七年级数学竞赛讲座01 自然数的有关性质

初中数学竞赛讲义
1、证明：对于任意自然数k，存在无穷多个不含数码0的自然数t（十进制计数法），使得t与kt数码和相同。

2、设n是一个正整数，且d是十进制中的一个一位数，若
=0.d25d25d25…，求n
3、两位数
能整除十位数字为零的三位数。

求。

4、设n=99…9（100个9），则n3 的10进制表示中含有的数字9的个数为多少
5、求
…，1234567892的和的个位数的数字
6、求数1,2,3…，10n -2,10n -1的所有数码之和
7、求最小的自然数，当它的最后一个数码排列到第一位时，它的值增加到原来的五倍
8、已知a是一个1988位的自然数且可被9整除，a的各位数字相加和为b，b的各位数字相加和为c，c的各位数字相加和为d，求d
9、求适合等式
中的数码x，y，z
10、设x=0.1234567…999中的数字依次写下整数1到999而得到的，那么小数点右边第1983位数字是什么
11、设x与y是两个有两位数码的自然数，且x<y，乘积xy是一个有四位数码的自然数.首位数是2，如果把这个首位数2去掉，剩下的数正好是x+y，例如x=30，y=70.除此之外还有一组数具有如上性质，试求出这两个数
12、试求满足下列条件的六位整数
，。

这里a,b,c,d,e,f表示不同的数码，且a，e≠0
13、求满足
=（a+b+c）3的所有三位数。

14、已知某三位整数是5的倍数，其各位数字之和是20，个位数字与百位数字的和是3的倍数，求此整数。

15、求使nn有k个数字，kk有n个数字的所有自然数n，k
16、证明：如果n是正奇数，那么数22n（22n+1-1）在十进制中的最后两位数是28。

第六讲整数问题整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。

对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=4×10+9，235=2×100+3×10+5，7064=7×1000+6×10+4，…………………就是一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36.如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的.例如：7与50是互质的，18与91是互质的.性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除.例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72能被3与4的乘积12整除.性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除.能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除.（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除.（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除.是什么数字解：18=2×9，并且2与9互质，根据前面的性质4，可以分别考虑被2和9整除.要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.再考虑被9整除，四个数字的和就要被9整除，已有7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果b=2，只有a=5，此数是7542；如果b＝4，只有a＝3，此数是 7344；如果 b＝6，只有 a＝1，此数是 7146；如果b＝8，只有a＝8，此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例1就是一个典型.例2 一本老账本上记着：72只桶，共□□元，其中□处是被虫蛀掉的数字，请把这笔账补上.解：把□□写成整数679，它应被72整除.72＝9×8，9与8又互质.按照前面的性质4，只要分别考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.从6792能被9整除，按照被9整除特征，各位数字之和+24能被9整除，因此a＝3.这笔帐是元.例3 在1，2，3，4，5，6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数（有些数字可以重复出现），使得能被组成它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字5，组成数的最后一位数字就必须是5，这样就不能被偶数2，4，6整除，也就是不能选2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选5，而选其他五个数字1，2，3，4，+2+3+4+6＝16，为了能整除3和6，所用的数字之和要能被3整除，只能再添上一个2，16+2＝18能被3整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4四位数7□4□能被55整除，求出所有这样的四位数.解：55＝5×11，5与11互质，可以分别考虑被5与11整除.要被5整除，个位数只能是0或5.再考虑被11整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被11整除，百位数字只能是0，所得四位数是7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被11整除，百位数字只能是6（零能被所有不等于零的整数整除），所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例5一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被11整除，这样的数中，最大的是哪一个，要使它被11整除，要满足（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a与b只能是0，1，2，3，4中的两个数，只有b＝4，a＝0，满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11（参见下页除式）.要满足题目的条件，这个数是9876543减6，或者再减去11的倍数中的一个数，使最后两位数字是0，1，2，3，4中的两个数字.43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此这个数是9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢（答：1023495）例6 某个七位数1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三个数字组成的三位数是多少与上例题一样，有两种解法.解一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除.1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有199320能被7整除，因此所求的三位数是320.解二：直接用除式来考虑.2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除，具体的除式如下：因为 2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7下面这个41位数能被7整除，中间方格代表的数字是几解：因为 111111＝3×7×11×13×37，所以555555＝5×111111和999999＝9×111111都能被7整除.这样，18个5和18个9分别组成的18位数，也都能被7整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被7整除，那么只要中间的55□99能被7整除，原数就能被7整除.把55□99拆成两个数的和：55A00＋B99，其中□=A+B.因为7丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.注意，记住111111能被7整除是很有用的.例8 甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于15，当N取哪几个数时，乙能取胜解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能被N整除，乙不能获胜.N＝5，甲可以在六位数的个位，填一个不是0或5的数，甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N＝1，很明显乙必获胜.如果N＝3或9，那么乙在填最后一个数时，总是能把六个数字之和，凑成3的整数倍或9的整数倍.因此，乙必能获胜.考虑N＝7，11，13是本题最困难的情况.注意到1001＝7×11×13，乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一对格子的一格上填某一个数字后，乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2，这个六位数，能被7，11或13整除，乙就能获胜.综合起来，使乙能获胜的N是1，3，7，9，11，13.记住，1001＝7×11×13，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.习题一2整除，求这个五位数.2.在43的右边补上三个数字，组成一个五位数，使它能被3，4，5整除，求这样的最小五位数.3.一个五位数，各个数位上的数字互不相同，它能被3，5，7，11整除，这样的数中最大的是几4.一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足条件的最小的自然数.5.四个连续自然数的和是一个在400至440之间的三位数，并且这个和能被9整除，求这四个连续自然数.6.如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中1的个数最少有多少个8.用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除，求这个六位数.二、分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….例9○＋（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是 11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择.这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3， 24＝23×3，45＝32×5， 65＝5×13，77＝7×11， 78＝2×3×13，105＝3×5×7， 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42， 100＝22×52，…例15 甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.习题二1.边长为自然数，面积为165的形状不同的长方形共有多少种2.四个连续自然数的乘积是11880，求此四个数.3.两个两位的整数，乘积是6975，这两个数中较小的数是多少4.某个自然数是3和4的倍数，包括1和它本身在内共有10个约数，那么这个自然数是几5.将8个数14，30，33，75，143，169，4445，4953分成两组，每组4个数，要使每组的4个数的乘积相等，如何分组6.把26， 33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中，任意两数的最大公约数是1，那么至少要分多少个组7.两个整数A，B的最大公约数是C，最小公倍数是D.已知C不等于1，也不等于A或B，并且C＋D＝187.求A＋B是多少三、余数在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.上面两个算式中2和3就是余数，写成文字是被除数÷除数=商……余数.上面两个算式可以写成65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.也就是被除数=除数×商+余数.通常把这一算式称为带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某些整数问题所需要的.特别要提请注意：在带余除式中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例17 5397被一个质数除，所得余数是15.求这个质数.解：这个质数能整除5397-15＝5382，而 5382＝2×31997×13×23.因为除数要比余数15大，除数又是质数，所以它只能是23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数倍，从而得到余数.例18求645763除以7的余数.解：可以先去掉7的倍数630000余15763，再去掉14000还余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余数是6.这个过程可简单地记成645763→15763→1763→363→13→6.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：645763→15000→1000→6.带余除法可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例19 有一个大于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001的两两之差，即1000-967＝33＝3×11，2001-1000＝1001＝7×11×13，2001-967＝1034＝2×11×47.这个整数是这三个差的公约数11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另一个差总可以由这两个差得到.例如，求出差1000-967与2001-1000，那么差2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）＝1001＋33＝1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5＋9＝14被13除的余数1.例20 有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝ 8×249＋ 6，所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被7除的余数0， 1， 2， 3， 4， 5， 6的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12个数的循环，就说周期是12，7个数的循环，就说周期是7.例20中余数的周期是8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个从带余除式得出的结论：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数.那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余数是 4×5＝20被 11除后的余数 9.1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2＝4.例 21 191997被7除余几解：从上面的结论知道，191997被7除的余数与21997被7除的余数相同.我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数.先写出一列数2，2×2＝4，2×2×2 ＝8，2×2×2×2＝16，….然后逐个用7去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被7除的余数，乘以2，再被7除，就可以得到后一个数被7除的余数.（为什么请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，……因此，余数是每隔3个数循环一轮.循环的周期是3.1997＝ 3× 665 ＋ 2.就知道21997被7除的余数，与21997被 7除的余数相同，这个余数是4.再看一个稍复杂的例子.例22 70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，….问：最右边一个数（第70个数）被6除余几解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的3倍减去再前一个数：3＝1×3-0，8=3×3-1，21=8×3-3，55=21×3-8，……不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被6去除，那就太麻烦了.能否从前面的余数，算出后面的余数呢能！同算出这一行数的办法一样（为什么），从第三个数起，余数的计算办法如下：将前一个数的余数乘3，减去再前一个数的余数，然后被6除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现0×3-1这在小学数学范围不允许，因为我们求被6除的余数，所以我们可以 0×3加6再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就知道余数的循环周期是12.70 ＝12×5+10.因此，第七十个数被6除的余数，与第十个数的余数相同，也就是4.在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例23 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.上面解法中，我们逐个列出被3除余2的整数，又逐个列出被4除余1的整数，然后逐个考虑被12除的余数，找出两者共同的余数，就是被12除的余数.这样的列举的办法，在考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果我们把例23的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5＋ 12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例24 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23， 28，….这两列数中，首先出现的公共数是与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数2， 9， 16， 23， 30，…，就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.最后再看一个例子.例25在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被3整除，第二个能被5整除（又是被3除余1）.例如，找出9和10，下一个连续的自然数是11.3和5的最小公倍数是15，考虑11加15的整数倍，使加得的数能被7整除.11＋15×3＝56能被7整除，那么54，55，56这三个连续自然数，依次分别能被3，5，7整除.。

自然数的认识与性质自然数，也称作正整数，是在数学中最基本的概念之一。

从古至今，人们对于自然数的认识和探索在数学的发展中起到了重要的作用。

本文将介绍自然数的基本认识和性质，并探讨自然数在数学中的重要性和应用。

一、自然数的基本概念自然数，顾名思义，是人们对于自然界中事物数量的抽象表示。

它是最简单、最基本的数，并以正整数1、2、3、4……依次向上排列。

自然数是无穷的，没有上限，可以一直往上延伸。

二、自然数的性质1. 整数性质：自然数包括正整数1及其之后的所有整数，不包括负整数和零。

2. 排序性质：自然数可以按照大小进行排序，较小的数排在前面，较大的数排在后面。

3. 运算性质：自然数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等基本的数学运算。

自然数的运算法则可以总结为加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及加法和乘法的分配律。

4. 除法性质：除法的定义需要特别注意。

自然数除法的结果有两种情况，一种是精确的商，即除尽得到整数结果；另一种情况是余数不为零，此时除法的结果是商和余数的组合表示。

三、自然数的重要性和应用1. 自然数的计数作用：自然数常常用于计数和计量事物的数量。

在生活中，我们经常用自然数表示年龄、身高、重量等，便于描述和比较。

2. 自然数的运算应用：自然数的运算在日常生活中无处不在。

人们使用自然数进行加减乘除运算，帮助解决实际问题，例如购物计算、时间计算、金融利率计算等。

3. 自然数的数学推理与证明：自然数是数学推理和证明的基础。

在数学中，我们可以通过使用自然数来推导和证明定理和公式，例如数学归纳法就是一种重要的推理方法，基于自然数的结构和性质。

4. 自然数的代数和数论应用：自然数是代数和数论的基础。

代数中的整式和多项式运算、方程和不等式求解等都建立在自然数的基础之上。

数论则探讨自然数的各种性质，例如质数、倍数等。

总结起来，自然数是数学中最基本的概念之一，它具有整数性质、排序性质、运算性质和除法性质。

自然数及其性质自然数是我们生活中最常见的数，它包括0、1、2、3、4……一直延伸至无穷大。

自然数的性质在数学中有着重要的地位和应用。

让我们来探索一下自然数的性质和它们在数学中的应用吧。

一、自然数的定义自然数是从0开始的整数，用N表示。

自然数的集合可以表示为N = {0, 1, 2, 3, 4, …}。

每个自然数都有它自己的后继，即下一个自然数。

例如，1的后继是2，2的后继是3，以此类推。

二、自然数的奇偶性自然数可以分为两类：奇数和偶数。

奇数是指不能被2整除的数，而偶数则是能被2整除的数。

例如，1、3、5、7、9等是奇数，而2、4、6、8等则是偶数。

任何一个自然数，不论奇偶，都可以表示为2的倍数加1或2的倍数。

三、自然数的质数与合数自然数可以进一步分为质数和合数。

质数是只能被1和本身整除的自然数，而合数则是除了1和本身外还可以被其他数整除的自然数。

比如，2、3、5、7、11等都是质数，而4、6、8、9则是合数。

四、自然数的因数与倍数自然数的因数是指能够整除该自然数的数，而倍数则是指某个自然数的整数倍。

例如，6的因数包括1、2、3和6本身，而它的倍数是6、12、18等。

五、自然数的递增性和递减性自然数集合是按照从小到大的顺序递增排列的。

原点0能够通过后继操作得到1，再通过后继操作得到2，以此类推。

自然数的递减性可以通过前驱操作来实现，即一个自然数通过减去1得到前一个自然数。

六、自然数的无穷性自然数是一个无穷集合，它没有最大的数。

无论给出多大的自然数，总能找到一个比它更大的自然数。

自然数的无穷性可以通过递增性和后继操作得到证明。

七、自然数的应用自然数的性质在数学中有广泛的应用。

例如，在代数中，自然数是整数和有理数的基础。

在几何中，自然数可以用来表示图形的数量。

在概率论和统计学中，自然数可以用来计数和表示事件发生的概率。

总结自然数是数学中最基本的数集之一，它包括0和正整数，具有递增性、递减性以及无穷性。

【数学知识点】整数和自然数的概念和性质
整数是正整数、零、负整数的集合。

自然数是指表示物体个数的数。

接下来分享整数
和自然数的概念和性质。

1.概念：整数是正整数、零、负整数的集合。

整数的全体构成整数集，整数集是一个
数环。

在整数系中，零和正整数统称为自然数。

-1、-2、-3、…、-n、…(n为非零自然数)为负整数。

则正整数、零与负整数构成整数系。

整数不包括小数、分数。

2.性质：若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数;若有限个整数之积为
偶数，则这些整数中至少有一个是偶数;两个整数的和与差具有相同的奇偶性;一个整数的
平方根若是整数，则两者具有相同的奇偶性。

1.概念：自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。

即用数码0，1，2，3，4……所表示的数。

自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。

自然数有有序性，无限性。

分为偶数和奇数，合数和质数等。

2.性质：有序性;无限性;传递性;三岐性。

自然数集N是指满足以下条件的集合：
①N中有一个元素，记作1。

②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。

③1是0的后继者。

④0不是任何元素的后继者。

⑤不同元素有不同的后继者。

⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者
也在M中，那么M=N。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

自然数与整数的概念与性质自然数与整数是数学中最基本的数系。

它们有着不同的定义和性质，对于数学的研究和应用起着重要的作用。

一、自然数的概念与性质自然数是从1开始的正整数，表示为N={1,2,3,4,...}。

自然数的概念最早产生于人们对数量的感知和计数需求，是数学的基石之一。

自然数具有以下性质：1. 自然数是无限的，可以无限地继续向上计数；2. 自然数之间有顺序关系，即自然数较大的数比较小的数大；3. 任意两个自然数之间的差是正整数，即对于任意的自然数a和自然数b(a<b)，有b-a是正整数。

二、整数的概念与性质整数是由自然数及其相反数和零组成的数系，表示为Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。

整数的引入是为了解决自然数在减法运算中存在的问题。

整数具有以下性质：1. 整数包括正整数、负整数和零；2. 整数之间的加法满足封闭性，即两个整数的和仍然是整数；3. 整数之间的乘法满足封闭性，即两个整数的积仍然是整数；4. 整数之间的加法满足交换律、结合律和分配律，即整数加法满足运算规律。

三、自然数与整数的关系与应用1. 自然数是整数的一个子集，即每个自然数也是一个整数；2. 自然数和整数在数学的各个分支中都有广泛的应用，如代数、几何、概率等；3. 自然数和整数在计算机科学和信息技术领域中有着重要的应用，例如在算法设计、数据结构和编程中的应用。

总结自然数和整数是数学中最基本的数系，它们分别以正整数和正整数及其相反数和零为元素。

自然数和整数具有一些共同的性质，如封闭性、交换律、结合律等。

自然数和整数在数学研究和应用中都起着重要的作用，为我们更深入地理解数学提供了基础。

初一数学竞赛系列训练1自然数的有关性质（附答案）一、选择题1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( )A、56B、78C、84D、962、三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60，a、b的最大公约数是4，b、c的最大公约数是3，则a+b+c的最小值是（）A、30B、31C、32D、333、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )A、33B、34C、35D、374、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( )A、24B、12C、6D、05、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是( )A、25B、26C、27D、286、设n为自然数，若19n+14≡10n+3 (m o d 83)，则n的最小值是( )A、4B、8C、16D、32二、填空题7、自然数n被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n的最小值是8、满足[x,y]＝6，[y,z]＝15的正整数组(x,y,z)共有组9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是10、有一个11位数，从左到右，前k位数能被k整除(k＝1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是11、设n为自然数，则3 2 n+8被8除的余数是12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是三、解答题13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120．14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数．15、五位数H 97H 4能被12整除，它的最末两位数字所成的数7H 能被6整除，求出这个五位数．16、若a ,b ,c ,d 是互不相等的整数，且整数x 满足等式(x -a )(x -b )(x -c )(x -d )＝9求证：4∣(a +b +c +d )17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？18、求2400被11除，所得的余数．19、证明31980+41981被5整除．初一数学竞赛系列训练1答案1、 设这两个数为a ,b ，由(a ,b )＝8得a ＝8m ,b ＝8n ，且(m ,n )＝1由[a ,b ]＝96得[m ,n ]＝12，又(m ,n )＝1，所以m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3所以a +b ＝8(m +n )＝56，故选A2、 由题意知，b 既能被4整除，又能被3整除，所以b 能被12整除又60能被b 整除，所以b ＝12或60（1）若b ＝12，则60÷ b ＝5，因为5与4互质，5与3也互质，所以a 、c 中至少有一个含有因数5．若a 含有因数5，则a ≣20，又c ≣3，所以a +b +c ≥20+12+3＝35若c 含有因数5，则c ≣15，又a ≣4，所以a +b +c ≥4+12+15＝31取a ＝4，b ＝12，c ＝15，能构成三角形（2）若b ＝60，则a +b +c ＞60＞31故a +b +c 的最小值为31．3、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有50个；既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有6，12，18，…，96共16个，所以能被2整除但不能被3整除的数有50-16＝34个，选B4、∵ 七位数各位数字之和为32，不能被3整除，∴任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3整除，故选D5、1995除以6的余数是3，且a ≡1995 (m o d 6)，所以a 除以6的余数也是3，故选C6、由19n +14≡10n +3 (m o d 83) 知19n +14 –(10n +3)≡ 0 (m o d 83)∴9n +11≡ 0 (m o d 83) ∴9221991183-+-=-=k k k n 当k ＝1时，n 取最小值8．故选B7、由题意得n +1是3、4、5的公倍数，最小的n ＝3⨯4⨯5-1＝598、∵y 整除6又整除15，∴y 整除3，所以y ＝1,3.代入可得：(6，1，15)，(2，3，5)，(2，3，15)，(6，3，5)，(6，3，15)五组解．9、被4整除的最大三位数是996，所求四位数可表示成x 996，∵9∣996x ，∴x ＝3,于是所求的末位数是3．10、2∣10，3∣102，4∣1020，5∣10200，6∣102000，7∣1020005，8∣10200056，9∣102000564，10∣1020005640，11∣10200056405，于是最小11位数是1020005640511、∵3 2 n +8＝9 n +8 ∴3 2 n +8≡1n +0 (m o d 8)≡1 (m o d 8) ∴3 2 n +8被8除的余数是112、设自然数N 的末位数是a ，则N ≡a (m o d 10)，从而N 4≡a 4(m o d 10)，∴ 14≡1 (m o d 10)，24≡6 (m o d 10)，34≡1 (m o d 10)，44≡6 (m o d 10)，54≡5 (m o d 10)，64≡6 (m o d 10)，74≡1 (m o d 10)，84≡6 (m o d 10)，94≡1 (m o d 10)，104≡0 (m o d 10) ∴14+24+34+44+…+19944+19954≡199⨯(14+24+34+44+…+104)+ 14+24+34+44+54 ≡199⨯(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6+5≡199⨯33+19≡7+9≡6 (m o d 10) 故14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是613、设两个自然数是a ,b (a ≢b )，且(a ,b )＝d ，并设a 1＝d a ，b 1＝d b ，则(a 1，b 1)＝1，且a +b ＝d (a 1+b 1)＝667＝23⨯29.因为23，29都是质数，所以d ＝1或d ＝23或d ＝29(1) 若d ＝1，则[a ,b ]＝ab ＝120又因为a +b ＝667，所以a 2-667a +120＝0.但此方程中a 不能是自然数，所以d ≠1.(2) 若d ＝23，则有a 1+b 1＝29[a ,b ]＝23[a 1 ,b 1]＝23• a 1• b 1，所以a 1• b 1＝[]d b a ，＝120 ∴ 012029121=+-a a ，则()1202911=-a a ，把120分解质因数，可得a 1＝5，从而b 1＝24．所以a ＝23⨯5＝115，b ＝23⨯24＝552(3) 若d ＝29，则有a 1+b 1＝23[a ,b ]＝29[a 1 ,b 1]＝29• a 1• b 1，所以a 1• b 1＝[]d b a ，＝120 ∴ 012023121=+-a a ，则()1202311=-a a ，把120分解质因数，可得a 1＝8，从而b 1＝15．所以a ＝29⨯8＝232，b ＝29⨯15＝435综上所得，本题有两组解：115，552或232，43514、设这两个数为x ,y ，则x +y ＝40,且(x ,y )+[x ,y ]＝56，由于(x ,y )⨯[x ,y ]＝xy ，所以[]()y x xy y x ,,= 设(x ,y )＝d ，则x ＝da ，y ＝db ，且(a ,b )＝1，于是可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+d ab d b a 56140 由于(40，56)＝8，所以d ＝1,2,4,8 当d ＝1,2,4时方程组无整数解，所以d ＝8d ＝8时，方程组变为⎩⎨⎧==+65ab b a ，可得a ＝2,b ＝3或a ＝3,b ＝2，所以x ＝16或24，y ＝24或16，从而所求的两个数为16和2415、由于五位数H 97H 4能被12整除，而12＝3⨯4，且3，4互质，所以3∣H 97H 4且4∣H 97H 4．∴3∣(4+H+9+7+H )，即3∣(2H+20)，经试算H 可取2、5或8，又因为6∣7H ，所以2∣7H ，故H 为偶数，所以H 取2或8，又因为4∣H 97H 4，所以4∣7H ，所以H 取2，所以这个五位数为42972．16、∵a ,b ,c ,d 是互不相等的整数，则x -a ,x -b ,x -c ,x -d 也是互不相等的整数．∵(x -a )(x -b )(x -c )(x -d )＝9，所以x -a ,x -b ,x -c ,x -d 均为9的约数，而9＝(-1)⨯(+1)⨯(-3)⨯(+3)，则(x -a )+(x -b )+(x -c )+(x -d )＝ (-1)+(+1)+(-3)+ (+3)＝0即 a +b +c +d ＝4x ，所以4∣(a +b +c +d )17、∵99＝32⨯11，98＝72⨯2，97＝97，96＝25⨯3 ∴96是25⨯33⨯52⨯7的最大的两位约数．18、25＝32≡-1(m o d 11)，210≡(-1)2≡1(m o d 11)，2400＝(210)40≡140＝1(m o d 11)即2400被11除，余数是119、31980+41981＝(32)990+41981＝9990+41981≡1990+(-1)1981＝1+(-1)＝0(m o d 5)所以31980+41981被5整除。

初中数学知识归纳数的分类与性质在初中数学学习中，数的分类与性质是一个十分重要的内容。

通过对不同类型的数进行分类，可以更好地理解和应用数学知识。

本文将对初中数学中常见的数进行分类，并介绍它们的性质和特点。

一、自然数（N）自然数是最早形成的一种数的概念，它包括从1开始的所有整数。

自然数没有小数和负数，具有无限的数目。

自然数的性质包括：1.自然数是正整数，可以用来计数。

2.自然数之间可以进行加法、减法和乘法运算，但除法不一定都有整数结果。

二、整数（Z）整数是由自然数、0和负整数组成。

整数的性质包括：1.整数可以进行加法、减法和乘法运算，除法可能产生小数或分数结果。

2.整数的绝对值越大，数值越大。

3.正整数之间的乘积是正整数，负整数之间的乘积是正整数，正整数与负整数之间的乘积是负整数。

三、有理数（Q）有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

有理数的性质包括：1.有理数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

2.有理数包含整数和分数，它们可以互相转化。

3.有理数的分数形式可以化简，但在小数形式下可能是无限循环小数或无限不循环小数。

四、无理数（I）无理数是不能表示为整数比值的数，它们的小数形式是无限不循环的。

无理数的性质包括：1.无理数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

2.无理数的小数形式是无限不循环的，如圆周率π和自然常数e。

五、实数（R）实数是自然数、整数、有理数和无理数的集合。

实数的性质包括：1.实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

2.实数可以用数轴上的点表示，可以比较大小。

3.实数可以进行乘方和开方运算。

4.实数集合是无限的，其中既包含有理数，也包含无理数。

在数的分类与性质的学习中，我们需要理解每种数的概念和特点，并能够灵活应用它们解决实际问题。

通过数的分类，我们能够更好地理解数的运算规律和性质，为后续数学知识的学习打下坚实的基础。

总结起来，初中数学知识中的数的分类与性质主要包括自然数、整数、有理数、无理数和实数。

解密数字的奇妙探索自然数的性质自然数是指从1开始的整数，它们是数学中最基本的数，也是人类认识数学的起点。

在解密数字的奇妙探索中，我们将探讨自然数的一些性质，揭示其中的数学奥秘。

一、自然数的无穷性自然数是无穷多的，它们没有尽头。

无论我们从1开始，还是任意选择一个自然数作为起点，都可以继续往后推导出无数个自然数。

这种无穷性给了我们无限的探索空间，让我们能够不断深入研究数字的奥妙。

二、自然数的整除性自然数之间存在整除关系。

当一个自然数a可以被另一个自然数b 整除时，我们可以说a是b的倍数，而b是a的约数。

例如，4是8的约数，8是4的倍数。

通过研究自然数的整除性，我们可以发现一些有趣的规律和性质。

三、自然数的质数与合数在自然数中，有一类特殊的数，它们除了1和自身外没有其他的约数，这样的数被称为质数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

而除了质数之外的其他自然数被称为合数。

质数和合数之间有着密切的联系，通过深入研究它们的性质，我们可以揭示出更多关于自然数的规律。

四、自然数的倍数与公倍数自然数之间的倍数关系非常重要。

当一个自然数a是另一个自然数b的倍数时，我们可以说b是a的约数，a是b的倍数。

两个自然数同时是一个自然数c的约数时，我们可以将它们称为c的公约数。

而同时是两个自然数的倍数的最小自然数，则被称为这两个自然数的公倍数。

通过探索自然数的倍数与公倍数的性质，我们可以发现它们之间的一些有趣规律。

五、自然数的互质性当两个自然数的最大公约数为1时，这两个数被称为互质数。

互质数之间没有公约数，它们的关系仅仅是彼此之间不具备任何整除关系。

探索自然数的互质性，可以让我们发现互质数的分布规律，以及它们对数学问题的重要性。

六、自然数的平方数与立方数自然数中的平方数和立方数也是我们探索的重点之一。

平方数指的是某个自然数乘以自身得到的数，如1、4、9、16等。

而立方数则是某个自然数的立方，如1、8、27、64等。

通过研究平方数和立方数的性质，我们可以了解它们的特点以及它们与其他自然数之间的关系。

让我们一起学习自然数自然数是数学中一个重要的概念，是从1开始无限往上数的整数。

学习自然数是数学学习的基础，也是培养逻辑思维和数学能力的重要一环。

下面，让我们一起来学习自然数的概念、性质和应用。

一、自然数的概念自然数是从1开始依次往上数的整数，用符号N表示。

自然数集合中的数依次为1，2，3，4...... 组成。

二、自然数的性质1. 自然数是整数的一部分，从1开始无限往上数。

2. 自然数之间有着自然的顺序，每个自然数都比前面的自然数大1。

3. 自然数集合中的数是无穷的，不会有最大的自然数。

三、自然数的算术运算1. 加法：自然数之间可以进行加法运算。

例如，1+2=3，2+3=5。

2. 减法：自然数之间也可以进行减法运算，但要求被减数必须大于等于减数。

例如，3-2=1。

3. 乘法：自然数之间可以进行乘法运算，例如，2×3=6。

4. 除法：自然数之间也可以进行除法运算，但要求除数必须能够整除被除数。

例如，6÷2=3。

四、自然数的应用1. 自然数被广泛应用在计数和排序中。

当我们需要统计数量时，自然数能够非常直观地表示出来。

2. 自然数可以用来解决各种实际问题，比如计算面积、长度、重量等。

3. 自然数在代数和几何中也有广泛的应用。

在解方程、证明定理等数学问题中，自然数是基础。

通过学习自然数的概念、性质和应用，我们可以更好地理解数字的规律、进行计算和解决实际问题。

在学习过程中，我们还可以探究自然数的奇偶性、质数和倍数等更深入的知识点，进一步拓展数学的广度和深度。

总之，自然数是数学中一个重要的概念，是数学学习的基础。

通过学习自然数的概念、性质和应用，我们可以培养逻辑思维和数学能力，为后续的学习打下坚实的基础。

让我们一起努力学习自然数，开启数学学习的精彩之旅！。