02-第一章1 等腰三角形第二课时

第一章三角形的证明1.1等腰三角形（一）一、问题引入：列举我们已知道的公理：.（1）公理：同位角，两直线平行.（2）公理：两直线，同位角.（3）公理：的两个三角形全等.（4）公理：的两个三角形全等.（5）公理：的两个三角形全等.（6）公理：全等三角形的对应边，对应角. 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.二、基础训练：1. 利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2)等边对等角三线合一三、例题展示：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.四、课堂检测：1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.4. △ABC中，AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足，求证：（1）G是CE中点.（2）∠B=2∠BCE.1.1 等腰三角形（二）一、问题引入：1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2.等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.已知：求证：证明：得出定理： .问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明二、基础训练；1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？得出定理： ；简称： .三、例题展示：如图，△ABC 中，D.E 分别是AC.AB 上的点，BD 与CE相交于点O ，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.四、课堂检测：1. 已知：如图，在直角△ABC 中，角C 为45度，AD 垂直于BC,DE 垂直于AB,则图中等腰直角三角形共有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=1200, D.E 是BC上两点，且第1题 第2题 第3题 第4题AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形.3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）A.30B.36C.39D.424. 在△ABC中，AB=AC, ∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有个等腰三角形.5. 如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.1.1 等腰三角形（三）一、问题引入：1. 已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.二、基础训练：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的.三、例题展示：1. 等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高.2. 判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.四、课堂检测1. 等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是.2. 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A =300，CD⊥AB，BD=1，则AB= .3. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= .4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A= .5. 在Rt△ABC中，∠C=300，AD⊥BC，你能看出BD与BC的大小关系吗？中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.1.3 线段的垂直平分线（一）一、问题引入：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？二、基础训练：议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.三、例题展示：例：如图在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB.BC 延长线于F.E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC（3）∠EAC=∠B四、课堂检测:1. 已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上.2. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= .3. △ABC 中，∠A=500，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 .4. △ABC 中，DE.FG 分别是边AB.AC 垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= .5. 如图，△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 .6. 有特大城市A 及两个小城市B.C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.第1题 第4题 第5题中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC 于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C1.3 线段的垂直平分线（二）一、问题引入：1. 等腰三角形的顶点一定在上.2. 在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是.3. 在△ABC中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC= .4. 已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.A B二、基础训练：1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？上面的问题如何证明？定理：三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离.三、例题展示：（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB 的度数；（2）如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；（3）如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB 的度数.你发现了什么规律？请证明；（4）如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？四、课堂检测：1. 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A. 三角形三条角平分线的交点；B. 三角形三条垂直平分线的交点；C. 三角形三条中线的交点；D. 三角形三条高的交点.2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形；B. 直角三角形；C. 钝角三角形；D. 不能确定3. 等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是.4. 已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.a b中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.1.4角平分线（一）一、提出问题：1. 角平分线的定义：______________________________________2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.四、课堂检测1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFD C:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDFFEDC BA3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4. 与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.1.4 角平分线（二）基础训练：1. 如图：设△ABC的角平分线交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离.引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S= .2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为.3. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点D.不能确定三、例题展示：例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. （1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、课堂检测：1. 到一个角的两边距离相等的点在.2. △ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D 到AB的距离为.3. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.4. △ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为.5.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.6. 已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，BE ⊥OM ，BF ⊥ON ，垂足分别为C.D.E.F ，且AC=AD 求证：BE=BF中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.第一章 单 元 检 测一、填空题（每小题3分）：1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米.2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 三角形.3. 如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是 或 .4. 命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ___________________________________ ___.这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）5. 如图，一个顶角为40º的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21_________ ；6. 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝ ，∠DAC ＝ ，BD ＝ cm ；第18题图C B A 第1题 第5题7. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC.∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10，则△ODE 的周长为 .8. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是 .9. △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.若DC=7，则D 到AB 的距离是 .10. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD的长为 .二、选择题（每小题3分）1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）A.90°B.60°C.120°D.150°2.下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形3. 到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点4. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D 若BC=a ，则AD 等于（ ） A.21a B.23a C.23a D.3a 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）A.30°B.36°C.45°D.70°三、解答题（每题12分）1. 如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC 的度数（2）AD 和CD 的长.2.已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°.(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC. AB 于点M.N(保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.四、证明题（每题10分）1.已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD.求证：D 在∠BAC 的平分线上.2. 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ CD ．求证：BD ＝ DE ．五、（本题11分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．。

《等腰三角形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对等腰三角形概念的理解，加深对等腰三角形性质和判定的掌握，通过练习培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，为后续学习打下坚实的基础。

二、作业内容1. 概念复习：学生需复习等腰三角形的定义、性质及判定方法，并完成相关概念填空题，加深对知识的理解。

2. 基础练习：设计一系列等腰三角形的判定题目，包括给出条件判断是否为等腰三角形，以及根据等腰三角形的性质求解相关问题。

3. 探究性作业：要求学生利用等腰三角形的性质，解决一些实际问题，如建筑设计中利用等腰三角形稳定性设计的案例分析。

4. 拓展延伸：提供一些拓展题目，如等腰三角形与其他几何图形的综合问题，培养学生综合运用知识的能力。

三、作业要求1. 独立完成：学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 认真审题：审清题目要求，明确题目所给条件，正确理解问题。

3. 规范答题：答案需条理清晰，步骤完整，规范书写。

4. 及时订正：对于错题，学生需及时订正，并分析错误原因。

四、作业评价1. 教师评价：教师需认真批改作业，对学生的答题情况进行详细评价，指出错误并给出订正意见。

2. 小组互评：鼓励学生之间进行小组互评，互相学习，共同进步。

3. 自评反思：学生需对自己的作业进行自评反思，总结学习中的不足，制定改进措施。

五、作业反馈1. 课堂讲解：教师需在下一课时对作业中普遍存在的问题进行讲解，帮助学生解决疑惑。

2. 个别辅导：对于学习困难的学生，教师需进行个别辅导，帮助他们掌握知识。

3. 作业展示：挑选优秀作业进行展示，鼓励学生互相学习，激发学生的学习积极性。

六、附加建议1. 家长参与：鼓励家长参与孩子的作业辅导过程，加强家校联系，共同促进孩子的学习。

2. 拓展阅读：推荐一些与等腰三角形相关的课外读物，拓宽学生的知识面。

3. 实践活动：组织学生进行与等腰三角形相关的实践活动，如制作等腰三角形模型等，加深学生对知识的理解。

1.1 等腰三角形第一课时一、课前准备：1、有 的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做 ，腰与底边的夹角叫做 ； 的三角形是等边三角形。

2、公理、定理、证明公理：公认的 称为公理。

定理：经过证明的 称为定理。

证明： 的过程称为证明。

3、证明的一般步骤是：根据题意 ；根据条件、结论，结合图形 ；经过分析，找出由已知推出求证的途径， 。

对假命题的判断，只要举 来证明即可。

二、学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理、定理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、掌握等腰三角形的性质。

3、结合实例体会反正法的含义。

三、自学提示： 1、你知道吗？全等三角形的判定及性质（见课本P2想一想） 2、你发现了吗？ （1）把探究1中剪出的△ABC 沿折痕AD 对折，根据得到的信息，填入右表：（2）从上表中你能发现等腰三角形的角有什么样的特点吗？底边上的中线，高线，顶角平分线有什么样的特点吗？ （3）你能证明你所得到的结论吗？求证：等腰三角形的两个底角相等。

已知： ΔABC 中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.证明：.等腰三角形的性质：性质1 等腰三角形的两个底角 （简写成“ ” ）；性质2 等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 相互 。

【我是小翻译】请将等腰三角形性质（文字语言）“翻译”成图形和符号语言。

B五、夯实基础：1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.2.等腰三角形的顶角为100°，它的底角为______.3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.5.在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2=55°，则BD=5，CD=____。

6.在△ABC 中，AB=AC ，BM=CM ，∠BAM=35°，则∠CAM=_____°，∠AMB=_____°。

第一章图形与证明（二）1.1 等腰三角形的性质和判定Ⅰ.核心知识点扫描1.等腰三角形和等边三角形的性质和判定性质判定等腰三角形⑴等腰三角形两个底角相等(简称“等边对等角”) .⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).⑴如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.⑵定义：如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.图示（1）在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C；（2）在△ABC中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD，那么AD⊥BC，BD=CD；若BD=CD，那么∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；若AD⊥BC，那么∠BAD=∠CAD，BD=CD.在△ABC中，∵∠B=∠C ∴AB=AC.等边三角形⑴等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且，在每条边上都有“三线合一”；⑵等边三角形的每个内角都等于60°.⑴定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.⑵有一个角是60°等腰三角形是等边三角形.⑶三个角都相等的三角形是等边三角形.图示∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°．(1)∵AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形；(2) ∵AB=BC，∠A=60°,∴△ABC是等边三角形；(3)∵∠A=∠B=∠C，∴∴△ABC是等边三角形．Ⅱ.知识点全面突破知识点1：等腰三角形性质（重点）⒈等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；可用符号语言表述如下:如图1-1-1，在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C.已知：如图1-1-1，在△ABC中， AB=AC.求证：∠B=∠C.图1-1-3定理的证明分析：利用分析法思考证明的过程：如下所示：作顶角的平分线AD.()AB AC B C ABD ACD SAS BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⇐≅⇐∠=⎨⎪=⎩，具体证明过程略.此外，我们还可以用AAS 、ASA 、SSS 证明这一性质.如取BC 的中点D ，连接AD,在△ABD 和△ACD中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SSS ）,∴B C ∠=∠.2.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).可用符号语言表述如下:如图1-1-2，在△ABC 中，AB=AC.若∠BAD=∠CAD ，那么AD ⊥BC ，BD=CD ； 若BD=CD ，那么∠BAD=∠CAD ，AD ⊥BC ；若AD ⊥BC ，那么∠BAD=∠CAD ，BD=CD.详解：①等腰三角形是特殊的三角形，它拥有一般三角形所具有的所有的性质．同时它还具有一般三角形所没有的特点和性质；②定理1常用来证明同一个三角形中的两个角相等；定理2实际上是等腰三角形中的两个结论，已知其中任意一个可以得到另两个结论，常用来证明角相等、线段相等或垂直；③将这两条性质用在特殊的等腰三角形即等边三角形中，可得等边三角的性质:等边三角形的各角都相等，并且都等于60°；等边三角形每一条边上的中线高都与所对的角平分线互相重合.例1.如图1-1-3，房屋的顶角∠BAC=100O ，过屋顶A 的立柱，屋椽AB=AC 求∠B ，∠C ，∠BAD ，∠CAD 的度数.解:在△ABC 中， AB=AC(已知).∴∠B=∠C(等边对等角) .∴∠B=∠C=21(180O -∠BAC) 图1-1-1图1-1-2=21(180O -100O )=40O (三角形内角和定理) .又∵AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)，∴∠BAD=∠CAD=50O .点拨:已知等腰三角形的顶角，根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠B 与∠C 的度数，再根据等腰三角形的三线合一，可得AD 是顶角的平分线，则∠BAD 与∠CAD 的度数即可求.例2：（2010，山东济南）（一题多解）如图1-1-4，已知AB AC AD AE ==，．求证BD CE =．证明：方法1 如图1-1-5过点A 作AH ⊥BC ，交BC 于点H ． ∵AB=AC ，AD=AE ，AH ⊥BC ， ∴BH=CH ， DH=EH∴BH 一DH=CH 一EH 即BD=CE 方法2 ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵AD=AE ∴∠ADE=∠AED∴180O-∠ADE=180O-∠AED 即∠ADB=∠AEC ∵AB=AC ，∠B=∠C ，∠ADB=∠AEC ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE ．点拨：在等腰三角形中，虽然顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，但如何添加，要根据具体情况来定．本题中适合高AH AH ，利用等腰三角形的“三线合一”来解决这个问题。

第一章三角形的证明1.1等腰三角形导学案基础知识基本技能1．等腰三角形(1)概念：有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具备三角形所有的性质，如内角和是180°，两边之和大于第三边等．②等腰三角形是轴对称图形，这既是等腰三角形的特点也是研究它的重要方法．破疑点等腰三角形有关概念的认识(1)对于等腰三角形问题，我们说角或边时，一般都要指明是顶角还是底角，是底边还是腰，没说明则都有可能，要讨论解决，这是解决等腰三角形最容易忽视和错误的地方；(2)等腰三角形顶角可以是直角，是钝角或锐角，而底角只能是锐角．【例1】等腰三角形两边长分别是5 cm和11 cm，则它的周长是()．A．27 cm B．22 cmC．27 cm或22 cm D．无法确定2．等腰三角形性质1(1)性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．(2)理解：这是等腰三角形的重要性质，它是证明角相等常用的方法，它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便．(3)适用条件：必须在同一个三角形中．(4)应用模式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.【例2－1】已知等腰三角形的一个角为40°，则其顶角为()．A．40°B．80°C．40°或100°D．100°哦，不指明是底角还是顶角时，要分类讨论，还要看三角形内角和是否是180°啊！【例2－2】如图，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求证：∠C＝∠D.3.等腰三角形性质2(1)性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．习惯上称作等腰三角形“三线合一”性质．(2)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际上是一组定理，应用过程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一线”，就可以说明是其他的“两线”，性质中包含有线段相等、角相等、垂直等关系，所以应用非常广泛．(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．(4)应用模式：如图，在△ABC中，解技巧“三线合一”的应用因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”性质实际的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．【例3】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5 cm，求底边BC的长．分析：因为是等腰三角形，所以底边上的高也是底边上的中线，所以BC＝2BD，即可求出BC的长．4．等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．(2)与性质的关系：判定定理与性质定理是互逆的，性质：→；判定：→.(3)理解：性质和判定应用的前提都是在同一三角形中，并且不经过三角形全等的证明，直接由等边得等角或由等角得等边，所以应用起来更简单、便捷．破疑点等腰三角形的判定方法的理解教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有两种：一是判定定理；二是定义．另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形．但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形．【例4】如图，BE平分∠ABC，交AC于E，过E作DE∥BC，交AB于D.试证明△BDE是等腰三角形．5．等边三角形的概念和性质(1)等边三角形①概念：三边都相等的三角形是等边三角形．②认识：它是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质．(2)性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)拓展：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它三边相等，三个内角相等，各边上的高、中线，对应的角平分线重合，且长度相等．【例5】如图，点M、N分别在等边△ABC的边BC、AC上，且BM＝CN，AM、BN交于点Q.求证：∠BQM＝60°.6．等边三角形的判定(1)判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．(2)判定方法：等边三角形的判定方法有三种：一是定义，另运用两个定理．(3)拓展理解：对于判定定理①，有时候在一个三角形中只要有两个角是60°也可判定是等边三角形．解技巧巧用条件证明等边三角形在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明．若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理①；若已知该三角形是等腰三角形，则选判定定理②.【例6】如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP ＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．基本方法基本能力7．等腰三角形性质和判定的综合应用类似于全等三角形的性质和判定的关系，等腰三角形的性质和判定很多时候也是综合运用的．一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性质，可以知道许多相等的线段，相等的角，还能知道垂直关系，成倍数关系的线段或角，所以有时通过判定是等腰三角形来证明角相等、线段相等或垂直关系等；另一方面通过等腰三角形性质和判定的运用，直接由线段相等得到角相等，由角相等到线段相等，省去了全等的证明，简化了过程，因此很多时候，等腰三角形性质和判定的应用更广泛．注意：等腰三角形性质和判定的应用前提是在同一个三角形中．【例7】如图1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高，求证：CD＝AB＋BD.图1 图28.巧用“三线合一”性质解题(1)性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”性质；(2)应用：它是等腰三角形特有的性质，这条线段是中线、高，也是角平分线，它包含有线段相等、角相等、垂直等关系，涉及量多，应用广泛，是证明线段相等、线段的倍数关系、角相等、角的倍数关系、垂直等常用的方法．构造“三线合一”解决等腰三角形问题在等腰三角形问题中，最常添加的辅助线就是作底边上的高，或作顶角的平分线，或作底边上的中线，这样就可以由其中一线得到其他两线，从而知道更多的条件，以便更好地完成计算、证明．【例8】已知：如图a所示，△ABC中，AB＝AC，BF是AC边上的高，求证：∠FBC＝∠BAC.图a 图b9.等边三角形的应用等边三角形也称正三角形，它是最特殊的三角形，它除了三边相等，三个内角相等，且每个角都是60°外，还具有很多特殊的性质：如，证明两个等边三角形全等只要有一边相等即可；同一个等边三角形的高、中线、角平分线都相等，并且任何一条高(或中线、顶角的平分线)将等边三角形都分成全等的两个含有30°角的直角三角形；它的高和边长也存在着特殊的比例关系，因此已知是等边三角形，就可以知道其中的许多等量关系．等边三角形的判定也具有自己独特的特点，可以由普通三角形满足条件直接判定，也可以在等腰三角形的基础上进行判定．【例9】(学科内综合题)如下图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线分别交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE＝EF＝FC的道理．思维拓展创新应用10．面积法证明等腰三角形的性质面积法是解决几何问题常用的一种的方法，它巧妙地运用面积之间的关系，通过计算的方式，求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等量关系证明、计算更简捷，更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的方法．面积法的运用，一般以同一个三角形的面积是相等的为基础，运用不同求法，即底不同、高不同、但面积都等于底×高的一半，或将一个图形分解成不同的图形来求面积，但面积之和相等．通过面积相等联系起各量之间的关系，再运用等式的性质，通过化简求出某些线段的长，或计算出某些线段之间的数量(如比例)关系．解技巧巧用面积法证明线段的关系因为直角三角形的特殊性，所以面积法最常用在直角三角形中求斜边上的高，有时也用在等腰三角形中证明线段相等或求线段的和．11．等腰三角形中的“二推一”模式应用在等腰三角形问题中，“等边、角平分线(等角)、平行”是出现最多，最常见的数量与位置关系，若这三个关系出现在同一图中，一般以其中任意两个条件为题设，推导、证明出第三个条件成立，因此我们称它为等腰三角形中的“二推一”．(1)基本图形：等腰三角形中的“二推一”一般有两种情况，一种是角平分线在外，要用到一个外角等于和它不相邻的两内角和；另一种是角平分线在内，基本图形如图①和图②所示，演变图形类型较多，主要有以下几种：(2)方法：通过角相等作为纽带，将线段相等、线段平行联系起来，在此过程中要用到等量代换得出的角相等，方式一般是：→→；→→.【例11-1】如图1，已知，在△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，G为底边BC上任一点，GF⊥AB，GE⊥AC，垂足分别为F、E.求证：GF＋GE＝BD.分析：要证明BD＝GF＋GE，按常规思路将BD分成两段，如图2，证明BH＝GF，DH＝GE.所以过G作BD的垂线，通过证明三角形全等和判定是矩形完成，既复杂又超出现在所学，但用面积法却简单得多．如图3，连接AG，运用面积法，分别表示出△ABG和△ACG的面积，由于同一三角形面积是相等的，所以S△ABC＝S△ABG＋S△ACG，所以AB·GF＋AC·GE＝AC·BD，由于AB ＝AC，经过等量代换和化简即可得到GF＋GE＝BD.【例11-3】如图，已知△ABC中，AC＋BC＝24，AO、BO分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，MN过O点，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为___．【例11-4】如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BO、CO相交于点O，OE∥AB，OF ∥AC，△OEF的周长＝10，求BC的长．直角三角形学习过程：一、课前准备1.每个命题都是由、两部分组成。

第02讲 等腰三角形（1个知识点+5大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形概念定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

【即学即练1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）等腰三角形的周长为20cm ，一边为8cm ，则腰长为（ ）A ．4cmB ．8cmC ．4cm 或8cmD ．6cm 或8cm【答案】D【分析】分类讨论：当8cm 是腰长时和当8cm 是底边长时，结合三角形的周长，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm ，题型01 等腰三角形的定义1．有5根小棒，长度分别为3、3、4、6、6，用其中的3根做等腰三角形的边，可以搭出（ ）种不同的等腰三角形．A．5B．4C．3D．2【答案】C【分析】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．【详解】解：根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边；可以组成的三角形有：①3、3、4；②3、6、6③4、6、6所以，搭出3种不同的等腰三角形．故选：C．2．（比例的应用）一个等腰三角形的一条腰长是20厘米，其中有两条边的长度比是2:5，这个等腰三角形的周长是（）厘米．A．90B．120C．48D．48或120【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，构成等腰三角形的条件，根据题意，分类讨论，当腰长与底边的比是2:5时，根据构成等腰三角形的条件判定，不符合题意；当底边与腰长的比是2:5时，符合题意，由此即可求解．【详解】解：当腰长与底边的比是2:5时，∵等腰三角形一条腰长为20厘米，∴等腰三角形的另一条腰长也为20厘米，则底边长为50厘米，+<，∵202050∴不能构成等腰三角形，不符合题意；当底边与腰长的比是2:5时，∴底边长为8厘米，∴等腰三角形的三边长为20厘米，20厘米，8厘米，能构成等腰三角形，符合题意；++=（厘米），∴这个等腰三角形的周长为2020848故选：C ．3．等腰三角形的一个底角和顶角的比是1:4，则它的顶角是度．【答案】120【分析】首先要知道三角形的内角和是180°，根据等腰三角形的特点，两底角相等，所以三个角的比是++=份，先求出一份的度数，再求顶角的度数即可．此题考查了1:1:4，把这个三角形的内角和看作1146有关三角形内角和的知识，以及按比例分配应用题的解法．¸++´，【详解】解：180(114)4=¸´，18064=（度)．120答：它的顶角是120度．故答案为：120．4|2|0b -=，则以a b ，为边长的等腰三角形的周长为 ．(1)有两边长分别为4cm ，6cm ；(2)有两边长分别为4cm ，8cm ．【答案】(1)三角形的周长为14cm 或16cm(2)三角形的周长为20cm【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；（1）根据等腰三角形的定义，分情况并利用三角形的三边关系求解即可．（2）根据等腰三角形的定义，分情况并利用三角形的三边关系求解即可．【详解】（1）解：若三角形的腰长为4cm ，则底边长为6cm ，能组成三角形，此三角形的周长为()44614cm ++=，若三角形的腰长为6cm ，则底边长为4cm ，能组成三角形，此三角形的周长为()66416cm ++=．综上可知，三角形的周长为14cm 或16cm ．（2）若三角形的腰长为4cm ，则底边长为8cm ，不能组成三角形；若三角形的腰长为8cm ，则底边长为4cm ，能组成三角形，此三角形的周长为()88420cm ++=．题型02 等边对等角1．等腰ABC V 中，AB AC =，若70A Ð=°，则B Ð=（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．60°【答案】B【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，根据等边对等角结合三角形内角和定理计算即可得出答案．【详解】解：∵AB AC =，∴B C Ð=Ð，∵70A Ð=°，∴()18070255B Ð=°-°¸=°．故选：B ．2．在ABC V 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD CD =，若120BAC Ð=°，则BDA Ð的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．80°，则它的一个底角是．当20°的角为等腰三角形的底角时，其底角为20°，故它的底角的度数是80°或20°．故答案为：80°或20°．4．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为．【答案】40°或140°【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，50ACD Ð=°，CD 为高，即90ADC Ð=°，此时180A ACD ADC Ð+Ð+Ð=°，∴180905040A Ð=°-°-°=°，若三角形为钝角三角形时，如图，AB AC =，50ACD Ð=°，CD 为高，即90ADC Ð=°，此时9050140BAC D ACD Ð=Ð+Ð=°+°=°，综上，等腰三角形的顶角的度数为40°或140°．故答案为：40°或140°．5． 如图，在ABC V 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，E 为AD 上一点，连接CE ，使CE AE =，65B Ð=°，求ECD Ð的度数．【答案】40°【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用．根据等边对等角得出65ACB B Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理得出180656550BAC Ð=°-°-°=°，根据等腰三角形三线合一的性质得出题型03 根据等边对等角证明1．如图，分别是小明、小颖和小亮三位同学用尺规作AOB Ð的平分线的图示，对于三人不同的作法， 其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的尺规作图，线段的尺规作图，等边对等角等等，根据对应的作图痕迹结合全等三角形的性质与判定条件证明即可．【详解】解：小明的作图中OD OC DE CE OE OE ===，，，∴()SSS ODE OCE △≌△，∴DOE COE Ð=Ð，∴OE 平分AOB Ð，故小明的作法正确；小颖的作图中OD OC OF OG DOF COG ===，，∠，∴()SAS DOF COG △≌△，∴OGE OFE Ð=Ð，∵OF OC OG OD -=-，∴DG CF =，又∵DEG CEF Ð=Ð，∴DEG CEF △≌△，∴=GE FE又∵OE OE =，∴FOE GOE △≌△，DOE COE Ð=Ð，∴OE 平分AOB Ð，故小颖的作法正确；小亮的作图中，EF BD OF EF =∥，，∴FOE FEO BOE ==∠∠∠，∴OE 平分AOB Ð，故小亮的作法正确；故选：D ．2．如图，甲、乙两艘船同时从海上点P 处出发，甲船沿点P 的正南方向匀速航行，乙船沿点P 的北偏东70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（ ）A ．北偏东10°B ．北偏东30°C ．北偏东35°D ．北偏东40°3．如图，在ABC V 中，AB AC =，50A Ð=°，点D 是ABC V 内的一点，连接BD ，CD ．若12Ð=Ð，则D Ð的度数为 ．DAE Ð= ．【答案】80°/80度【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC 得到AD BD =，AE CE =，从而得到C BCAE Ð=Ð，B BAD Ð=Ð，结合130BAC Ð=°与三角形内角和定理即可得到答案；【详解】解：∵DM 、EN 分别垂直平分AB 和AC ，∴AD BD =，AE CE =，∴C CAE Ð=Ð，B BAD Ð=Ð，∵130BAC Ð=°，∴130BAD CAE DAE Ð+Ð+Ð=°，∵180B C BAC Ð+Ð+Ð=°，∴50B C Ð+Ð=°，∴50BAD CAE Ð+Ð+=°，∴80DAE Ð=°．故答案为：80°．5．如图，已知,,C E AC AE CAD EAB Ð=Ð=Ð=Ð．求证：ABD ADB Ð=Ð．【答案】见解析【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等边对等角”等知识．由CAD EAB Ð=Ð，推导出CAB EAD Ð=Ð，即可根据“ASA ”证明CAB EAD ≌V V ，可得AB AD =，即可求证．【详解】证明：∵CAD EAB Ð=Ð，∴CAD BAD EAB BAD Ð-Ð=Ð-Ð，∴CAB EAD Ð=Ð，在CAB △和EAD V 中，∵,,CAB EAD AC AE C E =ÐÐ==ÐÐ，∴()ASA CAB EAD ≌V V ，∴AB AD =，∴ABD ADB Ð=Ð．题型04 等腰三角形的三线合一1．如图，在ABC V 中，AB AC =．在AB ，AC 上分别截取AP ，AQ ，使AP AQ =．再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧在BAC Ð内交于点R ，作射线AR ，交BC 于点D ．若6BD =，则BC 的长为（ ）A ．12B ．3C ．8D ．10【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图和等腰三角形的性质，根据作图过程可得，AD 平分BAC Ð，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可.解题的关键在于能够准确判断出AD 平分BAC Ð．【详解】解：根据作图过程可得，AD 平分BAC Ð，又∵AB AC =，∴212BC BD ==,故选：A ．2．如图：ABC V 中，D 点在BC 上，现有下列四个命题：①若AB AC =，则B C Ð=Ð．②若AB AC =，BAD CAD Ð=Ð，则AD BC ^，BD DC =．③若AB AC =，BD DC =，则AD BC ^，BAD CAD Ð=Ð．④若AB AC =，AD BC ^，则BD DC =，BAD CAD Ð=Ð．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．也考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质对①进行判断；根据等腰三角形的“三线合一”对②③④进行判断．【详解】解：若AB AC =，则B C Ð=Ð，所以①正确；若AB AC =，BAD CAD Ð=Ð，即AD 为顶角的平分线，则AD BC ^，BD DC =，所以②正确；若AB AC =，BD DC =，即AD 为底边上的中线，则AD BC ^，BAD CAD Ð=Ð，所以③正确；若AB AC =，AD BC ^，即AD 为底边上的高，则BD DC =，BAD CAD Ð=Ð，所以④正确．故选：D ．3．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 平分BAC Ð，点E 在边AB 上，且BD BE =．若100BAC Ð=°，则ADE Ð的大小为 ．Ð=°．BDE题型05 根据三线合一证明．最近粉色二七塔邂逅玉兰花火出了圈，郑州市民纷纷围观打卡．如图，二七塔的顶端可看作等腰三角形,,=是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是ABCABC AB AC DV的角平分线的是（）A ．ADB ADCÐ=ÐB ．BD CD =C ．2BC AD=D ．ABD ACDS S =V V 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、ADB ADC Ð=ÐQ ，180ADB ADC Ð+Ð=°，90ADB ADC \Ð=Ð=°，即AD 是ABC V 的高线，ABC QV 是等腰三角形，AB AC =，AD \是ABC V 的角平分线，故A 选项不符合题意；B 、ABC QV 是等腰三角形，BD CD =，AD \是ABC V 的角平分线，故B 选项不符合题意；C 、若2BC AD =，不能说明AD 是ABC V 的角平分线，故C 选项符合题意；D 、ABD ACD S S =Q △△，BD CD \=，∴AD 是ABC V 的角平分线，故D 选项不符合题意；故选：C ．2．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，下列结论不一定正确的是（ ）A ．B CÐ=ÐB ．12AD AB =C ．BAD CAD Ð=ÐD ．AD BC^90,6cm EDF BE Ð=°=，则AF = ．【答案】6cm /6厘米【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．利用等腰直角三角形的性质和已知条件证明AFD BED ≌△△即可得到BE AF =．【详解】解：∵,90AB AC BAC =Ð=°，点D 是BC 的中点，∴,45AD CD BD FAD B ==Ð=Ð=°，∴AD BD =，90EDF Ð=°Q ，∴90ADF ADE Ð+Ð=°，90ADE EDB Ð+Ð=°Q ，∴ADF EDB Ð=Ð，在AFD △和BED V 中，，∵45FAD B Ð=Ð=°，AD BD =，ADF EDB Ð=Ð，∴()ASA AFD BED V V ≌BE AF \=，∵6cm BE =，∴6cm AF =．故答案为：6cm4．如图，在ABC V 中，AB AC =，点D 为BC 边的中点，127Ð=°，则C Ð= °．【答案】63【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．由等腰三角形的三线合一性质可知70BAC Ð=°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【详解】解：AB AC =Q ，D 为BC 中点，∴AD 是BAC Ð的平分线，B C Ð=Ð，∵127Ð=°，∴2154BAC Ð=Ð=°，连接DE ，DF ．(1)求证：ADE ADF V V ≌；(2)若80BAC Ð=°，求BDE Ð的度数．1．等腰三角形中有一内角等于80°，那么这个三角形的最小内角的度数为（ ）度A ．50B ．20C ．40或50D ．20或50A ．42°B ．84°C ．90°D ．96°【答案】B 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到AD CD =，根据等腰三角形的性质得到DCA A Ð=Ð，再根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：Q 线段AC 的垂直平分线交AB 于点D ，AD CD \=，Q 42A Ð=°，42DCA A Ð=°\Ð=，\84A BDC DCA Ð=°Ð=Ð+．故选：B ．3．如图，直线a b ∥，点A 在直线a 上，点B 在直线b 上，AC BC =，120C Ð=°，144Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A ．64°B ．74°C ．56°D ．66°∴(12ABC BAC Ð=Ð=´∵144Ð=°，∴1ABD ABC Ð=Ð+Ð=∵a b ∥，A ．67°B ．135°C ．67.5°D ．67.5°或22.5°【答案】D【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，分高在等腰三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：当三角形的高线在三角形的内部时，如图：,AB AC BD AC =^，45ABD Ð=°，则：45A Ð=°∴(11802ABC ACB Ð=Ð=当三角形的高线在三角形的外部时，如图：∵,45ABC ACB DAB ABC ACB Ð=ÐÐ=Ð+Ð=∴22.5ABC ACB Ð=Ð=°；故选D ．5．如图，在ABC V 中，DM EN 、分别垂直平分20DAE Ð=°，则BAC Ð的度数为（ ）A ．100°B ．105°C ．110°D ．120°【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得,DB DA EA EC ==，再由等腰三角形的性质，可得,B DAB C EAC Ð=ÐÐ=Ð，再由三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵DM EN 、分别垂直平分AB 和AC ，∴,DB DA EA EC ==，∴,B DAB C EAC Ð=ÐÐ=Ð，∵20,180DAE B C BAC Ð=°Ð+Ð+Ð=°，∵18020160B BAD C EAC Ð+Ð+Ð+Ð=°-°=°，∴22160BAD EAC Ð+Ð=°，∴80BAD CAE Ð+Ð=°，∴8020100BAC BAD CAE DAE Ð=Ð+Ð+Ð=°+°=°．故选：A ．6．如图，ABF △中，60A Ð=°，40F Ð=°；点C ，D ，E 在AB 的延长线上，且BC BG =，CD CH =，DE DP =，则E Ð等于（ ）A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°，则它的周长为 ．【答案】22cm 或26cm【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分情况讨论即可．【详解】解：①当6cm 为腰，10cm 为底时，6610+>Q ，6106+>，\能构成三角形，\等腰三角形的周长661022cm =++=；②当10cm 为腰，6cm 为底时，10106+>Q ，10610+>，\能构成三角形，\等腰三角形的周长1010626cm =++=；故答案为：22cm 或26cm ．8．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O 旋转了80°，小孩的位置从A 点运动到了B 点，则OAB Ð的度数为 ．【答案】50°/50度【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理．先根据题意得到OA OB =，80AOB Ð=°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行解答即可．【详解】解：由题意可知：OA OB =，80AOB Ð=°，OA OB =Q ，OAB OBA \Ð=Ð，180OAB OBA AOB Ð+Ð+Ð=°Q ，18080100OAB OBA \Ð+Ð=°-°=°，50OAB OBA \Ð=Ð=°，故答案为：50°．9．如图，80AOB Ð=°，在OA 上取点C ，以点C 为圆心，CO 长为半径画弧交OB 于点D ，连接CD ；以点D 为圆心，DC 长为半径画弧交OB 于点E ，连接CE ，DCE Ð的度数为 ．【答案】40°/40度【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．由作图可知，CO CD =，DC DE =，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：由作图可知，CO CD =，DC DE =．CO CD =Q ，80ODC COD \Ð=Ð=°，80DCE CED ODC \Ð+Ð=Ð=°，DC DE =Q ，40DCE CED \Ð=Ð=°．故答案为：40°．10．如图，点E 在AB 上，AC 与DE 相交于点F ，ABC DEC ≌△△，30A Ð=°，70B Ð=°，则DFA Ð的度数为 ．【答案】70°/70度【分析】本题主要考查全等三角形的性质、等边对等角和三角形内角和定理，根据题意得ACB Ð，结合全等三角形的性质有CED B Ð=Ð和CB CE =，利用等边对等角和三角形内角和定理可求得ECB Ð和ACE Ð，即可求得答案．【详解】解：∵30A Ð=°，70B Ð=°，∴80ACB Ð=°，∵ABC DEC ≌△△，∴70CED B Ð=Ð=°，CB CE =，∴70CEB B Ð=Ð=°，∴18040ECB B CEB Ð=°-Ð-Ð=°，则40ACE ACB ECB Ð=Ð-Ð=°，那么，18070DFA CFE CED ACE Ð=Ð=°-Ð-Ð=°．故答案为：70°．11．如图，100BAC Ð=°，若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，则PAQ Ð=【答案】20°/20度【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，可得B BAP Ð=Ð，C CAQ Ð=Ð，结合三角形内角和即可得到80BAP CAQ B C Ð+Ð=Ð+Ð=°，从而可求得PAQ Ð的值．【详解】解：PM Q 垂直平分AB ，PA PB \=，B BAP \Ð=Ð，同理：QC QA ＝，C CAQ \Ð=Ð，100BAC Ð=°Q ，18080B C BAC \Ð+Ð=°-Ð=°，80BAP CAQ \Ð+Ð=°，20PAQ BAC BAP CAQ \Ð=Ð-Ð-Ð=°．故答案为：20°．12．如图，在五边形ABCDE 中，12590BAE B E Ð=°Ð=Ð=°，，AB BC AE DE ==，，在BC DE 、上分别找一点M 、N ，使得AMN V 周长最小时，AMN ANM Ð+Ð的度数为 ．【答案】110°/110度【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短等知识点，正确找出AMN V 的周长最小时，点M 、N 的位置是解题关键．先根据轴对称的性质可得,A M A A N AM N ¢¢¢==，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得当点,,,A M N A ¢¢¢在同一条直线上时，AMN V 的周长最小，然后利用等腰三角形的性质、三角形的外角性质即可得．【详解】如图，作点A 关于BC 的对称点A ¢，关于DE 的对称点A ¢¢，连接A M ¢、A N ¢¢，则,A M A A N AM N ¢¢¢==，AMN \V 的周长为AM MN AN A M MN A N ¢¢¢++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A M N A ¢¢¢在同一条直线上时，AMN V 的周长最小，125BAE Ð=°Q ，18055A A BAE ¢¢¢\Ð+Ð=°-Ð=°，,AM A M AN A N ¢¢¢==Q ，,A A AM A A AN ¢¢¢¢¢¢\Ð=ÐÐ=Ð，AMN ANM A A AM A A AN ¢¢¢¢¢¢\Ð+Ð=Ð+Ð+Ð+Ð，22A A ¢¢¢=Ð+Ð，()2A A =Ð+Т¢¢，110=°，故答案为：110°．13．在ABC V 中，7,2AB BC ==．(1)求AC 长度的取值范围；(2)若ABC V 的周长为偶数，求ABC V 的周长，并判断此时ABC V 的形状．【答案】(1)59AC <<(2)ABC V 的周长为16，是等腰三角形【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类：（1）根据三角形的三边关系进行求解即可；（2）根据（1）中的范围，结合ABC V 的周长为偶数，得到7AC =，即可得出结论．【详解】（1）解：∵在ABC V 中，7,2AB BC ==∴AB BC AC AB BC -<<+，∴59AC <<；（2）∵ABC V 的周长为偶数，9AB BC +=为奇数，∴AC 的长为奇数，∵59AC <<，∴7AC AB ==，∴ABC V 的周长为9716+=，是等腰三角形．14．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是AC 上一点，连接BD ，75BDA Ð=°，11ABD Ð=°，求DCB Ð的度数．【答案】43°【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质两个知识点，掌握这两个知识点是解题的关键；(1)若40A Ð=°，求DBC Ð的度数；(2)若3AE =，CBD △的周长为10，求BC 的长．点F ．(1)若5AB =，则CMN V 的周长为 ___________；(2)若70MFN Ð=°，求MCN Ð的度数．【答案】(1)5；(2)40°【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可．（1）由题意得,CM AM CN BN ==，据此即可求解；（2）根据()MCN ACB ACM BCN Ð=Ð-Ð+Ð，()180ACB A B Ð=°-Ð+Ð即可求解；【详解】（1）解：∵DM EN ，分别垂直平分边AC 和边BC ，∴,CM AM CN BN==∴CMN V 的周长5CM MN CN AM MN BN AB =++=++==故答案为：5（2）解：∵,CM AM CN BN ==，∴,A ACM B BCNÐ=ÐÐ=Ð∵70MFN Ð=°，∴180110FMN FNM MFN Ð+Ð=°-Ð=°∴110AMD BNE Ð+Ð=°∵90ADM BEN Ð=Ð=°∴70A B ACM BCN Ð+Ð=Ð+Ð=°∵()MCN ACB ACM BCN Ð=Ð-Ð+Ð，()180ACB A B Ð=°-Ð+Ð∴()()18040MCN A B ACM BCN Ð=°-Ð+Ð-Ð+Ð=°17．如图1，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，90BAC Ð=°，点D 在BC 边上，连接AD ，AE AD ^，AE AD =，连接CE ，DE ．(1)45ACE B Ð=Ð=°，请你说明理由．(2)求BCE Ð的度数．(3)点A 关于直线CE 的对称点为1A ，连接1CA ，1EA ．补全图形，判断1EA C Ð与BAD Ð之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)理由见解析(2)90BCE Ð=°(3)补全图形见解析，1EA C BAD Ð=Ð，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．（1）首先根据等腰直角三角形的性质可得45B ACB Ð=Ð=°，再证明ABD ACE △△≌，由全等三角形的性质即可证明结论；（2）由（1）可知，45ACE Ð=°，45ACB Ð=°，然后由BCE ACE ACB Ð=Ð+Ð求解即可；（3）根据题意补画图形，结合轴对称的性质可得1EA EA =，1CA CA =，CE CE =，进而证明1ACE A CE ≌△△，易得1EA C EAC Ð=Ð，结合ABD ACE △△≌可知CAE BAD Ð=Ð，即可获得答案．【详解】（1）证明：∵AB AC =，90BAC Ð=°，∴45B ACB Ð=Ð=°，∵90BAC DAE Ð=Ð=°，∴BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，又∵AB AC =，AD AE =，∴()SAS ABD ACE V V ≌，∴45ACE B Ð=Ð=°；（2）解：由（1）可知，45ACE Ð=°，45ACB Ð=°，∴454590BCE ACE ACB Ð=Ð+Ð=°+°=°；（3）如图，1EA C BAD Ð=Ð，理由如下：∵点A 与1A 关于CE 对称，∴1EA EA =，1CA CA =，CE CE =，∴()1SSS ACE ACE V V ≌，∴1EA C EAC Ð=Ð，∵ABD ACE △△≌，∴CAE BAD Ð=Ð，∴1EA C BAD Ð=Ð．18．（1）如图1，在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，CD 平分ACB Ð，BE CD ^，垂足为E ，试探究线段BE 和CD 之间的数量关系，并写出你的理由．（2）如图2，把条件改为：“在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°，点D 在BC 上，12EDB C Ð=Ð，BE ED ^，DE 与AB 相交于F 点，则线段BE 和FD 之间的数量关系如何?并证明你的结论．”【答案】（1）2CD BE =，理由见解析；（2）2DF BE =，理由见解析【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．（1）如图，延长BE，CA 交于点F ，证明ADC AFB V V ≌，得到DC BF =；再证明EFC EBC ≌△△，得到EF BE =，即可解决问题；（2）如图，作DG AC ∥，交BE 的延长线于点G ，则BDG C Ð=Ð，证明HFD HGB △≌△，得到DF BG =；证明EGD EBD △≌△，得到BE GE =，即可解决问题．【详解】解：（1）2CD BE =，理由如下：如图，延长BE ，CA 交于点F ，∵90BAC Ð=°，BE CD ^，则90BEC FEC Ð=Ð=°，∴180FED FAD Ð+Ð=°，∴180ADE F Ð+Ð=°，∵180ADE ADC Ð+Ð=°，∴ADC F Ð=Ð，在ADC △与AFB △中，DAC FAB ADC F AC AB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∵12EDB C Ð=Ð，则EDB Ð∴DE 平分BDG Ð；∵DG AC ∥，∴90BHD A Ð=Ð=°，=，∴EG BE∴2=．DF BE。

第01讲_等腰三角形与直角三角形知识图谱等腰三角形知识精讲一、等腰三角形二、思路点拨等腰三角形边或者周长的计算注意三边关系的隐含条件等腰、角平分线、平行（1）△ABC是等腰三角形，（2）AD∥BC（3）∠1=∠2以上三个结论知二推一（需简单证明）三角形中角的2倍关系三点剖析重难点12B CDA12AB CEDααβββ2αααβ2βα2ββ等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形性质1．两个底角相等，两条腰相等．2．三线合一：（1）顶角角平分线、（2）底边上的中线、（3）底边上的高（可直接使用）判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等三线合一逆定理：一个三角形（1）对角角平分线、（2）该边上的中线、（3）该边上的高有两条互相重合，则是等腰三角形（需简单证明）1．等腰三角形的三线合一及其逆定理2．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 3．等腰三角形与全等三角形综合问题 考点1．等腰三角形的性质和判定2．等腰三角形的三线合一及其逆定理3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一 4．等腰三角形与全等三角形综合问题易错点1．等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2．等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可直接得出结论等边对等角例题1、 如图，ABC 中，,,18,12==∠=︒∠=︒AB AC AD DE BAD EDC ，则∠DAE 的度数为( )A.58︒B.52︒C.62︒D.60︒ 【答案】 C【解析】 暂无解析随练1、 如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）A.36°B.60°C.72°D.108° 【答案】 C【解析】 ∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=36°， ∴∠1=∠A+∠ABD=72°随练2、 一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长是________． 【答案】 22【解析】 暂无解析等角对等边例题1、 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ． 求证：AD=BC ．【答案】 见解析【解析】 ∵AB=AC ，∠A=36°， ∴∠ABC=C=72°，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， ∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°， ∴∠A=∠ABD ，∠BDC=∠C ， ∴AD=BD=BC ．例题2、 如图，在ABC ∆中，5BC cm =，BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，且PD AB ∥，PE AC ∥，则PED ∆的周长是_______cm【答案】 5【解析】 ∵BP 、CP 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线， ABP PBD ∴∠=∠，ACP PCE ∠=∠．PD AB ∥，PE AC ∥，ABP BPD ∴∠=∠，ACP CPE ∠=∠， PBD BPD ∴∠=∠，PCE CPE ∠=∠，BD PD ∴=，CE PE =， ∴PDE ∆的周长5PD DE PE BD DE EC BC cm =++=++==．随练1、 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE //AB 交AC 于点E ，若7DE =，5CE =，则AC =（ ）A.11B.12C.13D.14【答案】 B【解析】 该题考查的是等腰三角形的判定． ∵DE //AB ，∴BAD ADE ∠=∠，又∵BAD DAE ∠=∠ ∴DAE ADE ∠=∠ ∴7AE DE ==∴7512AC AE EC =+=+= ∴该题的答案是B ．三线合一例题1、 如图，△ABC 中，AB AC =，100BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，且BD BE =，则ADE ∠的度数为（ ）A.10︒B.20︒C.40︒D.70︒【答案】 B【解析】 该题考查的是三角形的性质． ∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∵100BAC ∠=︒， ∴40B C ∠=∠=︒，∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD BC ⊥， ∴90ADB ∠=︒， ∵BD BE =，∴70BDE BED ∠=∠=︒， ∴20ADE ∠=︒， 故该题答案为B ．例题2、 在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于D ，∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ，交BC 于F ，CM ⊥AF 于M ，求证：EM FM =．【答案】 见解析【解析】 ∵90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ， ∴90ADC ∠=︒，∴90AED DAE ∠+∠=︒，90CFE CAE ∠+∠=︒， 又∵∠BAC 的平分线AF 交CD 于E ， ∴DAE CAE ∠=∠， ∴AED CFE ∠=∠， 又∵AED CEF ∠=∠， ∴CEF CFE ∠=∠， 又∵CM ⊥AF ， ∴EM FM =．随练1、 如图，在△ABC 中，54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠，ME AD ⊥于G ，交AB 、AC 及BC 的延长线于E 、M 、F ，则BFE ∠=______________．ABC D E【答案】 9︒【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一． ∵54B ∠=︒，72ACB ∠=︒，AD 平分BAC ∠∴1805472272BAD CAD ︒-︒-︒∠=∠==︒又∵AD ⊥EF 即90AGM ∠=︒∴902763CMF AMG ∠=∠=︒-︒=︒ 又∵△CFM 的外角72ACB ∠=︒∴72639CFM ACB CMF ∠=∠-∠=︒-︒=︒角平分线，平行线，等腰三角形知二推一例题1、 如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A.2B.1C.52D.32【答案】 B【解析】 该题考查的是等腰三角形三线合一逆定理． 延长BD 与AC 交于点E ，∵A ABD ∠=∠， ∴BE AE =， ∵BD CD ⊥， ∴BE CD ⊥， ∵CD 平分ACB ∠， ∴BCD ECD ∠=∠， ∴EBC BEC ∠=∠，MAB CD（第6题）∴△BEC为等腰三角形，∴BC CE=，∵BE CD⊥，∴2BD BE=，∵5BC=，AC=，3∴3CE=，∴532=-=-=，AE AC EC∴2BE=，∴1BD=．所以答案选A例题2、(2013初二上期末怀柔区)如图所示，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，过O作EF∥BC，若△AEF的周长为12，则AB+AC等于____．【答案】12【解析】该题考查的是平行线的性质．∵BO平分CBA∠，CO平分ACB∠，∴OBC OBA∠=∠，∠=∠，OCB OCA∵EF∥BC，∴OBA BOE∠=∠，OCA COF∠=∠，∴BE OE=，=，CF OF∴△AEF的周长AE OE OF AF AE BE CF AF AB AC=+++=+++=+，∵△AEF的周长为12，∴12+=．AB AC例题3、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形．【解析】（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=12∠EAC+12∠BAC=12×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．随练1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？【答案】（1）见解析（2）70°（3）△DEF不可能是等腰直角三角形，见解析【解析】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中BD CEB C BE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B ∴∠DEF=∠B∵AB=AC ，∠A=40°∴∠DEF=∠B=18040702︒︒︒-=（3）解：△DEF 不可能是等腰直角三角形． ∵AB=AC ，∴∠B=∠C ≠90° ∴∠DEF=∠B ≠90°，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形等腰三角形与全等三角形综合例题1、 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝∠C ＝40°．点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE ＝40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BAD ＝20°时，∠EDC ＝________°；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ？试说明理由；（3）△ADE 能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD 的度数；若不能，请说明理由．【答案】 （1）20（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ，证明见解析 （3）∠BAD ＝30°或∠BAD ＝60°【解析】 （1）∵∠BAD ＝20°，∠B ＝40°， ∴∠ADC ＝60°， ∵∠ADE ＝40°，∴∠EDC ＝60°－40°＝20°（2）当DC ＝2时，△ABD ≌△DCE ； 理由：∵∠ADE ＝40°，∠B ＝40°，又∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ． ∴∠BAD ＝∠EDC ． 在△ABD 和△DCE 中， B C AB DCBAD EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩． ∴△ABD ≌△DCE （ASA ）； （3）当∠BAD ＝30°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝30°， ∴∠DAE ＝70°，∴∠AED ＝180°－40°－70°＝70°，∴DA ＝DE ，这时△ADE 为等腰三角形；当∠BAD ＝60°时，∵∠B ＝∠C ＝40°，∴∠BAC ＝100°， ∵∠ADE ＝40°，∠BAD ＝60°，∠DAE ＝40°， ∴EA ＝ED ，这时△ADE 为等腰三角形．例题2、 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO 交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．（1）当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =；（2）当M 是BC 中点时，写出CE 和CD 之间的等量关系，并加以证明； （3）请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．【答案】 （1）见解析（2）2CD CE =（3）当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+；当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-；当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-【解析】 该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质． （1）证明：连接ND ． ∵AO 平分∠BAC ， ∴12∠=∠， ∵直线l ⊥AO 于H ， ∴4590∠=∠=︒， ∴67∠=∠， ∴AN AC =， ∴NH CH =，∴AH 是线段NC 的中垂线， ∴DN DC =， ∴89∠=∠． ∴AND ACB ∠=∠，∵3AND B ∠=∠+∠，2ACB B ∠=∠， ∴3B ∠=∠， ∴BN DN =． ∴BN DC =；（2）如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE = 证明：过点C 作CN '⊥AO 交AB 于N '．由（1）可得BN CD '=，AN AC '=，AN AC '=． ∴43∠=∠，NN CE '=． 过点C 作CG ∥AB 交直线l 于G ． ∴42∠=∠，1B ∠=∠． ∴23∠=∠．ABC M ElNHD O lNH A ABBC CD O O D 图1图2图3∴CG CE =． ∵M 是BC 中点， ∴BM CM =在△BNM 和△CGM 中， 1B BM CMNMB GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BNM ≌△CGM ．（ASA ） ∴BN CE =．∴2CD BN NN BN CE ''==+=．（3）BN 、CE 、CD 之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-； 当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-．随练1、 如图，已知线段AC ∥y 轴，点B 在第一象限，且AO 平分∠BAC ，AB 交y 轴于G ，连OB 、OC ． （1）判断△AOG 的形状，并予以证明；（2）若点B 、C 关于y 轴对称，求证：AO ⊥BO ．【答案】 （1）等腰三角形；证明见解析 （2）见解析【解析】 （1）△AOG 是等腰三角形； ∵AC ∥y 轴，∴∠CAO=∠AOG ， ∵AO 平分∠BAC ， ∴∠CAO=∠GAO ， ∴∠GAO=∠AOG ， ∴AG=GO ，∴△AOG 是等腰三角形；（2）连接BC 交y 轴于K ，过A 作AN ⊥y 轴于N ，∵AC ∥y 轴，点B 、C 关于y 轴对称， ∴AN=CK=BK ，在△ANG 和△BKG 中，AGN BGK ANG BKG AN BK ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANG ≌△BKG ，（AAS ） ∴AG=BG ， ∵AG=OG ，（1）中已证， ∴AG=OG=BG ，∴∠BOG=∠OBG ，∠OAG=∠AOG ，∵∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°， ∴∠AOG+∠BOG=90°， ∴AO ⊥BO ．等边三角形知识精讲等边三角形 （1）三条边都相等的三角形 （2）是一种特殊的等腰三角形性质三个内角都等于60︒判定判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定2：有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明：延长BC 至'B 使'CB CB =∴AC 垂直平分'BB ，∴'AB AB =，60B ∠=︒，∴'ABB △是等边三角形，∴'2AB BB BC ==，∴12BC AB =二．思路点拨90°60°60°30°A BCDB'CBA三点剖析一．考点：1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．二．重难点：1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三角形中边的关系．4．在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．三．易错点：在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是30︒所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的性质例题1、(2013初二上期末怀柔区)如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为____．【答案】3 2【解析】该题考查的是∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点，BD为ABC∠的平分线，∴60ABC∠=︒，30DBE∠=︒，又DE DB=，∴30E DBE∠=∠=︒，∴30CDE ACB E∠=∠-∠=︒，即CDE E∠=∠，∴CD CE=；∵等边△ABC的周长为9，∴3AC=，∴1322 CD CE AC===，即32 CE=．例题2、如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为___________．【答案】60°．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE=∠AFD=90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°，∴∠EDF=180°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°．例题3、在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A.AE∥BCB.∥ADE=∥BDCC.∥BDE是等边三角形D.∥ADE的周长是9【答案】B【解析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．首先由旋转的性质可知∥AED=∥ABC=60°，所以看得AE∥BC，先由∥ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=5，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=5，由∥EBD=60°，BE=BD即可判断出∥BDE是等边三角形，故DE=BD=4，故∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，问题得解．∥∥ABC是等边三角形，∥∥ABC=∥C=60°，∥将∥BCD绕点B逆时针旋转60°，得到∥BAE，∥∥EAB=∥C=∥ABC=60°，∥AE∥BC，故选项A正确；∥∥ABC是等边三角形，∥AC=AB=BC=5，∥∥BAE∥BCD逆时针旋旋转60°得出，∥AE=CD，BD=BE，∥EBD=60°，∥AE+AD=AD+CD=AC=5，∥∥EBD=60°，BE=BD，∥∥BDE是等边三角形，故选项C正确；∥DE=BD=4，∥∥AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=9，故选项D正确；而选项B没有条件证明∥ADE=∥BDC，∥结论错误的是B，故选：B．随练1、如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A.150°B.160°C.130°D.60°【答案】A【解析】∵AB∥ED，∴∠E=180°﹣∠EAB=180°﹣120°=60°，∵AD=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，∴∠BAD=∠EAB﹣∠DAE=120°﹣60°=60°，∵AB=AC=AD，∴∠B=∠ACB，∠ACD=∠ADC，在四边形ABCD中，∠BCD=12（360°﹣∠BAD）=12（360°﹣60°）=150°．随练2、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A.25°B.30°C.35°D.40°【答案】B【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；随练3、 如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=___________．【答案】 2．【解析】 ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=∠E=30°，BD ⊥AC ， ∴∠BDC=90°， ∴BC=2DC ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ， ∴∠CDE=∠E=30°， ∴CD=CE=1， ∴BC=2CD=2．等边的判定例题1、 △ABC 中，①若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 是等边三角形；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形；③有三条对称轴的三角形是等边三角形；④有两个角是60°的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 D【解析】 ①三边相等的三角形是等边三角形，正确；②属于轴对称图形，且有一个角为60°的三角形是等边三角形，正确； ③有三条对称轴的三角形是等边三角形，正确； ④有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确； 则正确的有4个．例题2、 如图所示，AD 是ABC △的中线，60ADC ∠=°，8BC =，把ADC △沿直线AD 折叠后，点C 落在C '位置，则BC '的长为________.【答案】 4【解析】 本题考察的是等边三角形．由题意，60ADC ADC '∠=∠=︒，DC DC DB '==． 180606060BDC '∠=︒-︒-︒=︒，有一个角为60︒的等腰三角形为等边三角形，118422BC BD BC '===⋅=．故本题的答案是4．例题3、 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆，CBN ∆都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：CEF ∆为等边三角形．【答案】 见解析【解析】 （1）ACM ∆，CBN ∆是等边三角形， AC MC ∴=，BC NC =，60ACM NCB ∠=∠=︒，ACM MCN NCB MCN ∴∠+∠=∠+∠，即ACN MCB ∠=∠．在ACN ∆和MCB ∆中，AC MC =，ACN MCB ∠=∠，NC BC =， ACN MCB ∴∆≅∆，AN BM ∴=．（2）ACN MCB ∆≅∆，CAN CMB ∴∠=∠，又18060MCF ACM NCB ∠=︒-∠-∠=︒，MCF ACE ∴∠=∠，在CAE ∆和CMF ∆中，CAE CMF ∠=∠，CA CM =，ACE MCF ∠=∠， CAE CMF ∴∆≅∆，CE CF ∴=，CEF ∴∆为等腰三角形， 又60ECF ∠=︒，CEF ∴∆为等边三角形．随练1、 已知：如图，△AOB 的顶点O 在直线l 上，且AO AB =．（1）画出△AOB 关于直线l 成轴对称的图形△COD ，且使点A 的对称点为点C ； （2）在（1）的条件下，AC 与BD 的位置关系是_________； （3）在（1）、（2）的条件下，联结AD ，如果2ABD ADB ∠=∠，求∠AOC 的度数．【答案】 （1）如图1（2）平行（3）60AOC ∠=︒ 【解析】 该题考查的是轴对称与全等三角形． （1）如图1； （2）平行．AC DB∵AC与BD是对应点的连线，l为对称轴，∴AC l⊥，⊥，BD l∴AC∥BD．（3）如图2，∵由（1）可知，△AOB与△COD关于直线l对称，∴△AOB≌△COD．∴AO AB CO CD===，∵2∠=∠=∠，ABD CDB ADB而ADB DAC∠=∠，∴CDA CAD∠=∠，∴CD CA=，∴CA CO OA==，∴△COA为等边三角形，∴60∠=︒．AOC直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一边例题1、如图，已知ABC⊥，则下列关系式正确的为（）∠=︒，AB AD∆中，AB AC=，30CA.BD CDBD CD= D.4=BD CDBD CD= B.2= C.3【答案】B【解析】该题考查的是特殊的直角三角形．C CAD∠=∠=︒，30∴DAC∆为等腰三角形，∴CD AD=，在Rt BAD∆中，30∠=︒，B∴22==BD AD CD故选B．例题2、如图，30∥交OA于C.若10PC=，则OC=__________，⊥于D，PC OBAOB∠=︒，OP平分AOB∠，PD OBPD=__________.【答案】10；5【解析】该题考查的是角平分线的性质定理和含30°直角三角形的性质．∵OP平分AOB∠，∴AOP BOP ∠=∠， ∵PC OB ∥，∴CPO BOP ∠=∠， ∴CPO AOP ∠=∠， ∴PC OC =， ∵10PC =，∴10OC PC ==，过P 作PE OA ⊥于点E ，∵PD OB ⊥，OP 平分AOB ∠， ∴PD PE =，∵PC OB ∥，30AOB ∠=︒ ∴30ECP AOB ∠=∠=︒在Rt ECP ∆中，152PE PC ==∴5PE PD ==随练1、 如图，ABC △中，90A ∠=︒，30C ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，12AC =，则BCD △中BC 边上的高是____【答案】 6【解析】 该题考察的是三角形的高． 过A 做BC 的高AE ， 在Rt △AEC 中，30C ∠=︒，由在直角三角形中30︒所对直角边等于斜角边的一半得：11=12622AE AC =⨯=．等边三角形与全等三角形综合例题1、 如图△ABC 为等边三角形，直线a ∥AB ，D 为直线BC 上任一动点，将一60°角的顶点置于点D 处，它的一边始终经过点A ，另一边与直线a 交于点E ．（1）若D 恰好在BC 的中点上（如图1）求证：△ADE 是等边三角形；ODB P CA E BA DCBA DCE（2）若D 为直线BC 上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】 见解析【解析】 （1）证明：∵a ∥AB ，且△ABC 为等边三角形， ∴60ACE BAC ABD ∠=∠=∠=︒，AB AC =， ∵BD CD =，∴AD ⊥BC∵60ADE ∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴18090DOC EDC ACB ∠=︒-∠-∠=︒， ∴30DEC DOC ACE ∠=∠-∠=︒，∴EDC DEC ∠=∠，∴EC CD DB ==，∴△ABD ≌△ACE ．∴AD AE =，且60ADE ∠=︒， ∴△ADE 是等边三角形；（2）在AC 上取点F ，使CF CD =，连结DF ， ∵60ACB ∠=︒，∴△DCF 是等边三角形， ∵60ADF FDE EDC FDE ∠+∠=∠+∠=︒， ∴ADF EDC ∠=∠，∵DAF ADE DEC ACE ∠+∠=∠+∠，∴DAF DEC ∠=∠， ∴△ADF ≌△EDC （AAS ），∴AD ED =， 又∵60ADE ∠=︒，∴△ADE 是等边三角形．例题2、 在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC=10cm ，等腰直角三角形DEF 的顶点D 为AB 的中点．（1）如图（1）所示，DE ⊥AC 于M ，BC ⊥DF 于N ，则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？（2）在（1）的基础上，将三角形DEF 绕着点D 旋转一定的角度，且AC 与DE 相交于M ，BC 与DF 相交于N ，如图（2），则DM 与DN 在数量上有什么关系？两个三角形重叠部分的面积是多少？【答案】 （1）DM=DN ；25cm 2（2）DM=DN ；25cm 2【解析】 （1）连接DC ，∵AC=BC ，D 为AB 的中点，∠ACB=90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°， ∴∠A=∠DCN ，AD=DC ， ∵DM ⊥AC ，DN ⊥BC ， ∴∠DMA=∠DNC ，∴△ADM ≌△CDN （AAS ）， ∴DM=DN ，则S 重叠=S △DNC +S △DMC =S △DMA +S △DMC =S △ADC =12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）； （2）连接CD ，则CD ⊥AB ，∠A=∠DCB=45°，AD=CD ，∵∠ADM+∠MDC=∠MDC+∠CDF=90°， ∴∠ADM=∠CDN ，∴△AMD ≌△CND （ASA ）， ∴DM=DN ， 同（1）可得S 重叠=12S △ABC =12×12×10×10=25（cm 2）．随练1、 如图，已知∥ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F ．（1）求证：∥ABE∥∥CAD ；（2）求∥BFD 的度数．【答案】 （1）见解析（2）60° 【解析】（1）证明：∥∥ABC 为等边三角形， ∥∥BAE=∥C=60°，AB=CA ， 在∥ABE 和∥CAD 中， AB CA BAE C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABE∥∥CAD （SAS ）．（2）∥∥BFD=∥ABE+∥BAD ， 又∥∥ABE∥∥CAD ， ∥∥ABE=∥CAD ．∥∥BFD=∥CAD+∥BAD=∥BAC=60°．随练2、 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD ∠=︒，BD DC AB +=．求证：60ACD ∠=︒．【答案】 见解析 【解析】 延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，BD CD AB +=，BE BD DE =+，BE AB ∴=，60ABD ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，AE AB AC ∴==，60E ∠=︒，在ACD ∆和AED ∆中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACD AED SSS ∴∆≅∆，60ACD E ∴∠=∠=︒．随练3、 已知：90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，CE ⊥BD ，垂足为E ．求证：2BD CE =．【答案】 见解析【解析】 本题考查全等三角形的判定与性质． 证明：延长CE 、BA 交于点F ． ∵CE ⊥BD 于E ，90BAC ∠=︒， ∴ABD ACF ∠=∠．又∵AB AC =，90BAD CAF ∠=∠=︒， ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）， ∴BD CF =．∵BD 平分ABC ∠， ∴CBE FBE ∠=∠． 有BE BE =， ∴CE EF =，∴12CE BD =，∴2BD CE =．勾股定理的证明知识精讲一．勾股定理定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222a b c+=．举例如图，在Rt ABC△中，A B C∠∠∠、、的对边分别用字母a、b、c来表示，则有：222a b c+=其中，当34a b==，时，则有斜边222223425c a b=+=+=变形22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．二．勾股定理的证明证明方法一：（赵爽弦图）22 2222222214()214()222ABCDS c ab b a c ab b ac ab b a abc b a==⨯+-∴=⨯+-=++-=+正方形证明方法二：（等面积法）()2222222214222ABCDS a b ab ca b ab ab ca b c=+=⨯+∴++=+∴+=正方形cbaCBA cabAFDCBEHG证明方法三：（总统证法）()()222222211222222ABCD a b a b S ab c a ab b ab c a b c ++==⨯+∴++=+∴+=梯形三．易错点：1. 运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式。

《12．3．1等腰三角形（第2课）》教学设计1、设计理念：本设计把“问题”贯穿于教学的始终，运用“提出问题——探究问题——解决问题”的教学方式，让学生体会发现结论和证明结论的乐趣，使学生在长知识的同时，也长智慧、长能力以及培养良好的思维品质。

让数学思想方法渗透于课堂教学之中。

本设计引导学生运用“转化”思想，将等腰三角形转化为两个全等的三角形；设计中注重首尾呼应，以渗透数学源于生活的思想，培养学生的数学应用意识。

2、学情分析：学生在学习了全等三角形、轴对称、线段的垂直平分线、以及等腰三角形的概念和性质的基础上通过动手操作、观察、探究等活动，运用学过的知识发展思维能力培养学生的应用意识和实践能力，使学生体会数学的作用，能生动活泼地投入到数学学习中去，学生学起来轻松愉快容易产生成就感。

3、教学任务分析：等腰三角形是新人教版八年级数学第十四章第三节的内容,它是在认识了轴对称性以及了解了全等三角形的判定的基础上进行的，是在学生学习了等腰三角形的概念及性质的基础上展开的。

本单元共五课时，本节为第二课时，重点研究等腰三角形的判定方法，从知识的承接关系上看，等腰三角形的判定与性质存在互逆关系，在探索方法和思路上基本相同，前者是探索特殊三角形的边角之间的关系，并将这种特殊关系应用于解决证明关于线段垂直或相等、角相等等问题，后者是根据三角形中部分元素之间的特殊关系探索三角形的形状特征，它既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形的预备知识,还是今后证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据,因此本节课具有承上启下的重要作用可采用探索发现法完成本节的教学,在教学中以学生参与为主,便于激发学生学习热情,体验成功的喜悦,通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条件,这样更有利于调动学生积极性,激发学生兴趣,使学生变被动学习为积极主动愉快学习,也符合数学教学的直观性和可接受性。

4、学习目标：1．1知识与技能目标：理解等腰三角形的判定方法，能够应用其进行有关证明或计算1.2经历对等腰三角形的判定方法的探索与应用过程，进一步体会添加辅助线构造全等三角形探获线段或角相等的化归转化思想，提高归纳演绎推理技能。

北师大数学八年级下册第一章三角形的证明第1节等腰三角形练习一、选择题1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80°B ．80°或20°C ．80°或50°D ．20° 答案：B解析：解答：当80°的角是底角时，等腰三角形两底角相等，根据三角形内角和定理得到顶角为20°；另一种情况是80°是顶角.分析：等腰三角形等边对等角，结合三角形内角和为180°，从而得出两种结果.2．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10或12D ．11或13答案：D解析：解答：当3是腰时，两腰和为6加上底边5，周长为11；当5是腰时，两腰和为10加上底边3，周长为13.分析：等腰三角形两腰相等，结合三角形中两小边和大于第三边.3．在等腰△ABC 中，AB =AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10答案：C解析：解答：设AB =AC =x BC =y则有12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩或者12,2152x x x y +=+=⎧⎨⎩ 所以x =8， y =11或者x =10，y =7.即三角形AB =AC =8，BC =11.或AB =AC =10，BC =7.故选C.分析：等腰三角形两腰相等，会解二元一次方程.4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或150°D ．60°或120°答案：D解析：解答：分两种情况：一种是这个高在三角形内,即此三角形是锐角三角形顶角=180°-90°-30°=60°，另一种是这个高落在一腰延长线上,即此三角形为钝角三角形顶角的补角=180°-90°-30°=60°，顶角=180°-60°=120°.分析：此题要注意分两种情况，要考虑锐角三角形和钝角三角形.5.在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18 °D．64°答案：B解析：解答：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°.∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°-36°=54°.分析：根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数.6. 在△ABC中，D是BC上的点，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°答案：A解析：解答：∵AB=AD, ∴∠ADB=∠B=70°.∵AD=DC，∴12C DAC ADB∠=∠=∠=35°.分析：等腰三角形两底角相等，再根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和.7. 在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D解析：解答：∵∠B=∠C，∴AB=AC=5．分析：等腰三角形的性质可得AB=AC，继而得出AC的长．8. 在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2答案：C解析：解答：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形.分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形.9. 在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A．1 cm＜AB＜4 cm B．5 cm＜AB＜10 cm C．4 cm＜AB＜8 cm D．4 cm＜AB＜10cm 答案：B解析：解答：∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，∴设AB=AC=x cm，则BC=（20-2x）cm，∴2x＞20−2x，即20−2x＞0.解得5 cm＜x＜10 cm．分析：设AB=AC=x，则BC=20-2x，根据三角形的三边关系即可得出结论.10. 在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）A. 4 cm B．2 cm C. 3 cm D.1 cm答案：C解析：解答：∵ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2ED，∵AE=6cm，∴ED=3cm.∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∴ED=CE，∴CE=3cm.分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED=CE，即可得出CE的值11.在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案B解析：解答：AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6-2=4，点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3∴点B到直线y=x的距离为6×32=33，∵33＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x 的交点为点C再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点12. 在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒答案：D解析：解答：设运动的时间为x cm/s，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20-3x，AQ=2x即20-3x=2x，解得x=4．分析：设运动的时间为x，则AP=20-3x，当APQ是等腰三角形时，AP=AQ，则20-3x=2x，解得x即可.13. 等腰但不等边的三角形的角平分线、高线、中线的总条数是（）A．3 B．5 C．7 D．9答案：C解析：解答：等腰但不等边的三角形底边上的角平分线、中线、高线三线重合成一条；腰上的三条线不重合，因而共有7条线.分析：画出图形，根据等腰三角形的性质进行分析即可得到答案14. 已知△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0，则∠A等于（）A. 60°B．45°C．90°D．不能确定答案：A解析：解答：△ABC中，三边a，b，c满足|b-c|+（a-b）2=0∴b-c=0，a-b=0，∴a=b=c，∴三角形是等边三角形，∴∠A=60°.分析：根据非负数的性质列式求解得到a=b=c，然后选择答案即可.15.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4：1，则底边长为（）A．16cm B．4cm C．20cm D．16cm或4cm答案：B解析：解答：因为两边长之比为4：1，所以设较短一边为x，则另一边为4x；(1)假设x为底边，4x为腰；则8x+x=36，x=4，即底边为4；(2)假设x为腰，4x为底边，则2x+4x=36，x=6，4x=24；∵6+6＜24，∴该假设不成立．所以等腰三角形的底边为4cm．分析：题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析，再结合三角形三边的关系将不合题意的解舍去.二、填空题16. 等腰三角形的一个外角为110°，则底角的度数可能是_______.答案：70°或55°解析：解答：当110°是等腰三角形底角的外角时，底角为70°；当110°是等腰三角形顶角的外角时，因为等腰三角形两底角相等，所以一个底角的度数等于外角110°的一半，即55°分析：外角与它相邻的内角互补，外角等于和它不相邻的两个内角和.17. 等腰三角形的对称轴是____________.答案：底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线解析：解答：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．分析：本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线．18.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1 =_______度，此三角形有_______个等腰三角形．答案：72°/3解析：解答：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）12⨯=72°.∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°-36°-72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏.19. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度是_________.答案：80°或50°或20°解析：解答：∵∠A的相邻外角是100°，∴∠A=80°．分两种情况：（1）当∠A为底角时，另一底角∠B=∠A=80°；（2）当∠A为顶角时，则底角∠B=∠C=(180°−80°)12⨯=50°（3）当∠B是顶角时，∠B=180°-2∠A=20°．综上所述，∠B的度数是80°或50°或20°.分析：已知给出了∠A的相邻外角是100°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.20. 在△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=_______.答案：5解析：解答：∵∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°.∴AB=AC=5.分析：由已知条件先求出∠C的度数是50°，根据等角对等边的性质求解即可.三、解答题.21.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，∠C=63°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长.答案：27°/2 解答：∵AB =AC ，∠C =63°，∴∠B =∠C =63°，∴∠BAC =180°-63°-63°=54°. 又∵AD 是BC 边上的高，∴AD 是∠BAC 的平分线，AD 是BC 边上的中线，∴∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 解析：分析：根据等腰三角形的两个底角相等求出顶角∠BAC 的度数，再由等腰三角形的三线合一性质即可求出∠BAD =12∠BAC =27°，DC =12BC =2. 22.在△ABC 中，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F .求证：AF 平分∠BAC答案：证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .又∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC =∠CDB =90°. 在△BCE 和△CBD 中，∠ABC =∠ACB ，∠BEC =∠CDB ，BC =BC.∴△BCE ≌△CBD （AAS ）.∴BE =CD.∵AB =AC ，BE =CD ，∴AB -BE =AC -CD ，∴AE =AD.∴在△AEF 和△ADF 中，AE =AD , AF =AF.△AEF ≌△ADF （HL ）.∴∠EAF =∠DAF ，AF 平分∠BAC.解析：分析：要通过两次三角形全等，再结合等腰三角形的性质得出结论.23.如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形.BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，求证：（1）△BCE ≌△ACD ； 答案：证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴∠BCA =∠DCE =60°，BC =AC =AB ，EC =CD =ED ，∴∠BCE =∠ACD .在△BCE 和△ACD 中，,,,BC AC BCE ACD CE CD =⎧∠=∠=⎪⎨⎪⎩∴△BCE ≌△ACD （S A S ）；（2）CF =CH ； 答案：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠CBF =∠CAH ．∵∠ACB =∠DCE =60°，在△BCF 和△ACH 中，∴∠ACH =60°，∴∠BCF =∠ACH ，,,,CBF CAH BC AC BCF ACH ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△BCF ≌△ACH （A S A ），∴CF =CH ；（3）△FCH 是等边三角形；答案：∵CF =CH ，∠ACH =60°，∴△CFH 是等边三角形．（4）FH ∥BD.答案：证明：∵△CHF 为等边三角形∴∠FHC =60°，∵∠HCD =60°，∴FH ∥BD解析：分析：由等边三角形的三边相等，三角都是60°，再根据平角的关系，就能证明△BCE ≌△ACD ；由△BCE ≌△ACD 得出对应角相等，结合等边三角形的边角特点证明△BCF ≌△ACH ，能得出CF =CH ；两边等，加上一个角60°推出△CFH 是等边三角形；根据内错角相等，两直线平行推出FH ∥BD .24. 如图，已知AB =AC =AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C =2∠D答案：证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.∴∠ABC=∠CBD+∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.解析：分析：首先根据AB=AC=AD，∵AD∥BC，∴∠D=∠DBC可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D25.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB=5，AC=4，求△ADE的周长.答案：解答：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.解析：分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．。

教案名称：等腰三角形课时：2课时年级：八年级教学目标：1.理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质和判定方法。

2.能够运用等腰三角形的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、逻辑思维能力和合作学习能力。

教学重点：1.等腰三角形的定义和性质。

2.等腰三角形的判定方法。

教学难点：1.等腰三角形性质的证明。

2.等腰三角形在实际问题中的应用。

教学准备：1.教学课件或黑板。

2.练习题。

教学过程：第一课时：一、导入（5分钟）1.引导学生回顾三角形的定义和性质。

2.提问：什么样的三角形是特殊的三角形？等边三角形有什么性质？二、新课导入（15分钟）1.引入等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2.讲解等腰三角形的性质：a.两腰相等b.两底角相等c.底边上的中线、高线和角平分线重合（三线合一）3.示例讲解等腰三角形的判定方法：a.两边相等的三角形是等腰三角形b.两角相等的三角形是等腰三角形c.一边及其对角相等的三角形是等腰三角形三、课堂练习（15分钟）1.判断下列图形是否为等腰三角形，并说明理由。

2.已知等腰三角形ABC，AB=AC，求证：BD=CD。

四、小结（5分钟）1.学生总结等腰三角形的性质和判定方法。

2.教师强调等腰三角形在实际问题中的应用。

第二课时：一、复习导入（5分钟）1.复习等腰三角形的定义和性质。

2.提问：如何判定一个三角形是等腰三角形？二、新课导入（15分钟）1.讲解等腰三角形的判定方法：a.两边相等的三角形是等腰三角形b.两角相等的三角形是等腰三角形c.一边及其对角相等的三角形是等腰三角形2.示例讲解等腰三角形在实际问题中的应用。

三、课堂练习（15分钟）1.已知等腰三角形ABC，AB=AC，求证：角B=角C。

2.已知等腰三角形ABC，AB=AC，求证：角A的角平分线也是BC 的中线。

四、小结（5分钟）1.学生总结等腰三角形的判定方法和应用。

2.教师强调等腰三角形在实际问题中的重要性。

《等腰三角形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 加深学生对等腰三角形定义和性质的掌握，并能运用相关知识点解决问题。

2. 提高学生的观察力和几何分析能力，加强实践应用，促进其主动学习。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续的几何知识学习打下基础。

二、作业内容作业内容主要围绕等腰三角形的性质和判定展开，具体包括：1. 复习等腰三角形的定义：两边相等的三角形为等腰三角形，并让学生回顾等腰三角形的性质，如两底角相等、顶角与底角的关系等。

2. 练习题设计：- 基础题：包括判断题、选择题等，旨在检验学生对等腰三角形基本知识的掌握情况。

- 应用题：通过实际情境让学生运用等腰三角形的性质解决问题，如“在等腰三角形中求高”、“根据给定角度判断是否为等腰三角形”等。

- 拓展题：设计一些涉及多边形与等腰三角形关系的题目，引导学生进行更深层次的理解和思考。

3. 实践活动：让学生自行绘制等腰三角形，并通过测量和验证其性质来巩固知识。

可以小组形式进行讨论和交流，增强学生的合作学习能力。

三、作业要求1. 认真审题：仔细阅读题目要求，理解题意后再进行作答。

2. 独立思考：作业应以个人思考为主，积极寻求解决问题的方法。

3. 规范书写：答案要清晰明了，步骤要完整，符合数学规范。

4. 时间安排：合理安排时间，确保在规定时间内完成作业。

5. 互相检查：完成作业后，可与同学互相检查，找出可能存在的错误并改正。

四、作业评价1. 评价标准：依据学生的知识掌握程度、解题思路和解题步骤进行评价。

重点评价学生对等腰三角形性质的运用是否准确、解题过程是否规范、是否有创新思维等。

2. 评价方式：采取教师评价、同学互评和自评相结合的方式，全面了解学生的学习情况。

五、作业反馈1. 教师反馈：教师根据学生的作业情况，进行总结和反馈，指出学生在解题过程中存在的问题和不足，并给出改进建议。

2. 学生自我反思：学生根据教师的反馈和同学的建议，反思自己的学习过程和方法，找出需要改进的地方。

《等腰三角形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 巩固学生对等腰三角形基本概念的理解。

2. 掌握等腰三角形的性质和判定方法。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

二、作业内容作业内容主要围绕等腰三角形的性质和判定展开，具体包括以下方面：1. 基础知识巩固：要求学生回顾并熟记等腰三角形的定义、性质（如两腰相等、两底角相等）及判定条件（如两边相等则形成等腰三角形）。

2. 练习题：- 基础题：选择、填空题，如“下列哪个条件可以判定一个三角形为等腰三角形？”等。

- 应用题：结合实际生活场景，设计等腰三角形相关的应用问题，如“在建筑学中，哪些情况下会用到等腰三角形的性质？”并要求绘制简单的等腰三角形。

- 探究题：设计如“已知一个等腰三角形，能否通过其性质推导出其他角或边的关系？”等题目，培养学生自主探究的能力。

3. 思考题：引导学生对等腰三角形的性质进行深度思考，如“如何利用等腰三角形的性质解决实际问题？”等问题。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不抄袭他人答案。

2. 对于练习题部分，需确保每道题目都经过自己的思考和理解，不得随意搪塞。

3. 对于绘制的图形，需使用几何工具进行规范作图，保证准确性。

4. 提交时需在作业本上工整书写答案，如有不明白的地方，可以写出自己的解题思路和疑惑点。

四、作业评价1. 教师对学生的作业进行批改，并给出相应的分数或等级评价。

2. 对于正确率较高的题目给予肯定和鼓励；对于错误较多的题目进行讲解和指导。

3. 对于学生的解题思路和探究精神给予正面反馈，并鼓励其继续努力。

五、作业反馈1. 教师将作业中出现的共性问题进行汇总和讲解，帮助学生查漏补缺。

2. 对于个别学生的问题，进行单独辅导和解答。

3. 鼓励学生之间互相交流学习心得和解题经验，共同进步。

通过以上是初中数学课程《等腰三角形》作业设计方案的第一至第五部分。

通过这样的作业设计，我们期望学生能够更好地理解和掌握等腰三角形的相关知识，同时也培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。