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第四章傅里叶变换和系统的频域(a)

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信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析

信号与系统 吴大正 第四章 傅立叶变换和系统的频域分析

4.2 傅里叶级数
3 .f(t)为奇谐函数—f(t) = –f(t±T/2) 此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶 次谐波分量即 a0=a2=…=b2=b4=…=0
f(t) 0 T/2 T t
4.3 周期信号(Periodic Signal)的频谱
周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱 从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关 系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位 随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω 为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相 位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实 数，也可直接画Fn 。
“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”
——傅里叶的第二个主要论点
4.2 傅里叶级数
周期信号展开的无穷级数成为傅里叶级数，分“三角型傅里 叶级数”和“指数型傅里叶级数”，只有当周期信号满足狄 里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。 狄利赫利条件(Dirichlet condition)

t 0 T
2 T bn 2T f (t )sin(nt ) d t T 2
任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分， 由于f(-t) = -fod(t) + fev(t) ，所以 f (t ) f (t ) f (t ) f (t ) f e v (t ) f od (t ) 2 2
4.2 傅里叶级数
三角形式 指数形式 奇偶函数的傅里叶级数
e jx e jx 由于 cos x 2
A0 f (t ) An cos( n t n ) 2 n 1

傅里叶变换和系统的频域

傅里叶变换和系统的频域
通过傅里叶变换将信号分解到不同的频率分量上，然后分配到不 同的频带进行传输。
频分复用应用
广泛应用于无线通信、有线电视等领域，提高信号传输的效率和 可靠性。
05
傅里叶变换的局限性
频域混叠现象
频域混叠现象是指由于采样频 率不足或信号频率超出采样频 率的一半，导致频谱出现重叠
的现象。
频域混叠会导致信号失真， 使得信号的频谱分析变得困
调频（FM）、调相（PM）、调相调频 （PM/FM）等。
调制解调器设计原理
利用傅里叶变换将信号从时域转换到频域，实 现信号的调制和解调。
调制解调器应用
用于无线通信、卫星通信等领域，实现信号的传输和接收。
频分复用技术
频分复用原理
将多个信号分配到不同的频率通道上，实现多路信号同时传输。
频分复用技术实现
线性时不变系统的频域分析
线性时不变系统
01
在频域中，线性时不变系统可以用频率响应函数来描述，该函
数将输入信号的频率映射到输出信号的频率。
频域表示
02
通过傅里叶变换，将系统的时域表示转换为频域表示，从而可
以分析系统在不同频率下的行为。
系统特性分析
03
通过分析频率响应函数，可以了解系统的带宽、稳定性、阻尼
定义：对于任何时间函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为： F(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdtF(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-iomega t} dtF(ω)=∫−∞∞f(t)e−iωtdt
傅里叶变换的性质
线性性质
如果f1(t)和f2(t)分别是两个函数的傅里叶变换，那么对于任意常数a和b，有 aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)aF_1(omega) + bF_2(omega) = a f_1(t) + b f_2(t)aF1(ω)+bF2(ω)=af1(t)+bf2(t)

信号与线性系统分析第四章

信号与线性系统分析第四章

A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2
A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1 第
23 页
指数形式的傅里叶形式
2 an T 2 bn T

T 2 T 2
f ( t ) cos(nt )dt f ( t ) sin ( nt )dt
第 11 页
T 2 T 2
例题1
an 0 n 2,4,6, 0, bn 4 , n 1,3,5, n
• 信号的傅里叶级数展开式为：
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An、 – n= – n
A0 1 j n jnt 1 上式写为： An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 1 所以 f ( t ) An e j n e j nt 2 n
f (t )
n
F e
n

jnt
1 j cos(n )e jnt n n
第 19 页

四、周期信号的功率 —— Parseval 等式 A
f (t )
0
2
An cos(nt n )
n 1
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
2
2
a0 f ( t ) an cos(nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f ( t )
4 an =0， bn T

第4章拉普拉斯变换

第4章拉普拉斯变换

j
收
敛
轴
0 收 敛 域
0收
敛
坐
标
《 信号与系统》
10
第四章 连续系统的复频域分析
例：求下列各单边函数拉氏变换的收敛域（即求收敛坐标 0）
1 f t t ;
2 f t ut;
3 f t e2tu t ; 4 f t e2tu t ;
5 f t cos0tu t
《 信号与系统》
11
f t
1
2 j
j
j
F (s)est ds
LT
1
F
s
原函数
《 信号与系统》
3
第四章 连续系统的复频域分析
傅氏变换建立了信号在时域和频域间的关系，而拉氏变换 则建立了在时域和复频域间的关系。同时我们发现，在拉氏变
换中，当变量s中的实部σ=0时，拉氏变换就变成了傅氏变换，
也就是说，傅氏变换是拉氏变换的一个特例。
由于s=σ+jω，因此上式中括号内第二项可写为
lim e-(s- )t lim e e -( - )t -jt
t
t
只要选择σ>α，随着时间t的增大，e-(σ-α)t将会衰减。故有
lim e-(s- )t 0
t
从而使f(t)的象函数为
F(s) 1
s
若σ<α，e-(σ-α)t将随着时间t的增大而增大。当t→∞时， 结果 将趋于无穷大， 从而使积分不收敛， f(t)的象函数不存在。
LT tn
tn est dt0ຫໍສະໝຸດ n! s n 1n
1时,
f
t
t,
LT
t
1 s2
7.单边衰减正弦信号e-t sin 0t u t

第四章-傅里叶变换

第四章-傅里叶变换
~ x(t)X(kΩ 0)ejΩ k0t, Ω 02π/T k
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
其中 T 为~x(t) 的周期，<T>表示长度为 T 的任意区间。此即连续 傅里叶级数（Continuous Fourier Series, CFS）。从上述公式可 以看出，连续时间周期信号 ~x(t) 可以表示为与其重复频率 Ω0 成 谐波关系的一系列复正弦信号 ejΩ0t 的线性组合，每个 ejΩ0t 的复 数幅度就是傅里叶级数的系数 X(kΩ0)。
第四章 傅里叶变换
1. 连续和离散傅里叶级数 2. 连续和离散傅里叶变换 3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较 4. 有限长序列的离散傅里叶变换
傅里叶，1768－1830
1. 连续和离散傅里叶级数
任何连续时间周期信号 ~x(t) ，只要它满足狄里赫利（Dirichlet） 条件（后面介绍），都可以展开为复正弦形式的傅里叶级数：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
连续傅里叶级数的收敛条件：
条件1
~ x(t)X(kΩ 0)ejΩ k0t, Ω 02π/T
k
X(kΩ0)T 1T~ x(t)ejkΩ0tdt
在任何一个周期内必须模可积，即
~x(t)dt T
X (k Ω 0 ) T 1 T ~ x (t)e jΩ k 0 td T t 1 T ~ x (t)d t

第四章-傅里叶变换

第四章-傅里叶变换
nN
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有 界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任 何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周 期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn

傅里叶级数-变换

频率的函数，而与时间t无关，用于系统分析的独立变 量为，故称之为频域分析。
Y j H jF j
4.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
概念相似。
y
A C1vx C2v y
C2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C1vx
x
它们组成一个二维正交矢量集。
t2
t1
i
2
(
t
)dt
如果分解的项数越多则误差愈小。即 n ，均
方误差 2 0 ，即 f (t) 在区间 (t1 , t2)内分解为无穷多项 之和。
4.2 傅里叶级数
将周期信号 f (t) f (t mT) 在区间t0 , t0 T 内展开成完
备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集 是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的 无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅
里叶级数”，统称为傅里叶级数。
1 , cos t , cos2 t , ..., cos(m t) , ...
sin t , sin2 t , ...,
sin(n t)
,...
{e jnt } (n 0 , 1 , 2 , ....)
一、周期信号的分解
设有一个周期信号 f (t) ，它的周期是 T ，角频率
2F 2 ，它可分解为：
T
f
(t)
a0 2
a1
cos(t)
a2
cos (2t )
......
b1 sin(t ) b2 sin(2t ) .....
a0 2
an
n 1
cos(nt)
bn

第4章 快速傅里叶变换(FFT)

DIF-FFT）。
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理
先设序列点数为N=2M，M为整数。如果不满足这个条 件，可以人为地加上若干零值点，使之达到这一要求。 这种N为2的整数幂的FFT称基-2 FFT。
(一)N/2点DFT
按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(3)对X1(k)和X 2 (k)进行蝶形运算,前半部为
X(0)~X(3),后半部分为 X(4) ~ X(7) 整个过程如图4.2.2 所示:
x(0 )
X1(0 )
X(0 )
x(2 )
N/2点 X1(1 )
X(1 )
x(4 )
X1(2 )
X(2 )
DFT
x(6 )
X1(3 )
WNk
X2(k)
X(N 2

k)

X1(k) WNk
X 2 (k )
(后一半)
计算X(k)包含N/2个蝶形运算和两个N/2点DFT运算
计算工作量分析
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
(1)1个N/2点的DFT运算量:
复乘次数: ( N )2 N 2 复加次数: N ( N 1)
24
22
(2)两个N/2点的DFT运算量:
例如,N=8时的DFT可分解为四个N/4的DFT, 具体步骤如下:
(1) 将原序列x(n)的“偶中偶”部分:
x3(l) x1(r) x(n) x3(0) x1(0) x(0) x3(1) x1(2) x(4)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
第4章 快速傅里叶变换(FFT)
4.1 引言 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减少运算量的措施

信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析

信号与系统傅里叶变换和系统的频域分析首先，我们来介绍傅里叶变换。

傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的数学工具，它可以将一个连续的时间域信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。

傅里叶变换可以看作是一种能量谱的测量方法，它告诉我们信号中每个频率成分的能量大小。

傅里叶变换的数学定义是通过积分将一个信号从时间域转换到频域。

对于一个连续时间域信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) e^(-jωt)dt其中，X(ω)是信号的频域表示，ω是频率，e^(-jωt)是复指数函数。

傅里叶变换将信号x(t)从时间域转换为频域，允许我们分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度和相位等。

傅里叶变换的逆变换可以将频域信号恢复到时间域信号。

对于一个频域信号X(ω)，它的逆傅里叶变换x(t)定义为：x(t)=(1/2π)∫[−∞,+∞]X(ω)e^(jωt)dω傅里叶变换在信号与系统领域中有广泛的应用，例如，它可以用于频谱分析、滤波器设计、系统响应分析等。

通过傅里叶变换，我们可以获得关于信号的更多信息，并且可以对信号进行处理和改变。

接下来，我们来介绍系统的频域分析。

在信号与系统理论中，系统通常指的是对输入信号进行处理的一种数学结构。

系统的频域分析是一种用频域工具和方法分析系统行为的技术，它可以帮助我们理解系统对不同频率信号的响应。

系统的频域分析基于系统的传递函数，它将输入信号转换为输出信号的关系表示为一个复数表达式。

传递函数通常表示为H(ω)，其中ω是频率。

传递函数描述了系统对不同频率信号的增益和相位响应。

对于一个线性时不变系统，系统的输出可以通过将输入信号与传递函数相乘得到。

这可以用傅里叶变换的性质来实现，因为傅里叶变换将一个输入信号转换为频域中的复数表达式。

将输入信号的傅里叶变换与传递函数的频域表示相乘，然后进行逆傅里叶变换，即可得到系统的输出信号。

系统的频域分析可以提供有关系统频率响应、频率选择性和稳定性等方面的信息。

吴大正 信号与线性系统分析 第4章 傅里叶变换和系统的频域分析

j 1
第 7页
小结
函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和
f (t )
1 Ci Ki
C i i (t )
i
f (t ) i (t ) d t
Ki
t
t2
1
i2 (t ) d t
巴塞瓦尔能量公式
t
t2
1
f 2 (t ) d t

i 1

Ci2 K i
在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越 大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数 集），均方误差为零。此时有

t2
t1
f 2 (t ) d t C 2 K j j
j 1
上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式，表明：在区间 (t1,t2) f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解 的各正交分量能量的之和。 函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和 f (t ) C j j (t )
第 2页
二、信号正交与正交函数集
1. 信号正交： 定义在(t1，t2)区间的 1(t)和 2(t)满足

t2 ( t ) 2 ( t ) d t t1 1
0 (两函数的内积为0)
则称 1(t)和 2(t) 在区间(t1，t2)内正交。
2. 正交函数集： 若n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)构成一个函数集， 这些函数在区间(t1，t2)内满足 i j 0, t2 t1 i ( t ) j ( t ) d t K 0, i j i 则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2 A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
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第四章 傅里叶变换
引言
§4.1 信号分解为正交函数
§4.2 周期信号的频谱分析 §4.3 典型周期信号的频谱
§4.4 非周期信号的频谱分析
§4.5 典型非周期信号的频谱
2020/8/9
1
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的， 这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交 分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
2020/8/9
4
傅里叶生平
1768年生于法国
1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函数 级数表示”
1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
拉格朗日反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”一书 中
2020/8/9
5
傅里叶 ( Jean Baptise Joseph Fourier 1768～1830 )
法国数学家。1768年3月21日生于奥塞 尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴 黎综合工科学校任讲师。 1798年随拿破仑远 征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法 国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅 里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科 学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学 院院士。
宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-
L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书
“非周期信号都可用正弦信号的 加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
2020/8/9
9
变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 Байду номын сангаас
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换 自变量为z
z e sT e( j)T
2020/8/9
10
§4.1 信号分解为正交函数
扩及纯粹数学的其他领域。
傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认
为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已
成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点
。
2020/8/9
8
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的 正弦信号的加权和” ——傅里叶的第一个主要论点
2020/8/9
3
主要内容
•本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅 里叶变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌 握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里 叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅 里叶变换的一种特殊表达形式。 •本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表 示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦 的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续 从数202学0/8/上9 深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想6 法。
在1759年拉格朗日(grange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中
）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函
数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整
的证明。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本
的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的
发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数
拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还
已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成就。
2020/8/9
7
书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用
三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶
级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断
言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频 率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导 出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。
2020/8/9
2
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了 “热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了 傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为 正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优 点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
V1V2 cos
V2
V1.V2 V2
c12
V1.V2 V22
c12 表示 V1 和 V2 互相接近的程度
当V1 、 V2完全重合，则 0, c12 1
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
2020/8/9
11
一、正交矢量
矢量：V1 和 V2 参加如下运算， Ve 是它们的差， 如下式：
V1 c12V2 Ve
V1 Ve
V2
c12 V2
2020/8/9
V1 Ve
V2
c12 V2
V1 Ve
V2
c12 V2
12
c12V2
V1 cos