数学建模经典案例：最优截断切割问题复习进程

数学建模截断切割问题学号：************* 姓名：杨德升学号：************* 姓名：李春红学号：************* 姓名：杨建明问题描述：某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。

这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。

从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。

试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。

（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数。

2、给出上述问题的数学模型和求解方法。

3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。

4、对于e=0的情形有无简明的优化准则。

5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。

垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a r = 1 e = 0;b r = 1.5 e = 0;c r = 8 e = 0;d r = 1.5 2<= e<=15;对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

解：（1）对于计算不同的切割方式总数，经过分析，能够用排列组合的知识来解决这个问题。

我们对分别位于前、后、左、右、上、下的切割面进行编号，其相应的编号分别为1M，2M，M3，M4，M5，M6，然而每一种切割方式都是对这6个切割面的一个排列方式，所以总共就6！=720种排列方式。

但是相继切割一对平行面时，交换切割次序，不影响切割费用，把费用相同的一项归到一类，最终的切割总数为：720-3x5!+3x4!-3!=426种(2)(3)(4)(5)符号说明：a0,b0,c0分别表示待加工长方体的长、宽、高。

木板最优切割方案数学建模
我们可以使用线性方程组来求解木板最优切割方案。

具体如下：
minimize
f(某)=(某_1-某_2)^2+(某_3-某_4)^2
subject to
某_1<=某_2<=某_3<=某_4
可以看出，木板的最优切割方案就是使得某_1、某_2、某_3、某_4大小相等的方案。

对于实际的切割过程，可以使用线性规划的求解器来求解最优切割方案，如下所示：
import math
import linprog
def BoardCut(board,某1,某2,某3,某4):
'''
function to find the best way to cut a board
board: the board to be cut
某1,某2,某3,某4: the coordinates of the corners of the board
'''
# create the constraint matri某A=[[某1-某2],[某3-某4]]
# create the objective function obj = [某1-某2,某3-某4]
# solve the linear program
lp = linprog.LinearProgram。

lp.add_constraint(A)
lp.add_objective(obj)
lp.solve。

# return the optimal solution
某 = lp.get Solution。

截断切割B题截断切割题目某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。

这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。

从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长主体的对应表面是平行的）通常要经过6次截断切割。

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。

（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数2、给出上述问题的数学模型和求解方法。

1、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。

2、对于e=0的情形有无简明的优化准则。

3、用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。

垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a.r=1 e=0 ;b.r=1.5 e=0 ;c.r=8 ,e=0 ;d.r=1.5;2≤e≤15对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

B题截断切割参考答案（1）需考虑的不同切割方式的总数V中共有6!=720个不同的元素，因此有720种不同的切割方式，注意到相继二次切割一对平行的平面时，交换这二次切割的先后次序不影响对应切割方式的费用，将费用相同的切割方式归成一类，每类取一种切割方式作不代表，此时仅需考虑加工费用可能不同的切割方式426种。

（2）问题归结为求一个定义在6个切割面排列次序的全体或它的一个子集上的函数的最小值。

目标函数应尽量用显式写出。

求解可用枚举法，分支定界法或其它方法，从尽可能简便有效作为评价标准：（3）一种作法如下：在直角坐标系中，表面平行于坐标平面的长方体可表示为{（x,y,z）,(a,b,c)},其中（x,y,z）为长方体某指定角点的坐标，a,b,c分别为它的长、宽、高。

建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少.二、 假 设１、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ；３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用；4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则,只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.1、 e=0 的情况为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z.图9-13 G(V,E)图G(V,E)的含义为：(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.W(Vi,Vj)=(xj-xi)⨯(bi⨯ci)+(yj-yi)⨯(ai⨯ci)+(zj-zi)⨯(ai⨯bi)⨯r其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)⨯c0(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表：u1 u2 u3 u4 u5u66 1 755 69r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.2、e≠0的情况当e≠0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图9-13的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在G垂直切割面排列情有向路必经点形情况一（一）M1－M2－M3－M4 (1,0,z),(2,0,z),(2,1,z)情况一（二）M3－M4－M1－M2 (0,1,z),(0,2,z),(1,2,z)情况二（一）M3－M1－M2－M4 (0,1,z),(1,1,z),(2,1,z)情况二（二）M1－M3－M4－M2 (1,0,z),(1,1,z),(1,2,z)情况三（一）M1－M3－M2－M4 (1,0,z),(1,1,z),(2,1,z)情况三（二）M3－M1－M4－M2 (0,1,z),(1,1,z),(1,2,z)我们希望通过在图9-13的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图9-13的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图9-14中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.图9-14 H1图9-15 H2。

摘要金属板的切割问题要求对金属板的切割方式进展构思，希望通过数学可以达到效率较高、本钱较低的可能性。

应该先通过穷举的方法找到所有可能性，在所有可能性中保存最优的可能性。

所谓最优即效率较高、本钱较低的可能。

然后建立非线性规划的数学模型，以这些可能性为根底，将题中订单需求转化为求解金属原料此目标函数的约束条件。

我们小组三人采用LINGO软件的数学规划模型求解功能求解出目标函数值。

最后通过计算检验证明，该模型求解出的切割方法和题目的要求是完全符合的。

目录一、问题重述 (3)二、问题假设 (3)三、模型建立 (4)符号说明 (4)模型建立 (4)四、问题的求解与分析 (5)五、求解结果 (6)六、模型的评价 (7)模型的优缺点 (7)模型的改良 (8)七丶结论 (8)八、参考文献 (8)一、问题重述此题主要是讨论在切割大面积金属时，通过建立数学模型的方法使切割时的本钱最低、效率最高。

此题中只考虑切割切割金属的面积。

题目中已经给出了大面积金属板的实际面积大小，并给消费者们需要切割的小块金属的面积与需要的个数。

由于利润和控制本钱是生产商最重要的东西，所以在实际切割的时候，一定要考虑效率和本钱。

尽量最大的进展本钱节约。

我们采用数学建模的方式来解决这一实际问题。

通过这样的方式处理问题可以做到高效、直观和准确。

二、问题假设〔1〕假设车间是以减少原料投入为主要节省方式。

实际上，金属加工生产中的余废料价值远远小于完整的原料价值，因此这样假设确立了模型是以最小原料使用量为目标。

〔2〕金属切割时不发生原料总面积减少。

在生产实践当中，由于切割工艺问题，在切割板材是会使切割线位置出现原料耗损〔如融化，形变等〕。

在模型中假设这种耗损不存在。

〔3〕不考虑切割方式增加所带来的本钱本钱增加。

作为简单的直线切割问题，生产模式的增加对设备要求、人力要求很少，因此对本钱的增加微乎其微可以忽略，即不限制切割模式的数量。

〔4〕假设所有原材料的大小规格完全一致，这样假设防止一些不确定因素对模型求解时的不利影响，简化模型。

长方摘要本篇论文着重讨论了长方体截断切割的最优排序策略，用排列组合得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验。

当E=3时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域关键字:权重、捆绑法、排列组合、最小路径一、问题的重述与分析在日常的工业生产中，工人师傅会常常采取一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工总费用与水平切割、垂直切割的截面面积、调整刀具时的额外费用e以及切割面的排列顺序。

通常要经过6 次截断切割完成.水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.对于本问题我们首先面临的是各面加工次序的排列问题和我们当考虑到原成品和成品的位置不确定的时候我们如何采取策略来达到最优的切割方式二、模型假设1、机器切割与刀具无任何误差2、人为操作（换刀，位置摆放等）完全正确3、金属不会因为加工过程中环境因素而发生微小的变形4、目标长方体所在位置与原成品任一表面不重合5、切割刀具为一个且水平放置6、水平方向只需平行移动水平刀具或调整后平行移动三、符号说明A，B，C分别表示原长方体的长、宽、高，单位：cma，b，c分别表示目标长方体的长、宽、高，单位：cm毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面下表面（为方便做题，分别记为253614）r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比e 调整一次垂直刀具的额外费用p 垂直切割单位面积费用ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面wi 第i 次切割的切割费用单位:元vi 第i 次切割被切割掉部分的面积单位:平方厘米di 最终产品与毛坯的对应表面的距离i = 1,2,，，，6其它变量如果出现则在使用时另行说明四、模型建立模型一：1求出费用最小下的最优切割方式（方法同模型二）以各个切割面为顶点，任意每两个顶点之间的切割费用（考虑额外费用e）即权重，画出类似模型二中图，再利用Dijkstra算法求出最短路径及所求最优切割方式A1C 62 a b C5 B3 A 4模型二：根据调整刀具需额外费用e的次数（E）可分为以下几种可能1、E=3次的情形就是首先切割对应的平行面如：1、4面2、5面3、6面，将其平行的对面用捆绑法进行捆绑，分别记为V1、V2、V3。

建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过６ 次截断切割．设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍。

且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”)的方法,使加工费用最少。

二、 假 设1、假设水平切割单位面积的费用为r,垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用ｅ；3、第一次切割前,刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割．三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b ０ 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、Ｍ2、M3、M ４、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、ｕ2、u3、u4、u5、ｕ6.这样,一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式。

当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则，只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在９0个满足准则的切割序列中考虑．不失一般性,设u １≥u2,u3≥u ４，u5≥u6,故只考虑Ｍ1在M2前、M ３在M ４前、M5在Ｍ６前的切割方式。

1、 ｅ=0 的情况为简单起见,先考虑e＝0 的情况．构造如图9—１3的一个有向赋权网络图Ｇ(V，Ｅ）。

为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z．图9—13 G（V,Ｅ)图G（V，E)的含义为:（１)空间网络图中每个结点Ｖi(ｘi，yi,ｚi）表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xｉ、yi、ｚi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数．例如：V24(2，1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面Ｍ1、M2、M3、M5、M6均已被切割．顶点V1（0，0，０）表示石材的最初待加工状态,顶点V２7（２，２，２）表示石材加工完成后的状态．（2)Ｇ的弧(Vi,Vj)表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Ｖi经一次切割变为状态Vj,即当且仅当xｉ+yi+zi＋１=ｘj＋yj+zj时，Vi（ｘi，yi，zｉ)到Vj（ｘｊ，yj,zj）有弧（Vｉ，Vj),相应弧上的权W(Vi，Ｖj）即为这一切割过程的费用。

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。

想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手头有一根长长的原木，需要将其切割成不同长度的木板，以满足客户的订单需求。

但原木的长度是有限的，而客户的订单要求各种各样，怎样切割才能最大限度地利用这根原木，减少浪费，提高利润呢？这可不是一件简单的事情，需要运用数学建模的智慧来找到最优解。

为了更好地理解最优截断切割问题，让我们先来看一个具体的例子。

假设有一根长度为 10 米的钢材，需要切割成 2 米、3 米和 4 米三种不同长度的小段，分别需要 10 段、8 段和 5 段。

那么，应该如何切割才能使浪费最少，或者说在满足需求的前提下使用的钢材最少呢？首先，我们可以尝试一些直观的切割方法。

比如说，先把钢材尽可能地切成 4 米长的小段，然后再处理剩下的部分。

但这样做真的是最优的吗？也许在这个例子中是，但如果需求的数量或者钢材的长度发生变化，这种方法可能就不再适用了。

为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型。

假设我们用 x1、x2、x3 分别表示切割成 2 米、3 米和 4 米小段的数量。

那么，我们需要满足以下条件：2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 ＜＝ 10 （这表示切割出的小段长度总和不能超过原材料的长度）x1 ＞＝ 10 （2 米小段的需求数量）x2 ＞＝ 8 （3 米小段的需求数量）x3 ＞＝ 5 （4 米小段的需求数量）同时，我们的目标是要使切割使用的钢材长度最小，也就是要最小化 2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 这个目标函数。

接下来，我们可以使用一些数学方法来求解这个模型。

常见的方法有线性规划、动态规划等。

以线性规划为例，我们可以通过软件工具（如 LINGO、Matlab 等）来求解这个问题，得到最优的切割方案。

最优分割法的步骤全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最优分割法（Optimal Cuts）是一种用于解决特定问题的数学和计算方法。

它可以帮助人们找到一种最有效的方式来切割或分割一块材料或资源，以达到最大的利益或效益。

最优分割法在许多领域都有应用，比如生产制造、运输物流、资源配置等。

本文将简要介绍最优分割法的步骤及其在实际应用中的意义。

最优分割法的步骤主要包括以下几个部分：1. 问题定义：首先需要明确问题的具体情境和要解决的目标。

某公司需要将一块原材料切割成若干个零部件，以满足不同产品的生产需求。

问题定义的清晰和准确将有助于后续的计算和决策过程。

2. 参数设定：确定问题的相关参数和约束条件。

这些参数包括原材料尺寸、零部件尺寸、切割成本、生产需求等。

约束条件可能包括切割方式、零部件数量、质量要求等。

参数设定的准确性和全面性将直接影响到最优解的计算结果。

3. 切割设计：根据问题的特点和要求，设计合适的切割方案。

最优分割法通常采用数学模型和算法来计算最佳切割方式，以最大化利益或效益。

在设计过程中，需要考虑到各种影响因素，并在不同方案之间进行比较和评估。

4. 计算求解：利用数学工具或计算机软件，对设计方案进行计算和求解。

最优分割法基于数学优化理论和算法，可以通过线性规划、动态规划、贪婪算法等方法进行求解。

计算求解的过程需要考虑到不同变量和约束条件的相互作用，以找到最优解。

5. 方案评估：评估计算求解得到的最优解是否符合实际需求和实际情况。

评估的指标可以包括方案的成本效益、资源利用率、生产效率等。

如果最优解不符合要求，可能需要重新设计和求解，直至达到满意的结果。

6. 实施执行：根据最终确定的最优切割方案，进行实施和执行。

实施时需要按照设计方案进行操作，确保切割过程和结果符合要求。

同时需要关注实施过程中的反馈和调整，以及切割效果的监测和评估。

最优分割法的意义在于帮助人们在资源有限的情况下，找到一种最有效的方式来切割或分割材料，以达到最大的利益或效益。

数学建模经典案例最优截断切割问题在日常生活和工业生产中，我们常常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。

想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手里有一根长度固定的原木，而客户向你订购了各种不同长度的木板。

为了最大限度地利用这根原木，减少浪费，同时满足客户的订单需求，你需要思考怎样切割才能达到最优效果。

这不仅仅是简单的切割操作，而是涉及到数学的精确计算和策略规划。

比如说，我们有一根长度为 10 米的原木，而客户需要 2 米长的木板 3 块，3 米长的木板 2 块。

那么，我们应该怎样切割这根原木呢？这就需要用到数学建模的方法来找到最优的切割方案。

首先，我们来分析一下可能的切割方式。

一种方式是直接按照客户的需求进行切割，即先切出 3 段 2 米长的，然后再切出 2 段 3 米长的。

但这样可能会剩下 1 米的废料。

另一种方式是尝试不同的组合，比如先切出 2 段 3 米长的，然后从剩下的 4 米中再切出 3 段 2 米长的，这样就没有废料产生。

但这只是简单的举例，实际情况可能会更加复杂。

为了找到最优的切割方案，我们需要建立一个数学模型。

假设原木的长度为 L，客户需要的木板长度分别为 l1, l2, l3,， ln ，数量分别为n1, n2, n3,， nn 。

我们的目标是在满足客户需求的前提下，使废料最小或者利用率最大。

我们可以定义一个变量 xij 表示第 i 种长度的木板切割 j 段。

那么，我们的约束条件就是：对于每种长度的木板，其切割的数量要满足客户的需求，即∑j xij ＝ni 。

同时，切割的总长度不能超过原木的长度，即∑i j × lij × xij ≤ L 。

接下来，我们的目标函数可以是使废料最小，即 Minimize （L ∑i j × lij × xij) ，或者使利用率最大，即 Maximize （∑i j × lij × xij ／ L) 。

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的材料上进行最优的截断切割，以最大程度地提高材料利用率、降低成本，是一个具有实际意义和挑战性的问题。

接下来，让我们深入探讨一下最优截断切割问题的经典案例。

想象一下，有一家家具厂接到了一批订单，需要生产一定数量的桌子和椅子。

而用于制作桌椅的原材料是长度固定的木板。

为了满足订单需求，同时尽可能减少浪费，就需要精心规划木板的切割方式。

假设我们有一块长度为 L 的木板，要将其切割成若干段，用于制作不同长度的零件。

比如，我们需要制作长度分别为 a1, a2, a3,， an 的零件，且每个零件的需求量分别为 b1, b2, b3,， bn 。

首先，我们来考虑一种简单的切割方案。

如果不考虑最优性，只是随意切割，可能会导致大量的材料浪费。

比如，先把木板切割成需要的最长零件长度，然后再用剩余的部分切割较短的零件。

但这样的方法往往不是最优的，因为可能会在最后剩下一些无法有效利用的小段材料。

那么，如何才能找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的思想。

我们可以建立一个目标函数，目标是使切割后的剩余材料最少，或者等价地说，使切割出的有用材料最多。

设切割方案为 x1, x2, x3,，xn ，分别表示切割出长度为 a1, a2, a3,， an 的零件的数量。

则我们的目标函数可以表示为：Maximize ∑xi ai （在满足约束条件的情况下）约束条件通常包括：∑xi ai ≤ L （切割出的零件总长度不能超过木板长度）xi ≥ bi （切割出的每种零件数量要满足需求）xi 为整数（因为零件的数量必须是整数）接下来，我们可以使用一些数学优化算法来求解这个模型，比如线性规划、整数规划等方法。

为了更好地理解，让我们来看一个具体的例子。

假设木板长度 L ＝10 米，需要切割出长度为 2 米、3 米和 4 米的零件，需求量分别为 5 个、3 个和 2 个。

建模案例:最优截断切割问题一、问题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定得长方体（这两个长方体得对应表面就是平行得），通常要经过6 次截断切割、设水平切割单位面积得费用就是垂直切割单位面积费用得r倍、且当先后两次垂直切割得平面(不管它们之间就是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用ｅ、试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）得方法，使加工费用最少、二、假设1、假设水平切割单位面积得费用为r，垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割得平面（不管它们之间就是否穿插水平切割)不平行时,调整刀具需额外费用e;３、第一次切割前,刀具已经调整完毕,即第一次垂直切割不加入刀具调整费用;4 、每个待加工长方体都必须经过６次截断切割、三、模型得建立与求解设待加工长方体得左右面、前后面、上下面间得距离分别为a０、b０、ｃ0，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下,将它们相应编号为M１、M2、M３、M4、M5、M6,这六个面与待加工长方体相应外侧面得边距分别为u １、u2、u3、u4、u5、ｕ６、这样,一种切割方式就就是六个切割面得一个排列，共有种切割方式、当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中,边距较大得待切割面总就是先加工、由此准则,只需考虑种切割方式、即在求最少加工费用时,只需在90个满足准则得切割序列中考虑、不失一般性,设u1≥ｕ2，u3≥ｕ４,ｕ5≥u6，故只考虑M１在M2前、M3在Ｍ4前、Ｍ５在M6前得切割方式、1、e＝0 得情况为简单起见,先考虑e＝0 得情况、构造如图9—13得一个有向赋权网络图G(Ｖ,E)、为了表示切割过程得有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z、图9—13 G（V，Ｅ）图G（V，E)得含义为：(1）空间网络图中每个结点Vi(xｉ，ｙi，zi）表示被切割石材所处得一个状态、顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割得刀数、例如:V24(2，1，2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀,前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面M1、Ｍ2、M3、M5、M６均已被切割、顶点V１（0,0,0）表示石材得最初待加工状态,顶点Ｖ２７(2，2,2）表示石材加工完成后得状态、（2)Ｇ得弧（Vｉ,Vj)表示石材被切割得一个过程，若长方体能从状态Vi 经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zｉ+1=ｘｊ+yj+ｚj时,Vｉ(xｉ,ｙi,zi)到Ｖj(ｘｊ，yj，zｊ）有弧（Vi,Vj）,相应弧上得权W（Vi,Vj）即为这一切割过程得费用、W(Vi，Ｖj)＝(ｘｊ-ｘi）(ｂｉｃｉ)+（yj－ｙi）(aicｉ）＋（zj—ｚｉ)（aibi）ｒ其中,ai、bi、ci分别代表在状态Ｖi时，长方体得左右面、上下面、前后面之间得距离、例如，状态V5（1，1，0），a5 = ａ０－ｕ1,ｂ5 = b0-u3,c５= c0;状态Ｖ６(２,1，0）W（V5,V6)=(b0-u3）ｃ０（3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切Ｍ1、M3、M5中得某个面,在图中分别对应得弧为( V1,V2），（V1，Ｖ4）,(V１,V10)、图G中从V1到Ｖ2７得任意一条有向道路代表一种切割方式、从V1到Ｖ２7共有90条有向道路,对应着所考虑得90种切割方式、Ｖ１到Ｖ27得最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求得最优切割方式、实例：待加工长方体与成品长方体得长、宽、高分别为１0、1４5、１９与3、2、4,两者左侧面、正面、底面之间得距离分别为６、7、9,则边距如下表：ｕ1 u2 ｕ3 ｕ4 u5 u66 １7 55 ６9r＝１时，求得最短路为Ｖ1－Ｖ10－V13-Ｖ22－V23－V26-V27，其权为37４对应得最优切割排列为M5－M3－M6－M1-M4-Ｍ2，费用为374元、2、ｅ0得情况当e0时，即当先后两次垂直切割得平面不平行时,需加调刀费e、希望在图9-13得网络图中某些边增加权来实现此费用增加、在所有切割序列中，四个垂直面得切割顺序只有三种可能情况：<情况一〉先切一对平行面,再切另外一对平行面,总费用比e＝0时得费用增加e、〈情况二＞先切一个，再切一对平行面，最后割剩余得一个，总费用比e=0时得费用增加2e、〈情况三＞切割面就是两两相互垂直,总费用比e＝0时得费用增加3e、在所考虑得90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面得排列情形，及（2,１,z）情况一（二）Ｍ3—M４－M１－M2 （0，1，z），（0，2，z）,（1,2,z)情况二(一）M3－Ｍ1-M2－M4 （0，1,z），(1，1,ｚ），(2，1，z)情况二(二) Ｍ1－M3－M4－M2 （1,0,ｚ）,(1,1，ｚ）,（１,2,z）情况三（一) M1-M3－M２-M4 (1,0,z），(１，1，z)，（２，1，z）情况三（二) M３－M1-Ｍ4－Ｍ2 （0,1,z)，（1,1，z),(1，2,z）我们希望通过在图9-１3得网络图中得某些边上增加权来进行调刀费用增加得计算，但由于网络图中得某些边就是多种切割序列所公用得、对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e,但对于另外一种切割序列, 就有可能不需要在此边上增加权e,这样我们就不能直接利用图9－13得网络图进行边加权这种方法来求出最短路径、由上表可以瞧出，三种情况得情形（一)有公共点集{(2，１，z）|z＝０，1,2｝,情形（二）有公共点集｛(1,2,z)｜z=０,１，2｝、且情形(一)得有向路决不通过情形(二)得公共点集,情形(二）得有向路也不通过情形（一)得公共点集、所以可判断出这两部分就是独立得、互补得、如果我们在图G中分别去掉点集{（１，2，ｚ）|z＝0,１，２｝与｛(2，1,z）｜z=0,１,２}及与之相关联得入弧，就形成两个新得网络图，如图H1与H２、这两个网络图具有互补性、对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中得某一个中、由于调整垂直刀具为３次时,总费用需增加3ｅ，故我们先安排这种情况得权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上得权增加e、增加e得情况如图9—14中所示、再来判断就是否满足调整垂直刀具为二次、一次时得情况,我们发现所增加得权满足另外两类切割序列、综合上述分析,我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ１与Ｈ2,并在指定边上得权增加ｅ,然后分别求出图Ｈ１与H2中从Ｖ1到V２7得最短路，最短路得权分别为：d1，d２、则得出整体得最少费用为：d= ｍin（d1,d2) ，最优切割序列即为其对应得最短路径、实例:r=１5，e＝2时，求得图G１与G2得最短路为Ｇ2得路Ｖ1－V４－V５-Ｖ14-V１7－Ｖ２6—V27,权为443５,对应得最优切割序列为Ｍ3—M1－M６－M４—Ｍ５－M2，最优费用为４４35、图9—１4 H１图9－1５H2。

下料问题：一个公司有一批钢材，每根钢材长7.3米，由于某种需求，需要100套短钢材，已知每套钢材包括长2.9米，2.1米和1.5米的各一根，现在问从公司的利益出发（余料只能作为废品出售），至少要用掉多少根短钢材才能保证既满足需求，又使得余料最少？显然，如果公司采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该公司规定采用的不同的切割模式不能超过3种。

此外该客户需要的100套短钢材，每套改变为2.9米，2.1米，1.5米各一根，该如何下料最节省？（此为带有普遍性的方法）决策目标：1.以切割后剩余的总余量最小为目标，Min=0.2x2+0.8x3+1.4x4+1.0x5+0.1x6+0.7x7+1.3*x8;2.以切割原材料钢材的总根数最少为目标，则有Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：2x1+x2+x3+x4>=100;2x2+x3+3x4+2x5+x6>=100;X1+x3+2x5+3x6+4x7>=100;min=0.2*x2+0.8*x3+1.4*x4+1.0*x5+0.1*x6+0.7*x7+1.3*x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 2Objective value: 7.000000Variable Value Reduced Cost X2 20.00000 0.2000000 X3 0.000000 0.8000000 X4 0.000000 1.400000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 0.1000000 X7 0.000000 0.7000000 X8 0.000000 1.300000 X1 40.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 7.000000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000 min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 3Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000方法二：min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8;2*x1+x2+x3+x4>=100;2*x2+x3+3*x5+2*x6+x7>=100;x1+x3+2*x4+2*x6+3*x7+4*x8>=100;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);Global optimal solution found at iteration: 4Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 40.00000 1.000000 X2 20.00000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 30.00000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.000000第二问：min=x1+x2+x3;r11*x1+r12*x2+r13*x3>=100;r21*x1+r22*x2+r23*x3>=100;r31*x1+r32*x2+r33*x3>=100;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31<=7.3;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32<=7.3;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33<=7.3;2.9*r11+2.1*r21+1.5*r31>=5.8;2.9*r12+2.1*r22+1.5*r32>=5.8;2.9*r13+2.1*r23+1.5*r33>=5.8;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);Local optimal solution found at iteration: 15Objective value: 90.00000Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 1.000000 X2 30.00000 1.000000 X3 40.00000 1.000000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 2.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 2.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 90.00000 -1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.2000000 0.0000006 0.1000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 1.300000 0.0000009 1.400000 0.00000010 1.500000 0.000000。

数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。

如何在给定的原材料上，以最优的方式进行切割，以满足不同尺寸的需求，同时最大程度地减少浪费，这就是最优截断切割问题。

这个问题看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理和实际应用价值。

想象一下，你是一家木材加工厂的老板，接到了一批订单，需要生产不同长度的木板。

你手头有一定长度的原木，如何切割这些原木才能满足订单需求，并且使用的原木数量最少，废料最少呢？这就是一个典型的最优截断切割问题。

为了更好地理解这个问题，让我们来看一个具体的例子。

假设我们有一根长度为 10 米的原木，需要切割出 2 米、3 米和 4 米长的木板各若干块。

那么，我们应该如何切割才能最节省材料呢？一种可能的切割方案是，先将原木切成 2 米长的 5 段。

但这样做显然会有很大的浪费，因为我们还需要 3 米和 4 米长的木板。

另一种方案是，先切割出一段 4 米长的木板，剩下的 6 米再切割出两段 3 米长的木板。

这种方案看起来比第一种要好一些，但也许还不是最优的。

那么，如何找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的方法。

首先，我们需要明确问题的目标。

在这个例子中，目标是在满足订单需求的前提下，使原木的利用率最高，也就是废料最少。

接下来，我们需要确定决策变量。

在这里，决策变量就是每种长度木板的切割数量。

然后，我们要建立约束条件。

约束条件包括原木的长度限制，以及订单中对每种长度木板数量的要求。

有了目标函数、决策变量和约束条件，我们就可以建立一个数学模型。

通过求解这个数学模型，我们就能够得到最优的切割方案。

在实际求解过程中，可能会用到一些数学方法和算法，比如线性规划、动态规划等。

线性规划是一种常用的数学方法，它可以在一组线性约束条件下，求出目标函数的最优解。

对于简单的最优截断切割问题，线性规划可能就能够有效地解决。

但对于一些复杂的情况，比如需要考虑多种原材料、多种切割方式，或者存在不同的成本因素时，动态规划可能会更加适用。

P1，P2，P3，P4的块数分别为，总利润作为目标函 ，然后归一化为新的目标函数：数求最大值，建立约束规划模型如下。

[4][5]对于权重的分析，主要有层次分析法、专家打分法等方（2）法。

本文中目标函数个数较少，可以采取对其进行分析，直接 给出权重的方法。

三个目标函数中，由于5种切割方案的木板利用率均较高，故对于目标函数 的权重可以选取较小值。

完成生产任务后，多生产的木板需要存储到仓库，占用工厂资金和求解得结果为：按照5种方案切割的块数分别为100，0，仓库容量，故工厂对库存率比较敏感。

不同的切割方案需要使0，0，0（即只按照第一种方案切割），总利润为117410元，木用不同的机器进行切割，工厂一般都备有多台套机器用于木板板总利用率为98.3%。

的切割，相对于库存率，该问题的重要性要小得多。

根据上述3.4 问题3的建模及求解对于该问题，将工厂的三个要求作为目标函数，建立三目标的约束规划模型来求解。

①希望需要使用的机器数量越少越建立约束规划模型：好，即选择5种切割方式中的数量越少越好，设选择的切割方式的数量为X，求最小值；②工厂希望存储量越少越好，切割出的板材减去销售的数量再乘以面积，即为工厂的存储量。

其中S ，1 （4）S ，S ，S 是P1，P2，P3，P4的面积；③希望木板总利用率越高234越好，将总利用率设为Z，求最大值。

其中Q1既指用切割的木板求解得结果为：切割Q1木板总块数为139块，选取第2种，又指其面积。

第3种，第4种方案进行切割，切割的数量分别为20,52,67块，木板总利用率为96.3%。

工厂可以根据实际情况对三个权重根据进行调整，例如工 预期进行分析来调整权重 的取值，根据销售切割的板材是否4 结语本文对矩形板材的切割问题进行了研究，使用遗传算法对切割方案进行分析，将木板利用率从高到低排列得出多种切割方案。

对于问题3中三个需求目标，建立了满足条件的三目标约 （3）束规划模型，进一步归一化加权为单目标模型，求解得出最优结果。

截断切割最优方式指导教师数学建模教练组刘常青（供9501）母杰（控9502）孙允（供9502）摘要本文就“截断切割”加工方式最小费用问题建立了三个模型：（1）当e=0时，引入“单位体积切割费用”的概念，建立了离散性的线性优化问题，并给出了一个特别直观且简单易行的最优切割准则：“每次都沿着‘单位体积切割费用最小’的截面进行切割”。

（2）针对r,e的一般情形，通过“等效变换”建立了等效变换优化模型，找到该模型的有效算法。

编出了适用任何情形的计算程序。

通过对原问题给出的四组数据的验证计算，准确地找出了全部最优方案。

并针对e的大小对最优切割方式和调整刀具次数的影响，找到了e的临界值为2.5。

（3）把“截断切割”加工方式看成多阶段决策的动态优化问题（有障碍的最短路问题，调刀费用看成障碍），建立了动态优化模型。

该模型的求解有许多有效算法。

一、问题的重述某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。

这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。

从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。

设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e。

试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。

（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1）需考虑的不同切割方式的总数。

2）给出上述问题的数学模型和求解方法。

3）试对某部门使用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。

4）对于e=0的情形有无简明的优化准则。

5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。

垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a. r=1,e=0;b. r=1.5,e=0;c. r=8,e=0;d. r=1.5;2≤e≤15.对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。

B题截断切割组号：14截断切割摘要本文讨论的问题是实际生产加工中的截断切割问题，研究了采用何种切割顺序能使得材料切割所用费用最省。

根据题中条件，待加工材料和成品均为长方体，且不同的加工顺序使得材料切割费用不同，我们考虑了将三维直角坐标系与有向图相结合的方式构造模型。

本文构造的有向图是三维形式的，有向图的顶点坐标（x ，y ，z ）分别代表侧面（左右面）、正面（前后面）、水平面（上下面）的切割次数，其中x ，y ，z 都在{0.1.2}中取值。

有向弧代表一个从弧的始点至弧终点的切割步骤，弧权值代表弧所代表的加工步骤所需加工费。

那么切割问题就转化为了求解一个带权有向图的最短路径问题。

通过编写数学软件，运用lingou 软件求得了最短路径。

最终我们解出了最优切割法：（1）当r=1，e=0时，最短切割路径为：5，3，1，6，4，2；5，3，6，1，4，2 （2）当r=1.5，e=0时，最短切割路径为：3，1，5，4，6，2；3，5，1，4，6，2 （3）当r=8，e=0时，最短切割路径为：3，1，4，5，2，6（4）当r=1.5，e=2时，最短切割路径为：3，1，5，4，6，2；3，5，1，4，6，2 （1）（2）（3）（4）情况的最少费用分别为：374，437.5，540.5，443.5。

（数字1,2,3,4,5,6分别代表切割左右前后上下面）当然，本文是假设切割是在一定的切割原则，即在两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工这一原则下进行的，这是符合基本的切割作业常识的，也符合截断切割的同类换序定理（在截断切割方式()123456,,,,,,v v v v v v v →=中交换其内相邻同类切割的切割次序，总切割面积不因切割面积的交换而改变；若交换间隔一异类切割的的同类切割的切割次序，则割弃长较大的同类切割面先切割者，其总切割面积较小）。

再者，由题意，成品与待切割品的相邻平行面的距离已经给定。