高中数学人教A版选修(2-3)2.4《正态分布》教案

_2.4正态分布1．正态曲线正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝12π·σ22e2xμσ()－－，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线．期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．3．正态分布的3σ原则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%.可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．[对应学生用书P40][例1]析式，求出总体随机变量的期望和方差．[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．[精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是 f (x )＝12π·e x 2204()－－，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. [一点通]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe x 2108()－－，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10解析：由正态曲线f (x )＝12πσx 22e 2()σ－－μ知，⎩⎪⎨⎪⎧2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2. 答案：B2．如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>σ2>σ3B ．σ3>σ2>σ1C ．σ1>σ3>σ2D ．σ2>σ1>σ3解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3. 答案：A[例2] X 在(－1,1)内取值的概率．[思路点拨] 解答本题可先求出X 在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x ＝1对称知，X 在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．[精解详析] 由题意得μ＝1，σ＝2， 所以P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，所以P (－1<X <1)＝P (1<X <3)＝12P (－1<X <3)＝0.341 3.[一点通]解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．3．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.解析：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.答案：124．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c ＝________. 解析：∵μ＝2，P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)， ∴c ＋1＋c －12＝2，解得c ＝2.答案：25．若X ～N (5,1)，求P (5<X <7)． 解：∵X ～N (5,1)，∴μ＝5，σ＝1.因为该正态曲线关于x ＝5对称，所以P (5<X <7)＝12P (3<X <7)＝12×0.954 4＝0.477 2.[例3] 服从正态分布N (174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解． [精解详析] 因为身高X ～N (174,9)， 所以μ＝174，σ＝3，所以μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4. 又因为μ＝174.所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2， 故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)． [一点通]解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这一特殊性质．6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X ～N (50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X <70)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4. 答案：0.954 47．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X (单位：小时)，已知X ～N (1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？解：因为灯泡的使用寿命X ～N (1 000,302)，故X 在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上．根据正态曲线的对称性求解概率的关键要把握三点：(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．[对应课时跟踪训练(十七)]1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的期望为()A．1B．－1C．0 D．不确定解析：因为X＝μ为其对称轴，所以μ＝0.答案：C2．设X～N(10,0.64)，则D(X)等于()A．0.8 B．0.64C．0.642D．6.4解析：∵X～N(10,0.64)，∴D(X)＝0.64.答案：B3．已知随机变量X～N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C4．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于() A．a B．1－aC ．2aD ．1－2a解析：因为X 服从正态分布N (2，σ2)， 所以正态曲线关于直线x ＝2对称， 所以P (X >4－c )＝P (X <c )＝1－P (X >c )＝1－a . 答案：B5．己知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x ＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.26．如果随机变量X ～N (μ，σ2)，且E (X )＝3，D (X )＝1，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X ＞4)＝________.解析：因为X ～N (μ，σ2)，E (X )＝3， D (X )＝1，故μ＝3，σ2＝1.又P (2≤X ≤4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.682 6， 故P (X ＞4)＝1－0.682 62＝0.158 7.答案：0.158 77．已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π.(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4]上的概率．解：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0，由14 2π＝12πσ，解得σ＝4， 所以该函数的解析式为 f (x )＝14 2πx 2e 32－，x ∈(－∞，＋∞)．(2)P (－4<X ＜4)＝P (0－4<X ＜0＋4)＝P(μ－σ<X＜μ＋σ)＝0.682 6.8．某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．解：(1)由正态分布N(100,1.22)，知P(100－1.2＜X≤100＋1.2)＝0.682 6.所以糖包重量在(100－1.2,100＋1.2)内的包数为1 500×0.682 6≈1 024.(2)糖包重量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的包数为1 500×0.997 4≈1 496.。

福建省漳州市芗城中学高中数学 2．4正态分布教案 新人教A 版选修2-3 课题： 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日 教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质 。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N (0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学用具：多媒体、实物投影仪教学方法：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

教学过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π（３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．例3. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例4．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例5．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-巩固练习： 1,2,3习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2教学后记：正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。

教学设计2．4正态分布整体设计教材分析正态分布是高中数学新增内容之一，是统计中的重要内容．一方面，它是在学生学习了总体分布后给出的自然界最常见的一种分布，它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，因此它起着承上启下的桥梁作用；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述．因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．课时分配1课时教学目标知识与技能掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．归纳正态曲线的性质．过程与方法能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法．情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．重点难点教学重点：正态曲线的性质、标准正态曲线N(0,1)．教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．教学过程复习旧知1．回顾曲边梯形的面积S＝b f(x)dx的意义；⎠⎛a2．复习频率分布直方图，频率分布折线图的作法、意义：①在频率分布直方图中，区间(a，b)对应的图形的面积表示____________________．②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积的和为_______________________________．设计意图：用学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律．探究新知提出问题：同学们知道高尔顿板试验吗？课本的内容表述了高尔顿板试验，我们将通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布．活动设计：教师板书课题，学生阅读课本中关于高尔顿板的内容．提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图．(2)当n由1 000增至2 000时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．活动结果：总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)．式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．1．一般地，如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足P(a<X≤b)＝⎠⎛ab φμ，σ(x)dx ， 则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N(μ，σ2)．理解新知正态分布密度函数的理解：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2， 其中：x 是随机变量的取值；π是圆周率；e 是自然对数的底；参数μ是正态分布的均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去佑计；参数σ是正态分布的标准差，是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．提出问题：下面给出三个正态分布的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.(1)f(x)＝12πe－x22；(2)f(x)＝122πe－(x－1)28；(3)f(x)＝2πe－2(x＋1)2.答案：(1)μ＝0，σ＝1；(2)μ＝1，σ＝2；(3)μ＝－1，σ＝0.5.设计意图：概念一旦形成，必须及时加以巩固．通过对问题的解答，进一步加深对定义的认识．提出问题：正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．例如令σ＝0.5，μ＝－1,0,1….活动设计：通过几何画板，作出正态曲线，固定其中一个值，利用几何画板的功能直观地观察正态曲线受到均值μ或标准差σ的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．设计意图：通过对两组正态曲线进行分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头低、中间高、左右对称．正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上．讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．活动结果：(一)正态曲线的性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交，曲线与x轴之间的面积为1.(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x ＜μ时，曲线上升(增函数)；当x ＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．(5)σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中．六条性质中前三条学生较易掌握，后三条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．(二)标准正态曲线：当μ＝0、σ＝1时，正态分布称为标准正态分布，其相应的函数表示式是f(x)＝12πe －x 22(－∞＜x ＜＋∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线．教师指出：标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．1．N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：①若ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－μσ～N(0,1)，有P(ξ<x 0)＝F(x 0)＝Φ(x 0－μσ)； ②若ξ～N(μ，σ2)，则P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2－μσ)－Φ(x 1－μσ)． 2．在标准正态分布表中相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率，即Φ(x 0)＝P(ξ<x 0)．两个重要公式：①Φ(x 0)＝1－Φ(－x 0)，②P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2)－Φ(x 1)．3．3σ原则．进一步，若X ～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎛μ－aμ＋a φμ，σ(x)dx 为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大．这说明σ越小，X 落在区间(μ－a ，μ＋a]的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大．特别有：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，用图表示为：正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．因此在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．运用新知例1已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84解析：解法一：∵P(ξ≤4)＝F(4)＝Φ(4－2σ)＝Φ(2σ)＝0.84，∴P(ξ≤0)＝F(0)＝Φ(0－2σ)＝Φ(－2σ)＝1－Φ(2σ)＝0.16. 解法二：因为曲线的对称轴是直线，所以由图知P(ξ≤0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16. 答案：A例2设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于( )A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975解析：解法一∵ξ～N(0,1)，∴P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950.解法二：∵曲线的对称轴是直线x＝0，∴由图知P(ξ>1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，∴P(|ξ|<1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950.故答案为C.答案：C例3设X～N(4,1)，求P(5＜x＜6)．分析：确定μ，σ的值，由正态曲线的对称性及P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)的概率计算．解：由已知得，μ＝4，σ＝1，P(3＜X＜5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(2＜X＜6)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(2＜X＜3)＋P(5＜X＜6)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由对称性得，P(2＜X＜3)＝P(5＜X＜6)＝0.135 9.【变练演编】1．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.答案：0.52．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：正态分布函数的图象关于x ＝μ对称，σ的大小表示变量的集中程度，σ越大，数据分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，数据分布越集中，曲线越“瘦高”．答案：A3．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ) D ．2Φ(μ＋σ) 解析：考查N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：若ξ～N(μ，σ2)，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．答案为B. 答案：B【达标检测】1．若随机变量X ～N(μ，σ2)，a 为一个实数，证明P(X ＝a)＝0.证明：对于任意实数a 和自然数n 有{a －1n <X≤a}＝{X ＝a}∪{a －1n<X<a}． 因为事件{X ＝a}与事件{a －1n<X<a}互斥，由概率加法公式得 P(a －1n <X≤a)＝P(X ＝a)＋P(a －1n<X<a)≥P(X ＝a)． 因为X ～N(μ，σ2)，所以0≤P(X ＝a)≤P(a －1n <X≤a)＝⎠⎛a a －1n φμ，σ(x)dx ≤1σ2π⎠⎛a a －1n dx ＝1n σ2π，n ＝1,2，…，故P(X ＝a)＝0. 点评：本题涉及知识范围较广，是一道综合性较强的题目．2．若X ～N(5,1)，求P(6＜X ＜7)．解：由X ～N(5,1)知，μ＝5，σ＝1.因为正态密度曲线关于x ＝5对称，所以P(5＜X ＜7)＝12·P(3＜X ＜7)≈12·0.954 4＝0.477 2； P(5＜X ＜6)＝12·P(4＜X ＜6)≈12·0.682 6＝0.341 3； P(6＜X ＜7)＝P(5＜X ＜7)－P(5＜X ＜6)≈0.135 9.3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，求总体落入区间(－1.2,0.2)之间的概率．解：正态分布的概率密度函数是f(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，它是偶函数，说明μ＝0，f(x)的最大值为f(μ)＝12πσ，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布． P(－1.2<x<0.2)＝Φ(0.2)－Φ(－1.2)＝Φ(0.2)－[1－Φ(1.2)]＝Φ(0.2)＋Φ(1.2)－1.课堂小结1．正态分布．2．正态分布密度曲线及其特点．3．标准正态曲线．4．了解3σ原则．补充练习【基础练习】1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x ＝μ对称，整条曲线在x 轴的上方；(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；(3)曲线在x ＝μ处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，曲线逐渐降低；(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”．上述叙述中，正确的有__________．答案：(1)(3)(4)2．设某长度变量X ～N(1,1)，则下列结论正确的是( )A ．E(X)＝D(X)＝D(X)B ．D(X)＝D(X)C ．E(X)＝D(X)D ．E(X)＝D(X)答案：A3．把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( )A ．曲线b 仍然是正态曲线B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a 为概率密度曲线的总体的均值大2D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2答案：D【拓展练习】1．设X ～N(0,1)．①P(－ε＜X ＜0)＝P(0＜X ＜ε)；②P(X ＜0)＝0.5；③已知P(│X│＜1)＝0.682 6，则P(X ＜－1)＝0.158 7；④若P(│X│＜2)＝0.954 4，则P(X ＜2)＝0.977 2；⑤若P(│X│＜3)＝0.997 4，则P(X ＜3)＝0.998 7；其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：D2．已知X ～N(0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率等于( )A ．0.022 8B ．0.045 6C ．0.977 2D ．0.954 4答案：A3．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ＞C)＝p ，那么p 的值为( )A ．0 B.12C ．1D ．不确定，与σ有关答案：A4．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ξ～N(200,18)，则取得的这件材料的强度不低于180的概率为( )A ．0.997 3B ．0.866 5C ．0.841 3D ．0.815 9答案：A设计说明本节课的教学设计力求体现教师主导，学生主体的原则，体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，突出以下几点：1．注重目标控制，面向全体学生，启发式教学．2．学生通过自主探究参与知识的形成过程，让学生真正地学会学习，也就是让学生主动建构式的学习，真正掌握学习方法．备课资料备选例题：1．若X ～N(μ，σ2)，问X 位于区域(μ，μ＋σ)内的概率是多少？解：P(μ<X<μ＋σ)＝12P(μ－σ<X<μ＋σ)≈12×0.682 6＝0.341 3. 2．某年级的一次信息技术测验成绩近似地服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？解：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N(70,102)，其中μ＝70，σ＝10， 在60到80之间的学生占的比例为P(70－10<X<70＋10)≈0.683＝68.3%，所以不及格的学生占的比例为0.5×(1－0.683)≈0.159＝15.9%；(2)成绩在80到90之间的学生占的比例为0．5×[P(70－2×10<X<70＋2×10)－P(70－10<X<70＋10)]≈0.5×(0.954－0.683)≈0.136＝13.6%.(设计者：刘鹏)。

正态散布教课方案一、教课目的剖析联合课程标准的要求，学生的实质状况，本节课的教课目的以下：知识与技术目标：（1）学习正态散布密度函数分析式；（2）认识正态曲线的特色及其表示的意义；过程与方法目标：（1）设置课前自主学习教案，使学生在课前自学；（2）讲堂采纳小组合作研究，提升讲堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将讲堂学习延长至课外学习。

感情、态度与价值观：（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调换学生的学习热忱；（2）运用议论研究形式，加强学生的合作意识。

二、教课内容分析正态散布是人教 A 版选修 2-3 第二章第四节的内容，该内容共一课时。

以前，学生已经学习了频次散布直方图、失散型随机变量等有关知识，这为本节课学习确立了基础，而正态散布研究是连续型随机变量，既是对前方内容的增补、拓展，又为学生初步应用正态散布知识解决实质问题供给了理论依照。

三、教课识题诊疗学生已在必修三中学习过频次散布直方图、整体密度曲线，但间隔时间较长，有些忘记，可能会影响讲堂进度。

正态曲线的特色许多，证明也较为复杂，假如等到讲堂上才开始思虑，必然影响讲堂容量。

本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。

教课要点：（1）正态散布密度函数分析式；（2）正态曲线的特色及其所表示的意义。

教课难点：正态曲线的特色四、教课对策剖析经过两个看法复习题，让学生熟习本节课需要用到的知识。

设计了好多学生讲话的环节，让学生充足的显现自己的能力。

为达成教课任务，教师需要在课前为学生供给教案，讲堂中指引学生，掌控学习进度。

五、教课基本流程课前自主学习情境引入高尔顿板实验整体密度曲线正态曲线与函数讲堂练习正态散布正态曲线特色讲堂检测条件及举例讲堂小结课后查阅六、教课过程设计（1）课前自主学习：1.频次散布直方图用什么表示频次？2.由频次散布直方图获得整体密度曲线的过程是：第一绘制样本的频率散布折线图，而后跟着的无穷增添，作图时的减小、的增添，频次散布折线图愈来愈靠近一条圆滑曲线，这条曲线就是曲线。

人教版高中选修2-3《正态分布》教案一、教学目标1.知识与技能：–能够通过计算、观察与分析进行正态分布的基本参数估计与计算；–能够根据数据特征确定正态分布的使用条件，并运用正态分布解决实际问题。

2.过程与方法：–提高学生数理思维能力及运用计算机软件进行数据统计和分析的能力；–提高学生观察、归纳、分析问题及解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：–培养学生科学态度，认识正态分布的重要性和应用价值，拓宽学生科学视野。

二、教学重、难点1.教学重点：–正态分布的基本概念与相关参数的计算；–正态分布的性质及模型的应用；–正态分布与假设检验。

2.教学难点：–正态分布在实际中的广泛应用。

三、教学内容1. 正态分布的基本概念与参数1.正态分布的定义–介绍正态分布的基本特征和概念。

2.正态分布的概率密度函数和分布函数–掌握正态分布的概率密度函数和分布函数的定义；–画出正态分布的概率密度函数和分布函数的图像。

3.正态分布的标准化–掌握正态分布的标准化转化法，以及标准正态分布表的使用方法。

2. 正态分布的参数估计与计算1.正态分布的基本形式–介绍正态分布的基本形式，以及参数的含义；–学习如何通过样本来估计总体的参数。

2.样本均值和样本标准差–掌握样本均值和样本标准差的定义和计算方法；–从样本中估计总体的均值和标准差。

3.抽样分布–掌握样本均值和样本标准差的概率分布，以及如何计算抽样分布。

3. 正态分布的应用1.正态分布的性质及模型的应用–描述正态分布的各种统计特征；–掌握利用正态分布进行概率估计的方法；–了解正态分布在实际问题中的应用，如质量控制、投资、风险评估等。

2.正态分布与假设检验–了解假设检验的基本内容及步骤；–学习如何从正态分布的角度来诠释假设检验。

四、教学方法1.授课讲解：对正态分布相关概念和公式进行讲解，以期解决学生对于正态分布不熟悉的情况。

2.讲解示范法：用实例向学生呈现正态分布的应用场景及应用方法，以期加深学生对于正态分布在实践中的应用认识。

2. 4.1正态分布【教学目标】1.了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用。

2.了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制。

【教学重难点】教学重点：1.正态分布曲线的特点；2.正态分布曲线所表示的意义.教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布；2．正态分布曲线所表示的意义.【教学过程】一、设置情境，引入新课这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内。

问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？问题 2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？问题 3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？二、合作探究，得出概念随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线.这条曲线可以近似下列函数的图像：其中实数为参数，我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X表示一个随机变量，X落在区间的概率为什么？其几何意义是什么？一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足则称X的分布为正态分布，记作，如果随机变量X服从正态分布，则记为。

问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？问题7.结合的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？可以发现，正态曲线有以下特点：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；（3）曲线在处达到峰值；（4）曲线与x轴之间的面积为1；（5）当一定时，曲线随着德变化而沿x轴平移；（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

高中数学人教A版选修2-3第二章《正态分布》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能
(1)通过高尔顿板试验,了解正态分布密度曲线的来源
(2)通过事例借助几何直观,理解正态分布的概念及其曲线特点,掌握利用原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题
2.过程与方法
(1)通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线,体验从有限到无限的思想方法
(2) 通过观察正态曲线研究正态曲线的性质,体会数形结合的方法,增强观察、分析和归纳的能力
3、情感、态度与价值观
(1) 通过经历直观动态的高尔顿试验,提高学习数学的兴趣
(2)通过原则的学习,充分感受数学的对称美
2学情分析
在必修三的学习中,学生已经掌握了统计等知识,这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。

但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象,学生理解比较困难。

3重点难点
重点:1、正态分布密度曲线的特点.
2、正态分布密度曲线所表示的意义.
难点:1、在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布
2、正态分布密度曲线所表示的意义
4教学过程。

课题：2.4正态分布
展示美丽的风景
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
高尔顿板实验
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
正态曲线
正态曲线密度函数的解析式
人教A 版选修2-3 正态分布
O
y
()()=
--
21
2
2,e
x x σμσμπ
σϕ其中实数μ和σ(σ>0)为参数.
一、正态曲线人教A 版选修2-3 正态分布
y
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
某一地区同年龄人群的身高
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
一定条件下生长的向日葵的单位面积的产量
探究：正态分布的特点
人教A 版选修2-3 正态分布
让优秀成为一种习惯
人教A 版选修2-3 正态分布
人教A 版选修2-3 正态分布
教师展示六个特点：
人教A 版选修2-3 正态分布
固定一个参数，练习题
人教A 版选修2-3 正态分布
设三个正态分布(,)N μσ(0)σ>，(,)N μσ(σ>N N N 设三个正态分
人教A 版选修2-3 正态分布
例题：
人教A 版选修2-3 正态分布
1:某商场大米（单位:kg ） 大
米
大米练习：
人教A 版选修2-3 正态分布
若P
人教A 版选修2-3 正态分布
当堂检测。

正态分布教学设计一、教学目标分析结合课程标准的要求，学生的实际情况，本节课的教学目标如下：知识与技能目标：（1）学习正态分布密度函数解析式；（2）认识正态曲线的特点及其表示的意义；过程与方法目标：（1）设置课前自主学习学案，使学生在课前自学；（2）课堂采用小组合作探究，提高课堂效率；（3）课后设置课后查阅要求，将课堂学习延伸至课外学习。

情感、态度与价值观：（1）以情境引入，以实验作载体，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习热情；（2）运用讨论探究形式，增强学生的合作意识。

二、教学内容解析正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。

之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。

三、教学问题诊断学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。

正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，如果等到课堂上才开始思考，必定影响课堂容量。

本班学生为理科名校班，学生能力较强，要给学生发挥主观能动性的空间。

教学重点：（1）正态分布密度函数解析式；（2）正态曲线的特点及其所表示的意义。

教学难点：正态曲线的特点四、教学对策分析通过两个概念复习题，让学生熟悉本节课需要用到的知识。

设计了很多学生发言的环节，让学生充分的展现自己的能力。

为完成教学任务，教师需要在课前为学生提供学案，课堂中引导学生，掌控学习进度。

五、教学基本流程课前自主学习情境引入高尔顿板实验总体密度曲线正态曲线与函数课堂练习正态分布正态曲线特点课堂检测条件及举例课堂小结课后查阅六、教学过程设计（1）课前自主学习：1.频率分布直方图用什么表示频率？2.由频率分布直方图得到总体密度曲线的过程是：首先绘制样本的频率分布折线图，然后随着 的无限增加，作图时 的减小、 的增加，频率分布折线图越来越接近一条光滑曲线，这条曲线就是 曲线。