椭圆专题练习三

椭圆的几何性质练习题椭圆的几何性质练习题椭圆是数学中一种重要的几何形状，具有许多特殊的性质和应用。

在本文中，我们将通过一些练习题来探索椭圆的一些几何性质。

练习题一：椭圆的定义1. 如何定义一个椭圆？2. 椭圆的焦点和直径分别是什么？练习题二：椭圆的离心率1. 什么是椭圆的离心率？2. 离心率为1的椭圆是什么特殊的形状？练习题三：椭圆的焦点性质1. 椭圆的焦点位于什么位置？2. 如何通过椭圆的焦点和直径来确定椭圆的方程？练习题四：椭圆的长轴和短轴1. 如何确定椭圆的长轴和短轴？2. 长轴和短轴之间的关系是什么？练习题五：椭圆的周长和面积1. 如何计算椭圆的周长和面积？2. 椭圆的周长和面积与长轴和短轴之间有什么关系？练习题六：椭圆的焦点到点的距离1. 如何计算椭圆上任意一点到焦点的距离？2. 椭圆上任意一点到焦点的距离与椭圆的离心率之间有什么关系？练习题七：椭圆的应用1. 椭圆在日常生活中有哪些应用？2. 椭圆在科学和工程领域中有哪些应用？通过以上练习题，我们可以更好地理解和掌握椭圆的几何性质。

椭圆作为一种特殊的几何形状，具有许多独特的特点和应用，对于数学和实际问题的解决都具有重要意义。

在解答这些练习题的过程中，我们需要熟练掌握椭圆的定义、离心率、焦点性质、长轴和短轴的确定方法，以及椭圆的周长、面积和焦点到点的距离的计算方法。

同时，我们还需要了解椭圆在不同领域中的应用，以便更好地理解和应用椭圆的几何性质。

通过不断的练习和思考，我们可以逐渐提高对椭圆的理解和应用能力。

椭圆作为数学中的一种重要几何形状，不仅具有美丽的形态，还具有广泛的应用价值。

在学习和应用中，我们应该保持好奇心和求知欲，不断探索和发现椭圆的更多奥秘。

总之，椭圆的几何性质是数学中的重要内容之一，通过练习题的探索和解答，我们可以更好地理解和应用椭圆的特点和应用。

希望通过这些练习题，读者们能够对椭圆有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用椭圆的几何性质。

椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程例7 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆，求k 的取值范例10 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4 B ．2 C ．8 D ．23 例15 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例17 在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．例18 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程．高中数学椭圆经典试题练习1．在椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上取三点，其横坐标满足1322x x x +=，三点与某一焦点的连线段长分别为123,,r r r ，则123,,r r r 满足（ ）A ．123,,r r r 成等差数列B ．123112r r r += C ．123,,r r r 成等比数列 D ．以上结论全不对2．曲线22 1 4x y m+=的离心率e 满足方程22520x x -+=，则m 的所有可能值的积为（ ） A ．36 B ．-36 C ．-192 D ．-1983．椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，过右焦点F 作弦AB ，则以AB 为直径的圆与椭圆右准线l 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定4．设点P 是椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上异于顶点的任意点，作12PF F ∆的旁切圆，与x 轴的切点为D ，则点D （ ）A ．在椭圆内B ．在椭圆外C ．在椭圆上D ．以上都有可能5． 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( )A 3B 23C 33 D 以上都不对 6. 椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为41-,则22OQ OP + 为 ( )A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定7. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为ο60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ） A ．32 B. 22 C. 21 D. 32 8.过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A 656παπ≤≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤ 9. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且ο901=∠BDB ,则椭圆的离心率为 ( )A 213-B 215-C 215- D 2310.椭圆)10(,2222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为( )A 10<<a B122<<a C 122<≤a D.220<<a . 11.若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 和圆c c b y x (,)2(222+=+为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e 的取值范围是 ( )A )53,55(B )55,52(C )53,52(D )55,0( 12.已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( ) A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2,1( D ]2,1(13．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最短距离为3，则该椭圆的方程为14．M 是椭圆221 94x y +=不在坐标轴上的点，12,F F 是它的两个焦点，I 是12MF F ∆的内心，MI 的延长线交12F F 于N ，则MI NI= 15．12,F F 是椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，直线l 与椭圆C 交于12,P P ，已知椭圆中心O 关于直线l 的对称点恰好落在椭圆C 的左准线上，且2211109P F PF a -=，则椭圆C 的方程为 16. (2000全国高考) 椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠ 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是18.已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为19.如果y x ,满足,369422=+y x 则1232--y x 的最大值为20.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,直线4=y 是椭圆的一条准线.① 求椭圆的方程;② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求21PF F ∠.余弦值22．求中心在原点,一个焦点为)25,0(且被直线23-=x y 截得的弦中点横坐标为21的椭圆方程.。

椭圆练习题三1（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3:l y kx m =+交椭圆于不同的两A 、B; （Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）若坐标原点O 到直线l AOB ∆面积的最大值2.（2012年昌平区高三期末考试文19）已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，33=a c ．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量+=.求：（I ）椭圆C 的方程；（II ）||的最小值及此时直线l 的方程.3.（顺义区2012届高三尖子生综合素质展示19）已知ABC ∆的顶点A 、B 在椭圆.//,2:,4322l AB x y l C y x 且上在直线点上+==+（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积；（Ⅱ）当︒=∠90ABC ，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在 直线的方程.4.（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分13分）已知椭圆T 的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线:l x +0=与T 交于A 、B 两点，|AB| =2，且.2AOB π∠=（1）求椭圆T 的方程；（2）若M ，N 是椭圆T 上两点，满足0MO ON ⋅=，求|MN|的最小值.5.福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）（本小题满分14分）已知圆O ：122=+y x ，点O 为坐标原点,一条直线l ：)0(>+=b b kx y 与圆O 相切并与椭圆1222=+y x 交于不同的两点A 、B （1）设)(k f b =,求)(k f 的表达式；（2）若32=⋅OB OA ，求直线l 的方程； （3）若)4332(≤≤=⋅m m OB OA ，求三角形OAB 面积的取值范围.6.已知椭圆122=+ny m x （常数m 、+∈R n ，且n m >）的左右焦点分别为21,F F ，M 、N为短轴的两个端点,且四边形F 1MF 2N 是边长为2的正方形． (Ⅰ)求椭圆方程(Ⅱ)过原点且斜率分别为k 和－k （k ≥2）的两条直 线与椭圆221x y m n+=的交点为A 、B 、C 、D （按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内）求四边形ABCD 的面积S 的最大值．.7.过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标； （2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）； （3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）8.已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程;（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.9.已知椭圆方程为1822=+y x ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）． （1）求证直线AB 的斜率为定值；（2）求△AMB 面积的最大值．10．椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求2211ba +的值； （2）若椭圆满足33≤a c≤22，求椭圆长轴的取值范围.11.（2012年西城区高三期末考试理18）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.12.（2010浙江21) （本题满分15分）已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，2121,F BF F AF ∆∆的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.。

椭圆专题训练卷一、单选题1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．102．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“216x ＋29y ≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．5C ．7D ．84．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）A B C D5．（2020·四川资阳 高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A ．13B ．12C ．23D ．347．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为( )A ．2B ．34C ．12D ．148．（2020·甘肃城关 兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ）A ．4B ．2C D 9．（2020·黑龙江南岗 哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( )A ．B ．4C ．3D ．110．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2aN c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ）A ．(0B ．1)C ．5)6， D ．5(,1)6二、多选题11．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，焦距为2，过点F的弦长最小值不小于2，则该椭圆的离心率可以是( ) A ．45B ．23C ．12D ．1312．（2019·辽宁葫芦岛 高二月考）椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（ ） A ．1B ．3C ．4D ．813．（2020·岳麓 湖南师大附中高二期末）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6 B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆面积的最大值为3 C ．存在点P ，使12PF PF ⊥ D ．1PF 的取值范围是[1,3]14．（2020·山东中区 济南外国语学校高三月考）我们通常称离心率为512-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 三、单空题15．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.16．（2020·河北桃城 衡水中学高三其他（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为________.17．（2020·河南中原 郑州一中高三其他（文））已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.四、双空题18．（2019·浙江高二学业考试）椭圆2214x y +=的离心率是___________，焦距长是________.19．（2020·上海高二课时练习）椭圆22192x y +=的焦点为F 1,F 2，点P 在椭圆上，若14PF =，2PF =_______；12F PF ∠的小大为__________．20．（2019·浙江高二期中）若方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______；当1m =-时，椭圆的焦点坐标为______.21．（2020·福建高三其他（理））已知椭圆22:143x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____. 五、解答题22．（2020·上海高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4）.求它的标准方程.23．（2019·于都县第二中学高二月考（文））焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点(2,1)P 在椭圆上.（1）求m 的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 24．（2019·永济市涑北中学校高二月考（理））设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程； （2）求点到直线距离的最大值.25．（2019·河南宛城 南阳中学高二月考（理））已知椭圆的两焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足1260F PF ︒∠=，求12PF F ∆的面积．26．（2019·牡丹江市第三高级中学高二期末（文））已知点(2,1)P -在椭圆()222:102x yC a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求直线AB 的斜率．27．（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 6． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若43OA OB ⋅>-，求k 的取值范围．一、单选题1．（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D 【解析】因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．2．（2020·全国高三课时练习（理））设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“216x ＋29y ≤1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】“|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“216x ＋29y ≤1”表示的平面区域N 为椭圆216x ＋29y ≤1及其内部， 则如图显然N 在M 内， 故选：B ．3．（2019·浙江省春晖中学高二月考）已知椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，且焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5C ．7D ．8【答案】D 【解析】∵ 椭圆221102x y m m +=--的焦点在y 轴上，∴ 22a m =-，210b m =-， ∵ 焦距为4， ∴ 24c =即24c =，在椭圆中：222a b c =+即2(10)4m m -=-+，解得：8m =， 故选：D4．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA （O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．3【答案】B 【解析】依题意可知3ab ,即3b =,又c ===,所以该椭圆的离心率3c e a ==. 故选:B5．（2020·四川资阳 高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点)，且C 的离心率为12，则C 的方程是（ ） A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．22142x y +=D ．22184x y +=【答案】A 【解析】依题意，可得2131412a ⎧+=⎪=，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，故C 的方程是22143x y +=. 故选：A 点睛：求椭圆标准方程的两种思路方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定22a b ，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a b ，的方程组．如果焦点位置不确定，也可把椭圆方程设22100()mx ny m n m n >>≠＋＝，，的形式．6．（2020·全国高三课时练习（理））已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】试题分析：如图取P 与M 重合，则由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)bb a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,故选A.7．（2020·河北枣强中学高三月考（文））已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线2:4l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A 【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为()x,y A ，则24y x =由2AB c =，可知22OA x y c =+=2224x x c ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得22x =， 所以221,33A c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭把点A 代入椭圆方程得到222222131c a b ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=，因01e <<，所以可得3e =故选A 项.8．（2020·甘肃城关 兰大附中高三月考（理））已知1F ，2F 分别为椭圆221168x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的一点，且在y 轴的左侧过点2F 作12F MF ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，若2ON =（O 为坐标原点）则21MF MF -等于（ ） A ．4 B ．2C ．32D ．332【答案】A 【解析】延长2F N 交1MF 的延长线于点P ,作图如下：因为MN 为12F MF ∠的角平分线，且2F N MN ⊥， 所以2MF MP =，所以2111MF MF MP MF F P -=-=， 因为,O N 分别为122,F F F P 的中点， 所以ON 为12PF F ∆的中位线， 所以1122ON F P ==， 所以21124MF MF F P ON -===. 故选：A9．（2020·黑龙江南岗 哈师大附中高三其他（文））已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以1PF 为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则12QF QF ⋅=( )A ．23B ．4C ．3D ．1【答案】C 【解析】连接2PF ,设椭圆的基本量为,,a b c ，()()()()2212121QF QF QO OF QO OF QO QF ⋅=+⋅+=-,()221222222322PF PF QN NO c c a c b ⎛⎫=+-=+-=-== ⎪⎝⎭故答案为：C10．（2019·宁波市第四中学高二期中）设椭圆22221x y a b+=0)a b >>（的左、右焦点分别为12(,0)(,0)F c F c -，，点(,)2aN c 在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足11232MF MN F F +<恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．2(0， B ．21) C ．25)6， D ．5(,1)6【答案】D 【解析】∵点,2a N c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的外部，∴222214c a a b +＞，2212b a ＜ ，由椭圆的离心率22121122c b e a a ==--=＞ ，122MF MN a MF MN +=-+， 又因为2MF MN -+≤2NF ，且22aNF =，要11232MF MN F F +<恒成立，即22a MF MN -+≤32222a a c +<⨯，则椭圆离心率的取值范围是5,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 二、多选题11．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点F ，焦距为2，过点F的弦长最小值不小于2，则该椭圆的离心率可以是( ) A ．45B ．23C ．12D ．13【答案】CD 【解析】由22c =,则1c =.过点F 的弦长最小值为222b a≥,即22b a ≥即有222a c a -≥,即2210a a --≥,解得:a ≥或152a(舍),122c e a=≤=. 故选: CD.12．（2019·辽宁葫芦岛 高二月考）椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆C 上的动点，则||PF 的值可能是（ ） A ．1 B ．3C ．4D ．8【答案】BC 【解析】由题意可得4a =，16122c ，则26a cPF a c .故选：BC .13．（2020·岳麓 湖南师大附中高二期末）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为003y b <=,则12PF F ∆项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大. 此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .14．（2020·山东中区 济南外国语学校高三月考）我们通常称离心率为12的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列B ．11290F B A ∠=︒C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A BD ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 【答案】BD 【解析】2222:1(0)x y C a b a b+=>>()()()()1212,0,,0,0,,0,A a A a B b B b ∴--，()()12,0,,0F c F c -对于A ：111222||,||,||A F F F F A 为等比数列则2112212||||||A F F A F F ⋅=()()222a c c ∴-=2a c c ∴-=13e ∴=不满足条件，故A 错误； 对于B ：11290F B A ∠=︒222211112A F B F B A ∴=+ ()2222a c a a b ∴+=++220c ac a ∴+-=即210e e ∴+-=解得e =或e = 故B 正确；对于C ：1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B2,b P c a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭21POA B k k =即2b c ab a =--解得bc =222a b c =+2c e a ∴===不满足题意，故C 错误； 对于D ：四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c ，ab ∴=422430c a c a ∴-+=42310e e ∴-+=解得232e +=（舍去）或232e =e ∴=故D 正确 故选：BD 三、单空题15．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________. 【答案】4或8 【解析】因为221102x y a a +=--是椭圆的方程，所以100a ->且a 20->，所以210a <<,由椭圆的方程可得()2c 102122a a a =---=-，又2c 4=，所以1224a -=，解得4a =或8a =. 故答案为4或816．（2020·河北桃城 衡水中学高三其他（文））已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 的短轴长为2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为________.【答案】2212524x y +=【解析】椭圆的短轴长为，即2b =，∴b = .∵两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，∴1225c a =⨯，得5a c =， 又因为222a b c =+，故可解得1c =，5a =，故该椭圆的标准方程为2212524x y +=.故答案为：2212524x y +=.17．（2020·河南中原 郑州一中高三其他（文））已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN 的周长为6，则FAN 的面积为_____.【解析】 如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得3b a =又222a b c =+，∴222)3b c =+，解得3b c =， 令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =， 由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3c a b === ∴()13883255FANSFM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦故答案为：35. 四、双空题18．（2019·浙江高二学业考试）椭圆2214x y +=的离心率是___________，焦距长是________.323【解析】椭圆2214x y +=得：2,1,a b c ===2214x y +=椭圆的焦距长为：19．（2020·上海高二课时练习）椭圆22192x y +=的焦点为F 1,F 2，点P 在椭圆上，若14PF =，2PF =_______；12F PF ∠的小大为__________．【答案】2 ；23π； 【解解：因为由椭圆的定义，我们可知1221222121212121222||||cos 21642812422PF PF a PF a PF PF PF F F PF F F PF PF PF +=∴=-+-∆∠=⨯+-==-⨯⨯中，20．（2019·浙江高二期中）若方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______；当1m =-时，椭圆的焦点坐标为______. 【答案】11(2,)(,1)22---； (0,1),(0,1)-. 【解析】①根据椭圆的方程特征，方程22121x y m m+=+-表示椭圆，则201021m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得：11(2,)(,1)22m ∈---； ②1m =-时，椭圆的方程2212y x +=，焦点在y 轴，其坐标分别为(0,1),(0,1)-故答案为：①11(2,)(,1)22m ∈---；②(0,1),(0,1)- 21．（2020·福建高三其他（理））已知椭圆22:143x y C +=的焦点是12,F F ，,A B 是C 上（不在长轴上）的两点，且1//2F A F B .M 为1F B 与2F A 的交点，则M 的轨迹所在的曲线是______；离心率为_____. 【答案】椭圆 45【解析】设()11,A x y ，()22,C x y 则()22,B x y --，1AF 的斜率不为0，可设1:1AF l x my =- 则122:11BF y y l x x =+-①，211:11AF y y l x x =--② 所以()12121221212121211112224y y y y y y y y x x x x my my m y y m y y ⋅=⋅=⋅=+------++ 联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2242303m y my ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，得122243m y y m +=+，122343y y m -=+ 所以222316133y x m -=--+由①②得()12122112y y x x m y y y y ++-+=-，所以35x m y = 所以22231316353y x x y -=-⎛⎫-+⎪⎝⎭整理得222215344x x +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以M 的轨迹所在的曲线是椭圆，14554e == 故答案为：椭圆；45.五、解答题22．（2020·上海高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4）.求它的标准方程.【答案】2212516x y +=或221167y x +=【解析】（1）若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)x ya b a b+=>>.将点（0，4）代入，得4b =.由26c =，解得3c =.22225∴=+=a b c ，从而椭圆方程为2212516x y +=； （2）若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y xa b a b+=>>.将点（0，4）代入，得4a =.由26c =，解得3c =，2227b a c =-=，从而椭圆方程为221167y x +=. 综上所述，椭圆的标准方程为2212516x y +=或221167y x +=.23．（2019·于都县第二中学高二月考（文））焦点在x 轴上的椭圆的方程为2214x ym+=，点2,1)P 在椭圆上.（1）求m的值.（2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长22、焦距22、离心率2 2【解析】（1）由题意，点(2,1)P在椭圆上，代入，得222114m+=，解得2m=（2）由（1）知，椭圆方程为22142x y+=，则2,2,2a b c===椭圆的长轴长24a=；’短轴长222b=；焦距222c=；离心率22cea==.24．（2019·永济市涑北中学校高二月考（理））设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；（2）求点到直线距离的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得，得椭圆（2）设，则当时，.25．（2019·河南宛城 南阳中学高二月考（理））已知椭圆的两焦点为12(1,0),(1,0)F F -，P 为椭圆上一点，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项.(1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足1260F PF ︒∠=，求12PF F ∆的面积．【答案】(1) 22143x y +=;(2) 3【解析】(1)设所求椭圆方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>， 根据已知可得2221212242,2,413F F PF PF a a b a c =∴+==∴==-=-=, 所以此椭圆方程为22143x y +=； (2)在12PF F ∆中，设12,PF m PF n ==，由余弦定理得：22242cos604()22cos60163m n mn m n mn mn mn︒︒=+-⋅∴=+--⋅=- 121134sin 6004322PF F mn S mn ︒∆=∴=⋅=⨯=26．（2019·牡丹江市第三高级中学高二期末（文））已知点(2,1)P -在椭圆()222:102x y C a a +=>上，动点,A B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线AB 的斜率．【答案】（1）22182x y +=；（2）12. 【解析】（1）将(2,1)P -代入22212x y a +=, 得()2222112a -+=,28a =. 故椭圆方程为22182x y +=. （2）当直线AB 斜率不存在时不合题意,故设直线:AB y kx m =+,1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为00(,)M x y ,由22182y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222()148480k x kmx m +++-=, 0122()14214km x x x k +=-=+,00214m y kx m k =+=+, 直线OP 经过弦AB 的中点,则OM OP k k =,0012y x =-, 142m km =--,12k ∴=,即直线AB 的斜率为12. 27．（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，右焦点F 的坐标为（2，0），且点F 到短轴的一个端点的距离是6．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A 、B 两点，若43OA OB ⋅>-，求k 的取值范围． 【答案】解（I ）（II ） 【解析】（I ）由已知，；,故椭圆C 的方程为………………4分（II ）设则A、B坐标是方程组的解．消去，则，………………7分所以k的取值范围是………………12分。

椭圆几何性质典型练习例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．例 3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 例4椭圆192522=+y x上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 例5 已知椭圆13422=+y x，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例6 已知椭圆1222=+y x，求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．例7 求适合条件的椭圆的标准方程．例8 椭圆1121622=+yx的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．例9 求椭圆1322=+y x上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标． 例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．例12 已知椭圆()012222>>=+b a bya x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．例13 已知椭圆19822=++yk x的离心率21=e ，求k 的值．例14 已知椭圆142222=+by bx上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by ax )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 例17 已知椭圆15922=+yx内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点例18 (1)写出椭圆14922=+yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．例20 椭圆12222=+by ax )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．椭圆简单几何性质答案例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+yx；（2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+yx；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222⨯⨯=cac ∴223a c =，∴3331-=e ．说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ，∴222112a a x x x M +=+=，2111ax y M M +=-=，4112===ax y k MM OM ，∴42=a ，∴1422=+y x为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ．证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x caAF =-12，∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ，∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ， 即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()42212121---=+-x y y x x y y y ．又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()2221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上， ∴ ()212125259x y -=()222225259x y -=∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+y x，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ．∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ． 整理得048325121=++x x ． 解之得4-=x 或12-=x ． ①另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x，求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()0232122212222=+-+--+k k x k k xk ．由韦达定理得22212122kk k x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，；（2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+by ax 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+yx后，不能依此写出另一方程13714822=+xy．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+by ax 或12222=+bx ay ．由已知b a 2=． ① 又过点()62-，，因此有()1622222=-+ba或()1262222=+-ba． ②由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为 13714822=+yx或1135222=+xy．（2）设方程为12222=+by ax ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+yx．说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+by ax 或12222=+bx ay ．典型例题八例8 椭圆1121622=+yx的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显3=M y ，且M然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九例9 求椭圆1322=+y x上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ．当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十例10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+by ax ，其中0>>b a 待定．由222222221ab ab a ac e -=-==可得2143112=-=-=e ab ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()34722+=b ，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+yx．由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b ab a ac e 可得2143112=-=-=e ab ，即b a 2=．设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49s i n 3s i n 34222+--=θθb b b3421s i n 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立．于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值．由题设知()34722+=b ，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a bya x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=ab c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a bk AP +=2，()a c a bk BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca ac a ba c a ba c a bAPB -=-++--=∠∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则ax y k QA +=，ax y k QB -=．由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan ay x ay ax y a x yax yAQB -+=-++--=∠ ∵120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232cab y =∵b y ≤， ∴b cab ≤2232232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++yk x的离心率21=e ，求k 的值．分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ．∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by bx上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解． 解法一：由142222=+by bx，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得 b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==ac e ，∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b ca33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-．说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π，∴ααπcos 4sin 323tan =，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α，∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by ax )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=．分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线cax l 2-=：的距离，cax PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+yx内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ．综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQPF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(．说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<， 则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ． (1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+by ax （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by ax ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by ax （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a cex a ex a -+--++==︒，解得2222134ea c x -=．(1)∵],0(221a x ∈， ∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ．∴21≥=a c e ．故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+by ax 得24213cby =，即cby 321=．∴22213332212121b cbc y F F S F PF=⋅⋅=⋅=∆．即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12F PF ，β=∠21F PF ，则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得 ︒==60sin 2sin sin c n m βα．∴︒=++60sin 2sin sin c n m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2c a βα，∴2cos2sin260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立． 故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=．∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆．即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by ax )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ，∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos ba b-=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-ba b，又222c a b -=∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ．说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值．解：方程变形为12622=+myx．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ．又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by ax ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba．又b a 3=，代入得12=b ，92=a ，故椭圆的方程为1922=+y x．当焦点在y 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a bx ay ．由椭圆过点()03，P ，知10922=+ba．又b a 3=，联立解得812=a ，92=b ，故椭圆的方程为198122=+xy．例3 ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解．（2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程．解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为()013610022≠=+y yx．（2）设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y yx，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ．从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3526cos21=⋅=πPF c ，从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x或1510322=+yx ．例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by ax ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）．分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αc o s 12221+=⋅bPF PF ．故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b2tan2αb =．例6 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+yx．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆1222=+y x，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）（4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．例9 以椭圆131222=+yx的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆131222=+yx的焦点为()031，-F ，()032，F ．点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为032=-+y x ． 解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴：562221==+=FF MF MF a ，∴53=a ，又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+yx．例10 已知方程13522-=-+-kyk x表示椭圆，求k 的取值范围．解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．例11 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围．分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααyx．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα．因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方．(2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n )．由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ，51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x ．例13 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ，则20x x =，0y y =．因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x ．将x x 20=，y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x ．所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x ．说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为),(y x ，设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系， 从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x kAB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． 2121x x kAB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+yx，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ．由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x kAB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为193622=+yx，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标． 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=．例15 椭圆192522=+yx上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为A ．4B ．2C ．8D ．23。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（椭圆）练习一. 基础小题练透篇1.已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段2．[2023ꞏ山西省忻州市高三联考]“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.[2023ꞏ重庆市高三模拟]几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点Q 是椭圆族T 上任意一点，如图所示，椭圆族T 的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点O ；③过定点P ()0，3 ，则||QP ＋||QO 的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．114．[2023ꞏ四川省遂宁市模拟]已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12 ，则( ) A ．a 2＝2b 2 B ．3a 2＝4b 2 C ．a ＝2b D ．3a ＝4b5．[2023ꞏ甘肃省张掖市高三检测]已知椭圆x 2＋y 2b 2 ＝1(1>b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 是椭圆上一点，点A 是线段F 1F 2上一点，且∠F 1MF 2＝2∠F 1MA ＝2π3 ，|MA |＝32 ，则该椭圆的离心率为( )A ．3B ．12C ．223D ．36．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3 )，B (0，－3 )，动点M 满足|MA |＋|MB |＝4，则MA → ꞏMB →的最大值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．27．已知椭圆C 的焦点在x 轴上，过点(322 ，2)且离心率为13 ，则椭圆C 的焦距为________． 8．[2023ꞏ陕西省西安市模拟]椭圆x 29 ＋y 23 ＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ陕西省安康市高三联考]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215 ＝1(a >15 )的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°.||PF 1 ＝5||PF 2 ，则C 的方程为( )A ．x 221 ＋y 215 ＝1B ．x 218 ＋y 215 ＝1C ．x 236 ＋y 215 ＝1 D ．x 242 ＋y 215 ＝12．[2023ꞏ广西贵港市高三联考]若2<m <8，椭圆C ：x 2m ＋y 22 ＝1与椭圆D ：x 2m ＋y 28 ＝1的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．e 1ꞏe 2的最小值为32B ．e 1ꞏe 2的最小值为12C ．e 1ꞏe 2的最大值为3D ．e 1ꞏe 2的最大值为123．[2023ꞏ江西名校联盟模拟]在直角坐标系xOy 中，F 是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，连接PB 交y 轴于点E ，连接AE 交PQ 于点M ，若M 是线段PF 的中点，则椭圆C 的离心率为( )A.22 B ．12 C ．13 D ．144．[2023ꞏ陕西省西安市高三检测]设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a >b >0 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足F A → ꞏFB →＝0，||FB ≤||F A ≤2||FB ，则椭圆C 的离心率的最大值是( )A ．13B ．33C ．23D ．535．[2023ꞏ陕西省咸阳市摸底]已知椭圆C ：x 2m 2－1＋y 2m 2 ＝1(m ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一点，且△PF 1F 2面积的最大值为3 ，则椭圆C 的短轴长为________．6．[2023ꞏ福建省高三联考]抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F ，点P ()3，2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为________．三. 高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29 ＋y 24 ＝1的两个焦点，点M 在C 上，则||MF 1 ꞏ||MF 2 的最大值为( )A ．13 B. 12 C ．9 D. 62．[全国卷Ⅰ]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22 D ．2233．[2022ꞏ全国甲卷]已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率为13 ，A 1，A 2分别为C的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA → 1ꞏBA →2＝－1，则C 的方程为( )A ．x 218 ＋y 216 ＝1B ．x 29 ＋y 28 ＝1C ．x 23 ＋y 22 ＝1 D ．x 22 ＋y 2＝14．[2022ꞏ全国甲卷]椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A．32B．22C．12D．135．[2019ꞏ全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：x236＋y220＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．6．[2021ꞏ全国甲卷]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．四. 经典大题强化篇1.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点．(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．2．[2022ꞏ湖北武汉调研]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为22，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为103时，求k的值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：D答案解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 2．答案：B答案解析：当m >0时方程x 24 ＋y 2m ＝1不一定表示椭圆，如m ＝4时方程x 24 ＋y 24＝1，即x 2＋y 2＝4就表示一个圆，所以“m >0”不是“方程x 24 ＋y2m＝1表示椭圆”的充分条件；但是当方程x 24 ＋y 2m ＝1表示椭圆时，应有m >0，所以“m >0”是“方程x 24 ＋y 2m＝1表示椭圆”的必要条件，故选B. 3．答案：A答案解析：如图所示设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ，则||QP ＋||QO ＝||QP ＋4－||QF ≤||PF ＋4＝4－||PO ＋4＝5. 故选A. 4．答案：B答案解析：椭圆的离心率e ＝c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，化简得3a 2＝4b 2，故选B.5．答案：B答案解析：设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝2a ＝2，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos 2π3，即4c 2＝r 21 ＋r 22 ＋r 1r 2＝（r 1＋r 2）2－r 1r 2＝4－r 1r 2，所以r 1r 2＝4－4c 2，因为S △F 1MF 2＝S △F 1MA ＋S △AMF 2，所以12 r 1r 2sin 23 π＝12 r 1·|MA |·sin π3 ＋12 r 2·|MA |·sin π3，整理得r 1r 2＝（r 1＋r 2）·|MA |，即4－4c 2＝2×32 ，整理得c 2＝14，所以c ＝12 ，a ＝1，e ＝c a ＝12.故选B. 6．答案：C答案解析：易知M 的轨迹为椭圆，其方程为y 24＋x 2＝1，设M （x ，y ），则x 2＝1－y 24，∴MA → ·MB → ＝（－x ，3 －y ）·（－x ，－3 －y ）＝x 2＋y 2－3＝y 2＋（1－y 24）－3＝3y24－2， 因为y ∈[－2，2]，所以34y 2∈[0，3]，即3y24 －2∈[－2，1]，∴（MA → ·MB →）max ＝1. 7．答案：2答案解析：设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1，由离心率为13 可得c a ＝13，由a 2＝b 2＋c 2可得b 2a 2＝89 ，又92a 2 ＋4b 2 ＝1，解得a 2＝9，b 2＝8，c ＝1，焦距为2. 8．答案：5答案解析：由题得c ＝6 ，由题得PF 2⊥x 轴，当x ＝6 时，69＋y 23 ＝1，所以y ＝±1，∴|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝2×3－|PF 2|＝6－1＝5， 所以|PF 1|是|PF 2|的5倍．二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：在椭圆C ：x 2a 2 ＋y 215＝1（a >15 ）中，由椭圆的定义可得||PF 1 ＋||PF 2 ＝2a ，因为||PF 1 ＝5||PF 2 ，所以||PF 2 ＝a 3，||PF 1 ＝5a3，在△PF 1F 2中，||F 1F 2 ＝2c ，由余弦定理得||F 1F 2 2＝||PF 1 2＋||PF 2 2－2||PF 1 ||PF 2 cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝25a 29 ＋a29－5a 29 ＝21a 29 ，所以c 2a 2 ＝2136 ，又b 2＝15.所以a 2＝36，所以椭圆C 的方程为x 236 ＋y 215 ＝1. 故选C. 2．答案：D答案解析：因为2<m <8，所以e 1＝ 1－2m ，e 2＝ 1－m8，所以e 1·e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－m 8 ＝1＋14－⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m 8 ≤54－22m ·m 8 ＝12， 当且仅当m ＝4时，等号成立，故e 1·e 2的最大值为12，e 1·e 2无最小值．故选D.3．答案：C答案解析：不妨设点P 在x 轴上方，如图，连接BQ ，则由椭圆的对称性易得∠PBF ＝∠QBF ，∠EAB ＝∠EBA ，所以∠EAB ＝∠QBF ，所以ME ∥BQ ，所以|PE ||EB | ＝|PM ||MQ | .因为OE ∥PF ，所以|OF ||OB |＝|EP ||EB | ，从而有|PM ||MQ | ＝|OF ||OB | .又M 是线段PF 的中点，所以e ＝c a ＝|OF ||OB | ＝|PM ||MQ | ＝13 . 4．答案：D答案解析：如图所示：设椭圆的左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又FA → ·FB →＝0，即FA ⊥FB ， 所以平行四边形AFBF ′为矩形，所以||AB ＝||FF ′ ＝2c ，设||AF ′ ＝|BF |＝n ，||AF ＝m, 在直角△ABF 中，m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，得mn ＝2b 2，所以m n＋n m ＝2c 2b 2 ，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c2b 2 ，又由||FB ≤||FA ≤2||FB ，得m n ＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 ，所以c 2b 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 ，即b 2a 2 ＝11＋c 2b2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 ， 所以e ＝ca＝1－b 2a 2 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 ，所以离心率最大值为53 .故选D.5．答案：23答案解析：由椭圆的方程可知，椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，且|F 1F 2|＝2m 2－（m 2－1） ＝2，由题意可知，当点P 为椭圆C 左右顶点时，△PF 1F 2的面积最大，且12 |F 1F 2|m 2－1 ＝3 ，解得m ＝2，所以椭圆C 的短轴长为2m 2－1 ＝23 .6．答案：22答案解析：抛物线C 1：y 2＝4x 的焦点F （1，0），根据题意2c ＝（3－1）2＋（2－0）2＝22 ，c ＝2 .设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x ＝－1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a ＝||QF ＋||QP 2 ＝d ＋||QP 2 ≥3－（－1）2＝2， 当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e ＝ca ＝22. 三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由题，a 2＝9，b 2＝4，则||MF 1 ＋||MF 2 ＝2a ＝6，所以||MF 1 ·||MF 2 ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫||MF 1＋||MF 22 2＝9（当且仅当||MF 1 ＝||MF 2 ＝3时，等号成立）.2．答案：C答案解析：由题意可知c ＝2，b 2＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝4＋22＝8，则a ＝22 ，∴e ＝c a ＝222 ＝22 . 3．答案：B答案解析：由椭圆C 的离心率为13 ，可得e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13.化简，得8a 2＝9b 2.易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B （0，b ），所以BA 1·BA 2＝（－a ，－b ）·（a ，－b ）＝－a 2＋b 2＝－1.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝9b 2，－a 2＋b 2＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝8. 所以C 的方程为x 29 ＋y 28 ＝1.故选B.4．答案：A答案解析：A ()－a ，0 ，设P ()x 1，y 1 ，则Q ()－x 1，y 1 ，则k AP ＝y 1x 1＋a ，k AQ ＝y 1－x 1＋a， 故k AP ·k AQ ＝y 1x 1＋a ·y 1－x 1＋a ＝y 21 －x 21 ＋a 2 ＝14， 又x 21 a2 ＋y 21 b2 ＝1，则y 21 ＝b 2()a 2－x 21 a 2， 所以b 2()a 2－x 21 a 2－x 21 ＋a2 ＝14 ，即b 2a 2 ＝14 ， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a＝1－b 2a 2 ＝32 .故选A. 5．答案：（3，15 ）答案解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20 ＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为（3，15 ）.6．答案：8答案解析：根据椭圆的对称性及|PQ |＝|F 1F 2|可以得到四边形PF 1QF 2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF 1QF 2为矩形．设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝8－m ，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝m 2＋（8－m ）2＝2m 2＋64－16m ＝|F 1F 2|2＝4c 2＝4（a 2－b 2）＝48，得m （8－m ）＝8，所以四边形PF 1QF 2的面积为|PF 1|×|PF 2|＝m （8－m ）＝8.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）由已知得b ＝4，且c a ＝55 ，即c 2a 2 ＝15，∴a 2－b 2a 2 ＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220 ＋y 216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. （2）椭圆右焦点F 的坐标为（2，0），设线段MN 的中点为Q （x 0，y 0），由三角形重心的性质知BF → ＝2FQ →， 又B （0，4），∴（2，－4）＝2（x 0－2，y 0）， 故得x 0＝3，y 0＝－2， 即Q 的坐标为（3，－2）. 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 21 20 ＋y 21 16 ＝1，x 22 20 ＋y 2216＝1， 以上两式相减得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝－45 ·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－45 ×6－4 ＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65（x －3），即6x －5y －28＝0.2．答案解析：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2 ，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y22＝1， 得（1＋2k 2）x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.Δ＝24k 2＋16>0恒成立． 设点M ，N 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则y 1＝k （x 1－1），y 2＝k （x 2－1），x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2 ，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2 ，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k 2. 又点A （2，0）到直线y ＝k （x －1）的距离d ＝|k |1＋k2 ，所以△AMN的面积S＝12|MN|·d＝|k|4＋6k21＋2k2，由|k|4＋6k21＋2k2＝103，得k＝±1.所以当△AMN的面积为103时，k＝±1.。

《椭圆及其标准方程》练习题三1. 动点M 到定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和不小于8的常数，则动点M 的轨迹是（ ） .A 椭圆 .B 线段 .C 椭圆或线段 .D 不存在2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ） A ．14822=+x y B ．161022=+x y C ．18422=+x y D ．161022=+y x 3. 过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是（ ） A. 22 B. 2 C. 2 D. 14．方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（ ）（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号（C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆5．已知椭圆方程为221499x y +=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有 ①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到 F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40，（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个6.“0m n >>”是“方程221mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.椭圆 220(0)ax by ab a b ++=<< 的焦点坐标是 （ ）A ． (,0)a b ±-B ． (0,)a b ±-C ． (,0)b a ±-D ． (0,)b a ±- 8.到定点（2，0）与到定直线x=8的距离之比为22的动点的轨迹方程是（ ） A ．2211612x y += B ．2211216x y += C ．2228560x y x ++-= D ．22328630x y x +-+=9.椭圆两焦点为 1(4,0)F - 、2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12， 则椭圆方程为（ ）A ． 221169x y += B ．221259x y += C ．2212516x y += D ．221254x y += 10.椭圆 22221(1)x y m m +=- 的焦点在y 轴，则（ ） A ．102m << B ．12m >且1m ≠ C ．12m <且0m ≠ D ．0m >且1m ≠ 11.若方程22123x y k k+=---表示焦点在y 轴上的椭圆，k 的取值范围是 12.与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 13.点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐 标是____________.14.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．15.椭圆12922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 在椭圆上，若=∠=211,2PF F PF 则 。

北京高二数学椭圆练习题椭圆是数学中的一种特殊曲线，具有许多重要的性质和应用。

在高二数学学习阶段，学生需要通过解决练习题来巩固对椭圆的理解和应用能力。

以下是一些北京高二数学椭圆练习题，希望能够帮助同学们提高他们的数学能力和解题技巧。

练习题一：曲线方程1. 给定椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中a，b为正实数，且a>b。

如果c表示椭圆E的焦点到原点的距离，根据椭圆的性质，求出c与a、b的关系式。

解析：根据椭圆的定义，可以得到c关于a、b的关系式：$c=\sqrt{a^2-b^2}$。

2. 已知椭圆E的焦点F1(-3, 0)，F2(3, 0)，离心率e=2/3。

求椭圆E的方程。

解析：根据椭圆的性质，可以得到椭圆E的方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a表示焦点到原点的距离，根据离心率的定义，可以得到$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，而焦点到原点的距离为3，因此c=2。

根据焦点与顶点的关系，a和b的关系为：$a^2=b^2+c^2$，代入已知条件，可以得到$a^2=b^2+4$。

综上所述，椭圆E的方程为$\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{36} = 1$。

练习题二：参数方程1. 设椭圆E的焦点为F1(-3, 0)，F2(3, 0)，离心率为e。

令椭圆E的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，求a、b与e的关系式。

解析：根据椭圆的性质，焦点到原点的距离为a，而且$\frac{c}{a}=e$。

由于焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，所以a为3。

又因为离心率的定义为$e=\frac{c}{a}$，所以e=1。

2. 已知椭圆E的焦点为F1(-1, 0)，F2(1, 0)，离心率为0.8。

令椭圆E的参数方程为$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$，求a、b的值。

完整版)椭圆经典练习题两套(带答案)A组基础过关1.选择题1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于多少？A。

2B。

2/3C。

1/2D。

1/3解析：由题意得2a=2b，所以a=b，又a²=b²+c²，所以b=c，所以a=2c，e=c/a=1/2，答案为C。

2.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是什么？A。

(x²/81)+(y²/72)=1B。

(x²/81)+(y²/9)=1C。

(x²/81)+(y²/45)=1D。

(x²/81)+(y²/36)=1解析：依题意知2a=18，所以a=9，2c=3×2a，所以c=3，所以b=a-c=81-9=72，所以椭圆方程为(x²/81)+(y²/72)=1，答案为A。

3.椭圆x²+4y²=1的离心率是多少？A。

2/3B。

2C。

1/2D。

3解析：先将x²+4y²=1化为标准方程，得(x/1)²+(y/(1/2))²=1，所以a=1，b=1/2，所以c=√(a²-b²)=√(3)/2，所以e=c/a=√(3)/2，答案为A。

2.解答题1.设F₁、F₂分别是椭圆4x²+y²=1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF₁⊥PF₂，则点P的横坐标为多少？解析：由题意知，点P即为圆x²+y²=3与椭圆4x²+y²=1在第一象限的交点，解方程组x²+y²=3和4x²+y²=1，得点P的横坐标为√(2/3)，答案为√(2/3)。

2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程是什么？解析：依题意设椭圆G的方程为a²x²+b²y²=1(a>b>0)，因为椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，所以2a=12，所以a=6，又因为椭圆的离心率为2，所以c=a/2=3，所以b=√(a²-c²)=3√5，所以椭圆G的方程为36x²+45y²=1，答案为C。

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。