线性代数习题及答案复旦版

《线性代数》期末考试试卷A一、填空题(30分, 其中E 表示单位矩阵).1. 若A =102a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, B =300b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠满足AB = BA , 则a , b 满足条件______________. 解: AB =102a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠300b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=302ab b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, BA =300b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠102a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=3302a b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠; AB = BA ⇔ ab = 3a ⇔ a (b −3) = 0. 2. 若矩阵A , B 均可逆, 则分块矩阵2⎛⎞⎜⎟⎝⎠A O EB 的逆矩阵是__________________. 解: 12−×⎛⎞⎜⎟⎝⎠AO E O A EB O E →1(2)2−−×⎛⎞⎜⎟⎝⎠E E O A O E B O E →1112−−−⎛⎞⎜⎟×−⎝⎠E O A O O B B A E →11112−−−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠E O A O O EB A B . 可见12−⎛⎞⎜⎟⎝⎠A O E B =11112−−−−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠AO B A B .3. 如果向量组(a , 1, 1), (1, a , 1), (1, 1, a )的秩为2, 则参数a =_________________.解: 向量组(a , 1, 1), (1, a , 1), (1, 1, a )的秩为2 ⇒111111a a a= 0 ⇒ (a +2)(a −1)2 = 0 ⇒ a = −2或1.当a = −2时, 原向量组的秩为2, 当a = 1时, 原向量组的秩为1. 故a = −2. 4. 若A =a c b d ⎛⎞⎜⎟⎝⎠, B =22a c c b d d −⎛⎞⎜⎟−⎝⎠, 则满足A = BP 的二阶矩阵P =__________. 解: 将B 的第2列的2倍加到第1列就可以得到A .又因为进行一次初等列变换相当于右乘一个相应的初等矩阵,所以P =1021⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 5. 若α =1b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠是矩阵A =112a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠的相应于特征值2的特征向量, 则a b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 解: A α = 2α ⇒112a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠1b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠= 21b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠⇒12b b a +⎛⎞⎜⎟+⎝⎠=22b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠⇒a b ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=01⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 6. 如果A =12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠是在交矩阵, 且a , b > 0, 则A = ________________________. 解: A =12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠是在交矩阵⇒ AA T = A T A = E ⇒12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠12a b c ⎛⎞⎜⎟⎝⎠=1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠ ⇒221221124a b a bc a bc c ⎛⎞++⎜⎟++⎝⎠=211422212a abc ab c b c ⎛⎞++⎜⎟++⎝⎠=1001⎛⎞⎜⎟⎝⎠. 又因为a , b > 0, 所以a =2, b =12, c = −2. 因而A =. 7. 若二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + kx 32 +2kx 1x 2是正定的, 则参数k 满足条件____. 解: (方法一) f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + kx 32 +2kx 1x 2 = (x 1 + kx 2)2 + (1−k 2)x 22 + kx 32.令1122233y x kx y x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩, 则f (x 1, x 2, x 3) = y 12 + (1−k 2)y 22 + ky 32. 故f (x 1, x 2, x 3)正定⇔ 1−k 2 > 0且k > 0 ⇔ 0 < k < 1.(方法二) f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + kx 32 +2kx 1x 2的矩阵A =101000k k k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠的顺序主子式为∆1 = 1 > 0, ∆2 =11kk = 1−k 2, ∆3 =101000k k k= (1−k 2)k .故f (x 1, x 2, x 3)正定⇔ ∆1, ∆2, ∆3全大于0 ⇔ 1−k 2 > 0且k > 0 ⇔ 0 < k < 1. (方法三) f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + kx 32 +2kx 1x 2的矩阵A =101000k k k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠,|λE −A | =101000kk kλλλ−−−−−= (λ−1+k )(λ−1−k ) (λ−k ). 可见A 的特征值为: λ1 = 1−k , λ2 = 1+k , λ3 = k .故f (x 1, x 2, x 3)正定⇔ λ1, λ2, λ3全大于0 ⇔ 0 < k < 1.8. 若A =211121112⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, η = (1, k , 1)T 是A −1的特征向量, 则k 的可能的值为________.解: 设A −1η = λη, 则η = λA η, 即11k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠= λ211121112⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠11k ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠= λ3223k k k +⎛⎞⎜⎟+⎜⎟+⎝⎠. 由此可得k = 1或−2.9. 假设A , B 都是3×4矩阵, 则矩阵A T B 的行列式|A T B | = ______________________.解: A , B 都是3×4矩阵⇒ A T B 为4×4矩阵且 秩(A T B ) ≤ 秩(B ) ≤ 3 < 4 ⇒ |A T B | = 0.10. 设α是n 维单位列向量, 矩阵A = E + ααT 的行列式|A | = ____________________.解: 设ξ1, …, ξn −1为αT x = 0的基础解系, 则α, ξ1, …, ξn −1线性无关(否则, α能由ξ1, …, ξn −1线性表示, 因而αT α = 0, 这与“α是单位向量”矛盾!). 于是有A α = (E + ααT )α = E α + ααT α = α + α(αT α) = 2α ;A ξi = (E + ααT )ξi = E ξi + ααT ξi = ξi + α(αT ξi ) = ξi (i = 1, …, n −1).可见2和1是A 的特征值, α是对应于2的特征向量, ξ1, …, ξn −1是对应于1的特征向量. 因而|A | = 2×1(n −1) = 2.二、(10分)求行列式2301312053421531. 解:1)=3121314233000012−−= 1×(−1)= −0711017123−−=71117−= 60. 三、(14%)已知向量组α1 =111−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, α2 =13m ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与β1 =034⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, β2 =145⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, β3 =15n ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠等价. 求参数m , n 的值. 并将α2表示成β1, β2, β3的线性组合.解: 因为α1, α2与β1, β2, β3等价, 所以秩(α1, α2, β1, β2, β3) = 秩(α1, α2) ≤ 2.(α1, α2, β1, β2, β3) =0111134514513m n −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→345101111454513m n −⎛⎞⎜⎟−××⎜⎟−⎝⎠→13309340111140548m n ×−+⎛⎞⎜⎟−⎜⎟+−⎝⎠→431031(4)0111140548m n +−⎛⎞×−⎜⎟−⎜⎟+−⎝⎠→438431031011110070m mn +−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠记为C . 可见n −7 = 0, 843m−= 0. 故m = 2, n = 7. 此时C =103120111100000−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 设α2 = x 1β1 + x 2β2 + x 3β3 , 则由C 可见1323321x x x x +=⎧⎨+=⎩. 令x 3 = k , 则x 1 = −3k +2, x 2 = −k + 1. 因而α2 = (−3k +2)β1 + (−k + 1)β2 + x 3β3 , 其中k 为任意实数.四、(12分)假设矩阵A =103022011⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, B =110000021⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 求矩阵方程XA = 2X + B 的解.解: XA = 2X + B ⇔ X (A −2E ) = B . A −2E =103002011−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.(A −2E , E ) =12103100(1)002010011001−×−⎛⎞⎜⎟×⎜⎟−⎝⎠→121031000010013011001−−⎛⎞⎜⎟××⎜⎟−⎝⎠→32121210100001000101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠→321212101000100100100−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 由此可得(A −2E )−1 =321212100100−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 故X = B (A −2E )−1 =3212100002−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠.五、(12分)设二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + x 32 + 2ax 1x 3 + 2ax 2x 3.1. 给出二次型的矩阵.解: f (x 1, x 2, x 3)的矩阵A =10011a a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠.2. 用配方法求一个可逆线性变换x = Cy 将f 化成其标准型.解: f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + x 22 + x 32 + 2ax 1x 3 + 2ax 2x 3 = (x 1 + ax 3)2 − a 2x 32 + (x 2 + ax 3)2 − a 2x 32 + x 32 = (x 1 + ax 3)2 + (x 2 + ax 3)2 + (1−2a 2)x 32.令11322333y x ax y x ax y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩, 即y =1001001a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠x , 则x =1001001a a −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠y , 且f (x 1, x 2, x 3) = y 12 + y 32 + (1−2a 2)y 32.3. 根据a 的不同的值, 讨论A 的正、负特征值的个数.解: 因为A 的正、负特征值的个数分别等于A 的正、负惯性指数的个数,所以由上题可知(1) 当a < −2或a >2时, A 有2个正特征值, 1个负特征值. (2) 当a = ±2时, A 有2个正特征值, 0个负特征值.(3) 当−2< a <2时, A 有3个正特征值, 0个负特征值.六、(12分)已知矩阵A =1020140c a −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与B =00010001b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似.1. 分别求参数a , b 及c 的值.解: |A | = −6−a , |B | = b , tr(A ) = a , tr(B ) = b +2. 因为A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).故a = −3, b = −5. 可见1是A的二重特征值, 因而秩(E−A) = 1.E−A =202400404c−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→20200000c−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可见c = 0.2. 求一个可逆矩阵P, 使得B = P−1AP.解: (−5E−A)x = 0的一个基础解系为ξ1 = (−12, 0 , 1)T.(E−A)x = 0的一个基础解系为ξ2 = (0, 1, 0)T,ξ3 = (1, 0, 1)T.令P = (ξ1, ξ2, ξ3) =1201010101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则B = P−1AP.七、(10分)假设A, B都是n×n矩阵.1. 若(A−B)(A−E) = O, 且A≠B, 证明: 1是A的特征值.证明: 因为(A−B)(A−E) = O, 且A≠B, 所以A−E不可逆(否则A−B = (A−B)(A−E)(A−E)−1 = O(A−E)−1 = O, 从而得A = B, 矛盾!).因此|A−E| = 0. 可见1是A的特征值.2. 若关于A, B的秩有不等式r(A) + r(B)<n, 证明: A, B有公共特征向量.证明: 因为r ⎛⎞⎜⎟⎝⎠AB≤ r(A) + r(B) <n, 所以齐次线性方程组⎛⎞⎜⎟⎝⎠AB x = 0有非零解,即存在非零向量ξ使得⎛⎞⎜⎟⎝⎠ABξ = 0. 于是有Aξ = 0 = 0ξ, Bξ = 0 = 0ξ.可见A, B有公共特征向量ξ.。

共4页第1页复旦大学期末考试卷(A 卷)课程名称线性代数考试学期19-20-1得分适用专业非电类专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟题号一二三四五六七得分一.（30%）填空题（E 表示n 阶单位矩阵，O 表示n 阶零矩阵）：1.若对任意3维列向量(,,)Tx y z η=，矩阵A 满足23x y A x z η+⎛⎫=⎪-⎝⎭，则A =。

2.假设1002A ⎛⎫=⎪⎝⎭，34x B x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且AB 是对称矩阵，则x 满足条件。

3.若1324A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A 的逆矩阵1(*)A -=。

4.如果向量组1212,1,333k αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关，则参数k =。

5.假设n 阶方阵A 满足232A A E O +-=，则1A-=。

6.向量空间{}(,,)|0V x y z x y z =--=的一组基是。

7.若33⨯矩阵A 的特征值是1,1,2-，则行列式22A A E --=。

8.如果矩阵1a a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值都大于零，则参数a 的取值范围是。

9.若矩阵1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭与133B k ⎛⎫= ⎪⎝⎭合同，则参数k 的取值范围是。

10.已知22⨯矩阵,A P 满足11002P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭。

若()(),,,P Q αβαβα==-，则1Q AQ -=。

二.(12%)已知123012001A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，101210B⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵X使得2XA B X-=。

三.(12%)根据参数a的值，讨论矩阵23123123aA aa⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭的秩。

共4页第2页共4页第3页四.(14%)若方程组1231231():234x x x I x x ax +-=⎧⎨++=⎩的每个解都满足方程12():2II x x b +=。

求参数,a b 的值，并求线性方程组()I 的通解．五.(14%)设在正交变换x Qy =下，二次型22212312313(,,)2f x x x x ax x x x =+++变成标准形222123123(,,)22g y y y y by y =++，求参数,a b 的值，并求一个正交矩阵Q 。

共4页第页复旦大学期末考试试卷（B 卷）课程名称线性代数A 考试学期19-20-1得分适用专业非电类专业考试形式闭卷考试时间长度120分钟题号一二三四五六七得分一.（30%）填空题（E 表示单位矩阵）：1.设03a A b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如果10A O =，则参数,a b 满足条件；2.设0k >，向量(,0,)T k k α=，如果矩阵T A E αα=-是1T B E k αα=+的逆矩阵，则参数k =；3.若,A B 都是n 阶可逆矩阵，则分块矩阵O A B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭的逆矩阵为；4.若向量组(1,2,3),(1,,3),(1,2,)T T T x y 线性相关，则参数,x y 满足条件；5.3R 的子空间{}(,,)|0T V x y z x y z =--=的维数是；6.假设3阶矩阵A 的秩是2，123,,ηηη是线性方程组Ax b =的解，若12(2,2,4)T ηη+=，13(1,0,1)T ηη-=，则Ax b =的通解是；7.如果2阶矩阵A 的特征值是2和3，则A 的伴随矩阵*A 的特征值是；8.若2是1114335x y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 的二重特征值，且A 相似于对角阵，则(,)x y =；9.如果二次型2212124x tx tx x ++是正定的，则参数t 满足条件；10.如果线性方程组31222393x y zx ay z x y bz +-=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩有3个线性无关的解向量，则(,)a b =。

共4页第页二.（14%）设112100010,020002201A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵方程2()AB B X B +=的解。

三.（10%）已知向量组12110,213αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组1231110,,120m n βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的秩相同，并且，3β可以由12,αα线性表示。

线性代数习题及答案all in习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n (n -1)…321； (4) 13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2. 【解】(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;(3) τ(n (n -1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n -1)=(1)2n n -;(4) τ(13…(2n -1)(2n )(2n -2)…2)=0+1+…+(n -1)+(n -1)+(n -2)+…+1+0=n (n -1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.4. 本行列式4512312123122x x x D xxx=的展开式中包含3x 和4x 的项.解： 设123412341234()41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ=-∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素的行下标，则4D 展开式中含3x 项有(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅=-+-=-4D 展开式中含4x 项有(1234)4(1)2210x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=.5. 用定义计算下列各行列式.(1)0200001030000004； (2)1230002030450001.【解】(1) D =(-1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.6. 计算下列各行列式.(1)2141312112325062-----； (2)ab ac ae bd cd de bfcfef-------；(3)111001101a b c d ---； (4)1234234134124123.【解】(1)125062312101232562r r D+---=--;(2)1114111111D abcdef abcdef--==------;21011111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d dd abcd ab ad cd --⎡--⎤=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.1041202220044101231114r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====-------7. 证明下列各式.(1)22222()111a ab b a a b b a b +=-； (2)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++；(3)232232232111()111a a a a b b ab bc ca b b c c cc =++(4)2000()000n n a ba b D ad bc c d cd==-； (5)121111111111111nni i i i na a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)1323223()()()2()2001()()()()()2()21c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b--+--=--+--+==-=-=--左端右端.(2)32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c cd d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b c c c ==------从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为2221()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b cc ++---=++但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故231123231(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得22(1)2(1)2(1)0000000(),n n n n ab aba ba bD abc dc dc d c d dc ad D bc D ad bc D ---=-=⋅-⋅=-据此递推下去，可得222(1)2(2)112()()()()()()n n n n n nD ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=- 2().n n D ad bc ∴=-(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n -1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立. 按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.n n nn n n a a a a D a a a a a a D ---++++=++=+但由归纳假设11121111,n n n i i D a a a a ---=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑ 从而有11211211121111111111.n n n n n i i n n nn n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∏8. 计算下列n 阶行列式.(1)111111n x xD x=(2)122222222232222n D n=；(3)000000000nx y x y D x y yx=. (4)nijD a =其中(,1,2,,)ija i j i j n =-= ；(5)2100012100012000002100012nD =.【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n -1),得11111[(1)],11n x D x n x =+-将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).01n n x D x n x n x x --=+-=+---(2)21311122221000101001002010002n r r n r r r r D n ---=-按第二行展开222201002(2)!.00200002n n -=---(3) 行列式按第一列展开后，得1(1)(1)(1)10000000000000(1)0000000(1)(1).n n n n n n n n x y y x y x y D xy x y x y yxx yx x y y x y +-+-+=+-=⋅+⋅-⋅=+-(4)由题意，知11121212221201211012213123n n n n n nnn a a a n a a a D n a a a n n n --==---- 0122111111111111111111111n n ------------后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行0122112211111120000200002000000000220n n n n --------=-按第一列展开1122000201(1)(1)(1)(1)2002n n n n n n -----=---按第列展开.(5)210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012n D ==+122n n D D --=-.即有112211n n n n D D D D D D ----=-==-=由()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=- 得11,121n n D D n D n n -=-=-+=+.9. 计算n 阶行列式.121212111n n n na a a a a a D a a a ++=+【解】各列都加到第一列，再从第一列提出11ni i a=+∑，得232323123111111,11n nnn i n i na a a a a a D a a a a a a a =+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+∑ 将第一行乘（-1）后加到其余各行，得23111010011.001001nnnn i i i i a a a D a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,ia i n ≠=）.1111123222211223322221122331111123n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n na a a a ab a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=.【解】行列式的各列提取因子1(1,2,,)n j a j n -=,然后应用范德蒙行列式.3121232222312112123111131212311211111()().n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n ij b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏11. 已知4阶行列式41234334415671122D =;试求4142A A +与4344A A +，其中4j A 为行列式4D 的第4行第j 个元素的代数余子式.【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167A A +++=-+-=+=同理43441569.A A +=-+=-12. 用克莱姆法则解方程组.(1)12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++=⎩ (2) 121232343454556 1,56 0,56 0, 560,5 1.x x x x x x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪+=⎪⎩ 【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;12105212110121123140123123D -------=====≠-----1234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.122112120133123D D D D --====---====--故原方程组有惟一解，为312412341,2,2, 1.D D D Dx x x x D D D D========- 12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-=13. λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121λμμ= 即(1)0.μλ-=故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.14. 问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0x x x ax x x x x x x x x x x ax bx +++=⎧⎪+++=⎪⎨+-+=⎪⎪+++=⎩ 有非零解时，a ,b 必须满足什么条件？ 【解】该齐次线性方程组有非零解，a ,b 需满足11112110,113111aa b=-即(a +1)2=4b . 15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=故得01237,0,5,2a a a a ===-=于是所求的多项式为23()752f x x x =-+16. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)按题设有1122330,0,0,ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.习题 二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）[]11321023⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=； （2） 500103120213⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （3）[]32123410⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4） ()111213112321222323132333a a a x x x x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （5） 111213212223313233100011001a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； （6） 1210131010101210021002300030003⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 【解】(1)32103210;64209630-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(2)531⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; (3) (10);(4)3322211122233312211213311323322311()()()ij i j i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x ==++++++++=∑∑(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦; (6) 1252012400430009⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 2.设111111111⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，121131214⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗?【解】(1)2422;400024⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB A (2) 440;531311⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦AB BA(3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若2=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ；(3) 若AX =AY ，≠A O ， 则X =Y .【解】(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦0A A ,但A ≠0(2) 令110000001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E(3) 令11021,=,0111210110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=≠=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A Y X 0则AX =AY ,但X ≠Y .4.设101A λ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 求A 2，A 3，…，A k .【解】2312131,,,.010101k k λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A 5.100100λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =，求23A ,A 并证明：121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =.【解】2322233223213302,03.0000λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =A = 今归纳假设121(1)2000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =那么11211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00k k k k k k k k k kk k kk k k k k k k k k λλλλλλλλλλλλλλλ+---+-++=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A= 所以，对于一切自然数k ,都有121(1)2.000kk k k kk k k k k k λλλλλλ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A =6. 已知AP =PB ，其中100100000210001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B =,P =求A 及5A .【解】因为|P |= -1≠0,故由AP =PB ,得1100200,611-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A PBP而51551()()100100100100210000210200.211001411611--==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A PBP PB P A7. 设a b cd ba d c c d ab dcba ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为22222222()()a b c d b a dc a b cd a b c d c d a b dcba *⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-+++=-+++⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦A =A 又因为*A A =A E ，所以有22222()a b c d -+++A =A E ，且0<A ，即42222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A E于是有22222()a b c d ==-+++A .8. 已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+⎧⎧⎪⎪=-++=+⎨⎨⎪⎪=++=-+⎩⎩ 利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换. 【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦X AY Y Bz X AY ABz z,从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为11232123312342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩ 9. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵.【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A , 所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB , 故'B AB 也为对称阵.10. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA . 【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA , 反之，因AB =BA ,则(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,所以，AB 为对称阵.11. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明： (1) B 2是对称矩阵.(2) AB -BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵. 【证明】因A ′=A ,B ′= -B ,故(B 2)′=B ′·B ′= -B ·(-B )=B 2; (AB -BA )′=(AB )′-(BA )′=B ′A ′-A ′B ′ = -BA -A ·(-B )=AB -BA ;(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′ = -BA +A ·(-B )= -(AB +BA ).所以B 2是对称矩阵，AB -BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵.12. 求与A =1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则由 1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1101⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 得a cb d a a bcd c c d +++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦.由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0a b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的方阵，其中a,b 为任意数. 13. 求与A =100012012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可交换的全体三阶矩阵.【解】由于A =E +000002013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 而且由111111222222333333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得11122233333323232302300023222.023333c b c cb c a b c c b c a a b b c c -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-所以2311233230,2,3.a a b c c b c b b ======-即与A 可交换的一切方阵为12332300203a b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦其中123,,a b b 为任意数. 14. 求下列矩阵的逆矩阵.(1)1225⎡⎤⎢⎥⎣⎦； (2) 123012001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (3)121342541-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； (4)1000120021301214⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (5)5200210000830052⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (6) ()1212,,,0n n a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】(1)5221-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦; (2) 121012001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦;(3)12601741632142-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦; (4)10011002211102631511824124⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦; (5)1200250000230058-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; (6) 12111n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 15. 利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 【解】因123111102211102x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,而1110022110≠-故112311101111122.02211130122*********x x x -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦16. 证明下列命题：(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *. (2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）-1=（A -1）*. (3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)-1.【证明】（1） 因对任意方阵c ，均有c *c =cc *=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得|A |·|B |·B *A *=|AB |E (B *A *)=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A * =(AB ) *A |B |EA *=|A |·|B |(AB ) *.∵ |A |≠0,|B |≠0, ∴ (AB ) *=B *A *.(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A -1,从而(A -1) *=|A -1|(A -1)-1=|A |-1A . 于是A * (A -1) *=|A |A -1·|A |-1A =E ,所以(A -1) *=(A *)-1. (3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A -1=A ′. 由(2)(A *)-1=(A -1) *,得(A *)-1=(A ′) *=(A *)′.17. 已知线性变换11232123312322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换.【解】已知112233221,315323x y x y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦X AY且|A |=1≠0,故A 可逆，因而1749,637324---⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦Y A X X所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为112321233123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 18. 解下列矩阵方程.(1)12461321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X =；(2)211211************--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦X ；(3)142031121101⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦X =； (4)010100043100001201001010120-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦X .【解】(1) 令A =1213⎡⎤⎢⎥⎣⎦;B =4621-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.由于13211--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A故原方程的惟一解为13246820.112127----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦X A B同理(2) X =100010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (3) X =11104⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) X =210.034102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦19. 若k A =O (k 为正整数)，证明：121()k ---E A =E +A+A ++A .【证明】作乘法212121()()k k k k k ----=-----=-=E A E +A+A ++A E +A+A ++A A A A A E A E,从而E -A 可逆，且121()k ---E A =E +A+A ++A20.设方阵A 满足A 2－A －2E ＝O ，证明A 及A ＋2E 都可逆，并求A -1及(A +2E )-1.【证】因为A 2-A -2E =0, 故212().2-=⇒-=A A E A E A E由此可知，A 可逆，且11().2-=-A A E同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4--=--=--+=---+=A A E A A E E,A E A E E,A E A E E.由此知，A +2E 可逆，且1211(2)(3)().44-+=--=-A E A E A E21. 设423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A =，2AB =A+B ,求B .【解】由AB =A +2B 得(A -2E )B =A . 而22310,1102121==-≠---A E即A -2E 可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A E A 22. 设1-P AP =Λ.其中1411--⎡⎤⎢⎥⎣⎦P =，1002-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=Λ， 求10A .【解】因1-P 可逆，且1141,113-⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦P 故由1Λ-A =P P 得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242--==⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-+⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A P P P P ΛΛ 23. 设m 次多项式01()m m f x a a x a x =+++，记01()m m f a a a =+++A E A A ,()f A 称为方阵A 的m 次多项式.(1)12λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =， 证明12kk k λλ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，12()()()f f f λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ； (2) 设1-A =P BP ， 证明1k k -B =PA P ，1()()f f -=B P A P .【证明】(1)232311232200,00λλλλ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A 即k =2和k =3时，结论成立. 今假设120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 那么111111222000,000kk k k k k λλλλλλ+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA A = 所以，对一切自然数k ，都有120,0kkk λλ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 而011101220111012212()1100().()mm mm m mm m m f a a a a a a a a a a a a f f λλλλλλλλλλ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A E +A++A ++++++ (2) 由(1)与A =P -1BP ,得B =PAP -1.且B k =( PAP -1)k = PA k P -1,又0111011011()()().mm m m mm f a a a a a a a a a f ----=+++=+++=++=B E B B E PAP PA P P E A+A PP A P24.a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A =，证明矩阵满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.【证明】将A 代入式子2()x a d x ad bc -++-得222222()()10()()010000.00a d ad bc a b a b a d ad bc c d c d ad bca bc ab bd a ad ab bd ad bc ac cd cb d ac cd ad d -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤++++⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A E0 故A 满足方程2()0x a d x ad bc -++-=.25. 设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：(1) 若｜A ｜＝０，则｜*A ｜＝０；(2)1n *-=A A .【证明】（1） 若|A |=0，则必有|A *|=0，因若| A *|≠0，则有A *( A *)-1=E ,由此又得A =AE =AA *( A *)-1=|A |( A *)-1=0,这与| A *|≠0是矛盾的，故当|A | =0，则必有| A *|=0. (2) 由A A *=|A |E ，两边取行列式，得|A || A *|=|A |n ,若|A |≠0，则| A *|=|A |n -1 若|A |=0,由(1)知也有| A *|=|A |n -1.26. 设52003200210045000073004100520062⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =,B . 求(1)AB ; (2)BA ; (3) 1-A ；(4)｜A ｜k (k 为正整数).【解】(1)2320001090000461300329⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB =; (2) 19800301300003314005222⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦BA =;(3)11200250000230057--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A =; (4)(1)k k =-A . 27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）1200025000003000001000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）00310021********-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （3）20102020130010*******0001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.【解】(1) 对A 做如下分块12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A 00 其中1230012;,01025001⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A12,A A 的逆矩阵分别为1112100523;,01021001--⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A 所以A 可逆，且1111252000210001.000030001000001----⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A A同理(2)11112121310088110044.110055230055----⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A A A A A (3)1110012211300222.001000001001-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A习题 三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.112223334441,,,=+=+=+=+βααβααβααβαα，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.【证明】因为1234123412341312342()2()0+++=+++⇒+++=+⇒-+-=ββββααααββββββββββ 所以向量组1234,,,ββββ线性相关.6. 设向量组12,,,r ααα线性无关，证明向量组12,,,r βββ也线性无关，这里12.i i +++β=ααα【证明】 设向量组12,,,r βββ线性相关，则存在不全为零的数12,,,,r k k k 使得1122.r r k k k +++=0βββ把12i i +++β=ααα代入上式，得121232()()r r r r k k k k k k k +++++++++=0ααα.又已知12,,,r ααα线性无关，故1220,0, 0.r rr k k k k k k +++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩该方程组只有惟一零解120r k k k ====，这与题设矛盾，故向量组12,,,r βββ线性无关.7. 略.见教材习题参考答案. 8.12(,,,),1,2,,i i i in i n ααα==α.证明：如果0ij a ≠，那么12,,,n ααα线性无关. 【证明】已知0ij a =≠A ,故R (A )=n ,而A 是由n 个n 维向量12(,,,),i i i in ααα=α1,2,,i n =组成的，所以12,,,n ααα线性无关.9. 设12,,,,r t t t 是互不相同的数，r ≤n .证明：1(1,,,),1,2,,n i i i t t i r -==α是线性无关的.【证明】任取n -r 个数t r +1,…,t n 使t 1,…,t r ,t r +1,…,t n 互不相同，于是n 阶范德蒙行列式21111212111121110,11n n rr r n r r r n nnnt t t t t t t t t t t t ---+++-≠从而其n 个行向量线性无关，由此知其部分行向量12,,,r ααα也线性无关.10. 设12,,,sααα的秩为r 且其中每个向量都可经12,,,rααα线性表出.证明：12,,,rααα为12,,,s ααα的一个极大线性无关组.【证明】若12,,,r ααα (1)线性相关，且不妨设12,,,t ααα (t <r ) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是12,,,s ααα的一个极大无关组，这与12,,,s ααα的秩为r 矛盾，故12,,,r ααα必线性无关且为12,,,s ααα的一个极大无关组.11. 求向量组1α=(1,1,1,k ),2α=(1,1,k ,1),3α=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把123,,ααα按列排成矩阵A ，并对其施行初等变换.1111111111111120010010101101001000111011001000k k k k kk k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 当k =1时，123,,ααα的秩为132,,αα为其一极大无关组. 当k ≠1时，123,,ααα线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确定向量3(2,,)a b =β,使向量组123(1,1,0),(1,1,1),==βββ与向量组1α=(0,1,1),2α=(1,2,1),3α=(1,0,-1)的秩相同，且3β可由123,,ααα线性表出.【解】由于123123011120(,,);120011111000112112(,,),110101002a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B αααβββ而R (A )=2,要使R (A )=R (B )=2,需a -2=0,即a =2,又12330112120(,,,),12001121110002a a b b a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦c αααβ要使3β可由123,,ααα线性表出，需b -a +2=0,故a =2,b =0时满足题设要求，即3β=(2,2,0).13. 设12,,,n ααα为一组n 维向量.证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n 维向量都可由12,,,n ααα线性表示，则单位向量12,,,n εεε，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组12,,,n ααα的秩为n ，因此线性无关.必要性：设12,,,n ααα线性无关，任取一个n 维向量α,则12,,,n ααα线性相关，所以α能由12,,,n ααα线性表示.14. 若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，1001103111R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且123(,,)3R =ααα，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且1234(,,,)3R =ββββ，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15. 略.见教材习题参考答案. 16. 设向量组12,,,m ααα与12,,,s βββ秩相同且12,,,m ααα能经12,,,s βββ线性表出.证明12,,,m ααα与12,,,s βββ等价.【解】设向量组12,,,m ααα (1)与向量组12,,,s βββ (2)的极大线性无关组分别为12,,,r ααα (3)和12,,,r βββ (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即1(1,2,,).ri ij jj a i r ===∑αβ因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|a ij |≠0，可由（*）解出(1,2,,)j j r =β,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价. 17. 设A 为m ×n 矩阵，B 为s ×n 矩阵.证明：max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .【证明】因A ,B 的列数相同，故A ,B 的行向量有相同的维数，矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 可视为由矩阵A 扩充行向量而成，故A 中任一行向量均可由⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的行向量线性表示，故 ()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A A B同理()R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A B B故有max{(),()}R R R ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦A AB B又设R (A )=r ,12,,,i i ir ααα是A 的行向量组的极大线性无关组,R （B ）=k , 12,,,j j jk βββ是B 的行向量组的极大线性无关组.设α是⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中的任一行向量，则若α属于A 的行向量组，则α可由12,,,i i ir ααα表示，若α属于B的行向量组，则它可由12,,,j j jkβββ线性表示，故⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 中任一行向量均可由12,,,i i ir ααα,12,,,j j jk βββ线性表示，故()(),R r k R R ⎡⎤≤+=+⎢⎥⎣⎦A AB B 所以有max{(),()}()()R R R R R ⎡⎤≤≤+⎢⎥⎣⎦A AB A B B .18. 设A 为s ×n 矩阵且A 的行向量组线性无关，K 为r ×s 矩阵.证明：B ＝KA 行无关的充分必要条件是R (K )=r . 【证明】设A =(A s ,P s ×(n -s )),因为A 为行无关的s ×n 矩阵，故s 阶方阵A s 可逆. (⇒)当B =KA 行无关时，B 为r ×n 矩阵.r =R (B )=R (KA )≤R (K ),又K 为r ×s 矩阵R (K )≤r ,∴ R (K )=r .(⇐)当r =R (K )时，即K 行无关，由B =KA =K (A s ,P s ×(n -s ))=(KA s ,KP s ×(n -s))知R (B )=r ,即B 行无关. 19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)2531174375945313275945413425322048⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； (2)11221021512031311041⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 【解】(1) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为123,,ααα; (2) 矩阵的行向量组1234⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦αααα的一个极大无关组为124,,ααα. 21. 略.见教材习题参考答案. 22. 集合V 1＝{(12,,,n x x x )｜12,,,n x x x ∈R 且12n +++x x x ＝0}是否构成向量空间?为什么?【解】由（0,0,…,0）∈V 1知V 1非空，设121122(,,,),(,,,),n n V V k =∈=∈∈x x x y y y αβR )则112212(,,,)(,,,).n n n x y x y x y k kx kx kx +=+++=αβα因为112212121212()()()()()0,()0,n n n n n n x y x y x y x x x y y y kx kx kx k x x x ++++++=+++++++=+++=+++=所以11,V k V +∈∈αβα,故1V 是向量空间.23. 试证：由123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===ααα,生成的向量空间恰为R 3.【证明】把123,,ααα排成矩阵A =(123,,ααα),则11020101011==-≠A ,所以123,,ααα线性无关，故123,,ααα是R 3的一个基，因而123,,ααα生成的向量空间恰为R 3.24. 求由向量1234(1,2,1,0),(1,1,1,2),(3,4,3,4),(1,1,2,1)====αααα所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵12345(,,,,)113141131411314214150121301213,113260001200012024140241400000=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ααααα∴124,,ααα是一组基，其维数是3维的.25. 设1212(1,1,0,0),(1,0,1,1),(2,1,3,3),(0,1,1,1)===-=--ααββ,证明:1212(,)(,)L L =ααββ.【解】因为矩阵1212(,,,)1120112010110131,0131000001310000=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A ααββ 由此知向量组12,αα与向量组12,ββ的秩都是2，并且向量组12,ββ可由向量组12,αα线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而12,αα也可由12,ββ线性表出.所以1212(,)(,)L L =ααββ.26. 在R 3中求一个向量γ，使它在下面两个基123123(1)(1,0,1),(1,0,0)(0,1,1)(2)(0,1,1),(1,1,0)(1,0,1)==-==-=-=αααβββ下有相同的坐标. 【解】设γ在两组基下的坐标均为(123,,x x x )，即111232123233112233(,,)(,,),110011001110101101x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦γαααβββ即1231210,111000x x x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求该齐次线性方程组得通解123,2,3x k x k x k ===- (k 为任意实数)故112233(,2,3).x x x k k k =++=-γεεε27. 验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)=-==ααα为R 3的一个基，并把1(5,0,7),=β2(9,8,13)=---β用这个基线性表示.【解】设12312(,,),(,),==A B αααββ又设11112123132121222323,x x x x x x =++=++βαααβααα,即11121212321223132(,)(,,),x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ββααα 记作 B =AX . 则2321231235912359()111080345170327130327131235910023032713010330022400112r r r r r r -+↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦A B 作初等行变换因有↔A E ,故123,,ααα为R 3的一个基，且1212323(,)(,,),3312⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ββααα即1123212323,332=+-=--βαααβααα.习题四1. 用消元法解下列方程组.(1) 12341241234123442362242322312338;x x x x ,x x x ,x x x x ,x x x x +-+=⎧⎪++=⎪⎨++-=⎪⎪++-=⎩ (2) 1231231232222524246;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【解】(1)412213223123(1)14236142362204211021()322313223112338123381423603215012920256214236012920321502562r r r r r r r r r r -⋅---⋅↔--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥−−−−→⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦A b 32434243324142360129200426100112614236142360129201292,0011260011260042610007425r r r r r r r +↔++-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦得12342343444236 292 126 7425x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩ 所以1234187,74211,74144,7425.74x x x x ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩(2)解②-①×2得 x 2-2x 3=0 ③-① 得2x 3=4 得同解方程组由⑥得 x 3=2, 由⑤得 x 2=2x 3=4,由④得 x 1=2-2x 3 -2x 2 = -10, 得 (x 1,x 2,x 3)T =(-10,4,2)T . 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)123123123 320 5 03580;x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ (2) 1234123412341234 5 0 2303 8 0 3970;x x x x ,x x x x ,x x x x ,x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩ (3)1234512341234 22702345 03568 0;x x x x x ,x x x x ,x x x x ++++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ (4) 123451234512345 222 0 2 320247 0.x x x x x ,x x x x x ,x x x x x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-++=⎩ 【解】(1)123123123320503580.x x x ,x x x ,x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 32213123132132132151021021358042000r r r r r r +--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A。

《线性代数》期末考试试卷B一、(30分)填空题(E 表示相应的单位矩阵).1. 设3阶矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式|A | = 3, 矩阵B = (α2, α3, α1), 则矩阵A − B 的行列式|A − B | =______.解: (法一) |A − B | = |α1−α2, α2−α3, α3−α1| = |α1, α2−α3, α3−α1| + |−α2, α2−α3, α3−α1|= |α1, α2−α3, α3| + |−α2, −α3, α3−α1| = |α1, α2, α3| + |−α2, −α3, −α1| = |α1, α2, α3| − |α2, α3, α1| = |α1, α2, α3| − |α1, α2, α3| = 0.(法二) A − B = (α1−α2, α2−α3, α3−α1) = (α1, α2, α3)101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠= AP ,其中P =101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, |P | =101110011−−−= 0, 故|A − B | = |AP | = |A ||P | = 0.2. 若矩阵A 满足A 2 = O , 则E +A 的逆矩阵(E +A )−1 = _______.解: A 2 = O ⇒ (E +A )(E −A ) = E 2 −A 2 = E ⇒ (E +A )−1 = E −A .3. 若向量组α1 = (1, t , 1), α2 = (1, 1, t ), α3 = (t , 1, 1)的秩为2, 则参数t 满足条件___________.解: 令A = (α1, α2, α3), 则秩(A ) = 秩(α1, α2, α3) = 2 ⇒111111tt t = |A | = 0 ⇒ (t +2)(t −1)2 = 0 ⇒ t = −2或1.当t = −2时, 秩(A ) = 2; 当t = 1时, 秩(A ) = 1. 故t = −2.4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1, 矩阵B = E −2A *, 其中A *是A 的伴随矩阵, 则B 的行列式|B |= _______.解: 3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1 ⇒存在P 使得P −1AP =100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠记为Λ, 而且|A | = 1×2×(−1) = −2.故P −1A −1P = (P −1AP )−1 = Λ−1 =10001/20001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 由A *A = |A |E 可得A * = |A |A −1 = −2A −1, 于是有|B | = |P |−1⋅|B |⋅|P | = |P −1|⋅|B |⋅|P | = |P −1BP | = |P −1(E −2A *)P | = |P −1EP −2P −1A *P | = |E − 2P −1A *P |= |E + 4P −1A −1P | = |E + 4Λ−1| =500030003−= −45.5. 若矩阵A =10022312x −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与矩阵B =03y ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似, 则(x , y ) =________.解: |A | = 2(1−x ), |B | = 0, tr(A ) = 1+x , tr(B ) = 3+y . 因为矩阵A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).由此可得x = 1, y = −1. (x , y ) = (1, −1). 6. 设(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量. 若A 不可逆,则A 的另一个特征值为______, 相应的一个特征向量为__________.解: 3阶矩阵A 有非零二重特征值而且A 不可逆 ⇒ A 的另一个特征值为0.设ξ为对应于0的特征向量, 则ξ与(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 正交, 即ξ为12130x x x x −=⎧⎨−=⎩的非零解向量. 由此可得A 的一个对应于0的特征向量为ξ = (1, 1, 1)T .7. 已知3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2, 并且α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量, 其中α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T , 则Ax = b 的通解是_______________.解: 3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2 ⇒ Ax = 0的基础解系中有且仅有1个解向量.α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量 ⇒ A (α2 + α3 − 2α1) = A α2 + A α3 − 2A α1 = b + b − 2b = 0. α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T ⇒ α2 + α3 − 2α1 = (0, 2, 4)T . 可见ξ = (0, 2, 4)T 是Ax = 0的基础解系,因而Ax = b 的通解是x = k (0, 2, 4)T + (1, 1, 1)T , 其中k 为任意实数. 8. 若4阶方阵A , B 的秩都等于1, 则矩阵A +B 的行列式|A +B | = ________.解: 4阶方阵A , B 的秩都等于1 ⇒ 秩(A +B ) ≤ 秩(A )+秩(B ) = 2 < 4 ⇒ |A +B | = 0. 9. 若矩阵A =211x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠与矩阵B =1221⎛⎞⎜⎟−⎝⎠合同, 则参数x 满足条件___________.解: 设λ1, λ2为A 的特征值, µ1, µ2为B 的特征值.µ1µ2 = |B | = −5 < 0 ⇒ µ1, µ2异号 ⇒ B 的秩为2, 正惯性指数为1.A 与B 合同 ⇒ A 的秩为2, 正惯性指数为1 ⇒ λ1, λ2异号 ⇒ 2x − 1 = |A | = λ1λ2 < 0 ⇒ x < 1/2.二、(10分)计算下述行列式的值: D =111+11111+11111111x x x x −−. 解: +1111+111111111111x x x x −−=1111+111111111111x x x −−+1111+11000111111x x x x−−=0000001111x x x−−+ x111+111111x x x −− =000000x x x −−+ x 111+111111x x x −−= x 3 + x 2111+00x x x x x −−= x 3 + x 22111+000x x x x x−= x 3 + (x 4 − x 3) = x 4. 三、(15分)设线性方程组1231231233032314x x x x x x x x x λµ++=⎧⎪++=−⎨⎪−++=⎩. 问: 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有唯一解? 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有无穷多组解? 当线性方程组有无穷多组解时, 求出其通解.解: 该方程组的增广矩阵(A , b ) =1310(3)1323114λµ×−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→13100701071λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+⎝⎠→131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠. (1) 当λ ≠ −1, µ为任意实数时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 3, 此时线性方程组有唯一解.(2) 当λ = −1, µ = 1时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 2 < 3, 此时线性方程组有无穷多组解,131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠=1713100701()0000⎛⎞⎜⎟−−×−⎜⎟⎝⎠→171310010(3)0000⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎝⎠→37171010100000−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠由此可得3137127x x x +=−⎧⎨=⎩, 即3137127x x x =−−⎧⎨=⎩. 故通解为x = k (−1, 0, 1)T + (−37,17, 0)T , 其中k 为任意实数.四、(12分)设矩阵A =101012001⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, C =103101⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, 矩阵X 满足A −1X = A *C + 2X , 其中A *是A 的伴随矩阵,求X .解: |A | = −1, 在A −1X = A *C + 2X 两边同时左乘以A 得X = −C + 2AX . 故(E −2A )X = −C .(E −2A , −C ) =10210(1)0343100101(1)−−−×−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟−−×−⎝⎠→1021003431001014(2)⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟××−⎝⎠→13100120303500101−⎛⎞⎜⎟−×⎜⎟⎝⎠→5312100010100101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可得X =5312101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 五、(10分)已知向量组η1, η2, η3线性无关, 问: 参数a , b , c 满足什么条件时, 向量组a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1线性相关?解: (a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) = (η1, η2, η3)011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 令P =011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则|P | = abc + 1. 由条件可知:a η1+η2,b η2+η3,c η3+η1线性相关 ⇔ 秩(a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) < 3 ⇔ 秩(P ) < 3 ⇔ |P | = 0 ⇔ abc = −1. 六、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + 2x 22 + x 32 − 2x 1x 3.1. 写出二次型f 的矩阵;2. 求一正交变换x = Qy , 将f 变成其标准形(并写出f 的相应的标准形)；3. 求当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3)的最大值.解: 1. 二次型f 的矩阵A =101020101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.2. |λE −A | =101020101λλλ−−−= (λ−2)2λ, 可见A 的特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 0.解(2E −A )x = 0得对应于λ1 = λ2 = 2的两个正交的特征向量ξ1 = (1, 0, −1)T , ξ2 = (0, 1, 0)T ,解(0E −A )x = 0得对应于λ3 = 0的一个特征向量ξ3 = (1, 0, 1)T .令Q = (11||||ξξ,22||||ξξ,33||||ξξ) =1/00101/0⎛⎜⎜⎜−⎝, 则正交变换x = Qy 将f 变成标准形2y 12 + 2y 22.3. x T x = 1 ⇔ (Qy )T (Qy ) = 1 ⇔ y T Q T Qy = 1 ⇔ y T y = 1 ⇔ y 12 + y 22 + y 32 = 1, 此时y 12 + y 22 ≤ 1. 故当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3) = 2y 12 + 2y 22的最大值为2.七、(8分)证明题.1. 设向量组α1, α2, α3, α4中, α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, 证明: α1能由α2, α3, α4线性表示. 证明: 因为α1, α2, α3线性相关, 所以α1, α2, α3, α4线性相关.又因为α2, α3, α4线性无关, 所以α1能由α2, α3, α4线性表示.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: 矩阵A +A −1−E 也是正定矩阵.证明: 设λ1, …, λn 为A 的特征值, Λ =1n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠O . A 是n 阶正定矩阵 ⇒ 存在可逆矩阵P 使得P −1AP = Λ, 其中λ1, …, λn > 0⇒ P −1(A +A −1−E )P = P −1AP + P −1A −1P − P −1EP = Λ + Λ−1 − E =111111n n λλλλ+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠O, 其中 λ1+11λ−1, …, λn +1n λ−1> 0 ⇒ A +A −1−E 也是正定矩阵.。

ｎ+1阶行列式计算：（共20分，每小题10分）
（1）
（2）
二、假设为阶矩阵，且可逆，其中为阶单位阵，证明：也可逆，
并求(14分)
三、设，
（1）求正交阵使得是对角阵；
（2）计算。

（共14分）
四、设有两个方程组：
（I）
(II)
(1)求出方程组（I）导出的齐次方程组的基础解系，并求出方程组（I）的通解；
（2）假设方程组（I）与方程组（II）同解，求出。

（20分）
五、设是数域上的维线性空间，是空间上的线性变换，在数域上有个不同的特征值，证明：（1）的特征向量都是的特征向量的充要条件是；
（2）若，则是的线性表示，其中表示上的恒等变换。

（20分）
六、设实二次型
，
其中是的一次齐次式，
证明：的正惯性指数，负惯性指数。

(12分)。

线性代数课后习题答案习题一1、2、3(答案略)4、 (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数故所求为127485639(2) ∵(397281564)25119τ=+++= (奇数) ∴所求为3972815645、(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数)∴项前的符号位()611-=+ (正号)(2)∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+=∴ 项前的符号位5(1)1-=- (负号) 6、 (1) (2341)(1)12n n τ-⋅L L 原式=(1)(1)!n n -=- (2)()((1)(2)21)1(1)(2)21n n n n n n τ--⋅⋅---⋅⋅L L 原式=(1)(2)2(1)!n n n --=-(3)原式=((1)21)12(1)1(1)n n n n n a a a τ-⋅--L L (1)212(1)1(1)n n n n n a a a --=-L7、8(答案略)9、 ∵162019(42)0D x =⨯-⨯+⨯--⨯=∴7x =10、 (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得[]11(1)111001(1)1110(1)11(1)111x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L LL L L L L L L L L L L L L L L L LLL[]1(1)(1)n x n x -=+--(2)按第一列展开: 11100000(1)(1)0n n n n n y xy D x x yx y xy-++=⋅+-=+-L L L L L L L L(3)1231134114512(1)2113211221n n n n n D n n n n n -+=----L L L LL L L L L L L 12310111101111(1)20111101111n n n n n n n n ---+=--L L L LL L L L L L L11111111(1)211111111n n n n n n--+=--L L LL L L L L L(2)(3)2111111111(1)(1)211111111n n nn n n n n-+-+++--+=⨯---L L L L L L L L L L(1)(2)211111111(1)(1)211111111n n n n n n n-----+=-⋅----L L LL L L L L L (1)(2)(1)1221100(1)(1)(1)221001n n n n n n n n n n n n n-------++=-⋅=-⋅----LLL L LL L LL习题二1、2、3、4、5(答案略) 6、 设 11122122xx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B 为与A 可交换的矩阵,则有=AB BA即 111211122122************x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解之得 11122122,,,x a x b x b x a ==== 7、 (1)112233*********x y x y x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 记为X =AY11223111101y z y z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,记为Y =BZ(2)()()X =A BZ =AB Z 即 11223325013x z x z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 8(答案略)9、2345()32181010341f -⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭A A A E10、(1)2222()()+-=+--=-A B A B A BA AB B A B(2) 2()()()+=++A B A B A B22=+++A BA AB B=222++A AB B11、 ∵21,()2==+A A A B E∴ 222,44=-=-+=B A E B A A E E 反之 若 2=B E ,则 244-=A A O ,即 2=A A12、 (1) 设2(),()ij ij a b ==A A ∵T =A A ∴ij ji a a =又∵ 2=A O ∴0ii b =又 1122ij i j i j in nj b a a a a a a =+++L 22212i i in a a a =+++L (,1,2,,)i j n =L当 1,2,,i j n ==L 时,有1112121222120,0,0n n n n nn a a a a a a a a a ============L L L∴ 0A =(2)设 ()ij a =A ,()T ij b =AA 则1122ij i j i j in jn b a a a a a a =+++L∵ 0T =A A ∴ 0(,1,2,,)ij b i j n ==L 当 i j = 时,有 222120(1,2,,)i i in a a a i n +++==L L 故 120(1,2,,)i i in a a a i n =====L L 即 0=A 13、(1) ∵ ()T T T =A A A A ∴T A A 为对称矩阵同理 T AA 也为对称矩阵(2) ∵ ()T T T T +=+=+A A A A A A ∴ T +A A 为对称矩阵又 ∵()()T T T T -=-=--A A A A A A ∴ T -A A 为反对称矩阵(3)∵111()()()222T T T T =++-=++-A A A A A A A A A由(2)知,1()2T +A A 为对称矩阵,1()2T -A A 为反对称矩阵故 A 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的与。

复旦大学考试试卷2018——2019学年第二学期时间：100分钟《线性代数》课程32学时2学分考试形式：闭卷总分：100分一、填空题（每小题3分，共15分）1、设2()3f x x =-，矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 4 0 1A ，则)(A f =.2、设B A ,为n 阶矩阵，如果有n 阶可逆矩阵P ，使成立，则称A 与B 相似．3、n 元非齐次线性方程组m n A x b ⨯=有唯一解的充分必要条件是.4、已知二次型()323121232221321662355,,x x x x x x x x x x x x f -+-++=，则二次型f 对应的矩阵A =.5、设4阶方阵A 满足：0,30,2T A E A AA E <+==(其中E 是单位矩阵)，则A 的伴随矩阵*A 必有一个特征值为.二、选择题（每小题3分，共15分）1、已知4阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且A 的行列式A =3，则*A =（）.（A ）81.（B ）27.（C ）12.（D ）9.2、设A 、B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，并且A 、B 都有n 个线性无关的特征向量，则（）。

（A ）A 与B 相似.（B ）A =B .（C ）B A ≠，但0||=-B A .（D ）A 与B 不一定相似，但||||B A =.3、设n 阶方阵A 为正定矩阵，下面结论不正确的是（）.（A ）A 可逆.（B ）1-A 也是正定矩阵.（C ）0||>A .（D ）A 的所有元素全为正.4、若n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位阵，则（）.（A ）()()R A R A E n +->.（B ）()()R A R A E n +-<.（C ）()()R A R A E n +-=.（D ）无法比较()()R A R A E n +-与的大小.5、设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（）.（A ）123ααα，，.（B ）124ααα，，.（C ）134ααα，，.（D ）234ααα，，.三（本题满分10分）计算n （2n ≥）阶行列式n xa a a x a D aax=，n D 的主对角线上的元素都为x ，其余位置元素都为a ，且x a ≠.四（本题满分10分）设3阶矩阵,A B 满足关系：1100216,041007A BA A BA A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭且,求矩阵B .五（本题满分10分）设方阵A 满足220A A E --=(其中E 是单位矩阵)，求11,(2)A A E --+.六（本题满分12分）已知向量组A ：11412α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22131α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，31541α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，43670α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，（1）求向量组A 的秩；（2）求向量组A 的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表示.七（本题满分14分）设矩阵11111A ααββ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵000010002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似，（1）求,αβ；（2）求正交矩阵P ,使1P AP B -=.八（本题满分14分）设有线性方程组为23112131231222322313233323142434x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩（1）证明：若1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，则此方程组无解.（2）设13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠），且已知1β，2β是该方程组的两个解，其中1(1, 1, 1)T β=-，2(1, 1, 1)T β=-，写出此方程组的通解.参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、-2 08 6⎛⎫ ⎪⎝⎭；2、1P AP B -=；3、()(,)R A R A b n ==；4、513153333-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭；5、43二、选择题（每小题3分，共15分）BADCC三（本题满分10分，见教材P44习题第5题）解：后面1n -列都加到第1列，得(1)(1)(1)n x n a a a x n ax aD x n a a x+-+-=+-xaa x a a a n x a n x c111])1([])1([1-+===-+÷])1([)(0101001])1([1)()()(1223a n x a x ax ax a n x n c a c c a c c a c nn -+-=---+====--+-+-+.四、（本题满分10分，与典型题解P172例6类似）解：111121166()6416327161B A E ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=-==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.五、（本题满分10分，见练习册P118第五大题第1小题和典型题解P173例7）解：212022A E A EA A E A E A -----=⇒=⇒=.22212112()202(2)()(4A E A A E A E A A E A A ------=⇒+=⇒+===）或34E A-六、（本题满分12分，见教材P89习题3第2题，或典型题解P178例6）解：1213101141560112134700002110000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，12()2,,R A αα=为所求的一个最大线性无关组，且312412,2αααααα=-+=-+.七、（本题满分14分，见典型题解P190例14）解：（1）由,A B 相似知，,A B 有相同的特征值，而B 的特征值为0,1，2，故得A 的特征值为1230,1,2λλλ===，从而有0010E A E A ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩，由此解得0α=，β=0.（2）对于10λ=，解()00E A X ⋅-=，得特征向量101-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210211p ；对于21λ=，解()0E A X -=，得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101p ；对于32λ=，解()20E A X -=，得特征向量为101⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，单位化得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p 令()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，则P 为正交阵，且使1P AP B -=.八、（本题满分14分，见教材P87例3.13）解：（1）增广矩阵B 的行列式是4阶范德蒙行列式：231112322223143332344411||()11ji i j a a a a a a B aa a a a a aa≤<≤==-∏由于1a ，2a ，3a ，4a 两两不等，知||0B ≠，从而()4R B =，但系数矩阵A 的秩()3R A ≤，故()()R A R B ≠，因此方程组无解.（2）13a a k ==，24a a k ==-（0k ≠）时，方程组变为23123231232312323123x kx k x k x kx k x k x kx k x k x kx k x k⎧++=⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-+=-⎩即2312323123x kx k x k x kx k x k⎧++=⎨-+=-⎩因为1201kk k=-≠-，故()()2R A R B ==，所以方程组有解，且对应的齐次方程组的基础解系含3-2=1个解向量，又1β，2β是原非齐次方程组的两个解，故21(2, 0, 2)T ξββ=-=-是对应齐次方程组的解；由于0ξ≠，故ξ是它的基础解系。

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

共 4 页 第 1 页课程名称 线性代数A 考试学期 16-17得 分适用专业 非电类专业 考试形式 闭 卷 考试时间长度 120分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 得分一. （30%）填空题1. 设21α⎛⎫=⎪-⎝⎭, 12β⎛⎫= ⎪⎝⎭, TA αβ=, 则10A = . 2. 设,,ABC 均为n 阶方阵, ||1A =, ||2B =, ||3C =, 则A BO C= .3. 设T1(1,2,1)α=, T2(0,2,3)α=, T3(1,4,)t α=, 若由123,,ααα生成的向量空间123(,,)L ααα的维数是2, 则t = .4. 设12,αα是向量空间V 的一组基, 11βα=, 212βαα=+. 若向量V η∈在12,αα下的坐标是12⎛⎫⎪⎝⎭, 则η在12,ββ下的坐标是 .5. 设矩阵122A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 若存在矩阵B O ≠使得AB O =, 则a = .6. 设A 是n 阶方阵, 向量,αβ是非齐次线性方程组()E A x b λ-=的两个不同的解,则A 的属于特征值λ的一个特征向量为 .7. 已知矩阵20000A a b c d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵10000003B t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似, 则||A = .8. 若实二次型22212311223(,,)224f x x x x tx x x x =+++正定, 则t 的取值范围是 .9. 设三阶矩阵A 的特征值为1,2,3, ij A 是行列式||A 中元素ij a 的代数余子式, 则1112233||()A A A A -++= .10. 下列4个命题中, 正确命题的个数是 个:①若123,,ααα线性无关, 则122331,,αααααα+++线性无关;②无论123,,ααα是否线性相关, 向量组122331,,αααααα---总线性相关; ③若123,,ααα中任意两个向量都线性无关, 则123,,ααα线性无关; ④若123,,ααα线性相关, 则其中任一向量可由其余两个向量线性表示.学号 姓名密封 线复旦大学期末考试卷（A 卷）二. （10%）计算行列式2017360351142215 D=-.三. （14%）已知方程组1231231232302350x x xx x xx x ax++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与1231232(1)0x bx cxbx x c x++=⎧⎨+++=⎩同解,1.求参数,,a b c的值;2.求方程组的通解.共 4 页第 2 页四. （12%）设矩阵300022013A⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,111002011B⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭, 且2XA B X-=, 求X.五. （14%）设122001010A-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,10001001Bk⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭,1.求A的所有特征值和特征向量;2.根据参数k的取值, 判断矩阵A, B是否相似. 若相似, 求可逆矩阵P, 使得1P AP B-=; 若不相似, 说明理由.共 4 页第 3 页共 4 页 第 4 页六. （12%）设T ()f x x Ax =, 其中A 是三阶实对称矩阵, A 不可逆, 并且A 的属于特征值2λ=的特征向量有T 1(0,1,0)α=, T 2(1,1,1)α=,1. 求二次型()f x 的表达式;2. 用正交变换将二次型f 化为标准形, 并写出所用的正交变换.七. （8%）证明题:1. 设T 123(,,)i i i i a a a α=, 1,2i =, 且12,αα线性无关. 向量β是齐次线性方程组1111221332112222330a x a x a x a x a x a x ++=⎧⎨++=⎩的非零解, 证明12,,ααβ线性无关.2. 设A 是可逆实对称矩阵, 证明对任意自然数N , 21Nk k NA +=-∑与A 合同.。

（装订线内不要答题）复旦大学计算机科学技术学院2009-2010学年《线性代数》期终考试试卷一、ｎ阶行列式计算：（共20分，每小题10分）（1）nnnnnnnbababababababababaA+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=111111111212221212111（2）nnnnnnnnnyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxB-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---=321333231323222121312111二、假设A 为n 阶方阵，{}n diag D λλλλ,,,,321⋅⋅⋅=是n 阶对角阵，其中n λλλλ,,,321⋅⋅⋅两两不相等，且DA AD =，证明:A 必为对角阵。

(10分)三、假设n 阶方阵A 满足：0))((=++n n bI A aI A ，其中n I b a ,≠是n 阶单位阵，证明：（1）n bI A r aI A r n n =+++)()(；（2）方阵A 必相似于一对角阵。

（共10分）（装订线内不要答题）四、讨论参数βα,的值，解下列方程组。

何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321xxxxxxxxxββα（12分）五、设向量),0,1,1,0(),1,0,2,1(),1,1,1,1(),1,0,0,1(),1,0,1,1(21321==-===ββααα请分别求),(),,(21321ββαααLL+和),(),,(21321ββαααLL⋂的维数及一个基。

（12分）六、设向量),,,(;,,2,1),,,,(2121n in i i i b b b m i a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=βα，而且齐次方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的解都是02211=+⋅⋅⋅++n n x b x b x b 的解，证明：向量β可以由m ααα,,,21⋅⋅⋅线性表示。

复旦大学考试试卷A2017~2018学年二学期线性代数课程时间110分钟32学时，2学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70%18年月日班级姓名学号成绩一、填空题（每小题3分，共18分）1、A 是三阶方阵，且|A|＝6，则|(3A)-1|＝。

2、若n 阶方阵满足A 2＝A ＋E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则A ＋E 可逆，且(A ＋E)-1＝。

3、已知向量组, )1 1,- 2, ,1(1'=α )0 k, 0, ,2( 2'=α， , )2- 5, 4,- 0,(3'=α若矩阵A ＝(α1α2α3)的秩为3，则k ＝。

4、齐次线性方程组A 5×7X ＝O 的基础解系中含有两个线性无关的解，那么方程组中非自由未知量有个。

5、在三维向量空间R 3中，由自然基ε1，ε2，ε3，到基)1 ,1- ,1(,)0 ,1 ,0( ,)1 ,2 ,1(321'='='=ηηη的过渡矩阵Q ＝6、设α是n 阶实对称矩阵A 对应于λ的特征向量，则矩阵(P -1AP)’对应于特征值λ的特征向量为。

二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、a 32a 2r a 14a 51a 4s 是五阶行列式展开式的一项，则对r ，s 的取值，及该项的符号，正确的选择是（）。

(A)r ＝3，s ＝5，符号为+；(B)r ＝3，s ＝5，符号为-；(C)r ＝3，s ＝2，符号为+；(D)r ＝5，s ＝3，符号为-。

2、A 为任意n (n≥3)阶方阵，则kA 的伴随矩阵(kA)*＝（）。

(A)kA *(B)k n-1A *(C)k n A *(D)k -1A *3、A 、B 是同阶方阵，则下列叙述正确的是（B ）。

(A)若A 、B 可逆，则A+B 可逆；(B)若A、B 可逆，则A B 可逆；(C)A+B 可逆，则A-B 可逆；(D)A+B 可逆，则A 、B 均可逆。

4、设A 为n 阶方阵，则|A|=0的必要条件是（）。

第一章3.如果排列n x x x 21是奇排列,则排列11x x x n n 的奇偶性如何？解：排列11x x x n n 可以通过对排列n x x x 21经过(1)(1)(2)212n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列11x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列11x x x n n 为偶排列。

4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13a 且带负号的项.解：含元素13a 的乘积项共有13223144(1)t a a a a ，13223441(1)t a a a a ，13213244(1)ta a a a ，13213442(1)t a a a a ，13243241(1)t a a a a ，13243142(1)t a a a a 六项，各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ，(3241)4t ，(3124)2t ，(3142)3t ，(3421)5t ，(3412)4t ， 故所求为132231441a a a a ，132134421a a a a ，132432411a a a a 。

5.按照行列式的定义,求行列式nn 000010200100的值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有1,12,21,1(1)tn n n nn a a a a L ，其中(1)(2)[(1)(2)21]2n n t n n nL ，故行列式的值等于：6. 根据行列式定义,分别写出行列式xx x x x 111123111212 的展开式中含4x 的项和含3x 的项.解：展开式含4x 的乘积项为0411223344(1)(1)22t a a a a x x x x x 含3x 的乘积项为1312213344(1)(1)1t a a a a x x x x8. 利用行列式的性质计算下列行列式：解： (1) 4113112342112341111111141023412341012110310()3412341201212412341230321r r r r r r r r r r r4243321111111130121012110101011(4)(4)1600040004100440004r r r r r r (2) 26052321121314121231211241124113210562202132035005620562c c r r r r （第二行与第四行相同）(3)22231132222221111111222202221110a ab b r a r a a b b r r a a b b b a b a r ar a ab b ab a b a (4)3421211110011001111111111111111000011111111111111xx x r r x x x x r r x x x xx x9.若540030087654321x =0,求.x解：12341500567826001544(512)003374263500454835x x x x 转置 即有：124(512)05x x11. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式： 解： (2)221221(1)[(1)](1)(1)a a D aD aD a a D a a D ，其中：2221(1)111a a D a a a a a，111D a a .带入上式即可。

线性代数（复旦大学出版社周勇）课后习题答案（三）第三章课后答案1、略2、略3、略4、)1,0,1()1,1,0()0,1,1(21-=-=-αα)2,1,0()0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(323321=-+=-+ααα5、)523(61)(5)(2)(3321321αααααααααα-+=→+=++-6、设存在一组数r k k k ,,,21 使得)()()()(02212121212112211=++++++++=+++++++==+++r r r r r r r r k k k k k k k k k k k k αααααααααβββ因r ααα ,,21线性无关，有==++=+++000221r r r k k k k k k 即021====r k k k ，所以r βββ ,,21线性无关。

7、设存在一组数4321,,,k k k k 使得044332211=+++ββββk k k k 有0)()()()(443332221141=+++++++ααααk k k k k k k k 因000000004332214=k k k k k k k k ，且不全为0，所以4321,,,ββββ线性相关。

8、讨论向量组相关性。

（本题的特点是向量组的个数等于向量的维数，其判断法是求向量组成的行列式值是否为0）（1）0520520111631520111321===ααα，相关（2）02100020011321≠==ααα，无关9、由向量组组成的行列式为 12021011131321111321-==t t ααα （1）如果,5,41=→=-t t 行列式等于0，向量组线性相关，（2）如果,5,41≠→≠-t t 行列式不等于0，向量组线性无关，（3）当5=t 时，向量组相关，设22113αααk k +=即=-=??+????? ??=????? ??213211115312121k k k k10、用矩阵的秩判别向量组的相关性（方法是求由向量组构成的矩阵的秩r 与向量组个数关系）（1）()---→??????? ??----??→---==--015026014010515626414010412420311113213321c c c c A ααα所以 2)(=A R ，相关。

一、填空与选择题: 〖每小题5分，共计20分〗1.设A 为5阶方阵且A =-||2，则-+A A 1*|(13)12|= . 2.设η1,η2,η3是四元非齐次线性方程组=Ax b 的三个解向量,且R A =()3, η1=(1,1,0,1)T ,η2+η3=(1,1,-1,1)T ,则=Ax b 的通解为 .3.若n 阶可逆阵A 有非零特征值a ,则21-+A E 有一特征值为 .4.设矩阵A x 12422421=------⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥与B y 50000004=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥相似,则x = ,y = .二、选择题：〖每小题5分，共计20分〗1.设矩阵,A B 相似，则必有 【 】(A),A B 有相同的特征向量 (B)=R A R B ()()且=A B ||||(C),A B 均与同一个对角阵相似 (D)-=-λλA E B E2.设,,A B C 为同阶方阵且=ABC E ,则 【 】(A)=ACB E (B)=CBA E (C)=CAB E (D)=BAC E3.向量组 12,,,αααs 线性相关的充要条件 【 】(A) 12,,,αααs 中有一个零向量 (B) 12,,,αααs 中任意两个向量的分量成比例(C) 12,,,αααs 中有一个向量是其余向量的线性组合(D) 12,,,αααs 中任一向量都是其余向量的线性组合4.设矩阵⨯A m n 的秩()=<R A m n ,B 为n 阶方阵，则 【 】(A)A 的任意一个m 阶子式不等于零 (B)当()=R B m 时，必有()=R AB m(C)A 的任意m 个列向量均线性无关(D)TA A =||0三、解答题：〖每小题8分，共计16分〗1.计算行列式---10011240023530042.设A =200200132-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B 113432=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪,且满足=+XA X B ,求X2016级《线性代数 I 》 期末考试卷（B ）四、〖本题12分〗设ααααα123451124,0312,30714,1220,13310=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪, (1)求此向量组的秩;(2)求此向量组的一个最大无关组,并将其余向量用该最大无关组线性表示.五、〖本题13分〗当λ为何值时,线性方程组：x x x x x x x x x 421231232123λλλλ++=-++=-+=-⎧⎨⎪⎩⎪有唯一解、无解、有无穷多解? 并在有无穷多解时,求出其通解. 六、〖本题13分〗设p 122=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是矩阵10201222A a =-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪的一个特征向量,试确定常数a ,并求一个正交矩阵P 和对角阵Λ,使T P AP =Λ.七、〖本题6分〗设向量组 12,,,b b b r 能由线性无关向量组 12,,,a a a s 线性表示为 b b b r 12(,,,)= 12(,,,)⨯a a a K s s r ，试证： 12,,,b b b r 线性无关的充要条件是()⨯=s r R K r .答案：一、填空题1、-16 2、+(1,1,1,1)(1,1,0,1)k T T 3、a+21 4、x y ==4,5 二、选择题 B,C,C,D三、1、98 2X B A E =--()1=113432-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪100210531--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=18103832⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪ 四、向量组ααααα,,,,12345的秩为3; 最大无关组为ααα,,124; =+ααα3312,=+-αααα25124五、当λ≠-1且λ≠4 时,|A |≠0,方程组有唯一解 当λ=-1 时, R(A)=2≠R(B)=3,方程组无解;当λ=4时, R(A)=R(B)=2<3, 方程组有无穷多解.通解为 ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪123311040,x x x c c 为任意常数六、a λ==0,3所求正交矩阵 =P p p p 123(,,)=2/32/31/32/31/32/31/32/32/3--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ T P AP Λ033==-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪证：必要性：若 12,,,b b b r 线性无关，则 12(,,,)=r R b b b r . 因为 b b b r 12(,,,)= 12(,,,)⨯a a a K s s r , 所以 R K s r ()⨯≥ R b b b r 12(,,,)=r ， 又 ()⨯≤s r R K r ，故 ()⨯=s r R K r .充分性：设有= 1(,,)x x x r T，使得 12(,,,)=r b b b x o ， 即 12(,,,)⨯=s s r a a a K x o ，因为 12,,,a a a s 线性无关，所以 ⨯=s r K x o ， 而 ()⨯=s r R K r ，于是=x o ，故 12,,,b b b r 线性无关。

装订线内不要答题复旦大学计算机科学技术学院《线性代数》期终考试试卷一、ｎ+1阶行列式计算：（共20分，每小题10分）（1）（2）xnxxAn-×××××××××××××××××××××-×××-×××=111121111111111xaaaaxaaaaxaaaaaBnnnn×××××××××××××××××××××××××××=211221二、假设为阶矩阵，且可逆，其中为阶单位阵，证明： 也可逆，并求 (14分)三、设， （1）求正交阵使得是对角阵； （2）计算。

（共14分）B A ,n AB I n +n I n BA I n +1)(-+BA I n =A úúúûùêêêëé101020101Q AQ Q T2000A装订线内不要答题 四、设有两个方程组：（I）(II)(1)求出方程组（I）导出的齐次方程组的基础解系，并求出方程组（I）的通解；（2）假设方程组（I）与方程组（II）同解，求出。

（20分）五、设是数域上的维线性空间，是空间上的线性变换，在数域上有个不同的特征值，证明：（1）的特征向量都是的特征向量的充要条件是；（2）若，则是的线性表示，其中表示上的恒等变换。