【成才之路】2014-2015高中数学北师大版必修3同步练习：2.2.2变量与赋值

【成才之路】2014-2015学年高中数学第1章统计基础知识测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时间120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行( )A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况[答案] D[解析] 抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，选项A、B、C 都是从总体中抽取部分个体进行检验，选项D是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．2．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5[答案] C[解析] 该题考查频率的计算公式．属基础题．在[114.5,124.5]范围内的频数m＝4，样本容量n＝10，∴所求频率410＝0.4.3．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学月考中，某班有12人在100分以上，30人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会工作人员为参加4×100 m接力的6支队安排跑道．就这三个事件，恰当的抽样方法分别为( )A．分层抽样、分层抽样、简单随机抽样B．系统抽样、系统抽样、简单随机抽样C．分层抽样、简单随机抽样、简单随机抽样D．系统抽样、分层抽样、简单随机抽样[答案] D[解析] ①中人数较多，可采用系统抽样；②适合用分层抽样；③适合于简单随机抽样.4．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法，抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号的产品有16件，则此样本的容量n 等于( )A ．100B ．200C ．90D ．80[答案] D [解析]16n＝22＋3＋5，得n ＝80.5．一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2，则样本平均值约为( ) A ．4.55 B ．4.5 C ．12.5 D ．1.64[答案] A[解析] 样本平均值为4×3＋3×2＋5×4＋2×63＋2＋4＋2＝5011≈4.55.6．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 2 5 2 0 2 3 3 3 1 2 4 4 8 9 4 5 5 5 7 7 8 8 9 5 0 0 1 1 4 7 9 6 1 7 8A.46,45,56 B ．46,45,53 C ．47,45,56 D ．45,47,53 [答案] A[解析] 本题考查了茎叶图的应用及其样本的中位数、众数、极差等数字特征，由茎叶图可知，中位数为46，众数为45，极差为68－12＝56.在求一组数据的中位数时，一定不要忘记先将这些数据排序再判断．7．某市场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为( )A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元[答案] C[解析] 设11时至12时的销售额为x 万元，因为9时至10时的销售额为2.5万元，依题意得0.10.4＝2.5x，得x ＝10万元．8．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176[答案] C[解析] 本题主要考查线性回归方程以及运算求解能力．利用公式求系数．x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，b ＝ni ＝1x i －xy i －yni ＝1x i －x 2＝12，a ＝y －b x ＝88， 所以y ＝88＋12x .9．(2014·山东理，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．6B ．8C ．12D ．18[答案] C[解析] 本题考查频率分布直方图的识读． 第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4 ∴志愿者的总人数为200.4＝50(人)．第三组的人数为：50×0.36＝18(人) 有疗效的人数为18－6＝12(人)频率分布直方图中频率与频数的关系是解题关键．10．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 [答案] D[解析] 解法一：A 中，若连续10天甲地新增疑似病例数据分别为x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝0，x 5＝x 6＝x 7＝x 8＝x 9＝4，x 10＝10，此时总体均值为3，中位数为4，但第10天新增疑似病例超过7，故A 错；B 中，若x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝x 5＝x 6＝x 7＝x 8＝x 9＝0，x 10＝10，此时，总体均值为1，方差大于0，但第10天新增疑似病例超过7，故B 错；C 中，若x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝0，x 5＝1，x 6＝3，x 7＝3，x 8＝3，x 9＝8，x 10＝9，此时，中位数为2，众数为3，但第9天、第10天新增疑似病例超过7，故C 错，故选D.解法二：由于甲地总体均值为3，中位数为4，即中间天数(第5、6天)人数的平均数为4，因此后面的人数可以大于7，故甲地不符合；乙地中总体均值为1，因此这10天的感染人数总和为10，又由于方差大于0，故这10天中不可能每天都是1，可以有一天大于7，故乙地不符合．丙地中位数为2，众数为3,3出现的最多，并且可以出现8，故丙地不符合．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．某班级有52名学生，要从中抽取10名学生调查学习情况，若采用系统抽样方法，则此班内每个学生被抽到的机会是________．[答案]526[解析] 采用系统抽样，要先剔除2名学生，确定间隔k ＝5，但是每名学生被剔除的机会一样，故虽然剔除了2名学生，这52名学生中每名学生被抽到的机会仍相等，且均为1052＝526. 12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入段应抽出________人．[答案] 25[解析] 样本数据在[2 500,3 000]内的频率为0.0005×500＝0.25. 故应抽出100×0.25＝25(人)．13．青年歌手大奖赛共有10名选手参赛，并请了7名评委，如图所示的茎叶图是7名评委给参加最后决赛的两位选手甲、乙评定的成绩，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙选手剩余数据的平均成绩分别为________.[答案] 84.2,85[解析] 甲的成绩是75,78,84,85,86,88,92，去掉一个最高分92和一个最低分75后，则甲的平均成绩为84.2；乙的成绩是79,84,84,84,86,87,93，去掉一个最高分93和一个最低分79后，则乙的平均成绩为85.14．某地区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004家，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户．现要从中抽出容量为40的样本进行年人均收入的调查，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法中的________．(将你认为正确的选项的序号都填上)①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样 [答案] ①②③[解析] 显然要用分层抽样．由于抽样比不是整数，先剔除4人，要用简单随机抽样——借助随机数表，各类家庭中抽样可用系统抽样．15．某地为了了解该地区10 000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图(如图所示)，则该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70,80]的家庭有________户．[答案] 1 200[解析] 由频率分布直方图可得，月平均用电度数在[70,80]的家庭占总体的12%，所以共有10 000×12%＝1 200户．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)某公司为了了解一年内用水情况，抽查了10天的用水量如下表：(1)这10天中，该公司每天用水的平均数是多少？ (2)这10天中，该公司每天用水的中位数是多少？(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个数来描述该公司每天的用水量？ [解析] (1)x ＝22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×9510＝51(t)．(2)中位数＝41＋442＝42.5(t)．(3)用中位数42.5t 来描述该公司的每天用水量较合适．因为平均数受极端数据22,95的影响较大．17．(本小题满分12分)某学校青年志愿者协会共有250名成员，其中高一学生88名，高二学生112名，高三学生50人，为了了解志愿者活动与学校学习之间的关系，需要抽取50名学生进行调查．试确定抽样方法，并写出过程.[解析] 分三种情况抽样：(1)简单随机抽样，每位同学被抽取的概率为15.(2)系统抽样，将250名同学编号001～250，编号间隔5个，将其分成50个小组，每个小组抽取1人，相邻组抽取的编号也间隔5.(3)分层抽样，高一抽取18个，高二抽取22个，高三抽取10个．18．(本小题满分12分)国家队教练为了选拔一名篮球队员入队，分别对甲、乙两名球员的10场同级别比赛进行了跟踪，将他们的每场得分记录如下表：(2)甲球员得分在区间[30,50)的频率是多少？(3)如果你是教练，你将选拔哪位球员入队？请说明理由． [解析] (1)由题表画出茎叶图，如下图所示.甲球员得分的中位数为2＝37.5，极差为56－10＝46；乙球员得分的中位数为20＋342＝27，极差为51－9＝42.(2)甲球员得分在区间[30,50)的频率为510＝12.(3)如果我是教练，我将选拔甲球员入队，原因如下：甲球员得分集中在茎叶图的下方，且叶的分布是“单峰”，说明甲球员得分平均数接近40，甲球员得分的中位数为37.5分，且状态稳定；而乙球员得分较分散，其得分的中位数为27分，低于甲球员，平均得分也小于甲球员．19．(本小题满分12分)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在频率分布表中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15，1.30)中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．[解析] (1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×频率组距故可得下表：(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30)中的概率约为0.47. (3)120×1006＝2000.所以水库中鱼的总条数约为2000条．20．(本小题满分13分)两台机床同时生产直径为10的零件，为了检验产品质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下：的零件质量更符合要求？[解析] ①x 甲＝14(10＋9.8＋10＋10.2)＝10，x 乙＝14(10.1＋10＋9.9＋10)＝10，由于x 甲＝x 乙，因此，平均直径反映不出两台机床生产的零件的质量优劣． ②s 2甲＝14[(10－10)2＋(9.8－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，s 2乙＝14[(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10－10)2]＝0.005.这说明乙机床生产出的零件直径波动小，因此，从产品质量稳定性的角度考虑，乙机床生产的零件质量更符合要求．21．(本小题满分14分)某个体服装店经营某种服装在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间有如下一组数据：(1)求x ，y ；(2)画出散点图，并用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； (3)估计每天销售10件这种服装时可获纯利润多少元？ [解析] (1)由已知得x ＝17(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6.y ＝17(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)散点图如图所示，∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487.设回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x 2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75， a ＝y －b x ＝79.86－4.75×6＝51.36.∴所求回归直线方程为y ＝4.75x ＋51.36.(3)当x ＝10时，y ＝98.86，估计每天销售这种服装10件可获纯利98.86元．。

第一章§1一、选择题1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则x·y可表示成不同的值的个数是()A．1＋1＝2 B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9[答案] D[解析]因为按x、y在各自的取值集合中各选一个值去做积这件事，可分两步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一个值有3种方法；第二步，y在集合{－31，－24,4}中任取一个值有3种方法．根据分步乘法计数原理有3×3＝9个不同的值．故选D.2．(2014·陕西宝鸡中学高二期末)图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有()种不同的取法．()A．120 B．16C．64 D．39[答案] B[解析]由分类加法计数原理知，共有不同取法3＋5＋8＝16种．3．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种类共有()A．6种B．8种C．36种D．48种[答案] D[解析]参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法．由分步计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法．二、填空题4．有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有________种不同的取法．[答案]242[解析]任取两本不同的书，有三类：(1)取数学、语文各一本，(2)取语文、英语各一本，(3)取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用分类加法计数原理即可得解．取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原理有10×9＝90种不同取法；取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8＝72种不同取法；取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8＝80种不同取法．综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90＋72＋80＝242种不同取法．故填242.5．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的个数是________．[答案]36[解析]用分类加法计算原理：第一类，正方体的一条棱与面有两个“正交线面对”，共有24个；第二类，正方体的一条面对角线与对角面有一个“正交线面对”，共有12个．所以共有“正交线面对”的个数是24＋12＝36.三、解答题6．从1到200的这二百个自然数中，各个位数上都不含数字8的共有多少个？[分析]本题涉及分类加法计数原理与分步乘法计数原理，在分类中又包含分步，“类”、“步”交融，应注意根据所学知识认真分析，及对于一些“步”中分类的问题要学会具体对待．[解析]应分三类来解决该问题．第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类：二位数中，十位数除0、8以外有8种选法，而个位数除8以外有9种选法，故二位数中符合要求的数有8×9＝72(个)；第三类：三位数中①百位数为1，十位数和个位数上的数字除8以外都有9种选法，故三位数中，百位数为1的符合要求的数有9×9＝81(个)．②百位数为2的只有200这一个符合要求，∴三位数中符合要求的数有81＋1＝82(个)．由分类加法计数原理，符合要求的数字共有N＝8＋72＋82＝162(个)．[点评]考虑问题的原则是先分类而后分步，要注意在分类(或分步)时，必须做到不重不漏.一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x2m2＋y2n2＝1中的m和n，则能组成落在矩形区域B＝{(x，y)||x|<11，且|y|<9}内的椭圆的个数为() A．43个B．72个C．86个D．90个[答案] B[解析]由题意，m可能的取值为1,2，…，10；n可能的取值为1,2，…，8，先确定m 有10种方法，再确定n有8种方法，按分步计数原理共有80种方法，但其中包括m＝n的情况共8种，故能组成落在矩形区域内的椭圆个数为72个．故选B.2．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是()A．4B．24C．43D．34[答案] C[解析]依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.3．(2014·安徽理，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A．24对B．30对C．48对D．60对[答案] C[解析]如图，上底面的一条对角线为例共4对，这样的对角线共12条，∴共有12×4＝48对．本题也可以用排除法，C212－6－12求得．4．2014年南京青奥会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离(单位：百公里)见下表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是()A.20.6C．22 D．23[答案] B[解析]由于“以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次”，并且求“最短路线的距离”，由选项判断，A中20.6在表中只有C和E之间的距离8.6是出现小数部分的，故CE是必定经过的路线，又因为A为起点，E为终点，故如果A正确，那么线路必须是：1.A－B－D－C－E或2.A－D－B－C－E，进行验证：线路1的距离和为5＋6＋9＋8.6＝28.6，故线路1不符合；线路2的距离之和为5＋6＋7＋8.6＝26.6，线路2也不符合，故排除A；再验证选项B，发现线路A－C－D－B－E的距离之和为4＋9＋6＋2＝21符合，故选B.5．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A．60条B．62条C．71条D．80条[答案] B[解析]本题考查抛物线、计数原理．由题意知a≠0，且b≠0，下面分2类：若c＝0，ay＝b2x2，不同抛物线有5×4－6＝14条，若c≠0，不同抛物线有5×4×3－12＝48，共48＋14＝62条．分类要全面，要不重不漏．二、填空题6．若一个m，n均为非负整数的有序数对(m，n)在做m＋n的加法时各位均不会进位，则称(m，n)为“简单的”有序数对，m＋n称为有序数对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序数对的个数是________．[答案]300[解析]由题意可知m＋n＝1942，当m，n中一个数确定时，另一个数也就唯一确定了，所以不妨设m＝1000x1＋100x2＋10x3＋x4，则x1有2种不同取法，x2有10种不同取法，x3有5种不同取法，x4有3种不同取法，所以所求的有序数对的个数为2×10×5×3＝300.7.如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．[答案]390[解析]给四个格子编号如答图所示，由题意①号格子有6种不同涂色方法，②号格子有5种不同的涂色方法，若③号格子与①号格子同色，则④号格子有5种不同涂色方法(可以与②号同色)，由乘法原理有6×5×5＝150(种)涂色方法；若③号格子与①号格子不同色，则③号格子有4种不同涂色方法，此时④号格子只能与①号或②号同色，因而有2种涂色方法，由乘法原理有6×5×4×2＝240(种)涂色方法，最后由加法原理共有150＋240＝390(种)不同的涂色方法，故填390.三、解答题8．甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？[分析]由题目可获取以下主要信息：①有4个人、4张贺卡；②取别人写的贺卡．解答本题可根据自己写的卡的情况，最简捷的办法是用分步乘法计数原理设计完成这件事的步骤．[解析]方法一(枚举法)：(1)甲取得乙卡，分配方案如表．此时乙有甲、丙、丁3种取法．若乙取甲的卡，则丙取丁的、丁取丙的，若乙取丙的卡，则丙取丁的，丁取丙的，故有3种分配方案．(2)甲取得丙卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲．(3)甲取得丁卡，分配方案按甲、乙、丙、丁4人依序可取贺卡如下：丁甲乙丙、乙丙甲乙、丁丙乙甲．由分类加法计数原理，共有N＝3＋3＋3＝9(种)．方法二(间接法)：4人各取1张贺卡．甲先取1张贺卡有4种方法，乙再取1张贺卡有3种方法，然后丙取1张贺卡有2种方法，最后丁仅有1种方法．由分步乘法计数原理，4个人各取1张贺卡共有4×3×2×1＝24(种)．4个人都取自己写的贺卡有1种方法；2个人取自己写的贺卡，另2个人不取自己所写贺卡的方法有6种(即4个人中选出取自己写的贺卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1个人取自己写的贺卡，另3个人不取自己所写贺卡方法有8种(从4个人中选出取自己写的贺卡的1个人有4种方法．而其余3个人都不取自己所写贺卡的方法有2种方法)．因此，4个人都不取自己所写贺卡的取法有N＝24－(1＋6＋8)＝9(种)．方法三(分步法)．第一步甲取1张不是自己所写的那张贺卡，有3种取法；第二步由甲取的那张贺卡的写卡人取，也有3种取法；第三步由剩余两个中任1个人取，此时只有1种取法；第四步最后1个人取，只有1种取法．由分步乘法计数原理，共有N＝3×3×1×1＝9(种)．[点评]对于有限制条件的选取、抽取问题的计数，一般地，当数目不很大时，可用枚举法，但为保证不重不漏，可用树形图、框图及表格进行枚举；当数目较大，符合条件的情况较多时，可用间接法计数；否则直接用分类或分步计数原理计数．但一般根据选(抽)取顺序分步或根据选(抽)取元素的特点分类．9．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点颜色不同，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数是多少？[解析]可分两步进行，先将四棱锥一侧的三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论．如图所示，由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．当S，A，B已染好时，不妨设其颜色分别为颜色1,2,3；若C颜色为2，则D可染颜色3,4,5之一，有3种染色法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法，可见，当S，A，B已染好时，C与D还有7种染法，因此不同的染色方法共有60×7＝420种．[点评]关于涂色问题，我们一般先给涂色部位依次标上相应的序号，以便分析问题．具体涂色时，看先给哪个部位涂色较简单．本例中首先须涂顶点S，其次A→B，涂C时要分类进行，分类标准是C同A和C不同于A两类．10．如图所示的5×3方格中有多少个矩形(每个小正方形的边长为1)?[解析]标准就能做到不重不漏．(1)面积为1的矩形有15个．(2)面积为2的矩形有两类：一是横向的，有4×3＝12个；二是竖向的，有2×5＝10个，故共有12＋10＝22个．(3)面积为3的矩形有3×3＋5＝14个．(4)面积为4的矩形有：横向的有2×3＝6个；正方形的有2×4＝8个，共有6＋8＝14个．(5)面积为5的矩形有3个．(6)面积为6的矩形有3×2＋4＝10个．(7)面积为8的矩形有2×2＝4个．(8)面积为9的矩形有3个．(9)面积为10的矩形有2个．(10)面积为12的矩形有2个．(11)面积为15的矩形有1个．故共有矩形15＋22＋14＋14＋3＋10＋4＋3＋2＋2＋1＝90个．[点评]本题中，可以用直接法一一地数出这些矩形的个数，但在“数”的过程中，容易出现重复和遗漏．而在这里以“面积”的大小作为分类标准，就可以避免重复和遗漏，并且它将一个大的计数问题分解成若干个小的计数问题，从而降低了思维难度，简化了解题过程，避免了错误的发生．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239 B.229C.329D.38[答案] A[解析] f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，计算比较得最大值为f (33)＝239. 2．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km 时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小( )A ．20B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3， 由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x2＝0， 解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3， 经检验知x ＝3是函数的一个最小值点， 所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立， 所以3m －272≥－9，解得m ≥32.二、填空题4．下列结论中正确的有________．①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到； ④在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值． [答案] ④[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.5．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.[答案]103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取得最小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题6．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [解析] (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－x －x －50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元.一、选择题1．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B ．32V C ．34V D ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，侧棱长为l ，则V ＝12x 2·sin60°·l ，∴l ＝4V3x2.∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x 2·sin60°＋3·x ·l ＝32x 2＋43V x. ∴S 表′＝3x －43Vx2＝0∴x 3＝4V ，即x ＝34V ，又当x ∈(0，34V )时，S 表′<0；当x ∈(34V ，V )时，S 表′>0 ∴当x ＝34V 时，表面积最小．2．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－2,1)C ．[－2，－1)D ．(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1 ，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜110－a 2＞1⇒－1≤a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－110－a 2＞1⇒－2≤a ＜－1，ff a 综上可知a 的取值范围为[－2,1)．3．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52D.22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值． 令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x.令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小． 4．已知不等式kx x ≤1e对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(－∞，1] C ．[0,2] D ．(0,2][答案] A [解析] 令y ＝kx x ，则y ′＝1－kx x 2，可以验证当y ′＝0即kx ＝e ，x ＝ek时，y max ＝ln e e k＝ke，又y ≤1e 对于x ＞0恒成立∴k e ≤1e，得k ≤1又kx ＞0，x ＞0，∴k ＞0，∴0＜k ≤1.5．(2014·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x＋a (a ∈R)的图像不可能．．．的是( )[答案] B[解析] 若a ＝0时，两函数分别为y ＝－x 和y ＝x ，选项D 此时合适， 若a ≠0时，设f 1(x )＝ax 2－x ＋a2，设f 2(x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋af 2′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，①若a >0，易知f 2(x )的极大值为f (13a )＝427a ＋a ，极小值为f (1a )＝a ，而f 1(x )图象此时开口向上，对称轴为x ＝12a >0且f 1(1a )＝f 1(0)＝a2，f 2(0)＝a ，A 、C 均适合． (2)若a <0，f 1(x )图象开口向下，对称轴为x ＝12a <0 ，f (1a )＝f 1(0)＝a 2<0，而f 2(1a)>a <0，比较知0>a 2>a ，也就是说当x ＝1a时函数f 2(x )图象为极大值而此时f 1(x )图象对应的点应该在(1a ，f 2(1a))上方，而B 选项中显然右下方，因而B 不可能．二、填空题6．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________________．[答案] 4[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x3，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减， 因此g (x ) max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0]，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 7．已知函数f (x )＝log ax ＋2x，当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是____________．[答案] 1＜a ≤4 2[解析] 要使得当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，只需保证当x ∈[1,4]时，f (x )min ≥2即可，因此问题转化为先求函数f (x )＝log a x ＋2x 在区间[1,4]上的最小值，再结合不等式求得a 的取值范围．考虑到f (x )＝log ax ＋2x的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f (x )的最小值，但要注意对底数a 加以讨论．令h (x )＝x ＋2x ＝4x ＋16x＋16，x ∈[1,4]．∵h ′(x )＝4－16x2＝x －x ＋x 2，x ∈[1,4]．∴当1≤x ＜2时，h ′(x )＜0，当2＜x ≤4时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在[1,2]上是单调减函数，在[2,4]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝h (2)＝32，∴h (x )max ＝h (1)＝h (4)＝36. ∴当0＜a ＜1时，有f (x )min ＝log a 36， 当a ＞1 时，有f (x )min ＝log a 32. ∵当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立， ∴f (x )min ≥2.∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 36≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 32≥2，②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a ≤4 2.综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a ≤4 2. 三、解答题8．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21， 解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大． 9．(2014·全国大纲，22)函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．讨论f (x )的单调性；[解析] f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2ax ＋x ＋a2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数； 若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数； 若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． 10．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[分析] (1)先求f ′(x )，写出g (x )，对g (x )求导，g ′(x )>0求得增区间，g ′(x )<0求得减区间；(2)作差构造函数h (x )＝g (x )－g (1x)，对h (x )求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解．[解析] (1)f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间 因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点． 所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－x －2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减 当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x)，当x ＝1时，g (x )＝g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x)(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a，即ln a <1，解得0<a <e .所以a 的取值范围是(0，e )[点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等．。

第二章综合测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243 D.80243[答案] D[解析] P (X ＝2)＝C 26⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫1－134＝80243.2．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45[答案] A[解析] ∵X ～B (n ，p )，∴EX ＝np ，DX ＝np (1－p )，从而有⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.3．从某地区的儿童中挑选体操运动员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任选一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25[答案] D[解析] 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25，选D.4．(2014·新课标Ⅰ理，5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38 C.58 D.78[答案] D[解析] 四位同学安排有16种方式，周六、周日都有同学参加以有下方式，周六1人，周日3人；周六2人；周六3人，周日1人；所以共有2C 14C 33＋A 22C 24C 222＝14，由古典概型的概率得P ＝1416＝78.计算古典概型的概率，要将基本事件空间和满足条件的基本事件数逐一计算准确．5．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机取2只，那么在第一只取为好的前提下，至多1只是坏的概率为( )A.112 B ．1 C.8384 D.184[答案] B[解析] 设事件A 表示“抽取第一只为好的”，事件B 为“抽取的两只中至多1只是坏的”，P (A )＝A 17A 19A 210＝710，P (AB )＝A 17A 13＋A 17A 16A 210＝710，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1. 6．(2011·湖北)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[答案] B[解析] 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P k ·P ＝0.9×0.96＝0.864.7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．P 1P 2B ．P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2) [答案] B[解析] 恰好有1人解决分两种情况： ①甲解决乙没解决： P ′＝P 1(1－P 2) ②甲没解决乙解决： P ″＝(1－P 1)P 2∴恰好有1人解决这个问题的概率P ＝P ′＋P ″＝P 1(1－P 2)＋P 2(1－P 1)． 8．设随机变量X 服从正态分布N (2,2)，则D ⎝⎛⎭⎫12X 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D ．4[答案] C[解析] 由X ～N (2,2)，即D (X )＝2， ∴D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝12. 9．将一粒质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是( )A.5216B.25216 C.31216 D.91216[答案] D[解析] 质地均匀的骰子先后抛掷3次，共有6×6×6种结果．“3次均不出现6点向上”的有5×5×5种结果．由于抛掷的每一种结果都等可能出现的，所以“不出现6点向上”的概率为5×5×56×6×6＝125216，由对立事件的概率公式，知“至少出现一次6点向上”的概率是1－125216＝91216.故选D. 10．(2014·浙江理，9)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．(a)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；(b)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)D ．p 1<p 2，E (ξ1)<E (ξ2)[答案] C[解析] p 1＝m m ＋n ＋n m ＋n ×12＝2m ＋n2(m ＋n )，p 2＝3m 2－3m ＋2mn ＋n 2－n 3(m ＋n )(m ＋n －1)，p 1－p 2＝2m ＋n 2(m ＋n )－3m 2－3m ＋2mn ＋n 23(m ＋n )(m ＋n －1)＝5mn ＋n (n －1)6(m ＋n )(m ＋n －1)>0，故p 1>p 2，E (ξ1)＝0×⎝⎛⎭⎫n m ＋n ×12＋1×2m ＋n 2(m ＋n )＝2m ＋n2(m ＋n )，E (ξ2)＝3m 2－3m ＋2mn ＋n 2－n3(m ＋n )(m ＋n －1)，由上面比较可知E (ξ1)>E (ξ2)，故选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2010·重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．[答案]370[解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法． 设加工出来的零件为次品为事件A ，则A 为加工出来的零件为正品． P (A )＝1－P (A )＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370.12．某人乘公交车前往火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分钟)服从正态分布N (50,102)．则他在30～70分钟内赶上火车的概率为________．[答案] 0.954[解析] 因为X ～N (50,102)．即μ＝50，σ＝10，所以P (30<X <70)＝P (50－2×10<X <50＋2×10)＝0.954.13.(2013·九江一模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．[答案] 34[解析] 小球落入B 袋中的概率为P 1＝(12×12×12)×2＝14，∴小球落入A 袋中的概率为P＝1－P 1＝34.14．某种动物从出生起算起，活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.3，现在一个10岁的这种动物，则它活到15岁的概率为________．[答案] 13[解析] 设事件A “能活到10岁”，事件B 为“能活到15岁”， 则P (A )＝0.9，P (B )＝0.3，而所求的概率为P (B |A )由于B ⊆A ，故A ∩B ＝B ，于是 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝P (B )P (A )＝0.30.9＝13. 15．(2012·新课标理，15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．[答案] 38[解析] 本题考查了正态分布有关知识．三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p ＝12.超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P 1＝1－(1－p )2＝34，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p 2＝p 1×p ＝38.正确理解正态分布的意义是解题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的概率分布列； (2)求得分大于6分的概率．[解析] (1)从袋中随机取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.P (X ＝5)＝C 14C 33C 47＝435，P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝1835，P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.故所求分布列为(2)根据随机变量X P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝1238＋135＝1335. [点评] 建立超几何分布的关键是求得P (X ＝k )的组合关系式，利用超几何分布的概率公式进行验证，然后利用公式求得取其他值的概率，建立分布列．17．(2013·江西理，18)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种．X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.18．(2013·湖南理，18)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．[解析] (1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列． 因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)， P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)， 所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝n kN得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.19．某突发事件在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定使总费用最少的预防方案．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值)[分析] 本题是一道期望应用题．根据题意，应分别求出①不采取任何措施，②单独采取甲措施，③单独采取乙措施，④联合采取甲、乙措施，这四种情况的总费用，比较总费用，少者为应选方案．[解析] ①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3＝120(万元)； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为400×0.1＝40(万元)，故总费用为45＋40＝85(万元)；③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为400×0.15＝60(万元)，故总费用为30＋60＝90(万元)；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，损失期望值为400×0.015＝6(万元)，故总费用为75＋6＝81(万元)．综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．[点评] 理解题意，将实际问题数学化，进而通过比较四种情况下的总费用多少来解决实际问题．20．某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12.构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时－1，当第n 次出现反面时，记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n (n 为正整数)． (1)求S 8＝2的概率； (2)求S 2≠0且S 8＝2的概率．[分析] (1)要使S 8＝2，需要8次中有5次正面，3次反面，则S 8＝2的概率可看作是求8次独立重复试验中成功5次的概率；(2)S 2≠0，即前两次同时出现正面或同时出现反面，此时S 2＝2或S 2＝－2，由此分析S 8＝2的概率可看作是求6次独立重复试验中成功3次或5次的概率．[解析] (1)S 8＝2的概率为C 58×⎝⎛⎭⎫125×⎝⎛⎭⎫123＝732. (2)①当前两次同时出现正面时，则后6次出现3次正面，相应的概率为12×12×C 36×(12)3×(12)3＝564. ②当前两次同时出现反面时，则后6次出现5次正面，相应的概率为12×12×C 56×(12)5×(12)1＝3128. 所以S 2≠0且S 8＝2的概率为564＋3128＝13128.[点评] 此题以数列的和为载体，解题时需理解a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时－1，当第n 次出现反面时的含义．实际上，此题是一个典型的n 次独立重复试验成功k 次的问题，不过用相关知识前，需要进行有效的转化．21．(2014·山东理，18)乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．[解析] (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0,1,3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝130，P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1) ＝13×15＋16×35＝16， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝15，P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3) ＝12×15＋15×16＝215， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3) ＝12×35＋13×15＝1130， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝110.可得随机变量ξ的分布列为：所以，数学期望Eξ＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝9130.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1 第2课时基础巩固 北师大版选修2-2一、选择题1．下列各点是函数y ＝1＋3x －x 3的极值点的是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3[答案] B[解析] y ′＝3－3x 2，令y ′＝3－3x 2＝0，得x ＝±1，观察选项，只有B 项满足要求． 2．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 [答案] D[解析] 对于f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 不正确．极小值也可能大于极大值，故B 错，C 显然不对．3．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题4．函数f (x )＝x －ln x 的极小值等于________． [答案] 1[解析] f ′(x )＝1－1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：∴f (x )5．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.三、解答题6．(2013·新课标Ⅰ文，20)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． [解析] (1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x(x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x －12)．令f ′(x )＝0得，x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)单调递增，在(－2，－ln2)单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2).一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图像如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c[答案] D[解析] 由f ′(x )的图像可知x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0；x ∈(0,2)时，f ′(x )>0∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数． ∴x ＝0时，f (x )取到极小值为f (0)＝c .2．已知函数f (x )＝ax 2＋3x ＋2a ，若不等式f (x )>0的解集为{x |1<x <2}，则函数y ＝xf (x )的极值点的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能判断[答案] B[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0－3a＝3，所以a ＝－1，即f (x )＝－x 2＋3x －2.于是y ＝xf (x )＝－x 3＋3x 2－2x ，y ′＝－3x 2＋6x －2，由Δ>0，所以y ′＝0有两个相异实根，故函数y ＝xf (x )有两个极值点．3．(2014·山东省德州市期中)已知函数f (x )＝e x(sin x －cos x )，x ∈(0,2013π)，则函数f (x )的极大值之和为( )A.e 2π－e2012πe 2π－1 B.e π－e 2012π1－e 2πC.eπ－e 1006π1－e2πD.eπ－e1006π1－eπ[答案] B[解析] f ′(x )＝2e xsin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值，∵x ∈(0,2013π)，∴0<(2k ＋1)π<2013π，∴0≤k <1006，k ∈Z.∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2011π)＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e2011π＝e π[1－2π1006]1－e2π＝e π－e 2012π1－e2π，故选B.4．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] 对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)>0，而图像中当x>0时，f′(x)<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B.5．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是( )A．1<a<2 B．1<a<4C．2<a<4 D．a>4或a<1[答案] A[解析] y′＝3x2－3a.当a≤ 0，f′(x)≥0；函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a>0，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±a，不难分析当1<a<2时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．二、填空题6．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0; ②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是________．[答案] ②③[解析] 本题考查了导数工具有研究函数零点方面的应用设g(x)＝x3－6x2＋9x＝0，则x1＝0，x2＝x3＝3，其图象如图：要使f(x)＝x3－6x2＋9x－abc有3个零点，须将g(x)的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝0时，x 1＝1，x 2＝3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值．∴由图象可知f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0.对于函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图象联系起来，当一个函数不能直接画出图象时，要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图．7.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________[答案] ①④[解析] 从图像上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0 ，所以f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数，所以②，③错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上递减，而在(1，＋∞)上递增，故f (x )在x ＝1处取极小值，故④正确．三、解答题8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(0,0)，(2,0)，(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．[解析] (1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(x )的图像过点(0,0)，(2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0解之得：a ＝－3，b ＝0.(2)由f ′(x )＝3x 2－6x ＞0，得x ＞2或x ＜0；∴当在(－∞，0)上，f ′(x )＞0.在(0,2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减， 因此f (x )在x ＝2处取得极小值，所以x 0＝2， 由f (2)＝－5，得c ＝－1， ∴f (x )＝x 3－3x 2－1.9．设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 10．(2014·山东省菏泽市期中)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．[解析] (1)由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增， 则x ＝1是f (x )的极小值点，所以f (x )在x ＝1处取得极小值为f (1)＝12.(2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x＝－x －x 2＋x ＋x，当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减， 又F (1)＝－16<0，∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立， 即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.2.3 映射课后强化作业 北师大版必修1一、选择题1．下列从集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A ．A ＝B ＝N ＋，对应法则f ：x →y ＝|x －2|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 0 xC ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x[答案] B[解析] A 中元素2无象，排除A ；C 中一个x 对应两个y ，与映射定义不符，排除C ；D 中元素0无像，排除D ，故只有B 正确．2．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面的命题为真命题的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有像 B ．B 中的每一个元素在A 中必有原像 C ．B 中的每一个元素在A 中的原像唯一 D ．A 中的不同元素的像必定不同 [答案] A[解析] 由映射的定义可知，集合A 中的每一个元素在B 中必有像，故选A. 3．已知(x ，y )在映射下的像是(x ＋y ，x －y )，则像(1,2)在f 下的原像为( ) A ．(52，32)B ．(－32，12)C ．(－32，－12)D ．(32，－12)[答案] D[解析] 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝－12.4．设A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列能表示从集合A 到集合B的映射的是( )[答案] D[解析] 对于A ，当x ＝0，y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，不是从A 到B 的映射；对于B ，当x ＝2时y ＝0∉{y |1≤y ≤2}，也不是从A 到B 的映射；对于C ，当x ＝0时，y ＝1且y ＝2，即集合A 中的一个元素0与集合B 中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A 到B 的映射；对于D ，集合A 中的任何一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应，所以是从A 到B 的映射．5．下列对应为A 到B 的函数的是( ) A ．A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x | B ．A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝xD ．A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 [答案] D[解析] 由函数的定义可知，对于A,0∈R ， 且|0|＝0∉B ，故A 不是f ：A →B 的函数； 对于B,0∈Z ，且02＝0∉N ＋， 故B 不是f ：A →B 的函数；对于C ，当x <0时，如－2∈Z ，但－2无意义， 故C 不是f ：A →B 的函数； 对于D ，是多对一的情形，符合函数的定义，是f ：A →B 的函数．6．下列对应是集合M 到集合N 的一一映射的是( ) A ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝－1x，x ∈M ，y ∈NB ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N C ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x，x ∈M ，y ∈ND ．M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N [答案] D[解析] 用排除法，A 中集合M 的元素0，在f 下，N 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 中集合M 的元素±1，在f 下的像都是1，故排除B ；C 中，负实数及0在f 下没有元素和它对应，应排除；故选D.二、填空题7．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{m ，n }，则由A 到B 的一一映射的个数为________． [答案] 2[解析] 由题意可知如图：共有2个一一映射．8．a ，b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值等于________．[答案] 1[解析] 因为f ：x →x ，∴M ＝N ， ∴b a＝0，a ＝1，故a ＋b ＝1. 三、解答题9．已知映射f ：A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y )．(1)求A 中元素(5,5)的像； (2)求B 中元素(5,5)的原像；(3)A 中是否存在这样的元素(a ，b )，使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵x ＝5，y ＝5， ∴(x ＋2y ＋2,4x ＋y )＝(17,25)． ∴A 中元素(5,5)的像是(17,25)． (2)设元素(5,5)的原像是(m ，n )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＋2＝5，4m ＋n ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1，∴(5,5)的原像是(1,1)．(3)假设A 中存在这样的元素(a ，b )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋2＝a ，4a ＋b ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1，∴A 中存在元素(a ，b )使它的像仍是它自己，这个元素为(0，－1).一、选择题1．已知A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列对应不表示从A 到B 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝32xD ．f ：x →y ＝x[答案] C[解析] 对于A ，当0≤x ≤4时，0≤12x ≤2，f ：x →y ＝12x 能构成A 到B 的映射；对于B,0≤13x ≤43，也能构成集合A 到集合B 的映射；对于C,0≤32x ≤6，而[0,6][0,2]，所以不能构成从A 到B 的映射；对于选项D,0≤x ≤2，能构成从A 到B 的映射．2．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] A[解析] ∵a ∈A ，∴|a |＝1,2,3,4， 即B ＝{1,2,3,4}． 二、填空题3．已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{0,1}，若映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，则这样的映射的个数是________．[答案] 3[解析] 由于f (a )＋f (b )＝f (c )，所以只能有f (a )＝0，f (b )＝1，f (c )＝1，或f (a )＝1，f (b )＝0，f (c )＝1，或f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，即这样的映射有3个．4．下列对应是集合A 到集合B 的一一映射的是________(填正确序号)．(1)A ＝N ，B ＝{－1,1}，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝(－1)x； (2)A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}，f ：x →y ＝13x ；(3)A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥1}，f ：x →y ＝1x；(4)A ＝{三角形}，B ＝R ，f ：三角形与它面积的对应． [答案] (2)[解析] (1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A 中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．三、解答题5．设f ，g 都是由A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：设[解析] ∵a ＝g (f (3))＝g (1)＝2，b ＝g (g (2))＝g (1)＝2，c ＝f (g (f (1)))＝f (g (2))＝f (1)＝2，∴a ＝b ＝c .6．下列对应是不是从A 到B 的函数？是不是从A 到B 的映射？ (1)A ＝B ＝N ，f ：x →|x －3|；(2)A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是圆}，f ：三角形的内切圆；(3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →y ＝1x.[解析] (1)当x ∈N 时，则|x －3|∈N ，即A 中的元素在B 中都有像，所以(1)是映射，也是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，它是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，y ＝10没有意义，即A 中元素0在B 中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．规律技巧总结：(1)函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．(2)有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？对于关系式x ＝1，显然有x ∈{1}，y ∈R ，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x ＝1”不是y 关于x 的函数．7．已知：集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |－1≤x ≤1}．对应f ：x →y ＝ax .若在f 的作用下能够建立从A 到B 的映射f ：A →B ，求实数a 的取值范围．[解析] ①当a ≥0时，集合A 中元素的像满足－2a ≤ax ≤2a .若能够建立从A 到B 的映射，则[－2a,2a ]⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－1，2a ≤1，∴0≤a ≤12.②当a <0时，集合A 中元素的像满足2a ≤ax ≤－2a ，若能建立从A 到B 的映射，则[2a ，－2a ]⊆[－1,1]，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，－2a ≤1，∴－12≤a <0.综合①②可知－12≤a ≤12.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学第2章算法初步基础知识测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时间120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列关于算法的描述中正确的是( )A．只有数学问题才会有算法B．算法过程要一步一步执行，每一步操作都是明确的C．有的算法可能无结果D．算法中有些语句可能永远不会被执行[答案] B[解析] 算法要解决的问题不仅仅是数学问题，显然A不正确；算法由一系列程序或步骤组成，这些程序或步骤首先必须是明确而有效的，因此算法一定会有结果，故C不正确；算法中的任意一个语句都能被执行到，否则这个语句就是多余的，应删掉，故D不正确．2．下面流程图描述的算法的运行结果是( )A．－5 B．5C．－1 D．－2[答案] A[解析] 根据判断框，如果x<0，则y＝3x－2，所以x＝－1时，y＝3×(－1)－2＝－5.3.给出下列流程图，欲输出给定两实数a、b中的较小的数，则判断框中应填( )A ．a >bB ．a ≥bC ．a <bD ．a ＝b[答案] C[解析] 输出的是较小的数，回答“是”时输出了a ，说明a 较小，故填a <b . 4．当a ＝1，b ＝3时，执行完下面一段程序后x 的值是( ) If a <b Then x ＝a ＋b Else x ＝a －b End IfA ．1B ．3C ．4D ．－2[答案] C[解析] 因为a <b ，所以x ＝a ＋b ＝1＋3＝4.5．(2014·福建文，4)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 本题考查了程序框图的相关概念．S 1：n ＝1,21>12→是， S 2：n ＝2,22>22→否，输出n ＝2.关键是理解赋值语句n ＋1及条件2n>n 2.6．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123[答案] B[解析] 本题考查程序框图．根据赋值语句“a ＝a 2＋2”及初值a ＝1得输出的a 为11，共循环2次． 7．下面是求56个数的平均数的基本语句，在横线上应填写的内容为( )S ＝0For i ＝1 To________ 输入x ； S ＝S ＋x Ne x ta ＝S /56输出________． A ．56 a B ．56 S C ．57 a －1 D ．57 S －1[答案] A[解析] 由于是求56个数的平均数，所以循环变量的终值是56，输出的是这56个数的平均数a .8．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个流程图(如下图所示)，其中判断框内应填入的条件是( )A．i>10 B．i<10C．i>20 D．i<20[答案] A[解析] 该程序满足判断框“”内条件时，循环停止，由题可知i＝10时循环进行最后一次，即sum再加上120，循环一次后，i变为11，这时应中止循环，∴循环应满足的条件是i>10.故选A.9．下列语句执行后输出的结果是( )n＝5；S＝0；DoS＝S＋nn＝n－1Loop Wh i le S<15输出n.A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析] 第一次循环S＝5，n＝4；第二次循环S＝9，n＝3；第三次S＝12，n＝2；第四次S＝14，n＝1；第五次S＝15，n＝0.故此时输出n的值为0.10.找出乘积为840的两个相邻偶数，算法流程图如右图，其中__①__，__②__，__③__处语句填写正确的是( )A．S＝i(i＋2)，输出i，输出i－2B．S＝i2＋2，输出i＋2，输出i－2C．S＝i(i＋2)，输出i，输出i＋2D．S＝i2＋2，输出i，输出i＋2[答案] C[解析] ①处所填应为相邻偶数之积，故B，D错误．若判断框执行“是”，由①处填的“S＝i(i＋2)”知②处应填“输出i”，③处应填“输出i＋2”．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．运行如图所示的程序，输出的结果是________．a ＝1b ＝2a ＝a ＋b PRINT aEND [答案] 3[解析] 本题主要考查算法知识，由于a ＝1，b ＝2，a ＝a ＋b ＝1＋2＝3.12．在求方程x (x ＋2)＝48的正整数解时，某同学给出了下列算法流程图，其结果为________．[答案] 6[解析] 因为i ＝6，i ＋2＝8时，6×8＝48，然后输出i 的值．13．某算法流程图如下图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是______________．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1x －2，x >1[解析] 当x >1时，有y ＝x －2， 当x ≤1时，有y ＝2x，所以，y 与x 满足的关系式是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1x －2，x >1.14．根据下面的算法语句，可知输出的结果T为________．T＝1I＝3DoT＝T＋II＝I＋2Loop Wh i le I<50输出T[答案] 625[解析] 由算法语句知T＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋ (49)＋2＝625.故填625.15. (2014·浙江理，11)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．[答案] 6[解析] 本题考查循环结构运行，第一次运行结果S＝1，i＝2第二次运行结果S＝4，i＝3，第三次运行结果S＝11，i＝4.第四次运行结果S＝26，i＝5.第五次运行结果S＝57，i＝6.此时S＝57>50，输出i＝6.注意认真写出每次运行结果．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)画出求12＋22＋32＋…＋20142的算法流程图．[解析] 算法流程图如下．17．(本小题满分12分)如图所示，有一城市，市区半径为15k m 的圆形区域，近效区为距中心15～25k m 范围内的环形地带，距中心25k m 以外的为远郊区．市区地价每公顷100万元，近效区地价每公顷60万元，远郊区地价为每公顷20万元，输入某一点的坐标为(x ，y )，求该点的地价．请设计出相应的程序流程图．[解析] 算法流程图如图：由该点坐标(x ，y )，求其与市中心的距离r ＝x 2＋y 2，确定是市区、近郊区还是远郊区，进而确定地价的值y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100，0<r≤15，60，15<r≤25，20，r>25.18．(本小题满分12分)用For 语句描述一个算法，找出满足以下三个条件的矩形：(1)四边形长均为整数；(2)面积值与周长值相等；(3)各边长都不超过400.[解析] 用语句描述为 For a ＝1 To 400 For b ＝1 To 400If a *b ＝2(a ＋b ) Then 输出a ，b End If Ne x t Ne x t19．(本小题满分12分)下列语句是求S ＝2＋3＋4＋…＋99的一个程序，请回答问题：i ＝1 S ＝0Do S ＝i ＋S i ＝i ＋1 Loop Wh i le i <99 输出S(1)语句中是否有错误？请加以改正； (2)把程序改为另一种类型的循环语句． [解析] (1)错误有两处 第一处：语句i ＝1应改为i ＝2.第二处：语句Loop Wh i le i <99，应改为Loop Wh i le i ≤99 (2)语句改成另一种循环类型语句应为：i ＝2 S ＝0For i ＝2 to 99S ＝S ＋iNe x t 输出S20．(本小题满分13分)如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿折线BCDA 由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，画出流程图．[解析] 函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ；8，x ；－x ，x流程图如图所示：21．(本小题满分14分)商场促销活动中：年历每本20元，购买5到9本按9折收费，买10本及以上8.5折收费．求购买x本时所付金额y为多少元？画流程图并用相应的语句描述．[解析] 流程图如下图用语句描述为：输入x；If x<5 theny＝20xElseIf x≥10theny＝20*0.85xElsey=20*0.9xEnd If输出y.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 本册综合测试1 北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时间120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了了解高一1 500名新生的年龄情况，从中抽取100名新生．就这个问题，有下列说法：①1 500名新生是总体； ②每个新生是个体；③所抽取的100名新生是一个样本； ④样本容量为100；⑤每个新生被抽到的概率相等． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] 1500名新生的年龄情况是总体；每个新生的年龄是个体；因而④、⑤正确，其它错误．解决本题的前提是正确理解总体、个体、样本、样本容量的概念．2．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号1,2，…，50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．有放回抽样C ．随机数表法D ．系统抽样 [答案] D[解析] 因为抽取样本时间隔的距离相等，所以是系统抽样．3．(2014·湖南文，5)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B ．35 C.25 D ．15[答案] B[解析] 利用几何概型公式求解，在区间为[－2,3]上随机选取一个数x ，则x ≤1，即－2≤x ≤1的概率为P ＝35.4．甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A.22,20 B ．24,18 C ．23,19 D ．23,20[答案] C[解析] 甲命中个数：8、12、13、20、22、24、25、26、27、37，中位数为12(22＋24)＝23，同理乙的中位数为12(18＋20)＝19.5．甲、乙、丙、丁4人分乘两辆车，每辆车乘两人，则甲、乙同车的概率是( ) A.12 B ．13 C.14 D ．23[答案] B[解析] 乘车的所有可能情况是甲、乙→丙、丁；甲、丙→乙、丁；甲、丁→乙、丙，所以甲、乙同车的概率为13.6．(2014·福建理，5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A．18 B．20C．21 D．40[答案] B[解析] 本题考查程序框图，当n＝1时，S＝3，当n＝2时，S＝3＋22＋2＝9，当n＝3时，S＝9＋23＋3＝10>15，故输出S＝20.对于较为简单的循环结构的框图问题，可直接令n＝1,2,3……进行求解．7．某中学高一、高二、高三三个年级共有学生3 000人，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知高一年级学生为1 200人，则该年级抽取的学生数为( )A．20 B．30C．24 D．25[答案] C[解析] 抽样比：603 000＝150，∴高一抽取：1 200×150＝24.8．在箱子中装有10张卡片，分别写有1～10的10个整数，从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x＋y是10的倍数的概率为( )A.12B．14C.15D．110[答案] D[解析] 先后两次抽取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个，因为x＋y是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)，共10对数，故x＋y是10的倍数的概率P＝10100＝110.9．(2014·湖北文，6)根据如下样本数据A．a>0，b<0 B．a>0，b>0C．a<0，b<0 D．a<0，b>0[答案] A[解析] 本题考查散点图的应用． 作出散点图如下：由图像不难得出：回归直线y ＝bx ＋a 的斜率b <0，截距a >0.所以a >0，b <0.解答本题若没有想到画出散点图，直观通过数据来判断系数b ，a 与0的大小好像无头绪，容易造成错解．10．一组数据的方差是s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2，得到一组新数据，其方差是( )A.12s 2 B ．2s 2C ．4s 2D ．s 2[答案] C[解析] 设一组数据x 1，x 2，…，x n ， 则s 2＝x 2－x2＋x 2－x2＋…＋x n －x2n，将每一个数乘以2，则x ′＝2x .所以s ′2＝x 1－2x2＋x 2－2x2＋…＋x n －2x2n＝4n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝4s 2.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．[答案] 160[解析] 本题考查了分层抽样的特点，因抽样比为280560＋420＝27，所以男生数应为560×27＝160.分层抽样是按比例抽取，一定要先找出抽样比．12．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是________．(结果用数值表示)[答案] 0.3[解析] 在五个数字1,2,3,4,5中，随机取出三个数字，剩下两个数字，基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，其中事件“两个数字都是奇数”＝{(1,3)，(1,5)，(3,5)}，故概率为0.3.13．(2014·辽宁文，13)执行下面的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝________.[答案] 20[解析] 考查程序框图的循环结构．i ＝1时，S ＝1，T ＝1；i ＝2时，S ＝3，T ＝4；i ＝3时，S ＝6，T ＝10；i ＝4时，S ＝10，T ＝20，i ＝4>3，∴输出T ＝20.注意：找准i 与n 的关系．14．下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．[答案] 9[解析] 本题考查频率分布直方图，考查阅读图表的能力．平均气温不低于25.5℃的城市T 数设为x ， 则0.12＋0.1011＝0.18x. ∴x ＝9.本题也可以利用矩形面积求解．15．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有3个这样的电子元件，则出现至少有一个接通的概率为________．[答案] 78[解析] 设电子元件接通记为1，不通记为0.设A 表示“3个电子元件至少有一个接通”，显然A 表示“3个电子元件都没有接通”，Ω表示“3个电子元件的状态”，则Ω＝{(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)，(0,0,0)}．Ω中由8个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.A ＝{(0,0,0)}．事件A 由一个事件组成，因此P (A )＝18，又因为P (A )＋P (A )＝1，所以P (A )＝1－P (A )＝1－18＝78.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)某公司在过去几年使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的概率． [解析] (1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600， 所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率是0.6.17．(本小题满分12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.(1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得二分，为黑球得一分，为红球不得分．现从袋子中取出1个小球，求总得分为二分的概率．[解析] (1)由题意可知n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋中取出2个小球的所有等可能基本事件为(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共6个，记事件A 为“总得分为二分”，包含的基本事件为(a ，c 1)，(a ，c 2)，共2个． ∴P (A )＝26＝13.18．(本小题满分12分)已知算法如下所示：(这里S1，S2，…分别代表第一步，第二步，…)S1 输入x ；S2 若x <－2，执行S3；否则，执行S6； S3 y ＝2x ＋1； S4 输出y ； S5 执行S12；S6 若－2≤x <2，执行S7；否则执行S10； S7 y ＝x ； S8 输出y ； S9 执行S12； S10 y ＝2x －1； S11 输出y ； S12 结束．(1)指出其功能(用数学式子表达)； (2)画出该算法的算法框图．[解析] (1)该算法的功能是：x 已知时，求函数 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <－2，x ，－2≤x <2，2x －1，x ≥2的值．(2)算法程序图如下．19．(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？[分析] (1)根据条件可画出图；(2)用求平均数与方差的公式可求；(3)算出不低于95的频率可求得本题．[解析] (1)(2)质量指标值的样本平均数为x＝80×0.06×＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．20．(本小题满分13分)某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样的方法从这1 000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(2)若已知树干周长在30 cm至40 cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．[解析] (1)因为用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，所以应该抽取银杏树100×4001 000＝40株．所以在4＋18＋x＋6＝40，所以x＝12.(2)记这4株树分别为树1，树2，树3，树4，且不妨设树4为患虫害的树，记“恰好在排查到第二株时发现患虫害树”为事件A，则A是指第二次排查到的是树4，因为求恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率，所以基本事件空间为：Ω＝{(树1，树2)，(树1，树3)，(树1，树4)，(树2，树1)，(树2，树3)，(树2，树4)，(树3，树1)(树3，树2)，(树3，树4)，(树4，树1)，(树4，树2)，(树4，树3)}，共12个基本事件．又事件A 中包含的基本事件有3个，所以恰好在排查到第二株时发现患虫害树的概率P (A )＝312＝14.21．(本小题满分14分)(2014·新课标Ⅱ理，19)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ＝n i ＝1t i －ty i －yn i ＝1t i －t2，a ＝y －b t[解析] (1)∵t ＝1＋2＋…＋77＝4，y ＝2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.97＝4.3，设回归方程为y ＝bt ＋a ，代入公式，经计算得b ＝3×14＋2＋0.7＋0＋0.5＋1.8＋4.8＋4＋＝1414×2＝12.a ＝y －b t ＝4.3－12×4＝2.3所以，y 关于t 的回归方程为y ＝0.5t ＋2.3.∵b ＝12>0，∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收入y ＝0.5×9＋2.3＝6.8(千元)所以，预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元左右．。

第二章 §1一、选择题1．下面四种叙述能称为算法的是( ) A ．在家里一般是妈妈做饭B ．煮茶水一般分为刷茶壶、放茶叶、添水、加热这些步骤C ．在野外做饭叫野炊D ．做饭必须要有米 [答案] B[解析] 利用算法的定义求解，算法是做一件事情的方法和步骤． 2．下面的结论正确的是( ) A ．一个程序的算法步骤是可逆的 B ．一个算法可以无止境地运算下去 C ．完成一件事情的算法有且只有一种 D ．设计算法要本着简单方便的原则 [答案] D[解析] 选项A 不正确，算法只需要每一步都可以顺序进行，并且结果唯一，不能保证可逆．选项B 不正确，一个算法必须在有限步内完成，不然就不符合算法的有穷性．选项C 不正确 ，一般情况下，一个问题的解决办法不止一个．选项D 正确，设计算法要尽量使程序运算简单，节约时间，故选D.3．下面对算法描述正确的项是( ) A ．算法只能用自然语言来描述 B ．算法只能用图形方式来表示 C ．同一个问题可以有不同的算法 D ．同一个问题算法不同，结果必然不同 [答案] C[解析] 算法的描述方式不唯一，且同一个问题可以有不同算法，但无法哪个算法得到的结果都是一样的．4．下列语句表达中是算法的有( )①从济南到巴黎可以先乘火车到北京，再坐飞机抵达； ②利用公式S ＝12ah 计算底为1，高为2的三角形的面积；③12x >2x ＋4；④求M (1,2)与N (－3，－5)两点所在直线的方程，可先求MN 的斜率，再利用点斜式求方程．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] 算法是解决某类问题的步骤与过程，这个问题并不仅仅限于数学问题，①②④都表达了一种算法，故应选C.5．对于一般的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2，在写解此方程组的算法时，需要注意的是( )A ．a 1≠0B ．a 2≠0C ．a 1b 2－a 2b 1≠0D ．a 1b 1－a 2b 2≠0[答案] C[解析] 采用加减法解方程组，未知数x ，y 的系数是a 1b 2－a 2b 1，故a 1b 2－a 2b 1≠0才能保证方程组有解．6．下列叙述能称为算法的个数为( ) ①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②依次进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100； ③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州； ④3x >x ＋1；⑤求所有能被3整除的正整数，即3,6,9,12，…. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] B[解析] 由算法定义，知①，②，③符合算法的定义，而④没有给出解题步骤，⑤也不符合算法定义要求，故选B.二、填空题7．写出1＋3＋5＋7＋9的算法的第一步是1＋3得4，第二步是将第一步中的运算结果4与5相加得9，第三步是__________________．[答案] 将第二步中的运算结果9与7相加得16[解析] 注意体会这种累加法的本质，把这种累加的思想进行推广． 8．下列所给问题中：①二分法解方程x 2－3＝0(精确到0.01)；②解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为2的球的体积；④判断y ＝x 2在R 上的单调性．其中可以设计一个算法求解的是________(填上你认为正确的序号)．[答案] ①②③[解析] 由算法的特征可知①②③都能设计算法．对于④，当x ≥0或x ≤0时，函数y ＝x 2是单调递增或单调递减函数，但当x ∈R 时， 由函数的图像可知在整个定义域R 上不是单调函数，因此不能设计算法求解．三、解答题9．写出求1＋2＋3＋…＋n 的一个算法．[分析] 这是一个累加求和问题，可按照逐个相加的办法计算，就得到一种解决它的步骤，即一种算法；若想到公式1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，也可运用它解决.[解析] 解法一：逐个相加，算法步骤如下： 1．计算1＋2得到3；2．将第1步的运算结果3与3相加，得到6； 3．将第2步的运算结果6与4相加，得到10； 4．将第3步的运算结果10与5相加，得到15； 5．将第4步的运算结果15与6相加，得到21. …n －1. 将第n －2步的运算结果与n 相加； n ． 第n －1步的运算结果即为所求． 解法二：利用公式，算法步骤如下： 1．给定n ； 2．计算n (n ＋1)2；3．第2步的计算结果即为所求．[点评] 一个问题可以有多个算法，可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法．上面的两种算法都符合题意，但算法二利用求和公式，这样步骤就比算法一少了许多，因此更为科学．本题体现了算法的特征：(1)一个算法往往具有代表性，能够解决一类问题；(2)算法不是唯一的；(3)两个算法各自体现了不同的思想内涵．一、选择题 1．已知算法： 1．输入n ； 2．判断n 是否是2， 若n ＝2，则n 满足条件； 若n >2，则执行第3步；3．依次检验从2到n －1的整数能不能整除n ，若不能整除n ，满足条件．上述满足条件的数是( )A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．4的倍数[答案] A[解析] 由质数定义知，满足条件的数是质数．2．早晨起床后需要：洗脸刷牙(5 min)，刷水壶(2 min)，烧水(8 min)，泡面(3 min)，吃饭(10 min)，听广播(8 min)，下列选项中最好的一种算法设计是( )A.1.洗脸刷牙2.洗水壶3.烧水4.泡面5.吃饭6.听广播B ．1.洗水壶2.烧水，同时洗脸刷牙3.泡面4.吃饭5.听广播C.1.吃饭，同时听广播2.泡面3.烧水， 同时洗脸刷牙4.洗水壶 D ．1.洗水壶2.烧水，同时洗脸刷牙3.泡面4.吃饭同时听广播[答案] D[解析] 由算法的概念及特点知选D. 二、填空题3．阅读下面的算法，回答所给问题： 第一步，输入a ；第二步，若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步； 第三步，输出2a －1； 第四步，输出a 2－2a －1. (1)上述算法的功能是________；(2)当输入的a 值为________时，输出的数值最小，其最小值为________．[答案] (1)求分段函数f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －1，a ≥4，a 2－2a －1，a <4的函数值 (2)1 －24．一个算法步骤如下： 1 S 取值0，i 取值1.2 如果i ≤10，则执行3，否则执行6.3 计算S ＋i ，并让S 取计算结果的值．4 计算i ＋2，并让i 取计算结果的值．5 转去执行2.6 输出S .运行以上步骤输出的结果为S ＝________. [答案] 25[解析] 由以上算法可知：S ＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 三、解答题5．用二分法设计一个求方程x 2－2＝0的近似解的算法．[解析] 假设所求近似解与精确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下算法步骤．1 令f (x )＝x 2－2，因为f (1)<0，f (2)>0，所以设x 1＝1，x 2＝2.2 令m ＝x 1＋x 22，判断f (m )是否为0，若是，则m 即为所求；否则，继续判断f (x 1)·f (m )大于0还是小于0.3 若f (x 1)·f (m )>0，则x 1＝m ；否则，x 2＝m .4 判断|x 1－x 2|<0.005是否成立，若是，则x 1，x 2之间的任意值均为满足条件的近似解；否则，返回第二步．5 输出结果．6．试描述解下面方程组的算法： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝12， ①3x －3y －z ＝16， ②x －y －z ＝－2. ③[解析] 设计如下：1．①＋②化简得2x －y ＝14.④ 2．②－③化简得x －y ＝9.⑤ 3．④－⑤得x ＝5.⑥ 4．将⑥代入⑤得y ＝－4.5．将x ，y 代入①得z ＝11. 6．输出x ，y ，z 的值．7．(1)试描述判断圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2和直线Ax ＋By ＋C ＝0位置关系的算法． (2)写出求过点M (－2，－1)、N (2,3)的直线与坐标轴围成三角形面积的一个算法． [解析] (1)1.输入圆心的坐标(a ，b )，直线方程的系数A 、B 、C 和半径r ； 2．计算z 1＝Aa ＋Bb ＋C ； 3．计算z 2＝A 2＋B 2； 4．计算d ＝|z 1|z 2； 5．如果d >r ，则相离；如果d ＝r ，则相切；如果d <r ，则相交．(2)已知直线上的两点M 、N ，由两点式可写出直线方程，令x ＝0，得出与y 轴交点；令y ＝0，得出与直线x 轴交点，求出三角形两直角边的长，根据三角形面积公式可求出其面积．算法步骤如下：1．取x 1＝－2，y 1＝－1，x 2＝2，y 2＝3； 2．得直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1；3．令x ＝0，得y 的值m ，从而得直线与y 轴交点的坐标(0，m )； 4．令y ＝0，得x 的值n ，从而得直线与x 轴交点的坐标(n,0)； 5．根据三角形面积公式求S ＝12·|m |·|n |；6．输出算法结果．。