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11.1.2 三角形的高、中线与角平分线编制：一、知识要点：1、三角形的高：（1）定义（2）三角形三条高的位置2、三角形的中线：（1）定义（2）三角形的重心3、三角形角平分线4、三角形具有稳定性二. 典例和变式知识点1：三角形的高例1：如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E，那么:(1)△ADE的边DE上的高为，边AE上的高为；(2)若AE=5，DE=2，CD=1.8 ，则AB= .【变式练习1】1.△ABC，∠C=90°AB=5,BC=4,AC=3,求AB边上的高。
2.如图所示，在△ABC中，AC＝7，BC＝4，高BD＝2.5，试作出BC边上的高AE，并求出AE 的长．3.已知△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，AB,AC,BC边上的高分别为h1，h2，h3，则h1：h2：h3= 。
4.已知AD是△ABC的高，∠BAD＝72°，∠CAD＝21°，则∠BAC的度数是。
知识点2：三角形的中线例2：(1)在△ABC中,AD为BC边的中线,若△ABD与△ACD的周长差为3,AB=8,则AC= 。
(2)如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AD的中点，且△ABC的面积为4，则图中阴影部分的面积是 .【变式练习2】1.如图,在△ABC中,已知点D, E, F分别为BC, AD, CE的中点,且S△ABC=8cm2,则S 阴影等于。
2.已知如图S△ODA=3,S△ODC=4,S△OBC=5，则S△OAB= .（例5）（变式练习1）（变式练习2）3.已知一个等腰三角形一腰上的中线将该三角形的周长分成8和10两部分，试求该三角形的三边是多少？3、三角形的角平分线例题3：如下图所示，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABE的角平分线，若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是。
【变式练习3】如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数。
《三角形的高、中线和角平分线，三角形的稳定性》知识全解 课标要求掌握三角形的高、角平分线、中线的概念，会做三角形的三线，知道三角形的三线的表示方法，理解三角形的稳定性。
知识结构（1）三角形的主要线段的定义：①三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．②三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． ③三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．（2）三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如上图根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD 是∆ABC 的角平分线；②AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD =∠DAC =21∠BAC ． 三角形的中线表示法：如上图根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE =EC =21BC ． 三角线的高的表示法：如下图，据具体情况，使用以下任意一种方式表示：①AM 是∆ABC 的高；②AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③如果AM是∆ABC中BC边上高，那么AM⊥BC，垂足是E；④如果AM是∆ABC中BC边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒．（3）三角形的稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．内容解析本节课主要有：动手画三角形的高，在了解三角形的高的基础上学习三角形的中线、角平分线，归纳三角形的三条重要线段的概念，掌握其画法．这是以后学习各种特殊三角形的基础，也是研究其他图形的基础知识．从生活中体验三角形的稳定性．重点难点本节课的重点是：三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．难点是钝角三角形的高的画法．教法导引引导学生动手画图，从作图中总结发现概念，从而使学生掌握三角形的高、中线与角平分线的画法．联系生活实际，了解三角形的稳定性在生产、生活中的实际应用．学法建议经过动手画图，积极参与交流，增强学生克服困难和战胜困难的自信心．通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，联系稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．。
第十一章 三角形一、内容提要：1、如图（1），用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？2、如图（2），用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3、如图（3），在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？（2）三角形木架形状 改变，四边形木架形状 改变，这就是说，三角形具有 性，四边形不具有 性。
二、例题精讲例题、如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是 ______ ．三、变式训练一)选择题1.对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理2.将几根木条用钉子钉成如下的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（ ）A. B. C. D.3.如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（）A.A、C两点之间B.E、G两点之间C.B、F两点之间D.G、H两点之间4.工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（）A.两点之间的线段最短B.三角形具有稳定性C.长方形是轴对称图形D.长方形的四个角都是直角5.如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的()A.稳定性B.灵活性C.对称性D.全等性6.下列图形中具有稳定性的是()A. B. C. D.7.如图小明做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案()A. B. C. D.8.如图，木工师傅做门框时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的依据是()A.两点之间线段最短B.四边形的不稳定性C.三角形的稳定性D.矩形的四个角都是直角9.下列图形中具有稳定性的是()A.菱形B.钝角三角形C.长方形D.正方形10.下列图形中有稳定性的是()A.正方形B.长方形C.直角三角形D.平行四边形11.以下不是利用三角形稳定性的是（）A.在门框上斜钉一根木条B.高架桥的三角形结构C.伸缩衣挂D.屋顶的三角形钢架12.下列不是利用三角形稳定性的是（）A.伸缩晾衣架B.三角形房架C.自行车的三角形车架D.矩形门框的斜拉条13.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（）A.三角形的稳定性B.长方形的对称性C.长方形的四个角都是直角D.两点之间线段最短14.如图是一个由四根木条钉成的框架，拉动其中两根木条后，它的形状将会改变，若固定其形状，下列有四种加固木条的方法，不能固定形状的是钉在（）两点上的木条．A.A、FB.C、EC.C、AD.E、F15.下列图形中不具有稳定性是（）A. B. C. D.16. 以下不是利用三角形稳定性的是（）A. 在门框上斜钉一根木条B. 高架桥的三角形结构C. 伸缩衣挂D. 屋顶的三角形钢架17.我们校园里进入篮球场的绿化带虽然设置不准进入的警示牌，但是仍出现被有的同学踩出一条小径，这种现象所运用的几何原理是()A.两点之间线段最短B.三角形的稳定性C.平行线间的距离处处相等D.垂线段最短二、填空题(本大题共14小题，共42.0分)18.工人师傅在安装木制门框时，为了防止变形,常常如图中所示，钉上两条斜拉的木条。
人教版八年级数学上册11.1.2《三角形的高、中线与角平分线》教学设计一. 教材分析《三角形的高、中线与角平分线》是人教版八年级数学上册第11.1.2节的内容。
本节主要介绍了三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
通过学习，学生能够理解三角形的高、中线与角平分线的定义，掌握它们之间的关系，并能运用它们解决实际问题。
本节内容是学生进一步学习三角形和其他几何图形的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对几何图形的认识有一定的基础。
但是，对于三角形的高、中线与角平分线的概念和性质，学生可能还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要通过实例和练习，帮助学生理解和掌握这些概念和性质。
三. 教学目标1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
2.能够运用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.三角形的高、中线与角平分线的概念及其性质。
2.运用三角形的高、中线与角平分线解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣和积极性。
2.利用几何画板和实物模型，直观展示三角形的高、中线与角平分线的性质，帮助学生理解和掌握。
3.通过练习和问题解决，巩固所学知识，提高学生的应用能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示三角形的高、中线与角平分线的性质。
2.准备相关的练习题和实际问题，用于巩固和应用所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用几何画板和实物模型，展示三角形的高、中线与角平分线的定义和性质。
引导学生观察和思考，引导学生总结出三角形的高、中线与角平分线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用几何画板和实物模型，进行三角形的高、中线与角平分线的操作练习。
人教版初中新教材八年上数学详细目录（62）第11章三角形（8）11.1 与三角形有关的线段（2）11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角（3）11.2.1 三角形的内角7.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和（2）11.3.1 多边形11.3.2 多边形的内角和数学活动小结（1）第12章全等三角形（11）12.1 全等三角形（1）12.2 三角形全等的判定（6）信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质（2）数学活动小结（2）第13章轴对称（14）13.1 轴对称（3）13.1.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形（2）信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形（5）13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题（2）数学活动小结（2）第14章整式的乘法与因式分解（14）14.1整式的乘法（6）14.1.1 同底数幂的乘法14.1.2 幂的乘方14.1.3 积的乘方14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式（3）14.2.1 平方差公式14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解（3）14.3.1 提公因式法14.3.2 公式法阅读与思考型式子的分解数学活动小结（2）第15章分式（15）15.1 分式（4）15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质15.2 分式的运算（6）15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加减15.2.3 整数指数幂阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程（3）数学活动小结（2）。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性测试时间:30分钟一、选择题1.一定在三角形内部的线段是()A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C.任意三角形的一条中线、两条角平分线、三条高D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线答案A A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线一定在三角形内部,故本选项正确;B.钝角三角形的三条高有两条在三角形的外部,故本选项错误;C.任意三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部,但三条高不一定都在三角形内部,故本选项错误;D.直角三角形的三条高中有两条是直角边,不在三角形内部,故本选项错误.故选A.2.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点E作垂线交BC于点F,已知BC=10,△ABD的面积为12,则EF的长为()A.1.2B.2.4C.3.6D.4.8答案 B ∵AD 是BC 边上的中线,△ABD 的面积为12,∴△ADC 的面积=12,∵点E 是AD 的中点,∴△CDE 的面积=6,∵BC=10,AD 是BC 边上的中线, ∴DC=5,∴EF==2.4,故选B.3.如图,△ABC 中,点E 是BC 上一点,EC=2BE,点D 是AC 的中点,若△ABC 的面积S △ABC =12,则 S △ADF -S △BEF = ( )A.1B.2C.3D.4答案 B ∵S △ABC =12,EC=2BE,点D 是AC 的中点,S △ABC =4,S △ABD =S △ABC =6,∴S △ADF -S △BEF =S △ABD -S △ABE =6-4=2.故选B.二、填空题4.小龙平时爱观察也喜欢动脑,他看到路边的建筑和电线架等,发现了一个现象:一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的,当时他就思考,数学王国中不仅只有三角形,为何偏偏用三角形稳固它们呢?请你用所学的数学知识解释这一现象,其依据为 .答案 三角形具有稳定性= 2 × 6 5解析用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性,故答案为三角形具有稳定性.5.如图所示,∠BAD=45°,AE=4 cm.(1)如果AD是△ABC的角平分线,那么∠DAC=;(2)如果AE=CE,那么线段BE是△ABC的,AC的长为; (3)如果AF是△ABC的高,那么图中以AF为高的三角形有个.答案(1)45°(2)中线;8 cm(3)6解析(1)∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAC=∠BAD=45°.(2)∵AE=CE,∴线段BE是△ABC的中线,AC=2AE=2×4=8 cm.(3)以AF为高的三角形有△ABD、△ABF、△ABC、△ADF、△ADC、△AFC,共6个.6.如图,在△ABC中,点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点.若S△BFC=1,则S△ABC=.答案 4解析如图,连接BE.∵点D、E分别为BC、AD的中点,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC,S△BDE=S△ABD=S△ABC,S△CDE=S△ACD=S△ABC,∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABC+S△ABC=S△ABC,∵F是CE的中点,∴S△BEF=S△BFC=S△BCE=S△ABC,∴S△BFC∶S△ABC=1∶4.∵S△BFC=1,∴S△ABC=4.三、解答题7.如图,已知AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=9 cm,AC=12 cm,BC=15 cm,∠BAC=90°.试求:(1)△ABE的面积;(2)AD的长度;(3)△ACE和△ABE的周长的差.解析(1)∵△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=9 cm,AC=12 cm,×9×12=54(cm2).又∵AE是边BC上的中线,∴BE=EC,AD,即S△ABE=S△AEC S△ABC=27(cm2),即△ABE的面积是27 cm2.(2)∵∠BAC=90°,AD是边BC上的高,∴AD,(cm),即AD的长度为 cm.(3)∵AE为BC边上的中线,∴BE=CE,∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),即△ACE和△ABE的周长的差是3 cm.8.在△ABC中,AB=AC,AC上的中线BD把△ABC的周长分为24和18两部分,求三角形三边的长.{1 1+ a = 24, + a = 18,2a + b = 18, 2a + b = 24,有1 2 或{1 2 解析如图,设AB=AC=a,BC=b,则解得{= 10,或{= 18,则三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18,它们都能构成三角 = 16, = 12,形.所以三角形的三边长分别为16,16,10或12,12,18.。
11.1.2三角形的高、中线与角平分线11．1.3三角形的稳定性●类比导入如图，在△ABC中，有一条线段，一端点在顶点A处，另一端点从点B沿着BC边移动到点C，观察移动过程中形成的无数条线段(AD，AE，…)中，有没有特殊位置的线段？(1)在这些线段中，线段AD垂直于边BC；(2)线段AE经过边BC的中点；(3)线段AF平分∠BAC.同学们通过观察、思考，找到了具有特殊位置的线段：三角形的高、中线和角平分线．这三条线段是三角形的重要线段．【教学与建议】教学：从学生已有的知识出发，通过多媒体动画操作，培养学生从一般到特殊的转化思想．建议：教学中要鼓励学生动手实践，探究新知．●复习导入 1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎样画？2．已知在△ABC中，BC＝5 cm，高AD＝4 cm，求△ABC的面积．3．请自学三角形的高、中线、角平分线的概念，你能将它们画出来吗？学生自主学习课本的内容，画一画，弄清下面的问题：(1)什么叫三角形的高？三角形的高与垂线有何区别与联系？三角形的高所在直线有什么关系？(2)什么叫三角形的中线？连接两点的线段与过两点的直线有何区别与联系？三条中线的位置有什么关系？(3)什么叫三角形的角平分线？三角形的角平分线与角的平分线有何区别与联系？三条角平分线的位置有什么关系？(4)三角形的高、中线和角平分线分别是线段、射线、直线中的哪一种？【教学与建议】教学：通过学生的动手操作、交流、讨论，掌握三角形的高、中线、角平分线的画法．建议：教学中让学生自学完成概念、表示方法、数学语言的教学．●情景导入在我们的生活中几乎随处可见三角形，它简单有用．如：人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，为什么要构成三角形形状呢？三角形有什么特殊的性质，又有哪些特殊线段呢？【教学与建议】教学：创设现实情境，激发学生的学习兴趣．建议：列举生活中三角形的图例，抽象出三角形重要线段．命题角度1利用三角形的中线解决倍数问题利用三角形的中线不仅可以解决线段的倍数关系问题，也可以解决面积的相等或倍数关系问题．【例1】如果等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12 cm和21 cm两部分，那么它的底边长为__5__cm.【例2】如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AD的中点，且△ABC的面积为8，则阴影部分的面积是__2__．命题角度2利用三角形的高解决三角形面积问题当已知三角形的两条高求其他边长或已知一高与其他边长求另一高时，常用面积作为中间量．【例3】如图，在△ABC中，BC边上的高是__AB__；在△AEC中，AE边上的高是__CD__；在△AEC中，EC边上的高是__AB__；若AB＝CD＝4，AE＝5，则△AEC的面积S＝__10__，CE＝__5__．命题角度3利用三角形的稳定性解决生活中的应用问题三角形的稳定性是三角形特有的性质．【例4】下列图形中，不具有稳定性的是(B)A B C D【例5】如图，为了让椅子更加稳固，军军在椅子的两侧各钉了一根加固木条，从数学的角度看，这样做的数学原理是利用了三角形的__稳定性__.命题角度4三角形的高、中线、角平分线的综合应用(1)关于角度的计算，如果有三角形的高这一条件时，要利用90°的角；见到角平分线这一条件时，要利用角相等．(2)关于线段、周长或面积比值的问题，要利用线段的中线或高线．(3)要利用方程思想、分类思想．【例6】如图，AD是△ABC的中线，DE是△ADC的高，AB＝3，AC＝5，DE＝2，点D到AB的距离是__103__．【例7】如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，∠BAC＝90°.(1)求AD的长；(2)求△ABE的面积；(3)求△ACE和△ABE的周长的差．解：(1)∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，∴12AB·AC＝12BC·AD，∴AD＝AB·ACBC＝3×45＝2.4(cm)；(2)∵AE是△ABC的中线，∴S△ABE＝12S△ABC＝12×12×3×4＝3(cm2)；(3)∵AE为斜边BC的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长－△ABE的周长＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝4－3＝1(cm).高效课堂教学设计1．掌握三角形的高、中线、角平分线的性质，并会运用这些性质解决问题．2．准确画出三角形的高、中线与角平分线．3．了解三角形具有稳定性．▲重点三角形的高、中线与角平分线的性质.▲难点三角形的高、中线与角平分线的应用．◆活动1新课导入问题1：图中共有多少个三角形？请将它们全部用符号表示出来．答：图中共有5个三角形．分别是△ABC，△ABD，△ACD，△ADE，△CDE.问题2：利用长为2 cm，3 cm，4 cm，5 cm的四条线段可以组成几个三角形？为什么？答：可以组成3个三角形．从四条线段中任选三条，共有四种选法：①2 cm，3 cm，4 cm；②3 cm，4 cm，5 cm；③2 cm，3 cm，5 cm；④2 cm，4 cm，5 cm.其中满足“三角形两边之和大于第三边”的只有第①，②，④这三组．◆活动2探究新知1．给出一个△ABC，请你作出该三角形的高．提出问题：(1)如何作三角形的高？(2)一个三角形有几条高？(3)能用折纸的方法折出你准备好的三角形的高吗？(4)通过画不同的三角形的高，你能发现什么特点？三角形的高一定在三角形的内部吗？学生完成并交流展示．2．给出一个△ABC，请你作出该三角形的中线．提出问题：(1)如何作一个三角形的中线？(2)一个三角形有几条中线？(3)分别作出不同三角形的中线，你有什么发现？学生完成并交流展示．3．给出一个△ABC，请你作出该三角形的角平分线．提出问题：(1)如何作一个三角形的角平分线？(2)一个三角形有几条角平分线？(3)三角形的角平分线与一个角的平分线有何区别？(4)不同的三角形，它们的角平分线有何特点？学生完成并交流展示．4．教材P6探究．提出问题：(1)在图(1)，(2)，(3)中，哪些能扭动？哪些不能扭动？(2)图(3)与图(2)的区别是对角添加了一根木条，达到了什么目的？说明了什么？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与__垂足__之间的__线段__叫做三角形的高．2．在三角形中，连接一个顶点和它所对边__中点__的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的__重心__．3．在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交于一点，这个角的__顶点__与__交点__之间的线段叫做三角形的角平分线．4．三角形的三条边确定后，三角形的形状就唯一确定，这就是三角形的__稳定性__.四边形具有__不稳定性__．◆活动4例题与练习例1下列说法正确的是(B)①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；③每个三角形都有三条中线、三条高和三条角平分线；④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．A．③④B．③C．②③D．①④例2如图，已知△ABC，根据要求画图．(1)画BC边上的高；(2)画∠C的平分线；(3)将△ABC分成面积相等的两部分．解：如图．(1)线段AD即为所求；(2)CE即为∠ACB的平分线；(3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分．(答案不唯一)练习1．教材P5练习第1，2题．2．教材P7练习．3．下列说法：①自行车的三脚架；②三角形房架；③照相机的三角架；④门框的长方形架．其中利用三角形稳定性的有__①②③__．(填序号)◆活动5课堂小结1．三角形的高、中线、角平分线的性质．2．三角形的稳定性．1．作业布置(1)教材P9习题11.1第8，9题；(2)对应课时练习．2．教学反思。
11.1.2三角形的高、中线与角平分线11．1.3三角形的稳定性关键问答①如何用数量关系描述三角形的高、中线与角平分线？②由三角形的高、中线与角平分线可得到什么样的数量关系？1．①如图11－1－12，在△ABC中，∠C＝90°，D，E为AC上的两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，则下列说法正确的是()图11－1－12A．BC是△ABE的高B．BE是△ABD的角平分线C．BD是△EBC的中线D．∠EBD＝∠A2．②如图11－1－13，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是()图11－1－13A．AB＝2BF B．∠ACE＝12∠ACB C.AE＝BE D．CD⊥BE3.如图11－1－14所示，一扇窗用窗钩AB即可固定，这所用的原理是()图11－1－14A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．三角形的稳定性命题点1三角形的高、中线与角平分线[热度：90%]4．③④在△ABC中，画出边AC上的高，下面4个图中画法正确的是()图11－1－15方法点拨③在三角形中，画三角形已知边上高的方法：把直角三角尺一条直角边放在已知边上，且直角三角尺与三角形位于已知边的同侧，沿已知边推动直角三角尺，使已知边所对的顶点落在直角三角尺的另一条直角边上，沿这条直角边画直线，顶点与交点之间的线段即三角形的一条高．易错警示④钝角三角形中，钝角两条边上的高在钝角三角形的外部．5.如图11－1－16，在△ABC中，∠BAD＝∠DAE＝∠EAF＝∠F AC，则△ABC的角平分线是()图11－1－16A．AD B．AE C．AF D．AC6．如图11－1－17，△ABC的角平分线AD及中线BE交于点O，有下列结论：①AO 是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．则()图11－1－17A．①②都正确B．①②都不正确C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确7.如图11－1－18，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H.下列判断正确的是()图11－1－18A．AD是△ABE的角平分线B．BE是△ABD的边AD上的中线C．CH为△ACD的边AD上的高D．AH为△ABC的角平分线命题点2交点问题[热度：80%]8．⑤有下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高必交于一点；③三角形的三条角平分线必交于一点；④三角形的三条高必在三角形内．其中正确的是()A．①②B．①③C．②④D．③④方法点拨⑤三角形三条中线相交于一点，且相交于三角形的内部；三条角平分线相交于一点，且相交于三角形的内部；三条高所在的直线相交于一点，锐角三角形的三条高相交于三角形内部，直角三角形三条高相交于直角顶点，钝角三角形三条高所在的直线相交于三角形的外部．9．三角形的三条中线的交点的位置为()A．一定在三角形内B．一定在三角形外C．可能在三角形内，也可能在三角形外D．可能在三角形的一条边上命题点3与三角形的中线、高、角平分线相关的计算与证明问题[热度：90%]10．⑥已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3 cm，则AB与AC的差为()A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm方法点拨⑥三角形一边上的中线分得的两个三角形的周长差实际上是另外两边的差．11．⑦如图11－1－19，在△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝________．图11－1－19方法点拨⑦已知三角形一边及这一边上的高的问题，常常利用面积相等建立方程求解．12．如图11－1－20，在△ABC中，∠ABC＝72°，BD是△ABC的角平分线，∠BDC＝76°，DE∥BC，则∠ADE＝________°.图11－1－2013．⑧如图11－1－21，BE，CF均是△ABC的中线，且BE＝CF，AM⊥CF于点M，AN⊥BE 于点N.求证：AM＝AN.图11－1－21解题突破⑧证明两个三角形的高相等，可以通过证明这两个三角形的面积相等以及高所对应的底边相等.14．⑨佳佳用7根木条钉成一个七边形的木架，她为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你分别在图11－1－22中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学依据．图11－1－22模型建立⑨本题的实质是加若干条线段，把多边形分成多个三角形，利用三角形的稳定性解决问题．详解详析1．A 2.C 3.D 4.C5．B [解析] 由题意得∠BAD ＋∠DAE ＝∠EAF ＋∠F AC ，即∠BAE ＝∠CAE ，所以AE 是△ABC 的角平分线．6．C [解析] 因为AD 为△ABC 的角平分线，所以∠BAD ＝∠CAD ，由于点O 在AD 上，所以∠BAO ＝∠CAO ，所以AO 是△ABE 的角平分线．由BE 是△ABC 的中线，能得到AE ＝CE ，不能得到AO 和OD 相等，因此“BO 是△ABD 的中线”不正确．7．C [解析] 由题意可得AD 是△ABC 的角平分线，BG 是△ABD 的边AD 上的中线，CH 为△ACD 的边AD 上的高，AH 为△ACF 的高．8．B9．A10．B [解析] 由题意得△ABD 的周长为AB ＋AD ＋BD ，而△ACD 的周长为AC ＋AD ＋CD .由于AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝CD ，所以△ABD 的周长－△ACD 的周长＝AB －AC ＝3 cm.11．2 [解析] 由于AD 是△ABC 的中线，所以S △ADB ＝S △ADC ，所以12×AB ×DE ＝12×AC ×DF ，所以DE ＝4×1.53＝2.12．68 [解析] ∵∠ABC ＝72°，BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°.∵DE ∥BC ，∴∠BDE＝∠CBD＝36°.∵∠BDC＝76°，∴∠CDE＝112°，∴∠ADE＝180°－∠CDE＝68°.13．证明：∵BE，CF均是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△ACF＝12S△ABC.∵AM⊥CF，AN⊥BE，∴12AM·CF＝12AN·BE.又∵BE＝CF，∴AM＝AN.14．解：如图所示(答案不唯一)．依据：三角形具有稳定性．【关键问答】①过三角形顶点的直线，若与对边所在直线的交角为直角，则顶点与交点之间的线段是三角形的高；过三角形顶点的直线，若与对边的交点恰好是对边的中点，则顶点与交点之间的线段是三角形的中线；过三角形顶点的直线，若恰好平分此角，则顶点与直线和对边的交点之间的线段是三角形的角平分线．②三角形的高与底边所在直线的夹角为直角；三角形的中线平分对边，三角形的角平分线平分三角形的一个内角．。
知识点一：认识并会画三角形的高线画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.①② ③AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段__ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_______ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是________ _ 结论：1、锐角三角形的三条高2、直角三角形的三条高3、钝角三角形的三条高 知识点二：认识并会画三角形的中线画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.① ② ③AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 写出图①中所有相等关系的线段：_____________________________________________ 总结：1、任何三角形的三条中线都相交于三角形的2、三角形的任意一条中线都把三角形分成 的两部分。
3、三角形的三条中线的交点叫做三角形的 心。
知识点三：认识并会画三角形的角平分线画出△ABC 各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.∠ABC 的角平分线是线段____ ∠ABC 的角平分线是线段____∠BAC 的角平分线是__________ ∠BAC 的角平分线是__________ ∠ACB 的角平分线是___________ ∠ACB 的角平分线是___________ 写出左图中所有相等关系的角:_________________________________________写出这些角的数量关系： 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。
