-(0.8+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=-0.8*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=1.109*10^5*(0.5*a31+a41);Equ=a10-nn*1.22*10^11/(1.22*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int(0.42*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=17.86*t3+22.99*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个buyu1.m的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：2.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =-3.6757e+011y =-3.9616e+011y =-4.0483e+011y =-4.0782e+011y =-4.0802e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =-4.0805e+011y =y =-4.0667e+011k =18.25976795085083total =4.080548655562244e+011 a10 =1.195809275167686e+011a20 =5.373117428928620e+010a30 =2.414297288420686e+010a40 =8.330238542343275e+007则k=18.25976795085083时，最高年收获量为total=4.080548655562244×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：1.195809275167686×10115.373117428928620×10102.414297288420686×10108.330238542343275×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。

《数学建模与计算》问题捕鱼问题建立捕鱼问题的模型，并通过求解微分方程的办法给出最大捕捞量。

1.问题分析本问题是一个典型的可再生资源开发的数学模型。

我们取每年开始捕捞时刻作为与数量的计数时刻，考虑同一年龄组在一年中生长过程的时间连续性，我们用微分方程的模型分析在一年中的不同阶段分界点上鱼数量的关系。

在可持续捕捞的前提下，本模型表现为鱼数量在开始捕捞时刻不变，通过求解捕鱼量关于捕捞强度系数的表达式的极大值，得到最高年收获量及对应捕捞强度系数。

2.模型的假设根据问题的要求提出以下假设;(1)鱼分为1，2，3,4龄鱼，4龄鱼存活一年后仍划为4龄鱼。

(2)各年龄组鱼的自然死亡率为0.8/年，且死亡是一连续过程，不是在某时刻突发的。

(3)3,4龄鱼在一年的最后四个月集中产卵，且在该4个月的开始时刻进行；3龄鱼产卵量为0.5*1.109*510/条；卵孵化成活10/条，4龄鱼产卵量为1.109*5为1龄鱼，成活率为1.22*1110/（1.22*1110+n）。

(4)捕捞在产卵孵化前8个月进行，且捕捞是一连续过程，不是在某一时刻刻发生；捕捞强度系数固定，只能捕捞3,4龄鱼，它们的捕捞强度系数只比为0.42:1。

(5)经济效益以捕捞总量来衡量。

在假设（1）中，我们认为4龄鱼存活之下一年后，可被当做4龄鱼捕杀，且仍具有生殖能力，故可视为4龄鱼。

在假设（3）中，因为孵化需要时间，而产卵孵化集中完成，故认为产卵孵化在开始时进行，这是对模型的简化，在后面的讨论中，我们将看到这种简化不影响模型的精确性。

卵的成活率为10+n）这个假设是正确的，它反映了当产卵数过多时，由10/（1.22*111.22*11于竞争必将导致成活率的减少。

3.模型的建立与求解（1）参数的说明在下面的讨论中用到表1-1中的记号。

用 R表示非负实数集合，单位时间死亡总数与鱼总数之比称为自然死亡率。

单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数之比称为捕捞强度系数。

问题一鱼群捕捞问题一、问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费。

如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝。

许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制。

试建立一个数学模型，它将有助于这些机构作出敏感性的决定。

假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分4个年龄组，称1龄鱼，……，4龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。

渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。

常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

现在考虑对这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。

二、问题的假设与分析1. 问题假设（1）鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。

（2）查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年8月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。

（3）龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3。

（4）4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。

（5）连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。

2. 问题分析 （1）符号说明x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4； n ：每年的产卵量； k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4； （2）对死亡率的理解题中给出鱼的自然死亡率为0.8（/年），它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。

最优捕鱼模型一•问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联•所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题•现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比.分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型•二•问题分析1. 针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程;2. 针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3. 针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分•三.基本假设1 •假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响;2 •假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为;3 •假设每尾鱼都均衡生长；4 •假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5.假设鱼为球体.每尾鱼重量密度n (t)t 时刻鱼塘内鱼苗尾数k 2每尾鱼重量减少率与其重量本身比例系数 k i每尾鱼重量增加率与鱼表面积比例系数 T 能获得最大捕捞量的初始时间 E 捕捞能力 W总捕捞量五.模型建立与求解模型一•鱼苗尾数的相对减少率为常数r .即 1血"［⑴limorn（t ）即色dtrn (t)解得n n °e rt模型二.假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重 量为G o ，鱼的密度为；且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引 起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为 k 1），由于消耗引起的减 少率与其重量本身成正比（比例系数为 k 2）.由V -3S又由于灵=23=0,G G o由相对减少率的定义得 「rn (t)R 3，S=4 R 2，G V 得23才G 3所以G模型三•控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用n（t）表示，捕捞能力（E）可以用尾数的相对减少率1罟表示，从T时刻开始捕捞，使得捕捞量W能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量此时，n（t）=n 00史七门⑴l 1 dn 1 d （n0e-at）E = ___ = _=a所以，W En（t）dt=-atan °e an o -aTdt= e 1+a（1+a）a则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大模型四•建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数n（t），还取决于鱼的重量G .即W En（t）Gdt所以，W En（t）Gdt =-at an 0e1+a可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T.。