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函数的单调性[课标分析]函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
[学习目标]1.通过实例说明函数的单调性，不能结合图形进行解释2.能够用严密的数学语言和符号对单调性进行说明3.能够用定义法对函数的单调性进行证明4.能够用实例说明“任意取值”的含义5.能够解决简单的含餐的单调性问题[教学重难点][重点]1.函数单调性的概念；2.判断和证明函数的单调性.[难点]1.理解函数单调性的概念[教学重难点突破方法]1. 多媒体演示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，为概念的引入提供了必要性,并让学生带着问题（什么是函数的单调性？）进入新课;2. 问题串引导学生探究式学习法，小组合作和自主探究相结合，问题作引导，引发积极思考；3.多媒体展示和学生板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性.说明：1.如何用符号语言刻画“y 随x 的增大而增大（或减小）”。
通过回顾2)(x x f =图像直观感受“y 随x 的增大而增大（或减小）”；再通过“列表法”由形入数在表中任选两对数据比较其大小第一次发现“y 随x 的增大而增大（或减小）”在解析式上的体现：如当21<时，有)2()1(f f <；再通过几何画板动画演示在x 轴上任取两个数及图像上对应的函数值12(),()f x f x ，比较其函数值的大小，引导学生体会数字表示与字母表示的区别；从而实现对“y 随x 的增大而增大（或减小）”的符号化描述。
请详细解释函数的单调性函数的单调性是数学中比较重要的概念，也是许多数学模型的关键组成部分，它在众多应用领域中都有着广泛的应用，其中包括经济学、统计学、物理学等。
在数学中，函数的单调性指的是函数的变化是单一的，以及在函数的变化中，函数的任何一个时刻都是单调的。
换言之，函数的单调性意味着，在数学模型中，函数变量不可能具有不稳定的峰谷性质，因为在函数变化的某个时刻，函数的变化只有一个方向，没有其他变动。
关于函数的单调性有几种定义，其中最重要的是函数的单调递增和单调递减，换言之，函数的单调性可以表达为函数变量随函数输入的增加或减少，其输出都是呈现出单调的变化趋势。
从数学的角度来讲，函数的单调性可以用函数的导数来表示。
函数的单调性可以通过求函数的导数和次导数来确定。
如果函数的导函数在某一点处大于0，则表明函数在该点处是单调递增的，这意味着函数变量随函数输入的增加而增加；反之，如果函数的导数在某一点小于0，则表明函数在该点处处于单调递减的状态，这意味着函数变量随函数输入的增加而减少。
函数的单调性也可以用几何的视角来看，函数的单调性表明函数变量只能呈现单调的变化趋势，函数变量既不能在某一点处出现峰谷状态，也不能出现不稳定的变化，而且，函数变量只能朝着一个方向改变。
函数的单调性在实际应用中也有很多用处，比如，在经济学中，由于经济活动具有单调性，因此，在经济模型中，可以假定函数变量是单调的，即用户的消费行为是不可逆的，即消费行为只能前进而不能后退。
另外，在统计学领域，函数的单调性可以帮助统计分析师正确地估计统计模型中的参数，因为在单调性的函数中，统计数据的分布是均匀的，可以正确估计参数的值。
总而言之，函数的单调性是数学中一个重要的概念，它表明函数变量只有单调的变化，在诸多应用领域中也有着广泛的应用，比如经济学和统计学等，因此，函数的单调性是非常重要的。
高一数学知识点函数的单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小)③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。
(可用于比较自变量值的大小)2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1、x 2∈D,使x 1＜x 2 ;②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
第十二课时函数的单调性制作者：刘新岩时间____ 姓名____
一．教学目标：
知识目标：增、减函数；单调区间；单调函数
能力目标：能够利用函数图像研究函数单调性
能够根据函数的单调性比较大小
二．教学设计：
环节一：引入新课
引例：一个鹿群在开始观察时有3500头，经过2个月的观察，搜集到了下列数据。
表格中的数据反映出鹿群随时间变化具有一定的规律。
请根据表格回答一下问题：
天数0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
数量3500 3750 4250 4500 4250 3750 3500 3750 4250 4500 4250 3750 3500 鹿群数量何时增加？何时减少？
类似上述函数的函数值y随着自变量x的增加而增加（或者减少）的性质是函数的单调性。
环节二：探索新知
观察下列函数图像，完成填空：
图像走势
（从左到右）
y值变化
（随x增加）
单调性
保持单调性的x
的取值区间
（单调区间）
区别
举例
函数单调性定义：（思考：如何将y 随x 增加而增加（或者减少）更微观地描述出来？） 一般地，设函数)(x f 的定义域为I
如果对于定义域I 内某个区间D 上的______两个自变量的值21,x x ，当_______时，都有____________,那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。
图像趋势___
如果对于定义域I 内某个区间D 上的______两个自变量的值21,x x ，当_______时，都有____________,那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。
图像趋势___
环节三：概念辨析
1.[-1,3]是函数定义域内的一个区间，若)3()1(f f <-，则函数)(x f 在区间[-1,3]上是（ ） A 增函数 B 减函数 C 既是增函数又是减函数 D 单调性不确定 思考1：观察函数⎩⎨⎧>-≤=0,10,)(x x x x x f ，⎩⎨
⎧>+≤=0
,10
,)(x x x x x g 的图像，能否说函数在),(+∞-∞上是增函数？
2.设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0； ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；④f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
<0.
其中能推出函数y ＝f (x )为增函数的命题为________.(填序号)
环节四：变式练习
A 组：下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x),根据图像说出函数的单调区间以及每个单调区间上函数是增函数还是减函数。
B 组：根据函数图像说出下列函数的单调区间 （1）y=-2x+1 (2)y=x
1(3)x x y 22
+-=(4)y=1-x
归纳一次函数、反比例函数、二次函数的单调性：
C 组：
（1）.若函数f(x)＝4)1(22
+-+x a x 的单调递减区间是 (－∞，4]，求实数a 的取值范围。
（2）.若函数f(x)＝4)1(22+-+x a x 在区间(－∞，4]上单调递减，求实数a 的取值范围。
（注）正确理解“单调区间”和“在区间上单调”的含义，函数的单调区间是函数单调的最大范围，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．
函数解析式
y=-2x+1 y=
x
1 x x y 22+-= y=1-x
图像
单调区间
函数解析式 一次函数：
_________________ 反比例函数： ____________ 二次函数：
___________________ 影响单调性的要素
第十二课时 函数的单调性课后分层作业 时间____ 姓名____
A 组：1.
2.(1)函数y ＝x x 62
-的减区间是_____________ (2))函数y ＝]4,0[,62∈-x x x 的减区间是_____________
3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是 A ．y ＝1
x B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝－2x ＋1
4.下列说法中正确的有（ ）
①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1
x 在定义域上是增函数；
④y ＝1
x 的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
B 组：5．如果函数y ＝(2a －1)x ＋b 在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．
6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________．
7．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，求m 的范围
C 组：8.已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
(3－a )x －4a (x ＜1)x 2 (x ≥1)是R 上的增函数，那么a 的取值范围是________．
分层作业改错。
