七年级数学竞赛讲座：时间、时刻、时钟

七年级数学专题训练巧解时钟问题1. 同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分钟走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：(1)三点整时，时针与分针所夹的角是______度；(2)7点25分时，时针与分针所夹的角是______度；(3)一昼夜(0点到24点)时针与分针互相垂直的次数有多少次？[解析] (1)看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示30°，3×30°＝90°；(2)方法同(1)，2512×30°＝72.5°；(3)时针与分针垂直时，夹角为90°，先得到经过多少分钟就能垂直一次，再看24小时里有几个得到的分钟数即可．解： (1)90(2)72.5(3)设一次垂直到下一次垂直经过x 分钟，则6x －0.5x ＝2×90，5.5x ＝180，x ＝ 36011.24×60÷36011＝24×60×11360＝44(次)．答：一昼夜时针与分针互相垂直的次数为44次．2. 在下午2点到3点之间，时钟的时针和分针何时重叠？[解析] 2点时，分针在时针后60°，一段时间后分针追上了时针(重叠)，即在相同的时间内，分针比时针多跑60°(如图4－T －14)．这道题可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝开始时两者的距离(60°)．图4－T －14解： 设2点x 分时，时钟的时针和分针重叠，x 分钟内，时针转过0.5x °，分针转过6x °.则6x －0.5x ＝60，解得x ＝12011.答：2点12011分时，时钟的时针和分针重叠．3. 在某地大地震后，许许多多志愿者到灾区投入抗震救灾行列中．志愿者小方八点多准备前去为灾民服务，临出门她看到钟表上的时针与分针正好是重合的，下午两点多她拖着疲惫的身体回到家中，一进门看见钟表的时针与分针方向相反，正好成一条直线．问小方是几点钟去为灾民服务的？几点钟回到家的？共用了多长时间？[解析] 在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°，时针转动⎝ ⎛⎭⎪⎫112°.依据这一关系列出方程，可以求出． 解： 设8点x 分时，时针与分针重合，则x －112x ＝40，解得x ＝48011.即8点48011分时出门．设2点y 分时，时针与分针方向相反，则y －112y ＝10＋30，解得y ＝48011，即下午2点48011分时回家． 14点48011分与8点48011分相差6小时．答：共用了6个小时．4. 纪璇同学晚上6点多钟开始做作业时，她发现钟表上时针和分针的夹角为120°，做完作业后，她发现钟表上时针和分针的夹角还是120°，但这时已近晚上7点了．问纪璇同学做作业用了多长时间？(精确到分)[解析] 6点整时，时针和分针在一条直线上，它们的夹角为180°，开始做作业时，分针在时针后120°，做完作业后，分针追到时针前120°，即在相同的时间内，分针比时针多跑240°(如图4－T －15)．这道题也可看作追及问题，相等关系为分针转过的角度－时针转过的角度＝240°.图4－T －15解： 设她做作业用了x 分钟，由题意得6x －0.5x ＝240.解得x ＝48011≈44(分)．答：她做作业用了约44分钟．这种解时钟问题的方法你掌握了吗？不妨给自己出道题试试看．5. 某钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九时三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？[解析] 先求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角；再根据表盘共被分成60小格，每一大格所对角的度数为30°，每一小格所对角的度数为6°，即可求出晚上9时35分20秒时，时针与分针间隔的分钟的刻度，从而求出晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角内装有的小彩灯个数．解： 晚上9时35分20秒时，时针与分针所夹的角为9×30°＋35×0.5°＋20÷60×0.5°－(7×30°＋20÷60×6°)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫75 23°，75 23÷6≈12.6(个)．故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯．专题训练(二)——正方体的展开图类型之一识别正方体的展开图1．下列图形是正方体的展开图的是( )图6－ZT－1[解析] C A图中四个相连的正方形可围成正方体的侧面，另两个正方形无法围成正方体相对的底面，所以排除选项A.因为B图中含有“凹”字，D图中含有“田”字，所以均被排除．C 图属于“一四一型”，故选C.2．一个长方体的展开图如图6－ZT－2所示，其表面积是________，体积是________．图6－ZT－2[答案] 4ab＋2b2 ab2[解析] 由展开图可知，这个长方体的6个表面中有2个面是边长为b的正方形，有4个面是长为a，宽为b的长方形．3．将如图6－ZT－3所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，应剪去________(填序号)．图6－ZT－3[答案] 1或2或6[解析] 根据有“田”字形结构的展开图都不是正方体的展开图，可知应剪去1或2或6.4．[菏泽中考] 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图6－ZT －4的几何体，其展开图正确的为( )图6－ZT－4图6－ZT－5[解析] B选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合，故选择B.类型之二根据展开图识别正方体的相对面和相邻面图6－ZT－65．[贵港中考] 如图6－ZT－6是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，与“共”字一面相对的面上的字是( )A．美B．丽C．家D．园[解析] D构成相对面的是“共”与“园”，“建”与“丽”，“美”与“家”，所以选D.6．一个正方体的展开图如图6－ZT－7所示，每个面上都标注了字母，若从正方体的右面看是面D，面C在后面，则正方体的上面是( )图6－ZT－7A．面E B．面FC．面A D．面B[答案] A7．[恩施州中考] 正方体的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图6－ZT－8是其三种不同的放置方式，与数字“6”相对的面上的数字是( )图6－ZT－8A．1 B．5 C．4 D．3[答案] B8．如图6－ZT－9是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是________．图6－ZT－9[答案] 6[解析] 相对面上的数字分别是1与5，2与6，3与4，它们的和分别是6，8，7，其最小值是6.9．一个正方体相对的两个面上的点数和都等于7，在图6－ZT－10所示的两个展开图的各空白面分别画上适当的点数．图6－ZT－10解：如图6－ZT－11所示．图6－ZT－1110．立方体的六个面上标着连续的整数，它的展开图如图6－ZT－12所示，若相对的两个面上所标数的和相等，求这六个数的和．图6－ZT－12解：由图可知，六个连续的整数必定包括4，5，6，7，因此六个连续的整数可能是2，3，4，5，6，7或3，4，5，6，7，8或4，5，6，7，8，9.由于相对面上的数字之和相等，且4，5，7是相邻面，所以六个数只可能是以上第三种，此时相对面是4与9，5与8，6与7.它们的和为13×3＝39.专题训练(三)——线段或角的计算类型之一线段的和差倍分计算1．如图7－ZT－1，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8 cm，BC ＝2 cm，则MC的长是( )图7－ZT －1A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm[解析] B 由图可知AC ＝AB －BC ＝8－2＝6(cm )．∵点M 是AC 的中点，∴MC ＝12AC＝3(cm )．2．将一把刻度尺如图7－ZT －2所示放在数轴上(数轴的单位长度是1 cm )，刻度尺上的“0 cm ”和“8 cm ”分别对应数轴上的－3.6和x ，则x 的值为( )图7－ZT －2A ．4.2B ．4.3C ．4.4D ．4.5[解析] C 由图可知x ＝8－3.6＝4.4.3．如图7－ZT －3所示，C ，D 是线段AB 上的两点，已知BC ＝14AB ，AD ＝13AB ，AB＝12 cm ，则DC 的长为________．图7－ZT －3[答案] 5 cm[解析] 因为BC ＝12×14＝3，AD ＝12×13＝4， 所以DC ＝12－(4＋3)＝5(cm )．4．已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝3 cm ，则线段AC ＝____________．[答案] 5 cm 或11 cm[解析] (1)如图7－ZT －4①，当点C 在线段AB 上时，AC ＝AB －CB ＝8－3＝5(cm )；图7－ZT －4(2)如图6－ZT －1②，当点C 在线段AB 的延长线上时，AC ＝AB ＋BC ＝8＋3＝11(cm )． 所以AC ＝5 cm 或11 cm .5．已知：如图7－ZT －5，B ，C 为线段AB 上的两点，且AB ＝12BC ＝13CD ，AD ＝18. (1)求BC 的长；(2)图中共有多少条线段？求所有线段的长度的和．图7－ZT －5解： (1)设AB ＝x ，则BC ＝2x ，CD ＝3x.于是x ＋2x ＋3x ＝18，解得x ＝3.所以BC ＝2x ＝6.(2)图中共有6条线段，它们是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，这些线段的长度的和为3AD ＋BC ＝3×18＋6＝60.类型之二 角的和差倍分计算6．已知∠AOB ＝90°，OC 是它的一条三等分线，则∠AOC 等于( )A ．30°或60°B ．45°或60°C ．30°D ．45°[解析] A 一个角的三等分线共有2条．7．若一个角的余角比它的补角的12少20°，则这个角为( ) A ．30° B ．40° C ．60° D ．75°[解析] B 设这个角为x °，则依题意可列方程90－x ＝12(180－x)－20， 解得x ＝40.所以选B .8.在直线AB 上任取一点O ，过点O 作射线OC ，OD ，使∠COD ＝90°，当∠AOC ＝30°时，∠BOD 的度数是( )A ．60°B ．120°C．60°或90°D．60°或120°[解析] D如图7－ZT－6(1)所示，∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD＝180°－30°－90°＝60°；如图7－ZT－6(2)所示，∠AOD＝90°－∠AOC＝90°－30°＝60°，∠BOD＝180°－∠AOD＝180°－60°＝120°.故选D.图7－ZT－69．一副三角板如图7－ZT－7所示放置，则∠AOB＝________．图7－ZT－7[答案] 105°10．如图7－ZT－8，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，∠AOD＝120°.则∠BOD＝________°，∠AOC ＝________°.图7－ZT－8[答案] 100 60[解析] ∠BOD ＝56∠AOD ＝56×120°＝100°， ∠AOC ＝12∠AOD ＝12×120°＝60°. 11．如图7－ZT －9，∠AOB ＝90°，OD 平分∠BOC ，∠AOC ＝2∠1，则∠1＝________度．图7－ZT －9[答案] 67.5[解析] ∵OD 平分∠BOC ，∴∠BOC ＝2∠1.∵∠AOC ＝2∠1，∴∠BOC ＝∠AOC ＝12×(360°－∠AOB)＝12×(360°－90°)＝135°， ∴∠1＝12∠BOC ＝67.5°. 12．如图7－ZT －10，点O 在直线BC 上，∠1与∠2互余，OE 平分∠AOC ，∠1＝27°20′.求∠2，∠3的度数．图7－ZT －10解： 因为∠1与∠2互余，所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′. 因为OE 平分∠AOC ，所以∠3＝12(180°－∠1)＝12×(180°－27°20′)＝76°20′.。

初一数学竞赛讲座(四)有理数的有关知识一、 知识要点1、绝对值x 的绝对值x 的意义如下：x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，如果，如果x 是一个非负数，当且仅当x=0时，x =0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：b a -表示数轴上a 点到b 点的距离。

2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。

如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。

3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。

两个互为相反数的数的和等于0。

二、 例题精讲例1 化简 6312-+--+x x x分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零点，然后用零点分段法将绝对值去掉，从而达到化简的目的。

解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得：x= -1/2， x=3， x=6当21-<x 时，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2当321<≤-x 时，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 当63<≤x 时，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10当x ≥6时，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-+-<+-时当，时当，时当，时当，6x 2-2x 63 103 42 222121x x x x x评注：用零点分段法，通过零点分段将绝对值去掉，从而化简式子，解决问题是解决含绝对值问题的基本方法。

例2 已知312351312+----≥--x x x x x ，求的最大值和最小值。

(第六届迎春杯决赛试题) 分析：先解不等式，求出x 的范围，然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。

解：解不等式2351312x x x --≥--得： 117≤x117 31+--x x 的几何意义是x 到1的距离与x 到-3的距离的差，从上图中可以看出：当x ≤-3时这差取得最大值4，因117≤x ，则当117=x 时这差取得最小值1133-.评注：1、本题是采用数形结合的思想，用绝对值的几何意义来解题。

初一数学时差问题时差问题是数学中的一个经典问题。

它是通过计算地球上不同地区的时间差来展示时区和物理世界的关系。

在初一阶段，学生们学习了分和秒的概念，并且掌握了一些简单的时间转换计算。

在解决时差问题中，学生需要将这些知识应用到实际生活中，并用数学方法解决问题。

为了简化问题，我们假设地球是一个理想的球体，没有任何扁形，且转动一周的时间是24小时，也就是一天。

同时，我们假设时区划分是按照经线来设定的，每隔15度经线设立一个时区，共分为24个时区。

最初的参考时区被定义为格林威治标准时间（GMT），位于经度0度的地方。

问题1：如果格林威治标准时间是早上8点，伦敦（位于经度0度）的时间是几点？德国柏林（位于经度15度）的时间是几点？解答：根据题意，格林威治标准时间是早上8点。

伦敦位于经度0度时区，与格林威治标准时间一致，所以伦敦的时间也是早上8点。

德国柏林位于经度15度时区，所以比格林威治标准时间晚1个小时，德国柏林的时间是早上9点。

问题2：如果北京时间是下午4点，芝加哥（位于经度90度）的时间是几点？东京（位于经度135度）的时间是几点？解答：根据题意，北京时间是下午4点。

北京位于经度120度时区，所以比格林威治标准时间晚8个小时，也就是晚上12点。

芝加哥位于经度90度时区，比北京早1小时，所以芝加哥的时间是下午3点。

东京位于经度135度时区，比北京晚1个小时，所以东京时间是下午5点。

问题3：如果悉尼（位于经度150度）的时间是下午2点，纽约（位于经度75度）的时间是几点？洛杉矶（位于经度120度）的时间是几点？解答：根据题意，悉尼的时间是下午2点。

悉尼位于经度150度时区，比格林威治标准时间早10个小时，也就是凌晨4点。

纽约位于经度75度时区，比悉尼晚5个小时，所以纽约的时间是下午9点。

洛杉矶位于经度120度时区，比悉尼晚2个小时，所以洛杉矶的时间是下午12点。

通过上述问题的解答，我们可以看到时差的计算方法：根据地区所在经度的不同，利用格林威治标准时间为参考点，推算出其他地区的时间。

初中数学竞赛辅导班讲义 第二课1. 爱因斯坦的时钟问题解答 只需考虑: 零点时时针和分针重合, 下一次它们相遇在什么时间? 由于分针的速度是时针的12倍, 设再相遇时时针旋转过x ︒, 则分针旋转了360 ︒ + x ︒, 所以 360 + x= 12 x, x =11360 = 32118. ∵一小时时针旋转30 ︒, 一分钟分针旋转6 ︒, 11360÷ 60 = 5115, 因此两针下次相遇在1点过5115分. 2. 中国邮递员问题解法 由于网络的奇点必定成双，又图中奇点有6个，根据一笔画原理，此图不存在欧拉回路，则必须通过添加弧线，使每个顶点均变成偶点，同时考虑添加的弧线长度总和最短才满足要求。

显然两奇点间可直接添弧一条；奇点与偶点间添弧一条且此偶点还须与另一奇点添弧一条；两偶点间不必添弧。

添弧时应注意：（1）不能出现重迭添弧。

重迭添弧应成对抹去，这样并不改变每一点的奇偶性；（2）每一个圈上的添弧总长不能超过圈长一半。

否则应将此圈上的原添弧抹去，而在此圈上原没有添弧的路线上加添弧，这样也不改变每一点的奇偶性。

注意了这两点就既保证了不改变每点奇偶性，又保证了添弧总长最短。

现在我们看邮递员的投邮路线，如图1。

添弧后的新图形已是不含奇点的脉胳，根据一笔画原理，这个脉胳的全部弧线可构成一条欧拉回路。

对照(1)、(2)可知，图中添弧总长不是最短，必须调整。

显然在[ABJKHI]圈中，添弧总长超过了该圈长一半。

调整后，如图2。

此时，添弧不重迭并且每一个圈上的添弧总长都不超过本圈长的一半。

另外，每点奇偶性相对于图1没有改变，全是偶点。

全部弧线仍可构成一条欧拉回路，并且这条路线才是最短投邮路线。

因此，邮递员的投邮路线并非最短。

根据以上分析，最短投邮路线可设计为：KHGFEDCBAIHIJBJDEKJK 或KJKHGFEDCBAIHIJBJDEK 等等。

此时，最短路线比邮递员路线少0.8 华里。

七年级数学时钟知识点在七年级数学课程中，时钟是一个十分常见的操作，尤其是在时间计算和问题解决中。

因此，理解时钟知识点对学生的学习十分重要。

本文将介绍一些七年级数学课程中的时钟知识点。

时钟的基本构成时钟主要由两部分组成：时针和分针。

时针通常比分针短，它标识出现在时钟的“1”到“12”之间的时间。

而分针通常比时针长，它标识出现在时钟的“1”到“60”之间的时间。

小时手和分钟手的变化小时手和分钟手的变化通常取决于时间的变化。

当时钟转动时，小时手随之旋转来表示时间的变化。

每当小时手绕过一圈，表示时间增加12小时。

而分钟手则每分钟绕一圈，表示时间增加1分钟。

时钟的读法读取时钟是一项基本的技能。

下面是阅读时钟的一些指南：1. 确定当前是上午还是下午。

如果时针处于上午中午12点至下午6点的位置，则为上午时间；如果时针处于下午6点至上午12点的位置，则为下午时间。

2. 读取小时手。

根据小时针的位置确定小时数（例如，小时手指向“3”意味着时间是3点钟）。

如果小时针位于“1”和“2”之间，那么时间是“一点多”（通常用“:30”表示）。

3. 读取分钟手。

根据分钟针的位置确定分钟数（例如，分钟手指向“9”就表示是9分）。

如果分钟针位于“1”和“30”之间，那么分钟数可以写作“多少分钟过去了”。

时钟的问题解决时钟问题是数学问题中的常见问题之一。

这些问题通常涉及到了时钟的变化、时区以及其他相关主题。

以下是一些解决时钟问题的基本技巧：1. 确定需要求解的问题。

时钟问题通常涉及到了计算经过了多长时间或者何时发生某件事情。

确定需要求解的问题是解决此类问题的第一步。

2. 确定时间间隔。

计算两个时间之间的间隔是解决时钟问题的重要步骤。

这可以通过计算小时针和分钟针之间的夹角来实现。

3. 了解时区。

时区对于时钟问题的解决非常重要。

在一些问题中，需要考虑不同的时区。

因此，需要确定不同地区所在的时区，以便正确地计算时间。

4. 练习规律。

时钟问题是可以通过重复练习和掌握常见的规律和技巧来解决的。

《认识时钟》数学教案《认识时钟》数学教案1活动目标：1、了解时钟的表面结构及时针、分针的运转、规律，学会看整点。

2、发展孩子的逻辑思维能力。

3、教育孩子珍惜时间，养成按时作息的好习惯。

4、提高逻辑推理能力，养成有序做事的好习惯5、发展目测力、判断力。

教学准备：1、课件2、自制大钟面。

3、为每个幼儿准备教具时钟一个。

4、大灰狼头与懒洋洋头饰。

教学过程：(一)、导入1、ppt动画：小红，七点了该起床了请幼儿观察画面，并回答是谁叫小红起床的?她是几点起床的?2、七点，你是怎么知道的?一起学习电子表上的时间。

3、除了这个电子表，你还可以怎么知道是几点起床的?(钟表)(二)、新授，认识钟面A、幼儿观察老师手中的钟面1、教师出示钟面并提问：看，钟面上有什么?2、比比看，这两根针有什么地方不一样?这根长长的针叫什么?(分针)这根短短的叫什么?(时针)3、钟面上还有些什么?数字宝宝是怎样排队的?4、请小朋友看一看钟面上的时针、分针都指在哪一个数字上?(12)5、请小朋友仔细看，当时针从12转到1的时候，分针有什么变化?(分针从12走一圈又回到了12上)由时针、分针赛跑，引导幼儿感知时针、分针的运动规律。

师：今天呀，时针和分针要进行依次跑步比赛，现在他们都在数字12的起跑线上。

请你们猜猜谁会赢?好，比赛就要开始了，预备-开始!(教师操作钟表)师：谁跑得快啊?幼：分针师：请小朋友好好看看分针和时针跑的时候，它们之间到底有什么秘密呢?教师反复操作谁跑得快?(分针的腿儿长，像只小兔跑得快;时针的腿儿短，象只乌龟跑得慢)6、小结：当分针走一圈时，时针就走一大格，就是一小时。

你们知道一天有多少个小时?三、认识整点钟1、今天小猫、小鸭和小兔要考考我们小朋友，请你们看看它们分别表示几点钟?提问：这三只钟面什么地方是一样的?(分针都指在12上)什么地方不一样?2、当分针指在12上的时候就是整点钟，这时候时针指在几上就是几点整。

那么，这是几点整?......5点整时针指在哪个数字上?分针指在哪个数字上?8点整呢?(幼儿讨论操作)3、做练习4、小狗的一天5、做练习C、游戏："老狼老狼几点钟"我们小朋友真棒!现在我们来玩一个"老狼老狼几点钟"的游戏。

新课标数学竞赛讲座七年级第一讲新课标数学竞赛讲座七年级第一讲从荒野时代的数绳到现代通信信息时代的神奇数学，人类在任何时候都受到数学的青睐和影响。

数学科学是人类长期研究数与量、空间形式之间关系而形成的庞大科学体系。

进入奇妙的数学世界，我们将一起进入一个新的“代数”世界，扩展的数字系统，代表数字的奇妙字母，强大的方程不等式模型，运动变化的函数概念；走进美妙的数学世界，我们将一起走进丰富的“图形”世界，拼剪、折叠、平移、旋转，在操作与实验活动中，发现这些图形的奇妙的性质，用它们设计精美的图案；进入精彩的数学世界，我们将在无限的“数据”世界中畅游，从图表中获取信息，选择合适的图表来表达数据和信息；走进美妙的数学世界，它将开阔我们的视野，它提醒我们有无形的灵魂，它改变我们的思维方式，它涤尽我们的蒙昧与无知．诺贝尔奖获得者、著名物理学家杨振宁说：“我赞扬数学的美和力量。

它具有战术上的灵活性和灵活性、战略上的天赋和远见。

此外，奇迹中的奇迹，它的一些奇妙概念是主宰物理世界的基本结构。

”例题【例1】（1）我们通常使用十进制数，例如2639=2×103+6×102+3×10+9意味着十进制数应该使用10个数字（也称为数字）：0、1、2、3、，？？9.电子计算机中使用二进制，只要二进制中的两个数字0和1，例如101=1×22+0×21+1等于十进制数5，那么二进制中的1101等于十进制数(2)探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大．吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”．满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌，譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方．再相加。

得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和??．重复运算下去，就能得到一个固定的数t＝，我们称之为数字“黑洞”．(青岛市中考题)思路（1）从阅读中，我们可以看到，无论什么样的二进制数都可以代表与数字和二进制值相关联的和的形式；（2）从一个具体的数字运算，发豌豆法【例2】a、b、c、d、e、f六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时．统计出a、b、c、d、e五队已分别比赛了5、4、3、2、l场球，则还没有与b队比赛的球队是()．(第18后江苏茁竞赛题)a、 C队B队D队C队L队D队F队思路点拨用算术或代数方法解，易陷入困境．用6个点表示a、b、c、d、e、f这6个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线。

第1讲角度换算及时钟上的角知识定位讲解用时：5分钟A适用范围：北师大版初一，基础一般；B知识点概述：本讲义主要用于北师大版初一新课，本节课我们要学习时钟上的角度问题求解、角度换算。

知识梳理讲解用时：20分钟度分秒的换算公式：1°=60′ 1′=60″钟面上时针和分针转过的角度：时针：1小时转1大格=30° 1分钟转0.5°分针：1小时转12大格=360° 1分钟转6°课堂精讲精练【例题1】38.33°可化为（）A．38°30ˊ3″B．38°20ˊ3″C．38°19ˊ8″ D. 38°19ˊ48″【答案】D【解析】讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了度分秒的换算，解题的关键是掌握度分秒是60进制教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习1.1】15.25°可化为（）【答案】15°15′【解析】∵0.25°=15′，∴15.25°=15°15′讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题2】把15°48′36″化成以度为单位是（）【答案】15.81°【解析】36″÷60=0.6′，48.6′÷60=0.81°，0.81°+15°=15.81°讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习2.1】把38°19ˊ48″化成以度为单位是（）【答案】38.33°【解析】48″÷60=0.8′，19.8′÷60=0.33°，0.33°+38°=38.33°讲解用时：5分钟解题思路：根据1°＝60′，1′＝60″，进行转换，即可解答．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题3】若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30〞，∠C＝20.25°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B【答案】A【解析】解答：∵∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30〞，∠C＝20.25°＝20°15′，∴∠A＞∠B＞∠C．故选A．讲解用时：5分钟解题思路：∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习3.1】若∠P＝25°12′，∠Q＝25.12°，∠R＝25.2°，则下列结论中正确的是（）A．∠P＝∠Q B．∠Q＝∠RC．∠P＝∠R D．∠P＝∠Q＝∠R【答案】C【解析】解答：25°12′＝25.2°，∴∠P＝∠R．故选C．讲解用时：5分钟解题思路：本题是度分秒的换算，根据换算结果直接得到答案．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题4】计算15°48′36″+21°32′40″【答案】请输入内容【解析】15°48′36″+21°32′40″ =36°80′76″=37°21′16″讲解用时：5分钟解题思路：满60进1，注意进位跟十进制的区别之处教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习4.1】计算15°48′36″+15.48°【答案】31°17′24″【解析】15.48°=15°28′48″，15°48′36″+15.48°=15°48′36″+15°28′48″=30°76′84″=31°17′24″讲解用时：5分钟解题思路：先换算成同样的单位，然后再计算，注意满60进1难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题5】已知∠α＝37°50′，∠β＝52°10′，则∠β－∠α＝______．【答案】14°20′．【解析】解答：∠β－∠α＝52°10′－37°50′＝14°20′．故答案为：14°20′．讲解用时：5分钟解题思路：把已知的度数代入式子计算，度与度对应相减，分与分对应相减，被减数的分小于减数的分，根据1度等于60分借1度计算即可．教学建议：略难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习5.1】计算 90°﹣57°23′27″．【答案】32°36′33″【解析】90°=89°59′60″，90°﹣57°23′27″=89°59′60″-57°23′27″=32°36′33″讲解用时：5分钟解题思路：借1为60，注意借位跟十进制的区别之处难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题6】钟表在3点时，它的时针和分针所组成的角（小于180°）是（）A．30° B．60° C．75° D．90°【答案】D【解析】钟表被分成12大格，每一大格是30°，3点时，时针指向3，分针指向12，所以所成夹角为90°讲解用时：5分钟解题思路：画出时针分针所指位置，再根据时针分针单位时间所走过的角度计算即可教学建议：可以截一个钟表过来作为道具难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：年份：【练习6.1】钟表在早晨8点时，它的时针和分针所组成的角（小于180°）是（）【答案】120°【解析】钟表被分成12大格，每一大格是30°，8点时，时针指向8，分针指向12，所以所成夹角为90°讲解用时：5分钟解题思路：画出时针分针所指位置，再根据时针分针单位时间所走过的角度计算即可难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：年份：【例题7】从9.00到9.30时针转过的角度为（），分针转过的角度为（）【答案】15°、180°【解析】9.00到9.30经过了30分，时针每分钟转过的角度是0.5°，分针每分钟转过的角度是6°。