寿险精算课

【解2.1】（1）可以被写成=(90−p(r200)18000，又由于达到极限寿命时=0，故=90。

（2）证明：因为，0=1；其次，达到极限寿命=90时，有90=0；且，的导数−110−218000<0,>0。

由此，生存函数的三个条件都被满足。

（3）93333.0)0()10(00010==S S p （4）(030−050)020（5）=−0'(p/0==110+218000−110−2因此，40=0.015833。

【解2.2】作为生存函数的基本属性有：(0)1,S =函数是单调递减的，同时lim ()0x S x →∞=。

（1）由于()exp[0.7(21)](10.72ln 2)xxS x x '=---⨯⨯，(0)0.51480S '=>，说明该函数不满足单调递减的性质。

所以，它不能作为生存函数。

（2）由于(0)1S =,3()2(1)0S x x -'=-+<，21lim ()lim0(1)x x S x x →∞→∞==+。

该函数可以作为生存函数。

（3）由于(0)1S =，()2()(2)0x S x ex -'=-<，lim ()0x S x →∞=。

该函数可以作为生存函数。

【解2.3】（1）4320751001)75(1)75(=--=-=S F （2）20017510040175)()75(=-==-=x x S dx d f （3）501412001)75()75()75(===S f μ【解2.4】(40)40(40)(40)40(40)(40)60(),060(40)60(40)1(),060(40)601()(),06060T t T T t T S t tS t p t S S t t t S t tf x p t t μμ+-===<≤'+=-=<≤+-==<≤【解2.5】()18)100(9)100(6)100(3100)100()100(2)]([2)]([3100)100()100()]([)100()100(222210002221000100022100022x x x x dt x t x t x T E dt p t x T Var xdt x t x dt p x T E x t x l l p xxx t xxx tx t x x t -=---=⎪⎭⎫⎝⎛------=-=-=---==---==⎰⎰⎰⎰----+【解2.6】所有表达式均为非负，因此需要验证是否满足0∞B =∞，使得0)(=∞S （1）∞==∞∞⎰0ln C BC dx BC xx，可以（2）∞=+=+∞∞-⎰001)ln()(x b a dx x b a ，可以（3）21)1(21)1(023=+-=+∞∞-⎰x dx x ，不可以【解2.7】把30.250x q +=代入120.170x q +=式中，得11232120.1700.680x x x x x x q p p q p p ++++++=⋅⋅=⇒=上式与已知条件11210.090x x x q p q+++=⋅=联立求解，解出10.770x p +=，20.117x q +=最后得1212(1)0.230.1170.347x x x x q q p q +++++=-+=+=【解2.8】由()1xS x ω=-，可知~(0,)X U ω，且有(20)~(0,20)T U ω-则[()]2x E T x ω-=，2()[()]12x Var T x ω-=已知020e 40=，即20401002ωω-=⇒=所以2(20)Var[T(20)]533.312ω-==【解2.9】首先计算K 的生存函数k012197k p +1015415则210414()09715151502210422()(21)13509715151513422()()[()]225E K p k k E K k p k k Var K E K E K ==++=∑==+⋅=⋅+⋅+⋅=∑==-=【解2.10】证明：（1）x t x x x t q t T t T p -=<-=≥=1)Pr(1)Pr(（2）xu t x t x x x x ut p p u t T t T u t T t q +-=+≥-≥=+≤≤=)Pr()Pr()Pr(（3）()()()tx u x t t x x x ut p p u T t T p ++⋅=≥⋂≥=Pr 【解2.11】（1）证明：110111111111+∞+∞+-∞∞+=+≤⋅+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x t x x t x t x t x t x e dt p dtp p dt p dt p dt p dt p e （2）证明：由于是关于的递减函数，因此有K1B≥所以xk x k k k kx tx t x e p dtp dt p e =≥==∑∑⎰⎰∞=+∞=+∞101【解2.12】证明：()()()()()()()t x t x x t S x t f x t S x t x t p p t t S x S x S x μμ+∂∂++-++====∂∂【解2.13】318.02005exp 20025exp 20015exp )5()25()15(200exp 100exp )(2225101020=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰S S S q x dt t x S x 【解2.14】[][]8684284p =其中86l 已知，而[][][][][]2848484184841(1)(1)p p p q q ++==--由已知条件推导出[][][]85841848483144508030360.3225550803343640050800.20644556400q q q q q ++-=⋅=⋅=-==⋅⋅=⋅=【解2.15】(1)7[76]=83[76]=1192816608=0.718208(2)6|275+1=82−8475+1=0.084631【解2.16】40+1=40(1−40),40+2=402p [40],43=40+2−40∗2|40,46=43−40+1∗2|340+1.因此343=46/43=1−(1−40)2|340+1/(2p [40]−2|40)=1−(1−0.01608)×0.08964/(0.95977-0.02383)=0.905765【解2.17】151025:2525152540015100.040.04150.06015.40667t t tte p dt p p dtedt eedt--⨯-=+=+=⎰⎰⎰⎰【解2.18】(1)0.752.5=1−53.252.5=1−0.853+0.2540.552+0.553=0.0068381.7|1.252.5=54.2−55.452.5=0.854+0.255−0.655−0.4560.552+0.553=0.022690(2)0.752.5=1−0.5p 52.50.2p 53=1−520.5530.2=0.0068351.7|1.252.5=1.7p 52.51−1.2p 54.2=0.5p 52.5530.2p 541−0.8p 54.20.4p 55=520.553540.21−540.8550.4=0.022668【解2.19】因为{}10102102221exp ()=1exp 2()1exp ()1()1(1)2x x x x x q x t dt x t dt x t dt p q q q μμμ⎡⎤''=--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-=--=-⎰⎰⎰由此推出2x xq q '<。

习题第一章人寿保险一、n 年定期寿险【例4.1】设有100个40岁的人投保了1000元5年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为3%。

I 、如果各年预计死亡人数分别为1、2、3、4、5人，计算赔付支出； II 、根据93男女混合表，计算赔付支出。

解：I表4–1 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：48.13468)03.1503.1403.1303.1203.11(100054321=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----（元）则每张保单未来赔付的精算现值为134.68元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。

解：II表4–2 死亡赔付现值计算表根据上表可知100张保单未来赔付支出现值为：86.9124)03.103.103.103.103.1(1000540|4440|3340|2240|11402=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯-----q q q q q （元）则每张保单未来赔付的精算现值为91.25元，同时也是投保人应缴的趸缴纯保费。

【例4.2】某人在40岁时投保了10000元3年期定期寿险，死亡赔付在死亡年年末，利率为5%。

根据93男女混合表计算：I 、单位趸缴纯保费；II 、单位赔付现值期望的方差；III 、（总）趸缴纯保费； 解：I 、单位趸缴纯保费为，)()(424023414024040|2340|1240240|11|3:40q p v q p v vq q v q v vq q v Ak k k ++=++=⨯=∑=+]05.1001993.0)001812.01()00165.01(05.1001812.0)00165.01(05.100165.0[32⨯-⨯-+⨯-+=00492793.0=（元）。

II 、单位赔付现值期望的方差为，00444265.0)()()()(21|3:4040|2640|1440221|3:40240|)1(221|3:401|3:402=-++=-⨯=-∑=+A q v q v q v A q v AAk k k III 、趸缴纯保费为，28.49100001|3:40=⨯A （元） 【例4.3】某人在50岁时投保了100000元30年期定期寿险，利率为8%。

寿险精算知识点寿险精算是指利用数学、统计学和金融学等理论与方法，对寿险业务进行风险评估、保费定价、赔付准备金计提等工作的过程。

它是寿险行业中的核心技术之一，具有重要的意义。

本文将从寿险精算的基本概念、核心任务以及一些常见的精算方法等方面进行介绍。

我们来了解一下寿险精算的基本概念。

寿险精算是指寿险公司通过对历史数据进行分析和建模，利用数学和统计学的方法，对寿险业务进行风险评估和保费定价的过程。

它主要包括风险评估、保费定价、赔付准备金计提以及风险管理等方面的工作。

寿险精算的核心任务之一是风险评估。

风险评估是指对寿险业务的风险进行测算和评估，主要包括寿险产品的死亡率、残疾率、疾病率等指标的测算和预测。

通过对风险的评估，可以帮助寿险公司合理确定保费水平，确保寿险公司的盈利能力和偿付能力。

保费定价是寿险精算的另一个核心任务。

保费定价是指根据寿险产品的风险特征和市场需求，确定合理的保费水平。

在进行保费定价时，需要考虑到寿险公司的风险承受能力、保险产品的竞争力以及客户的支付能力等因素。

通过合理的保费定价，可以保证寿险公司的盈利能力和可持续发展。

赔付准备金计提是寿险精算的另一个重要任务。

赔付准备金是指寿险公司为支付未来赔款而预先计提的资金。

在进行赔付准备金计提时，需要考虑寿险产品的赔付率、赔付期限、赔付模式等因素。

通过合理的赔付准备金计提，可以确保寿险公司的偿付能力，保障客户的权益。

在寿险精算的实践中，还存在一些常见的精算方法。

例如，死亡率分析是寿险精算中常用的方法之一。

通过对历史死亡率数据的分析和建模，可以预测未来的死亡率，从而为保费定价和赔付准备金计提提供依据。

此外，寿险精算还可以运用生命表、经验法、模型法等方法进行风险评估和保费定价。

寿险精算是寿险行业中的核心技术之一，它通过利用数学、统计学和金融学等理论与方法，对寿险业务进行风险评估、保费定价、赔付准备金计提等工作。

寿险精算的核心任务包括风险评估、保费定价、赔付准备金计提以及风险管理等方面的工作。

寿险精算实务讲义第一章 人寿保险的主要类型1.1传统的人寿保险1.1.1 定期寿险定期寿险是指以死亡为给付保险金条件，且保险期限为固定年限的人寿保险。

1.1.2 终身寿险终身寿险是指以死亡为给付保险金条件，且保险期限为终身的人寿保险。

1.1.3 终身寿险两全保险是指在保险期限内以死亡或生存为支付保险金条件的人寿保险。

1.1.4 年金保险年金保险指以生存为支付保险金条件，按约定分期支付生存保险金，且分期支付生存保险金的间隔不超过一年（含一年）的人寿保险。

1.2 新型人寿保险1.2.1分红保险 1.2.2投资连结保险第二章 保单现金价值与红利2.1 保单现金价值2.1.1 保单现金价值的含义现金价值又称解约金、退保金、不丧失保单利益、不丧失价值或不丧失现金价值。

现金价值是指投保人或保险公司解除保险合同时，由保险公司向投保人退还的那部分金额。

现金价值往往特指以现金方式支付的不丧失保单利益。

,0kk k k CV V SC CV =-≥一般情况下，现金价值不大于责任准备金，主要原因是费用在毛保费中重新调整造成的。

其他原因：①财务风险；②死亡率风险；③效益风险；④退保成本。

2.1.2 保单现金价值的计算⑴ 调整保费法 ....()()()()k k C V A k P a k V P P a k αα=-=--, 1..A E P aα+=根据NAIC1941年规则：10.4m in(,0.04)0.25m in(,,0.04)0.02x E P P P ααα=++； 1980年规则：1 1.25m in(,0.04)0.01E P =+优点：是计算现金价值的主要方法，详细定义了费用的确定，得到的不丧失价值更为准确公平； 缺点：计算相对复杂。

⑵ 准备金比例法 k k k C V f V =⨯优点：①简单，便于管理；②不受公司定价假设的影响；③准备金是保单责任的保守估计，对客户较为公平；④能够及时地反映定价时市场利率的变化。