单一样本中位数的符号检验例题.

第六章课后题解答1.与参数检验相比，非参数检验有哪些优缺点？主要适用于那些场合？答：（1）非参数检验不需要严格假设条件，因而比参数检验有更广泛的适用面；非参数检验几乎可以处理包括定类数据和定序数据在内的所有类型的数据，而参数检验通常只能用于定量数据的分析；在参数检验和非参数检验都可以使用的情况下，非参数检验的功效（power）要低于参数检验方法。

（2）参数检验中的假设条件不满足；检验中涉及的数据为定类或定序数据；所涉及的问题中并不包含参数；对各种资料的初步分析。

2.使用“学生调查.sav”文件中的数据检验：（1）能否认为总体中学生的学习兴趣呈均匀分布？（2）能否认为总体中学生的身高服从正态分布？答：（1）利用2拟合优度检验，计算出的2统计量的值为2.000,自由度为4,相应的p值（渐近显著性）为0.736。

由于0.736大于0.05,所以在5% 的显著性水平下不能拒绝原假设，也就是说根据样本数据不能认为总体数据是非均匀的。

乱0伞单疋（0.0%）貝有型于5的期峑a单」T:晨小7.0（2）利用单样本K-S检验法，计算出的D max统计量的值为0.899,相应的p值（渐近显著性）为0.394。

由于0.394大于0.05,所以在5%的显著性水平下不能拒绝原假设，也就是说根据样本数据不能认为总体数据是非正态的。

单样進Kolmogor ov-Smirnov 攪腌亂检验分芜为正悲分布乱根据救摇计算得到*表2.23.某企业生产一种钢管，规定长度的中位数是10米。

现随机地从正在生产的生产线上选取10根进行测量，结果为：9.8，10.1，9.7，9.9, 9.8，10.0, 9.7, 10.0，9.9, 9.8。

问该企业的生产过程是否需要调整。

答：单样本中位数的符号检验法检验钢管长度的中位数是否为50,各个数值与中位数比较的结果，有7个值小于10, 1个值大于10, 2个等于10。

样本量较少，输出双侧检验的p值（精确显著性）为0.070。

Wilcoxon符号秩检验是一种非参数统计检验方法，它适用于样本不满足正态分布的情况，也适用于定序尺度或连续尺度变量的情况。

Wilcoxon符号秩检验的原假设是两组样本的中位数相等，备择假设是两组样本的中位数不相等。

在实际应用中，Wilcoxon符号秩检验常常用于两组样本之间的比较，或者用于检验一个样本的中位数是否等于特定值。

为了更清晰地理解Wilcoxon符号秩检验的原理和应用，我将通过一个具体的例题来进行解析和讨论。

假设我们有两组药物治疗的数据，分别是治疗组和对照组的疗效数据。

我们的目标是比较这两组数据是否存在显著差异，即是否有足够的证据支持治疗组的疗效优于对照组。

我们需要对数据进行初步的描述性统计分析，包括计算两组数据的中位数、四分位数、极差等指标，以及绘制盒图和散点图等图形来观察数据的分布情况。

通过初步的查看和分析，我们可以初步判断两组数据的差异性。

接下来，我们需要进行Wilcoxon符号秩检验。

在进行检验之前，我们需要明确的步骤和计算方法。

我们需要对两组数据进行合并，然后对合并后的数据进行排序，接着给每一个数据项赋予秩次，最后根据秩次求出Wilcoxon检验统计量W的值。

在文章中，我们重点从算法步骤、统计量的计算、Wilcoxon检验的拒绝域判断等方面进行详细讨论。

通过列出计算步骤和具体的计算示例，以及解释拒绝域的含义和确定方式，读者可以更清晰地了解Wilcoxon 符号秩检验的实际操作和推断过程。

在总结部分，我们将对Wilcoxon符号秩检验进行全面回顾，并就其特点、适用范围、优缺点以及应用注意事项进行总结和共享。

还可以结合真实的临床研究或案例数据，探讨Wilcoxon符号秩检验的实际应用和解释。

我将共享一些个人观点和理解：Wilcoxon符号秩检验作为一种非参数检验方法，在实际应用中具有一定的灵活性和鲁棒性，可以有效应对实验数据不满足正态分布、样本量较小等情况，是一种重要的统计推断方法。

wilcoxon符号秩检验例题（原创实用版）目录1.威尔科克森符号秩检验的概念和应用场景2.威尔科克森符号秩检验的步骤3.威尔科克森符号秩检验的案例分析4.威尔科克森符号秩检验的 SPSS 操作正文一、威尔科克森符号秩检验的概念和应用场景威尔科克森符号秩检验（Wilcoxon Symbol-Rank Test）是一种非参数检验方法，用于检验两个配对样本的中位数是否存在显著差异。

它适用于中小样本量、数据分布不对称或偏态分布的情况。

威尔科克森符号秩检验的主要应用场景包括：检验单一总体的中位数、检验配对样本的中位数和检验等级资料的符号测试等。

二、威尔科克森符号秩检验的步骤1.构建假设：H0：配对样本的中位数相同；H1：配对样本的中位数存在显著差异。

2.计算差值：将两个配对样本的数值相减，得到差值。

3.排序：对差值进行排序，并计算差值的符号。

4.计算统计量：根据符号和差值的排序，计算威尔科克森统计量。

5.假设检验：根据威尔科克森统计量和相应的概率分布，查找临界值，比较计算得到的统计量和临界值，判断是否拒绝原假设。

三、威尔科克森符号秩检验的案例分析以一项配对样本的鼻饲护理知识测试为例，研究者希望通过威尔科克森符号秩检验分析护士在培训前后的鼻饲护理知识得分是否存在显著差异。

首先，研究者需要对护士在培训前后的鼻饲护理知识得分进行差值计算和排序，然后计算威尔科克森统计量。

最后，根据威尔科克森统计量和临界值，判断培训前后护士的鼻饲护理知识得分是否存在显著差异。

四、威尔科克森符号秩检验的 SPSS 操作1.生成差值：在 SPSS 中，选择“计算变量”->“差值”，将培训后得分减去培训前得分，得到差值变量。

2.正态性检验：对差值进行正态性检验，选择“分析”->“正态性”->“正态性检验”，将差值放入因变量列表，点击“图”，勾选含检验的正态图；点击“继续”，确定。

若 P 值大于 0.05，则认为差值服从正态分布；若 P 值小于 0.05，则认为差值不服从正态分布。

T检验习题1．按规定苗木平均高达1.60m以上可以出圃,今在苗圃中随机抽取10株苗木，测定的苗木高度如下:1。

75 1。

58 1。

71 1。

64 1.55 1。

72 1.62 1.83 1.63 1。

65 假设苗高服从正态分布，试问苗木平均高是否达到出圃要求？（要求α=0.05）解：1）根据题意，提出：无效假设为：苗木的平均苗高为H0=1.6m；备择假设为：苗木的平均苗高H A>1.6m；2)定义变量：在spss软件中的“变量视图”中定义苗木苗高，之后在“数据视图”中输入苗高数据;3)分析过程在spss软件上操作分析过程如下：分析——比较均值——单样本T检验——将定义苗高导入检验变量——检验值定义为1。

6-—单击选项将置信区间设为95％——确定输出如下：表1.1:单个样本统计量表1。

2:单个样本检验4）输出结果分析由表1。

1数据分析可知，变量苗木苗高的平均值为1。

6680m，标准差为0.0843，说明样本的离散程度较小,标准误为0.0267，说明抽样误差较小。

由表1.3数据分析可知，T检验值为2.55，样本自由度为9,t检验的双尾检验值为0。

031〈0。

05,说明差异性显著，因此，否定无效假设H0，取备择假设H A。

根据题意,苗木的苗高服从正态分布，由以上分析知：在显著水平为0.05的水平上检验，苗木的平均苗高大于1.6m，符合出圃的要求。

习题2．从两个不同抚育措施育苗的苗圃中各以重复抽样的方式抽得样本如下：样本1苗高（CM）:52 58 71 48 57 62 73 68 65 56样本2苗高（CM):56 75 69 82 74 63 58 64 78 77 66 73设苗高服从正态分布且两个总体苗高方差相等（齐性）,试以显著水平α=0。

05检验两种抚育措施对苗高生长有无显著性影响。

解：1）根据题意提出：无效假设为H0：两种抚育措施对苗木生长没有显著的影响；备择假设H A:两种抚育措施对苗高生长影响显著；2）在spss中的“变量视图”中定义变量“苗高1"，“抚育措施”,之后在“数据视图”中输入题中的苗高数据，及抚育措施,其中措施一定义为“1”措施二定义为“2”;3）分析过程在spss软件上操作分析过程如下：分析--比较变量——独立样本T检验-—将“苗高1变量"导入“检验变量”——将“抚育措施"导入“分组变量”—-定义组，其中:组一定义为“1”组二定义为“2"——单击选项将置信区间设为95％—-输出分析数据如下;表2。

第十二章 秩和检验【思考与练习】一、思考题1. 简述参数检验和非参数检验的区别。

2. 简述非参数检验的适用范围。

3. 同一资料，又出于同一研究目的，当参数检验和非参数检验所得结果不一致时，以何者为准，请简述理由。

二、案例辨析题某儿科医生比较甲、乙、丙三种药物治疗小儿腹泻的疗效，将379名小儿腹泻患者随机分为三组，分别采用甲、乙、丙三种药物治疗，结果见表12-1。

表12-1 三种药物治疗小儿腹泻的疗效比较疗效 甲药 乙药 丙药 合计 痊愈 175 5 1 181 显效 95 55 5 155 进步 64 6 30 100 无效 45 35 6 86 合计37910142522对于上述资料，该医生采用行×列表2χ检验，得2176.271χ=，0.01P <，故认为三种药物的疗效有差别。

该结论是否正确，为什么？三、最佳选择题1．以下方法中属于参数检验方法的是 A. t 检验 B. H 检验 C. M 检验D. Wilcoxon 符号秩和检验E. Wilcoxon 秩和检验2．进行两小样本定量资料比较的假设检验时，首先应考虑 A. t 检验 B. Z 检验C. 秩和检验D. 2χ检验E. 满足参数检验还是非参数检验的条件3．两组定量资料的比较，若已知1n 、2n 均小于30，总体方差不齐且呈极度偏态分布，宜采用 A. t 检验 B. t '检验 C. Z 检验 D. 方差分析 E. 秩和检验4. 欲比较三种药物治疗效果有无差异，如果治疗效果为有序分类变量，宜采用 A. t 检验 B. 方差分析 C. 2χ检验D ．Wilcoxon 秩和检验 E. H 检验5. 成组设计两样本比较的秩和检验，检验统计量T 通常为 A. 较小的秩和 B. 较大的秩和C. 样本含量较小组的秩和D. 样本含量较大组的秩和E. 任取一组的秩和均可6. 配对设计秩和检验，若检验假设0H 成立，则 A. 差值为正的秩和与差值为负的秩和相差不会很大 B. 差值为正的秩和与差值为负的秩和可能相差很大 C. 差值为正的秩和与差值为负的秩和肯定相等 D. 正秩和的绝对值大于负秩和的绝对值 E. 正秩和的绝对值小于负秩和的绝对值7. 下列资料类型中，不宜采用秩和检验的是A. 正态分布资料B. 等级资料C. 分布类型未知资料D. 极度偏态分布资料E. 数据一端不确定的资料8. 某资料经配对秩和检验得34n查双侧T界值如下，则P值为==T，由20双侧概率0.10 0.05 0.02 0.01T界值60~150 52~158 43~167 37~173 A. 10>P.0B. 10<P.0<.005C. 05<P.0<02.0D. 02<P.0<01.0E. 01P.0<9. 下列关于非参数检验的叙述错误的是A. 非参数检验不依赖于总体的分布类型B. 非参数检验仅用于等级资料比较C. 适合参数检验的资料采用非参数检验会降低检验效能D. 非参数检验会损失部分样本信息E. 秩和检验是一种非参数检验方法四、综合分析题1. 已知某地正常人尿氟含量的中位数为2.15mmol/L。

单一样本中位数的符号检验例题某钢厂生产的钢材,在正常情况下,中位数的长度为10米。

现随机地从生产线上抽取10根,测得长度(单位:米)如下:9.8 10.1 9.7 9.9 10 10 9.8 9.7 9.8 9.9 试问:生产过程中对长度的控制是否需要适当调整。

解: 该例要解决的问题是:在生产过程中钢材的程度在中位数10米上下各占一半的情形下,就不需要调整生产过程。

否则,多数过长或多数过短均需要调整。

因而,假设可陈述为:10:0=e M H 10:1≠e M H进行正负符号检验时,可以将样本中每根的长度减去中位数,大者为正号(+),小者为负号(-),计算结果如表16.15。

从表16.15可以看出:10个样本单位中,除有两个与中位数相同外,余下的8个为1正7负。

如果进一步用精确的测量仪器进行测量,则与中位数相同的2个单位也可以区分为正号或负号。

现假定为1个正号1个负号。

这样,10个样本单位中就有2正8负。

如果总体的中位数为10,那么,理论上出现正号和负号应该各占一半。

现在,我们的问题是:出现2个或2个以下正号的概率是多少?我们用二项分布5.0=p 来计算:()0547.05.0210210==≤∑=x x Cx P由于1H 是一个双尾检验,因此,也应包括负号在2个或2个以下的概率,因此,1094.00547.02=⨯=P 。

这就是说,当中位数为10时,出现上述结果的概率为0.1094,当05.0=α时,不能否定0H 。

决策人员可以据此，结合其他因素作出是否需要调整生产过程的决策。

在大样本情况下,用二项分布计算概率比较复杂,也可以用正态近似计算:nn s z 5.05.05.0--=++,nn s z 5.05.05.0--=--(16.6)其中:+s 代表正号的数目,n 5.0表示在5.0=p 条件下正号或负号的平均数目(理论数目),0.5称作校正项,分母n 5.0为5.0=p ,样本容量为n 时的标准差。

单样本符号检验
质量监督部门对商店里出售的某厂家的西洋参片进行抽查。

对于25包写明净重100g 的西洋参片的承重结果为：
99.05 100.25 102.56 99.15 104.89 101.86 96.37
96.79 99.37
96.90
93.94
92.97
108.28 96.86
93.94
98.27
98.36
100.81
92.99 103.72 90.66 98.24 97.87 99.21 101.79
检验厂家包装的西洋参片分量是否足够。

由于不了解起总体分布，因此对其进行符号检验。

数据来源：《统计学：从数据到结论》 吴喜之 手算： 建立假设组：
0H ：m=100 1H ：m<100
-+S 17S 8
n>20S -0.5-0.5n Z=
==因为，所以用正态近似计算 P 0.0548=0.05α=>查表得，因此不能拒绝原假设，即认为厂家包装的西洋参片分
量足够。

SPSS ：
操作：Analyze ——Nonparametric Tests ——2 Related Samples
由输出结果知，精确单尾概率P=0.054> =0.05，因此不能拒绝原假设，即认为厂家包装的西洋参片分量足够。

与手算结果一致。

第二章-统计-用样本估计中位数练习题
本章将介绍如何使用样本来估计总体中位数。

中位数是一个统
计量，用于描述一组有序数据的中间值。

当总体较大时，使用样本
来估计中位数是常用的方法。

以下是一些用样本估计中位数的练题：
1. 设某城市的总人口为100万人。

为了估计该城市的人均年收
入的中位数，我们随机选取了1000名居民，并记录了他们的年收
入（单位：万元）。

样本的年收入中位数为8万元。

请估计该城市
的人均年收入的中位数，并计算置信区间。

2. 一家电商公司想要了解其网站上购买商品的用户的月度消费
金额的中位数。

为了估计这个中位数，他们随机选取了500个用户，并记录了他们的月度消费金额（单位：元）。

样本的月度消费金额
中位数为1000元。

请估计网站上购买商品的用户的月度消费金额
的中位数，并计算置信区间。

3. 一家汽车制造公司想要了解一种新型汽车的续航里程的中位数。

为了估计这个中位数，他们随机选取了200辆汽车，并记录了它们的续航里程（单位：公里）。

样本的续航里程中位数为400公里。

请估计这种新型汽车的续航里程的中位数，并计算置信区间。

以上是一些用样本估计中位数的练习题。

通过对样本中位数的估计，我们可以推断总体中位数的范围，并对结果进行置信度的评估。

样本估计中位数是统计学中常用的方法之一，但需要注意样本选取的随机性和样本量的大小对估计结果的影响。

符号检验例题
符号检验（Sign Test）是一种非参数统计检验方法，主要用于检验一个样本中某一结果是否出现得比预期更频繁或更稀少。

以下是一个符号检验的例题：
假设我们有一个样本数据集，其中包含了一组人的身高数据，我们想要检验这组数据是否显著高于或低于某个参考值（例如平均身高）。

具体步骤如下：
1. 确定参考值，例如平均身高。

2. 将每个数据点与参考值进行比较，如果数据点高于参考值，则记为正号（+）；如果数据点低于参考值，则记为负号（-）。

3. 计算正号和负号的数量，并计算总的检验统计量（即正号和负号的绝对值之和）。

4. 根据检验统计量的大小，查阅符号检验的临界值表，找到对应的p值。

5. 根据p值做出推断：如果p值小于显著性水平（例如0.05），则拒绝原假设（即数据点与参考值无显著差异），否则接受原假设。

需要注意的是，符号检验只能用于检验某一结果是否出现得比预期更频繁或更稀少，不能用于检验两个独立样本之间的差异。

此外，符号检验的结果受到样本量和数据分布的影响，因此在应用时需要注意其适用范围和局限性。

非参数统计分析实验指导书朱宁编2012.3.12实验二单样本符号检验一.实验目的1.了解Excel、Minitab程序结构及其使用方法；2.会用Excel、Minitab对数据进行预处理；3.会用符号检验法来解决中位数的检验问题。

二.实验要求1. 会用Excel、Minitab软件对建立的数据集进行分析；2. 掌握中位数检验问题的符号检验法及其步骤。

三.实验原理1.基本原理在对总体分布不做任何假设的前提下，当原假设错误!未找到引用源。

：（已知）为真时，大于错误!未找到引用源。

的数据个数S+与小于错误!未找到引用源。

的数据个数S-应该很接近；若两者相差太大，就有理由拒绝原假设。

2.单样本中位数符号检验的适用范围1)在数据呈偏态分布的情况下，我们可能对总体的中位数更感兴趣，希望对总体的中位数做出推断，这时可以使用符号检验（sign test）的方法。

2)在非正态总体小样本的情况下，如果要对总体分布的位置进行推断，由于t检验不适用，也可使用符号检验的方法。

3.符号检验的基本思想每个数据都减去零假设中的中位数，记录其差值的符号。

计算正、负符号的个数（差值为0的不计算在任何一个中），当原假设为真时二者应该很接近；若两者相差太远，就有理由拒绝原假设。

4.符号检验问题的原假设和备择假设该假设检验有三种情况：原假设错误!未找到引用源。

为：错误!未找到引用源。

，其中错误!未找到引用源。

是给定的常数.备择假设错误!未找到引用源。

分别是:错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

.5.符号检验的检验统计量检验统计量：错误!未找到引用源。

记号“#”表示计数，即S+是集合G中的元素，其中G是使得错误!未找到引用源。

成立的错误!未找到引用源。

（错误!未找到引用源。

）构成的集合。

错误!未找到引用源。

1)在原假设成立的条件下，检验统计量错误!未找到引用源。

服从二项分布。

2)按照这个概率可以根据二项分布计算得到P值，从而得出检验的结论。

《样本的数字特征》典型例题剖析典型例题剖析题型1 平均数、众数、中位数例1 某学校对高一年级经过初步比较后，决定从高一年级（1）（4）（8）班这三个班中推荐一个班作为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是他们五项素质考评的得分表：（以分为单位，每项满分为10分）（1）请问各班五项考评的平均分、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将他们的得分进行排序；（2）根据你对表中五个项目的重要程度的认识，设定一个各项考评内容的占分比例（比例的各项须满足：①均为整数；②总和为10；③不全相同），按这个比例对各班的得分重新计算，比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班.解析正确理解平均数、中位数和众数的概念是解题关键.答案（1）设1,4,8P P P顺次为三个班考评分的平均数；1,4,8W W W依次为三个班考评分的中位数；1,4,8Z Z Z顺次为三个班考评分的众数.则11(10106107)8.6 5P=++++=分，41(108898)8.6 5P=++++=分，81(910969)8.6 5P=++++=分；110W=分，48W=分，89W=分；110Z=分，48Z=分，89Z=分.∴平均数不能反映这三个班的考评结果的差异，而用中位数（或众数）能反映差异，且184W W W >>（或184Z Z Z >>）.（2）答案不唯一，给出一种.按题目要求可设定不同的占分比例，如选定行为规范，学习成绩，校运动会，艺术获奖，劳动卫生各占分的比例为3：2：3：1：1.分别可计算出3个班考评分依次为：高一（1）班：00.3100.2100.360.1100.178.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；高一（4）班：0.3100.280.380.190.188.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；高一（8）班：0.390.2100.390.160.198.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.因此可推荐高一（8）班作为市级先进班集体候选班.规律总结 1.平均数与每一个样本数据有关，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，而中位数、众数都不具有该性质.2.众数考查各数据出现的次数，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题.3.中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响.中位数可能出现在所给数据中，也可能不在该组数据中.变式训练1 某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：（1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；（2）假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额.答案 （1）平均数1(1800151012503210515031202)15x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯320=（件）， 中位数为210件，众数为210件.（2）不合理.因为15人中就有13人的销售额达不到320件，也就是说320虽是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平.销售额定为210件要合理些，这是由于210既是中位数又是众数，是绝大部分人都能达到的销售额.题型2 方差与标准差的计算例2 求下列一组数据的平均数、方差、标准差.900，920，900，850，910，920.解析 以上各个数据都比较大，但都集中在900左右，可先将各个数据减去900得到一组新数据，求这组新数据的平均数和方差，再解答本题.答案 将原数据都减去900，得0,20,0,50,10,20-，所以新数据的平均数为1(020*******)06x =⨯++-++= .所以所求数据的平均数是9000900+= .又因为新数据的方差是22222221117000200(50)10203400663s ⎡⎤=⨯+++-++=⨯=⎣⎦，故23.8s ≈.所求平均数为900，方差为17003，标准差约为23.8. 规律总结 一组数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则数据12,,,n x a x a x a ---的平均数为x a -，方差为2s ；数据12,,,(0)n kx kx kx k ≠的平均数为kx 0，方差为22k s .变式训练2 （1）样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）B.65D.2（2）一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）A.81.2，4.4B.78.8，4.4C.81.2，84.4D.78.8，75.6答案 （1）D （2）A点拨 （1）样本的平均值为1，012315a ++++∴=. 1a ∴=-.故方差222222(11)(01)(11)(21)(31)5s --+-+-+-+-= 4101425++++==. （2）设这组数据为12,,,n x x x ，都减去80后，得新数据为12,,,n x x x '''，则12 1.2n x x x n '''+++=.121280n n x x x x x x n nn '''+++++++∴= 1.28081.2.=+=又方差是刻画数据离散程度的，故各数据减去（或加上）同一个数后，方差的大小不变，故原数据的方差仍为4.4.题型3 用样本特征数估计总体例3 甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：99，100，98，100，100，103；乙：99，100，102，99，100，100.（1）分别计算两组数据的平均数及方差；（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.解析 求平均数→求()2i x x -→求方差2s →结论. 答案 （1） 1(9910098100100103)1006x =+++++=甲，1(9910010299100100)1006x =+++++=乙， 2222222 1(99100)(100100)(98100)(100100)(100100)(10;3100)6s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲73=， 22222221(99100)(100100)(102100)(99100)(100100)(100100)6s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦乙1=.（2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s s >甲乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.规律总结 1.平均数描述了数值的平均水平，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.方差越大，说明这组数据的波动越大，即这组数据越分散；方差越小，说明这组数据越集中.2.对于常用的平均数、方差、标准差的公式要能够熟练记忆，不能记错公式，造成计算上的失误，使得统计的结果失去真实的意义.变式训练3 对甲、乙两名划艇运动员在相同条件下进行6次测试，测得他们的最大速度（m/s ）的数据如下：甲：27，38，30，37，35，31；乙：33，29，38，34，28，36.试比较这两名划艇运动员谁更优秀.答案 1(273830373531)336x =+++++=甲， 22222221(2733)(3833)(3033)(3733)(3533)(3133)6s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲15.67≈；1(332938342836)336x =+++++=乙， 22222221(3333)(2933)(3833)(3433)(2833)(3633)6s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦乙12.67≈.22 ,x x s s ∴=>甲乙甲乙.这说明虽然两人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.题型4 数据分析的实际应用例4 某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如表所示：（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，日平均收人持平，问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？解析 按照以下步骤操作：列出五个景点门票调整前后的价格，求调整前后的平均价格，统计日平均人数，计算日平均收入，分析数据.答案 （1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格为1010152025165++++=（元）. 调整后的平均价格为5515253015++++=（元）. 因为调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，所以日平均总收入不变.（2）游客是这样计算的，调整前日平均总收入：101000101000152000203000252000160000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）调整后日平均总收入：5100051000152000253000302000⨯+⨯+⨯+⨯+⨯175000=（元）. 日平均总收入增加了175000160000100%9.4%160000-⨯≈. （3）游客的说法较能反映整体实际.变式训练 4 在一次人才招聘会上，某公司的招聘人员告诉你：“我们公司员工的收入水平很高.去年，在50名员工中，最高年收入达到200万元，他们年收入的平均数是10万元”，如果你希望获得年收入8万元.（1）判断自己能否成为此公司的一名高收入者？（2）如果招聘人员继续告诉你：“员工年收入的变化范围是从5万元到200万元”，这个信息能否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？（3）如果招聘人员继续给你提供了如下的信息：“员工中年收入在中间50%（即去掉最少的25%和最多的25%后所剩下的）的变化范围是从6万元到10万元”，你又该如何使用这条信息来作出自己是否受聘的决定？（4）你能估计出该公司员工年收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？答案（1）不能.因为平均年收入与最高年收入相差太多，说明高收入的员工只占极少数.现在已经知道至少有一名员工的年收入为200万元，由年收入的平均数是10万元知，其他员工的年收入总和为300万元，每人平均年300收入只有3006.1249（万元）.如果再有几名年收入较高的员工，那么初进公司的员工的年收入将会更低.（2）不能，要看中位数是多少.（3）能受聘可以确定有75%的员工年收入在6万元以上，其中25%的员工年收入在10万元以上.（4）年收入的中位数大约是8万元.因为有年收入200万元这个极端值的影响，使得年收入平均数比中位数高许多.规律方法总结1.平均数反映了数据的集中趋势，因而可以用平均数比较几组数据的情况.2.在显示数据离散程度（波动大小）的一类数中，方差是刻画总体或样本波动大小的一个重要特征数字.对于两组可比的数据，要比较它们的波动大小，就要通过计算标准差或方差的大小来确定，还应注意的是，只有当两组数据的平均数相等或比较相近时，方差或标准差才能反映数据波动大小的实际情况，方差或标准差越大（小），波动越大（小）.核心素养园地例已知一组数据：125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128（1）填写下面的频率分布表：（2）作出频率分布直方图；（3）根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.解析（1）根据频数与频率的概念填写表格.（2）利用作频率分布直方图的步骤作图.（3）根据直方图中求数字特征的方法求解.答案（1）（2）频率分布直方图如下：（3）在[125,127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.（2）图中虚线对应的数据是5+⨯=，事实上中位数为125.5使用“组中值”求平均数1252126.258x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，平均数的精确值1220.11240.151260.41280.21300.15126.3为125.75x=.讲评平均数、中位数、众数、极差、方差等统计量是将多个数据“加工”成一个数据，能更清楚地反映这组数据的某些重要特征，要理解这些统计量表达的信息.利用频率分布直方图求出的众数、中位数、平均数均为估计值，与实际数据可能不一致.如果能通过对数据的分析与整理，能够正确画出频率分布直方图，那么可以认为达到数据分析、直观想象核心素养水平一的要求；如果能用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数，那么可以认为达到逻辑推理、直观想象、数学运算、数据分析核心素养水平二的要求.。