复旦习题

线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n -1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n -1)=(1)2n n -;(4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1).4. 本行列式4512312123122xx x D x xx=的展开式中包含3x 和4x 的项.解： 设 123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x 项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)2000010300004； (2)12300020304501.【解】(1) D =(-1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)2141312112325062-----； (2) ab ac ae bdcd de bf cf ef-------； (3)10011001101ab c d ---； (4)1234234134124123.【解】(1) 125062312101232562r r D+---=--;(2) 1114111111D abcdef abcdef --==------; 210110111(3)(1)111011111;bcD a a bcd c c dd ddabcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.1041202220044101231114r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1) 22222()111aab baa b b a b +=-； (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aa a ab b b bc c c c dd d d ++++++=++++++；(3) 232232232111()111a a a ab b ab bc ca b b cccc=++(4) 20000()000nn aba b D ad bc cdcd==-；(5)121111111111111nni i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)1323223()()()2()201()()()()()2()21c c c c a b a b b a b ba b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b--+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2) 32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c aa a a aa b b b b b b c c c c c c dd d d dd ---++++++++====++++++++左端右端.(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b ccc==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a aab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a ab b cc+-(4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)00000(),n n n n ab abab ab D abcdcdc d c d dcad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得22(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=-2().nn D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+但由归纳假设11121111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑从而有11211211121111111111.n n n n n i i nnnn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8. 计算下列n 阶行列式.(1) 111111n x x D x =(2) 122222222232222n D n=； (3)0000000000n x y x y D x y yx=. (4)n ij D a =其中(,1,2,,)ij a i j i j n =-= ； (5)21000121000120000021012n D =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得11111[(1)],11n x D x n x =+-将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n x D x n x n x x --=+-=+---(2) 213111222210000101001002012n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.002002n n -=---(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000(1)(1).n n n n n nn nx y y x y x y D x y x y x y y x xyx xy yx y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4)由题意，知11121212221212110122103123n n n n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==----012211111111*********1111n n ------------后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行01221122111111200002000020000000022n n n n --------=-按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)22n n n n n n -----=---按第列展开.(5) 210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021012012012n D ==+122n n D D --=-.即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-=由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=-得11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.121212111n n n na a a a a a D a a a ++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11ni i a =+∑，得232323123111111,11n n nn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑将第一行乘（-1）后加到其余各行，得2311110011.001001n nnn i ii i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠= ）.1111123222211223322221122331111123n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -= ,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n i j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏11. 已知4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式. 【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+= 同理43441569.A A +=-+=- 12. 用克莱姆法则解方程组.(1) 123123412342345,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩(2) 121232343454556 1,56 0, 56 0, 560,5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩ 【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;121052*********23141230123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.1221121201330123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2,1.D D D D x x x x D D D D ========-12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111a ab =-即(a +1)2=4b .15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-= 于是所求的多项式为23()752f x x x =-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题 二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=； （2） 500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （3） []32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4） ()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （5） 11121321222331323310001101a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （6） 1210103101010121002100230303⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】 (1) 32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4) 3322211122233312211213311323322311()()()iji j i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x ax x ==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 12520124004309⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2. 设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ， 求(1)2-A B A ;(2) -A B B A ；(3) 22()()-=-A +B A B A B 吗? 【解】(1) 2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A B B A (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ； (3) 若A X =A Y ，≠A O ， 则X =Y . 【解】(1) 以三阶矩阵为例，取201,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0 (2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,011121110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y . 4. 设11A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k . 【解】2312131,,,.010101kk λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A 5. 10010λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =， 求23A ,A 并证明： 121(1)2000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =. 【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设121(1)2000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k kk k k k k kk kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦AA A = 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k kk k kk k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A = 6. 已知A P =PB ，其中10010000021001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P = 求A 及5A .【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PB P而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PB PP B P A 7. 设a b c d ba d cc d a b dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b c d b a d ca b c d a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A=A A =AE于是有 2222422222()()a b c d a b c d =-+++=-+++A . 8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X A Y Y B z X A Y A B z z, 从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B A B 也是对称阵. 【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A , 所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB ,故'B A B 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′²B ′= -B ²(-B )=B 2; (AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′= -BA -A ²(-B )=AB -BA ; (AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′= -BA +A ²(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵. 12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为ab cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由 1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d aa b cd cc d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦. 由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数. 13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵. 【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得111222333333232323023000023222.023333c b c c b c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数.14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1) 1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4) 1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5) 520021000083052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0n n a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1) 5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2) 12101201-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3) 12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4) 100011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5) 120025000023058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而111002211≠- 故112311101111122.0221113122110221112x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）-1=（A -1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)-1.【证明】（1） 因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |²|B |²B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A *=(AB ) *A |B |EA *=|A |²|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0,∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1²|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1.(3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换. 【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A Y 且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X 所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1) 12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =； (2)211211210210111111--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ； (3) 142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4) 01010004310000120101010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B 同理 (2) X =10001001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.03412-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若k A =O (k 为正整数)，证明：121()k --- E A =E +A +A ++A.【证明】作乘法212121()()k k k kk----=-----=-=E A E +A +A ++A E +A +A ++A A A A A E A E ,从而E -A 可逆，且121()k --- E A =E +A +A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1. 【证】因为A 2-A -2E =0,故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-AA E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E ,A E A E E ,A E A E E.由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A +B ,求B . 【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A .而22310,1102121==-≠---A E 即A -2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A22. 设1-PAP =Λ. 其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ， 求10A . 【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦AP P P PΛΛ23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++ ，记01()mm f a a a =+++ A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =， 证明12kk k λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ， 证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P . 【证明】 (1)232311232200,0λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,00kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m m m m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A E +A ++A++++++ (2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又0111011011()()().mm mm mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B BE PA PPA PP E A +A P P A P24. a b cd ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc cd cd ad bca bc ab bd a adab bd ad bc ac cd cb d ac cdad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E 0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=. 25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2) 1n *-=A A .【证明】（1） 若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)-1=E ,由此又得A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,若|A |≠0，则| A *|=|A |n -1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设520032002100450000730041052062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1) A B ; (2)B A ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k(k 为正整数). 【解】 (1)232000109000046130329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B =; (2) 1980030130000331405222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A =;(3) 1120025000023057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)kk=-A .27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）003100212100230-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解】(1) 对A 做如下分块 12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00 其中1230012;,0102501⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.0000300010001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A AA 同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A AA A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题 三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r ααα线性无关，证明向量组12,,,r βββ也线性无关，这里12.i i +++ β=ααα【证明】 设向量组12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k 使得1122.r r k k k +++= 0βββ把12i i +++ β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0 ααα.又已知12,,,r ααα线性无关，故1220,0,0.r r r k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩该方程组只有惟一零解120r k k k ==== ，这与题设矛盾，故向量组12,,,r βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案.8. 12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα== α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα= α1,2,,i n = 组成的，所以12,,,n ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -== α是线性无关的.【证明】任取n -r 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n r r r n r r r n nnnt t t t t t t t tt t t ---+++-≠从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r ααα也线性无关.10. 设12,,,s ααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,r ααα线性表出.证明：12,,,r ααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】若 12,,,r ααα (1) 线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s ααα的一个极大无关组，这与12,,,s ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组. 11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组. 【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k kk k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1), 2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),11010102a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121112aa b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ 要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0). 13. 设12,,,n ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，则单位向量12,,,n εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n ααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,n ααα线性相关，所以α能由12,,,n ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案.16. 设向量组12,,,m ααα与12,,,s βββ秩相同且12,,,m ααα能经12,,,s βββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,m ααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ijjj ai r ===∑ αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r = β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17. 设A 为m ³n 矩阵，B 为s ³n 矩阵.证明：m ax{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有m ax{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k , 12,,,j j jkβββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir ααα表示，若α属于B 的行向量组，则它可由12,,,j j jkβββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir ααα,12,,,j j jkβββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有m ax{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ³n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ³s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r .【证明】设A =(A s ,P s ³(n -s )),因为A 为行无关的s ³n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ³n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ³s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r . (⇐)当r =R (K )时，即K 行无关， 由B =KA =K (A s ,P s ³(n -s ))=(KA s ,KP s ³(n -s)) 知R (B )=r ,即B 行无关. 19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)1122102151203131141⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα;(2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα.21. 略.见教材习题参考答案.22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n +++ x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR )则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++= αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++= 所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A , 所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα ∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,01310000013100=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标.【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),11001100111011101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,1110x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX .则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A B 作初等行变换。

复旦考研试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪项不是复旦大学的校训？A. 博学B. 笃志C. 求实D. 创新答案：B2. 复旦大学的校徽中不包含以下哪个元素？A. 书B. 火炬C. 盾牌D. 狮头答案：D3. 复旦大学的前身创建于哪一年？A. 1905年B. 1915年C. 1925年D. 1935年答案：A4. 复旦大学的校庆日是每年的哪一天？A. 5月27日B. 6月27日C. 7月27日D. 8月27日答案：A5. 下列哪项不是复旦大学的院系设置？A. 人文与社会科学B. 自然科学C. 工程与技术D. 医学与健康答案：B6. 复旦大学的图书馆藏书量超过多少万册？A. 200万B. 300万C. 400万D. 500万答案：C7. 复旦大学的校歌中提到了“日月光华”，其含义是？A. 光明照耀B. 学术繁荣C. 教育兴国D. 知识传承答案：A8. 复旦大学的校花是什么？A. 樱花B. 桂花C. 牡丹D. 玫瑰答案：B9. 复旦大学的校训“博学而笃志”出自哪部经典？A. 《论语》B. 《孟子》C. 《大学》D. 《中庸》答案：B10. 复旦大学的校训“切问而近思”出自哪部经典？A. 《论语》B. 《孟子》C. 《大学》D. 《中庸》答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪些是复旦大学的学术机构？A. 复旦大学附属肿瘤医院B. 复旦大学附属中山医院C. 复旦大学附属妇产科医院D. 复旦大学附属眼耳鼻喉科医院答案：ABCD2. 复旦大学的哪些学科在国内外享有较高声誉？A. 数学B. 物理C. 化学D. 生物答案：ABCD3. 下列哪些是复旦大学的校园文化活动？A. 复旦大学校庆B. 复旦大学学术节C. 复旦大学艺术节D. 复旦大学体育节答案：ABCD三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述复旦大学的发展历程。

答案：复旦大学的发展历程可以追溯到1905年，当时名为复旦公学，由马相伯先生创办。

习题八5. 求下列各极限：10(1)y x y →→00(3)x y →→00(4)l ;x y →→222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式0ln 2.=(3)原式=01.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 讨论下列函数在原点O (0，0)处的连续性及偏导数：(3) 222222222,0,()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.而…8. 求下列函数的偏导数： (1)z = x 2y +2xy; (6)u = z xy ;解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ 12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z zx x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4.13.求下列函数的二阶偏导数：(3)z = y x ;解：(3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ 14.设f (x ,y ,z ) = xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f - 解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(2)z ＝arc tanxy, x ＝u ＋v ,y ＝u －v , 求z u ∂∂,z v ∂∂；(3)ln(e e )xyu =+, y ＝x 3, 求d d u x;(4) u ＝x 2＋y 2＋z 2, x ＝e cos t t , y ＝e sin t t , z ＝e t, 求d d u t. 解：(2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uy x yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222222111(1)11.x z z x z yy v x v y vyx x y y y x ux y u v-∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xy u f x y =-解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ 29. 求下列隐函数的导数或偏导数：(4)333z xyz a -=，求22,z zx y∂∂∂∂.解：(4)设33(,,)3F x y z z xyz a =--, 则23,3,33,x y z F yz F xz F z xy =-=-=-故223,33x z F z yz yz x F z xy z xy∂-=-=-=∂-- 223,33y z F z xz xz y F z xy z xy∂-=-=-=∂--()()()()22222222322232222()zz z x x xz z xy xz y z y z xy y y z xy xzxzz x x xz z xy z xyx yzz xy xy z z xy ∂∂⎛⎫--- ⎪∂∂∂∂⎛⎫⎝⎭== ⎪-∂∂⎝⎭-⎛⎫⋅--- ⎪--⎝⎭==--31. 设11,0F y z x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定了函数z = z (x ,y ),其中F 可微，求,z z x y ∂∂∂∂.解：12122110x F F F F x x ⎛⎫'''=⋅+⋅=--⎪⎝⎭122122121222122221222110111y z x zy zF F F y F F F F F F F zx x F F x F F F F F y F zy y F F y F ⎛⎫''-=⋅+⋅ ⎪⎝⎭'''=⋅+⋅='-'∂∴=-=-=∂''''-''-∂=-=-=∂''。

复旦大学高数考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，在x=0处不可导的是（）。

A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = e^x答案：B2. 二次方程x^2 + ax + b = 0有一个根为0，那么b的值是（）。

A. 0B. aC. -aD. 1答案：A3. 函数f(x) = 1/x在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上是（）。

A. 单调递增B. 单调递减C. 有界D. 无界答案：D4. 定积分∫₀^(π/2) sin(x)dx的值是（）。

A. 1B. 2C. π/2D. π答案：A5. 微分方程y'' - y' - 6y = 0的特征方程是（）。

A. r^2 - r - 6 = 0B. r^2 - r - 6 = rC. r^2 - 6 = 0D. r^2 - r - 6 = r^2答案：A6. 利用洛必达法则求解极限lim (x->0) [sin(x)/x]的正确步骤是（）。

A. 直接代入x=0B. 计算分子的导数C. 计算分母的导数D. 计算分子和分母的导数答案：D7. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是（）。

A. n > 1B. n ≥ 1C. n = 1D. n < 1答案：C8. 曲线y = x^3在点（1，1）处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D9. 函数f(x) = ln(x)的泰勒展开式在x=1处的余项是（）。

A. R_2(x) = (x-1)^2/2B. R_3(x) = (x-1)^3/3C. R_2(x) = (x-1)^3/3D. R_3(x) = (x-1)^2/2答案：C10. 利用分部积分法计算定积分∫₀^(π/2) x sin(x)dx，得到的结果是（）。

A. π/2B. πC. 2D. 1答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)在点x=a处的导数为3，则lim (x->a) [f(x) -f(a)]/(x-a) = ____。

复旦大学高考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪项不是中国古代四大发明之一？A. 造纸术B. 指南针C. 火药D. 地动仪答案：D2. 根据题目所给信息，正确答案是D，地动仪不是中国古代四大发明之一。

3. 以下哪个选项是牛顿第二定律的表达式？A. F = maB. F = mvC. F = m/aD. F = v/a答案：A4. 牛顿第二定律的表达式为F = ma，其中F是力，m是质量，a是加速度。

5. 以下哪个历史事件标志着第一次世界大战的结束？A. 萨拉热窝事件B. 凡尔赛条约的签订C. 马恩河战役D. 日德兰海战答案：B6. 第一次世界大战以1919年6月28日签订的凡尔赛条约为标志结束。

7. 在英语中，“evolution”一词的意思是：A. 革命B. 进化C. 演变D. 退化答案：B8. “Evolution”在英语中通常指的是生物的进化过程。

9. 下列哪个数学公式表示的是勾股定理？A. a² + b² = c²B. a² - b² = c²C. a³ + b³ = c³D. a⁴ + b⁴ = c⁴答案：A10. 勾股定理的数学公式是a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

二、填空题（每题4分，共20分）11. 中国的首都是_______。

答案：北京12. 光在真空中的传播速度是_______米/秒。

答案：299,792,45813. 法国大革命开始的标志是_______的爆发。

答案：巴士底狱14. 人体最大的器官是_______。

答案：皮肤15. 根据国际单位制，电流的单位是_______。

答案：安培三、简答题（每题10分，共20分）16. 简述牛顿第三定律的内容。

答案：牛顿第三定律指出，对于任意两个相互作用的物体，它们之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反。

复旦大学考研试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪项不是复旦大学的校训？A. 博学B. 笃志C. 明德D. 求是答案：B2. 复旦大学的创始人是：A. 马相伯B. 蔡元培C. 陈独秀D. 胡适答案：A3. 复旦大学的校庆日是每年的：A. 5月27日B. 9月1日C. 10月1日D. 11月1日答案：A4. 复旦大学的校花是：A. 桂花B. 牡丹C. 菊花D. 梅花答案：A5. 复旦大学的校歌名称是：A. 复旦校歌B. 复旦之歌C. 复旦颂D. 复旦精神答案：A6. 复旦大学的校训中“博学”的含义是：A. 广泛学习B. 深入研究C. 博采众长D. 学以致用答案：A7. 复旦大学的校训中“笃志”的含义是：A. 坚定信念B. 专心致志C. 志存高远D. 志在四方答案：B8. 复旦大学的校训中“明德”的含义是：A. 明确道德B. 明白事理C. 明辨是非D. 明德修身答案：D9. 复旦大学的校训中“求是”的含义是：A. 追求真理B. 实事求是C. 求真务实D. 求知若渴答案：A10. 复旦大学的校训中“自强不息”的含义是：A. 自我完善B. 自强不息C. 不断进步D. 永不懈怠答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 以下哪些是复旦大学的知名校友？A. 陈望道B. 钱钟书C. 鲁迅D. 胡适答案：A B2. 复旦大学的哪些学院是国家重点学科？A. 文学院B. 理学院C. 医学院D. 法学院答案：B C3. 复旦大学的哪些专业是国家重点专业？A. 经济学B. 法学C. 计算机科学与技术D. 生物科学答案：A C D三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述复旦大学的历史沿革。

答案：复旦大学创建于1905年，原名复旦公学，是中国最早的私立大学之一。

1917年，学校更名为私立复旦大学。

1941年，学校被批准为国立复旦大学。

2000年，原复旦大学与原上海医科大学合并，组建新的复旦大学。

复旦大学专业考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪项不是复旦大学的校训？A. 自由B. 无用C. 卓越D. 博学答案：B2. 复旦大学成立于哪一年？A. 1896年B. 1900年C. 1910年D. 1920年答案：A3. 复旦大学的校花是什么？A. 牡丹B. 月季C. 樱花D. 玉兰答案：D4. 下列哪位著名学者不是复旦大学的校友？A. 苏步青B. 钱学森C. 陈省身D. 杨振宁答案：B5. 复旦大学的哪个学院是中国最早设立的新闻教育机构？A. 经济学院B. 法学院C. 新闻学院D. 文学院答案：C6. 复旦大学的校址位于中国哪个城市？A. 北京B. 上海C. 广州D. 南京答案：B7. 以下哪项不是复旦大学的官方语言？A. 汉语B. 英语C. 日语D. 德语答案：C8. 复旦大学的图书馆藏书量在中国高校中排名如何？A. 第一B. 第二C. 第三D. 第四答案：B9. 复旦大学的哪个研究机构在国际上享有盛誉？A. 材料科学研究所B. 生命科学研究所C. 社会科学研究所D. 化学研究所答案：B10. 下列哪位教授不是复旦大学的现任教授？A. 王晓秋B. 李政道C. 张首晟D. 陈佳洱答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 复旦大学的前身是_________，由教育家马相伯创立于1896年。

答案：震旦学院12. 复旦大学的校歌是《_________》。

答案：复旦校歌13. 复旦大学的校庆日是每年的_________。

答案：5月27日14. 复旦大学的校徽由_________、书和橄榄枝组成。

答案：凤凰15. 复旦大学的校训是“博学而笃志，切问而近思，_________，_________”。

答案：仁在其中，自由而有用16. 复旦大学的_________校区是其主要的教学和科研区域。

答案：邯郸17. 复旦大学的_________图书馆是其最大的图书馆。

答案：包玉刚18. 复旦大学的_________学院是中国最早设立的管理学院。