2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
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通过合理的定价吸引更多的旅游者创造更多的收益是邮轮公司需要探讨和解决的问题。
本文研究合适的预测方法，对增量表进行多项式拟合，得到回归方程，验证其误差程度，从而建立可信的模型，对游客数量做出较为正确的预测，制定合理的价格，以创造更多的收益。
针对问题一，本文使用加法增量法、乘法增量法、先进增量法、多元线性回归法和先进增量+线性回归法这五种方法对每周各航次预定舱位人数进行预测，并检验比较了各方法的误差大小，从而找到可信度较高的预测方法，得到可信度较高的预测模型。
针对问题二，对各舱位平均价格进行多项式拟合，并将周期代入拟合得到的公式中，所得到的预测舱位平均价格与实际舱位平均价格进行检验以证明此预测模型是否可信。
针对问题三，先分别使用问题一中预测误差较小的四种方法对头等舱进行预测，比较误差后选取一种最好的方法建立预测意愿预定人数模型。
接着将价格和人数、周以及它们的乘积、平方进行相关性分析，利用SPSS进行线性回归得到预订平均价格函数。
针对问题四，本文使用两阶段定价策略，先只考虑一种舱位类型的情况，假定游客的保留价格服从一定区间的均匀分布，得到每一个周期的需求函数，进而建立定价模型。
针对问题五，本文分析实际价格比和参考价格比的大小，判断顾客选择升舱的概率，用Lingo规划确定升舱参考价格比，进而建立模型求出升舱后公司所能获得的最大收益。
关键词：预测方法多项式拟合回归分析相关性分析两阶段定价策略一、问题重述近年来乘坐邮轮旅游的人越来越多，邮轮公司的发展也非常迅速。
如何通过合理的定价吸引更多的旅游者，从而为邮轮公司创造更多的收益，这也是众多邮轮公司需要探讨和解决的问题。
邮轮采用提前预订的方式进行售票，邮轮出发前0周至14周为有效预定周期，邮轮公司为了获得每次航行的预期售票收益，希望通过历史数据预测每次航行0周至14周的预定舱位人数、预订舱位的价格，为保证价格的平稳性，需要限定同一航次相邻两周之间价格浮动比，意愿预定人数（填写信息表未交款的人数）转化为实际预定人数（填写信息表并交款的人数）与定价方案密切相关。
已知某邮轮公司拥有一艘1200个舱位的邮轮，舱位分为三种，250个头等舱位，450个二等舱位，500个三等舱位。
该邮轮每周往返一次，同一航次相邻两周之间价格浮动比不超过20%。
现给出10次航行的实际预订总人数、各航次每周实际预订人数非完全累积表、每次航行预订舱位价格表、各舱位每航次每周预订平均价格表及意愿预订人数表、每次航行升舱后最终舱位人数分配表，需为该公司设计定价方案，解决以下问题：1.预测每次航行各周预订舱位的人数，完善各航次每周实际预订人数非完全累积表sheet2。
（至少采用三种预测方法进行预测，并分析结果。
）2.预测每次航行各周预订舱位的价格，完善每次航行预订舱位价格表sheet3。
3.依据附件中表sheet4给出的每周预订价格区间以及每周意愿预订人数，预测出公司每周给出的预订平均价格。
4.依据附件中表sheet1-sheet4，建立邮轮每次航行的最大预期售票收益模型，并计算第8次航行的预期售票收益。
5.在头等、二等舱位未满的情况下，游客登船后，可进行升舱（即原订二等舱游客可通过适当的加价升到头等舱，三等舱游客也可通过适当的加价升到头等舱、二等舱）。
建立游客升舱意愿模型，为公司制定升舱方案使其预期售票收益最大。
二、问题分析针对问题一，因为要求至少采用三种预测方法进行预测每次航行各周预订舱位的人数。
从成本、准确性和操作量等方面考虑，本文使用加法增量法、乘法增量法、先进增量法、多元线性回归法和先进增量+线性回归法这五种方法对每周各航次预定舱位人数进行预测，并检验比较了各方法的误差大小，从而找到可信度较高的预测方法，得到可信度较高的预测模型。
针对问题二，对各舱位平均价格进行多项式拟合，并将周期代入拟合得到的公式中，所得到的预测舱位平均价格与实际舱位平均价格进行检验以证明此预测模型是否可信。
针对问题三，先分别使用问题一中预测误差较小的四种方法对头等舱进行预测，比较误差后选取一种最好的方法建立预测意愿预定人数模型。
接着将价格和人数、周以及它们的乘积、平方进行相关性分析，利用SPSS进行线性回归得到预订平均价格函数。
针对问题四，本文使用两阶段定价策略，先只考虑一种舱位类型的情况，假定游客的保留价格服从一定区间的均匀分布，得到每一个周期的需求函数，进而建立定价模型，动态地为不同航次确定最优的价格，最大化整条航线的未来总收益。
针对问题五，本文分析实际价格比和参考价格比的大小，判断顾客选择升舱的概率，用Lingo 规划确定升舱参考价格比，进而建立模型求出升舱后公司所能获得的最大收益。
三、模型假设1.假设邮轮公司的收益情况与预订人数有关2.假设游客的预定情况与预订周期和邮轮舱位价格有关3.假设在处理数据时，误差较小的可以忽略不计4.假设数据保持稳定，不受自然或人为因素影响四、符号说明():k t X i 在邮轮启航之前第 t 周内，第 i 次启航，舱位 k 的实际预订量():k t F i 在邮轮启航之前第 t 周内，对第 i 次启航，舱位 k 预订的预测量()()():k k k t t t e i X i F i =-实际预订量与预测量的偏差，即预测误差():k C X i 在观测点第 C 周，第 i 次启航，舱位 k 的累积总需求():k T X i 第 i 次航行，舱位 k 启航时的实际总需求，即第 0 周时的累积需求():k T F i 第 i 次航行，舱位 k 启航时的最终总需求预测()()():k k k T T T e i X i F i =-实际预订量与预测量的预测误差:t 邮轮启航前需求预订周数:i 邮轮启航次数:k 邮轮的舱位类型符号:N 最近已经启航的航行次数，即线性回归引入的数据量:t a 多元回归的截距:it b 多元回归第 i 次航行的回归系数():k T M i 第i 次航行，舱位k 起航时的预测价格():k T R i 第i 次航行，舱位k 起航时的实际价格()()()():k k T T kTk T M i R i f i R i -=实际预订舱位价格与预测舱位价格的偏差，即预测误差,:ki tP航次i在周期t中k等舱的价格:kix航次i在k等舱的实际预定人数1:ix∆航次i二等舱升头等舱的人数2:ix∆航次i三等舱升头等舱的人数3:ix∆航次i三等舱升二等舱的人数,:ki Qx航次i的k等舱在升舱前的总人数,:ki Hx航次i的k等舱在升舱后的总人数,:k RiP航次i的k等舱在启航后的价格五、问题一的分析与建模本文基于增量数据表和累计数据表进行预测每次航行各周预订舱位的人数增量。
其中，数据表记录的是特定舱位类型在不同预订周内的预订数量，即每一时间周期（周）的增量。
而累积数据表记录的是特定舱位类型在预订周期内不同观测点(周) 时的总需求，是从预订开始到当前周的累加预订量。
5.1 建立预测需求模型[1]5.1.1 方法一加法增量预测法加法增量法是基于增量数据矩阵预测某一时间点到启航这段时间内将要到达的总需求。
图1 邮轮增量数据表由上表可知，已经发生的航行为第1到第4次航行，且他们启航前第0周的需求分别为1、0、3和2，所以第5次航行将要到达的需求可以用这些已发生的需求的平均值来预测，即(1+0+3+2)/4 =1.5。
同理，要预测第6次航行的未来需求，必须预测两个时间段的增量需求，即启航前第1周和第0周的增量需求。
此时，启航前的第1周的需求为已经发生的所有航次在第1周增量需求的平均值，即(2+6+9+ 5)/4 = 5.5。
因此，第6次航行的未来需求为两个增量需求的和，即1.5+5.5=7。
5.1.2 方法二乘法增量预测法乘法增量法是基于需求增加的百分比(增量百分比)来预测未来需求或者总需求的增量法。
增量百分比是指在一定时间段内新增加的需求占以前总预订量的百分数，即:1(1)(1)(1)100%(1)k k kC C Ck C X i X i R i X i -+-++=⨯+(1) 例如，在启航前第t 周已经发生的总需求为100，在启航前1t -周内新观测的需求为10，那么这个增量百分比为10/100=10%。
同5.1，本文举例预测第 6 次未来的需求。
如表1所示，第1到第4次航行在第0周的增量需求为[1, 0, 3, 2]，前期的总需求为[170,184,210,210]，则第5次航行第0周的增量百分比为 (1/170+0/184+3/210+2/210)/4=2.969%，所以5次航行第0周的增量需求为 200×2.969%=5.938。
同理，第6次航行启航前第1 周的增量需求为[32,16,30,14,38]，对应的前期总观测量为[2,6,9,5,7]，则第6次航行第1周的增量需求百分比为 (2/168+6/178+9/201+5/205+7/193)/5=15.105%。
所以第6次航行的未来需求总量为190×15.105%+(190×15.105%+190)×2.969%=35.1927。
5.1.3 方法三 先进增量预测法与经典或者加法增量法不同，先进增量法与乘法增量法一样，不仅考虑已经启航航次的数据，而且考虑了未启航航次的数据。
也就是说，对未来需求的预测是基于数据矩阵中所有可用的数据得到。
