2002选修课试卷(数模)

2002年全国高中数学联赛试题及解答一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜≤0｝，Ｂ＝｛ｘ｜＝10ｘ｝，则Ａ∩是（）．Ａ．｛2｝Ｂ．｛－1｝Ｃ．｛ｘ｜ｘ≤2｝Ｄ．2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ＞ｃｏｓ，则的取值范围是（）．Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈ＺＢ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈ＺＣ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈ＺＤ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ3．已知点A为双曲线ｘ2－ｙ2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（）．Ａ．／3 Ｂ．3／2 Ｃ．3Ｄ．64．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（）．Ａ．无实根Ｂ．有两个相等实根Ｃ．有两个同号相异实根Ｄ．有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5的距离中的最小值是（）．Ａ．／170 Ｂ．／85 Ｃ．120 Ｄ．1306．设ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（）．Ａ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｂ．ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1＝0Ｃ．ｘ4－ｘ3－ｘ2＋ｘ＋1＝0Ｄ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2－ｘ－1＝0二、填空题〖ＨＴＫ〗（本题满分54分，每小题9分）7．ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ2000°）＝_______．8．设ａｎ是（3－）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则＝_______．9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83的公比是______． 10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是，则∠ＡＢＦ＝______．11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为ａ，则这个球的体积是______．12．如果：（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄ都属于｛1，2，3，4｝；（2）ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ｄ，ｄ≠ａ；（3）ａ是ａ，ｂ，ｃ，ｄ中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是______．三、解答题〖ＨＴＫ〗（本题满分60分，每小题20分）13．设Ｓｎ＝1＋2＋3＋…＋ｎ，ｎ∈Ｎ，求ｆ（ｎ）＝的最大值．14．若函数ｆ（ｘ）＝－1／2ｘ2＋13／2在区间［ａ，ｂ］上的最小值为2ａ，最大值为2ｂ，求［ａ，ｂ］．15．已知Ｃ0：ｘ2＋ｙ2＝1和Ｃ1：ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0），那么，当且仅当ａ，ｂ满足什么条件时，对Ｃ1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与Ｃ1内接的平行四边形？并证明你的结论．参考答案或提示一、1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．Ｂ；6．Ｂ．提示：1．易得Ａ＝｛2｝，Ｂ＝｛－1，2｝，则Ａ∩＝．2．由2ｋπ＋π／2＜α＜2ｋπ＋π，得2ｋπ／3＋π/6＜α＜2ｋπ／3＋π／3（ｋ∈Ｚ）．又由ｓｉｎ＞ｃｏｓ，得2ｋπ＋π／4＜＜2ｋπ＋5π／4（ｋ∈Ｚ）．∴α∈（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，ｋπ＋π）（ｋ∈Ｚ）．3．不妨设Ｂ点在ｘ轴上方，则ＡＢ：ｙ＝／3ｘ＋／3，代入ｘ2－ｙ2＝1，得Ｂ（2，）．同理可得Ｃ（2，－）．故Ｓ△ＡＢＣ＝3．4．由2ｂ＝ｐ＋ｃ，2ｃ＝ｑ＋ｂ，得ｂ＝2ｐ＋ｑ3，ｃ＝ｐ＋2ｐ3．于是从而Δ＝4ａ2－4ｂｃ＜0，方程无实根．5．整点（ｘ0，ｙ0）到直线5ｘ－3ｙ＋12＝0的距离为ｄ＝｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜／5．因25ｘ0－15ｙ0是5的倍数，所以｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜≥2，当ｘ0＝－1、ｙ0＝－1时等号成立．故／85即为所求．6．由ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ知，ω，ω2，ω3，…，ω10（＝1）是1的10个十次方根，则（ｘ－ω）（ｘ－ω2）（ｘ－ω3）…（ｘ－ω10）＝ｘ10－1．①又ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个五次方根，则（ｘ－ω2）（ｘ－ω4）（ｘ－ω6）（ｘ－ω8）（ｘ－ω10）＝ｘ5－1．②①÷②后，再两边同除以ｘ－ω5（＝ｘ＋1），得（ｘ－ω）（ｘ－ω3）（ｘ－ω7）（ｘ－ω9）＝ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1．二、7．－π／9；8．18；9．1／3；10．90°；11．ａ3；12．28．提示：7．原式＝ａｒｃｓｉｎ［ｓｉｎ（－π／9）］＝－π／9．8．∵ａｎ＝Ｃｎ2·3ｎ－2，∴3ｎ／ａｎ＝…＝18（）．∴原式＝18＝ (18)9．公比，由等比定理，得10．由ｃ／ａ＝，得ｃ2＋ａｃ－ａ2＝0．又｜ＡＢ｜2＝ａ2＋ｂ2，｜ＢＦ｜2＝ａ2，故｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2＝…＝3ａ2－ｃ2．而｜ＡＦ｜2＝（ａ＋ｃ）2＝…＝3ａ2－ｃ2＝｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2，故∠ＡＢＦ＝90°．11．易知球心O为正四面体的中心，O点与棱的中点连线成为球的半径ｒ，则ｒ＝，故球的体积为Ｖ＝…＝．12．按中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的数字时，组成＝6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成＝16个数；（3）恰有4个不同数字时，组成＝6个数．故符合要求的四位数共有6＋16＋6＝24（个）．三、13．，当且仅当ｎ＝64／ｎ，即ｎ＝8时，上式等号成立，故ｆ（ｎ）ｍａｘ＝1／50． 14．分三种情况讨论：（1）当0≤ａ＜ｂ时，ｆ（ａ）＝2ｂ，ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［1，3］．（2）当ａ＜0＜ｂ时，ｆ（0）＝2ｂ，ｆ（ａ）＝2ａ或ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［－2－，13／4］．（3）当ａ＜ｂ≤0时，ｆ（ａ）＝2ａ，ｆ（ｂ）＝2ｂ．无解．综上，［ａ，ｂ］＝［1，3］或［－2－，13／4］．15．所求条件为1／ａ2＋1／ｂ2＝1．证明如下：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心．假设结论成立，则对点（ａ，0），有（ａ，0）为顶点的棱形与Ｃ1内接，与Ｃ0外切．（ａ，0）的相对顶点为（－ａ，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在ｙ轴上，为（0，ｂ）和（0，－ｂ）．菱形一条边的方程为ｘ／ａ＋ｙ／ｂ＝1，即ｂｘ＋ａｙ＝ａｂ．由于菱形与Ｃ0外切，故必有，整理得1／ａ2＋1／ｂ2＝1．必要性得证．充分性：设1／ａ2＋1／ｂ2＝1，P是Ｃ1上任意一点，过P、O作C1的弦PＲ，再过O作与ＰＲ垂直的弦ＱＳ，则PQRS为与Ｃ1内接的菱形．设｜ＯＰ｜＝ｒ1，｜ＯＱ｜＝ｒ2，则点P的坐标为（ｒ1ｃｏｓθ，ｒ1ｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｒ2ｃｏｓ（θ＋），ｒ2ｓｉｎ（θ＋）），代入椭圆方程，得又在Ｒｔ△ＰＯＱ中，设点O到PQ的距离为ｈ，则同理，点Ｏ到ＱＲ，ＲＳ，ＳＰ的距离也为1，故菱形PQRS与Ｃ0外切．充分性得证．说明：今年高中数学联赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老师提供，第6题和第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供．。

数学建模钢管订购和运输二 问题分析问题一，所有钢管必须先运到天然气主管道铺设路线上的节点1521A A A →→→ ，以节点为中心向两边铺设。

所以我们必须先求出每个钢管厂721,,S S S 到每个节点1521A A A →→→ 的每单位钢管的最小运输费用。

对最小运费的求解：先求出铁路网上钢管厂到铁路上任意两点Ｐｉ，Ｐｊ的最短路线的长度ij L ,用matlab 求得ij L 对应的铁路单位运费ij D ；同理用求出公路网上的任意两点Ｐｊ， Ｐｋ的最短公路路线的长度jk L ，结果乘以0.1得到公路运费jk D 1。

)1min(jk ij ik D D C +=，j 表示所有运输中转点，于是就得到从某钢厂到某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。

每个铺设点分别向左右两个方向展开，通过Lingo 编程求出最小铺设费用。

运输费用加上购买费用再加上铺设费用就是我们所要求的总费用。

问题二，通过问题一里面Lingo 编程运行得出的结果，进行敏感度分析，由敏感度的定义可求出哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。

同时我们从影子价格的角度进行分析，进行验证。

三 模型的假设与符号说明1) 基本假设:①所需钢管均由)7,...,1(=i S i 钢厂提供；②钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计其它费用；③假设运送的钢管路途中没有钢管的丢失和增加，也没有因为自然因素而产生损坏；④把“钢厂钢管的销价和产量上限变化对总费用和运购计划的影响”理解为总费用和运购计划对钢厂钢管的销价和产量上限微小变化的敏感度问题；⑤假设销价最小变化是1万元，产量上限的最小变化是1个单位。

2) 符号说明1:1)21,...,2,115,...,2,17,...,2,1(===j j i ，对于第二问：而对于第一问：其中i S : 钢厂i S 的最大生产能力; i p : 钢厂i S 的出厂钢管单位价格(单位: 万元) ;d : 公路上一单位钢管的每公里运费(d = 0. 1 万元) ; ij D ：铁路网上两点间的单位钢管最少运输费用；jk D 1：题图一公路网上两点间的单位钢管最少运输费用； jk D 2：题图二公路网上两点间的单位钢管最少运输费用；e : 铁路上一单位钢管的运费(分段函数见表1) ; ij c : 1 单位钢管从钢厂i S 运到j A 的最小费用(单位: 万元) ;j b : 从j A 到1+j A 之间的距离(单位: 千米) ; ij x : 钢厂i S 运到j A 的钢管数;j L : 运到j A 地的钢管向左铺设的数目; j R : 运到j A 地的钢管向右铺设的数目;j Z ：运到j A 地的钢管向第三个方向铺设的数目;it : =⎩⎨⎧不提供钢管；，钢厂提供钢管；，钢厂i i S 0S 1W : 问题一中所求钢管订购、运输的总费用(单位: 万元) ;Ｗ１: 问题二中所求钢管订购、运输的总费用(单位: 万元) ;四 模型的建立与求解问题一的模型：针对题图一，用matlab 编程求出单位钢管从i S 运输到j A 的最小运输费用，具体数据如下表1：表1 单位钢管从i S 运输到j A 的最小运输费用（单位：万元）对表1的数据进行分析，我们得到一个非线性规划模型：目标函数是总费用W , 它包含三项: 钢管出厂总价Q , 运输费P , 及铺设费T. 即W = Q + P + T其中 ij i j i x p Q ∙=∑∑==71151， ij i j ij x c P ∙=∑∑==71151， ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∑=2121151jjj j j RR L L d T 目标函数为： ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∙+∙=∑∑∑∑∑=====2121m i n 1517115171151j j j j j ij i j ijij i j i R R L L d x cx p W 约束条件为:① 生产能力的限制: i i j ij i t s x t ∙≤≤∙∑=151500 )7,...,1(=i)10(或=i t② 运到j A 的钢管用完:j i j ijR L x+=∑=71)15,...,1(=j③ j A 与1j +A 之间的钢管: j j b L R =++1j )14,...,1(=j④ 变量非负性限制: 0,0,0≥≥≥jR L x j ij , )15,...,1,7,...,1(==j i⑤ 运到j A 的钢管整数限制: N x ij ∈ 运用数学软件Lingo 编程求解最优最小费用1278632.=W 万元 问题二的模型通过分析问题一中关于销价的约束，Lingo 运行后得到的结果得 问题一用Lingo 软件求解的编程：运行结果如下：结果分析：1）确定哪个钢厂的销价的变化对购运计划和总费用的影响最大我们假设该钢厂的销价变化在±10%i p 万元以内，这是较为合理的，将目标函数的w 表示为i p 的函数：127127127w =f p ,,...,),......p p fff w p p p p p p δδδδ∆=∆+∆++∆∆∆（因此在销价的变化量相同时，if p δδ越大，则i p 的变化对w 的变化影响越大。

说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设6分的0分两档，填空题只设9分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再啬其他中间档次。

2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 221--x x 的单调递增区间是(A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞)2、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 4999C 3、 由曲线x 2=4y, x 2= 4y, x=4, x= 4围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为V 1，满足x 2+y 2≤16, x 2+(y-2)2≥4, x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则[来源:](A) V 1=21V 2 (B) V 1=32V 2 (C) V 1=V 2 (D) V 1=2V 2 二、 填空题（本题满分54分，每小题9分）4、 已知复数Z 1,Z 2满足|Z 1|=2, |Z 2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则2121z z z z -+= 。

5、 将二项式n xx )21(4+的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的指数是整数的项共有 个。

三、 解答题（本题满分60分，每小题20分）6、 已知点A(0,2)和抛物线y=x 2+4上两点B 、C 使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围。

2016江西财经大学数学建模竞赛（A题、B题或C题）论文题目参赛队员: 袁宇超、於江池、陈宏宇参赛队编号：20160212016年5月20日~5月25日承诺书我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： C我们的参赛队编号为2016021参赛队员(打印并签名) ：队员1. 姓名袁宇超专业班级软件工程144队员2. 姓名於江池专业班级管理科学与工程类142队员3. 姓名陈宏宇专业班级管理科学与工程类142日期： 2016 年 5 月 25 日编号和阅卷专用页江西财经大学数学建模竞赛组委会2016年5月15日制定基于时间序列和神经网络的上证指数走势预测模型摘要随着经济的发展，人们生活水平的提高，人们不再为衣食住行而忧心。

有更多的闲散资金用于投资，股票，一种高风险高收益的债券成为越来多人的选择。

然而股票市场风云莫测，谁也无法完全准确的预测出未来走势，但做出基本的预测确是必须的。

本文采用了指数平滑法，自回归移动模型及神经网络模型，对股票的未来走势做出了基本预测。

由于我们选用的数据为2015-01-04至2016-04-01的2731个收盘价数据，数据量庞大，三个模型预测值与实际值在图表上肉眼看去，几乎一致。

但采用移动平均法的RMSE= 85.2756，采用一次指数平滑法的RMSE= 56.107，采用ARIMA模型RMSA=55.583，采用神经网络模型的RMSE=11.1739.。

综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题) (1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.(2)用多种方法可以证明n 支球队“各队每两场比赛最小相隔场次r 的上界”(如n =5时上界为1)是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ,如: 设赛程中某场比赛是i ,j 两队, i 队参加的下一场比赛是i ,k 两队(k ≠j ),要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ,则上述两场比赛之间必须有除i ,j ,k 以外的2r 支球队参赛,于是32+≥r n ,注意到r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的n 编排出达到该上界的赛程.如对于n =8, n =9可以得到:1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A每两场比赛相隔场次数相隔场次总数 1A × 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18 2A 1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 19 3A5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19 4A 96 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19 5A 13 23 10 28 × 4 187 2,2,2,4,4,4 18 6A 17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 17 7A 21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 17 8A25 1621972212×4,4,3,2,2,2171A2A3A 4A5A 6A 7A 8A 9A每两场比赛相隔场次数 相隔场 次总数1A × 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28 2A 36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27 3A6 2 × 35 15 30 20 25 10 3,3,4,4,4,4,4 26 4A 31 27 35 × 3 18 8 13 23 4,4,4,4,3,3,3 25 5A 11 7 15 3 × 34 24 29 19 3,3,3,3,4,4,4 24 6A 26 22 30 18 34 × 4 9 14 4,4,3,3,3,3 23 7A 16 12 20 8 24 4 × 33 28 3,3,3,3,3,3,4 22 8A 21 17 25 13 29 9 33 × 5 3,3,3,3,3,3,3, 21 9A13210231914285×3,4,3,4,3,4,324可以看到, n =8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4, n =9时每两场比赛相隔场次数只有3,4,以上结果可以推广,即n 为偶数时每两场比赛相隔场次数只有22-n ,12-n ,2n,n 为奇数时只有23-n ,21-n . (4)衡量赛程优劣的其他指标如平均相隔场次 记第i 队第j 个间隔场次数为ij c ,2,2,1,,,2,1-==n j n i ,则平均相隔场次为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121)2(1r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算n =8,n =9的r ,并讨论它是否达到上界.相隔场次的最大偏差 定义||,r c Max f ij j i -=∑-=--=21|)2(|n j ij r n c Max gf 为整个赛程相隔场次的最大偏差,g 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小越好.可以计算n =8,n =9的f ,g ,并讨论它是否达到上界.参考文献工程数学学报第20卷第5期2003 2. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ,可以认为α和β无关, ()()βαβαh g f -=),(,g ,h 取尽量简单的形式,如αα=)(g ;0)(=βh (030≤β),0)(h h =β)30(0>β. (1)可030≤β将作为必要条件,以α最大为最佳座位的标准.在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴x ,可以得到⎪⎭⎫⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数.可得x ≈1.7m,即第3(或4)排处030=β.又通过计算或分析可知α也是x 的减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.(2)设定一个座位间隔l (如0.5m), x 从0(或030≤β处)到d D -按l 离散,对于)20~0(00θ计算α的平均值,得020=θ时其值最大.(3)可设地板线是x 的二次曲线2bx ax +,寻求a ,b 使α的平均值最大. 实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线.3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题)该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和.假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数c .0x ~初始污水量,~k u 第k 轮加水量,k x ~第k 轮脱水量),,2,1( =k .设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变.于是cx c u x c xc u x c x u x n n n =+=+=--11221110,,, , 得到)()(210c u c u u c x x n n n ++=. 在最终污物量与初始污物量之比0/x x n 小于给定的清洁度条件下,求各轮加水量k u ),,1(n k =,使总用水量最小,即∑=nk k u u Min k 1()ε<++)(..21c u c u u c t s n n等价于)()(21c u c u u Min n u k +++++α=++)()(..21c u c u u t s na 为常数可得c u c u u n +==+= 21,即第n ~2轮加水量u u k =(常数),第1轮加水量c u u +=1.令cx u =,问题简化为nx Min u n ,ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛+nx t s 11.. 其解为0→x ,即0→u ,而∞→n .这与实际上是不合理的.应该加上对u 的限制:21v u v ≤≤.则得max min n n n ≤≤,其中 max min n n n ≤≤,1)/1ln(2min +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c v n α这样,n为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略.参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期,19974.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B 题)题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义x=教龄t+7×k (对于讲师、助理教授、副教授、教授,k 分别取值0,1,2,3),然后寻求工资函数I(x),使之满足题目的要求,如I(0)=27000,I(7)=32000等,以及x 较大时022<dxId .另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函数J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数J(k,t)=k k k k b a t b a ,,+(k=0,1,2,3)根据一定条件确定.按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为x 的教师的工资都应为I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高,尽快达到理想值I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的.按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等),再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况.参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，2001 5. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A 题） 设ij a 为第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即)8arcsin(ijij r a =其中ij r 为这两架飞机连线的长度），ij β为第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对速度（矢量）与这两架飞机连线（从i 指向j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），i θ为第架飞机飞行方向角调整量.本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学规划模型：∑=61i i Min θs.t. ,)(21ij j i ij a >++θθβ j i j i ≠=,6,,1,30≤i θ , 6,,1 =i为了利用LINGO 求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算出ij α和ij β.其实，ij α和ij β也是可以直接使用LINGO 来计算的，这相当于解关于ij α和ij β的方程，只是解方程并非LINDO 软件的特长，这里我们作为一个例子，看看如何利用LINGO 计算ij α，可输入如下模型到LINGO 求解ij α：MIDEL ： 1]SETS:2] PLANE/1..6/：x0,y0; 3] link(plane,plane):alpha,sin2: 4]ENDSETS5] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:6] sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+ 7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J))); 8] ）；9] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:10] (@SIN(alpha*3./180.0))^2=SIN2; 11] ); 12]DATA:13] X0=150,85,150,145,130,0; 14] Y0=140,85,155,50,150,0; 15]endata END 计算结果如下：ija j=1 2 3 4 5 6i =1 0.000 0 5.391232.2315.091820.96342.23452 5.391 2 0.0000 4.804 0 6.61355.807 9 3.81593 32.2310 4.8040.000 0 4.364722.83372.12554 5.091 8 6.6135 4.364 7 0.0004.4.537 2.98985 20.9634 5.807922.83374.53770.000 0 2.30986 2.234 5 3.8159 2.125 5 2.98982.309 8 0.000ijβ也可类似地利用LINGO求得，计算结果如下：ijβj=1 2 3 4 5 6i =1 0.000109.263 6-128.250 024.179 8173.065 114.474 92 109.263 60.000 0-88.871 1-42.243 6-92.304 89.000 03 -128.250 0-88.871 10.00012.476 3-58.786 20.310 84 24.179 8-42.243 612.476 30.000 05.969 2-3.525.65 173.065 1-92.304 8-58.786 25.969 20.000 01.914 46 14.479.000.310 -3.5 1.910.04 9 0 0 8 256 4 4 00 0于是，该飞机管理的数学规划模型可如下输入LINGO求解：MODEL:1]SETS2] plane/1..6/:cita:3] link(plane,plane):alpha,beta;4]ENDSETS5] min=@sum(plane:@abs(cita));6] @for(plane(I):7] @bnd(-30,cita(I),30);8] );9] @fpr(link(I,j)|I#NE#J:10] @ABS(beta(I,J)+0.5*cit(I)+0.5*cita(J))11] >alpha(I,J);12] ）;13]DATA:14] A;[JA=0.000 0 5.391.2…..…2.309 8 0.000 020] ;21] BETA=0.000 010 9.263 6………1.914 4 0.000 027] ;28]enddataEND[注] alpha,beta中数据略去，见上面表格.求解结果如下：OPTIMUM FOUND AT STEP 197SOLUTION OBJECTIVE VALUE= 3.630V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTCITA(1) 0.E-06 -1.000 000 CITA(2) -0.E-05 -0.715 033 4CITA(3) 2.557 866 1.000 000 CITA(4) -0.E-04 0.E+00 CITA(5) 0.E-05 -1.000 000 CITA(6) 1.071 594 0.E+00 ………. (以下略)由此可知最优解为：︒︒≈≈07.1,56.263θθ （其它调整角度为0）.评注：如果将目标改为最大调整量最小，则可进一步化简得到线形规划模型，也可用LINDO 或LINGO 求解.参考文献：《数学的实践与认识》第26卷第1期，1996 6. 降落伞的选择这个优化问题的决策变量是降落伞数量n 和每一个伞的半径r ，可先将n 和r 看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求作适当调整.目标函数之降落伞的费用，可以根据表1数据拟合伞面费用1C 与伞的半径r 的关系。

2002年全国大学生数学建模竞赛（B题）湖南农业大学（410128）队员伍俊祥谭聪权张新其指导老师王志明完卷日期2002年9月23日彩票中的数学模型设计[摘要]本文分两个部分。

首先我们利用Matlab软件算出了29种方案的各奖项的中奖概率，并对其进行数据处理，建立了以各项奖金额的平均方差和为评判标准。

利用多目标搜索法编程求出其最优化方案，并列出其奖金分配比例。

并且我们从该模型可以很明确地看出奖项和奖金额的设置对模型结果的影响比较大；结论是方案6最好。

其次，在第一个模型的基础上，我们考虑了更一般的情况，建立了第二个模型。

模型二依旧采用模型一的评价标准，只不过模型二考虑到了更改奖项和奖金额的设置、奖项之间的比例分配大小等因素变化对结论的影响。

模型二在那些影响彩民吸引力的诸多因素中进行搜索，因此我们通过模型二完全可以找到一个合理的方案来。

本文的结论及提出的评判标准，对于彩票发行具有很强的指导性，列出了很多较优方案供有关部门参考。

一问题重述：关于彩票抽奖有很多种玩法即方案，例如6+1/10，7/33，6+1/33，7/35等。

这些方案基本上都有这样的规则：返回奖金比例一定，一等奖的保底和封顶金额都固定。

高项奖按比例分配，低项奖数额固定。

问题为1：对这些已有的方案加以分析各种奖项的概率，并从奖项和奖金额的设置对彩民的吸引力等因素出发分析其方案的合理性；2：设计一个更优的方案，并写出其算法；3：写出一篇短文，供彩民在实际操作中参考。

二基本假设(1)假设每人只买一注奖券，若有一人买多注的情况则看成是多个人每人只买一注的情况。

每注金额为2元。

若有m个人购买，则卖奖券的总的资金收入为m2，那么各种方案各个奖项的实际中奖人数就为pm*。

k)(i,(2)忽略上次滚入的金额数。

即每次买奖券的人员中的实际中奖比例就为各种方案中各种奖项的中奖比例，而且每次抽奖的奖金全部返回给彩民。

(3)每次卖彩票的总收入的%50至少多于各奖项的保底金额。

2012江西财经大学数学建模竞赛(C题)住房贷款最优方案研究参赛队员: 徐蒋军、李立强、涂阳阳、叶罗清雯参赛队编号：20120732012年5月26日~5月31日承诺书我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C中选择一项填写)： C我们的参赛队编号为2012073参赛队员(打印并签名) ：队员1. 姓名徐蒋军专业班级10级信息管理与信息系统1班队员2. 姓名李立强专业班级10级信息管理与信息系统1班队员3. 姓名涂阳阳专业班级10级信息管理与信息系统1班队员4. 姓名叶罗清雯专业班级10级信息管理与信息系统1班日期： 2012 年 5 月 31 日编号和阅卷专用页参赛队编号：2012073参赛队员填写参赛队员姓名所有数学类与计算机类课程成绩(意愿参加全国竞赛者填写)是否选修数学建模课程是否有意愿参加全国竞赛徐蒋军《高等数学(I)》97分《C语言程序设计》 94分《高等数学(II)》92分《C++面向对象设计》 93分《线性代数(I)》86分是是李立强《高等数学(I)》94分《C语言程序设计》 91分《高等数学(II)》90分《C++面向对象设计》 88分《线性代数(I)》89分是是涂阳阳《高等数学(I)》85分《C语言程序设计》 72分《高等数学(II)》73分《C++面向对象设计》 88分《线性代数(I)》86分是是叶罗清雯《高等数学(I)》74分《C语言程序设计》 63分《高等数学(II)》88分《C++面向对象设计》 70分《线性代数(I)》70分是是阅卷填写，参赛者不得填写评分(百分制) 评阅人最终得分小组评价负责人阅卷专家评语备注1、是否选修数学建模：指本学期是否选修了数学建模课程2、是否有意愿参加全国竞赛：指参加今年的全国大学生数学建模竞赛，一经选定，不得退赛，否则将建议学生所在学院给予处分。

2002年普通高等学校招生全国统一考试（数学）文及答案本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为 A ．1,1- B ．2,2- C ．1 D ．1- 【答案】D【解析】圆的标准方程为22(1)1x y -+=，显然当1a =-时直线为1y =-与圆相切．2．（同理科2）复数3)2321(i +的值是 A ．i - B ．i C ．1- D ．1 【答案】C【解析】方法一：332231111()()3())3))12222=+⨯+⨯+=-．方法二：331()(cos sin )cos3sin 3123333i i ππππ+=+=⨯+⨯=-． 【编者注】方法二《新课标》不作要求．3．（同理科3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．0|{<x x 且}1-≠x C ．}11|{<<-x x D ．1|{<x x 且}1-≠x 【答案】D【解析】显然1x ≠±．①若0x ≥，则不等变形式为(1)(1)0x x +->，解得11x -<<，解为01x ≤<；②若0x <且1x ≠-，不等式变形为(1)(1)0x x ++>恒成立，所以不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是1|{<x x 且}1-≠x ．4．（同理科填空13）函数xa y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a = A ．21 B ．2 C ．4 D ．41【答案】2【解析】不论函数是增函数还是减函数，都有013a a +=，所以2a =．5．（同理科4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是 A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππ C ．)45,4(ππ D ．)23,45(),4(ππππ 【答案】C【解析】方法一：结合函数的图象易知C 正确，详解略． 方法二：不等式化为sin cos )04x x x π-=->，则04x ππ≤-≤，于是得544x ππ≤≤．6．（同理科5）设集合11{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z ==+∈==+∈，则 A ．N M = B ．N M ⊂ C ．N M ⊃ D ．∅=N M【答案】B【解析】由于212{|,},{|,}44k k M x x k Z N x x k Z ++==∈==∈，21k +可以取所有的奇数，而2k +可以取所有的整数，所以N M ⊂．7．（同理科填空14）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k A ．1- B ．1 C ．5 D ．5- 【答案】1【解析】椭圆焦点在y 轴上，标准方程为22151y x k+=，所以514k -=，即1k =． 8．（同理科7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是A ．43 B ．54 C ．53 D ．53- 【答案】C【解析】设圆锥的底面半径和高分别为,r h ，轴截面顶角为θ，由题设可得231233r h r ππ=，得2h r =，则1tan22θ=，所以221tan 32cos 51tan 2θθθ-==-．9．（同新理科9）已知10<<<<a y x ，则有 A ．()log 0a xy < B ．()0log 1a xy << C ．()1log 2a xy << D ．()log 2a xy > 【答案】D【解析】由已知得20xy a <<，而函数log a y x =为减函数，则()2log log 2a a xy a >=．10．（同理科9）函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 A ．0≥b B ．0≤b C ．0>b D ．0<b 【答案】A【解析】函数的对称轴为2b x =-，显然函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是02b-≤，即0≥b ．11．设)4,0(πθ∈，则二次曲线22cot tan 1x y θθ-=的离心率取值范围A ．1(0,)2B ．)22,21( C ．)2,22( D ．),2(+∞ 【答案】D【解析】由题设得二次曲线方程为22111cot tan x y θθ-=，即2211,cot tan a b θθ==，所以离心率c a===)4,0(πθ∈，所以22cos 1sin θθ>，则)c a ∈+∞．12．（同理11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种 【答案】B【解析】使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共36C 种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有36812C -=种；故选B ．第II 卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间．我国农村人均居住面积如图所示，其中，从 年到 年的五年间增长最快．【答案】1995；2000【解析】连续3个5年的增长量分别为3.1,3.2,3.7， 显然从1995年到2000年的五年间增长最快．14．（同新理科13）函数xxy +=12（),1(+∞-∈x ）图象与其反函数图象的交点为 ． 【答案】(0,0),(1,1)【解析】原函数与他的反函数的图象关于y x =对称，原函数与他的反函数如果有交点，那么交点一定在y x =上，联立方程21x y x=+与y x =解得交点坐标为(0,0),(1,1)，注意到()1,x ∈-+∞，均符合条件．15．（同理科15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是 ． 【答案】1008【解析】3x 的系数是164477(2)(2)1008C C -+-=．16．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为)1,2(．能使这抛物线方程为x y 102=的条件是第 ．（要求填写合适条件的序号） 【答案】②⑤【解析】抛物线方程为x y 102=的焦点在x 轴上；抛物线的焦点坐标为5(,0)2，则由抛物线的定义可知横坐标为1的点到焦点的距离等于57122+=；抛物线的通径的长为10；⑤中两直线斜率满足关系11015222-⨯=--．故②⑤符合题设．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题12分）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （Ⅰ）求这段时间的最大温差；（Ⅱ）写出这段时间的函数解析式． 【解】（Ⅰ）由图示，这段时间的最大温差是301020C -=︒．（Ⅱ）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期的图象．∴614221-=⋅ωπ，解得8πω=． 由图示，11(3010)10,(1030)2022A b =-==+=．这时，20)8sin(10++=ϕπx y ．将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ=． 综上，所求的解析式为310sin()20([6,14])84y x x ππ=++∈．18．（本小题12分）甲、乙物体分别从相距70米的两处同时相向运动．甲第1分钟走2米，以后每分钟比前1分钟多走1米，乙每分钟走5米．（Ⅰ）甲、乙开始运动后几分钟相遇？（Ⅱ）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二相遇？【解】（Ⅰ）设n 分钟后第1次相遇，依题意，有7052)1(2=+-+n n n n ， 整理得0140132=-+n n ，解得7,20n n ==-（舍）． 第一次相遇是在开始后7分钟．（Ⅱ）设n 分钟后第2次相遇，依题意，有70352)1(2⨯=+-+n n n n ， 整理得0420132=-+n n ，解得15,28n n ==-（舍）． 第二次相遇是在开始后15分钟． 19．（同广东19）（本小题12分）四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ． （Ⅰ）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为 60，求这个四棱锥的体积； （Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于 90．【解】本小题考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分．（I ）因为⊥PB 面ABCD ．所以BA 是PA 在面ABCD 上的射影， 又AB DA ⊥，所以DA PA ⊥．∴PAB ∠是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角，∴ 60=∠PAB ． 而PB 是四棱锥ABCD P -的高，tan 603PB AB a ==．3233331a a a V =⨯⨯=∴锥． （II ）证：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作DP AE ⊥，垂足为E ，连结EC ，则CDE ADE ∆≅∆，90,=∠=∴CED CE AE ．故CEA ∠是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角． 设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则AC EO ⊥． a AD AE OA a =<<=∴22． 在AEC ∆中，EC AE OA EC AE AEC ⨯⨯-+=∠2)2(cos 2220)2)(2(2<-+=AEOA AE OA AE ． 所以，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90度．20．（本小题12分）设函数2()|2|1,f x x x x R =+-+∈． （Ⅰ）讨论)(x f 的奇偶性； （Ⅱ）求)(x f 的最小值．【解】（Ⅰ）3)2(=f ,7)2(=-f ，由于)2()2(f f ≠-，)2()2(f f -≠-， 故)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（Ⅱ）223, 2,()1, 2.x x x f x x x x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43．21．（本小题14分）已知点P 到两定点(1,0),(1,0)M N -距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．【解】设P 的坐标为),(y x ，由题意有2||||=PN PM ，即2222)1(2)1(y x y x +-⋅=++，整理得01622=+-+x y x ． ①因为点N 到PM 的距离为1，2||=MN ．所以30PMN ∠=︒，直线PM 的斜率为33±． 直线PM 的方程为)1(33+±=x y ． ② 将②代入①，整理得0142=+-x x ．解得32+=x ，32-=x ．则点P 坐标为)31,32(++或)31,32(+--，)31,32(--+或(23,13)--．直线PN 的方程为1-=x y 或1+-=x y ．22．（同广东21）（本小题满分12分，附加题满分4分）（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明．（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小． （Ⅲ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分．） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【解】本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力，满分12分，附加题4分．（I ）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．（II ）依上面剪拼的方法，有锥柱V V >．推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为43，现在计算它们的高： 2236131(),tan 3032326h h =-⨯===锥柱． 13633()()34964V V h h ∴-=-⨯=-⨯锥柱锥柱024322<-=． 所以锥柱V V >． （III ）（附加题，满分4分）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型．注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本标准评分．。

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（A题、B题）z A题、B题任选一题。

z答卷用白色A4纸，第一页为空白页（用于赛区或全国组委会对论文进行编号）。

z论文题目和摘要写在第二页上，从第三页开始是论文正文。

z论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。

z提请大家注意：从去年起，提高了摘要在整篇论文评阅中所占的权重。

z全部题目可以从以下网址之一下载： A题车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。

经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。

要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。

在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。

在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。

要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

B题彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。

投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。

以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。

表一10 选 6+1（6+1/10）中奖等级基本号码特别号码说明一等奖abcdef选7中（6+1）g二等奖abcdef选7中（6）三等奖abcdeX Xbcdef 选7中（5）四等奖abcdXX XbcdeX XXcdef选7中（4）五等奖abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中（3）六等奖abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（2）“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。