2021第1练 集合、简易逻辑、不等式

第一章《集合与简易逻辑》练习题一． 选择题1．若关于 x 的不等式 ax 2bx c 0 (a 0) 的解集是空集 , 则（ ）（ A ） a0且 b 2 4ac(B)a0且 b 2 4ac（ C ） a 0且 b 2 4ac 0 (D)a 0且b 24ac2．如果命题“ p 或 q ”与命题“非p ”都是真命题，那么（）（ A ）命题 p 不一定是假命题 （ B ）不一定是真命题（ C ）命题 q 一定是真命题（ D ）命题 p 与命题 q 真值相同3．设全集 U=R ，集合22UM=｛ x ︱ x －2x － 3>0｝， N=｛ x ︱ 3+2x － x >0｝。

则 M （ C N ）等于（ ）（ A ） M（ B ） N（ C ） C U M（D ） C U N4．下列说法准确的是（ ）（ A ） x ≥ 3 是 x>5 的充分不必要条件 （ B ） x ≠± 1 是 x ≠1 的充要条件 （ C ）若﹁ p ﹁ q ，则 p 是 q 的充分条件（ D ）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形5．若 A ∩ B=｛ a ， b ｝， A ∪ B=｛ a ， b ， c ， d ｝，则符合条件的不同的集合A 、B 有（）（ A ） 16 对 （ B ）8 对 （ C ） 4 对 （ D ）3 对6．已知集合 M{ x | x 1} ， P { x | x t} ，若 M P，则实数t 应该满足的φ条件是 （ ）（ A ） t 1 （ B ） t 1（ C ） t 1（D ） t 17．方程 mx 2 2x 1 0 至少有一个负根，则（）（ A ） 0 m 1 或 m 0（ B ） 0m 1 （ C ） m 1（ D ） m 18．当 a0 时，关于 x 的不等式 x 2 4ax 5a 2 0的解集是 （ ）（ A ） { x | x 5a 或 x a } （ B ） { x | x 5a 或 x a }（ C ） { x | a x 5a }（ D ）{ x | 5a x a }9. 抛 物 线 yax 2 bx c 与 X 轴 的 两 个 交 点 为2, 0 , 2, 0 则 不 等 式ax 2 bxc0 的解集为（）(A)x 2 x 2(B) x x 2或 x 2（ C ） x x2(D)不确定 , 与 a 值相关 . 10．“ x 2+2x-8=0 ”是“ x-2=2 x ”的 （）(A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件11．已知集合 A={y|y=-x2∈R}， B={y|y=-x+3,x ∈ R}, 则 A ∩ B=（）+3,x (A){(0,3),(1,2)} (B){0,1}(C){3,2}(D){y|y ≤ 3}12．已知集合 A={x|x1 0 },B={x|x ≤ a} ，若 A ∩ B=B,则 a 的取值范围是（ ）x2(A)a ≥ 1 (B)a ≥2(C)a ≤ -2 (D) a<-213．设全集为 S,对任意子集合 A, B 若 A B , 则下列集合为空集的是 ( )(A) A C S B(B)C S AC S B(C)C S AB(D)AB14．“ a 2 b 20 ”的含义是 ( )(A)a, b 全不为 0(B) a, b不全为 0(C) a, b至少有一个为 0 (D) a, b至少有一个不为 015．已知 P ：∣ 2x －3∣>1； q ：10 ；则﹁ p 是﹁ q 的（）条件x2x 6（ A ）充分不必要条件 （ B ）必要不充分条件（ C ）充分必要条件（ D ）既非充分条件又非必要条件16．如果命题“ P 或 Q ”是真命题，命题“ P 且 Q ”是假命题，那么（）(A)命题 P 和命题 Q 都是假命题(B)命题 P 和命题 Q 都是真命题 （ C ）命题 P 和命题“非 Q ”真值不同(D) 命题 Q 和命题“非 P ”真值相同17．满足关系 {1}B{11 ， 2，3， 4} 的集合 B 有（ ）（ A ） 5 个（ B ） 7 个（ C ） 8 个（ D ） 6 个18． a 、 b ∈R +是 a+b ＞ 2 ab 的（）（ A ）充分条件但不是必要条件 （ B ） 必要条件但不是充分条件（ C ）充分必要条件（ D ） 既不充分也不必要条件29．已知 I=R ， M={x ︱（ x-2 ）（ 3-x ）＞ 0} ， N={x ︱x1＞ 2} ，则 C U M ∩N 是（）x 1（ A ） { x | x 3 }（ B ） { x | 2 x1 }（ C ） { x | 3 x 2 }（ D ）ф20．如果集合 Mx | xk 1， Nk 1 , k Z ，那么（）2 , k Zy | y2（ ） M N44(B) MN (C)MN (D)MNA21．下列命题中假命题 是（）．．．（ A ）“正三角形边长与高的比是2︰ 3 ”的逆否命题（ B ）“若 x,y 不全为0，则 x 2y 2 0 ”的否命题 （ C ）“ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的充分条件（ D ）若 A B A C ，则 B C22．已知集合（ A ）φA 是全集 S 的任一子集，下列关系中准确的是（） C S A （ B ） C S A S（ C ）（ A ∩ C S A ） =φ （ D ）（ A ∪ C S A ）S23．设全集 U={(x,y)|x∈R,y ∈ R}，集合 M={(x,y)|y22（ A ）（ C U M ）∩（ C U N ） （B ）（ C U M ≠ x}）∪ N，N={(x,y)|y≠ -x}，则集合（ C ）（ C U M ）∪（ C U N ）（D ） M ∪（ C U N ）24．下列说法：①若一个命题的否命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；②若一个命题的逆否命题是真命题，则这个命题是真命题；③若一个命题的逆命题是真命题，则这个命题不一定是真命题；④若一个命题的逆命题和否命题都是真命题，则这个命题一定是真命题；其中准确的说法是（ ）（ A ）①②（ B ）①③④ （ C ）②③④（ D ）①②③25．若二次不等式 ax 2+bx+c>0 的解集是x | 1 x1，那么不等式 2cx 2-2bx-a<0 的解54集是（ ）（ A ） x | x 10或 x 1 （ B ） （ C ） x | 4x 5（ D ）1x1x |5 4 x | 5 x426．集合 {x-1 ， x 2-1， 2} 中的 x 不能取值个数是（）（ A ） 2（ B ） 3（ C ）4（ D ） 527．设 M={2,a 2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3},且 M ∩ N={2,3} 则 a 的值是 ( ) （ A ） 1 或 2 （ B ） 2 或 4（ C ） 2（ D ） 1二．填空题28． x>y 是x >1 成立的 _________________________________________ 条件 .y29．若集合 A 1,3, x ， B1, x 2 ，且 AB 1,3, x ，则 x30．使x 2 x 2成立的充要条件是 _______________________________.x 2 3xx 23x31．写出命题“个位数是5 的自然数能被 5 整除”的逆命题、否命题及逆否命题，并判定其真假。

第一章专练2—集合与简易逻辑用语（二）一、单选题1．设集合A ＝{x |x 2﹣4≤0}，B ＝{x |2x +a ≤0}，且A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}，则a ＝（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．42．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＞x 2”的否定形式是（ ）A ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ≤x 2C ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ≤x 2D ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 2 3．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则对实数a ，b ，a ＞b 是f （a ）＞f （b ）的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x ＞0；p 2：存在x ∈R ，x 2+x +1＜0，p 3：任意x ∈R ，sin x ＜2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x ＞x 2+x +1．其中的真命题是（ ）A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 3，p 4D ．p 1，p 4 5．已知函数f （x ）＝x +，g （x ）＝2x +a ，若∀x 1∈[，1]，∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g（x 2），则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2 6．设命题p ：函数21()lg()4f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式3x ﹣9x ＜a 对一切正实数均成立．如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，+∞）D．（0，1）7．命题p：函数y＝log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y＝的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q8．命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件二、多选题9．已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是（）A．p：m＜﹣2或m＞6；q：y＝x2+mx+m+3有两个不同的零点B．():1()f xpf x-=；q：y＝f（x）是偶函数C．p：A∩B＝A；A⊆U，B⊆U，∁U B⊆∁U AD．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ10．下列四个条件中，p是q的充分条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2＝c为双曲线，q：ab＜0 C．p：a＞b，q：2a＞2bD．p：ax2+bx+c＞0，q：20c bax x-+>11．下列叙述中不正确的是（）A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充要条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”C．“a＜0”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件12．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a﹣b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A．集合M＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题13．设U为全集，A、B是U的子集，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝ϕ”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）14．设,m n为非零向量，则“存在负数λ，使得m nλ=”是“0m n<”的条件．（从“充分不必要条件、必要不充分条件、充分条件、既不充分也不必要”中选填一个）15．集合A、B是实数R的子集，定义{|A B x x A-=∈，且}x B∉，*()()A B A B B A=--叫做集合的对称差，若集合2{|(1)1A y y x ==-+，03}x ，2{|1B y y x ==+，13}x ，则*A B = ．16．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A ＝{y |y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]，0≤x ≤1}，则A 中元素个数是 个，所有元素的和为 ．四、解答题17．已知全集为R ，函数()log (2)f x x π=-的定义域为集合A ，集合2{|60}B x x x =--．（1）求A B ；（2）若{|1}C x m x m =-<，R C B ⊆，求实数m 的取值范围．18．已知集合{|42A y y x ==-，13}x -<<，{|3121}B x m x m =-<<+．（Ⅰ）若A B A =，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若{|}A B x a x b =<<且2b a -=，求实数m 的取值范围．19.（1）已知命题p ：a ≤x ≤a +1，命题q ：x 2﹣4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，求a的取值范围；（2）已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 02+4x 0+a ＝0”若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．20．已知函数2()a f x x x=+，g （x ）＝﹣x ﹣ln （﹣x ）其中a ≠0， （1）若x ＝1是函数f （x ）的极值点，求实数a 的值及g （x ）的单调区间；（2）若对任意的x 1∈[1，2]，∃x 2∈[﹣3，﹣2]使得f （x 1）≥g （x 2）恒成立，且﹣2＜a ＜0，求实数a 的取值范围．集合与简易逻辑用语（二）答案1．解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，则a＝﹣2．故选：B．2．解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2的否定∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2，故选：C．3．解：已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．当a＞b＞0时，满足f（a）＞f（b）．故a＞b时，f（a）＞f（b）不成立．当f（a）＞f（b）时，不能确定a，b的大小．故选：D．4．解：p1：任意x∈R，2x＞0，由指数函数的性质得命题p1是真命题；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，由x2+x+1＝（x+）2+≥，得命题p2是假命题；p3：任意x∈R，sin x＜2x，由x＝﹣时，sin x＞2x，得命题p3是假命题；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．命题p4是真命题．故选：D．5．解：当x1∈[，1]时，由f（x）＝x+得，f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴f（x）在[，1]单调递减，∴f（1）＝5是函数的最小值，当x2∈[2，3]时，g（x）＝2x+a为增函数，∴g（2）＝a+4是函数的最小值，又∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，即5≥a+4，解得：a≤1，故选：A．6．解：若命题p为真，即恒成立．则，有，∴a＞1．令，由x＞0得3x＞1，∴y＝3x﹣9x的值域为（﹣∞，0）．∴若命题q为真，则a≥0．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤1．故选：B．7．解：令t＝x2﹣2x，则函数y＝log2（x2﹣2x）化为y＝log2t，由x2﹣2x＞0，得：x＜0或x＞2，所以，函数y＝log2（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．函数t＝x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝1，所以，函数t＝x2﹣2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．又因为函数为y＝log2t是增函数，所以，复合函数y＝log2（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞）．所以，命题p为假命题；再由3x＞0，得3x+1＞1，所以，所以，函数y＝的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．故选：B．8．解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，当a＞0时，此时x+a＞x，又因为f（x）单调递减，所以f（x+a）＜f（x）又因为f（x）＞0恒成立时，所以f（x）＜f（x）+f（a），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，又因为f（x）单调递增，所以f（x+a）＜f（x），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．9．解：A．若命题q为真命题：则△＝m2﹣4（m+3）＞0，解得m＞6或m＜﹣2，∴命题p是q的充分必要条件；B．若命题q是真命题：y＝f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），∴由p⇒q，反之不成立，因此p是q的充分不必要条件；C．由A∩B＝A⇔A⊆B⇔A⊆U，B⊆U，∁U B⊆∁U A，满足p是q的充分必要条件；D．对于命题p：取α＝β＝满足cosα＝cosβ；而q：tanα＝tanβ无意义．反之也不成立，例如取α＝，β＝，满足tanα＝tanβ，而cosα＝cosβ不成立．因此p是q的既不充分也不必要条件．故选：AC．10．解：对于选项A：a＝﹣1，b＝﹣2，所以a2＜b2，所以p不是q的充分条件；对于选项B：ax2+by2＝c为双曲线，则ab＜0，所以p是q的充分条件；对于选项C：由于a＞b，所以2a＞2b，所以p是q的充分条件；对于选项D．由：+a＞0，得到ax2+bx+c＞0，所以p是q的必要条件；故选：BC．11．解：A．错误，当a＜0时，“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”错误；B．错误，若a，b，c∈R，“a＞b”且c＝0时，推不出“ac2＞bc2“，故错误；C．错误，方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根⇔△＝1﹣4a＞0，x1x2＝a＜0⇔a＜0，故错误；D．正确，“a＞1”⇒“＜1”但是“＜1”推不出“a＞1”，故正确．故选：ABC．12．解：根据对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a﹣b∈M，对于A．当集合M＝{﹣4，﹣2，0，2，4}时，而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．对于B．设a，b是任意的两个正整数，当a＜b时，a﹣b＜0不是正整数，所以正整数集不为闭集合．对于C ．当M ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }时，设a ＝3k 1，b ＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则a +b ＝3k 1+3k 2＝3（k 1+k 2）∈Ma ﹣b ＝3k 1﹣3k 2＝3（k 1﹣k 2）∈M ，所以集合M 闭集合．对于D ．设A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }是闭集合，且3∈A 1，2∈A 2，而2+3∉A 1∪A 2，此时A 1∪A 2不为闭集合．所以，说法中不正确的是ABD ；故选：ABD ．13．解：若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图（如图）可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ． 故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件． 故答案为：充要条件14．解：,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”，则向量m ，n 共线且方向相反，可得0m n <．反之不成立，非零向量的夹角为钝角，满足0m n <，而m n λ=”， 则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要15．解：2{|(1)1A y y x ==-+，03}{|15}x y y =，2{|1B y y x ==+，13}{|210}x y y =，则{|12}A B y y -=<，{|510}B A y y -=<， 则*()(){|12A B A B B A y y =--=<或510}y <，故答案为：{|12y y <或510}y <16解：∵函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数， ∴对于A ＝{y |y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]，0≤x ≤1}，①当0≤x ＜时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝0+0+0＝0；②当≤x ＜时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝0+0+1＝1；③当≤x ＜时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝0+1+1＝2；④当≤x ＜1时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝0+1+2＝3；⑤当x ＝1时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝1+2+3＝6；∴A ＝{y |y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]，0≤x ≤1}＝{0，1，2，3，6}， A 中共5个元素，且A 中所有元素的和为0+1+2+3+6＝12．故答案为：5，12．17．解：（1）由20x ->得，函数()log (2)f x x π=-的定义域{|2}A x x =>， 260x x --，(3)(2)0x x -+，得{|2B x x =-或3}x ， {|3}A B x x ∴=，{|23}R B x x =-<<，（2）{|23}C x x ⊆-<<，()i 当C =∅时，满足需求，此时1m m -，解得12m ； ()ii 当C ≠∅时，要{|23}C x x ⊆-<<，则1123m m m m -<⎧⎪--⎨⎪<⎩， 解得132m <<； 由()i 、()ii 得，实数m 的取值范围是：(,3)-∞．18．解：（Ⅰ）集合{|42A y y x ==-，13}(6,10)x -<<=-，{|3121}B x m x m =-<<+， A B A =，B A ∴⊆，当B =∅时，即3121m m -+时，解得2m ，此时满足题意，当B ≠∅时，即3121m m -<+时，解得2m <，则3162110m m --⎧⎨+⎩，解得5932m -， 综上所述m 的取值范围为5[3-，)+∞； （Ⅱ）集合(6,10)A =-，10(6)16--=，若{|}A B x a x b =<<且2b a -=，①{3121}A B m x m =-<<+时，21(31)23162110m m m m +--=⎧⎪--⎨⎪+⎩，解得0m =；②{|3110}A B x m x =-<<时，10(31)2211010316m m m --=⎧⎪+>⎨⎪>->-⎩，此时满足条件的m 不存在；③{|521}A B x x m =-<<+时，21(6)231662110m m m +--=⎧⎪-<-⎨⎪-<+<⎩，解得52m =-，综上得，m的取值范围为5{2，0}．19.解：（1）命题p：a≤x≤a+1，命题q：x2﹣4x＜0，令M＝{x|a≤x≤a+1}，N＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．∵p是q的充分不必要条件，∴M⫋N，∴解得0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．（2）若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由∃x0∈R，知△＝16﹣4a≥0，得a≤4，∴e≤a≤4．∴实数a的取值范围是[e，4]．20．解：（1）∵，其定义域为（﹣∞，0）和（0，+∞），∴；又x＝1是函数f（x）的极值点，∴f'（1）＝0，即1﹣a2＝0，∴a＝1或a＝﹣1；经检验，a＝1或a＝﹣1时，x＝1是函数f（x）的极值点，∴a＝1或a＝﹣1；g（x）的定义域是（﹣∞，0），g′（x）＝﹣1﹣＝，令g′（x）＞0，解得：x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减；（2）假设存在实数a，对任意的x1∈[1，2]，∃x2∈[﹣3，﹣2]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1∈[1，2]x2∈[﹣3，﹣2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]min，当x∈[﹣3，﹣2]时，g′（x）＝﹣1﹣＜0，∴函数g（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数．∴[g（x）]min＝g（﹣2）＝2﹣ln2．∵＝，且x∈[1，2]，﹣2＜a＜0，①当﹣1＜a＜0且x∈[1，2]时，，∴函数在[1，2]上是增函数．∴[f（x）]min＝f（1）＝1+a2．由1+a2≥2﹣ln2，得a≤﹣，又∵﹣1＜a＜0，∴a≤﹣不合题意．②当﹣2＜a≤﹣1时，若1≤x＜﹣a，则，若﹣a＜x≤2，则，∴函数在[1，﹣a）上是减函数，在（﹣a，2]上是增函数．∴[f（x）]min＝f（﹣a）＝﹣2a≥2﹣ln2，得，∴．综上，存在实数a的取值范围为．。

第一章专练1—集合与简易逻辑用语（一）一、选择题1．已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．设集合P＝{x|x2﹣2＞0}，Q＝{1，2，3，4}，则P∩Q的非空子集的个数为（）A．8B．7C．4D．33．命题∃x0∈R，1＜f（x0）≤2 的否定形式是（）A．∀x∈R，1＜f（x）≤2B．∀x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞2C．∃x∈R，1＜f（x）≤2D．∃x∈R，f（x）≤1 或f（x）＞24．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知命题“∃x∈R，使4x2+（a﹣2）x+≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[0，4]C．[4，+∞）D．（0，4）6．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f （x ）＝23,0,0x x m x x ⎧<⎪⎨-≥⎪⎩，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈（﹣∞，0），方程f （x ）＝0有解．命题q ：若m ＝，则f （f （﹣1））＝0那么，下列命题为真命题的是（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∧qC ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧（￢q ）8．已知命题p：函数y =的定义域为R ，命题q ：存在实数x 满足ax ≤lnx ，若p ∧q 为真，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，]B ．[，2]C ．（﹣∞，﹣2]D ．[2，+∞）二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”成立的充分条件B ．命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0C ．命题“若a ＞b ＞0，则11a b<”的否定是假命题 D ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”成立的充分不必要条件10.使得261x x x ---＞0成立的充分非必要条件有（ ）A ．{x |﹣2＜x ＜1}B ．{x |x ＞3}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |﹣2＜x ＜1，或x ＞3}11．已知集合M ＝{x |x ＝44k ππ+，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝84k ππ-，k ∈Z }，则（ ） A ．M ∩N ≠∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M12．已知集合M ＝{（x ，y ）|y ＝f （x ）}，若对于任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“完美对点集”．给出下列四个集合：①M ＝；②M ＝{（x ，y ）|y ＝sin x +1}； ③M ＝{（x ，y ）|y ＝log 2x }； ④M ＝{（x ，y ）|y ＝e x ﹣2}．其中是“完美对点集”的序号为（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④三、填空题13．∀x ∈R ，ax 2+ax ﹣2＜0都成立，则a 的取值范围是 ．14．已知集合A ＝{a +1，a ﹣1，a 2﹣3}，若1∈A ，则实数a 的值为 ．15．已知A ＝[5，6），B ＝{x ∈R |a +1≤x ≤2a ﹣1}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是 ．16．已知函数f （x ）＝3111,0,36221,,112x x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数()1()cos 2022x g x a a a π=-+<，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题17．已知集合A ＝{x |a ＜x ＜3a ，a ＞0}，集合B ＝{x |2＜x ≤3}． （1）当a ＝1时，求A ∩B ，A ∪B ； （2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．18．在①A ∪B ＝B ，②A ∩B ≠∅，③B ⊆∁R A 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．问题：已知集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣a ）＜0，x ∈R }，B ＝20,2x xx R x ⎧+⎫≤∈⎨⎬-⎩⎭，是否存在实数a ，使得_____成立．19．设命题p ：函数f （x ）＝lg （ax 2﹣x +）的定义域为R ；命题q ：不等式3x ﹣9x ＜a对一切正实数x 均成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．20．已知函数32()(1)(2)()f x x a x a a x a R =+--+∈，()f x '为()f x 的导数． （Ⅰ）当3a =-时证明()y f x =在区间(1,1)-上不是单调函数．（Ⅱ）设191()63g x x =-，是否存在实数a ，对于任意的1[1x ∈-，1]存在2[0x ∈，2]，使得112()2()f x ax g x '+=成立？若存在求出a 的取值范围；若不存在说明理由．集合与简易逻辑用语（一）答案1．解：∵集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，∴A ∩B ＝{（x ，y ）|}＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}．∴A ∩B 中元素的个数为4． 故选：C ． 2．解：；∴P ∩Q ＝{2，3，4}； ∴P ∩Q 的非空子集的个数为：个．故选：B ．3．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x 0∈R ，1＜f （ x 0）≤2”的否定形式是∀x ∈R ，f （ x ）≤1 或 f （ x ）＞2．故选：B．4．解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，若a＝4，b＝，则ab＝1≤4，但a+b＝4+＞4，即ab≤4推不出a+b≤4，∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选：A．5．解：∵命题“∃x∈R，使4x2+（a﹣2）x+≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2+（a﹣2）x+＞0”是真命题，即判别式△＝（a﹣2）2﹣4×4×＜0，即△＝（a﹣2）2＜4，则﹣2＜a﹣2＜2，即0＜a＜4，故选：D．6．解：点A，B，C不共线，＝，∴，当与的夹角为锐角时，＝＞0，∴“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的充分必要条件．故选：C．7．解：若m＜0，则m﹣x2＜0，而3x＞0，故f（x）≠0，命题p是假命题；若m＝，则f（f（﹣1）＝f（）＝0，命题q是真命题；故（￢p）∧q是真命题，故选：B．8．解：当P为真时：x2﹣ax+1≥0恒成立，即△＝a2﹣4≤0，解得：﹣2≤a≤2，当Q为真时：存在实数x满足ax≤lnx，即a≤（）max；令y＝，y'＝，当x∈（0，e），y'＞0，函数单调递增；当x∈（e，+∞），y'＜0，函数单调递减；故当x＝e时，函数有最大值＝；解得a≤；∵p∧q是真命题，故命题是p，q都是真命题，则﹣2≤a≤2且a≤∴实数a的取值范围为[﹣2，]．故选：A．9．解：对于A，“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件，满足充分条件的定义，所以A正确；对于B，命题p：∀x∈R，x2＞0，则￢p应为：∃x∈R，x2≤0，B不满足命题的否定形式，所以B不正确；对于C，命题“若a＞b＞0，则＜”，显然命题是真命题，所以它的否定是假命题，所以C正确；对于D，“a＞b”推不出“a2＞b2”，反之也不成立，所以是既不充分也不必要条件，所以D不正确；10.解：∵＞0，∴或，解得x＞3或﹣2＜x＜1．∴使得＞0成立的充分非必要条件有{x|﹣2＜x＜1}，{x|x＞3}，{x|0＜x＜1}．故选：ABC．故选：AC．11．解：集合M＝{x|x＝+，k∈Z}＝{…，﹣，﹣，﹣，0，，，，π，，…}，集合N＝{x|x＝﹣，k∈Z}＝{…，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，0，，，，，，，，π，，，…}，∴M∩N＝M＝{…，﹣，﹣，﹣，0，，，，π，，…}，故M⊆N，故B正确，C错误；M∪N＝N＝{…，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，﹣，0，，，，，，，，π，，，…}，故D错误．故选：AB．12．解：对于①，y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足“完美对点集”的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，所以不满足“完美对点集”的定义，不是“完美对点集”．对于②，M＝{（x，y）|y＝sin x+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如（0，1）、（，0），满足“完美对点集”的定义，所以M是“完美对点集”；对于③，M＝{（x，y）|y＝log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以集合M不是“完美对点集”．对于④，M＝{（x，y）|y＝e x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足“完美对点集”的定义，所以是“完美对点集”；正确．故答案为：②④．故选：BD．13．解：①当a＝0时，﹣2＜0，恒成立，②当a≠0时，∀x∈R，ax2+ax﹣2＜0都成立，只需满足，解得﹣8＜a由①②知：a的取值范围为（﹣8，0]．故答案为：（﹣8，0]．14．已知集合A＝{a+1，a﹣1，a2﹣3}，若1∈A，则a+1＝1，或a﹣1＝1，或a2﹣3＝1，当a+1＝1时，解得a＝0，此时集合A＝{1，﹣1，﹣3}，满足集合中元素的互异性；当a﹣1＝1时，解得a＝2，此时集合A＝{3，1，1}，不满足集合中元素的互异性，故a ＝2舍去；当a2﹣3＝1时，a＝﹣2或2（舍去），此时集合A＝{﹣1，﹣3，1}，满足集合中元素的互异性．综上可得a＝0或﹣2．故答案为：0或﹣2．15．解：∵A∩B＝∅，∴①B＝∅时，a+1＞2a﹣1，解得a＜2；②B≠∅时，，解得a≥5或2≤a＜3，∴a的取值范围是{a|a＜3或a≥5}．故答案为：{a|a＜3或a≥5}．16．解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝＝，当x∈（，]时，f′（x）＞0，函数f（x）在（，1]上为增函数，∴f（x）∈（，1]；当x∈[0，]时，函数f（x）为减函数，∴f（x）∈[0，]；∴在[0，1]上f（x）∈[0，1]；又g（x）＝a cos﹣2a+中，当x∈[0，1]时，cos∈[0，1]，∴g（x）∈[﹣2a+，﹣a+]；若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，说明函数g（x）的最大值与最小值中至少有一个在[0，1]中，∴0≤﹣2a+≤1或0≤﹣a+≤1，解得﹣≤a≤，或﹣≤a≤，又a＜0，∴实数a的取值范围是{a|﹣≤a＜0}．故答案为：{a|﹣≤a＜0}．17．解：（1）当a＝1时，集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2＜x≤3}．∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，A∪B＝{x|1＜x≤3}．（2）∵集合A＝{x|a＜x＜3a，a＞0}，集合B＝{x|2＜x≤3}．A∩B＝∅，∴当A＝∅时，a≥3a，解得a≤0，不合题意，当A≠∅时，或，解得a≥3或a≤．又∵a＞0，故实数a的取值范围是（0，]∪[3，+∞）．18．解：B＝{x|≤0}＝[﹣2，2），A＝{x|（x+2）（x﹣a）＜0，x∈R}．当a＞﹣2时，A＝（2，a）．当a＝﹣2时，A＝∅．当a＜﹣2时，A＝（2，a）．若选择①A∪B＝B，则A⊆B．当a＞﹣2时，A＝（﹣2，a）⊆[﹣2，2 ），则a≤2，所以﹣2＜a≤2．当a＝﹣2时，A＝∅，满足题意．当a＜﹣2时，A＝（﹣2，a），不满足题意．所以选择①，则实数a的取值范围是[2，2]．若选择②A∩B≠∅．当a＞﹣2时，A＝（﹣2，a），B＝[﹣2，2），满足题意．当a＝﹣2时，A＝∅，不满足题意．当a＜﹣2时，A＝（a，﹣2），B＝[﹣2，2），不满足题意．所以选择②，则实数a的取值范围是（﹣2，+∞）．若选择③B⊆∁R A．当a ＞﹣2时，A ＝（﹣2，a ），∁R A ＝（﹣∞，2]∪[a ，+∞），而B ＝[﹣2，2），不满足题意．当a ＝﹣2时，A ＝∅，∁R A ＝R ，而B ＝[﹣2，2），满足题意．当a ＜﹣2时，A ＝（a ，﹣2），∁R A ＝（﹣∞，a ]∪[﹣2，+∞），而B ＝[﹣2，2），满足题意．所以选择③，则实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．19．解：∵命题p ：函数f （x ）＝lg （ax 2﹣x +a ）的定义域为R ，∴ax 2﹣x +a ＞0恒成立，⇒解得a ＞1；∵命题q ：不等式3x ﹣9x ＜a 对一切正实数x 均成立，令g （x ）＝3x ﹣9x ，∵g （x ）＝3x ﹣9x ＝﹣（3x ﹣）2+＜0，∴a ≥0．∵“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，∴命题p 与命题q 一真一假．若p 真q 假，则a ∈∅；若p 假q 真，即，则0≤a ≤1．综上所述，实数a 的取值范围：[0，1]．20.解：（Ⅰ）当3a =-时，32()43f x x x x =+-，2()383f x x x '=+-，由()0f x '=，即23830x x +-=，得13x =-，213x =，当113x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在1(1,)3-上为减函数，在1(3，1)上导数为正，函数为增函数，所以，()f x 在(1,1)-上不是单调函数． （Ⅱ）因为191()63g x x =-在[0，2]上为增函数，所以1()[3g x ∈-，6]． 令222()()232(1)(2)2322F x f x ax x a x a a ax x x a a ='+=+--++=+--若存在实数a ，对于任意的1[1x ∈-，1]存在2[0x ∈，2]，使得112()2()f x ax g x '+=成立，则对任意[1x ∈-，1]，有1()3min F x -，()6max F x ． 对于函数22()322F x x x a a =+--，2221111()()3()2()223333min F x F a a a a =-=⨯-+⨯---=---，2()52max F x a a =--． 联立2211233526a a a a ⎧----⎪⎨⎪--⎩解得：20a -．。

集合与简易逻辑、不等式会考练习题一、选择题1、已知集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5，6}，则A ∪B 的元素个数是（ ） A ：4 B ：5 C ：6 D ：72、设集合M={0，1，2，3}，N={2，3，4，5，6}，则M ∩N 等于（ ） A ：{1，2，3} B ：{1，3，5} C ：{2，4} D ：{2，4，5}3、若集合A={1，3，x }，B={2x ，1}，且A ∪B=A ，则这样的x 的不同值有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个4、设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，4}，B={2，4，5}，则A ∪(B C U )等于 A ：{1，3} B ：{1，3，4} C ：{1，3，6} D ：{1，3，4，6}5、设全集U=},9{N x x x ∈≤，集合A={1，7，8}，B={2，3，5，7}，S={1，4，7}， 则（A ∪B ）∩(S C U )等于（ ）A ：{2，3，6，8}B ：{1，3，5，7}C ：{2，3，5，8}D ：{2，3，5，7}6、不等式12>-x 的解集为（ ）A ：}31{<<x xB ：}33{-<>x x x 或C ： }33{<<-x xD ：}13{<>x x x 或7、“5>x ”的一个必要非充分条件是（ ）A ：6>xB ：3>xC ： 6<xD ：100<x8、不等式23≤-x 的解集为（ ）A ：}51{≥≤x x x 或B ：}51{≤≤x xC ： }51{≤≤-x xD ：}15{-≤≤-x x9、设p ：50<<x ，q ：52<-x ，则p 是q 的（ ）A ：充分不必要条件B ：必要不充分条件C ： 充要条件D ：既不充分又不必要条件10、若b a ,是任意实数，且b a >，则（ ）A ：22b a >B ：1<ab C ：0)lg(>-b a D ：b a )21()21(> 11、若0,0>><<cd b a ，则下列不等式中错误的是（ ）A ：dc a c > B ：bc ad > C ：22b a > D ：c b d a -<-12、以下四个条件中，能使ba 11<成立的充分条件的个数是（ ） ①ab >>0②b a >>0③b a >>0④0>>b aA ：1个B ：2个C ：3个D ：4个13、设01,0<<-<b a ，那么下列各式中正确的是（ ）A ：2ab ab a >>B ：a ab ab >>2C ：2ab a ab >>D ：a ab ab >>214、若d c b a >>,，则一定有（ ）A ：d c b a -+>B ：b d c a -+>C ：b d a c -+>D ：a d b c -+>15、已知0>x ，则34++xx 的最小值为（ ） A ：4 B ：7 C ：8 D ：1116、若两实数x,y 满足xy<0，那么总有（ ）A ：y x ->x -yB ：y x + >y x -C ：y x -< x -yD ：y x +>x -y17、已知不等式1-x ax <1的解集为{x 21><x x 或}，那么a 的值是（ ） A ：-2 B ：-21 C ：21 D ：2 18、命题：“若ab=0则a=0或b=0”的否命题是（ ）A ：若ab=0则a 0≠或b 0≠B ： 若ab=0则a 0≠且b 0≠C ：若ab 0≠则a 0≠或b 0≠D ： 若ab 0≠则a 0≠且b .0≠二、填空题19、命题“若1=x ，则0542=-+x x ”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数有______个20、设}017{},9{2≤+-=≥=x x xB x x A ，则A ∩B=_______________21、解不等式：7522<-<x 得______________22、不等式01422<--x x 的解集是______________23、若2lg lg =+y x ，则y x 41+的最小值是_________24、已知三个不等式：（1）0>ab ；（2）bd a c >；（3）ad bc >。

高考一轮复习(一) 集合、简易逻辑、解不等式基础自测1.满足M ⊆{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B2.设U 为全集，非空集合A 、B 满足A B ，则下列集合为空集的是 （ ） A.A B B.A (UB ） C.B (UA ） D.（U A ） （UB ）答案 B3. 若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的 （ ） A.逆否命题 B.逆命题 C.否命题 D.原命题答案 C4.已知命题p:3≥3;q:3>4,则下列选项正确的是 （ ） A.p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为真 B. p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为 C. p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为假 D. p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假 答案 D5. “|x -1|<2成立”是“x(x -3)<0成立”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B6.下列结论正确的是（ ）A.不等式x 2≥4的解集为{x|x ≥±2} B.不等式x 2-9＜0的解集为{x|x ＜3}C.不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x ＜1+2}D.设x 1,x 2为ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2} 答案 C 例题精选与变式训练例1 已知集合A={}510|≤+<ax x ，集合B=.221|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-x x(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a=0，则A=R ;②若a ＜0，则A=;14|⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤a x a x③若a ＞0，则A=,41|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-a x a x(1)当a=0时，若A ⊆B ，此种情况不存在.当a ＜0时，若A ⊆B ，如图，则,21214⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<，218a a ∴a＜-8.当a ＞0时，若A ⊆B ，如图，则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-a a ∴.22⎩⎨⎧≥≥a a ∴a≥2.综上知，此时a 的取值范围是a ＜-8或a≥2.(2)当a=0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时,若B ⊆A ，如图，则，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤21214a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧->-≥,218a a ∴-21＜a ＜0;当a ＞0，若B ⊆A ，如图，则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-a a ∴,22⎩⎨⎧≤≤a a ∴0＜a≤2.综上知，当B ⊆A 时，-.221≤<a（3）当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A=B. 由（1）、（2）知，a=2.例2 .已知集合A={},R ,01)2(|2∈=+++x x a x x B {}0|R >∈=x x ，试问是否存在实数a ，使得A B ？∅= 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 解 方法一 假设存在实数a 满足条件A B ,∅=则有（1）当A≠∅时，由A B ,∅=B {}0|R >∈=x x ，知集合A 中的元素为非正数， 设方程x 2+(2+a)x+1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>=≥<+-=+≥-+=∆01;0,0)2(04)2(21212x x a a x x a 解得 （2）当A=∅时，则有∆=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a ＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件A B ∅=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二 假设存在实数a 满足条件A B≠∅，则方程x 2+(2+a)x+1=0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正， 因为x 1²x 2=1＞0，所以两根x 1,x 2均为正数.则由根与系数的关系，得,0)2(04)2(212⎩⎨⎧+-=+≥-+=∆＞a x x a 解得.4,240-≤⎩⎨⎧-<-≤≥a a a a 即或 又∵集合{}4|-≤a a 的补集为{},4|->a a ∴存在满足条件A B=∅的实数a,其取值范围是（-4，+∞）. 变式训练1.设全集U=R ,集合M={x|x≤1或x≥3},集合P={}R ,1|∈+<<k k x k x ，且U M P≠∅，则实数k 的取值范围是 （ ） A.k ＜0或k ＞3 B.1＜k ＜2 C.0＜k ＜3 D.-1＜k ＜3 答案 C2.集合A={}{},2,1,1,21,g 1|R --=>=∈B x x y y ，则下列结论中正确的是 （ ） A.A B {}1,2--= B.( R A) B （=-∞,0） C.A B=(0,+∞） D.（R A ） B {}12--=， 答案 D3. 已知集合A={x|y=21x -,x∈Z }，B={y|y=x 2+1,x∈A},则A∩B 为 （ ）A.∅B.［0，+∞）C.{1}D.{（0，1）} 4. 求关于x 的方程x 2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.解 设方程的两根分别为x 1、x 2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥--=∆,0)1)(10)1()1(,0)23(421212x x x x m m （， 即⎪⎩⎪⎨⎧>++->-+≥+-=∆.01)(02)(,08122121212x x x x x x m m ，又∵x 1+x 2=m,x 1x 2=3m-2, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-≤+≥.21,2,726726m m m m 或故所求的充要条件为m≥6+27.5.(1)是否存在实数p,使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围； （2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围. 解 （1）当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-,4p 故-4p≤-1时，“x<-4p ”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p≥4时，“4x+p<0”是“x 2-x-2>0”的充分条件. （2）不存在实数p 满足题设要求.例3 指出下列命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在△ABC 中，p ：∠A=∠B，q ：sinA=sinB ； （2）对于实数x 、y ，p ：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; （3）非空集合A 、B 中，p ：x∈A∪B，q ：x∈B；（4）已知x 、y∈R ，p ：（x-1）2+（y-2）2=0，q ：（x-1）（y-2）=0.解 （1）在△ABC 中，∠A=∠B ⇒sinA=sinB ，反之，若sinA=sinB ，因为A 与B 不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p 是q 的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x∈A∪B 不一定有x∈B,但x∈B 一定有x∈A∪B,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以p ⇒q 但q p,故p 是q 的充分不必要条件.例4（12分）已知两个命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x 2+mx+1>0.如果对∀x ∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题.求实数m 的取值范围.解 ∵sinx+cosx=2sin(x+)4π,2-≥∴当r(x)是真命题时,m<-2， 2分又∵对∀x ∈R ，s(x)为真命题，即x 2+mx+1>0恒成立，有∆=m 2-4<0,∴-2<m<2, 4分∴当r(x)为真，s(x)为假时，m ＜-2,同时m≤-2或m≥2，即m≤-2 ; 6分 当r(x)为假，s(x)为真时，m≥-2且-2<m<2,即-2≤m<2. 8分 综上，实数m 的取值范围是m ≤-2或-2≤m<2. 变式训练1.若命题p:x ∈,B A 则p ⌝是 （ ） A ．A x ∈B x ∉且 B ．B x A x ∉∉或 C ．B x A x ∉∉且 D ．B A x ∈ 答案 B2.不等式|x|<a 的一个充分条件为0<x<1,则a 的取值范围为 . 答案 a≥13. 写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （2）矩形的对角线互相平分且相等； （3）相似三角形一定是全等三角形.解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等” 原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”. 原命题是假命题，否命题是真命题.4.已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R ,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解 由函数y=a x在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,则y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x aa x a x （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21若p 真q 假,则0<a≤;21若p 假q 真，则a≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a≤21或a≥1.例5 解不等式)35(232+-x ≥21(x 2-9)-3x .解 原不等式可化为-23x 2+25≥21x 2-29-3x , 即2x 2-3x -7≤0. 解方程2x 2-3x -7=0,得x =4653±. 所以原不等式的解集为 .4654346543|⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-x x例6 已知不等式011>+-x ax (a ∈R ). (1)解这个关于x 的不等式; (2)若x =-a 时不等式成立,求a 的取值范围. 解 (1)原不等式等价于(ax -1)(x +1)＞0. ①当a =0时,由-(x +1)＞0,得x ＜-1; ②当a ＞0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＞0, 解得x ＜-1或x ＞a 1;③当a ＜0时,不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x +1)＜0;若a 1＜-1,即-1＜a ＜0,则a1＜x ＜-1;若a1=-1,即a =-1,则不等式解集为空集; 若a 1＞-1,即a ＜-1,则-1＜x ＜a1. 综上所述, a ＜-1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 11|; a =-1时,原不等式无解; -1＜a ＜0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<11|x a x ; a =0时,解集为{x |x ＜-1}; a ＞0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<a x x x 11|或.(2)∵x =-a 时不等式成立, ∴,0112>+---a a 即-a +1＜0, ∴a ＞1,即a 的取值范围为a ＞1.变式训练1.解关于x 的不等式,02<--a x ax （a ∈R ）.解⇔<--02ax a x （x -a ）（x -a 2）＜0, ①当a =0或a =1时，原不等式的解集为∅； ②当a ＜0或a ＞1时，a ＜a 2，此时a ＜x ＜a 2; ③当0＜a ＜1时，a ＞a 2，此时a 2＜x ＜a . 综上，当a ＜0或a ＞1时，原不等式的解集为 {x |a ＜x ＜a 2}；当0＜a ＜1时，原不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }; 当a =0或a =1时，原不等式的解集为∅.例7 （12分）已知f (x )=x 2-2ax +2,当x ∈［-1，+∞）时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围.解 方法一 f (x )=(x -a )2+2-a 2, 此二次函数图象的对称轴为x =a ,1分 ①当a ∈(-∞,-1)时，结合图象知,f （x )在［-1，+∞）上单调递增，f (x )min =f (-1)=2a +3, 3分 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a , 即2a +3≥a ,解得a ≥-3,又a ＜-1,∴-3≤a ＜-1; 5分 ②当a ∈［-1，+∞）时，f (x )min =f (a )=2-a 2, 7分 由2-a 2≥a ,解得-2≤a ≤1, 又a ≥-1,∴-1≤a ≤1.10分 综上所述，所求a 的取值范围为-3≤a ≤1.12分 方法二 由已知得x 2-2ax +2-a ≥0在［-1，+∞）上恒成立，4分 即Δ=4a 2-4（2-a ）≤0或,0)1(10⎪⎩⎪⎨⎧≥--<>∆f a8分解得-3≤a ≤1.变式训练.函数f （x ）=x 2+ax +3.(1)当x ∈R 时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范围. (2)当x ∈［-2,2］时,f (x )≥a 恒成立,求a 的范围.解 (1)∵x ∈R 时,有x 2+ax +3-a ≥0恒成立, 须Δ=a 2-4(3-a )≤0,即a 2+4a -12≤0,所以-6≤a ≤2.(2)当x ∈［-2,2］时,设g (x )=x 2+ax +3-a ≥0,分如下三种情况讨论(如图所示):①如图(1),当g (x )的图象恒在x 轴上方时,满足条件时,有Δ=a 2-4(3-a )≤0,即-6≤a ≤2. ②如图(2),g (x )的图象与x 轴有交点, 但在x ∈［-2,+∞)时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--<-=≥∆0)2(,220g a x即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-≤≥⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-+--<-≥--374620324220)3(42a a a a a a a a a 或解之得a ∈∅.③如图(3),g (x )的图象与x 轴有交点, 但在x ∈(-∞,2］时,g (x )≥0,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>-=≥∆0)2(,220g a x即.6774620324220)3(42-≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-<-≤≥⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-++>-≥--a a a a a a a a a a 或综合①②③得a ∈［-7，2］..。

高考数学小题必练1．集合的概念与表示①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系．②针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．③在具体情境中，了解全集与空集的含义．2．集合的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．③能使用Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．4．必要条件、充分条件、充要条件①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．5．全称量词与存在量词通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．6．全称量词命题与存在量词命题的否定①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．1．【2020全国I 卷理科】设集合2{|40}A x x =-≤，{|20}B x x a =+≤，且{|21}A B x x =-≤≤，则a =（）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由题意知{|22}A x x =-≤≤，{|}2aB x x =≤-， 又因为{|21}A B x x =-≤≤，所以12a -=，解得2a =-． 【点睛】含参的交集运算，是高考的常规考查．2．【2020北京卷】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z ，使得π(1)kk αβ=+-”是“βαsin sin =”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】sin sin 2πk αβαβ=⇔-=或π2π()π(1)()k k k k k αβαβ+=+∈⇔=+-∈Z Z ．【点睛】考查三角函数和充分条件与必要条件，利用诱导公式即可得，属于常规考查．一、单选题．1．已知集合{|24}A x x =<<，2{|430}B x x x =-+≤，则A B =（）A ．{|14}x x -<≤B ．{|14}x x -≤≤C ．{|23}x x <≤D ．{|23}x x ≤≤【答案】C【解析】由2430x x -+≤，解得13x ≤≤，故{|23}A B x x =<≤．2．“2a ”是“复数(2i)(1i)()z a a R 为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当2a 时，(22i)(1i)4i z ，则z 为纯虚数，可知“2a ”是“复数(2i)(1i)()z a a R 为纯虚数”的充分条件；当(2i)(1i)(2)(2)i z a a a 为纯虚数时，2020a a ，解得2a ，可知“2a ”是“复数(2i)(1i)()z a a R 为纯虚数”的必要条件，综上所述，“2a ”是“复数(2i)(1i)()z a a R 为纯虚数”的充要条件．3．命题“0x ∃>，21x x =-”的否定是（）A ．0x ∃>，21x x ≠-B ．0x ∀≤，21x x =-C ．0x ∃≤，21x x =-D ．0x ∀>，21x x ≠-【答案】D【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，注意到要否定结论，所以：命题“0x ∃>，21x x =-”的否定是：0x ∀>，21x x ≠-．4．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则命题p :m n ⊥的一个充分条件是（）A ．q ：αβ∥，m α⊂，n β⊥B ．q ：αβ∥，m α⊥，n β⊥C ．q ：αβ⊥，m α⊥，n β∥D ．q ：αβ⊥，m α⊂，n β∥【答案】A【解析】若p 的充分条件是q ，则需要满足q p ⇒．对于选项A ，αβ∥，m α⊂，n β⊥，故m n ⊥，所以满足q p ⇒，故选项A 正确；对于选项B ，由命题q 可得m n ∥，q p ，故选项B 错误；对于选项C ，由命题q 可得m ，n 的位置关系是平行或相交或异面，q p ，故选项C 错误；对于选项D ，由命题q 可得m ，n 的位置关系是平行或相交或异面，q p ，故选项D 错误，故选A ．5．若命题:p “0x ∃∈R ，20010x ax +≤+”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,2]-B ．(,2][2,)-∞-+∞C ．(2,2)-D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B【解析】命题:p “0x ∃∈R ，20010x ax +≤+”是真命题，则需满足240Δa =-≥，解得2a ≥或2a ≤-．6．下列命题中，真命题是（）A ．若||||=a b ，则=a bB ．命题“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是“x ∀∈R ，20x <”C ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件D ．对任意x ∈R ，1sin 2sin x x +≥【答案】C【解析】A ．若||||=a b ，则=a b 不成立，故A 错误；B ．命题“x ∀∈R ，20x ≥”的否定是“x ∃∈R ，20x <”故B 错误；C ．由21x >，得1x >或1x <-，即“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故C 正确；D ．当sin 0x <时，1sin 2sin x x +≥不成立，故D 错误．7．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“10a >，0d >”是“5762S S S +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得576762S S S a a d +-=-=，因此当10a >，0d >时，57620S S S d +-=>，则5762S S S +>；当5762S S S +>时，57620S S S d +-=>，此时1a ∈R 都可以，∴“10a >，0d >”是“5762S S S +>”的充分不必要条件．8．设x ∈R ，若“13x ≤≤”是“||2x a -<”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(1,3]D ．[1,3]【答案】A【解析】由||2x a -<，解得22a x a -<<+，∵“13x ≤≤”是“||2x a -<”的充分而不必要条件，∴[1,3](2,2)a a -+，∴2123a a -<⎧⎨+>⎩，解得13a <<，∴实数a 的取值范围是(1,3)．二、多选题．9．下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a <”的充分不必要条件B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”C ．设,x y ∈R ，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】ABD【解析】对于A ，1110(1)00a a a a a a-<⇔>⇔->⇔<或1a >， 则“1a >”是“11a <”的充分不必要条件，故A 对； 对于B ，全称量词命题的否定是存在量词命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对； 对于C ，“2x ≥且2y ≥”⇒“224x y +≥”，“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对，故选ABD ．10．下列结论正确的是（）A ．x ∀∈R ，12x x+≥ B ．“0x ∃∈R ，2000x x -≤”的否定是“x ∀∈R ，20x x ->”C ．直线1:210l ax y ++=，2:220x ay l ++=，12l l //的充要条件是12a =D ．在ABC △中，若sin sin A B >，则A B >【答案】BD【解析】对于A ，当0x <，10x x +<，故A 不正确； 对于B ，“0x ∃∈R ，2000x x -≤”的否定是“x ∀∈R ，20x x ->”，故B 正确；对于C ，12//l l 等价于241a =，即12a =±，得12//l l 的充要条件是12a =±，故C 不正确； 对于D ，若sin sin A B >，由正弦定理可得ab >，由于大边对大角，故A B >，故D 正确，故选BD ．11．下列四种说法中正确的有（）A ．命题“x ∀∈R ，231x x >+”的否定是“x ∃∈R ，231x x <+”；B ．若不等式210ax bx ++>的解集为{}13x x -<<，则不等式23650ax bx ++<的解集为(,1)(5,)-∞-+∞C ．复数z 满足2i 1z -=，z 在复平面对应的点为(),x y ，则22(2)1x y +-=D ．已知1:32p x ≤≤，21:()10(0)q x a x a a-++≤>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是1(0,][3,)3+∞ 【答案】BCD【解析】选项A ：命题“x ∀∈R ，231x x >+”的否定应该是“0x ∃∈R ，02031x x ≤+”，故选项A 错误； 选项B ：因为不等式210ax bx ++>的解集为{}13x x -<<，所以方程210ax bx ++=的两个根为1-和3，且0a <． 由213b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解出1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以不等式23650ax bx ++<可化为2450x x -++<，即2450x x -->，解得1x <-或5x >．所以不等式23650ax bx ++<的解集为(,1)(5,)-∞-+∞，故选项B 正确；选项C ：设i z a b =+，()2i 2i 1z a b -=+-==，所以满足22(2)1x y +-=，故选项C 正确；由21()10(0)x a x a a -++≤>，得到1()()0x a x a --≤．当1a ≥时，1a a >，所以有1:q x a a ≤≤，由题意可得1123a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩，解得3a ≥；当01a <<时，1a a <，所以有1:q a x a ≤≤，由题意可得1213a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得103a <≤，因此，实数a 的取值范围是1(0,][3,)3+∞，故选项D 正确，故选BCD ．12．下列选项中说法正确的是（）A ．若非零向量a ，b 满足0⋅>a b ，则a 与b 的夹角为锐角B ．若命题p ：存在0x ∈R ，使得20010x x -+<，则p 的否定是：对任意x ∈R ，都有210x x -+>C ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“0()0f x '=”是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件D ．在ABC △中，cos cos B A >是A B >的充要条件【答案】CD【解析】对于A ，a ，b 同向时，a 与b 的夹角为0度，不是锐角，故A 不正确；对于B ，存在0x ∈R ，使得20010x x -+<的否定为：对任意x ∈R ，都有210x x -+≥，故B 不正确； 对于C ，已知()y f x =是R 上的可导函数，则“0()0f x '=”时，函数不一定有极值，若“0x 是函数()y f x =的极值点”，则一定有“0()0f x '=”，所以已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()0'0f x =”是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件，故C 正确；对于D ，,(0,π)A B ∈，cos y x =，(0,π)x ∈时单调递减，∴cos cos B A B A >⇔<，故D 正确， 故选CD ．三、填空题．13．已知集合{,,}{0,1,2}a b c =，且若下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠，有且只有一个正确，则10010a b c ++=．【答案】201【解析】由{,,}{0,1,2}a b c =，得,,a b c 的取值情况如下：当0a =时，1b =，2c =或2b =，1c =，此时不满足条件；当1a =时，0b =，2c =或2b =，0c =此时不满足条件；当2a =时，1b =，0c =此时不满足条件；当2a =时，0b =，1c =此时满足条件；综上得2a =，0b =，1c =代入100102001201a b c ++=+=．14．已知:13p x -<<，:11q x m -<<+，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是．【答案】(2,)+∞【解析】由题意，命题:13p x -<<，:11q x m -<<+，因为q 是p 的必要不充分条件，即pq ，则13m +>，解得2m >，则实数m 的取值范围是(2,)+∞．15．设有两个命题：（1）不等式|||1|x x m ++>的解集为R ；（2）函数()(73)x f x m =-在R 上是增函数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则m 的取值范围是．【答案】12m ≤<【解析】①∵不等式|||1|x x m ++>的解集为R ，而|||1|x x ++表示数轴上的x 到0和1-的距离之和，最小值等于1，∴1m <，②∵函数()(73)x f x m =-在R 上是增函数，∴731m ->，2m <， ∴当12m ≤<时，①不正确，而②正确，两个命题有且只有一个正确，实数m 的取值范围为12m ≤<．16．用列举法表示集合**(,)|5,,{}A x y x y x y =+=∈∈N N 是；用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是．【答案】{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}，{|41,}x x k k ∈=+∈Z Z【解析】由题意{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}A =，所有被4除余1的整数组成的集合为{|41,}x x k k ∈=+∈Z Z ．。

一、集合与简易逻辑训练题一．选择题1 .集合{},,a b c 的子集共有（ ） A ．5个 B ．6个 C ．7个 Ｄ．8个2. 下列五个写法：①{}{}00,1,2;∈②{}0;∅⊆③{}{}0,1,21,2,0;⊆ ④0;∈∅⑤0∅.=∅其中错误．．写法的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43. 设集合S ＝｛x ｜5<x ｝，T ＝｛x ｜2142<+x x ｝.则T S ⋂＝（ ） A. ｛x ｜－7＜x ＜－5 ｝ B. ｛x ｜ 3＜x ＜5 ｝C. ｛x ｜ －5 ＜x ＜3｝D. ｛x ｜ －7＜x ＜5 ｝4. 定义Ａ－Ｂ＝{},,x x A x B ∈∉且若Ａ＝{}10,8,6,4,2,1，Ｂ＝{}1,4,8，则Ａ－Ｂ＝ （ ）Ａ．{}4,8 Ｂ．{}1,2,6,10 Ｃ．{}1 Ｄ．{}2,6,10 5．“6πα=”是“1cos 22α=”的 （ ） A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC ． 充分必要条件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.mD ．既不充分也不必要条件6. 集合{}{}22,1,1,21,2,34,A a a B a a a =+-=--+{}1,A B ⋂=-则a 的值是（ ）A ．1-B ．0或1C ．0D ．27. 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是 （ ） A.p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞dB.p:a ＞1,b>1， q:()(10)x f x a b a =-≠>的图象不过第二象限C.p: x=1, q:2x x =D.p:a ＞1, q: ()log (10)a f x x a =≠>在(0,)+∞上为增函数8. 已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是 （ ）A. 11,22k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B. 11,,22k ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. k ⎡∈⎢⎣⎦D. 2,,k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭b 二．填空题9. 若集合{}Z x x x A ∈≥=,1||，集合{}21<<-=x x B ，则=B A .10.设全集{}1lg |*<∈==x N x B A U ，若{}4,3,2,1,0,12|=+==n n m m B C A U ，则集合B=__________.11. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 12. 已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c = .13. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的 的条件（充要条件，充分不必要，必要不充分，既不充分也不必要）.14. 设集合,A B 满足：{}{}1,2,3,4,5A B ==， {}|M x x A =⊆， {}|N x x B =⊆，则MN = .三．解答题15.已知，}8,6,4{)(},3{==B A C B A U ，}5,1{)(=B C A U ,|},3,10|{)()(*N x x x x B C A C U U ∈≠<= 求)(B A C U ,,A B .16. 若},01|{},023|{22=-+-==+-=a ax x x B x x x A }02|{2=+-=bx x x C 同时满足A B ⊆，C C A = ，求实数b a ,的所有值.17.设集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=<-=1212|,2|||x x x B a x x A ，若B A ⊆，求实数a 取值范围．18. 已知集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ， （1）若}2{=B A ，求实数a 的值； （2）若A B A = ，求实数a 的取值范围19.记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B. (1) 求A ；(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.20. 已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11aA a+∈-。

专题一 集合与简易逻辑一、单选题1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =（ ） A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}--- 【答案】C【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U 1,1A B =-.故选：C.2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.3．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4} 【答案】C【解析】根据集合并集概念求解.【详解】 [1,3](2,4)[1,4)A B ==故选：C4．已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12k k k m απβ=+-=或()()121k k k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.5．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则PQ =（ ） A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}<<x x【答案】B【解析】根据集合交集定义求解.【详解】 (1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B6．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴ |AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC | ⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.9．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选：C.10．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】b =0 时，b (b )=cos b +b sin b =cos b , b (b )为偶函数；b (b )为偶函数时，b (−b )=b (b )对任意的b 恒成立，b (−b )=cos (−b )+b sin (−b )=cos b −b sin bcos b +b sin b =cos b −b sin b ，得bbbbb =0对任意的b 恒成立，从而b =0.从而“b=0”是“b (b )为偶函数”的充分必要条件，故选C.11．已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则AB =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3} 【答案】D【解析】 首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果. 【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3AB =，故选：D. 12．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．4 【答案】B【解析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.13．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2} 【答案】D【解析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】 因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--， {}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =-.故选：D.14．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=（ ） A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3} 【答案】A【解析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =-. 故选：A.15．设m R ∈，则“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据条件先求m 的取值范围，再比较集合的包含关系，判断充分必要条件.【详解】圆()()22:123C x y m -+-=-，圆心()1,2，半径r = 若直线l 与圆C 有公共点，则圆心()1,2到直线的距离d =≤13m ≤<，{}12m m ≤≤ {}13m m ≤<，所以“12m ≤≤”是“直线:0l x y m +-=和圆22:2420C x y x y m +--++=有公共点”的充分不必要条件.故选：A16．设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】 2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.17．已知集合{}0,1,2,4A =，{}2,n B x x n A ==∈，则A B =（ ） A ．{}0,1,2B ．{}0,1,4C ．{}0,2,4D ．{}1,2,4 【答案】D【解析】由题知{}1,2,4,16B =,再根据集合交集运算求解即可.【详解】因为{}0,1,2,4A =，{}1,2,4,16B =，所以{}1,2,4A B =，故选:D.18． “21a =”是“直线1x ay +=与1ax y +=平行”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】首先根基两直线平行求出a 的值，再根据小范围推大范围选出答案.【详解】因为直线1x ay +=与1ax y +=平行，所以0a ≠ 且两直线的斜率相等即1a a-=解得1a =±； 而当1a =时直线1x ay +=为1x y +=，同时1ax y +=为1x y +=，两直线重合不满足题意；当1a =-时，1x y -=与1x y -+=平行，满足题意；故1a =-，根据小范围推大范围可得：21a =是1a =-的必要不充分条件.故选：B19．已知命题:p “,a b 是两条不同的直线，α是一个平面，若,b a b α⊥⊥，则//a α”，命题:q “函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，为R 上的增函数”，下列说法正确的是 A ．“p q ⌝∧”为真命题B ．“p q ∧⌝”为真命题C ．“p q ∧” 为真命题D ．“p q ⌝∧⌝” 为真命题 【答案】D【解析】依题意得p 是假命题；因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，得q 是假命题，则可判断正确结果． 【详解】若,b a b α⊥⊥，则//a α或a α⊂，所以命题p 是假命题； 函数1,1()23,1x e x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当1x =时()011f e ==，当32x =时3323022f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭， 因为312<又()312f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上不是增函数，故q 是假命题； 所以p ⌝与q ⌝是真命题，故“p q ⌝∧⌝” 为真命题故选：D ．20．记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+.给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A【解析】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y xx y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ，则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．21．已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B22．已知M 、N 为R 的子集，若R M N =∅，{}1,2,3N =，则满足题意的M 的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】D【解析】根据交集、补集的运算的意义，利用韦恩图可得出M ，N 关系，根据子集求解.【详解】因为M 、N 为R 的子集，且R MN =∅，画出韦恩图如图，可知，M N ⊆，因为{}1,2,3N =，故N 的子集有32=8个.故选：D23． “0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据直线与圆相交的判定，充分条件，必要条件即可求解【详解】当0a =时，直线为0x y -=，过圆心(0,0)，故直线与圆224x y +=相交，当直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交时，圆心到直线的距离2d =<，化简得220a +>，显然恒成立，不能推出0a =，所以“0a =”是直线(1)(1)20()a x a y a a R ++-+=∈与圆224x y +=相交的充分不必要条件， 故选：A24．设集合()222021,2020A x y x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，(){},2x B x y y ==，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】 分别作出2220212020x y +=，2x y =图象，判断交点个数即可.【详解】依题意：集合A B 中元素的个数即2220212020x y +=，2x y =图象交点个数如图所以一共有两个交点，所以集合A B 中元素的个数为2故选：C25．已知集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，且A B =∅，则实数m 应满足（）A ．1m <B ．1mC ．3m ≥D ．3m >【答案】A【解析】根据集合交集定义即可求解．【详解】 解：∵集合{}13A x x =≤<，{}B y y m =≤，A B =∅∴1m <，故选：A ．26．命题000:,20p x R x lnx ∃∈+<的否定为（ ）A ．000,20x R x lnx ∃∉+≥B ．000,20x R x lnx ∃∈+>C ．,20x R x lnx ∀∈+>D ．,20x R x lnx ∀∈+≥【答案】D【解析】 根据特称命题的否定是全称命题，直接写出即可.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为,20x R x lnx ∀∈+≥.故选:D.27．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R （ ） A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥ 【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.28．已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】D【解析】当b α⊂时，若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也为假命题；故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件故选：D29.设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x ∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128ST =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍. 若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆. 若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、填空题30．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________ 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．31．设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.32．设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题： ①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ⋂≠∅，则12A A ⋂具有性质P ；③若12,A A 具有性质P ，则12A A ⋃具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②【解析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈⋂，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈⋂⋂，所以12A A ⋂具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A∈，23A ∈，但1223A A +∉⋃，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④错误；故答案为：①②【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。

一、选择题：1、C ；2、D ；3、A ；4．A 5.B6．C ； 7．C ； 8．D ； 9．A ．10、C二、填空题： 11、②④ ； 12、3±；0；13.[1,17]14.9 15．；16、由题意p ,q 中有且仅有一为真，一为假，p真12120010x x m x x ∆>⎧⎪⇔+=-<⎨⎪=>⎩ ⇔m>2，q 真⇔∆<0⇔1<m<3,若p 假q 真，则213m m ≤⎧⎨<<⎩⇔1<m ≤2；若p 真q 假，则213m m a m >⎧⎨≤≥⎩或⇔m ≥3；综上所述：m ∈(1,2]∪[3，+∞)．17.⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<<=<><<≠=><>22,02,022,102,122,1x a a x a x ax a x a x a x a 或或18．解：原不等式等价于：或∴原不等式的解集为19．整数解有: (－1,－1)、( －1,－2)、( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1)20.解：,a R ∈∴∴∣Φ 当a=0时，f(x)=-2x,A={x x<0},A B= ∴0a ≠，令f （x ）＝0解得其两根为1211x x a a=-=+由此可知120,0x x <>ba b a +>+1110158301720158301720215822222≤+-+-⇔≥+--+-⇔≥-+-x x x x x x x x x x x3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 65≤<x ]6,5()3,25[ ()3,1--（i ）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<⋃>A B φ⋂≠的充要条件是23x <，即13a +解得67a >（ii ）当0a <时，12{|}A x x x x =<<A B φ⋂≠的充要条件是21x >，即11a +>解得2a <-综上，使A B φ⋂=成立的a 的取值范围为6(,2)(,)7-∞-⋃+∞21. 解析：依题意得y ＝t ＋1t－4≥2t ·1t 4＝－2，此时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1tt >0)的最小值是－2.答案：－222.8.解析：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+.0,0,36094,20045,300410y x y x y x y x作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.（图略）作直线l ：600x ＋1000y =0，即直线l :3x ＋5y =0. 把直线l 向右上方平移至11的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝600x ＋1000y 取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+.36094,20045y x y x得M 的坐标为x =29360≈12.4，y =291000≈34.4.所以应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大. 答案：应生产甲产品约12.4 t ，乙产品34.4 t ，能使利润总额达到最大.。

集合与简易逻辑和不等式练习题1．已知a ={A x x =≥，则（ ）A ．a A ∉B ．a A ∈C ．{}a A =D ．{}a a ∉【答案】B>a A ∈，故A 错，B 对，显然{}a A ≠，所以C 不对，而{}a a ∈，所以D 也不对，故本题选B ．2．设集合{}1,2,3,4,5A =，{}21,B y y x x A ==-∈，则A B 等于（ ）A ．{2,4}B ．{1,3,5}C ．{2,4,7,9}D ．{1,2,3,4,5,7,9}【答案】B【解析】集合{}1,2,3,4,5A =，{}{}21,1,3,5,7,9B y y x x A ==-∈=，{}1,3,5A B =．3．（2020·吉林省实验高一期中）不等式()43x x -<的解集为（ ） A ．{|1x x <或}3x > B ．{0x x <或}4x > C ．{}13x x << D ．{}04x x <<【答案】A 【解析】由题：等式()43x x -<化简为：2430x x -+>()()130x x -->解得：1x <或3x >. 故选：A4．（2020·全国高一）已知0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．a b < B ．11a b< C ．a b ->- D ．22a b <【答案】B0a b >>,a b ∴>，11a b< ，a b -<-，22a b > 只有B 正确.故选： B .5．命题“0x ∀>，都有20x x -≤”的否定是（ ） A ．0x ∃>，使得20x x -≤ B ．0x ∃>，使得20x x -> C ．0x ∀>，都有20x x -> D ．0x ∀≤，都有20x x ->【答案】B【解析】全称命题的否定为特称命题，据此可得：命题“0x ∀>，都有20x x -≤”的否定是0x ∃>，使得20x x ->． 本题选择B 选项．6．（2020·四川省高一期末）若正数,a b 满足6a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．9【答案】D 【解析】依题意226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3a b ==时等号成立，所以ab 的最大值为9.故选：D7．（2020天津卷）.设a R ∈，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.8．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一期末）函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 因为22(2)2y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =.9．（2020·商丘市回民中学高二期末（理））若不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，那么不等式()()2112a x b x c ax ++-+>的解集为 ( )A ．{|03}x x <<B ．{|21}x x x <->或C ．{|03}x x x <>或D ．{|21}x x -<<【答案】A 【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，所以1-和2是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以1212b ca a-=-+==-，,即c 2b a a =-=-，，代入不等式()()2112a x b x c ax ++-+>整理得()230a x x ->，因为0a <，所以230x x -<,所以03x <<， 故选A10.下列命题正确的是（ D ）A ．2,,|2|(1)0a b R a b ∃∈-++< B ．,a R x R ∀∈∃∈ ，使得2ax > C ． “0ab ≠”是“220a b +≠”的充要条件 D ．若1a b ≥>-，则11a ba b≥++11.若1,x A A x ∈∈，则称A 是伙伴关系集合.集合11{1,0,,,2,3}23-的所有非空子集中，伙伴关系集合的个数是（ C ） A ．2 B ．5C ．7D ．812．（2020·河南省高三其他（理））关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤- B ．0a <C ．2a ≥D ．1a ≥【答案】D 【解析】由题可知()1,1-是不等式()()30x a x -->的解集的一个真子集.当3a =时，不等式()()30x a x -->的解集为{}3x x ≠，此时()1,1- {}3x x ≠； 当3a >时，不等式()()30x a x -->的解集为()(),3,a -∞⋃+∞，()1,1- (),3-∞，合乎题意；当3a <时，不等式()()30x a x -->的解集为()(),3,a -∞⋃+∞， 由题意可得()1,1- (),a -∞，此时13a ≤<. 综上所述，1a ≥. 故选：D.13．“2x >”是“(2)0x x ->”的 ___________条件． 【答案】充分不必要【解析】若2x >，则0x >，且20x ->，即(2)0x x ->；反之若(2)0x x ->，则2x >或0x <，分析即得解.详解：若2x >，则0x >，且20x ->，即(2)0x x ->，故充分性成立； 若(2)0x x ->，则2x >或0x <，必要性不成立； 因此“2x >”是“(2)0x x ->”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要故命题“220x x --=”是命题“1x =-”的必要不充分条件．14．设全集U 是实数集R ，{}22M x x x =<->或，{}13N x x =<<， 则图中阴影部分所表示的集合是 ．【答案】{}12x x <≤【解析】由Venn 图可知，阴影部分为，N ∩(∁U M )∵{}22M x x x =<->或，∴，∁U M={x|—2≤x ≤2} ∴．N ∩(∁U M )={x|1<x ≤2}15. （2019·哈尔滨市第一中学校高二期中（文））命题“x R ∃∈，22390x ax -+<”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】22,22-⎡⎣【解析】若原命题为假命题，则其否定“x R ∀∈，22390x ax -+≥”为真命题29720a ∴∆=-≤，解得：2222a -≤a ∴的取值范围为22,22-⎡⎣故答案为：22,22-⎡⎣12．（2020·天津高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+，或23,23a b =+=-时，等号成立. 故答案为：417.设全集U R =,集合{|14},{|23}.A x x B x a x a =≤<=≤<- （1）若2a =-，求,()U A B C A B ;（2）若A B B =，求实数a 的取值范围.18．（2019·广东省增城中学高一期中）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，写出y 与x 的函数关系式； （2）怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少? 【答案】（1）y =x (l −3x )；(0，3l )（2）当垂直于墙的边长为6l时，这块长方形场地的面积最大，最大面积为212l .【解析】(1)设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，它的面积y =x (l −3x )；由x >0，且l −3x >0，可得函数的定义域为(0，3l )； (2)()3y x l x =-=()333311x l x ⨯-≤×()2-334l x x +=212l当x =6l 时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l −3x =2l ，最大面积为212l .19.设集合222{|320},{|2(1)50}A x x x B x x a x a =-+==+++-=. （1）若{2}A B =，求实数a 的值；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围.20．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高一期末）已知0a >，0b >. （1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥， ∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥∴1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.21.设集合{1,0,1}A =-，集合{|1}B x N x a =∈-<<，若B 中恰有4个元素. （1）求实数a 的取值范围； （2）定义{(,)|,}A B x y x A B y A B *=∈∈,求A B *中元素的个数.22．（2020·黑龙江省大庆中学高一期末）已知关于x 的不等式()()110ax x --<． （1）当2a =时，解上述不等式． （2）当1a <时，解上述关于x 的不等式【答案】（1）1(,1)2．（2）当0a =时，解集为{|1}x x >，当01a <<时，解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当0a <时，解集为{1x x 或1x a ⎫<⎬⎭【解析】（1）当2a =时，代入可得()()2110x x --<， 解不等式可得112x <<， 所以不等式的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.（2）关于x 的不等式()()110ax x --<． 若1a <，当0a =时，代入不等式可得10x -+<，解得1x >； 当01a <<时，化简不等式可得()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，由11a>解不等式可得11x a <<， 当0a <时，化简不等式可得()110a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解不等式可得1x <或1x a <， 综上可知，当0a =时，不等式解集为{|1}x x >，当01a <<时，不等式解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当0a <时，不等式解集为{1x x 或1x a ⎫<⎬⎭。