高等数学上复旦大学出版习题1答案

283高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六 无穷数级 答案详解1．写出下列级数的一般项： (1)1111357++++ ；(2)22242462468x x x x x ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ；(3)35793579a a a a -+-+ ；解：(1)121n U n =-； (2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑；(2)()1221n n n n ∞=+-++∑；(3)23111555+++ ； 解：(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭284从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ⎛-+-= +++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-=⎪++++⎝⎭因此()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()121x x +(2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()()()()()()324332215443211211211221n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++所以lim 12n n S →∞=-，即级数的和为12-． (3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ 从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ()11n n n ∞=+-∑；(2)()()11111661111165451n n +++++⋅⋅⋅-+ ； (3) ()23133222213333n n n --+-++- ；285(4)311115555n +++++ ； 解：(1) ()()()3212111n S n n n =+++-+--=+-从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散． (2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++-⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵15n n U =，而lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． 4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1) ()111n n n +∞=-∑；(2)1cos 2nn nx∞=∑； (3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑． 解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n p n n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，286()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n++++++<<+ ， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n pU U U ε++++++< 成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛． (2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n p n n n p n n n p n p n p nU U U x n p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P都有12n n n p U U U ε++++++< 成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛． (3)取P =n ，则287()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+> 从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++> ，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)()()111465735n n ++++⋅⋅++ ；(2)22212131112131nn +++++++++++ (3)1πsin 3n n ∞=∑；(4) 3112n n∞=+∑；(5)()1101nn a a∞=>+∑；(6)()1121nn ∞=-∑．解：(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛． (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=288而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛．(4)∵33321112n U nnn=<=+ 而3121n n∞=∑收敛，故3112n n∞=+∑收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111nn a∞=+∑也收敛． 当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散． 当0<a <1时，1lim lim 101n n n n U a →∞→∞==≠+，级数发散． 综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021limln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n∞=∑发散，由比较审敛法知()1121nn ∞=-∑发散．6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 213n n n ∞=∑；(2)1!31nn n ∞=+∑； (3)232333*********nn n +++++⋅⋅⋅⋅ ； (1) 12!n n n n n ∞=⋅∑解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<， 由比值审敛法知，级数收敛．289(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n n n n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1531nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑；(2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑；(3) 21131n n n n -∞=⎛⎫⎪-⎝⎭∑；(4) 1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim lim 1313n n n n n U n →∞→∞==>+， 故原级数发散．(2) ()1lim lim 01ln 1n n n n U n →∞→∞==<+，290故原级数收敛．(3)121lim lim 1931nn nn n n U n -→∞→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭， 故原级数收敛．(4) limlim nn n n n nb b b a a a →∞→∞⎛⎫== ⎪⎝⎭， 当b <a 时，ba <1，原级数收敛；当b >a 时，b a>1，原级数发散；当b =a 时，b a=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1111234-+-+ ；(2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+ ；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑； (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑ ． 解：(1)()111n n U n -=-，级数1n n U ∞=∑是交错级数，且满足111n n >+，1lim 0n n →∞=，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121n n n U n∞∞===∑∑是P <1的P级数，所以1n n U ∞=∑发散，故原级数条件收敛．(2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim 0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++291所以，1n n U ∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n n U -=-⋅民，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，故1n n U ∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+． 故可得1n n U U +>，得lim0n n U →∞≠， ∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散． (5)当α>1时，由级数11n nα∞=∑收敛得原级数绝对收敛． 当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim 0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim0n n U →∞≠，所以原级数发散． (6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n∞=∑发散，由此较审敛法知级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑ 发散． 记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭ ，则292()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x→+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑ 收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1) ()1!1nn x n ∞=-∑，x ∈[-3,3]； (2) 21nn x n ∞=∑，x ∈[0,1]；(3) 1sin 3n n nx∞=∑，x ∈(-∞,+∞)； (4)1!nxn e n -∞=∑，|x |<5； (5)3521cos n nxn x∞=+∑，x ∈(-∞,+∞)解：(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--，x ∈[-3,3]，而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．(2)∵221nx n n≤，x ∈[0,1]，293而211n n∞=∑收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛． (3)∵1sin 33n n nx ≤，x ∈(-∞,+∞)，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛． (4)因为5!!nnx ee n n -≤，x ∈(-5,5)， 由比值审敛法可知51!nn e n ∞=∑收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)∵53523cos 1nxn xn≤+，x ∈(-∞,+∞)，而5131n n∞=∑是收敛的P -级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n ．都有|U n (x )|≤V n (x )，则当()1n n V x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时，级数()1n n U x ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由()1n n V x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知， ∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，于是，∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，因此，级数()1n n U x ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛，由x 的任意性和与x 的无关294性，可知()1n n U x ∞=∑在Ⅰ上一致收敛．11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…； (2)1!nn x n n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112nn x n n∞=-⋅∑； 解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11n n n ∞=-∑，由lim(1)0n x nn →-≠知级数1(1)nn n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e nn n n n∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-<⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故295收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n na n na n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112n n n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2] 12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数： (1)21n n nx∞+=∑；(2) 22021n n x n +∞=+∑；解：(1)由()321lim n n n x n x nx++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx ∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记 ()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S n xx ∞-==∑296则()1011xn n x S x x x∞===-∑⎰ 于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()21211n n S x x x∞='==-∑， 故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x+==<-13．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f (x )=ln(2+x )； (2)f (x )=cos 2x ； (3)f (x )=(1+x )ln(1+x )； (4)()221x f x x=+；(5)()23xf x x=+； (6)()()1e e 2x x f x -=-； (7)f (x )=e x cos x ；(8)()()212f x x =-．解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111n nn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2)297因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2) (2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x )=(1+x )ln(1+x ) 由()()()10ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()2222111x f x x xx==⋅++由于()()()2211!!2111!!21n n n n x n x∞=-=+-+∑ (-1≤x ≤1)298故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1) (5)()()()()2202111313133133nn n n nn n xf x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e !n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为e cos x x 为()()1e cos sin x x i e x i x +=+的实部， 而()()[]()10002011!1!ππ2cos sin !44ππ2cos sin !44nxi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑299取上式的实部．得2π2cos4cos !n xn n n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑ (|x |<2) 14．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数．解：21113212x x x x =-++++而()()()0101113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑300所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15．将函数()3f x x =展开成(x -1)的幂级数． 解：因为()()()()()2111111!2!m nmm mm m m x xx x n---+=++++++-<<所以()()[]()()()33221133333331121222222211111!2!!n f x x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1) 即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!n nnnn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑ 16．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1)ln3（误差不超过0.0001）； (2)cos20（误差不超过0.0001）解：(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1)令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，301故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+ 故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯． 因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17．利用被积函数的幂级数展开式，求定积分0.5arctan d xx x⎰（误差不超过0.001）的近似值．302解：由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+ ，（-1≤x ≤1） 故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x x x n x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰ 而3110.013992⋅≈，5110.0013252⋅≈，7110.0002492⋅≈． 因此0.535arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰ 18．判别下列级数的敛散性：(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑；(2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； (3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．解：(1)∵122111n nnnnn nn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而()22211221lim lim 10111nnn n n n nn n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散，由比较审敛法知原级数发散． (2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫⎪⎝⎭<≤ 由比值审敛法知级数12n n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知，原级数21cos 32nn nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑303收敛． (3)∵()()ln ln 220313nnn n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=< 知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛，由比较审敛法知，原级数()1ln 213n n n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛． 19．若2lim n nn U →∞存在，证明：级数1n n U ∞=∑收敛． 证：∵2lim n n n U →∞存在，∴∃M >0，使|n 2U n |≤M ， 即n 2|U n |≤M ，|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛，故1n n U ∞=∑绝对收敛． 20．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛． 证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21n n U ∞=∑收敛，211n n∞=∑收敛，知 22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n∞=∑收敛， 因而1nn U n∞=∑绝对收敛．30421．若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都绝对收敛，则函数项级数()1cos sin n n n a nx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．证：U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ，∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n n U a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都绝对收敛，故级数()1n n n a b ∞=+∑收敛．由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数()1cos sin n n n a nx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1) 1311nn n n x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑；(2)()1πsin12nnn x ∞=+∑； (3) ()2112nn n x n ∞=-⋅∑解：(1)()111lim 1331lim 3123311311lim lim lim 22313e e 3n n nn nn nnn n n a a n n n n n n n n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-=+⎛⎫⎛⎫++=⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎛⎫++++⎛⎫+=⋅⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭+⎝⎭=⋅⋅=∴133R ρ==， 又当33x =±时，级数变为()113133311333nnnn n n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=±± ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑， 因为33333lim 033nn n en -→∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭305所以当33x =±，级数发散，故原级数的收敛半径33R =，收敛域(-33,33)． (2) 111ππsin122lim lim lim ππ2sin 22n n n n n n nnna a ρ+++→∞→∞→∞==== 故12R ρ==，又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n→∞→∞⋅==≠．所以当(x +1)=±2时，级数()1πsin12n n n x ∞=+∑发散， 从而原级数的收敛域为-2<x +1<2，即-3<x <1，即(-3,1)(3) ()212121lim lim 221n n n n n na n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =，收敛区间-2<x -1<2，即-1<x <3． 当x =-1时，级数变为()2111nn n∞=-∑，其绝对收敛，当x =3时，级数变为211n n ∞=∑，收敛． 因此原级数的收敛域为[-1,3]． 23．将函数()0arctan d xtF t x t=⎰展开成x 的幂级数． 解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑306所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121nxx n n n n xnnn n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：(1)()113n nn x ∞=-+∑，x ∈[-3,+∞)； (2)1n n n x ∞=∑，x ∈(2,+∞)； (3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑，x ∈(-∞,+∞)；解：(1)考虑n ≥2时，当x ≥-3时，有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()113nnn x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛． (2)当x >2时，有2n nn nx=< 由1112lim 122n n nn n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数1n n nx ∞=∑在(2,+∞)上一致收敛． (3)∀x ∈R 有()()()22224322111nn n x n n nx n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛． 25．求下列级数的和函数：307(1)()211121n n n x n ∞-=--∑； (2)2121n n x n +∞=+∑； (3)()11!1n n nxn ∞-=-∑； (4)()11n n x n n ∞=+∑．解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1] 记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑ 则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x∞--='==-+∑ 所以()()1121d arctan 01xS S x x x x-==+⎰ 即S 1(x )=arctan x ，所以S (x )=x arctan x ，x ∈[-1,1]．(2)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121xxx S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021xS S x x+-=-，S (0)=0 所以()11ln 21xS x x+=-，(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()1011d e !!11nn xx n n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1，当x =1时，级数变为308()111n n n ∞=+∑，由()2111n n n <+知级数收敛，当x =-1时，级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0，()()111n n x xS x n n +∞==+∑，()[]1111n n x xS x x∞-=''==-∑ （x ≠1） 所以()[]()0d ln 1xxS x x x ''=--⎰ 即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x '=--=--+⎰⎰ 即()()()1ln 1xS x x x x =--+当x ≠0时，()()111ln 1S x x x⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，又当x =1时，可求得S (1)=1（∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭） 综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩ 26．设f (x )是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩ 试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+30927．写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数． 解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .310解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π) (2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰，()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n ===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）311()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos 2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数： (1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x x x =≤≤解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰312()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰ ()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nxf x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)313若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰ 从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和. 解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()11010d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n∞==∑31432.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x x n n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n xf x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n x x x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑，-∞<x <+∞，其中()12cos πd n a f x n x x =⎰，求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1)，而()1s i n πn n s x b nx ∞==∑，-∞<x <+∞，其中()12sin πd n b f x n x x =⎰ (n =1,2,3,…)，求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将315f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1)f (x )=1-x 2 1122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭；(2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰， ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x x n n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x x n x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰316()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰ 而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x ≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ，高为h ，周期为T 的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.解：根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2T l T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰ ()()π2π222π2π22222π2211e d e d 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t l i t l T T n l n n i t i t T T n i t T c u t t u t tl T h T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰。

精心整理第一章1.见教材习题参考答案.2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C（1）A 发生，B ，C 都不发生； （2）A ，B ，C 都发生； （3）A ，B ，C （4）A ，B ，C 都不发生； （5）A ，B ，C（6）A ，【解】（1（B C (4)ABC B C (5)ABC ∪ABC ∪ABC ABC =AB BC AC3..4.设A ，?B )=0.3，求P （.【解】P 5.设A ，（A ）=0.6,P (B )=0.7,（1AB （2AB【解】（1)()0.6AB P A ==,()P AB 取到最大值为（2）当()()()0.3P A P B P A B =+-= 6.设A ，B ，P （C ）=1/3P （AC ）至少有一事件发生的概率. )=0， 由加法公式可得=14+14+13?112=347.52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？ 【解】设A 表示“取出的13张牌中有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花”，则样本空间Ω中样本点总数为1352n C =,A 中所含样本点533213131313k C C C C =,所求概率为8.（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率； （3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3)设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1?P (A 1)=1?(17)59..见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率. （1）n （2）n（3）n .【解】（1样本空间Ω，所求概率为；(P (2)次为正品m 件的排（3n 次抽取中此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为 11..见教材习题参考答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱},样本空间Ω中样本点总数为350C ,A 中所含样本点13103k C C =，因此，所求概率为133103501()C C /C 1960P A ==13.7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互不相容.样本空间Ω中样本点总数为37n=C ，2A 中所含样本点数为2143C C ，3A 中所含样本点数为34C ，故所求概率为232322()()()35P A A P A P A =+=14.0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率； （2）至少有一粒发芽的概率； （3）恰有一粒发芽的概率.【解】设2)0.7A =212)A A A =15.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第【解】（151次正面，（1）(P 16.0.7【解】设175双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率. 【解】设A 表示“4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双”，从5双不同的鞋子中任取4只，取法总数为410C ,A 表示“4只鞋子中没有配对的鞋子”，A 中所含基本事件数为4111152222C C C C C ,所求概率为 18.0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： （1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1）()0.1()0.2()0.5P AB P B A P A ===（2）()()()()0.30.50.10.7P A B P A P B P AB =+-=+-= 19.3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则A ={此人是女人}，显然A ，A 是样本空间的一个划分，且1()()P A P A ==,由贝叶斯公式得21.【解】 部分所示22.（1（2【解】区域”.(1)(2)设B 23.P 【解】()()()()()P B A B P A B P A P B P AB ==+- 24.15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率. 【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新 球}。

206习题十1. 根据二重积分性质，比较ln()d D x y σ+⎰⎰与2[ln()]d D x y σ+⎰⎰的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-112x y ≤+≤从而 0l n ()x y ≤+<故有2l n ()[l n ()]x y x y+≥+ 所以 2l n ()d [l n ()]dD Dx yx y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.图10-2从而 ln(x +y )>1 故有2l n ()[l n ()]x y x y+<+207所以 2l n ()d [l n ()]dD Dx yx y σσ+<+⎰⎰⎰⎰2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）,{(,)|02,02}I D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰;（2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤⎰⎰; （3）2222(49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ=++=+≤⎰⎰. 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤因而 04xy ≤≤.从而22≤故2d D D σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即2d d DDσσσ≤≤⎰⎰⎰⎰而 d D σσ=⎰⎰ （σ为区域D 的面积），由σ=4 得8σ≤≤⎰⎰(2) 因为220sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而220sin sin 1x y ≤≤故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即220sin sin d d D D x y σσσ≤≤=⎰⎰⎰⎰ 而2πσ=所以2220sin sin d πD x y σ≤≤⎰⎰（3）因为当(,)x y D ∈时，2204x y ≤+≤所以22229494()925x y x y ≤++≤++≤故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即229(49)d 25Dx y σσσ≤++≤⎰⎰208而2π24πσ=⋅=所以2236π(49)d 100πDx y σ≤++≤⎰⎰3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： （1）222(,{(,)|};D a D x y x y a σ=+≤⎰⎰（2）222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰解：（1）(,D a σ⎰⎰在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以31(π3Da a σ=⎰⎰ （2）σ⎰⎰在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故32π.3a σ=⎰⎰ 4.设f (x ，y )为连续函数，求2220021lim(,)d ,{(,)|()()}πDr f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰.解：因为f (x ，y )为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得2(,)d (,)π(,)Df x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰又由于D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r →时，00(,)(,),x y ξη→ 于是：0022200000(,)(,)11lim(,)d limπ(,)lim (,)ππlim (,)(,)Dr r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰5. 画出积分区域，把(,)d D f x y σ⎰⎰化为累次积分： (1) {(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥;(2)2{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥209(3)2{(,)|,2,2}D x y y y x x x=≥≤≤解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.所以1101(,)d d (,)d yD y f x y y f x y x σ--=⎰⎰⎰⎰(2) 区域D 如图10-4所示，直线y =x -2与抛物线x =y 2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为22,12y x y y ≤≤+-≤≤.图10-3 图10-4所以2221(,)d d (,)d y D yf x y y f x y x σ+-=⎰⎰⎰⎰（3）区域D 如图10-5所示，直线y =2x 与曲线2y x=的交点(1，2)，与x =2的交点为(2，4),曲线2y x=与x =2的交点为（2，1），区域D 可表示为22,1 2.y x x x≤≤≤≤图10-5210所以2221(,)d d (,)d xD xf x y x f x y y σ=⎰⎰⎰⎰.6. 画出积分区域，改变累次积分的积分次序： (1) 2220d (,)d yyy f x y x⎰⎰; (2)e ln 1d (,)d xx f x y y ⎰⎰;(3) 1320d (,)d yy f x y x-⎰; (4)πsin 0sin2d (,)d xx x f x y y -⎰⎰;(5) 1233001d (,)d d (,)d yyy f x y y y f x y x -+⎰⎰⎰⎰.解：（1）相应二重保健的积分区域为D ：202,2.y y x y ≤≤≤≤如图10-6所示.图10-6D 亦可表示为：04,.2xx y ≤≤≤所以2224002d (,)d d (,)d .yx yy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 相应二重积分的积分区域D ：1e,0ln .x y x ≤≤≤≤如图10-7所示.图10-7D 亦可表示为：01,e e,y y x ≤≤≤≤211所以e ln 1e10ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰(3) 相应二重积分的积分区域D为：01,32,y x y ≤≤≤≤-如图10-8所示.图10-8D 亦可看成D 1与D 2的和，其中 D 1：201,0,x y x ≤≤≤≤D 2：113,0(3).2x y x ≤≤≤≤-所以2113213(3)2001d (,)d d (,)d d (,)d yx x y f x y x x f x y y x f x y y --=+⎰⎰⎰⎰⎰.(4) 相应二重积分的积分区域D 为：0π,sinsin .2xx y x ≤≤-≤≤如图10-9所示.图10-9D 亦可看成由D 1与D 2两部分之和，其中 D 1：10,2arcsin π;y y x -≤≤-≤≤ D 2：01,arcsin πarcsin .y y x y ≤≤≤≤-所以πsin 0π1πarcsin 0sin 12arcsin 0arcsin 2d (,)d d (,)d d (,)d xyx y yx f x y y y f x y x y f x y x ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(5) 相应二重积分的积分区域D 由D 1与D 2两部分组成，其212中 D 1：01,02,y x y ≤≤≤≤D 2：13,03.y x y ≤≤≤≤-如图10-10所示.图10-10D 亦可表示为：02,3;2xx y x ≤≤≤≤- 所以()1233230012d ,d d (,)d d (,)d yyxxy f x y x y f x y x x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰7.解：因为(,)Df x y d σ⎰⎰为一常数，不妨设(,)Df x y C =⎰⎰则有(,)x y f xy C =+从而有(,)()x y Df xy f uv C dudv =++⎰⎰而{}2(,)0 1.0D x y x y x =≤≤≤≤21(,)00()u x y f xy uv C dv du ⎡⎤∴=+⎰⎰+⎣⎦2120012u xy uv cv du ⎡⎤=+⎰+⎢⎥⎣⎦ 152012xy u cu du ⎡⎤=+⎰+⎢⎥⎣⎦163011123xy u cu ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦11123xy C =++18C ∴=故(,)18x y f xy ∴=+8. 计算下列二重积分：213(1) 221d d ,:12,;Dx x y D x y x y x≤≤≤≤⎰⎰ (2) e d d ,x yD x y ⎰⎰D由抛物线y 2 = x ,直线x =0与y =1所围；(3) d ,x y ⎰⎰D 是以O (0,0)，A (1，-1)，B (1，1)为顶点的三角形; (4) cos()d d ,{(,)|0π,π}D x y x y D x y x x y +=≤≤≤≤⎰⎰.解：（1）()22222231221111d d d d d d xx D x x x x x x y x y x x x x y yy ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2421119.424x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦(2) 积分区域D 如图10-12所示.图10-12D 可表示为：201,0.y x y ≤≤≤≤所示22110000ed d de d d e d()xx x y y yyyD xx y y x y y y==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2111100ed (e 1)d e d d y x y y yy y y y y y y y ==-=-⎰⎰⎰⎰1111120000011de d e e d .22yy yy y y y y y =-=--=⎰⎰⎰ (3) 积分区域D 如图10-13所示.214图10-13D 可表示为：01,.x x y x ≤≤-≤≤所以2110d d arcsin d 2xxxx y x y x y x x --⎡==+⎢⎣⎰⎰⎰⎰⎰ 112300ππ1πd .2236x x x ==⋅=⎰ ππππ0πππ0(4)cos()d d d cos()d [sin()]d [sin(π)sin 2]d (sin sin 2)d 11.cos cos 222x Dxx y x y x x y y x y xx x x x x x x x +=+=+=+-=--⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰9. 计算下列二次积分：10112111224(1)d d ;(2)d e d d e d .yy y xxyxy x xy x y x +⎰⎰⎰⎰解：（1）因为sin d x x x⎰求不出来，故应改变积分次序。

习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数.①解i4πππecos i sin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) ① ：∵设z =x +iy 则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y ax a y z a z ax y ax a yx a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222R e z a x a y z a x a y---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xyz a x a y-⎛⎫=⎪+⎝⎭++．②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i 33iz x y x y x y xy xy x y x x yxyy x y x y x xy x y y=+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3zxxy=-,()323Im 3zxy y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴R e 12=⎝⎭, Im 02=⎝⎭． ④解：∵()()(()2332313131i 28⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴R e 12=⎝⎭, Im 02=⎝⎭．⑤解： ∵()()1,2i 211i,k n k n k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()R e i 1kn=-，()Im i 0n=；当21n k =+时，()R e i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数①解：2i -+==2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++==()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 222++==()1i 11i 222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222R e z z z w w z w wz z w z w w zwz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222zw z w z w z w z w++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z wzz w w-=-⋅+()22222z wz w zw++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w zz w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re zz w w=-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--++ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e50255i θ⋅--===其中8πarctan19θ=-．②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2ei i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-+==-.∴()2πi38π116πe--+=⋅⑤解：32π2πcos i sin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：∵32π2πcos i sin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i932π2πcos i sin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．解：()13ππ2π2πππ22cos sin cosi sin0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cos i sini 6622=+=z ． 2551cosπi sin πi6622=+=-z3991cosπi sinπi 6622=+=--z⑵-1的三次根解：()()132π+π2ππcos πi sin πcosi sin0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cosi sin3322=+=+z2cos πi sin π1=+=-z3551cosπi sinπ3322=+=--z⑶的平方根．πi4e 22⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i44ππ2π2π44e 6cos i sin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos i sin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πi sin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z-+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=。

高等数学，（上），复旦大学出版社第四版。

第四章，一元函数积分学 习题四，答案1.0 填空题（1） I<K<J ,解析I,J,K 的积分上限，下限都一样。

由定理 在区间[a,b]上f(x)>g(x)恒成立，则>⎰⎰aba a f(x)dx g(x)dx ，在π[0,]4，cosx>sinx,=>>cosxcotx cosx sinx sinx,所以I<K<J 。

（2） =⎰⎰1f(2x)dx f(2x)d(2x)2因为-=+⎰2x (x)dx e c，所以-=+⎰24x 1(2x)dx e c 2（3） 画出x-[x]在【0,2006】的图像，就是y=x 在[0，1]上重复2006次，通过定积分的几何意义，可知其面积为（1*1）*2012/2=1006，所以-=⎰2012(x [x])dx 1006。

（4）注解====⎰⎰11100011f'(x)f''(x)dx f'(x)df'(x)f'(x)f'(x)|24f'(x),（5） ππ+===-=+⎰⎰20022022400x tant *sec t 11x tant,dx dt cos2x |44(1x )sec t2.选择题。

（1）A ，A 可导必定连续，所以极限一定存在。

B 原函数f(x)<g(x),但是导数不一定f ’(x)<g ’(x),比如f(x)=2,g(x)=3,所以B 错。

C 是微分和导数一样，D x 的正负不知道，可能x<0,这样定积分就不一定了。

（2）DA 是奇函数，周期为2π，π[0,2]变成区间ππ-[,]，所以结果为0B 是奇函数，周期为2π，π[0,2]变成区间ππ-[,]，所以结果为0C ππππ--==⎰1cos2xdx sin2x |02(3) A令f(x)=1,取F(X)=x+1，可以排除B,C.令f(x)=x,F(X)= 21x 2排除D. (4)D-==-=-=-⎰⎰2lnx 1lnx)lnx 12lnx xf'(x)dx xdf(x)xf(x)x *(x x x x x（6） C ，等价无穷小++→=-=-=---==+=+=++=→==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰xxx11t 1t11x 0u x t,f(x)sin(x t)dt,f(x)sin(x t)d(x t)sinudum 1xt,g(x)xln(1xt)dt,g(x)ln(1xt)d(1xt)lnmdmf(x)sinxx 0,lim 1g(x)ln(1x)三，利用积分概念，求下列极限。

高等数学上（复旦大学出版社，第四版）教材习题答案第四章，一元函数积分学。

第三节 不定积分与原函数求法，习题4-3，答案5.0 用分部积分，求下列不定积分。

东风冷雪1.0=-=--=--=-+-=-+++⎰⎰⎰⎰⎰222222x sinxdxx dcosx (x cosx 2xcosxdx)(x cosx 2xdsinx)x cosx 2xsinx 2sinxdx x cosx 2xsinx 2cosx c2.0------=-=--=--+⎰⎰⎰x x x x x x xe dx xde (xe e dx)xe e c3.0==-=-+⎰⎰⎰22222111ln xdx (x ln x x *dx)22x11x ln x x c 24x ln xdx4.0==-++-=-+=--+=-+++⎰⎰⎰⎰23332232322322x arctanxdx111x arctanxdx x arctanx 3331x 11x(1x )x x arctanx dx 331x 1111x arctanx (x ln |1x |)3322111x arctanx x ln |1x |c 3665.0=+=-=-+⎰2arccosxdxx *arccosx x *arccosx x *arccosx c6.0=-=-=--=+-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰222222x tan xdx1x(sec x 1)dx xdtanx x 21dcos x 1x tanx tanxdx x x tanx x 2cos x 21x tanx ln |cos x |x c 2 7.0------------==-=--=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x e cos xdxe dsinx e sinx e dcos xe sinx e cos x cos xe dx2e cos xdx e sinx e cos x1e cos xdx e (sinx cos x)c 28.0==-=--=-++⎰⎰⎰⎰xsinxcosxdx11xsin2xdx xdcos2x 24111(xcos2x cos2xdx)xcos2x sin2x c 4489.0=-=--=-+=--+=---=---+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰323233223232232232(lnx)dxx 1ln x 3ln x ln x 1ln xd ()(3ln xd )x x x x xln x 3ln x 6lnx ln x 3ln x 1dx 6lnxd x x x x x xln x 3ln x 6lnx 6dx x x x x 1(ln x 3ln x 6lnx 6)c x10.0===-=--=++-=+++=+=++⎰⎰⎰⎰⎰222222222atant,a sec tdtant a sec t tant a tan tsec tdta (sec t tant (sec t 1)sec tdta (sec t tant ln |sec t tant |sec tdtant)1a (sec t tant ln |sec t tant |)21x x a (*ln ||2a a a 1ln |x 2+|c6.0 求下列不定积分；1.0++-+=+++-+-+-+-+++=+==-=+=-++-+-+=-+++⎰⎰⎰222222222222x 1dx(x 1)(x 1)x 1a b c x 1x 1(x 1)(x 1)(x 1)a(x 1)b(x 1)c(x 2x 1)x 111a ,b 1,c 2211x 1122dx ()dx x 1x 1(x 1)(x 1)(x 1)11ln |x 1|c 2x 12.0++=+++-+-+-++++===-=-==-++-+-+--=+--+=+--++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰3222222223dx x 13a bx c x 1(x 1)(x x 1)x x 1a(x x 1)(bx c)(x 1)3a 1,b 1,c 23dx 1x 2dx ()dx x 1(x 1)(x x 1)x x 112x 13ln |x 1|2x x 1131ln |x 1|ln |x x 1|1322(x )24ln |+2c3.0 （这道题，有些坑人，没有意思）+--+-+-++-=----=++++---=+++-+-+-=++-+-+-=-+++-==-=-⎰⎰⎰⎰5423332332233323222x x 8x (x x)x(x x)x x x x 8dx dx x x x x 123x x 33(x x 1)dx x x x x 23x 1113x x x ln |x x |dx 323x(x 1)(x 1)23x a b c 3x(x 1)(x 1)x x 1x 123x a(x 1)b(x x)c(x x)323101a ,b ,c 33-=---+-+=---++++-+---+=---++--=+++--⎰⎰⎰543323323x 12310133dx ()x(x 1)(x 1)3x x 1x 1231013ln |x |ln |x 1|ln |x 1|3331(ln |x |ln |x 1|ln |x 1|23ln |x |10ln |x 1|13ln |x 1|31ln(24ln |x |9ln |x 1|12ln |x 1|)3x x 8dxx x 11x x x 8ln |x |3ln |x 1|32-++4ln |x 1|c 4.0+==++⎰⎰263332x dxx 11dx 1arctanx c 33(x )15.0+-==-=--=-++⎰⎰⎰⎰222sinx dx1sinx sinx(1sinx)dx (tanxsecx tan x)dx cos xsecx (sec x 1)dx secx tanx x c6.0++==+--+==+-++++++-==-=-=-+⎰⎰⎰⎰⎰222222222cot x dxsinx cos x 1x 2t tan ,dx dt 21t 1t 21t 1t 22t *dt **dt 2t 22t 2t 1t 1t 1t 11t 1t 11t 1111()dt (1)dt lnt t 2t 2t 221x 1x ln |tan |tan c 22227.0=====+=++⎰⎰⎰2sect 2sec t tant dt 2sectdt sect tant 2ln |sect tant |2ln ||c8.0==-===-=-+=-+++=-+++⎰⎰⎰(1t,2tdt12(1)2t2ln|1t|2ln|1t11tx4ln|1|c记住口诀，反，对，幂，指，三。