椭圆综合专题

高中数学椭圆大题之向量综合题型一：单一共线型例1、已知B A 、是椭圆1222=+y x 上的两点，并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,51λ时，求直线AB 斜率的取值范围.例2、已知定点)0,2(M ，若过M 的直线l （斜率不为零）与椭圆1322=+y x 交于不同的两点F E 、（E 在点F M 、之间），记OMFOMES S ∆∆=λ，求λ的取值范围.练1、椭圆1232222=+cy c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ，过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B A 、两点，且B F A F 21//，B F A F 212=，求直线AB 的斜率.练2、设)0,(1c F -，)0,(2c F 分别为椭圆1322=+y x 的左右焦点，B A 、在椭圆上，若B F A F 215=，求点A 的坐标.题型二、点在曲线上例1、已知椭圆22233b y x =+，斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，M 为椭圆上任一点，且OB OA OM μλ+=，证明22μλ+为定值.练1、椭圆C:12322=+y x ,过右焦点F 的直线l 与C 交于A,B 两点，C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立？若存在，求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在，说明理由.练2、设动点P 满足ON OM OP 2+=，其中M,N 是椭圆C:12422=+y x 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为21-，求P 的轨迹.。

利用收敛性
椭圆的收敛性可以用于解决与收敛相关的数列问题，如判断数列 是否收敛、求数列的极限等。
椭圆不等式求解技巧与方法
01
02
03
04
变量代换法
通过适当的变量代换，将椭圆 不等式转化为更容易求解的形
式，从而简化求解过程。
数形结合法
利用椭圆的几何性质，将不等 式问题转化为图形问题，通过 图形的直观性来求解不等式。
椭圆数列求和公式
对于椭圆数列，存在特定的求和公式，可以快速 计算出数列的和。这些公式通常涉及到椭圆的几 何参数和数列的初始条件。
利用椭圆性质解决数列问题
利用周期性
椭圆的周期性可以用于解决与周期相关的数列问题，如找出数列 的周期、判断数列是否收敛等。
利用对称性
椭圆的对称性可以用于解决与对称相关的数列问题，如找出数列 的对称中心、判断数列是否具有对称性等。
解题思路
联立椭圆和直线的方程，消元得到一个关于x（或y）的一元二次方 程，解方程得到交点坐标。
注意事项
需要判断直线与椭圆的位置关系，即判断判别式的正负。
案例二：椭圆与圆相切问题
问题描述
给定一个椭圆和一个圆 ，求它们相切的条件。
解题思路
利用椭圆和圆的方程， 联立求解得到切点坐标 ，再根据切点坐标和椭 圆、圆的性质求解相切 条件。
椭圆与直线的组合问题
利用直线与椭圆的交点、切线等性质，解决它们之间的组合问题。
综合应用
将椭圆、圆和直线等几何元素进行组合，利用它们的性质和相互关 系，解决复杂的综合问题。
03 椭圆在函数与方 程中应用
椭圆函数性质及图像分析
椭圆函数定义
椭圆函数是一类特殊的函数，其 自变量和因变量之间的关系可以

课下层级训练(四十七) 直线与椭圆的综合问题[A 级 基础强化训练]1．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 23＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1【★答案★】C [设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]2．(2019·山东枣庄检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A ．43 B ．53 C ．54D ．103【★答案★】B [由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．55【★答案★】C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32.]4．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A ．53 B ．23 C ．23D ．13【★答案★】A [由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.] 5．(2019·山东济宁模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°【★答案★】B [由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A (－a 2c，0)，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.]6．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．【★答案★】12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.]7．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB →的取值范围是______________．【★答案★】[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]8．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________________． 【★答案★】3－1 [直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2．在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.]9．(2019·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．【★答案★】解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23．∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3． ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355．10．如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【★答案★】解 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0．因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2．因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0．[B 级 能力提升训练]11．(2019·辽宁沈阳模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为43，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．【★答案★】解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为c ＝2 3.e ＝c a ＝32，所以a ＝4，b ＝2， 所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1．(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y 24＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kx －12＝0，且Δ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由若AM →＝2MB →， 得x 1＝－2x 2，又x 1＋x 2＝－8k 1＋4k 2，x 1x 2＝－121＋4k 2，所以－x 2＝－8k 1＋4k 2，－2x 22＝－121＋4k 2，消去x 2解得k 2＝320，k ＝±1510，所以直线l 的方程为y ＝±1510x ＋1． 12．(2019·山东东营月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，－1)，离心率e ＝22．(1)求椭圆的方程；(2)已知点P (m,0)，过点(1,0)作斜率为k (k ≠0)直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分∠MPN ，求m 的值．【★答案★】解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，过点(0，－1)，离心率e ＝22，所以b ＝1，c a ＝22， 所以由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 22＋y 2＝1，(2)因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是y ＝k (x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1消去y ， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 显然Δ＞0，设点M (x 1，y 1)，N (x 1，y 1)， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，因为x 轴平分∠MPN ，所以∠MPO ＝∠NPO ． 所以k MP ＋k NP ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0，所以y 1(x 2－m )＋y 2(x 1－m )＝0，所以k (x 1－1)(x 2－m )＋k (x 2－1)(x 1－m )＝0， 所以2kx 1x 2－(k ＋km )(x 1＋x 2)＋2km ＝0， 所以2·2k 2－21＋2k 2－(1＋m )·4k21＋2k 2＋2m ＝0所以－4＋2m1＋2k2＝0，所以－4＋2m ＝0，所以m ＝2．13．(2019·山东德州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与C D ．当直线AB 斜率为0时，AB ＝4．(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．【★答案★】解 (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k2．同理，|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13＋4k2＝12(k 2＋1)3k 2＋4． 所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487， 解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．14．(2019·湖北荆州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，直线l过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P (4,0)，求证：若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切．【★答案★】(1)解 设椭圆C 的焦距为2c (c ＞0)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)证明 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，M ，N 两点关于x 轴对称，点P (4,0)在x 轴上， 所以直线PM 与直线PN 关于x 轴对称， 所以点O 到直线PM 与直线PN 的距离相等，故若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，k PM ＝y 1x 1－4＝k (x 1－1)x 1－4，k PN ＝y 2x 2－4＝k (x 2－1)x 2－4，k PM ＋k PN ＝k (x 1－1)x 1－4＋k (x 2－1)x 2－4＝k [2x 1·x 2－5(x 1＋x 2)＋8](x 1－4)(x 2－4)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－243＋4k 2－40k 23＋4k 2＋8(x 1－4)(x 2－4)＝0，所以，∠MPO ＝∠NPO ，于是点O 到直线PM 与直线的距离PN 相等， 故若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；综上所述，若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

椭圆综合练习题一1．“a ＞b ＞0”是“方程122=+by ax 表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.过15622=+yx内的一点P(2，－1)的弦，恰被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( ) A ．5x －3y －13＝0 B ．5x ＋3y －13＝0 C ．5x －3y ＋13＝0 D ．5x ＋3y ＋13＝03.2的椭圆称为“优美椭圆”.设22221(0)x y a b ab+=>>是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个顶点，则F B A ∠=（ ）A. 60B. 75C.90D.120 4.椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的四个顶点A ，B ，C ，D 构成的四边形为菱形，若菱形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是（ ）A 2B 8．2D 45.已知A ,B 是椭圆()012222>>=+b a by ax 长轴的两个顶点，N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BN AM ,的斜率分别为12,k k ，且021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．23 D ．326. P 、Q 是141622=+yx上两点，O 为原点，OP 、OQ 斜率之积为41-，则22OQ OP+为( )A . 4 B. 20 C. 64 D. 不确定 7.椭圆13422=+yx上有n 个不同的点,,,,21n P P P 椭圆的右焦点为F , 数列{}F P n 是公差大于1001的等差数列, 则n 的最大值是（ ）A ．198B ．199C ．200D ．201 8.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为( ) A ．23 B ．33 C ．36 D ．669.设O 为坐标原点，12,F F 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点，若在椭圆上存在点P 满足123F PF π∠=，且||2O P =，则该椭圆的离心率为（ ）Ａ．12Ｂ．142Ｄ．210.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是1A ，2A ，1B ,2B ，焦点为1F ，2F ，延长11B F 与22A B 交于 P 点，若12B PA Ð为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A. (0,14+ ) B ．(14，1) C. (0, 12- ) D.( 12，1)11.椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的中心、右焦点、右顶点及在准线与x 轴的交点依次为O 、F 、G 、H ，则FG O H的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．不确定12.若直线4:1=+ny mx l 和圆4:221=+y x C 无公共点，则过点),(n m P 的直线2l 与椭圆149:222=+yxC 的公共点的个数为（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ． 0个 13.已知F 1、F 2为椭圆2212516xy+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M 有( )个.A.0B.1C.2D.414．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F B 是|1O F |和|12B B |的等比中项，则12||PF O B 的值________．15.若点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上，PF 2⊥F 1F 2，123tan 4PF F ∠=，则椭圆离心率为_______．16.已知非零实数a 、b 、c 成等差数列，直线0ax by c ++=与曲线2221(0)9x ym m+=>恒有公共点，则实数m 的取值范围为___________________．17.已知AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1左焦点F 1的弦，且22||||12AF BF +=，其中2F 是椭圆的右焦点，则弦AB 的长是 ．18．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆 离心率的取值范围是 ．19.已知以)0,2(1-F 、)0,2(2F 为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且只有一个交点，则椭圆的长轴长为__________.20.已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆12222=+by ax ()0>>b a 上，x AB //轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 . 21.若椭圆1C ：2222111x y a b +=（110a b >>）和椭圆2C ：2222221xy a b +=（220a b >>）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论： ①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②1122a b a b >；③22221212a a b b -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是 . 22.已知椭圆()012222>>=+b a by ax 的右焦点为2F （3，0），离心率为23=e 。

椭圆综合测试题含答案题目一已知椭圆的长轴长为12cm，短轴长为8cm。

求椭圆的周长和面积。

解答一椭圆的周长计算公式为：周长= π * (a + b)其中，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长。

将已知数据代入公式进行计算：周长= π * (12 + 8)≈ 3.1416 * 20≈ 62.832cm椭圆的面积计算公式为：面积= π * a * b将已知数据代入公式进行计算：面积= π * 12 * 8≈ 3.1416 * 96≈ 301.592cm²因此，椭圆的周长约为62.832cm，面积约为301.592cm²。

题目二已知椭圆的焦点到准线的距离为3cm，椭圆的长轴长为10cm。

求椭圆的短轴长。

解答二根据椭圆的定义，焦点到准线的距离与长轴、短轴的关系满足以下公式：c² = a² - b²其中，c表示焦点到准线的距离，a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长。

将已知数据代入公式进行计算：3² = 10² - b²9 = 100 - b²b² = 100 - 9b² = 91b ≈ √91b ≈ 9.54cm因此，椭圆的短轴长约为9.54cm。

题目三已知椭圆的长轴长为16cm，短轴长为12cm。

求椭圆的离心率和焦距。

解答三根据椭圆的定义，离心率的计算公式为：离心率 = c / a其中，c表示焦点到准线的距离，a表示椭圆的长轴长。

焦距的计算公式为：焦距= √(a² - b²)将已知数据代入公式进行计算：离心率 = c / a = 0.8焦距= √(16² - 12²)= √(256 - 144)= √112≈ 10.583cm因此，椭圆的离心率约为0.8，焦距约为10.583cm。

以上就是关于椭圆综合测试题的解答，希望对您有所帮助！。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（ ）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

椭圆测试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22159x y += （C ）2213620x y += （D ）2213620x y +=或2212036x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ）A.椭圆B.线段12F FC.直线12F F D .不能确定3、已知椭圆的标准方程22110y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ）A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4、已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ）A.3B.2C.3D.6 5、如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ）A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程338x y -=的曲线关于原点对称7、方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22221x y a b+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率B.有共同的焦点C.有等长的短轴.长轴D.有相同的顶点.8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =( )（A ）1 （B （C （D ）29、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.54 B.53 C. 52 D. 51 10、若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．811、椭圆()222210x y a a b+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )（A ）（0，2] （B ）（0，12] （C ）1，1） （D ）[12，1）12 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A.[1-1+B.[1C.[-1,1+D.[1-二、填空题：（本大题共5小题，共20分.）13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是14 椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 . 15 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且D F F B 2=，则C 的离心率为 .16 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17.（10分）已知点M 在椭圆221259x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹方程.18.(12分)椭圆221(045)45x y m m+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率e =O 作直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF 的面积是20，求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程19（12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.20（12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I) 求椭圆C 的离心率； (II) 如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.21（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

椭圆综合题：求最值和参数取值范围一．题型示例：1.(全国二21）．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(0A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若6ED DF = ，求k 的值；（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．2.(12广东20.）（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率23e =，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由。

3.如图所示，已知圆,8)1(:22=++y x C 定点A （1，0），M为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足0,2=⋅=AM NP AP AM ，点N 的轨迹为曲线E 。

（1）求曲线E 的方程；（2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H（点G 在点F 、H 之间），且满足λλ求,FH FG =的取值范围。

4.（09福建卷21）（本小题满分12分）如图、椭圆22221(0)x y a b a b+= 的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点. （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，恒有222OA OB AB + ,求a 的取值范围.规律总结：a.最值问题可用几何法和代数法：Ⅰ.条件和结论能明显体现几何特征和意义，则利用图形性质解决；Ⅱ.挖掘条件和结论间的函数关系，建立起目标函数，再求其最值.b.求参数取值范围:Ⅰ.不等式(组)求解法:根据题义,结合图形列出所讨论的参数的各项约束条件,通过解不等式(组)得出参数取值范围;Ⅱ.函数值域求解法:另选一个适当的参数(注意其范围)作为自变量来表示所讨论参数,通过求该函数的值域求得取值范围.二.强化训练：1.已知某椭圆的焦点是()()124,04,0F F -、，过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210FB F B +=。

专题三 直线与椭圆综合1．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a +=>>椭圆C 的长轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:l y kx =C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分14分） 已知椭圆G 的离心率为，其短轴的两个端点分别为A （0,1）,B（0,-1）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．（本小题满分12分）已知直线l ： 323-=x y 过椭圆C ：2221x a b2y ＋＝（a ＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．4．已知椭圆2222:1x y C a b+=（a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．5．已知椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴分别交于点E F 、．（1）求椭圆标准方程；（2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =，求实数m 的取值范围．7．（本小题满分13分）已知点P （一1，32）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 是椭圆E 上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且，求直线AB 的斜率8．已知椭圆E ：()22221 0, 0x ya b a b +=>>的离心率 e =，并且经过定点1)2P （1）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求 m 值，若不存在说明理由．9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2A ，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ∆的面积为7时，求直线的方程.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为2，过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求BM BN ⋅的取值范围.11．（满分14分）如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值. 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足167OM ON ⋅=（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =12）， （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.参考答案1．（1）2214y x +=；（2）存在实数2k =±使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a 和c 的值，再利用222a b c =+计算b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，由于以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ∙=，即12120x x y y +=，代入12x x 和12y y ，解出k 的值．试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得22a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩222431b a c =-=-=， 故所求椭圆C 的方程为2214y x +=． （2）存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．理由如下：设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322x y kx y并整理，得22(4)10k x ++-=．（*）则12x x +=，12214x x k =-+． 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．又2121212()3y y k x x x x =++，()()033121212=++++∴x x k x x k 于是2222163044k k k k +--+=++，解得k = 经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当2k =±时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．2．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）以MN 为直径的圆不过A 点． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞由c a =可得222,1a b ==由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设11C x y （，），且10x ≠，则11D x y -（，），由已知条件推导出202011x AM AN y -=+-⋅，()220021x y -＝，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．试题解析：（Ⅰ）设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞,所以,1b =，2c a =，222a c =，∴21c =，∴222,1a b ==， ∴椭圆方程为2212x y += （Ⅱ）设00(,)C x y ，则00(,)D x y -，001AC y k x -=，001BD y k x +=-, 000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- 令0y =，则0000,,11M N x x x x y y -==-+ ∴0000(,1),(,1)11x x AM AN y y =-=---+，∴2001(1)(1)xAM ANy y-⋅=+-+=2200211x yy--+-∵2212xy+=∴22012xy-=，∴22212xAM ANx-⋅==-，∴AM与AN不垂直，∴以MN为直径的圆不过A点．考点：椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系3．（Ⅰ）221 62x y+=;【解析】试题分析：（Ⅰ）通过分析可知直线l与x轴的交点为(2,0)，得2c=，又cea==，得a=2222b a c=-=，可得,22=b即可求得椭圆方程为22162x y+=；（Ⅱ）可设直线AB方程为1y kx=+，设1122(,),(,)A x yB x y，故1112AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=，为此可联立221162y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(31)630k x kx++-=，利用韦达定理，求出12122263,3131kx x x xk k-+==++，可得AOBS∆==令21,31tk=+则AOBS∆==1=t，即0k=时，AOBS∆试题解析：（Ⅰ）∵a b>，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴椭圆的焦点为(2,0)，∴2c=， 1分又∵3c e a ==，∴a =2222b a c =-= 3分 ∴椭圆方程为22162x y +=． 4分 （Ⅱ） 直线AB 的斜率显然存在，设直线AB 方程为1y kx =+设1122(,),(,)A x y B x y ，由221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(31)630k x kx ++-=， 显然0∆>，12122263,3131k x x x x k k-+==++ 6分 1212AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=分====分令2,31t k =+则(]0,1t∈， AOB S ∆==1t ∴=，即0k =时，AOB S ∆分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与曲线相交问题.4．（Ⅰ）22143x y +=；. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由2MNF ∆的周长为8，得4a=8，由12e =得222222314a c e ab a --＝＝＝，从而可求得b ；（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，），再由A 、B 在椭圆上可求0x ，此时易求点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知0∆＞，由OA ⊥OB ，得12120x x y y +=，即12120x x kx m kx m +++=（）（），整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线AB 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验0∆＞．试题解析：（Ⅰ）由题意知，4a=8，所以a=2，因为12e =，所以222222314a c e ab a --＝＝＝，23b ∴=．所以椭圆C 的方程22143x y +=； （Ⅱ）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，）．又A ，B 两点在椭圆C 上，222000121437x x x ∴+＝，＝所以点O 到直线AB的距离7d ＝ 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ．22143x y kx m y ⎧⎪⎨+=⎩+⎪＝，消去y 得2223484120k x kmx m +++-=（）． 由已知0∆＞，设1122A x y B x y （，），（，）．212122284343412km m x x x x k k -+-++＝，＝， ()()221212121212120010OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⊥∴+=∴+++=∴++++，．（）（），＝．()22222222284123431071142m k k k m k m m k -∴+++-+∴=+＝．（），满足0∆＞．所以点O 到直线AB的距离7d ＝为定值. 考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系5．（1）221205x y +=；（2）(5,3)(3,5)---；（3）详见解析． 【解析】 试题分析：（1，得224a b = ，由经过点(4,1)M ，得221611a b +=，联立求,a b 即可；（2）本题考查直线和椭圆位置关系，要注意判别式的隐含条件，联立椭圆方程和直线方程，利用0∆>和直线不经过点(4,1)M ，得关于m 的不等式，解不等式得m 的取值范围；（3）由数形结合可知，要证明MEF ∆是等腰三角形，只需证明120k k +=，表示两条直线的斜率，利用韦达定理设而不求，可证明120k k +=．试题解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =， 又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==，故椭圆标准方程为 221205x y += 4分 （2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-= 令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<．又由题设知直线不过M （4,1），所以41m +≠，3m ≠-，所以m 的取值范围是(5,3)(3,5)---． 8分（3）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，要证明MEF ∆是等腰三角形，只要证明120k k +=即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）知1285m x x +=-，2124205m x x -=．则1212121144y y k k x x --+=+-- 122112(1)(4)(1)(4)(4)(4)y x y x x x --+--=--．1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+-- 1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0， 120k k ∴+=， 所以MEF ∆是等腰三角形． 14分考点：1、椭圆标准方程；2、直线和椭圆位置关系；3、韦达定理.6．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）3([,3)． 【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3a c +=，且离心率为12，结合222a b c =+，求得,a b 的值，进而求椭圆方程；（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求。

椭圆相关的综合题基础训练：1.一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，形成一个离心率为2的椭圆，则这束光线与水平面的入射角大小为________2.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________3.已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =_________4.椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a b y a x 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是 .5．若直线l :与圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为 ．6.椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23=________ 4mx ny +=22:4O x y +=(,)m n 22194x y +=典型例题：如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为如图，P 是椭圆192522=+y x 上的一点，是椭圆的左焦点，且)(21OF OP OQ +=，4||=则点P 到该椭圆左准线的距离为 .3.如图，已知椭圆C：2221(2x y a a +=>的左右焦点分别为F 1、F 2，点B 为椭圆与y 轴的正半轴的交点，点P 在第一象限内且在椭圆上，且PF 2与x 轴垂直，51=∙F ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点B 关于直线m x y L +-=:的 对称点E （异于点B ）在椭圆C 上，求m 的值。

椭圆的几何性质一、槪念及性质1. 椭圆的"范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、“0,C的关系”；2. 椭圆的通经：3. 椭圆的焦点三角形的概念及而积公式：4. 椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：a-c<∖PF l∖≤a+c.5. 直线与椭圆的位置关系：6・椭圆的中点弦问题：【注L椭圆的几何性质是髙考的热点，髙考中多以小题出现，试题难度一般较大，髙考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1) 根据椭圆的性质求参数的值或范围：(2) 由性质写椭圆的标准方程：(3) 求离心率的值或范围・题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范弗I、离心率的值或范【羽.【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：3(1) 经过点P(-3,0),β(0-2): (2)长轴长等于20,离心率等于—•【典例2】求椭圆16x2+25y2 =400的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.2 2【典例3】已知A, P, Q为椭圆C：∆τ +二= l(α>b>O)上三点，若直线PQ过原点，Cr Zr且直线AP, AQ的斜率之积为-丄，则椭圆C的离心率为()2√2Cl √2r 1AA. ---- B・— C. -------- D・—2 2 4 4【练习】(1)已知椭圆£+张=I(Qb>0)的一个焦点是圆√+^-6x+8=0的圆心，且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A. (一3, 0)B. (-4, 0)C. (-10, 0)D. (一5, 0)(2) 椭圆曽+£=1的离心率为扌，则k的值为()19 19A. —21 B・21 C.—亏或21 D・牙或21(3) 设椭圆C：£+$=l(“>b>0)的左，右焦点为F∣, Fi,过尺作X轴的垂线与C相交于A,B两点，FlB与y轴相交于点D,若AD丄戸B,则椭圆C的离心率等于___________ .【典例4】已知几，6为椭圆卡+*=l(Qb>0)的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，且∖PF i∖ = 5∖PF2∖,则该椭圆的离心率的取值范围是 _______________2 2练习：如图，把椭圆—+ — = 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作X轴的垂线交椭圆25 16的上半部分与Pι∙P2,∙∙∙.P?七个点,F是椭圆的一个焦点,则IP^I+∣P^∣ + ---+∣P∕⅛∣=_【典例5】若“过椭圆→p=ιω>b>o)的左，右焦点尺，尺的两条互相垂直的直线n/2的交点在椭圆的内部S求离心率的取值范用・【典例6】已知椭圆C： £+¥=1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A, B,线段MN的中点在C上，则L4M+IBM= __________ ・【方法归纳】：1 •在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2•求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化匕一左要结合图形进行分析，当涉及顶点.焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理淸它们之间的内在联系，充分利用平而几何的性质及有关重要结论来探寻参数Y之间的关系，以减少运算:⅛∙3・在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化.4.求椭圆的离心率或其范用时，一般是依据题设得出一个关于Gk C的等式(或不等式)，利用√=∕X+c2消去4即可求得离心率或藹心率的范［亂有时也可利用正弦.余弦的有界性求解藹心率的范围.5・在探寻</, /7, C的关系时，若能充分考虑平而几何的性质，则可使问题简化，如典例5・【本节练习】31. 已知椭圆的长轴长是&离心率是歹则此椭圆的标准方程是()V? 牙2 γ2 F 丫2 γ∙2 y2牙2 F 丫2A- ⅛+T= 1 B- ⅛+7^= 1 或7+16=1 C- 16+S=1 D- l6+S= 1 或去+花=12. 设e是椭圆吕+£= 1的离心率，且e∈(*, 1)，则实数k的取值范用是()A. (0, 3)B. (3, y)C. (0, 3)U(γt÷∞) D・(O, 2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B∖, By若四边形BiF1B2Fz是正方形, 则这个椭圆的离心率幺等于()A.*B.*C.半D.半4.如图，焦点在X轴上的椭I^rq-÷P= 1的离心率e=*, F, A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF-M的最大值为5 •已知椭圆G Δv + Z- = l（rt>∕7>O）的左、右焦点为离心率为二.过佗的直cΓ.3线/交C于A.B两点，若AAFiB的周长为4馅，则C的方程为（）7 ? 2 *> 2X"）厂I Jr -> 工.I Jr y" IA.——+ — = 1B. — + V" = 1C.——+ — = 1D. — + — = 13 2 3 12 8 12 4X2 V26•已知戸、鬥是椭圆yθθ+g4=l的两个焦点，P是椭圆上一点，且PFXLPF2.则AFJF J的面积为_______7 •设片，化是椭圆E：二+ L = l(">b>0)的左、右焦点，P为直线X =—上一点，iΓ Zr2^F l PF｝是底角为30。

又|PM|－|PF1|＝－(|PF1|－|PM|)，则求|PM|－|PF1|的最小值，即求|PF1|－|PM| 的最大值，延长 F1M 交椭圆于点 P2，则 P2 是使|PF1|－|PM|取得最大值的点，即 使|PM|－|PF1|取得最小值的点，于是(|PM|－|PF1|)min＝－|MF1|＝－ 34.
【解析】 (1)由 e＝ac＝ 36及 a2＝b2＋c2，得 a2＝3b2. 又2ca2＝3 2，所以 a2＝3，b2＝1. 所以椭圆方程为x32＋y2＝1.
(2)由 e＝ac＝ 36及 a2＝b2＋c2，得 a2＝3b2，则椭圆的方程为3xb22＋by22＝1， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，则设 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，
(2)如图，连接 PF2，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则|PF1|＝10－|PF2|， 所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋10－|PF2|＝10＋(|PM|－|PF2|)，连接 MF2 并延长交椭圆于 点 P3，则 P3 是使|PM|＋|PF1|取得最大值的点，于是(|PM|＋|PF1|)max＝10＋|MF2| ＝10＋ （2－3）2＋（3－0）2＝10＋ 10.又|PM|＋|PF1|＝10－(|PF2|－|PM|)，延 长 F2M 交椭圆于点 P4，则 P4 是使|PF2|－|PM|取得最大值的点，即使|PM|＋|PF1| 取得最小值的点，于是(|PM|＋|PF1|)min＝10－|MF2|＝10－ 10.
探究 2 求椭圆离心率(或取值范围)的基本方法：
(1)当题中出现焦点三角形的三边关系时，可以直接利用定义 e＝ac求解．另
外，易求 b，c 时，可利用 e＝ b2c＋c2求解；易求 a，b 时，可利用 e＝

椭圆综合问题主讲老师：纪老师 北京某重点中学教师引入直线和圆有几种位置关系？椭圆呢？重难点易错点解析 题一：椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是_______．题二：椭圆22:12x C y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<，则|1PF |+|2PF |的取值范围为_____．金题精讲 题一 ：已知：动点M 的坐标为(,)x y （x y ÎR 、），向量(2,)a x y =-r ，(2,)b x y =+r ，且||||8a b += ．（Ⅰ）求：动点(,)M x y 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过点(0,2)N 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OP OA OB =+uu u r uu r uu u r （O 为坐标原点），是否存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．题二 ：如图，在椭圆22218x y a +=（0a >）中，1F ，2F 分别为椭圆的左，右焦点，B ，D 分别为椭圆的左，右顶点，A 为椭圆位于第一象限内的部分上的任意一点，直线1AF 交椭圆于另一点C ，交y 轴于点E ，且点1F ，2F 三等分线段BD ．（1）求a 的值；（2）若四边形2EBCF 为平行四边形，求点C 的坐标；（3）设1AF OAEOS S λ∆∆=，1CF O CEO S S μ∆∆=，求λμ+的取值范围．思维拓展题一：椭圆22:12x C y +=的两焦点为12,F F ，点00(,)P x y 满足2200012x y <+<，则直线0012x x y y +=与椭圆C 的公共点个数_____．学习提醒几何是基础，韦达是关键椭圆综合问题讲义参考答案重难点易错点解析题一：3．题二：．金题精讲题一 ：（Ⅰ）2211612x y +=；（Ⅱ）不存在．题二 ：（1）3；（2）(2,-；（3）(2,)+∞． 思维拓展题一：0．。

椭圆的几何性质一、概念及性质1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”；2.椭圆的通经：3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式：4.椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：c a PF c a +≤≤-1.5.直线与椭圆的位置关系：6.椭圆的中点弦问题：【注】：椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据椭圆的性质求参数的值或范围； (2)由性质写椭圆的标准方程； (3)求离心率的值或范围．题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围.【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点)2,0(),0,3(--Q P ；（2）长轴长等于20，离心率等于53. 【典例2】求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.【典例3】已知A ，P ，Q 为椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 上三点，若直线PQ 过原点，且直线AP ，AQ 的斜率之积为21-，则椭圆C 的离心率为（ ）A.22B.21C.42D.41【练习】(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3，0)B ．(－4，0)C ．(－10，0)D ．(－5，0)（2）椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D ．1925或21(3)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．【典例4】已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，且215PF PF =，则该椭圆的离心率的取值范围是练习：如图，把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则721PF PF PF +++Λ=【典例5】若 “过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点F 1，F 2的两条互相垂直的直线l 1，l 2的交点在椭圆的内部”，求离心率的取值范围．【典例6】已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________．【方法归纳】：1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2.求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化”，一定要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系，以减少运算量．3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化．4. 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围；有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的范围．5.在探寻a ,b ,c 的关系时，若能充分考虑平面几何的性质，则可使问题简化，如典例5. 【本节练习】1．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A ．x 216＋y 27＝1B ．x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1C ．x 216＋y 225＝1D ．x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝12.设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e ∈(12，1)，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(3，163)C ．(0，3)∪(163，＋∞) D ．(0，2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则这个椭圆的离心率e 等于( )A ．22B ．12C ．32D ．334.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．5.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A,B 两点，若△AF 1B 的周长为34，则C 的方程为（ ）A.12322=+y x B.1322=+y x C.181222=+y x D.141222=+y x6.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．7.设21,F F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为300的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.21B. 32C.43D. 548.过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若02160=∠PF F ，则椭圆的离心率为（ ）A.25B.33C.21 D.319.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BA BF ⊥，则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为10.已知1F 为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当A F PF 11⊥，PO ∥AB （O 为椭圆中心）时，椭圆的离心率为11．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(12，2)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(12，1)12．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 313．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A ．x 28＋y 26＝1B ．x 216＋y 26＝1C ．x 28＋y 24＝1D ．x 216＋y 24＝114.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为________．15.已知抛物线42x y =与椭圆)0(118222>=+a y ax 在第一象限相交于A 点，F 为抛物线的焦点，AB ⊥y 轴于B 点，当∠BAF =300时，a =16. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．17．椭圆x 236＋y 29＝1上有两个动点P 、Q ，E (3，0)，EP ⊥EQ ，则EP →·QP →的最小值为( )A ．6B ．3－ 3C ．9D ．12－6 318．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．19．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是________．20.已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．114. 椭圆()01:2222>>=+Γb a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2，若直线()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为（A ）316 （B ）23 （C ）22 （D ）32若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是21.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为( )A ．53B ．23C ．22D ．5922. 已知,,A P Q 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上三点，若直线PQ 过原点，且直线,AP AQ 的斜率之积为12-，则椭圆C 的离心率等于( )A B ．12 C D ．14题型二：直线与椭圆的位置关系的判定.【典例1】当m 为何值时，直线m x y l +=:与椭圆14416922=+y x 相切、相交、相离？【典例2】已知椭圆192522=+y x ，直线04054:=+-y x l ，椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？反馈：（2012福建）如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，离心率21=e ，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ：m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x =4交于Q ，试探究：在坐标平面内，是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.【方法归纳】：直线与椭圆位置关系判断的步骤： ①联立直线方程与椭圆方程；②消元得出关于x (或y )的一元二次方程；③当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．注：对比直线与圆的位置关系的判断，它们之间有何联系与区别？题型三：直线与椭圆相交（及中点弦）问题该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题，其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.【典例1】已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点，交椭圆于A ,B 两点，求弦AB 的长及1ABF ∆的周长、面积.【典例2】已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程．【典例3】已知一直线与椭圆369422=+y x 相交于A ,B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程.变式：过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为【典例4】（2015新课标文）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>> 的离心率为22,点()2,2在C 上.（I ）求C 的方程；（II ）直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【典例5】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 23O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.【典例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：m kx y +=与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 均不在左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【方法归纳】：（1）解决直线与椭圆相交问题的原则有两个：一是数形结合；二是一条主线：“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换，以减少运算量.（2）如果题设中没有对直线的斜率的限定，一定要讨论斜率是否存在，以免漏解；这里又有两个问题需要注意：①若已知直线过y 轴上的定点P (0,b )，可将直线设为斜截式，即纵截距式，即y =kx +b ，但要讨论斜率是否存在；②若已知直线过x 轴上的定点P (a ,0)，可以直接将直线方程设为横截距式，即x =my +a ，这样可避免讨论斜率是否存在，但此时求弦长时，需将下面弦长公式中的k 用m1替换. （3）直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋1k2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．【本节练习】1.(2014·高考安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．2. (2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B ． 2C ．32 D ． 33．(2015·宜昌调研)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．5.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0，1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．5’.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，右焦点到直线06=++y x 的距离为32. (1)求椭圆的方程；（2）过点)1,0(-M 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于N 点，满足57-=，求直线l 的方程.6.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且长轴长为12，过点P(4,2)的直线l 与椭圆交于A,B 两点.(1)求椭圆方程；（2）当直线l 的斜率为21时，求AB 的值；(3)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求直线l 的方程.7. 平面直角坐标系xoy 中,过椭圆M ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点F 作直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点,且OP 的斜率为21. (Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ)C ,D 为M 上的两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值.8. 设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B 两点，且22,,AF AB BF 成等差数列.（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)p -满足PA PB =，求E 的方程.9. 设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （I ）若直线MN 的斜率为43，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN |=5|F 1N |，求a ，b .10． 如图，点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q ．(1)如果点Q 的坐标是(4，4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．11.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4．(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ， （文）求线段AB 长度的最小值．（理）试判断直线AB 与圆222=+y x 的位置关系.圆锥曲线在高考中的考查主要体现“一条主线,五种题型”,所谓一条主线:是指直线与圆锥曲线的综合.五种题型是指“最值问题；定点问题；定值问题；参数的取值范围问题；存在性问题”.一、 最值问题 【规律方法】：（1）最值问题有两大类：距离、面积的最值以及与之有关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2）两种常见方法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解题；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法；若是分式函数则可先分离常数，再求最值；若是二次函数，可用配方法；若是更复杂的函数，还可用导数法. （3）圆锥曲线的综合问题要四重视： ①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的作用；③重视根与系数的关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.如定值中2014江西文科考题，范围中的题6、7.1.已知椭圆C ：1222=+y ax （a >0）的焦点在x 轴上，右顶点与上顶点分别为A 、B .顶点在原点，分别以A 、B 为焦点的抛物线C 1、C 2交于点P （不同于O 点），且以BP 为直径的圆经过点A .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若与OP 垂直的动直线l 交椭圆C 于M 、N 不同两点，求△OMN 面积的最大值和此时直线l 的方程.2.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为（0，1），且离心率为23.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆)0(12222>>=+n m ny m x 上一点),(00y x Q 的切线方程为12020=+nyy m x x ； （Ⅲ）从圆1622=+y x 上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为A 、B ，当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.3.已知动点P 到定点F （1，0）和到定直线x =2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：n mx y +=与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点（与A 、B 不重合）. （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆122=+y x 相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值.若有，求出其最大值及相应的直线l 的方程；若没有，请说明理由.4. 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.5.平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且点)21,3(在椭圆C 上，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆144:2222=+b y a x E ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于B A ,两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求OPOQ 的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值。

椭圆专题总结、直线与椭圆问题的常规解题方法1.设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不-存在；②设为y=kx+b与x=my+n 的区别）2.设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）3.联立方程组；4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB为直径的圆过点0” （提醒：需讨论K是否存在）②“点在圆内、圆上、圆外问题”=“直角、锐角、钝角问题”=“向量的数量积大于、等于、小于 0问题”二X1X2 y i y2 0 >0 ；③“等角、角平分、角互补问题” =斜率关系（K i K^0或©二K2）；④“共线问题”—I —I（如: AQ=^QB=数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、0、B三点共线=直线OA与OB斜率相等）；⑤“点、线对称问题”二坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”二转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；6.化简与计算；7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

(1)求椭圆的方程；
(2)过1F作两直线,m n交椭圆于
(1)记椭圆与抛物线的公共弦为MN，求|MN
(2)P为抛物线上一点，1F为椭圆的左焦点，直线
线交于P，Q两点，求||
||
AB
PQ的最大值．
（1）求椭圆的方程∶
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过M点作两条互相垂直的直线MA，
(1)当(),t a a ∈-时，设直线=x t 交椭圆于的周长最大值为42，求椭圆方程；
(2)在第（1）问条件下，将直线=x t 移动至为半径的圆交2x a =-于,M N 两点，直线
(1)若M的坐标为
335
28
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
，，求四边形PMNF
(2)若PN与椭圆Γ相切于N且121 4
NF NF
⋅=
(3)作N关于原点的对称点N'，是否存在直线
23
7，若存在，求出直线2
F N的方程和N的坐标，若不存在，请说明理由．
(1)求12F AF 的周长；
(2)若以2F 为圆心的圆截y (3)设l 的斜率为k ，在x 轴上是否存在一点求出M 的坐标；若不存在，请说明理由
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设点C为x轴上（不同于,A B）一定点，若过点
M N两点，求证：与直线2
x=-和直线2
x=分别交于,
∠=∠．
ACP ACQ。