高高考数学集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

第五节二次函数与一元二次方程、不等式课标要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与一元二次方程根的关系.3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.必备知识·整合〔知识梳理〕1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a，b，c为常数，且a≠0）.提醒解不等式ax2+bx+c＞0(＜0)时,不要忘记讨论当a=0时的情况.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2−4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+ bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=−b2a没有实根ax2+bx+c>0(a> 0)的解集{x|x<x1或x>x2}{xx≠−b2a}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀提醒a＞0时的一元二次不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间. 知识拓展1.简单分式不等式（1）f(x)g(x)≥0(≤0)⇔{f(x)g(x)≥0(≤0),g(x)≠0.（2）f(x)g(x)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0).2.不等式ax2+bx+c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.（1）不等式ax2+bx+c＞0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0, c＞0或{a＞0,Δ＜0.（2）不等式ax2+bx+c＜0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0,c＜0或{a＜0,Δ＜0.〔课前自测〕1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.（1）ax2+bx+c<0为一元二次不等式.( × )（2）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )（3）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，那么不等式ax2+bx+ c<0的解集一定不是空集.( √ )（4）x−ax−b≥0等价于(x−a)(x−b)≥0.( × )2. [2020全国Ⅰ，1，5分]已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A∩B=( D )A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}[解析]由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}.3. [2021辽宁大连质检]若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x−12<x<13}，则a−b的值是( A )A. −10B. −14C. 10D. 144. 易错题不等式(x−2)(3−2x)≥0的解集为( B )A. (32,+∞) B. [32,2] C. [2,+∞) D. (−∞,32][解析]由(x−2)(3−2x)≥0，得(x−2)(2x−3)≤0，解得32≤x≤2，故原不等式的解集为[32,2].易错提醒本题容易忽视二次项的符号致错.5. （新教材改编题）若关于x的不等式x2−2ax+18>0恒成立，则实数a的取值范围为(−3√2,3√2).[解析]由题意得4a2−4×18<0，解得−3√2<a<3√2.关键能力·突破考点一一元二次不等式的解法角度1 简单分式不等式的解法例1≥0的解集为( C )（1）不等式1−x2+xA. [−2,1]B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (−2,1]D. (−∞,−2]∪(1,+∞)≥2的解集为( B )（2）[2022山东烟台二中模拟]不等式3x−2x+3A. (−∞,−3]∪[8,+∞)B. (−∞,−3)∪[8,+∞)C. (−3,8]D. (−∞,−3)∪(8,+∞)−2≥0，[解析]原不等式可化为3x−2x+3≥0，即(x−8)(x+3)≥0且x+3≠0，即x−8x+3∴x<−3或x≥8.所以原不等式的解集为(−∞,−3)∪[8,+∞).方法感悟将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式（组）即可求解.角度2 不含参数的不等式的解法例2（1）[2022重庆八中模拟]已知集合A={3,8},B={x|x2−x−6≤0}，则A∩(∁R B)=( B )A. {3}B. {8}C. {−2,3,8}D. {−2}[解析]由x2−x−6≤0，得−2≤x≤3，则B ={x|x 2−x −6≤0}=[−2,3],∁R B ={x|x <−2或x >3} ，则A ∩(∁R B)={8} .（2） [2022广东潮州月考]不等式0<x 2−x −2≤4 的解集为{x|−2≤x < −1或2<x ≤3} .[解析]原不等式等价于{x 2−x −2>0，x 2−x −2≤4，即{x 2−x −2>0，x 2−x −6≤0，即{(x −2)(x +1)>0，(x −3)(x +2)≤0，解得{x >2或x <−1，−2≤x ≤3. 借助数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|−2≤x <−1或2<x ≤3} .方法感悟解一元二次不等式的步骤角度3 含参数的不等式的解法例3 解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R).[答案]原不等式可化为ax2+(a−2)x−2≥0.①当a=0时，原不等式可化为x+1≤0，解得x≤−1.②当a>0时，原不等式可化为(x−2a )(x+1)≥0，解得x≥2a或x≤−1.③当a<0时，原不等式化为(x−2a)(x+1)≤0.当2a >−1，即a<−2时，解得−1≤x≤2a；当2a=−1，即a=−2时，解得x=−1；当2a <−1，即−2<a<0时，解得2a≤x≤−1.综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥2a 或x≤−1}；当−2<a<0时，不等式的解集为{x|2a≤x≤−1}；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}.方法感悟含参数的一元二次不等式的解题策略（1）二次项中若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，需要讨论判别式Δ与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，需要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.1. [2023广东湛江模拟]已知全集U=R，集合A={x|2x2−3x−2<0,x∈R}，B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B=( B )A. (12,1)∪(1,3) B. [2,3) C. {0,1} D. {1}[解析]由2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)<0，得−12<x<2，所以A={x−12<x<2}，则∁U A={xx≤−12或x≥2}，又B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B={x|2≤x<3}=[2,3).2. [2023山东济南一模]不等式x−12x+1≥0的解集为(−∞，−12)∪[1,+∞).[解析]x−12x+1≥0⇒{(x−1)(2x+1)≥0，2x+1≠0⇒x≥1或x<−12.3. 求不等式12x2−ax>a2(a∈R)的解集. [答案]原不等式可化为12x2−ax−a2>0，即(4x+a)(3x−a)>0，令(4x+a)(3x−a)=0，解得x1=−a4，x2=a3.当a>0时，不等式的解集为{x<x−a4或x>a3}；当a=0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<a3或x>−a4}.考点二三个两次的关系例4 [2021广东东莞高三期末]多选题若不等式ax2−bx+c>0的解集是(−1,2)，则( AD )A. 相应的一元二次函数的图象开口向下B. b >0 且c >0C. a +b +c >0D. 不等式ax 2−cx +b ≤0 的解集是R[解析]由题意知a <0 ，所以A 正确；由题意可得−1 ，2是方程ax 2−bx +c =0 的两个根，所以{−1+2=ba ，−1×2=c a ，所以{b =a,c =−2a ，得b <0,c >0 ，所以B 不正确；因为−1 是方程ax 2−bx +c =0 的根，所以把x =−1 代入方程得a +b +c =0 ，所以C 不正确；把b =a ，c =−2a 代入不等式ax 2−cx +b ≤0 ，可得ax 2+2ax +a ≤0 ，因为a <0 ，所以x 2+2x +1≥0 ，此时不等式的解集为R ，所以D 正确. 方法感悟（1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.4. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，则不等式cx 2+bx +a <0 的解集是( A ) A. {x −1<x <12} B. {x <x −1或x >12} C. {x −12<x <1}D. {x <x −12或x >1}[解析]因为ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，所以−1 ，2是方程ax 2+bx +c =0 的两实数根，且a <0 ，由根与系数的关系得{−1+2=−ba ，−1×2=ca ， 所以b =−a ，c =−2a ，所以不等式cx 2+bx +a <0⇒−2ax 2−ax +a <0 ，即2x 2+x −1<0 ，解得−1<x <12 ,故不等式cx 2+bx +a <0 的解集为{x −1<x <12} .考点三 一元二次不等式恒成立问题角度1 在R 上的恒成立问题例5 不等式ax(x +1)−1<0 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 (−4,0] .[解析]由ax(x +1)−1<0 ，得ax 2+ax −1<0 .当a =0 时，−1<0 恒成立；当a ≠0 时，有{a <0，Δ=a 2+4a <0⇒−4<a <0 .综上所述，实数a 的取值范围是(−4,0] .角度2 在给定区间上的恒成立问题例6 [2022广东深圳月考]若对于任意的x ∈[0,2] ，不等式x 2−2x +a >0 恒成立，则a 的取值范围为( B ) A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. [1,+∞)[解析]不等式x 2−2x +a >0 可化为a >−x 2+2x ，设f(x)=−x 2+2x ，x ∈[0,2] ，则f(x)=−(x −1)2+1 ，当x =1 时，f(x)max =f(1)=1 ，所以实数a 的取值范围是(1,+∞) .角度3 给定参数范围的恒成立问题例7 若mx2−mx−1<0对任意m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围是(1−32,1+32).[解析]设g(m)=mx2−mx−1=(x2−x)m−1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则{g(1)<0, g(2)<0,即{x2−x−1<0, 2x2−2x−1<0,解得1−√32<x<1+√32，故x的取值范围为(1−√32,1+√32).方法感悟（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.（2）一元二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论（也可采用分离参数的方法求解）.5. 函数f(x)=x2+ax+3.（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]当x∈R时，x2+ax+3−a≥0恒成立，只需Δ=a2−4(3−a)≤0，即a2+4a−12≤0，解得−6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−6,2].（2）当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]由题意，可得x2+ax+3−a≥0在[−2,2]上恒成立，令g(x)=x2+ ax+3−a,则有①g(x)中Δ≤0或②{Δ>0,−a2<−2,g(−2)=7−3a≥0或③{Δ>0,−a2>2,g(2)=7+a≥0,解①得−6≤a≤2，解②得无实数解，解③得−7≤a<−6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[−7,2].（3）当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. [答案]令ℎ(a)=xa+x2+3.当a∈[4,6]时，ℎ(a)≥0恒成立，只需{ℎ(4)≥0,ℎ(6)≥0,即{x2+4x+3≥0, x2+6x+3≥0,解得x≤−3−√6或x≥−3+√6.∴实数x的取值范围是(−∞,−3−√6]∪[−3+√6,+∞).考点四一元二次方程根的分布例8 [2023湖南益阳开学考]已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. [解析]设函数f(x)=x2+2mx+2m+1.（1）若方程有两根，其中一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；[答案]易知f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(−1,0)和(1,2)内，画出示意图，得{ f(0)=2m +1<0，f(−1)=2>0，f(1)=4m +2<0，f(2)=6m +5>0，∴{m <−12，m ∈R m <−12，m >−56，∴−56<m <−12 .（2） 若方程两根均在区间(0,1) 内，求m 的取值范围.[答案]易知f(x) 的图象与x 轴的交点在区间(0,1) 内，画出示意图，得{ f(0)>0，f(1)>0，Δ≥0，0<−m <1，∴{ m >−12，m >−12，m ≥1+√2或m ≤1−√2，−1<m <0，∴−12<m ≤1−√2 .方法感悟一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点： （1）一元二次函数图象的开口方向； （2）一元二次函数对应方程的根的判别式；（3）一元二次函数图象的对称轴与区间的关系； （4）一元二次函数在区间端点处函数值的符号.6. [2023广东茂名期中]已知方程2x 2−(m +1)x +m =0 有两个不等的正实根，则实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) . [解析]设f(x)=2x 2−(m +1)x +m ， 由{Δ>0，−−(m+1)2×2>0，f(0)>0，得{(m +1)2−8m >0，m >−1，m >0，∴{m <3−2√2或m >3+2√2，m >−1,m >0，∴0<m <3−2√2 或m >3+2√2 ，即实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) .分层突破训练 基础达标练1. 不等式−x 2+3x +10>0 的解集为( A ) A. (−2,5) B. (−∞,−2)∪(5,+∞) C. (−5,2)D. (−∞,−5)∪(2,+∞)[解析]由x 2−3x −10<0 ，解得−2<x <5 .2. 多选题 下列不等式的解集为R 的是( BC ) A. x 2+2√5x +5>0 B. x 2+6x +10>0 C. −x 2+x −2<0D. 2x 2−3x −3<0[解析]对于A 选项，x 2+2√5x +5=(x +√5)2>0 ，故解集为{x|x ≠−√5} ； 对于B 选项，x 2+6x +10=(x +3)2+1>0 ，解集为R ； 对于C 选项，−x 2+x −2=−(x −12)2−74<0 ，解集为R ；对于D 选项，2x 2−3x −3<0 ，对应的二次函数图象开口向上，Δ=9−4×2×(−3)=33>0 ，故不等式的解集不是R .故选BC.3. [2023山东东营模拟]设x ∈R ，则“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由x 2≤3x ，得0≤x ≤3 ，所以“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的必要不充分条件.4. [2022江苏南通模拟]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A. (−∞,−2]B. (−∞,−2)C. (−∞,0]D. (−∞,0)[解析]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，故Δ=(−2)2+4(1+a)≤0 ，解得a ≤−2 ，故实数a 的取值范围是(−∞,−2] . 5. [2022湖北华中师大一附中模拟]不等式2x+1≤1 的解集是( A ) A. (−∞,−1)∪[1,+∞) B. (−∞,−1]∪[1,+∞) C. (−∞,−1)D. (−1,1)[解析]原不等式可化为2x+1−1≤0 ，即x−1x+1≥0 ，得(x −1)(x +1)≥0 且x +1≠0 ，得x <−1 或x ≥1 ，所以原不等式的解集为(−∞,−1)∪[1,+∞) . 6. [2022天津耀华中学模拟]对于任意实数x ，不等式(a −1)x 2−2(a −1)x −4<0 恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A. (−∞,3)B. (−∞,3]C. (−3,1)D. (−3,1][解析]当a =1 时，−4<0 恒成立； 当a ≠1 时，有{a −1<0,Δ<0, 解得−3<a <1 .综上，实数a 的取值范围是(−3,1] .7. 已知二次函数f(x)=(m +2)x 2−(2m +4)x +3m +3 的图象与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则实数m 的取值范围为(−2,−12) . [解析]由题意得，(m +2)⋅f(1)<0 ， 即(m +2)⋅(2m +1)<0 ， ∴−2<m <−12 ，即m 的取值范围为(−2,−12) .8. [2023辽宁丹东期末]某种杂志以每本2.5 元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1 元，销售量就可能减少2 000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.[解析]设定价为x 元，销售总收入为y 元，由题意得，y =(80 000−x−2.50.1×2 000)x =−2 0000x 2+130 000x ，因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以y =−20 000x 2+130 000x ≥200 000 ，解得52≤x ≤4 ，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.9. [2023河北保定模拟]已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3} ，集合B ={x ∈R ∣x−m x−2<0} ，且A ∩B =(−1,n) ，则m = −1 ，n = 1.[解析]A ={x ∈R ||x +2|<3}={x|−5<x <1} ，B ={x ∈R ∣x−m x−2<0}={x ∣(x −m)(x −2)<0} ，因为A ∩B =(−1,n) ，所以−1 是方程(x −m)(x −2)=0 的根，则−1−m =0 ，解得m =−1 ，所以B ={x|−1<x <2} ，A ∩B =(−1,1) ，则n =1 .10. [2022广东化州第三中学月考]已知集合A ={−5,−1,2,4,5} ，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是(x +4)(x −6)>0 （答案不唯一）.[解析]不等式(x +4)(x −6)>0 的解集为{x|x >6或x <−4} ，解集中只有−5 在集合A 中.11. [2021江西南昌莲塘第一中学模拟]已知f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 . （1） 解关于a 的不等式f(1)>0 ； [答案]∵f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 ， ∴f(1)=−3+a(6−a)+6=−a 2+6a +3 ， ∴ 原不等式可化为a 2−6a −3<0 ， 解得3−2√3<a <3+2√3 .∴ 原不等式的解集为{a|3−2√3<a <3+2√3} .（2） 若不等式f(x)>b 的解集为(−1,3) ，求实数a ,b 的值.[答案]f(x)>b 的解集为(−1,3) 等价于方程−3x 2+a(6−a)x +6−b =0 的两根为−1 ，3， 即{−1+3=a(6−a)3,−1×3=−6−b3,解得{a =3±√3,b =−3.能力强化练12. [2022重庆南开中学模拟]三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2+2y 2 对任意x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] 恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析.” 乙说：“寻找x 与y 的关系，再进行分析.” 丙说：“把字母a 单独放在一边，再进行分析.”参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是( B ) A. [1,+∞)B. [−1,+∞)C. [−1,4)D. [−1,6][解析]选择用丙的方法.因为xy ≤ax 2+2y 2 ，x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] ， 所以xy −2y 2≤ax 2 等价于xy−2y 2x 2≤a ，即yx −2(yx )2≤a . 令y x =t ，则t ∈[1,3] .原式化为t −2t 2≤a 对任意t ∈[1,3] 恒成立，因为t −2t 2=−2(t −14)2+18 ，所以当t =1 时，(t −2t 2)max =−1 . 所以−1≤a ，即a ∈[−1,+∞) . 故选B.13. [2022重庆质量检测]若方程x 2+(m −2)x +6−m =0 的两根都大于2，则m 的取值范围是(−6,−2√5] .[解析]令f(x)=x 2+(m −2)x +6−m ，其图象的对称轴方程为x =2−m 2，由题意得，{2−m2>2，f(2)>0，Δ≥0，即{2−m2>2,4+2m −4+6−m >0,(m −2)2−4(6−m)≥0,解得−6<m ≤−2√5 ，故m 的取值范围是(−6,−2√5] .14. [2023江苏南京二模]已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(1−x)+f(1+x)=2 ，当x ∈[0,1] 时，f(x)=2x −x 2 ，若f(x)≥x +b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为−14 .[解析]因为f(1+x)+f(1−x)=2 ，所以f(x) 的图象关于点(1,1) 中心对称， 当x ∈[−1,0] 时，f(x)=−f(−x)=x 2+2x ，作出f(x) 的图象和直线y =x +b ，如图所示，结合图象可得，只需当x ∈[−1,0] 时，f(x)=x 2+2x ≥x +b 即可， 即b ≤(x +12)2−14 ， 故b ≤−14 .故b的最大值为−1.415. 某地区上年度电价为0.8元/kW⋅h，年用电量为a kW⋅h.本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅h至0.75元/kW⋅h之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/kW⋅h.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y（元）与实际电价x（元/kW⋅h）的函数关系式；kW⋅h，∴下调电价后的总用电量为(a+ [答案]下调电价后新增的用电量为kx−0.4k)kW⋅h，x−0.4)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75).∴y=(a+kx−0.4（2）设k=0.2a，问：电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×（实际电价−成本价）.)(x−0.3)≥a×(0.8−0.3)×(1+20%)，0.55≤x≤[答案]由已知得(a+0.2ax−0.40.75，整理得x2−1.1x+0.3≥0,0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.故电价最低定为0.60元/kW⋅h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.+b，关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3). 16. 已知函数f(x)=x+ax（1）求实数a，b的值；[答案]因为关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3)，所以不等式x2+bx+a<0的解集为(1,3)，所以{1+3=−b，1×3=a，解得{a=3,b=−4，所以f(x)=x+3x−4.（2）求关于x的不等式xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)的解集；[答案]由xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)，得x2+3−4x<(m−3)(x−1)，即x2−(m+1)x+m<0，即(x−1)(x−m)<0.所以当m<1时，不等式的解集为(m,1)；当m=1时，不等式无解；当m>1时，不等式的解集为(1,m).（3）若不等式f(2x)−k⋅2−x−2k≥0在R上恒成立，求实数k的取值范围.[答案]令t=2x(t>0)，则f(t)−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t+3t −4−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t 2−(2k+4)t+3−kt≥0在(0,+∞)上恒成立，即t2−(2k+4)t+3−k≥0在(0,+∞)上恒成立，令g(t)=t2−(2k+4)t+3−k.当2k+42≤0，即k≤−2时，g(t)图象的对称轴在y轴的左侧，所以g(0)=3−k≥0，即k≤3，所以k≤−2；当2k+42>0 ，即k >−2 时，g(t) 图象的对称轴在y 轴的右侧，则Δ=(2k −4)2−4(3−k)≤0 ，所以3−√52≤k ≤3+√52 .综上，k ≤−2 或3−√52≤k ≤3+√52 .素养综合练17. [2022河北石家庄二中模拟]若函数f(x) 满足对任意的x ∈[n,m](n <m) ，都有n k ≤f(x)≤km 成立，则称函数f(x) 在区间[n,m](n <m) 上是“被k 约束的”.若函数f(x)=x 2−ax +a 2 在区间[1a ,a](a >0) 上是“被2约束的”，则实数a 的取值范围是( A )A. (1,2]B. (1,√323]C. (1,√2]D. (√2,2] [解析]由题意得12a ≤x 2−ax +a 2≤2a 对任意的x ∈[1a ,a](a >0) 都成立.由a >1a 且a >0 ，得a >1 ，则f(1a )=1a 2−1+a 2>2−1=1>12a 恒成立. 由f(a)=a 2−a 2+a 2=a 2≤2a ，且a >1 ，得1<a ≤2 .因为a >1 ，所以f(1a )=1a 2−1+a 2<1−1+a 2=a 2 .f(x)=x 2−ax +a 2 图象的对称轴方程为x =a 2 ，由f(a 2)=3a 24≥12a ， 得a ≥√233 .因为√233<1 ，所以a 的取值范围为(1,2] .故选A.。

1.3 等式性质与不等式性质课程标准有的放矢梳理等式的性质，理解不等式的概念，驾驭不等式的性质.必备学问温故知新【教材梳理】1.基本事实（1）.（2）.（3）.2.等式的基本性质性质1：假如，那么；性质2：假如,，那么；性质3：假如,那么；性质4：假如,那么;性质5：假如,,那么.3.不等式的基本性质序号性质简称性质1 对称性传递性性质2,性质3 可加性性质4乘法法则,；,性质5相加法则,相乘法则性质6,性质7 乘方法则常用结论1.基本性质的推论（1）开方法则：.（2）倒数法则：,.（3）异向相减：,.（4）异向相除：,.2.分数性质若，，则（1）真分数性质：；.（2）假分数性质：；.其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜（浓度变大）；糖水析出糖后，糖水变淡（浓度变小）.”自主评价牛刀小试1. 推断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）若，则.（×）（2）一个不等式的两边加上或乘同一个实数，不等号方向不变.（×）（3）一个非零实数越大，则其倒数就越小.（×）（4），.（×）（5）若，且,则,,.（×）2. （教材题改编）已知,,，则,的大小关系是（A）A. B. C. D. 不能确定解：由题意，得,因此.故选.3. 若，则（C）A. B. C. D.解：，故正确，易知,,错误.故选.4. （教材题改编）一个两位数，个位数字是，十位数字是，且这个两位数大于70，用不等式表示为.解：由题意，得.故填.。

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）2．已知()x f 是定义在R 上的奇函数，若()x f 的最小正周期为3，f (1)>0，f (2)=231m m -+，则m 的取值范围是 （ ）（A ）3(,)2-∞ （B ）3(,1)(1,)2-∞ （C ）3(1,)2- （D ）3(,1)(,)2-∞-+∞ 3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 （ ） A.()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()ln 2xf x x-=+ 4．下列结论：①命题“0,2>-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”；②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方； ③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0.④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥.其中，正确结论的个数是 （ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 45．已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A ．1B ．21 C ．22 D ．41 6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ）A ．4x y --3=0B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 7．已知a 是使表达式2x +1>42-x 成立的最小整数，则方程1-|2x -1|=a x -1实数根的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+xD ． 2)4(-x9．条件:2p a ≥-；条件:q 函数()3f x ax =+在区间[-1，2]上存在零点0x ，则p ⌝是q 的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件10．已知命题p ：(,0),23x x x ∃∈-∞<；命题q ：(0,),tan sin 2x x x π∀∈>，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∧qB. p ∨(﹁q)C. (﹁p)∧qD. p ∧(﹁q) 11．设Q P ,为两个非空实数集合，定义集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=⊕Q y P x y x Q P ,,2．{}5,2,0=P {}7,4,2=Q ，Q P ⊕中元素的个数是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()1(x f x f +=-，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设)0(f a =，)21(f b =，)3(f c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题13．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-),1(log )1,(2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 值是 ．14．函数y =x 2(x >0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k +1，k N *∈其中，若a 1=16，则a 1+a 3+a 5的值是_____ __．15．在平面直角坐标系中，若不等式组 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为___ __．16．已知偶函数()()y f x x R =∈在区间[1,0]-上单调递增，且满足(1)(1)0f x f x -++=，给出下列判断： （1）f (5)=0； （2）f (x )在[1,2]上减函数；（3）()x f 的图像关与直线1x =对称； （4）函数()x f 在0x =处取得最大值； （5）函数()y f x =没有最小值， 其中正确的序号是 ． 三、解答题17．命题P ：对数)572(log 2-+-t t a (a >0,a ≠1)有意义；Q ：关于实数t 的不等式2(3)(2)0t a t a -+++<. （1）若命题P 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题P 是命题Q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()x f =ln x -ax(a ∈R)． （1）当a ∈[-e ，-1]时，试讨论f (x )在[1，e ]上的单调性； （2）若()x f < x 在[1，+∞)上恒成立，试求a 的取值范围．19．已知函数()2x cf x ax b+=+为奇函数，()()13f f <，且不等式()302f x ≤≤的解集是[][]2,12,4--⋃．（1）求证：0)2(=f ； （2）求,,a b c 的值；（3）是否存在实数m 使不等式()232sin 2f m θ-+<-+对一切R θ∈成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．已知函数()x f =3213x ax b -+在x = -2处有极值． （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数()x f 在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，求b 的取值范围．21．已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈（Ⅰ）讨论1=a 时, ()x f 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()x f 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案1．B. 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．D 9．A 10．C 11．B 12．D13． 3 14． 2115． 3 16．（1）（2）（4）17．解析：（1）由对数式有意义得，512t <<． （2）命题P 是命题q 的充分不必要条件 ∴512t <<是不等式2(3)(2)0t a t a -+++<解集的真子集．法一：因方程2(3)(2)0t a t a -+++=两根为1,2a +故只需522a +> 解得：12a >．法二：令2()(3)(2)f t t a t a =-+++，因5(1)0,()02f f =<故只需 解得：12a >． 18．【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，2221(),0a x af x x x x x+'=+=>显然 当-e≤a≤-1时，1≤-a≤e ，令f′(x)=0得x=-a ，于是当1≤x≤-a 时，f′(x)≤0， ∴f(x)在［1,-a ］上为减函数； 当-a≤x≤e 时，f′(x)≥0， ∴f(x)在［-a,e ］上为增函数.综上可知，当-e≤a≤-1时f(x)在［1,-a ］上为减函数，在［-a,e ］上为增函数． (2)由f(x)<x 得lnx-ax<x ． ∵x≥1， ∴a>xlnx-x 2． 令g(x)=xlnx-x 2，要使a>xlnx-x 2在［1,+∞)上恒成立，只需a>g(x)max ， g′(x)=lnx -2x+1，令φ(x)=lnx -2x+1，则φ′(x)=1x-2，∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在［1,+∞)上单调递减， ∴φ(x)≤φ(1)=-1<0，因此g′(x)<0，故g(x)在［1,+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=-1， ∴a 的取值范围是(-1,+∞). 19．解答：（1）⎩⎨⎧≤-≥0)2(0)2(f f ，)(x f 是奇函数得0)2(=f ． （2）4,0,2-===c b a ． （3）m 不存在．20．解析：（Ⅰ）2()2f x x ax '=- 由题意知: (2)440f a '-=+=,得a=-1， ∴2()2f x x x '=+，令()0f x '>，得x<-2或x>0, 令()0f x '<，得-2<x<0, ∴f(x)的单调递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），单调递减区间是（-2，0）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=3213x x b ++，f(-2)=43b +为函数f(x)极大值，f(0)=b 为极小值． ∵函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，∴(3)0(0)0f f -≤⎧⎨>⎩或(3)0(2)0f f ≥⎧⎨-<⎩或(3)0(3)0f f ->⎧⎨<⎩或(2)0(3)0f f -=⎧⎨<⎩或(3)0(0)0f f ->⎧⎨=⎩，即180403b b +≥⎧⎪⎨+<⎪⎩ ， ∴4183b -≤<-，即b 的取值范围是4[18,)3--． 21．解析：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-='∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分（Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+ （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以， 此时)(x f 无最小值. ②当e a<<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.。

河南高考数学教学大纲(完整版)河南高考数学教学大纲河南省高考数学科目的考试大纲（文史类）规定，考生需掌握以下内容：1.集合与常用逻辑用语。

2.函数。

3.方程与不等式。

4.空间几何。

5.解析几何。

6.立体几何。

7.排列组合与概率。

8.统计与概率。

9.极限。

10.导数及其应用。

11.复数。

12.选考内容。

以上只是文史类高考数学大纲的部分内容，具体考试范围和要求请参考官方发布的信息。

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什么是高考数学教学大纲高考数学教学大纲是教育部考试中心依据教育部制定的《普通高中数学课程标准（实验）》和现行数学教材，针对高考数学学科的教学和考试要求而制定的纲领性指导文件。

陕西高考数学教学大纲2023年陕西省高考数学考试大纲内容如下：一、坚持考查数学基础知识、基本技能和基本方法的核心理念，强调通性通法，淡化特殊技巧。

二、进一步加强对数学基本方法的考查，加强对分析能力的考查，强调运算求解能力。

三、合理安排考试内容，遵循考试平稳，坚持考查有利于中学实施素质教育，有利于培养学生创新精神和实践能力原则。

四、考试范围严格按照《普通高中数学课程标准(实验)》和教育部考试中心编制的《2023年普通高等学校招生全国统一考试大纲(数学)》规定的考试内容及要求。

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普高数学教学大纲高中数学新课程标准建议初等教学模块为5个，分别为：集合与集合运算、函数概念与基本初等函数、三角函数、数列与差分、复数、立体几何、平面几何、解析几何、排列组合、统计与概率、极限、导数及其应用、行列式与矩阵、几何变换与公式选讲等。

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滚动过关检测七 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数、立体几何、平面解析几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·辽宁实验中学月考]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |x －3<0}，则(∁R B )∩A ＝( )A ．[1,3]B ．[3,5]C ．[3,5)D ．(1,3]2．已知(1－i)2z ＝3＋2i ，则z ＝( )A ．－1－32iB ．－1＋32i C ．－32＋i D ．－32－i 3．[2022·河北石家庄实验中学月考]等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝2，a 2＋a 3＝4，则a 9＋a 10＝( )A ．28B ．29C ．210D ．2114．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝2CD →，E 为BC 的中点，则AE →＝( )A.23AB →＋13AD →B.13AB →＋23AD → C.23AB →－13AD → D.13AB →－23AD → 5．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0，f (x )＝10ax ，(a 为常数)，若f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝－25，则实数a ＝( )A ．2B ．－2C.12 D ．－126．[2022·江苏如皋模拟]已知椭圆x 2a 21＋y 2＝1与双曲线x 2a 22－y 2＝1有相同的焦点F 1、F 2，设椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则( )A ．e 1e 2＝1B ．e 22－e 21＝1C ．e 21＋e 22＝2e 21e 22D ．e 2＝2e 17．[2022·山东济南历城二中月考]已知过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，Q 为AB 的中点，P 为C 上一点，则|PF |＋|PQ |的最小值为( )A ．5B ．6C ．7D ．88．[2022·湖北汉阳一中模拟]在正四棱锥P ­ABCD 中，已知P A ＝AB ＝2，O 为底面ABCD的中心，以点O 为球心作一个半径为233的球，则该球的球面与侧面PCD 的交线长度为( )A.66πB.64πC.63π D.62π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．[2022·山东烟台模拟]下列命题正确的是( )A ．若a <b <0，c >0，则1ac <1bcB ．若a >0，b >0，则 a 2＋b 22≥2ab a ＋bC ．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则a 2＋b 2≥12D ．已知a >0，b >0，且ab ＝1，则1a ＋1b ＋2a ＋b≥4 10．[2022·江苏南通模拟]已知方程x 216＋k －y 29－k＝1(k ∈R )，则下列说法中正确的有( ) A ．方程x 216＋k －y 29－k＝1可表示圆 B ．当k >9时，方程x 216＋k －y 29－k＝1表示焦点在x 轴上的椭圆 C ．当－16<k <9时，方程x 216＋k －y 29－k＝1表示焦点在x 轴上的双曲线 D ．当方程x 216＋k －y 29－k＝1表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 11．关于函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |(x ∈R )，则下列说法中正确的是( )A ．f (x )的最大值为2B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，2π3上单调递增12．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且f (x )x在区间I 是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．则下列函数是区间[1，3]上的“缓增函数”的是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2－2x ＋3D ．f (x )＝－x 2＋23x ＋3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2，S 7＝35，则a 6＝________.14．[2022·湖南常德模拟]已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2－k,3)，若a ⊥(2a －b )，且k ≠0，则cos 〈a ，b 〉＝________.15．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a 的取值范围是________． 16．[2022·北京昌平模拟]已知抛物线C ：y 2＝4x 与椭圆D ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有一个公共焦点F ，则点F 的坐标是________；若抛物线的准线与椭圆交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则椭圆D 的离心率e ＝________.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2A ＋4cos(B ＋C )＋3＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．18．(12分)[2022·辽宁实验中学月考]已知等比数列{a n }的公比和等差数列{b n }的公差为q ，等比数列{a n }的首项为2，且a 2，a 3＋2，a 4成等差数列，等差数列{b n }的首项为1.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为T n ，求证：T n <3.19．(12分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点M 到焦点F 的距离为5.(1)求p 的值；(2)如图，已知AB 为抛物线上过焦点F 的任意一条弦，弦AB 的中点为D ，DP 垂直AB 与抛物线准线交于点P ，若|PD |＝|AB |，求直线AB 的方程．20．(12分)[2022·河北唐山模拟]如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，四边形BCC 1B 1为菱形，BC ＝2，∠BCC 1＝π3，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：B 1C 1⊥平面A 1DB ；(2)若AC 1＝2，求二面角C 1­A 1B 1­C 的余弦值．21．(12分)[2022·山东潍坊模拟]已知函数f (x )＝x sin x .(1)判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调性，并说明理由； (2)求证：函数f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π内有且只有一个极值点；(3)求函数g (x )＝f (x )＋1ln x在区间(1，π]上的最小值．22．(12分)[2021·新高考Ⅱ卷]已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (2，0)，且离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |＝ 3.。

2024高考数学知识点归纳总结一、集合与常用逻辑用语。

1. 集合。

- 集合的概念：元素与集合的关系（属于、不属于），集合的表示方法（列举法、描述法、韦恩图）。

- 集合间的关系：子集（包含、真包含）、相等集合的判定与性质。

- 集合的运算：交集、并集、补集的定义、性质和运算规则。

例如：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}，A∪ B={xx∈ A或x∈ B}，∁_U A={xx∈ U且x∉ A}（U为全集）。

2. 常用逻辑用语。

- 命题：命题的概念（能判断真假的陈述句），命题的真假性判断。

- 四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题的相互关系（互为逆否命题同真同假）。

- 充分条件与必要条件：若pRightarrow q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pLeftrightarrow q，则p是q的充要条件。

- 逻辑联结词：“且”（∧）、“或”（∨）、“非”（¬）的含义和真假判断规则。

例如：p∧ q为真当且仅当p真且q真；p∨ q为真当且仅当p真或q真；¬ p 的真假与p相反。

二、函数。

1. 函数的概念。

- 函数的定义：设A,B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y = f(x)和它对应，那么就称f:A→ B为从集合A到集合B的一个函数。

- 函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

定义域是自变量x的取值范围；值域是函数值y = f(x)的取值集合；同一函数的判定（定义域和对应关系相同）。

2. 函数的性质。

- 单调性：设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x_1,x_2，当x_1 < x_2时，都有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），那么就说函数y = f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。

判断函数单调性的方法有定义法、导数法等。

- 奇偶性：对于函数y = f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)（或f(-x)=f(x)），那么函数y = f(x)是奇函数（或偶函数）。

第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合交集运算·T1本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.Ⅱ卷集合交集运算·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算·T1Ⅲ卷求集合交集中元素个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1Ⅲ卷集合的补集运算·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．(1)(2018·南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，故选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，故选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，故选项D 错误．故选A.答案：A(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，则A ∩B＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}． 答案：B 【类题通法】破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算.[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 答案：A2．(2018·德州模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |y ＝4x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{0,1,2}解析：由题意知，A ＝{x ∈Z |4x －x 2≥0}＝{x ∈Z |0≤x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{y |y >2}，则∁U B＝{y|y≤2}，则A∩(∁U B)＝{0,1,2}，故选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或”“且”联结词的否定形式“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.答案：B2．给出下列3个命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b20<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.答案：D3．命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________． 答案：若xy ≠1，则x ，y 不互为倒数 若xy ＝1，则x ，y 不互为倒数 【类题通法】判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2时，直线l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y ＋4＝0，所以直线l 1∥l 2；若l 1∥l 2，则－a (a ＋1)＋2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·南昌模拟)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m 与n 反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n ＝|m·n|，则m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝|m |·|n |·|cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D 【类题通法】1．(2018·胶州模拟)设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1时，有x ＋y ≤2，但反之不成立，例如当x ＝3，y ＝－10时，满足x＋y ≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件．所以“x ＋y >2”是“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第107页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0，1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A. 答案：A2．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数 y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 答案：D3．设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝{1,2}．故选C. 答案：C5．(2018·合肥模拟)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题．答案：D6．(2018·郑州四校联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A7．(2018·石家庄模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件． 答案：A8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.答案：A10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，则P(0<X<2)＝0.8，则下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．下列命题是假命题的是( )A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C 错误．答案：C 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)16．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)。

集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理1.集合是由一组对象组成的整体。

A set is a whole composed of a group of objects.2.如果A是B的子集，则B包含A的所有元素。

If A is a subset of B, then B contains all elements of A.3.并集是指集合中所有元素的总集合。

The union is the total set of all elements in a set.4.交集是指集合中共同元素的集合。

The intersection is the set of common elements in a set.5.补集是指所有不属于该集合的元素的集合。

The complement is the set of all elements not belonging to that set.6.空集是不包含任何元素的集合。

The empty set is a set with no elements.7.子集个数为n的集合，其幂集的元素个数为2的n次方。

For a set with n elements, the number of elements in its power set is 2 to the power of n.8.逻辑与表示同时满足两个条件。

Logic AND represents the satisfaction of two conditions simultaneously.9.逻辑或表示满足其中一个条件即可。

Logic OR represents the satisfaction of one condition.10.逻辑非表示条件的否定。

Logic NOT represents the negation of a condition.11.逻辑等价表示两个条件具有相同的真值。

Logic equivalence indicates that two conditions have the same truth value.12.逻辑蕴含表示如果条件A成立，则条件B一定成立。