2019-2020学年新教材人教B版第三册课时分层作业：5 同角三角函数的基本关系式

课时分层作业(五) 同角三角函数的基本关系式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若sin α＋sin 2α＝1，那么cos 2α＋cos 4α的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由sin α＋sin 2α＝1，得sin α＝cos 2α，所以cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.]2．已知α是第三象限的角，cos α＝－1213，则sin α＝( )A.513 B ．－513C.512D ．－512B [∵α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513.] 3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32πB [因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α≥0，cos α≤0，又α∈[0,2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故选B.]4．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12B [tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θ cos θ＝112＝2，选B.]5．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( ) A ．±35B ．－35C ．35D ．45C [2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝610＝35.] 二、填空题6．已知sin αcos α＝15，则sin α－cos α＝________.±155 [(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－2sin αcos α＝35，则sin α－cos α＝±155.] 7．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________. 13 7 [∵tan α＋1tan α＝1cos αsin α＝3， ∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2 α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α2－2＝9－2＝7，∴tan 2α＋1tan 2 α＝7.]8．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. －55 [由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π及tan α＝2， 得sin α＝2cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝－55.] 三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值：(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α；(2)1sin αcos α；(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α.[解] cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)1sin αcos α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝tan2α＋1tan α＝136.(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α＝sin2α－2sin αcos α＋4cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－2tan α＋4tan2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[证明]右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，∴2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[等级过关练]1．已知△ABC中，tan A＝－512，则cos A＝( )A.1213B.513C．－513D．－1213D[∵tan A＝－512，又A是三角形的内角，∴A是钝角．∵sin Acos A＝－512，∴－5cos A＝12sin A.又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴cos A ＝－1213.]2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，则tan θ＝( )A.4－2mm －3B ．±m －34－2mC ．－512D ．－34或－512C [由sin 2θ＋cos 2θ＝1，有⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，化简得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或m＝8，由于θ在第二象限，所以sin θ>0，m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，得tan θ＝－512.]3．已知sin θ－cos θ＝12，则sin 3θ－cos 3θ＝________.1116 [由已知得，1－2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝38. ∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.]4．若f (sin α)＝cos 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.89[∵f (sin α)＝cos 2α＝1－sin 2α， ∴f (t )＝1－t 2，－1≤t ≤1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.] 5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] 法一：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)·tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)·tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴等式成立．法二：左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，等式成立．。

课时分层作业(五) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则∠A 的对边的长为( ) A ．57 B ．37 C ．21D ．13D [∵S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∠A ＝60°，b ＝1∴c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13.∴a ＝13.]2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C＝ca ＋b ，则∠A ＝( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π3或2π3B [由sin B －sin Asin B －sin C ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝ca ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由∠A 为三角形的内角，知∠A ＝π3.]3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，∠B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32 B ．332 C ．3＋62D ．3＋394B [作图，AD ⊥BC 于D ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，代入数值得AB ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB sin 60°＝332.]4．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，∠C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3C [由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－aB ．∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332.]5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．32或 3D ．34或32D [AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34；当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.]二、填空题6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________． 43 [∵cos C ＝13，0<∠C <π，∴sin C ＝223， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.]7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.6 [解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35， ∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45. 故S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．]8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＋∠C ＝2π3，a ＝3，b ＝1，则S △ABC 等于________．32 [因为∠B ＋∠C ＝23π，所以∠A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝b sin B ，得3sin π3＝1sin B ，则sin B ＝12，因为a >b ，所以∠A >∠B ，则∠B ＝π6， 所以∠C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝32.] 三、解答题9．在△ABC 中，求证：a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[证明] 法一：左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2acb －c (b 2＋c 2－a 2)2bc＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2 ＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin Bsin A ＝右边， (其中R 为△ABC 外接圆的半径)∴a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A . 法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C ·cos B sin (A ＋C )－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A ＝右边(cos C ≠0)， ∴a －c cos B b －c cos A＝sin B sin A . 10．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求∠A 和∠B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<∠A <π，∴∠A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即∠C 为钝角，∴∠B 为锐角，且∠B ＋∠C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，得∠C ＝2π3，∴∠B ＝π6.(2)由(1)知a ＝b ，则AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ×a 2×cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，得b＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.[能力提升练]1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( )A ．32 3B ．16C ．323或16D ．323或16 3D [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝83×128＝32，又b >a ，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.]2．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8C [如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40， ∴a ＝7.]3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________．3 [S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32. 由正弦定理csin C ＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.]4．已知△ABC 的面积为32，a ＋c ＝210，cos B ＝－13，则b 的值为________． 27 [在△ABC 中，由cos B ＝－13可得sin B ＝223，根据面积为32得， 12ac sin B ＝32得ac ＝9，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝40－18＋6＝28，则b ＝27.]5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ．(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13， 从而cos A ＝－cos (B ＋C )＝13.(2)由于0<∠A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.。

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课时素养评价五同角三角函数的基本关系式(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.cos α=,α∈(0,π),则tan α的值为( )A. B. C.± D.±【解析】选B.因为cos α=,α∈(0,π),所以sin α=.所以tan α=.【加练·固】若sin θ=-,tan θ<0,则cos θ=________.【解析】因为sin θ=-<0,tan θ<0,所以θ为第四象限角.所以cos θ==.答案:2.若α为第三象限角,则+的值为 ( )A.3B.-3C.1D.-1【解析】选B.因为α为第三象限角,所以原式=+=-3.3.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为( )A.-B.-C.D.【解析】选A.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.4.若α是三角形的最大内角,且sin α-cos α=,则三角形是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【解析】选B.将sin α-cos α=两边平方,得1-2sin αcos α=,即2sin αcos α=.又α是三角形的内角,所以sin α>0,所以cos α>0,所以α为锐角.二、填空题(每小题4分,共8分)5.若sin θ-cos θ=,则tan θ+=________.【解析】由已知得(sin θ-cos θ)2=2, 所以sin θcos θ=-.所以tan θ+=+==-2. 答案:-26.化简:·sin2x=________.【解析】原式=sin2x=sin2x=·sin2x==tan x.答案:tan x三、解答题(共26分)7.(12分)化简:(1).(2).【解析】(1)原式=====1.(2)原式===cos θ.8.(14分)已知=2,计算下列各式的值:(1).(2)sin 2α-2sin αcos α+1.【解析】由=2,化简得sin α=3cos α,所以tan α=3.(1)原式===.(2)原式=+1=+1=+1=.(15分钟·30分)1.(4分)化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是( )A. B. C.1 D.【解析】选C.原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.2.(4分)已知=,则等于( )A. B.- C.2 D.-2【解析】选B.因为=,所以====-.3.(4分)化简(1-cos α)的结果是________. 【解析】原式=(1-cos α)====sin α.答案:sin α4.(4分)在△ABC中,若tan A=,则sin A=________. 【解析】由tan A=>0且角A是△ABC的内角可得0<A<, 又解得sin A=.答案:【加练·固】已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦,则实数m的值为________.【解析】由题意知Δ=4(m+1)2-16m≥0,解得m∈R.不妨设sin A=x1,cos A=x2,A∈,则x1,x2>0,x1+x2=(m+1),x1·x2=m,即sin A+cos A=(m+1),sin Acos A=m,所以1+2×m=(m+1)2,解得m=或m=-.当m=-时,sin Acos A=-<0,不合题意,舍去,故m=.答案:5.(14分)若cos α=-且tan α>0,求的值.【解析】=====sin α(1+sin α).由tan α=>0,cos α=-<0,所以sin α<0.又sin2α+cos2α=1,所以sin α=-=-.所以原式=sin α(1+sin α)=-·=-.1.当α≠(k∈Z)时,(sin α+tanα)的值 ( )A.恒为正B.恒为负C.恒非负D.可正可负【解析】选A.(sin α+tan α)=sin αcos α+cos α·+sin α·+1=sin α+cos α+1+sin αcos α=(1+sin α)(1+cos α).因为α≠,k∈Z,所以1+sin α>0,1+cos α>0,所以(sin α+tan α)>0.2.已知=k.试用k表示sin α-cos α的值.【解析】===2sin αcos α=k.当0<α<时,sin α<cos α,此时sin α-cos α<0,所以sin α-cos α=-=-=-.当≤α<时,sin α≥cos α,此时sin α-cos α≥0,所以sin α-cos α===.关闭Word文档返回原板块。

A 级一一学考水平达标练21.已知cos a= 2 则Sin 2 a 等于(3 A.|±T解析：选 A sin 2a= 1-cos 2 a= 5.解析：选 C tan a ・ —-1 = tan\ sin asin a 一 cos aa> 0,所以原式=cos a an a =-1.课时跟踪检测（五）同角三角函数的基本关系式2.若 sin 0= , m + 5 cos 0=4— 2mm + 5， m 的值为（）D . 3<m<9解析：选 C由 sin 2 0+ cos 2 0= 1，得 m — 3 2 4 — 2m 市+22 = 1，解得m = 0或8. m + 5 253.已知a 是第四象限角，tan a=- 12，sin a =( )5_ 13解析：选D 不妨设a 对应的锐角为 a贝U |sin a = sin a'_5 13，Ta 为第四象限角，J. sin a <0 ,5「sin a=- 13.,tan a4.若a 为第二象限角，化简tan --1 =(asin a Icos a | cos a |sin a因为a 为第二象限角，所以 cos aV 0 ,sin 1 — sin 2 a sin 2 a -1 n5 .若 sin a C OS a=~, 0< a<—，贝V sin a+ COS a 的值是()8 2 31 A <T B.4 C .-于D . ^解析：选 D 因为 0< a <n ,所以 sin a >0, COS a >0,所以 sin a+ COS a= ' sin a+ COS a 2-1 + 2sin a COS a22 .2 COS a= COS a+ Sin a= 1.答案：17.在△ ABC 中，迈sin A =J 3cos A ,则/ A = ______________ .解析：•••2sin 2A = 3COS A ,「・2(1 — COS 2A)= 3COS A ,即(2cos A — 1)(cos A + 2) = 0,「・cos A1=2或 cos A =— 2(舍去),•'A = 60 °答案：60°4 41 — COS 4 a- sin 4a1 — COS a sin a441 — COS 4a — sin 4 a 解析：原式= 6 61 — COS 6 a — sin 6 a6.化简： 2 2(1 + tan 2 a •os 2a= &已知tana= m( n< 3 n .a< ~),贝U sin a=解析: 因为 tan a= m , 所以 cos a=m2,又sin 2 a+ cos 2a =1，所以cos 2a=，sin 2am 2+ 1'.又因3 n mi n< a<7",所以 tan a>0，即 m >0•因而 sin a=— /——=2 \ m 2+ 1答案:9.化简: 1+2X 1=2 .解析：原式=1+COS am2 2 41 —COS2a 1 + COS2a —Sin4a2 2 4sin1 2 3a 1 + cos2a —Sin4 5a2 2 i 4 6sin2a 1 + cos2a+ COS4a —Sin6a2 21 + cos2a—sin2a1 + COS2a+ COS4a—Sin4a2COS2a1 + COS2a+ COS2a+ Sin2a COS2a—Sin2a22COS a1 + COS2a+ COS2a—Sin2a22COS a 2--- = 一.3cos a 32答案：21 1 1 10求证：sin询+tan a+cos a 1+翫=sn a+辰：第5页共5页1 C.12D . — sin a证明：左边=sinsin a1+cos a + cos, COs a 1 + ~；sin a=sin a+ Sin a + cos COS a 2COS a a+ ~；sin a ・2i 2 ・ 2 i 2Sin a+ COS a sin a+ COS a 1+ sin aCOS a即原等式成立.高考水平高分练1 .已知sin则 sin 4 a — COS 4 a 的值为（解析:sin 4 a-COS 4 a= (sin 2 a+ COS 2 %)(sin 2 a — COS 2 a)= sin 2 a — (1 — sin 2 a = 2sin 2a — 12.若 2—1_32 A. tan a 3n n<< 2(—1 + 1 — 0,即原式一0.COS a — sin a COS a+ Sin a+ 1—1 •2 • 12 cos a+ sin a + sin a+ cos a+ 22 cos a — sin a cos a+ sin a+ 12 COS a — sin a 2 sin a+ COS a+ 1 1 + Sin a+ COS a—右边, 所以原式成立. 5.化简下列各式:'1 — 2sin 130 cOs 1301 — COS2 a 1 + COS 2 a+ COS 4 a— Sin 6 a(1) — ■'sin 130 + V 1 — sin 2130 °解析：选D 1 — COS a 1 + COS a|sin a|sin a|2 |sina ，3 n _卜 n<a <~ ,•••原式=2 sin a3.已知a 为第二象限角，则解析：：sin 1 2 a+ COs 2 a原式-COs aI ； —COs 2 a + sin/sin 2 a+ COs 2 asin 2 aCO宀 l +1a^n a .因为a 是第二象限角，所以sin a>0,COs aV 0, 所以COS 1aj cos a +sin1jsin a4.求证:cos a sin a 2 cos a — sin a 1 + sin a 1 + cos a 1 + sin a+ COS aCOs a 1 + COs a — Sin a 1 + Sin a2 ■ 2 i -COS 2a — sin 2a+ COS a —a1 + sin a 1+ COS a1 + Sin a+ COS a+ Sin a COS a0 V aV (1)原式一 1 + COS a 2 21 — COS acos a 1 + tan 2a+ sin1 -tan 2a答案：0证明：因为左边一解: ’.a a1 + 2sin2COS2sin2130。

[解]如图.过点A(1,0)作单位圆O的切线.在切线上沿y轴正方向取一点T.使AT＝33.过点O.T作直线.则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线.不包含y轴)时.tan α≥33.由三角函数线可知.在[0°.360°)内.tan α≥33.有30°≤α<90°或210°≤α<270°.故满足tanα≥33.有k·180°＋30°≤α<k·180°＋90°.k∈Z.][等级过关练]1.已知sin θ＝－13且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2.则θ可以表示成( )A．－arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13B．－π2－arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13C．－π＋arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13D．－π－arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13D[由－1＜－13＜0.∴arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0由此可知：－arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2－π2－arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，0－π＋arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13∈⎝⎛⎭⎪⎫－3π2，－π它们都不能表示θ.所以应选D．]2.设α＝arcsin⎝⎛⎭⎪⎫－13.β＝arctan()－2.γ＝arccos⎝⎛⎭⎪⎫－23.则α、β、γ的大小关系是( )A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．β＜γ＜α3.若x ＝π3是方程2cos(x ＋α)＝1的解.其中α∈(0,2π).则α＝______. 4π3 [∵2cos(x ＋α)＝1.∴cos(x ＋α)＝12. 又∵x ＝π3是方程的解．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝12. 又∵α∈(0,2π).∴π3＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π3∴π3＋α＝5π3.∴α＝4π3.] 4．已知函数f (x )＝3cos ωx .g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π3(ω>0).且g (x )的最小正周期为π.若f (α)＝62.α∈[－π.π].则α的取值集合为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－7π8，－π8，π8，7π8 [因为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx－π3(ω＞0)的最小正周期为π.所以2πω＝π.解得ω＝2.所以f (x )＝3cos 2x .由f (α)＝62.得3cos 2α＝62.即cos 2α＝22.。

课时分层作业(五) 同角三角函数的基本关系式(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若sin α＋sin 2α＝1，那么cos 2α＋cos 4α的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由sin α＋sin 2α＝1，得sin α＝cos 2α，所以cos 2α＋cos 4α＝sin α＋sin 2α＝1.] 2．已知α是第三象限的角，cos α＝－1213，则sin α＝( ) A.513 B ．－513 C.512D ．－512B [∵α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513.] 3．若α∈[0,2π)，且有1－cos 2 α＋1－sin 2 α＝sin α－cos α，则角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，32π B [因为1－cos 2 α＋1－sin 2 α＝sin α－cos α，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α≥0，cos α≤0，又α∈[0,2π)，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，故选B.]4．若sin θ·cos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D.12B [tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝1sin θ cos θ＝112＝2，选B.]5．若tan α＝3，则2sin αcos α＝( ) A ．±35 B ．－35 C ．35D ．45C [2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝610＝35.]二、填空题6．已知sin αcos α＝15，则sin α－cos α＝________.±155 [(sin α－cos α)2＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－2sin αcos α＝35，则sin α－cos α＝±155.]7．若tan α＋1tan α＝3，则sin αcos α＝________，tan 2α＋1tan 2α＝________. 13 7 [∵tan α＋1tan α＝1cos αsin α＝3， ∴sin αcos α＝13.又tan 2α＋1tan 2 α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＋1tan α2－2＝9－2＝7， ∴tan 2 α＋1tan 2 α＝7.]8．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.－55[由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π及tan α＝2，得sin α＝2cos α<0，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝－55.]三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值：(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α；(2)1sin αcos α；(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α.[解]cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265.(2)1sin αcos α＝sin2α＋cos2αsin αcos α＝tan2α＋1tan α＝136.(3)sin2α－2sin αcos α＋4cos2α＝sin2α－2sin αcos α＋4cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α－2tan α＋4 tan2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10．求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[证明] 右边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝左边，∴2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.[等级过关练]1．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝( ) A.1213 B.513 C ．－513D ．－1213D [∵tan A ＝－512，又A 是三角形的内角， ∴A 是钝角． ∵sin A cos A ＝－512， ∴－5cos A ＝12sin A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴cos A ＝－1213.]2．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<θ<π，则tan θ＝( ) A.4－2mm －3 B ．±m －34－2mC ．－512D ．－34或－512C [由sin 2θ＋cos 2θ＝1，有⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－2m m ＋52＝1，化简得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或m ＝8，由于θ在第二象限，所以sin θ>0，m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，得tan θ＝－512.]3．已知sin θ－cos θ＝12，则sin 3θ－cos 3θ＝________. 1116 [由已知得，1－2sin θcos θ＝14，∴sin θcos θ＝38.∴sin 3θ－cos 3θ＝(sin θ－cos θ)(sin 2θ＋sin θcos θ＋cos 2θ)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋38＝1116.]4．若f (sin α)＝cos 2α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.89[∵f (sin α)＝cos 2α＝1－sin 2α， ∴f (t )＝1－t 2，－1≤t ≤1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.] 5．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明] 法一：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)·tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)·tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)·tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)·tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴等式成立． 法二：左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos2αsin α(1－cos α)＝sin2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，等式成立．。

课时分层作业(三) 三角函数的定义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.给出下列函数值：① sin(－1 000°)；② cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③ tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；∵－π4 是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4>0；∵2 rad＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.]2.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2且sin α＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．cos α·tan α＜0B ．sin α·tan α＞0C ．cos α－tan α＜0D ．sin α－tan α＞0D [已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2且sin α＞0，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＜0，tan α＜0， 所以对于选项A ：cos α·tan α＞0，故选项A 错误．对于选项B ：sin α·tan α＜0故选项B 错误．对于选项C ：cos α－tan α不能确定符号，故选项C 错误．对于选项D ：sin α－tan α＞0，故选项D 正确．故选D ．]3.如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2co s 30°)，则cos α的值等于( ) A ．12B ．－12C ．－32D ．－33A [∵sin 30°＝12 ，cos 30°＝32， ∴P 点坐标为(1，－3)，∴r ＝2，cos α＝x r ＝12.] 4．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( ) A ．1 B ．0C ．2D ．－2C [∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.] 5．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限C [由题意知：sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＜0cos θ＜0∴θ为第三象限角．]6．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )A ．tan A 与cos BB ．cos B 与sinC C ．sin C 与tan AD ．tan A 2 与sin C D [∵0＜A ＜π，∴0＜A 2 ＜π2 ，∴tan A 2＞0； 又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.]二、填空题7．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是________．{x |2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，k ∈Z } [∵cos x ＝|cos x |，∴cos x ≥0， ∴角x 的终边落在y 轴或其右侧，∴2k π－π2≤x ≤2k π＋π2(k ∈Z )．] 8．下列函数值：① sin 4，② cos 5，③ tan 8，其中函数值为正的是________．② [∵π<4<3π2 ，∴sin 4<0，∵3π2<5<2π， ∴cos 5>0；∵5π2<8<3π，∴tan 8<0.] 9．已知角α的终边上一点(1，m )，且sin α＝63，则m ＝_______. 2 [角α的终边上一点P (1，m )，所以r ＝|OP |＝1＋m 2，所以sin α＝m 1＋m 2＝63， 所以m ＞0，解得m ＝ 2.]三、解答题。