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一、单项选择题（每小题3分，共计5315⨯=分） 1．函数()f x =（ D ）在其定义域内连续．A ．1,0sin ,0x x x x +≤⎧⎨>⎩；B ．01,0x x ≠=⎩ ；C ．sin ,02,xx xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ ； D ．ln(1)cos x x ++2．点0x =是函数1()(1)xf x x =+的（ B ）间断点．A ．连续点；B ．可去间断点；C ．跳跃间断点；D ．第二类间断点 3．设()f x 在点0x 可导，则000(3)()limx f x x fx x x∆→+∆-+∆∆=（ C ）．A ．03'()f x ；B ． 04'()f x ；C ． 02'()f x ；D ．01'()3f x 4．函数()f x =[0,1]上满足罗尔定理的条件，则中值点ξ是（ A ）．A ．23 B ．12 C ．13 D ．145．下列极限错误的是（ B ）．A ．0sin lim 1x x x →=；B ．1lim sin x x x →∞=∞；C ．sin lim 0x x x →∞=；D ．01lim sin 0x x x→=二、填空题（每小题3分，共计5315⨯=分）1．极限011lim(arctanarcsin )x x x x x→+=（ 1 ）． 2．若当0x →时，无穷小2sin2x a 与2x 等价，则a =（ 4 ）． 3．设()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则'(0)f =（ 6- ）． 4．若抛物线(0)y a =>与曲线1ln 2y x =相切，则a =（ 1e ）． 5．已知曲线32y ax bx cx =++在(1,2)处具有水平切线，且原点是它的拐点，则 a =（－1），b =（ 0 ），c =（ 3 ）．三、计算下列各极限（每小题5分，共计5⨯5＝25分） 1．0limx x→；解：原式0x →=0x →=2x →==． 2．32112lim()28x x x →---； 解：原式2322412lim 8x x x x →++-=- 32(4)(2)lim8x x x x →+-=- 224lim24x x x x →+=++ 21=．3．3sin lim sin x x xx→-； 解：原式201cos lim3x xx →-= 0sin lim6x xx→=16=． 4．1lim(1)tan2x x x π→-解：原式10lim tan(1)2x tt t t π-=→==+lim cot2t t t π→=-022lim cos 2sin 2t tt t ππππ→=-2π=-．5．210arctan lim()x x x x→． 解：原式210arctan lim(1)x x x x x→-=+ 或（1arctan ln 0lim xx x x e →=）arctan 1arctan 0arctan lim(1)xx x x x x xx x x x-⋅⋅-→-=+3arctan limx x x x e→-=2220010111limlim 3(1)3x x x x x ee→→--++==13e -=四、按要求计算下列各题（每小题5分，共计5⨯5＝25分）1． 设22sin x ye x =，求dy dx； 解：2222sin 2sin cos x x dy xe x e x x dx=+22(2sin sin 2)x e x x x =+；2．设211arctanln(1)2y x x x =++，求1|x y ='； 解：2111arctan(arctan )[ln(1)]2y x x x x x ''''=+⋅++ 22211111arctan ()(1)1211x x x x x x ''=+⋅⋅+⋅⋅+++ 22211111arctan ()21211x x x x x x=+⋅⋅-+⋅⋅++ 221arctan 11x x x x x -=++++1arctan x= 则111|arctan |arctan14x x y x π=='=== 3．设2[tan ()]y f x f x =+，其中()f u 为可导函数，求dy ．解：因为222[t a n ()][s e c ()2]dyf x f x x f xx dx''=++，所以 222[t a n ()][s e c ()2]d y f x f x x f x x d x ''=++4．设sin y y x +=，求dy dx ，22d ydx． 解：方程sin y y x +=两端对x 求导，得cos 1dy dy y dx dx+=从中解出11c o sdy dx y =+， 对11cos dy dx y=+两端对x 求导，得 2223sin 'sin (1cos )(1cos )d y y y ydx y y ⋅==++． 5．设2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩，求1x dydx =，221x d ydx =；解：因为221d y t d t t =+，211dx dt t=+ 所以 2221211dy t dy dt t t dx dx dt t+===+，12x dy dx ==， （有错）于是222()(2)12(1)dy d d y d t dx t dxdxdx dt dt==⋅=+，2214x d y dx ==．（有错）五、（8分）设函数2,3(),3x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在点3x =处可导，试确定,a b 值．解：首先函数()f x 点3x =处连续，则33lim ()lim ()(3)x x f x f x f -+→→==，即 2339lim lim()3x x x ax b a b -+→→==+=+，得39a b +=，有93b a =-． 又函数()f x 点3x =处可导，则左导数等于右导数，有''(3)(3)f f -+=，即2223333()(3)33(3)6lim lim lim lim 3333x x x x f x f x ax b a x a x x x x --++→→→→--+--=====----， 从而6a =，因此当6,9a b ==-时，函数()f x 点3x =处连续，可导．六、应用题（每小题6分，共计2⨯6＝12分） 1．证明恒等式arctan arccot 2x x π+=，(,)x ∈-∞+∞；证明：设()arctan arccot f x x x =+， 则 2211()011f x x x'=-=++，(,)x ∈-∞+∞ 因此函数)(x f 在(,)x ∈-∞+∞内是常数，又(1)arctan1arccot1442f πππ=+=+=，因此有arctan arccot 2x x π+=．2．设函数1(1)y x x =-，求n 阶导数()n y ；解：因为111y x x=+-，则 2211'(1)y x x -=+-，233(1)2!"(1)y x x -=+-， 于是 ()11(1)!!(1)n n n n n n yx x ++-=+-，（12,n = ）．七、附加题（每小题5分，共计2⨯5＝10分）1．设函数()f x 可导，证明()f x 的两个零点之间一定有()'()f x f x +的零点． 证明：设函数()f x 的两个零点为12,x x ，且12x x <，构造函数()()xF x e f x =，显然函数()()xF x e f x =在区间12[,]x x 上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得'()0F ξ=，即'()()['()()]0f e f e e f f ξξξξξξξ+=+=由于0e ξ≠，因此必有'()()0f f ξξ+=2．设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，且0()1f x <<，试证在区间(0,1)内存在一点ξ，使得()f ξξ=．证明：欲证()f ξξ=，可以考虑函数表达式()f x x =，因此令()()F x f x x =-． 由于函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，所以函数()F x 在闭区间[0,1]上连续，又由于0()1f x <<，则(0)(0)0(0)0F f f =-=>，(1)(1)10F f =-<，由连续函数在闭区间上的零点定理可知，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()()0F f ξξξ=-=，即()f ξξ=．。
宁波大学03 04高等数学（下）期末试题宁波大学03-04高等数学（下）期末试题宁波大学2021/2021学年第二学期试卷解答课程名称：高等数学a（2）（6学分）考试性质：期末口试（a卷）一、单项选择题（每小题3分，共5?3=15分）1、函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个略偏导数fx'(x0,y0)与；fy'(x0,y0)存有就是f(x,y)在点(x0,y0)已连续的（d）a.充分条件而非必要条件b.必要条件而非充分条件c.充分必要条件d.既非充分条件又非必要条件2、设d:1?x2?y2?9，则??f(x,y)dxdy?（c）；da.b.c.d.2?02?df(rcos?,rsin?)rdr19??0d??f(rcos?,rsin?)dr13192?02?d??f(rcos?,rsin?)rdrd??f(rcos?,rsin?)dr1?303、若级数?an(x?1)n在x??1处为发散，则此级数在x?2处为n?1（b）；a.条件收敛b.绝对发散c.收敛d.收敛性无法确认4、微分方程y\?3y'?2y?3xe?x的一个特解应具有的形式（b）；a.(ax?b)e?xb.x(ax?b)e?xc.axe?xd.ax2e?x第1页（共6页）5、设l就是抛物线y?x2上从点a(1,1)至点o(0,0)的一段弧，则；?xydx?（a）la.?1212b.c.?d.4545二．填空题（每小题3分后，共6?3=18分后）1、设u?yx，则uu（yxlny）?（xyx?1），；?x?y2、曲面ez?z?xy?3在点p(2,1,0)处的乌平面方程为（2x?y?4?0）；3、函数u?ln(x?y2?z2)在点m(1,2,?1)处的梯度gradu|m＝1?2?1?（i?j?k）；6334、设平面曲线l为上半圆周y?1?x2，则曲线积分22；(x?y)ds＝（?）?l5、设f(x)就是周期为2?的周期函数，它在区间(??,?]上的定义x,x0为f(x)??,则f(x)的傅立叶级数在x??处0,0?x发散于（??2）；6、微分方程y\?2y'?5y?0通解为（y?ex(c1cos2x?c2sin2x)）三、计算题（一）（每小题10分后，共2?10=20分后）1、设函数z?arctany1(xdy?ydx)），求dz。
宁波高三数学试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = √xC. y = 3x - 1D. y = x^22. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2, 3}C. {3}D. {2, 3, 4}3. 如果一个几何级数的首项为1，公比为2，则该级数的前5项和为（）A. 31B. 2^5 - 1C. 2^4 - 1D. 2^6 - 14. 已知直线l的方程为y = 2x + 4，点P(-1, 3)，则点P到直线l 的距离为（）A. √5B. 3√5C. 5D. 35. 下列不等式中，恒成立的是（）A. |x| ≥ xB. |x| ≤ xC. |x| ≥ 0D. |x| ≤ 16. 根据题目信息，以下哪个选项是错误的（）A. 错误B. 正确C. 既不正确也不错误D. 不确定7-12. （略，类似结构的选择题）二、填空题（每题4分，共20分）13. 函数f(x) = x^2 - 4x + 6的最小值是______。
14. 一个圆的半径为5，那么它的内接正方形的面积是______。
15. 已知等差数列的前三项和为24，且第三项是前两项和的3倍，则该等差数列的公差是______。
16. 将0.08化成分数形式是______。
17. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的表面积是______。
三、解答题（共44分）18. （12分）已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求函数f(x)的值域。
19. （16分）设抛物线C：y^2 = 8x，直线l：y = x + k，抛物线C与直线l相交于A、B两点，求实数k的取值范围。
20. （16分）证明：对于任意的正整数n，都有1^2 + 2^2 + 3^2+ ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6。
宁波高中数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. πC. -1D. i2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 73. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}4. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，求第10项a10。
A. 23B. 25C. 27D. 295. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，判断三角形的形状。
A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 一般三角形6. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 6的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知向量a = (3, 1)，b = (2, -1)，求向量a与b的点积。
A. 3B. 4C. 5D. 68. 已知圆的半径r = 5，圆心坐标为(0, 0)，求圆的方程。
A. (x-0)^2 + (y-0)^2 = 25B. (x-5)^2 + (y-5)^2 = 25C. (x+5)^2 + (y+5)^2 = 25D. (x-5)^2 + (y+5)^2 = 259. 已知双曲线的中心在原点，a = 2，b = 3，求双曲线的方程。
A. x^2/4 - y^2/9 = 1B. x^2/9 - y^2/4 = 1C. x^2/4 - y^2/16 = 1D. x^2/16 - y^2/4 = 110. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
A. √2B. 1C. 2D. 3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求对称轴的方程。
___________________________12. 已知等比数列的首项a1 = 2，公比q = 3，求第5项a5。
入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)考试科目: 高等数学 科目代码：721 适用专业:人文地理学一、选择题（30分）1. 设函数)1(log )(2++=x x x f a ，)1,0(≠>a a ，则该函数是（）．A) 奇函数B) 偶函数C) 非奇非偶函数D) 既是奇函数又是偶函数 2. 设12)(-=x x f ，则当0→x 时,)(x f 是x 的（ ）。
A) 高阶无穷小B) 低阶无穷小C) 等价无穷小D) 同阶但不等价无穷3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）.A) ()()()2221,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) ()()()2222()ln ,ln f x x a x g x a x x =++=-+- C) ()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D) ()2tan,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 在点(x , y )处f (x , y )可微的充分条件是（ ）A ） f (x , y )的所有二阶偏导数连续B ） f (x , y )连续C ） f (x , y )的所有一阶偏导数连续D ） f (x , y )连续且f (x , y )对x , y 的偏导数都存在。
5. 下列表达式中肯定不是某个二元函数的全微分的是（ ）A ）ydx + xdyB ）ydx −xdyC ）xdx + ydyD ）xdx −ydy6.设cos()cos()x y x y μ=++-，下列各式哪些正确？（ ） ①2222x y μμ∂∂=∂∂ ②222x x y μμ∂∂=∂∂∂ ③222y x yμμ∂∂=∂∂∂ A ）①正确B ）②正确C ）①与③正确D ）①、②、③都正确第 1 页， 共 3 页入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)考试科目: 高等数学 科目代码：721 适用专业:人文地理学 二、填空题（20分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=)(dx x df2. =+⎰dt t dx d x 26213. 设可微函数(,,)w f x y y z t z =---，则w w w w x y z t∂+++=∂∂∂∂∂∂∂ 4.∑∞1=+11n n a (a >0)，当a 时收敛三、判断题（20分）1. 若函数()f x 在0x 处极限存在，则()f x 在0x 处连续。
《高等数学A2》试卷A 评分标准一.1. D;2. B;3.A;4.C5.C 二. 1. 4 ; 2. 充分 3. ()⎰⎰∑++dS R Q P γβαcos cos cos , 法向量;4. 收敛, 发散;5. 21y x C=-+, 其中C 是任意常数. 三 1.. 证 由复合函数求导法则,所以 u f f z x x z x ∂∂∂∂=+∂∂∂∂ ( 1分 ) =222222222sin x y z x y z xe ze x y +++++⋅ (2分)=224222sin 2(12sin )x y x yx x y e +++, (3分) u f f z y y z y∂∂∂∂=+∂∂∂∂ (4分) =222222222cos x y z x y z ye ze x y +++++⋅ (5分)=22424sin 2(sin cos )x y x yy x y y e +++ (6分) 2.解 这里方向l 即向量(1,1)PQ =- 的方向,与l 同向的单位向量为l e = (2分) 因为函数可微分,且2(1,0)(1,0)||1y z e x∂==∂ 2(1,0)(1,0)|2|2y z xe y∂==∂ (4分) 故所求方向导数为(1,0)|12(2z l ∂=+⋅=-∂ (6分) 3.解: ∑的方程为.222y x a z --=∑ 在xOy 面上的投影区域xy D 为圆形闭区域(){}.|,2222h a y x y x -≤+ 又.122222y x a az z y x --=++ (2分)由计算公式得⎰⎰⎰⎰--==∑xy D yx a adxdy z dS I .222 (3分) 利用极坐标,得⎰⎰⎰⎰-=--=xy xyD D a d d a y x a adxdy I 22222ρθρρ (4分) =⎰⎰--2202220h a a d d a ρρρθπ =()ha a a a h a ln 2ln 21222022πρπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---. (6分) 4.解 利用二重积分中Y-型区域计算公式有⎰⎰⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2122dy xydx xyd I y y D σ=⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡212222dy y x y y (3分) ()[]⎰--+=2152221dy y y y =2162346234421-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++y y y y =855 (6分) 5.解 对)(x f 进行偶延拓, 并由公式有()021cos n a x nxdx ππ=-⎰ =202(1)sin cos x nx nx n n ππ-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ =)1(cos 22-ππn n =⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,5,3,1,4,,6,4,2,02 n n n π (3分) 002(1)2a x dx πππ=-=-⎰将求得n a 的代入余弦级数,得2241111cos cos3cos5235x x x x ππ⎛⎫-=--+++ ⎪⎝⎭(π≤≤x 0) (6分)四 解 令)(222y x y P += , )(222y x x Q +-=. 则当022≠+y x 时,有()222222y x y x x Q +-=∂∂=yP ∂∂. (2分) 记L 所围成的闭区域为D , 当D ∉)0,0(时,由格林公式便得 ()0222=+-⎰L y x x d y y d x ; (3分) 当D ∈)0,0(时,选取适当小的0>r ,作位于D 内的圆周222:r y x l =+. 记L 和l 所围成的闭区域为1D . 对复连通区域1D 应用格林公式,得 ()()0222222=+--+-⎰⎰L l y x x d y y d x y x x d y y d x , (6分) 其中l 的方向取逆时针方向.于是()⎰=+-L y x xdy ydx 222()⎰+-l y x xdy ydx 222=θθθπd r r r ⎰--20222222cos sin =π-. (8分)五 解: Ω在-xy 面上的投影区域D 为=D }11,20|),{(22y x y y y x +≤≤+-≤≤ (2分) 从而有I=⎰⎰⎰⎰⎰-+=-+-+-Dy D x y x y y dxdy x y e dz e dxdy 2211122222 (5分) =⎰⎰++--+2011222212y y y dx x y dy e (6分)=()()⎰-=+2022131e dy e y y ππ (8分) 六 解: (1) 因为22222s i n 2|c o s 1)1(|n a n a n a n≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛--. (2分) 又级数∑∞=1222n n a 收敛, 故原级数绝对收敛. . (4分) (2)因为 )1(21||22n u n u n n +≤, (5分) 而级数∑∞=12n n u 和级数∑∞=121n n 均收敛再由收敛级数的性质知, 级数∑∞=-1)1(n n nnu 绝对收敛. (7分) 七 解: 由 ||1uu n +=|||1232|x x n n →++ (∞→n ), 知级数在11<<-x 时收敛,显然当1±=x 时,1(21)(1)n n n ∞=+±∑发散, 故收敛区间为)1,1(-. 设其和函数为)(x S ,则 (2分) ()∑∑∞=+∞==+=1/12122)12()(n n n n x x n x S (3分) =2242/23/112)1(31x x x x x x n n --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=+ (6分) 从而有 22)1(3)(x x x x S --=, )1,1(-∈x (7分) 八 解 与所给方程对应的齐次方程为065///=+-y y y , 它的特征方程 0652=+-r r 有两个实根3,221==r r .于是与所给方程对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y 3221+= (3分) 由于2=λ是特征方程的单根, 所以应设*y 为 .)(210x e b x b x y +=* 把它代入所给方程, 得 001222b x b b x -+-=- 比较等式两端同次幂的系数,得00122,20.b b b -=-⎧⎨-=⎩ 解得011, 2.b b ==.因此求得一个特解为2(2)x y x x e*=+ (8分) 从而所求的通解为232212(2)x x x y C e C e x x e =+++ (10分)。
浙江省宁波市（新版）2024高考数学统编版真题(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若为奇函数，则满足的的取值范围是A．B．C．D．第(2)题函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．C ．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数D ．的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数第(3)题设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是A．若m∥,n∥,则m∥nB．若m,n,m∥,n∥,则∥C．若，m,则mD．若，m，m,则m∥第(4)题十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于时，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求点称为费马点.已知在中，已知，，且点M在AB线段上，且满足,若点P为的费马点，则（）A．﹣1B．C．D．第(5)题正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗．在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2．关于该半正多面体的四个结论：①棱长为；②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60°；③表面积为；④外接球的体积为．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②④D．③④第(6)题某市2024年5月份第一周的每日最高气温（单位：）分别为，则这周的日最高气温的第30百分位数为（）A．31.5B．29C．28.5D．27第(7)题已知函数的最小正周期为，给出以下结论:①在区间上的值域为；②在区间上单调递减；③将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数；④在区间内的所有零点之和为.其中所有正确结论的序号为（）A．①③B．②④C．②③④D．①②④第(8)题已知点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数在区间上有四个零点，分别为，，，，且，则（）A．B．C．D．第(2)题阿基米德（公元前287年——公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：的焦点为F，过A、B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（）A．B．C．点P的坐标为D．第(3)题已知函数（，），若函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论不正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象D．函数在区间上的单调递减区间为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知正方体的棱长为2，点E是棱的中点，点在平面内，若，，则的最小值为_________．第(2)题已知数列的前项和为对任意都有，且，则的取值集合为_______________________．第(3)题设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_______________________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数f（x）＝a e﹣x+ln x﹣1（a∈R）．(1)当a≤e时，讨论函数f（x）的单调性：(2)若函数f（x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且x1+x2≤2ln3，求的最大值．第(2)题已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若，求证：函数存在零点．第(3)题已知椭圆C：的离心率为，，分别为椭圆C的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A，B，且的面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M，N两点，且，求的最大值．第(4)题已知椭圆：的上顶点为，左焦点为，点为上一点，且以为直径的圆经过点．(1)求的方程；(2)过点的直线交于，两点，线段上存在点满足，过与垂直的直线交轴于点，求面积的最小值．第(5)题已知是正实数，且关于的方程有且仅有一个实数解．(1)求的值；(2)求的最小值．。
重大高数期末试题及答案第一章：微分学1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+5$的导数。
解答：对于函数$f(x)=3x^2-2x+5$，利用导数的定义可以求得其导数为$f'(x)=6x-2$。
2. 计算曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。
解答：首先求得曲线$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。
然后通过点斜式切线方程的公式$y-y_1=y'(x-x_1)$，代入点$(0,1)$和导数$y'=e^x$，可得切线方程为$y-1=e^x(x-0)$。
第二章：积分学1. 计算定积分$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx$。
解答：对于多项式函数$2x^3-3x^2+4x-1$，我们可以按照幂次递减的顺序进行积分。
首先对$x^3$进行积分可得$\frac{1}{4}x^4$，对$x^2$进行积分可得$\frac{1}{3}x^3$，对$x$进行积分可得$2x$，对常数$-1$进行积分可得$-x$。
将这些结果依次代入积分的上下限进行计算，最终得到定积分的结果为$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+2-1=\frac{5}{12}$。
2. 求解微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，其中$y(0)=3$。
解答：对于微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，我们可以通过直接积分的方法求解。
对方程两边同时进行积分可得$y=x^2+C$，其中$C$为常数。
由于已知$y(0)=3$，代入初始条件可得$3=0^2+C$，解得$C=3$。
于是原微分方程的解为$y=x^2+3$。
第三章：级数1. 判断级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性。
解答：对于级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，我们可以利用比较判别法来判断其收敛性。
