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初一数学培优资料(学生)[1]

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芝麻教育七年级培优资料（内部使用）第一讲 有理数一、和绝对值有关的问题知识结构框图：二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个例5．（非负性）已知|ab －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为____ .四、课后练习1.如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-22.已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式abc ca b bc a 222++的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 03.已知199919991999200020002000200120012001,,199819981998199919991999200020002000a b b ⨯-⨯-⨯-=-=-=-⨯+⨯+⨯+则abc =小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲 代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。

例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.例4． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。

从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bcbc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=，则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上， “2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．例8． 将正奇数按下表排成5列:第一列 第二列 第三列 第四列 第五列第一行 1 3 5 7第二行 15 13 11 9第三行 17 19 21 23第四行 31 29 27 25根据上面规律，2007应在（ ）A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列例9．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n2（其中k 是使k n2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．2644 11 第一次 F ②第三次 F ② …三、小结用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。

希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。

体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

第三讲：与一元一次方程有关的问题一、知识回顾一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。

一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。

典型例题：二、典型例题例1．若关于x 的一元一次方程2332x k x k --+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-1311D ．0 例2．若方程3x-5=4和方程0331=--x a 的解相同，则a 的值为多少？例3.（方程与代数式联系）a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad dc b a -=. （1）则2121-的值为 ；（2）当185)1(42=-x 时，x = .例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）A ．b a a +B ．b a b +C ．h a b+ D ．h a h +例5． 小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。

此时，若小李迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队？课外知识拓展：一、含字母系数方程的解法：思考：b ax =是什么方程？在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以b ax =不是一元一次方程，我们把它称为含字母系数的方程。

例6．解方程b ax =例7．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。

例 8． 解方程11x x a b a b ab--+-=二、含绝对值的方程解法例9． 解下列方程523x -=例10． 解方程21513x --=例11． 解方程 121x x -=-+ 三、小结1、体会方程思想在实际中的应用2、体会转化的方法，提升数学能力第四讲：图形的初步认识一、相关知识链接：1．认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。

我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆2．立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法（1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。

（2）立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）二、典型问题：（一）正方体的侧面展开图（共十一种）分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。

第四类，两排各三个，只有一种。

三、典型例题例1 在右面的图形中是正方体的展开图的有（）（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种思维拓展：如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④例2 下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( )A． 7 B． 8 C． 9 D． 10思维拓展：一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （）A．40 B.38 C.36 D. 34例3 将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（）A． B． C． D．思维拓展：下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）（二）常见立体图形的平面展开图例4 下列图形是四棱锥的展开图的是（）c8425baA．B．C．D．（A ） （B ） （C ） （D ）思维拓展：下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( )A ．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C ．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥例5 如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）如果A 面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？（2）若F 面在前面，B 面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C 面在右面，D 面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（三）立体图形的三视图例6 对右面物体的视图描绘错误的是 （ ）例7 如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6（四）新颖题型 例8 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .例9 观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见……（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有 个；（2）猜想并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为__ ______个. 俯视图左视图 主视图第五讲：线段和角一、知识结构图二、典型问题：（一）数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？问题2、如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ ）个。

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七年级上册数学培优

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七年级上册数学培优一、有理数。

1. 知识点梳理。

- 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。

包括正整数、0、负整数、正分数、负分数。

- 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

数轴上的点与有理数一一对应。

- 相反数：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。

例如，2和 - 2是相反数，0的相反数是0。

- 绝对值：一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

2. 典型例题。

- 例1：已知a = - 3，求a的相反数和绝对值。

- 解：a=-3，a的相反数是-a=-(-3) = 3，a的绝对值| a|=| - 3| = 3。

- 例2：在数轴上表示-2，1.5，0，并比较它们的大小。

- 解：先画出数轴，标注原点、正方向和单位长度。

在数轴上找到对应的点，从左到右的顺序为-2＜0＜1.5。

3. 培优练习。

- 练习1：若| x| = 5，求x的值。

- 练习2：比较-(3)/(4)和-(4)/(5)的大小。

二、整式的加减。

- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如，3x，-5，a都是单项式。

- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。

例如，2x + 3y是多项式。

- 整式：单项式和多项式统称为整式。

- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

例如，3x^2y和-5x^2y是同类项。

- 合并同类项：把同类项合并成一项叫做合并同类项，合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变。

2. 典型例题。

- 例1：化简3x^2 - 2x+5x^2 - 4x。

- 解：首先找出同类项，3x^2和5x^2是同类项，-2x和-4x是同类项。

- 合并同类项得(3x^2 + 5x^2)+(-2x - 4x)=8x^2 - 6x。

- 例2：已知A = 2x^2 - 3x+1，B=-x^2 + 2x - 3，求A - B。

- 解：A - B=(2x^2 - 3x + 1)-(-x^2+2x - 3)- 去括号得2x^2 - 3x + 1+x^2 - 2x + 3- 合并同类项得(2x^2+x^2)+(-3x - 2x)+(1 + 3)=3x^2 - 5x+4。

七年级数学培优资料下册

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第一章 整式的乘除知识要点 一、概念1、代数式：由数和表示数的字母经过加、减、乘、除、乘方和开方等运算所得的式子称为代数式。

2、单项式:由数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。

单项式不含加减运算，分母中不含字母。

3、多项式:几个单项式的和叫做多项式。

多项式含加减运算。

4、整式:单项式和多项式统称为整式。

（与整式相对应的是分式，分母中含有字母的代数式） 二、公式、法则：（1）同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n （同底幂数相乘，底数不变，指数相加。

） 逆用： a m+n =a m ﹒a n （指加，幂乘，同底）（2）同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。

（同底数幂相除，底数不变，指数相减）逆用：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）（指减，幂除，同底） （3）幂的乘方：（a m ）n =a mn （幂的乘方，底数不变，指数相乘）逆用：a mn =（a m ）n（4）积的乘方：（ab ）n =a n b n （积的乘方等于积中各因式乘方的积）逆用： a n b n =（ab ）n （当ab=1或-1时常逆用）（5）零指数幂：a 0=1（注意考底数范围a ≠0）。

（6）负指数幂：11()(0)pppa aa a-==≠(底倒，指反)（7）单项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。

（8）多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。

（9）平方差公式：（a+b ）(a-b)=a 2-b 2公式特点：（有一项完全相同，另一项只有符号不同，结果=22()-相同）（不同 推广（项数变化），连用变化。

（10）完全平方公式：222222()2,()2,a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 逆用：2222222(),2().a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-完全平方公式变形（知二求一）：222()2a b a b ab +=-+ 222()2a b a b ab+=+-222212[()()]a b a b a b +=++-22222212()2()2[()()]a b a b ab a b ab a b a b +=+-=-+=++-22()()4a b a b ab +=-+2214[()()]ab a b a b =+-- 例如：229x +mxy+4y 是一个完全平方和公式，则m = ；是一个完全平方差公式，则m = ；（11）多项式除以单项式的法则:().a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷（12）常用变形：221((n n x y x y +--2n 2n+1）=(y-x), ）=-(y-x)巩固提高练习2229.4,10x y x y xy +=+=已求①知：的值222222x x y xy y --+②的值第二章《平行线与相交线》一、知识结构图余角余角补角补角角两线相交对顶角同位角三线八角内错角同旁内角平行线的判定平行线平行线的性质尺规作图二、基本知识提炼整理（一）余角与补角1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

初一数学资料培优汇总精华

初一数学资料培优汇总精华

第一讲 数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）A.2B.3C.9D.66、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。

8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

(完整版)初一数学培优专题讲义

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初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成：()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ C ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示：所以分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。

这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。