高考数学复习点拨 巧用几何意义解题

高考数学考点归纳之 解析几何计算处理技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．考点一 回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62[解题观摩] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62. [答案] D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析：选A 由题意可得S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A＝|BF |－p2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22.答案：22考点二 设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 [解题观摩] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；①“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )， 分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ， 由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c， 整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22. 答案：22考点三 巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞ 3.[解题观摩] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1， 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4. 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3. 法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2，解得k 2＞3，所以|k |＞ 3.法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ. |AP |＝|OA |⇔A Q ⊥OP ⇔k A Q ×k ＝－1. 又A (－a,0)，所以k A Q ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak A Q cos θ＝2ak A Q . 从而可得|2ak A Q |≤ b 2＋a 2k 2A Q ＜a1＋k 2A Q ，解得|k A Q |＜33，故|k |＝1|k A Q |＞ 3. [关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点训练]设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0， 则有Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ， 那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ， 可得线段AB 的中点M (2t 2＋m,2t )， 而由题意可得直线AB 与直线MC 垂直， 即k MC ·k AB ＝－1，可得2t －02t 2＋m －5·1t ＝－1，整理得m ＝3－2t 2(当t ≠0时)，把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4. 故r 的取值范围为(2,4)．考点四 数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．[典例] 已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．[解题观摩] 设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|， 则△APF 的周长为|P A |＋|PF |＋|AF |＝|P A |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ， 由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小， 则|P A |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线， 由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得 y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26， 所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6. [答案] 126 [关键点拨]要求①APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4 B.5 C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.考点五 妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．[典例] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解题观摩] 把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎫32a ，b 2， 而F (c,0)， 则FB ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC ＝⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2，又∠BFC ＝90°， 故有FB ·FC ＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2·⎝⎛⎭⎫32a －c ，b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.[答案]63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练] 设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为( )A ．90° B.60° C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 22＝1，x 0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4.∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 20x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°. 考点六 巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] 已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[解题观摩] (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝⎛⎭⎫－65，45. (2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k 2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝⎛⎭⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝k ⎝⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可得k PN ＝5k4－4k 2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝⎛⎭⎫－65，0. [关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1， 因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.[课时跟踪检测]1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．25D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2， 所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．故直线OM 的斜率的最大值为22. 3．(2019·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5 B.4 C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn |≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a |PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3] B.[3，＋∞) C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c ≤4a ＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e ≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ＞1)，则λ的值为( )A ．5 B.4 C.43D.52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AF ―→＝λFB ―→，得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝⎛⎭⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则(y 1＋y 2)2y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6.已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，过椭圆上一点A (0,1)作直线l 交椭圆于另一点B ，P 为线段AB 的中点，若直线AB ，OP 的斜率存在且不为零，则k AB k OP ＝________.解析：法一：(特殊值法)取B ⎝⎛⎭⎫1，32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2＋34，则k AB ＝3－22，k OP ＝2＋32， 故k AB ·k OP ＝3－22×2＋32＝－14. 法二：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 得x B ＝－8k 1＋4k 2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 1＋4k 2，1－4k 21＋4k 2.则P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k 1＋4k 2，11＋4k 2，∴k AB ＝k ，k OP ＝－14k ，∴k AB ·k OP ＝－14.法三：(点差法)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 2A4＋y 2A ＝1，x2B4＋y 2B＝1，两式相减得x 2A －x 2B 4＋y 2A －y 2B ＝0， 化简得y A ＋y B x A ＋x B ·y A －y B x A －x B ＝－14，即y A －y B x A －x B ·y 0x 0＝－14，∴k AB ·k OP ＝－14.答案：－147．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴P A ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)， PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴P A ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2)＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ＝2x 2＋4x ＋3＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，P A ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b 2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q (x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b 218－b 2＝1，解得b2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的右顶点为A ，上顶点为B .设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：由题意知，A (2,0)，B (0,1)，设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2，直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1，从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42(x 0y 0－x 0－2y 0＋2)＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. 若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2 ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2＞1，所以k ＝76.。

高考数学几何题如何运用几何知识解题高考数学中的几何题一直以来都是考生们头疼的难题。

运用几何知识解题需要一定的技巧和经验。

本文将介绍一些解决高考数学几何题的方法和技巧，帮助考生们在考试中取得好成绩。

一、基础几何知识的掌握要想在高考数学几何题中灵活运用几何知识，首先需要扎实的基础。

考生们应该熟练掌握基本的几何定理和公式，例如角的性质、三角形的性质、平行线与垂直线的判定等。

二、图形的认识和构造高考数学几何题中经常涉及到图形的认识和构造，考生们应该具备正确识别图形的能力。

可以通过观察、分析题目中给出的条件，建立几何模型，从而更好地解题。

同时，要掌握一些常见的图形构造方法，例如垂直平分线的构造、角平分线的构造等。

三、运用相似性解题在高考数学几何题中，相似性是一个非常重要的概念。

相似性是指两个图形在形状上相似，但大小可以不同。

考生们要善于利用相似性解决几何题，可以通过相似三角形的性质来求解未知量，也可以通过比例关系来解题。

四、利用等腰、等边等特殊性质在高考数学几何题中，等腰三角形、等边三角形等特殊性质经常被考察。

考生们应该熟悉这些特殊性质，并且灵活运用。

对于等腰三角形，可以利用其对称性解决问题；对于等边三角形，可以利用其边长相等的性质解题。

五、刻画几何问题为代数问题有时候，高考数学几何题可以通过将几何问题转化为代数问题来解决。

考生们应该能够将几何条件通过代数式表达出来，并且运用代数方法解题。

这种方法常常适用于求解面积、长度等数量性质的问题。

六、综合运用几何知识解题在高考数学几何题中，往往需要综合运用多个几何知识点才能解决问题。

所以，考生们要善于综合运用几何知识，通过建立几何模型，分析给出的条件，灵活运用相似性、等腰、等边等特殊性质，最终求解出未知量。

综上所述，高考数学几何题需要考生们熟练掌握基础几何知识，具备图形的认识和构造能力，并且善于运用相似性、等腰、等边等特殊性质解题。

同时，要注意将几何问题转化为代数问题进行求解，并且在解题过程中综合运用多个几何知识点。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题97 利用复数几何意义求与模有关的最值问题一、复数的几何意义每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数与它对应.复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应的关系，复数z=a+bi在复平面内的对应点Z(a,b)二、复数模的几何意义⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|，1、向量OZ即|z|=|a+bi|=√a2+b2，其中a、b∈R|z|表示复平面内的点Z(a,b)到原点的距离；2、|z1−z2|的几何意义：复平面中点Z1与点Z2间的距离，如右图所示。

示例：|z+(1+2i)|表示：点Z到点(−1,−2)的距离小结：复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z=x+yi，则|z−(a+bi)|表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，则|z−(a+bi)|=r表示以(a,b)为圆心，以r为半径的圆上的点.三、圆外一点到圆上一点的距离最值问题如图所示，点P 在圆O 上运动，在圆上找一点P 使得PA 最小（大）如图，当P 为OA 连线与圆O 交点时，PA 最小，最小为OA −r ；当P 在AO 延长线与圆O 交点P ′时，PA 最大，最大为OA +r题型一 与复数有关的轨迹（图形）【例1】已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i. 设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？【答案】以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．【解析】|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是:以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．【变式1-1】已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( )A ．一个圆B ．线段C ．两点D ．两个圆【答案】A【解析】∵|z |2－2|z |－3＝0，∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆．故选A.【变式1-2】若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【答案】2π【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则由|z －i|≤ 2可得 x 2＋(y －1)2≤2，即x 2＋(y －1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，2为半径的圆及其内部，所以z 在复平面内所对应的图形的面积为2π.【变式1-3】（多选）|(3+2i )−(1+i)|表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模【答案】ACD【解析】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确.【变式1-4】满足条件|z －2i|＋|z ＋1|＝5的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆【答案】C.【解析】|z －2i|＋|z ＋1|＝5表示动点Z 到两定点(0，2)与(－1，0)的距离之和为常数5，又点(0，2)与(－1，0)之间的距离为5，所以动点的轨迹为以两定点(0，2)与(－1，0)为端点的线段．【变式1-5】在复平面内，已知定点M 与复数m =1+2i ，那个点Z 与复数z =x +yi ，问：满足不等式|z −m |≤2的点Z 的集合是什么图形？【答案】以(1,2)为圆心，半径为2的圆及圆的内部【解析】不等式|z −m |≤2即|(x +yi )−(1+2i)|≤2，根据复数的几何意义可得：点(x,y)到点(1,2)的距离小于等于2所以点Z 的集合表示以(1,2)为圆心，半径为2的圆及圆的内部题型二 模长最值问题【例2】已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为（ ）A ．1B ．2C ． 5D ．3【答案】D【解析】∵|z |＝2，∴复数z 对应的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，而|z －i|表示圆上一点到点(0,1)的距离，∴|z －i|的最大值为圆上点(0，－2)到点(0,1)的距离，易知此距离为3，故选D ．【变式2-1】已知复数z 的模为1，则2z +的最大值为__________.【答案】3【解析】设(),z x y =，复数复数z 的模为1，表示以原点O 为原点，1为半径的圆，∴()22z x yi +=++=，即表示的是圆上的点(),x y 到点()2,0P -的距离， 因此2z +的最大值为213OP R +=+=，【变式2-2】已知|z |＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值．【答案】最大值为4，最小值为0【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则由|z |＝2知x 2＋y 2＝4，故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z ＋1＋3i|表示点(x ，y )到点(－1，－3)的距离．又因为点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4， 即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.【变式2-3】已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．【答案】4【解析】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，【变式2-4】若z C ∈，且4z =，则1z i +-的取值范围是________.【答案】[44-+【解析】因为z C ∈，所以设(,)z x yi x y R =+∈因为4z =，所以2216x y +=，复数z 在复平面对应点的轨迹是以原点为圆心半径为4的圆O. 式子1z i +-的几何意义是：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离,圆心O 到(1,1)-2,由圆的几何性质可知：圆上任意一点(,)x y 到(1,1)-的距离的最大值为42最小值为42, 因此1z i +-的取值范围是[42,42]-+.【变式2-5】已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______ 51【解析】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点(1,1)距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=．【变式2-6】若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．【答案】最大值为3，最小值为1【解析】根据复数的几何意义可知|z ＋3＋i|≤1表示以(−√3,−1)为圆心，1为半径的圆上及圆内如图所示，2|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−√3)2+(−1)2=2. 由圆的几何性质可知：|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.【变式2-7】若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________．【答案】[]3,7 【解析】342z i ++≤的几何意义为：复平面内动点Z 到定点()3,4A --的距离小于等于2的点的集合，z 表示复平面内动点Z 到原点的距离， ∵22||(3)(4)5OA =-+-=，5252z ∴-≤≤+. ∴z 的取值范围为[]3,7．【变式2-8】若cos sin z i θθ=+(R i θ∈，是虚数单位)，则22z i --的最小值是（ ） A.22C.221D.221【答案】D【解析】由复数的几何意义可知：cos sin z i θθ=+表示的点在单位圆上，而|z −2−2i|表示该单位圆上的点到复数22i +表示的点Z 的距离， 由图象可知：22z i --的最小值应为点A 到Z 的距离， 而22222OZ =+=，圆的半径为1， 故22z i --的最小值为221，。

高考数学几何题如何灵活运用几何知识解题高考数学中的几何题在许多考生看来是一道难题，但只要我们能够灵活运用几何知识，掌握解题思路，就能够应对这些题目。

下面将介绍一些常见的高考数学几何题，并探讨如何灵活运用几何知识解题。

一、线段的垂直平分线在解题过程中，我们经常会遇到线段垂直平分线的问题。

对于这类问题，我们可以利用垂直线段平分定理来解决。

例题1：已知线段AB的中点为O，求线段CD的垂直平分线。

解题思路：根据题目中的条件，我们可以确定线段CD的中点为M。

由于垂直线段平分定理成立，所以OM与CD垂直。

因此，OM就是线段CD的垂直平分线。

二、三角形的中位线三角形的中位线是连接三角形两个顶点和对边中点所形成的线段。

在解题过程中，我们常常需要计算三角形的中位线长度。

例题2：在△ABC中，AD是边BC的中线，且AD = 6 cm，BD = 4 cm，求AC的长度。

解题思路：由于AD是边BC的中线，根据中位线定理，可以得知AC = 2AD。

因此，AC = 2 × 6 = 12 cm。

三、正方形和圆的关系在几何题中，正方形和圆的关系也是一个常见的考点。

我们需要掌握正方形和圆的性质，理解它们之间的关系，从而解决相关题目。

例题3：在正方形ABCD中，点O为对角线BD上一点，若OA =10 cm，求正方形ABCD的面积。

解题思路：将正方形ABCD分为四个小三角形。

由于O为对角线BD上一点，所以两个小三角形AOB和DOC全等。

由此，我们可以得到三角形AOB和三角形DOC的边长比为1:2。

设边长为x，则有x +2x + x = 10，解得x = 2。

因此，正方形的边长为2 cm，面积为4 cm²。

四、平行四边形的性质在解平行四边形的题目时，我们需要利用平行四边形的性质，如相邻角互补、对角线互相平分等，从而得出正确答案。

例题4：在平行四边形ABCD中，角A的度数为60°，角C的度数为120°，求角B和角D的度数。

高考数学解析几何题如何运用几何知识解题解析几何是高考数学中的重要内容，也是一道考察学生运用几何知识解题能力的重要题型。

本文将以高考数学解析几何题为例，介绍如何运用几何知识解题。

一、直线与平面的交点解析几何中，直线与平面的交点是较为常见的题型。

当需要求解直线与平面的交点时，我们可以先列出直线和平面的方程，然后联立求解。

例如，已知直线L:2x+3y-4=0与平面α:x+y+z-6=0相交，求交点的坐标。

解：首先，我们可以化简直线和平面的方程为参数方程：直线L:x=2-3t, y=t, z=t平面α:x+y+z=6然后，将直线的参数方程代入平面的方程，得到：(2-3t) + t + t = 64t = 4t = 1将t=1代回直线的参数方程，得到交点的坐标为：x = 2-3(1) = -1z = 1所以，交点的坐标为(-1, 1, 1)。

二、直线与平面的位置关系除了求解交点外，直线与平面的位置关系也是解析几何中常见的题型。

当需要判断直线与平面的位置关系时，我们可以比较直线与平面的方程的系数。

例如，已知直线L:2x-y+1=0与平面α:x-y+z+2=0的位置关系是相交，求直线L在平面α上的投影长度。

解：首先，我们可以化简直线和平面的方程为参数方程：直线L:x=1+t, y=2t+1, z=0平面α:x=y-2z-2然后，将直线的参数方程代入平面的方程，得到：(1+t) = (2t+1)-2(0)-21+t = 2t-1t = 2将t=2代回直线的参数方程，得到直线L在平面α上的交点坐标为：x = 1+2 = 3y = 2(2)+1 = 5所以，直线L在平面α上的交点坐标为(3, 5, 0)。

三、直线与直线的位置关系除了与平面的位置关系外，直线与直线的位置关系也是解析几何中常见的题型。

当需要判断直线与直线的位置关系时，我们可以比较两条直线的方程的系数。

例如，已知直线L1:2x+y-1=0与直线L2:x+2y-3=0的位置关系是相交，求交点坐标。

专题06 导数的几何意义灵活应用【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是：0lim x ∆→ Δy Δx＝0lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.2．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，即f ′(x )＝lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )上_____________________的斜率k ，即k ＝_______；切线方程为______________________．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的___________ 4．基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________； ③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________．5．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1.变化率例1. 【河南2019名校模拟】已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】，而，易得，在上单调减少，在上单调增加，故,故选B.练习1．设()f x 在0x 可导，则等于（ ）A ．()04'f xB ．()0'f xC ．()02'f xD ．()03'f x 【答案】A【解析】由题得==4()0f x '，故选A.练习2．设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由，，故，即，故选：A ． 2.导数的定义例2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据导数的定义得到=,即可得到答案.【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：=故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y 的变化量，分母是x 的变化量即可.练习1．设函数()f x 在1x =处可导，则（ ）A ．()1f 'B ．()112f -' C ．()21f -' D ．()1f -' 【答案】B【解析】∵函数()f x 在1x =处可导，∴，∴．选B ．练习2．已知函数在处可导，若，则A ．B ．C ．D ． 【答案】B【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算. 3.求倾斜角例3．【福建省莆田第六中学2019第一次模拟】将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（(]0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π【答案】D 【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90︒时，其图象都依然是一个函数图象，因为0x ≥是11y x '=+是x 的减函数，且01y <'≤,当且仅当0x =时等号成立，故在函数的图象的切线中， 0x =处的切线倾斜角最大，其值为4π，由此可知4max πα=，故选D.练习1．设点P 在曲线上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ． D ．【答案】D【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得的最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ，求出函数f （x ）的导数，利用导数的几何意义可得k ＝f ′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．【详解】根据题意，设切线的斜率为k ，其倾斜角是θ， f （x ）lnx ﹣x ，则f ′（x ）x 21，则有k＝f′（1），则tanθ，又由0≤θ＜π，则θ，故选：B．【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．练习3.．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出曲线在处切线斜率，从而可得进而得到.【详解】函数的定义域为，时，，即且为锐角，则故选A.4.曲线上某点处的斜率例4．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届】已知函数，在点处的切线为，则切线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，求得，得到，得出切线为的斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求解。

几何意义是指从几何角度来解释代数式所具有的某种特殊含义.数学中的许多代数式都有它相应的几何意义，运用代数式的几何意义，可快速架起“数”和“形”之间的桥梁，将代数问题化为几何问题，利用几何知识来解题，这样不仅能转换解题的思路，还能减少运算量，提升解题的效率.一、巧用直线参数方程中t 的几何意义解题若直线l 经过定点M 0(x 0,y 0)，且倾斜角为α，则直线l 的参数方程为{x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α,t 为参数.若M 1、M 2为直线l 上的两点，且点M 1、M 2对应的参数分别为t 1、t 2，则有如下结论成立：①||M 0M 1=||t 1,||M 0M 2=||t 2，||M 1M 2=||t 1-t 2；②若弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数t M =t 1+t 22.在解答与线段有关的问题时，可以直接根据直线的参数方程中t 的几何意义，快速求得线段的长以及线段的中点.例1.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为α，且经过定点P (4,2)；以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，将极坐标方程ρ=4cos θ表示的曲线记作C .若直线l 与曲线C 相交，且两个交点分别为M 、N ，求||PM +||PN 的取值范围．解：因为直线l 的倾斜角为α，且经过定点P (4,2)，所以可设直线l 的参数方程为{x =4+t cos α,y =2+t sin α.（t为参数）在方程ρ=4cos θ的两边同时乘以ρ可得ρ2=4ρcos θ，设x =ρcos θ,ρ2=x 2+y 2，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4x =0.将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程x 2+y 2-4x =0中，化简得t 2+4(sin α+cos α)t +4=0.因为直线l 与曲线C 相交，所以Δ=16(sin α+cos α)2-16>0，化简得sin α∙cos α>0.又α∈[)0,π，所以α∈(0,π2)，所以{t 1+t 2=-4(sin α+cos α)<0，t 1∙t 2=4>0，由此可知t 1<0，t 2<0.因为点P 在直线l 上，所以由参数t 的几何意义得||PM +||PN =||t 1+||t 2=-(t 1+t 2)=4(sin α+cos α)=42sin(α+π4).由α∈(0,π2)，得sin(α+π4)，所以42sin(α+π4)∈(4,42].故||PM +||PN 的取值范围是(4,42]．解答本题，要先设出直线的参数方程，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；然后将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，通过消元，得到关于t 的一元二次方程.那么由直线的参数方程中参数t 的几何意义可知，此时直线l 与曲线C 的交点M 、N 对应的参数即为方程的两根t 1、t 2，于是||PM +||PN =||t 1+||t 2=-(t 1+t 2)，根据一元二次方程的根与系数的关系建立关系式，即可解题.例2.已知直线l 的参数方程为ìíîïïïïx =-2,y =-4，其中t 为参数，曲线的极坐标方程为ρsin 2θ=2a cos θ()a >0.若点P (-2,-4)，设直线l 与曲线交于不同的两点M ,N ，且||MN 是||PM 、||PN 的等比中项，求实数a的值．解：在ρsin 2θ=2a cos θ的两边同时乘以ρ，可得ρ2sin 2θ=2aρcos θ，设x =ρcos θ,y =ρsin θ，得曲线的直角坐标方程为y 2=2ax (a >0).吴飞鹏36将ìíîïïïïx =-2+,y =-4+,代入y 2=2ax 中，整理得：12t 2-(42+2a )t +16+4a =0.由韦达定理得t 1+t 2=82+22a ，t 1∙t 2=32+8a .由参数t 的几何意义可知||PM =||t 1，||PN =||t 2，||MN =||t 1-t 2.因为||MN 是||PM 、||PN 的等比中项，所以||MN 2=||PN ∙||PM ，即||t 1-t 22=||t 1∙||t 2，由a >0知t 1∙t 2>0，所以(t 1+t 2)2=5t 1t 2，可得()82+22a 2=5()32+8a ，解得a =1.解答本题，需明确直线的参数方程中t 的几何意义，将t 1、t 2看作直线l 上的两点M 、N 对应的参数，据此得出||PM =||t 1、||PN =||t 2、||MN =||t 1-t 2，将问题转化为线段问题，再根据比例中项的定义建立关系式.二、巧用极径ρ的几何意义解题我们知道，在极坐标系中，极径ρ的几何意义是以原点O 为起点的线段长.在解答有关线段的长度问题时，若线段的一个端点为坐标原点，则可构造极坐标系，将线段长设为ρ，其线段与x 轴的夹角设为θ，建立关系式，灵活运用极径ρ的几何意义来求线段的长、建立关于线段长的关系式.例3.已知直线l 的方程为x +y =2，圆的方程为x 2+y 2=4，设点P 在直线l 上，射线OP 交圆于点R ，点Q 在OP 上，且满足||OQ ∙||OP =||OR 2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程.解：以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入直线l 和圆的直角坐标方程中，得直线l 的极坐标方程为：ρ(cos θ+sin θ)=2，圆的极坐标方程为：ρ=2.设点P ，Q ，R 的极坐标分别为()ρ1,θ，()ρ,θ，()ρ2,θ，由||OQ ∙||OP =||OR 2得ρρ1=ρ22，又ρ2=2，ρ1=2cos θ+sin θ，所以2ρcos θ+sin θ=4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ).由于OP 、OQ 、OR 都经过点O ，所以设P 、Q 、R 的极坐标分别为()ρ1,θ、()ρ,θ、()ρ2,θ.根据极径ρ的几何意义，由||OQ ∙||OP =||OR 2得ρρ1=ρ22，从而求得点Q 轨迹的极坐标方程.例4.已知椭圆的参数方程为{x =2cos φ,y =sin φ,（φ为参数）A 、B 是椭圆上的动点，且OA ⊥OB ，其中O 为坐标原点.证明1||OA 2+1||OB 2为定值.解：由题意知椭圆C :{x =2cos φ,y =sin φ,的普通方程为x 24+y 2=1，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρcos 2θ4+ρ2sin 2θ=1，化简得1ρ2=cos 2θ4+sin 2θ.因为OA ⊥OB ，不妨设A (ρ1,θ1)，B (ρ2,θ1+π2)，因为A 、B 两点在椭圆上，所以1ρ12=cos 2θ14+sin 2θ1，1ρ22=sin 2θ14+cos 2θ1，所以1||OA 2+1||OB 2=1ρ12+1ρ22=cos 2θ14+sin 2θ1+sin 2θ14+cos 2θ1=54.本题中OA 、OB 以坐标原点为起点，于是以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，将椭圆的方程化为极坐标方程.而A 、B 两点在椭圆上，则可根据极径的几何意义，以及OA 与OB 的关系，设A (ρ1,θ1)、B (ρ2,θ1+π2)，再将其代入椭圆的极坐标方程中进行运算，即可求得问题的答案.可见，在解答与直线、线段有关的问题时，灵活运用直线的参数方程中参数的几何意义以及极坐标方程中极径的几何意义，能快速确定线段的表达式以及长度.这有利于简化运算，能有效地优化解题的过程，提升解题的效率.（作者单位：江苏省淮北中学）37。

学法指导２０２３年７月上半月㊀㊀㊀平几 知识巧辅助,高考问题妙破解◉安徽省宿城第一中学㊀陈玉龙㊀㊀平面几何作为初中数学的一个重要组成部分,特别是其中平行直线㊁三角形㊁平面四边形㊁圆等相关的平面几何知识,更是高中数学问题非常常用的问题背景㊁知识载体与辅助手段等．在破解一些高考真题时,也经常会回归到初中平面几何知识,渗透平面几何思维与方法等来分析与求解,真正实现初㊁高中数学知识之间的连续性与延伸性．下面结合２０２１年高考真题,就平面几何在破解高考数学问题中的辅助应用加以分类剖析．１巧借直线知识辅助破解直线知识主要包括平面内两直线平行㊁垂直的判定与性质等相关知识点,结合直线间位置关系的转化,确定边㊁角㊁线段长度等之间的关系,更加方便处理一些与平面几何图形有关的高中数学问题．例１㊀(２０２１年高考数学浙江卷第１４题)如图１,在әA B C 中,øB ＝６０ʎ,A B ＝２,M 是B C 的中点,AM ＝２３,则A C ＝;c o s øM A C ＝．图１㊀图２分析:通过平面几何图形的直观性,取相应边的中点,结合平面几何知识确定线段长度关系与平行关系;利用解三角形思维与勾股定理的应用来确定垂直关系,通过平行线的性质转化垂直关系,确定对应的线段长度;结合解直角三角形来达到目的．解析:如图２所示,取A C 的中点N ,连接MN ．因为M 是B C 的中点,所以MN ＝１２A B ＝１,且MN ʊA B ．在әA B M 中,由余弦定理,可得AM ２＝B A ２＋B M ２－２B A B M c o s ６０ʎ,则有(２３)２＝２２＋B M ２－２ˑ２ˑ１２B M ,整理得B M ２－２B M －８＝０,解得B M ＝４或－２(舍去)．由A B ２＋AM ２＝B M ２,知øB AM ＝９０ʎ．结合MN ʊA B ,可得MN ʅAM ．所以A N ＝AM ２＋MN ２＝１３,从而A C ＝２A N ＝２１３．在R t әAMN 中,c o s øM A C ＝AMA N＝２３１３＝２３９１３．故填答案:２１３;２３９１３．点评:借助平面几何的相关知识与思想方法,合理添加辅助线,更加直观形象;通过平面几何中平行线㊁三角形的相关知识来辅助转化与应用,综合解三角形的相关知识来分析与处理,逻辑推理与直观想象核心素养得以更好地体现．２巧借三角形知识辅助破解三角形知识是破解高中数学问题最常用的基本知识之一,包括三角形的内角和定理㊁中线定理㊁三角形相似与全等㊁直角三角形等众多知识点,都可用于破解与之相关的高中数学问题．例２㊀(２０２１年高考数学新高考Ⅱ卷第１６题)已知函数f (x )＝|e x－１|,x １＜０,x ２＞０,函数f (x )的图象在点A (x １,f (x １))和点B (x ２,f (x ２))的两条切线互相垂直,且分别交y 轴于M ,N 两点,则|AM ||B N |的取值范围是．分析:结合分段函数的表示以及求导处理,利用导数的几何意义确定两切线的斜率;根据两切线相互垂直,得到对应参数之间的关系式;结合平面几何知识,通过两直角三角形相似的判断与性质建立对应的比值关系式;结合斜率的定义来确定线段相关比值的取值范围问题．解析:由题意可得f (x )＝e x－１,x ȡ０,－e x＋１,x ＜０,{求导可得f ᶄ(x )＝e x,x ȡ０,－e x,x ＜０,{则知k A M ＝－e x ,k B N ＝e x．由于函数f (x )的图象在A ,B 两点处的切线互相垂直,因此AM ʅB N ,则有k A M k B N ＝－e x ＋x＝－１,可得e x ＋x＝１,即x １＋x ２＝０．图３如图３所示,作A E 垂直y 轴于点E ,B F 垂直y 轴于点F ,易得әA E M ʐәN F B ,|B F |＝|A E |,则有|AM ||B N |＝|M E ||B F |．由题意得切线AM 的方程为y ＋e x －１＝－e x (x －x １),所以y M ＝x １e x －e x＋１．故|M E |＝|y E －y M |＝－x １e x．又|B F |＝x ２＝－x １,所以可得|AM ||B N |＝－x １e x－x １＝e xɪ(０,１)．８４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年７月上半月㊀学法指导㊀㊀㊀㊀故填答案:(０,１)．点评:结合函数图象的直观性,回归平面几何图形的直观形象,通过直线的垂直关系构建相应的三角形,借助直角三角形相似的判定与性质巧妙转化线段长度的比值问题,有效破解．３巧借平面四边形知识辅助破解平面四边形知识主要包括正方形㊁长方形㊁平行四边形㊁菱形㊁梯形等一些常见的平面图形及其相关几何性质,通过合理过渡,巧妙转化,与三角形㊁直线㊁角等相关知识加以融合,实现平面四边形辅助破解的良好效果．图４例３㊀(２０２１年高考数学天津卷第１５题)如图４,已知等边三角形A B C 的边长为１,D 在线段B C 上,且D E ʅA B 于点E ,D F ʊA B交A C 于点F ,则|２B E ң＋D F ң|＝;(D E ң＋D F ң) D A ң的最小值为．分析:通过平面几何图形的直观性,以等腰梯形作为过渡,引入参数,结合正三角形的性质以及直线的垂直㊁平行关系确定各对应线段的长度,直观确定对应向量线性关系式的模;结合向量的投影以及余弦定理的向量式,得到含参的二次函数关系式,即可确定对应的最值问题．解析:由题意可知,四边形A B D F 是等腰梯形,әC D F 是正三角形．设|B D |＝２t ,２t ɪ(０,１),即t ɪ(０,１２),则有|B E |＝t ,|D E |＝３t ,|A E |＝１－t ,|D F |＝|F C |＝|D C |＝１－２t ,|A F |＝２t ．所以|２B E ң＋D F ң|＝２t ＋１－２t ＝１．在R t әA E D 中,可得|D A |＝３t ２＋(１－t )２＝４t ２－２t ＋１．结合余弦定理的向量式,可得㊀㊀㊀(D E ң＋D F ң) D Aң＝D E ң D A ң＋D F ң D Aң＝D E ң２＋|D F |２＋|D A |２－|A F |２２＝３t ２＋(１－２t )２＋４t ２－２t ＋１－４t ２２＝５t ２－３t ＋１＝５(t －３１０)２＋１１２０．所以当t ＝３１０时,(D E ң＋D F ң) D A ң的最小值为１１２０．故填答案:１;１１２０．点评:借助平面几何图形的直观性,通过三角形与等腰梯形的问题背景,没有添加任何辅助线,直观形象分析对应的边㊁角㊁线段等之间的关系,结合平面向量㊁二次函数等相关知识,实现巧妙处理,有效破解．４巧借圆的知识辅助破解圆作为初中平面几何中一个特殊几何图形,在高中解题中经常用到的涉及圆知识的内容主要包括:圆的定义或性质,直径所对的圆周角为直角,圆幂定理,垂径定理,相交弦定理,切线长定理或切割线定理,等等．往往借助圆的平面几何性质,厘清图形特征和数量关系,实现有效转化,巧妙破解．例４㊀(２０２１年高考数学全国甲卷理科第９题)若αɪ(０,π２),t a n ２α＝c o s α２－s i n α,则t a n α＝(㊀㊀)．A．１５１５㊀㊀㊀B ．５５㊀㊀㊀C ．５３㊀㊀㊀D．１５３分析:巧妙构建对应的平面几何图形,以圆为背景,利用矩形以及几何图形中边与角的关系,并结合解直角三角形加以合理转化与应用,利用平面几何知识的辅助来达到破解三角函数求值的目的．图５解析:如图５所示,点B ,P 在单位圆O 上,且O A ʅO B ,|O A |＝２,øP O B ＝α．四边形O F P E 为矩形,点C 在直线A P 上,且øP O C ＝øP O B ＝α,则有|P E |＝|O F |＝c o s α,|O E |＝|P F |＝s i n α,可得|A E |＝２－s i n α．于是t a n øP A E ＝|P E ||A E |＝c o s α２－s i n α＝t a n ２α,即øP A E ＝２α．又øP A E ＝２α＝øC O B ,则øA C O ＝øA E P ＝９０ʎ,且|O C |＝|O F |＝c o s α．在R t әA C O 中,由s i n ２α＝c o s α２,得２s i n αc o s α＝c o s α２,即s i n α＝１４．利用平方关系,可得c o s α＝１－s i n ２α＝１５４．所以t a n α＝s i n αc o s α＝１５１５．故选择答案:A ．点评:借助圆等相关平面几何知识加以数形结合,巧妙构建单角与双角之间的联系,以及对应的三角函数值之间的比值与转化,数形直观,逻辑推理．虽然过程比较繁杂,但变化多端的平面几何图形及其相关性质,对于学生来说也是一个很好的拓展与延伸．在解决高中数学中三角函数㊁平面向量㊁函数㊁解析几何㊁立体几何等相关问题时,要充分挖掘问题中相应的平面几何知识㊁思想方法等,借助类比㊁降维等推理分析以及平面几何的相关知识与几何直观,通过数形结合㊁定理转化㊁代数运算㊁推理分析等手段来巧妙辅助破解,直观形象,回归本质,有效拓展解题思路,缩小思维步骤,优化解题过程,提升解题效益,提高数学能力,培养核心素养．Z９４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高考数学几何题如何运用几何知识解题在高考数学中，几何题是一种常见的题型，它要求考生根据给定的条件，应用几何知识进行推理和计算，最终得出正确解答。

本文将从几何知识的学习和应用两个方面，探讨如何在高考数学中灵活运用几何知识解题。

一、几何知识的学习几何知识是解答几何题的基础，因此在备考过程中，我们首先需要系统地学习和掌握相关的几何知识。

以下是几个重要的几何知识点：1. 基本图形的性质：诸如点、线、面的定义与性质，这些基本图形是几何题的基础，我们需要了解它们的定义和特点，以便在解题时准确运用。

2. 角的性质：学习角的概念、度量和性质，如正角、锐角、钝角等，还要掌握相应角的度量计算方法，以及角平分线、垂直角等特殊角的性质。

3. 相似三角形与等价三角形：了解相似三角形的判定条件和性质，学习相似三角形的性质运用于解题中。

此外，还要理解等价三角形的概念和性质，掌握等价三角形的判定方法。

4. 三角形的性质与定理：学习三角形的各种定理，如三角形的内角和为180°，角平分线的性质，中位线定理，角的外切圆与内切圆等，这些定理在解题时经常会用到。

5. 平移、旋转与对称：了解这些平面几何变换的定义，学习平移、旋转和对称的性质与特点，以及它们在几何题中的应用。

二、几何知识的应用几何知识的学习只是第一步，我们还需要将学到的知识应用到具体的几何题中。

以下是一些常见的几何题解题思路：1. 确定目标：阅读题目时，要明确题目要求我们解答的是什么，是求某个角的大小，还是某条线段的长度，亦或是整个图形的面积。

明确目标是解题的第一步。

2. 分析条件：仔细分析题目中给出的条件，根据这些条件推导出我们要求解的目标。

在分析条件时，应该利用几何知识进行推理和计算，找到其中的规律和特点。

3. 运用几何知识：根据题目所给条件和我们要求解的目标，灵活运用所学的几何知识，例如利用相似三角形的性质、三角形的内角和为180°等定理，进行计算和推理。

高考数学几何题如何灵活运用几何知识解决复杂的几何问题几何题一直是高考数学中的重点和难点之一。

解决复杂的几何问题需要我们灵活运用几何知识和技巧。

下面将从几何运算、相似三角形、向量法等几个方面介绍如何灵活运用几何知识解决复杂的几何问题。

一、几何运算几何运算是解决几何问题的基础，包括直线的相交、垂直、平行关系，角的大小关系等。

在解决几何题时，我们要善于利用几何运算的方法。

比如在求角平分线问题中，可以运用角的垂直平分线性质，将问题转化为相交角的问题。

再如在求圆的切线问题中，可以利用切线与半径的垂直关系，求出切线的斜率，从而确定切线的方程。

二、相似三角形相似三角形是解决几何问题时常用的一个重要方法。

相似三角形具有对应角相等、对应边成比例的性质。

利用相似三角形的性质，可以快速求解几何问题。

例如，在求解等腰三角形面积问题中，可以利用等腰三角形的底角相等的性质，将等腰三角形分成两个相似的直角三角形，再利用相似三角形的边长比例关系，求解出等腰三角形的面积。

三、向量法向量法是解决几何问题的一种较为简便的方法。

在解几何题时，可以根据题目特点将几何图形用向量表示，通过向量的性质来求解问题。

特别是在解决平面几何的坐标问题时，向量法尤为重要。

例如，在平面上求解中垂线问题时，可以利用向量法求出两条直线的法向量，判断它们是否相互垂直。

综上所述，解决复杂的几何问题需要我们灵活运用几何知识和技巧。

通过几何运算、相似三角形和向量法等方法，能够更加高效地解决各种几何问题。

在备战高考数学几何题时，我们应该培养对几何知识的理解和应用能力，多做几何题目，加深对几何知识的理解和掌握。

只有不断积累和提高，才能在高考中灵活运用几何知识，解决复杂的几何问题，取得好成绩。

高考数学几何题如何灵活运用几何知识解决复杂的几何问题一直是备战高考的重点，希望各位同学能够认真学习几何知识，灵活运用几何知识，取得优异的成绩！。

2024年高考数学几何历年真题快速解题法数学几何一直是高考数学中的难点之一，考验着学生对几何概念和解题方法的掌握。

为了帮助同学们更好地备考2024年高考数学几何部分，本文将介绍一套快速解题法，以历年高考真题为例，帮助大家更好地理解和应用数学几何知识。

一、平面几何题型解题思路1. 长方形、正方形和矩形题型针对长方形、正方形和矩形题型，我们可以运用以下快速解题方法：①判断题型：首先，我们需要判断题目描述的图形是长方形、正方形还是矩形。

通常题目中会给出一些关键信息，如边长相等、对角线相等等。

②特性分析：根据题目条件，我们需要分析图形的特点和性质。

例如，正方形的特点是各边相等，矩形的特点是对角线相等。

③运用公式：根据图形的特点和性质，我们可以运用相应的公式来解题。

例如，计算矩形的面积时可以使用公式：面积 = 长 ×宽。

2. 相似三角形题型相似三角形题型是高考中的常见题型之一，解题时可以运用下列方法：①判断相似：首先，我们需要判断两个三角形是否相似。

通常，题目给出的条件是边比或角度比。

②寻找比例关系：在确认两个三角形相似后，我们需要寻找相似比例关系。

可以通过边比或角度比来确定相似比例关系。

③运用比例关系：根据相似比例关系，可以利用已知条件推导未知条件，进而解题。

3. 圆题型解决圆相关的几何题目时，我们可以采用以下思路：①寻找已知条件：首先，我们需要仔细阅读题目，找到圆的已知条件。

通常给出的条件是弦长、弦心距、切线等。

②运用相关公式：根据已知条件，我们可以运用圆的相关公式来解题。

例如，弦心距公式是D = 2Rsin(θ/2)。

③利用性质推导：圆具有独特的性质，如圆心角、半径垂直于切线等。

利用这些性质，可以推导出更多有用的关系式，帮助解答题目。

二、立体几何题型解题思路1. 空间几何体的体积和表面积题型在解答空间几何体的体积和表面积题型时，我们可以使用以下方法：①判断题型：首先，我们需要明确题目描述的是哪种空间几何体，例如球、圆柱、锥体等。

巧用几何意义解题山东 刘学锋有很多代数式都有一定的几何意义，如y bx a --可以看成点()x y ，与点()a b ，所在直线的斜率；22()()x a y b -+-可以看成点()x y ，与点()a b ，之间的距离的平方等．巧妙利用代数式的几何意义，应用数形结合思想,可使很多相关问题轻松获解．以下举例说明常见的几种与圆相关的范围问题． 例12114x x---的范围为 ．解析：设21x y -=,则有221(0)xy y +=≥，即点()x y ，为半圆221(0)x y y +=≥上的点，而2114x x---即14y x--，可看成点()x y ，与点(41)，所在直线的斜率． 如图1,可求得斜率的范围为103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．所以原式的范围为103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．例221x x +-的范围为 ．解析：令21y x =-,则221(0)xy y +=≥，即点()x y ，在半圆221(0)xy y +=≥上，求x y +的范围．设x y b +=，则y x b =-+,b 为直线的截距，现即求直线y x b =-+与半圆有交点时的截距b 的范围．如图2，可求得范围为[12]-，．例3已知221xy +=,求（1）22(2)x y -+的范围；（2）3x y -+的范围． 解析：（1）22(2)x y -+可看成点()x y ，与点(20)C ，的距离的平方．又已知点()x y ，在圆221x y +=上，如图3，圆上点B 到点C 的距离最小为1，点A 到点C 的距离最大为3．所以22(2)x y -+的范围为[19]，． （2）3x y -+即322x y -+⨯，可看成点()x y ，到直线l ：30x y -+=的距离d 的2倍,又已知点()x y ，在圆221xy +=上,如图4，则点O 到直线l 的距离为0033222-+=，又已知圆半径为1,所以圆上的点A 以直线l 的距离最小，为31-22,圆上的点B 到直线l 的距离最大，为3212+,所以距离d 的范围为32321122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，所以3x y -+的范围为[3232]-+，．。

【高考地位】导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查学生对导数的几何意义的正确理解. 导数的几何意义主要用于求曲线的切线方程，在高考中多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步，其试题难度考查相对较小. 【方法点评】类型一 过曲线上一点求曲线的切线方程使用情景：过曲线上一点求曲线的切线方程解题模板：第一步 计算函数()f x 的在曲线上该点处的导函数'0()f x ；第二步 运用导数的几何意义即可求出所求切线方程的斜率； 第三步 得出结论.例1 已知函数3431)(3+=x x f ，求函数)(x f 在点)4,2(P 处的切线方程. 【答案】044=--y x .【点评】求曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程，其方法如下：求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程的斜率，进而可求出其方程.【变式演练1】曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为（ ） A ．3y x =- B ．21y x =-+ C ．24y x =- D ．23y x =-- 【答案】B 【解析】试题分析：对2-=x x y 求导得2)2(2--='x y ,代入1-x 得2-='y ,则切线方程为)1(2)1(--=--x y ,即21y x =-+.故选B.考点：导数的概念及其几何性质.【变式演练2】若函数32()(2)2f x a x ax x =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为 ．【答案】840x y -+= 【解析】考点：导数的几何意义．【变式演练3】过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是_________． 【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【解析】试题分析：()22'3623(1)11f x x x x =-+=--≥-⇒切线倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭． 考点：1、函数的导数；2、切线的斜率与倾斜角．【变式演练4】曲线()ln f x x x =在点(1,0)P 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是 ．【答案】21)21()21(22=-+-y x 【解析】试题分析：因x x f ln 1)(/+=,故切线的斜率1=k ,切线方程为1-=x y ,令1,0-==y x ;令1,0==x y 交点坐标分别为)0,1(),1,0(B A -,由题设2=AB 是直径,圆心为)21,21(-,则圆的方程为21)21()21(22=-+-y x .考点：导数的几何意义和圆的方程．【变式演练5】若曲线()33f x x ax =+在点()1,3a +处的切线与直线6y x =平行，则a =__________．【答案】1 【解析】试题分析：∵()33f x x ax =+，∴()233f x ax '=+，∴()1336f a '=+=，∴1a =，故答案为1.考点：利用导数求切线斜率. 【变式演练6】曲线2sin 21y x x =+++,在0x =处的切线斜率为 ． 【答案】-1 【解析】试题分析：()212cos +-='x x y ，当0=x 时，1-='y ，故填：-1.考点：导数的几何意义类型二 过曲线外一点求曲线的切线方程使用情景：过曲线外一点求曲线的切线方程解题模板：第一步 设出切点的坐标为00(,())x f x 并求出函数()f x 在切点处的导数'0()f x ；第二步 充分考虑题目的已知条件，抓住切线的定义，挖掘题目的隐含条件，寻找解题的等量关系；第三步 利用方程的思想即可得出结论.例2 若直线()0y kx k =≠是曲线()322f x x x =-的一条切线，则k =______．【答案】18-【解析】考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.【变式演练7】 已知b a ,为正实数，直线a x y -=与曲线)ln(b x y +=相切，则22a b+的取值范围是（ ）A.),0(+∞B.(0,1)C.)21,0( D.),1[+∞ 【答案】C 【解析】考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性.【变式演练8】若直线2+=kx y 是函数1323---=x x x y 图象的一条切线，则=k （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】C 【解析】试题分析：直线2y kx =+过()0,2，()'2323fx x x =--，设切点为()00,x y ，故切线方程为()()20000323y y x x x x -=---，将()0,2代入切线方程，解得001,0xy =-=，代入2y kx =+，解得2k =．考点：导数与切线．【变式演练9】已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为___________． 【答案】2 【解析】试题分析：根据题意1'1y x a==+，求得1x a =-，从而求得切点为(1,0)a -，该点在切线上，从而求得011a =-+，即2a =. 考点：导数的几何意义．【变式演练10】函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数()xg x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有_______个. 【答案】2. 【解析】考点：1、导数的几何意义；2、函数的图像及其性质.【变式演练11】若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则b =_________. 【答案】ln 2b = 【解析】试题分析：设y kx b =+与ln 1y x =+和ln(2)y x =+的切点分别为1122x kx b x kx b ++（，）、（，）；由导数的几何意义可得12112k x x ==+，得122x x =+再由切点也在各自的曲线上，可得1122()12kx b lnx kx b ln x ++++⎧⎨⎩＝＝，联立上述式子解得ln 2b =.考点：导数的几何意义 【高考再现】1. 【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2. 【2016年高考四川理数】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( )（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞) 【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln 11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，11x >，21122112111211PABA B P x x S y y x x x ∆+∴=-⋅=<=++，01PAB S ∆∴<<．故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围. 【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x 表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．3. 【2016高考新课标3理数】已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________． 【答案】21y x =-- 【解析】考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．3.【2016年高考北京理数】（本小题13分） 设函数()a xf x xebx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+，（1）求a ，b 的值； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，b e =；（2）)(x f 的单调递增区间为(,)-∞+∞. 【解析】试题分析：（1）根据题意求出()f x '，根据(2)22f e =+，(2)1f e '=-，求a ，b 的值； （2）由题意知判断)(x f '，即判断11)(-+-=x e x x g 的单调性，知()0g x >，即()0f x '>，由此求得()f x 的单调区间.故1)1(=g 是)(x g 在区间),(+∞-∞上的最小值， 从而),(,0)(+∞-∞∈>x x g .综上可知，0)(>'x f ，),(+∞-∞∈x ，故)(x f 的单调递增区间为),(+∞-∞. 考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．4.【2016高考新课标2文数】已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.（I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； （Ⅱ）若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）220x y +-=；（Ⅱ）(],2.-∞（II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1)ln 0.1-->+a x x x 令(1)()ln 1-=-+a x g x x x ， 则222122(1)1(),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x 。

2024年高考数学几何历年真题解题秘诀数学几何是高考数学中的一大重点，对很多学生来说，几何问题一直是难以攻克的难点。

然而，在备战2024年高考的过程中，掌握历年数学几何真题的解题秘诀将会帮助学生更好地应对考试。

本文将为大家总结几条有效的解题方法和技巧，帮助大家在数学几何中取得好成绩。

一、理清几何基本概念首先，在准备数学几何的学习过程中，我们需要对基本概念进行充分理解和掌握。

例如，角度、平行线、垂直线等几何基本概念在解题过程中扮演着至关重要的角色。

只有正确理解这些基本概念，才能有效地解答相关题目。

二、熟悉几何定理除了基本概念外，熟悉几何定理也是解答数学几何题目的关键。

历年高考数学几何真题中，经常涉及到的定理包括：相似三角形的性质、角平分线定理、圆的性质等。

熟悉这些定理，并能够熟练应用它们解题，将大大提高解题的效率和准确性。

三、多做历年真题在备考过程中，多做历年高考数学几何真题是提高解题能力的有效途径。

通过解析历年真题，我们可以了解到考点的分布和出题的规律，有针对性地进行复习。

同时，历年真题也是检验自己掌握程度的有效工具，可以帮助我们发现自己的薄弱环节，并加以针对性的强化训练。

四、推理与归纳能力数学几何的解题过程中，推理和归纳能力是不可或缺的。

有时候，我们需要从已有的条件中找到隐藏的规律，进行推理和归纳，才能得出解题的关键。

因此，培养这方面的能力是提高数学几何解题水平的关键。

五、借助辅助工具在解答数学几何问题时，我们可以借助一些辅助工具来帮助我们更好地解决问题。

例如，可以利用图形画辅助线、延长线、引入新的点等方式，从而找到解题的线索。

但是需要注意的是，这些辅助工具的使用应该合理，不能过度依赖它们。

六、注重题目分析在解答数学几何题目时，我们需要仔细地阅读和分析题目，理解题目所给条件，并找到解题的关键。

有时候，只有抓住题目的关键信息，才能找到解题的线索。

七、多角度思考问题解答数学几何问题时，多角度思考是提高解题能力的一种方法。

2024年高考数学几何历年真题考试技巧剖析数学几何作为高中数学的重要组成部分，是高考数学科目中的难点之一。

掌握好数学几何的考试技巧，对于提高高考数学成绩至关重要。

本文将通过剖析历年真题，总结出2024年高考数学几何的考试技巧，帮助同学们更好地备战高考。

一、直线与平面的相关考点直线和平面是数学几何中的基本概念，相关题型在高考几何题中占有相当比例。

在解答直线与平面的题目时，我们可以借助以下思路和技巧。

1. 思路一：充分利用图形信息在解答直线与平面相关题目时，充分利用图形信息是非常重要的一点。

通过观察图形，我们可以从中找出一些关键信息，如垂直、平行、共面等关系，从而快速解题。

2. 思路二：利用正交关系直线与平面的正交关系是高考数学几何中的一大考点。

在解答这类题目时，我们可以利用垂线的性质，找出直线与平面之间的正交关系，并通过正交关系来求解问题。

3. 思路三：引入辅助线辅助线是解决几何题目的常用方法之一。

在解答直线与平面相关题目时，我们可以尝试引入辅助线，从而转化为其他已知的几何形状，进而解题。

二、圆与圆的相关考点圆与圆之间存在着许多重要的几何关系，解决好圆与圆相关题目是高考数学几何中的难点之一。

以下是解答圆与圆相关题目的一些技巧。

1. 利用共切线性质当两个圆相切时，它们有且只有一条共切线。

在解答这类题目时，我们可以利用共切线的性质，找到一些关键的几何关系，进而解题。

2. 角平分线与切线的关系圆内角的平分线与切线有一定的几何关系。

当题目中涉及到角平分线与切线时，我们可以利用这个性质，找到一些重要的角度关系，并据此解题。

3. 弦的性质圆上的弦是圆与圆之间相互连接的重要线段。

在解答圆与圆相关题目时，我们需要熟悉弦的性质，如弦心角、弦切角等，从而在解题过程中得到有用的线索。

三、三角形与相似三角形的相关考点三角形与相似三角形是高考数学几何中的重点难点，解题时需要充分理解和掌握三角形的性质和相似三角形的特征。

以下是解答三角形与相似三角形相关题目的一些技巧。

2024年高考数学几何历年真题高分冲刺技巧数学几何作为高考数学的重要部分，对学生来说是一个相对难以掌握的考点。

为了能够在2024年的高考中取得好成绩，掌握历年真题的高分冲刺技巧非常重要。

本文将分享一些应对高考数学几何题的方法和技巧，帮助同学们在备考中取得优异成绩。

1. 熟悉基础知识在开始练习历年真题之前，首先需要熟悉几何基础知识，如各种几何图形的性质、重要的定理、公式等。

只有对基础知识有扎实的理解，才能更好地应对各类几何题目。

2. 善于分析题目在解答几何题目时，要仔细阅读题目，理解题目要求，然后将几何图形通过草图或者标记的方式展示出来。

将问题具象化有助于更好地理解和解决问题。

3. 关注图形特征几何题目往往有一些共同的特征，例如对称性、等边等角、内切外切等，这些特征可以指导我们解题。

学生在做题的时候要善于观察图形特点，可以通过加边、引辅助线等方式来凸显图形的特征，从而更好地解决问题。

4. 灵活运用定理和公式几何题目需要运用各种定理和公式进行分析和求解。

在解题时，要熟练掌握一些重要的定理，如中垂线定理、比例定理、余弦定理、正弦定理等。

同时，也要注意运用辅助线和延长线等方式，通过巧妙的图形变换，使得题目更容易解答。

5. 多做历年真题真题是备考的重要资料，通过做历年真题可以了解高考的命题思路和考点分布。

在备考过程中，要将历年真题作为主要的训练内容，通过反复练习，熟悉各类题型，找到解题的突破口和技巧。

6. 总结归纳在备考过程中，要善于总结归纳。

将遇到的难题和易错点进行记录，并及时找老师或同学进行讨论和交流。

同时，也要总结解题的思路和方法，形成自己的解题思维。

通过总结归纳，不断提高解题的能力和水平。

总结：2024年高考数学几何历年真题高分冲刺技巧主要包括熟悉基础知识、善于分析题目、关注图形特征、灵活运用定理和公式、多做历年真题以及总结归纳等。

通过掌握这些技巧，相信同学们能够在高考中取得优异成绩。

祝愿大家都能取得理想的成绩，实现自己的高考梦想！。