12.5二次根式及其性质(1)

二次根式及其性质（基础）学习目标1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化要点梳理要点梳理要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质 1、； 2.； 3.. 要点诠释： 1.二次根式(a≥0)的值是非负数，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即. 2.与要注意区别与联系： 1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值. 2).≥0时，==；<0时，无意义，=.典型例题类型一、二次根式的概念 1.当为实数时，下列各式，，，属二次根式的有____ 个.【变式】下列式子中二次根式的个数有（　） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（） A．2 B.3 C.4 D.52. x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）； （2）y=－；【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（　） A. B. C. D. 类型二、二次根式的性质 3. 计算下列各式： (1) (2)【变式】（1）=_____________　 （2）=_____________　 4. 已知，那么可化简为（ ） A. B.　C.　D.【变式】若整数满足条件则的值是___________.巩固练习一．选择题 1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（　）. A. B．x≥1 C.x<1 D.全体实数 2. 若,化简 (　). A. B. C. D. 3.下列说法正确的是（　） A．是一个无理数 B．函数的自变量x的取值范围是x≥1 C．8的立方根是 D.若点关于x轴对称，则的值为5. 4. 若a不等于0，a、b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是(　).A.与B.与C.与D.与 5.下列根式是最简二次根式的是（　） A． B． C． D． 6. 已知，化简二次根式的正确结果为（　） A. B. C. D.二. 填空题 7.当x______时，式子在实数范围有意义； 当x_______时，式子在实数范围有意义. 8.=____________.　若，则____________. 9．（1）=_____________　 （2）（a>0）=__________________________ 10.若=0，则=_______________ 11.当x≤0时，化简=__________________________ 12.有如下判断： （1） (2）=1 （3） （4） （5） （6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.三综合题 13. 当为何值时，下列式子有意义？ （1） （2）　 （3）； （4）； 14. 已知实数x，y满足，求代数式的值. 15.若，求的值.。

根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。

二次根式的性质： （1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )； （2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )； （4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。

设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。

形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试 【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式==+【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛 【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++ 3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试 【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯=2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形==12==原式111113(()2217747=+++-=-=【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x 两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x ()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题 【题目】化简22)1(111+++n n，所得的结果为（ ）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式111n n n +=-+选（C ）【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________． 【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+=()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、na 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题 【难度系数】3习题演练【试题来源】 【题目】计算：（1）1014152110141521+--+++；（2）3151026332185231--+-+++．【答案】（1）562- （2）233- 【解析】（1）原式=101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265=--=--=-（2）315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===-++++【知识点】根式及其运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题 【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++=++=++242(2)4=+==【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+aaaa【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112aa⎧≤≤≤⎪==⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时 【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c-+--+=----+即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。

二次根式知识点总结及其应用二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。

在学习二次根式的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。

1.二次根式的定义和性质二次根式是数学中的一种运算符号，表示一个非负实数的算术平方根。

如果a≥0，则√a是一个实数；如果a<0，则√a是一个虚数。

二次根式的性质有以下几点：（1）非负数的非负平方根是一个实数，记作√a，其中a≥0；（2）非负实数a的平方根必须满足：如果x是a的平方根，则-x也是a的平方根；（3）二次根式的运算规律：√ab=√a·√b，√(a/b)=√a/√b。

2.简化二次根式简化二次根式是指将一个二次根式写成最简形式。

其中的关键是将根号下的数分解成若干个因数的平方。

一般地，对于一个非负实数a，我们可以将其分解为质因数的乘积，然后将其中的每个质因数的平方提取出来写成一个二次根式。

例如，对于√12，我们可以将12分解为2×2×3，然后将2和3的平方根提取出来，得到√12=2√33.二次根式的四则运算对于二次根式的加、减、乘、除，我们需要根据运算规律来进行计算。

（1）加减：对于两个二次根式的加减，可以先化简，然后将其中的同类项合并。

例如，计算√3+2√3，可以化简得到3√3，再将3√3与2√3相加，得到5√3（2）乘法：对于两个二次根式的乘法，使用运算法则√ab=√a·√b，将根号下的数分解后相乘。

例如，计算(√2+√3)(√2-√3)，可以用分配律展开，得到2-3=-1（3）除法：对于两个二次根式的除法，也使用运算法则√(a/b)=√a/√b，将根号下的数分解后相除。

例如，计算(√8)/(√2)，可以化简得到√2，即(√8)/(√2)=√24.二次根式的应用二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。

（1）几何应用：二次根式常用于计算几何图形的面积和边长。

例如，计算正方形的对角线长度、矩形的对角线长度等。

（2）物理应用：二次根式常用于计算一些物理问题。

二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。

本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。

通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。

一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。

普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。

二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。

当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。

二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。

例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。

例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。

例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。

2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。

3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。

例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。

例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。

《二次根式及其性质》教案教学目的1、了解二次根式的概念；2、了解二次根式的基本性质；3、通过二次根式原概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力.4、理解二次根式的性质：(1)a(a≥0)是非负数；(2)(a)2=a(a≥0)；(3)2a=a(a≥0)5、会运用其进行相关计算.教学重点二次根式的概念和基本性质，会运用a(a≥0)是非负数、(a)2=a(a≥0)、2a=a (a≥0)进行相关运算.教学难点二次根式的基本性质的灵活运用，理解a(a≥0)是非负数、(a)2=a(a≥0)、2a =a(a≥0).教学过程一、合作学习，引出课题1、二次根式：(1)定义：a≥0)”称为二次根号．2、例题演示：例1、实数x在什么范围内取值时，下列各式表示二次根式？（1）32-.2+x；（2）x4二、探究学习思考：1.3.a≥0)的意义是什么？2等于什么？由以上探究得：a≥0)表示非负数a a.这样我们得到了二次根式的一个基本性质，即(a)2=a(a≥0)用语言表述为：非负数的算术平方根的平方，等于这个非负数.2.例题演示例2、计算：（1）()235；（2）()222ba+.3.探索交流交流：1.2a的意义是什么？字母a可以取怎样的数？2.2a一定等于a吗？为什么?=2，…，所以，一般地，当a≥0时，有2a=a；=2=5，…，所以，一般地，当a＜0时，2a=-a综上所述，有　(≥）-　(＜）a aa a⎧⎨⎩探索：回顾实数绝对值的意义，用一个式子概括2a的化简结果．二次根式的一个重要性质：a用语言表述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值．4.例题讲解例3、计算：（1）291）.（-；（2）221）（+x；（3）23π）（-；（4））,（02522≥≥badba；（5））＜（525102xxx+-.三、课后小结1.你知道什么叫二次根式吗？2.二次根式有哪些最基本的性质？。

第二节二次根式及其运算知识点考点分值考频等级考查难度常见题型二次根式及其运算二次根式的概念3～4分☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的性质3～6分☆☆☆☆易选择题、填空题最简二次根式3～4分☆☆☆☆☆易选择题、填空题二次根式的运算3～6分☆☆☆☆☆易选择题、填空题、解答题考点一：二次根式的概念核心点拨1．二次根式定义：一般地形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数．(1)被开方数可以是数字、字母，也可以是代数式．(2)二次根式有意义的条件：被开方数一定是非负数．考点二：二次根式的性质核心点拨2．双重非负性(1)a(a≥0)中的a是非负数．二次根式的被开方数及结果都不能是负数．(2)a(a≥0)的值是非负数．3．运算性质(1)a2＝⎩⎨⎧a(a≥0)，－a(a＜0).a2和(a)2二者a的取值范围不同，a2中a可取全体实数，(a)2中a一定是非负数．(2)(a)2(a≥0)＝a．考点三：最简二次根式核心点拨4．最简二次根式,最简二次根式满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．最简二次根式的两个条件缺一不可．考点四：二次根式的运算核心点拨5．二次根式的运算(1)二次根式的乘除：①a·b＝ab(a≥0，b≥0)；②ab＝ab(a≥0，b＞0)．(1)二次根式的乘除主要用于乘除运算．(2)积、商的算术平方根主要用于二次根式的化简．(2)积、商的算术平方根：①a·b＝a·b(a≥0，b≥0)；②ab＝ab(a≥0，b＞0)．(3)二次根式的加减：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．1二次根式的概念基础点(2021·岱岳区期末)若式子x＋1x有意义，则实数x的取值范围为____________．(1)根据二次根式有意义的条件确定x＋1的范围；(2)再结合分式有意义的条件确定x的取值范围．x≥－1且x≠0解析：要使式子x＋1x有意义，必须x＋1≥0且x≠0，解得x≥－1且x≠0．故答案为x≥－1且x≠0．1－1(2021·内江)函数y＝2－x＋1x＋1中，自变量x的取值范围是( )A．x≤2B．x≤2且x≠－1C．x≥2D．x≥2且x≠－1B解析：由题意得：2－x≥0，x＋1≠0，解得x≤2且x≠－1．故选B．1－2(2022·新泰检测)若代数式x＋1有意义，则实数x的取值范围是________．x≥－1解析：∵代数式x＋1有意义，∴x＋1≥0．∴x≥－1．故答案为x≥－1．1－3(2022·滨州)若二次根式x－5在实数范围内有意义，则x的取值范围为___________．x≥5解析：由题意知x－5≥0，解得x≥5．故答案为x≥5．与二次根式有关的取值原则1．二次根式有意义，被开方数一定是非负数．2．若分母中有二次根式，则被开方数只能大于0．3．在既有二次根式，又有分式的代数式中确定取值范围，一定要考虑所有的限制条件．2二次根式的性质及化简能力点(2022·宁阳检测)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简(a＋1)2＋(b－1)2－(a－b)2的结果是( )A．－2B．0C．－2a D．2b(1)根据a2＝|a|化简；(2)绝对值化简即可．A解析：由数轴可知－2＜a＜－1,1＜b＜2，∴a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0．∴(a＋1)2＋(b－1)2－(a－b)2＝||a＋1＋||b－1－||a－b＝－(a＋1)＋(b－1)＋(a－b)＝－2．故选A．2－1(2022·肥城月考)计算(27－12)×13的结果是()A．33B．1C． 5 D．3B解析：(27－12)×1 3＝9－4＝3－2＝1．故选B．2－2(2021·杭州)下列计算正确的是( )A．22＝2B．(－2)2＝－2C．22＝±2D．(－2)2＝±2A解析：22＝4＝2，故A正确，C错误；(－2)2＝2，故B，D错误．故选A．2－3(2022·舟山)估计6的值在()A．4和5之间B．3和4之间C．2和3之间D．1和2之间C解析：∵4<6<9，∴ 2<6<3．故选C．2－4(2022·新泰模拟)估计3×(23＋5)的值应在()A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间B解析：3×(23＋5)＝6＋15．∵9＜15＜16，∴ 3＜15＜4．∴9＜6＋15＜10．故选B．a2和(a)2的区别：1．a的取值范围不同：a2中的a是全体实数；(a)2中的a只能是非负数．2．运算顺序不同：a2是先平方，再开方；(a)2是先开方，再平方．3．运算结果不同：a2＝||a；(a)2＝a．3最简二次根式基础点(2022·宁阳月考)将452化为最简二次根式，其结果是( )A．452B．902C．9102D．3102(1)被开方数分子、分母同乘2，化为；(2)把开方出来.D解析：452＝904＝94×10＝3102．故选D．3－1(2022·泰山区期末)下列根式中，是最简二次根式的是( )A．19B．4C．a2D．a＋1D解析：A．19＝13；B．4＝2；C．a2＝|a|；D．a＋1是最简二次根式．故选D．3－2(2021·重庆A卷)计算14×7－2的结果是( ) A．7B．62C．72D．27B解析：14×7－2＝2×7×7－2＝72－2＝62．故选B．4二次根式的运算基础点考向1| 二次根式的乘除(2022·宁阳一模改编)计算：45÷33×3 5．(1)按照从左到右的顺序进行运算；(2)结果化成最简二次根式．1解析：原式＝13×15×35＝13×15×35＝13×9＝1．4－1等式x＋2x－2＝x＋2x－2成立的条件是( )A．x≠2B．x≥－2 C．x≥－2且x≠2D．x＞2D解析：x＋2x－2＝x＋2x－2成立的条件是x－2>0，得x>2．故选D．4－2(2021·岱岳区检测)计算18×12的结果是( )A．6B．62C．63D．66D解析：18×12＝32×23＝66．故选D．4－3(2022·天津)计算(19＋1)(19－1)的结果等于_______．18解析：(19＋1)(19－1)＝(19)2－12＝19－1＝18．故答案为18．4－4计算：27×50÷26．答案：15 2解析：原式＝33×52÷26 ＝156÷26＝152．考向2| 二次根式的混合运算(2021·临沂)计算：│－2│＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122．(1)去绝对值，利用完全平方公式运算； (2)进行加减运算． 答案：－2解析：原式＝2＋2－2＋14－2－2－14＝－2．5－1 (2022·东平模拟)计算：2×3－24＝________． －6 解析：原式＝6－26＝－6． 故答案为－65－2 (2021·威海)计算：24－65×45＝________．－6 解析：原式＝26－65×35 ＝26－36＝－6． 故答案为－6．5－3 (2022·泰山区检测)计算：3－25＝________． －2 解析：原式＝3－5＝－2． 故答案为－2．二次根式的运算法则1．二次根式的运算顺序与实数的运算顺序相同．2．二次根式的乘除常结合积的算术平方根和商的算术平方根的性质，将二次根式化简成最简二次根式后再运算．3．二次根式的加减可类比整式的加减进行，也可认为是合并同类二次根式．4．二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式，分母中也不能有根式．二次根式的概念和运算命题点1| 二次根式的有关概念1．(2022·东平检测)下列各式中，一定是二次根式的是()A．－－2B．a2＋1C．a－1 D．3 3B解析：A．根号下不能是负数，故A选项不合题意；B．a2＋1≥1，故B选项符合题意；C．当a<1时，a－1<0，此时根号下是负数，故C选项不合题意；D．33是3的立方根，不是二次根式，故D选项不合题意．故选B．2．(2022·宁阳检测)已知二次根式2x＋1，则x的最小值是() A．0 B．－1C．12D．－12D解析：由题意得：2x＋1≥0，解得x≥－12．∴x的最小值为－12．故选D．3．(2021·绥化)若式子x0x＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A ．x ＞－1B ．x ≥－1且x ≠0C ．x ＞－1且x ≠0D ．x ≠0C 解析：若x 0x ＋1在实数范围内有意义， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋1>0.解得x >－1且x ≠0．故选C ． 4．(2022·滨州)若二次根式x －5在实数范围内有意义，则x 的取值范围为________．x ≥5 解析：由题意知，x －5≥0， 解得x ≥5． 故答案为x ≥5． 5．(2022·宁阳检测)若y ＝x －4＋4－x 2－2，则(x ＋y )y＝________．14 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，4－x ≥0， ∴ x ＝4．∴ y ＝－2． ∴ (x ＋y )y ＝(4－2)－2＝14． 故答案为14．6．已知y ＝x －20＋30－x ，且x 、y 均为整数，则x ＋y ＝______． 25或33 解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －20≥0，30－x ≥0，解得20≤x ≤30． ∵ x ，y 均为整数， ∴ x ＝21或29．当x＝21时，y＝4，x＋y＝25；当x＝29时，y＝4，x＋y＝33．故答案为25或33．命题点2| 二次根式的性质及化简1．(2022·岱岳区月考)当x＞2时，(2－x)2＝()A．2－x B．x－2C．2＋x D．±(x－2)B解析：∵x>2，∴ 2－x<0．∴(2－x)2＝x－2．故选B．2．化简(－5)2的结果是()A．－5B．5C．±5D．25B解析：(－5)2＝5．故选B．3．(2022·东平检测)若(a－3)2＝3－a，则实数a的取值范围是() A．a＜3 B．a≤3C．a＞3 D．a≥3B解析：∵(a－3)2＝3－a＝－(a－3)，∴a－3≤0．∴a≤3．故选B．4．实数7不可以写成的形式是()A．72B．－72C．(－7)2D．(－7)2B解析：∵72＝(－7)2＝(－7)2＝7，－72＝－7，∴ 7不可以写成－72的形式．故选B．5．(2021·娄底)2,5，m 是某三角形三边的长，则(m －3)2＋(m －7)2等于( )A ．2m －10B ．10－2mC ．10D ．4D 解析：∵ 2,5，m 为三角形的三边长，∴ 5－2<m <5＋2．即3<m <7．∴ m －3>0，m －7<0．∴ (m －3)2＋(m －7)2＝m －3＋7－m ＝4．故选D ．6．(2022·贺州)若实数m ，n 满足 ∣m －n －5∣＋2m ＋n －4＝0，则 3m ＋n ＝__________．7 解析：∵ m ，n 满足 ∣m －n －5∣＋2m ＋n －4＝0，∴ m －n －5＝0,2m ＋n －4＝0．∴ m ＝3，n ＝－2．∴ 3m ＋n ＝9－2＝7．故答案为7．7．(2022·新泰模拟)如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式a 2－||a ＋b ＋(c －a )2＋||b ＋c 可以化简为( )A ．2c －aB ．2a －2bC ．－aD ．a C 解析：由数轴可得b <a <0<c ，|b |>|c |．∴ 原式＝－a －[－(a ＋b )]＋c －a ＋[－(b ＋c )]＝－a ＋a ＋b ＋c －a －b －c ＝－a ．故选C ．命题点3| 二次根式的运算1．(2021·梧州)下列计算正确的是()A．12＝3 2 B．2＋3＝5C．62＝3D．(2)2＝2D解析：A．12＝23，该选项错误；B．2和3不是同类二次根式，无法合并，该选项错误；C．62是最简二次根式，无法化简，该选项错误；D．(2)2＝2，该选项正确．故选D．2．(2022·肥城模拟)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②ab·ba＝1, ③ab÷ab＝－b．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③B解析：∵ab>0，a＋b<0，∴a<0，b<0．①等号右边根号下为负数，错误；②ab·ba＝ab·ba＝1，正确；③ab÷ab＝ab÷ab＝ab×ba＝b2＝－b，正确．故选B．3．下列二次根式中，不能与2合并的是()A．12B．8C．12 D．18C解析：12＝22，8＝22，12＝23，18＝32，∴不能与2合并的是12．故选C．4．(2021·常德)计算：(5＋12－1)·5＋12＝()A．0B．1C．2D．5－1 2B解析：原式＝(5＋1－22)×5＋12＝5－12×5＋12＝1．故选B．5．(2022·河北)下列正确的是()A．4＋9＝2＋3 B．4×9＝2×3C．94＝32D． 4.9＝0.7B解析：A．原式＝13，故该选项不符合题意．B．原式＝4×9＝2×3，故该选项符合题意．C．原式＝(92)2＝92，故该选项不符合题意．D．0.72＝0.49，故该选项不符合题意．故选B．6．(2022·泰山区模拟)计算：27·83÷12＝______．12解析：原式＝33×223×2＝12．故答案为12．7．计算：45－25×50＝______．5解析：原式＝35－25×50＝35－20＝35－25＝5．故答案为5．8．(2022·东平月考)若x＝3－2，则代数式x2－6x＋9的值为______．2解析：x2－6x＋9＝(x－3)2＝(3－2－3)2＝(－2)2＝2．故答案为2．。

二次根式运算定律在数学中，二次根式是指由含有平方根的算式或表达式所构成的式子。

而二次根式运算定律则是指关于二次根式的一些基本运算规则和性质。

本文将介绍二次根式运算定律及其应用。

1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则可以简化两个二次根式之间的乘法运算。

假设a和b是任意实数且a≥0，b≥0，那么根式√a和√b的乘积可以表示为√(a×b)。

例如，√3 × √5 = √(3 × 5) = √15。

这个乘法法则可以帮助我们在简化二次根式时避免出现较大的数。

2. 二次根式的除法法则二次根式的除法法则可以用来简化二次根式之间的除法运算。

同样假设a和b是任意实数且a≥0，b≥0，那么根式√a除以根式√b可以表示为√(a ÷ b)。

例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。

这个除法法则可以使我们更容易进行二次根式的简化计算。

3. 二次根式的加法法则二次根式的加法法则可以帮助我们在进行二次根式之间的加法运算时进行合并和简化。

假设a和b是任意实数且a≥0，b≥0，那么根式√a 加上根式√b可以表示为√(a + b)。

例如，√2 + √8 = √(2 + 8) = √10。

这个加法法则使我们可以将不同的二次根式相加为一个简化的形式。

4. 二次根式的减法法则二次根式的减法法则可以帮助我们在进行二次根式之间的减法运算时进行合并和简化。

同样假设a和b是任意实数且a≥0，b≥0，那么根式√a减去根式√b可以表示为√(a - b)。

例如，√9 - √5 = √(9 - 5) = √4 = 2。

这个减法法则允许我们将不同的二次根式相减为一个简化的形式。

5. 二次根式的乘方法则二次根式的乘方法则可以用来简化带有二次根式的指数运算。

假设a是任意实数且a≥0，那么根式√a的n次方可以表示为√(a^n)。

例如，(√3)^2 = √(3^2) = √9 = 3。

这个乘方法则可以帮助我们将带有二次根式的指数运算化简为一个更简单的形式。