2020人教版A数学必修第二册 第10章 10.2 事件的相互独立性

10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。

发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。

第十章10.2A组·素养自测一、选择题1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝“既有正面向上又有反面向上",B＝“至多有一个反面向上”,则A与B的关系是(C）A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件[解析］由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的。

2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是（C）A．0.64B．0。

56C．0。

81D．0。

99[解析]设A i表示“第i题做对”，i＝1，2，由题意知，A1，A2相互独立，则P（A1∩A2)＝P(A1）P（A2）＝0。

9×0.9＝0.81．3．事件A，B是相互独立的,P（A)＝0。

4，P（B)＝0。

3，下列四个式子：①P（AB)＝0.12;②P(错误!B)＝0.18；③P（A错误!)＝0。

28；④P（错误!错误!）＝0.42．其中正确的有(A）A．4个B．2个C．3个D．1个[解析]事件A，B是相互独立的，由P(A)＝0。

4，P（B）＝0。

3知：在①中,P（AB）＝P(A)P(B)＝0。

4×0。

3＝0.12，故①正确；在②中，P(A B）＝P（错误!)P（B)＝0.6×0。

3＝0.18，故②正确；在③中,P(A错误!)＝P（A)P(错误!）＝0.4×0.7＝0.28,故③正确；在④中，P（错误!错误!)＝P（错误!）P（错误!）＝0。

6×0。

7＝0.42，故④正确.4．甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析]甲要获得冠军共分为两种情况：（1）第一场取胜，这种情况的概率为错误!。

(2)第一场失败,第二场取胜，这种情况的概率为错误!×错误!＝错误!，则甲获得冠军的概率为错误!＋错误!＝错误!.5．(多选）设M，N为两个随机事件,给出以下命题正确的是（ABD)A．若P(M)＝错误!，P(N)＝错误!，P(MN)＝错误!,则M，N为相互独立事件B．若P(错误!）＝错误!，P(N)＝错误!，P（MN)＝错误!，则M，N为相互独立事件C．若P(M）＝12,P（错误!）＝错误!，P（MN）＝错误!，则M，N为相互独立事件D．若P（M)＝错误!，P（N）＝错误!，P（错误!错误!）＝错误!，则M,N为相互独立事件［解析］在A中，若P（M）＝12，P（N）＝错误!，P（MN）＝错误!，则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故A正确;在B中,若P（M）＝错误!,P（N)＝错误!,P(MN)＝错误!，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件，故B正确；在C中，若P(M)＝错误!，P（错误!)＝错误!，P(MN)＝错误!，当M，N为相互独立事件时,P(MN）＝错误!×错误!＝错误!,故C错误;D．若P(M)＝错误!，P（N）＝错误!,P（错误!错误!）＝错误!，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N 为相互独立事件，故D正确.二、填空题6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是错误!，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为__错误!__,问题得到解决的概率为__错误!__. [解析]甲、乙两人都未能解决的概率为错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－13＝错误!。

10.2事件的相互独立性课后篇巩固提升基础巩固1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49B.29C.23D.13左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46=23,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为23,则两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23=49.2.种植两株不同的花卉,若它们的成活率分别为p和q,则恰有一株成活的概率为()A.pqB.p+qC.p+q-pqD.p+q-2pqp(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq.3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为()A.21192B.25192C.35192D.35576,每个交通灯开放绿灯的概率分别为512,712,34.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为512×712×34=35192.4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是() A.A与B,A与C均相互独立B.A 与B 相互独立,A 与C 互斥C.A 与B ,A 与C 均互斥D.A 与B 互斥,A 与C 相互独立,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A 与B ,A 与C 均相互独立.而A 与B ,A 与C 均能同时发生,从而不互斥.5.设两个相互独立的事件A ,B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率等于B 发生A 不发生的概率,则事件A 发生的概率P (A )是 .{[1-P (A )][1-P (B )]=19,P (A )[1-P (B )]=P (B )[1-P (A )],解得P (A )=P (B )=23.6.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是 ..902A ,B ,C ,不准确记为事件A,B,C ,则P (A )=0.8,P (B )=0.7,P (C )=0.9,P (A )=0.2,P (B )=0.3,P (C )=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB C ,A B C ,A BC ,ABC ,这四个事件两两互斥.∴至少两颗卫星预报准确的概率为P=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )+P (ABC )=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.7.从甲袋中摸出1个红球的概率是13,从乙袋中摸出1个红球的概率是12,从两袋内各摸出1个球,则 (1)2个球不都是红球的概率为 . (2)2个球都是红球的概率为 . (3)至少有1个红球的概率为 . (4)2个球中恰好有1个红球的概率为 . (1)56 (2)16 (3)23 (4)12中的事件依次记为A ,B ,C ,D ,则P (A )=1-12×13=56;P (B )=13×12=16;P (C )=1-(1-12)×(1-13)=23; P (D )=13×(1-12)+(1-13)×12=12.8.某人有8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一天该人醉酒回家,每次从8把钥匙中随便拿一把开门,试用后又不加记号放回,则该人第三次打开家门的概率是 .由已知每次打开家门的概率为18,则该人第三次打开家门的概率为(1-18)(1-18)×18=49512.9.某同学参加科普知识竞赛,需回答3个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响. (1)求这名同学得300分的概率; (2)求这名同学至少得300分的概率.A 为“答对第一题”,事件B 为“答对第二题”,事件C 为“答对第三题”,则P (A )=0.8,P (B )=0.7,P (C )=0.6.(1)这名同学得300分这一事件可表示为(A B C )∪(A BC ),则P ((A B C )∪(A BC ))=P (A B C )+P (A BC )=0.8×(1-0.7)×0.6+(1-0.8)×0.7×0.6=0.228.(2)这名同学至少得300分包括得300分或400分,该事件表示为(A B C )∪(A BC )∪(ABC ), 则P ((A B C )∪(A BC )∪(ABC ))=P (A B C )+P (A BC )+P (ABC )=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.10.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为25,34,13,且各自能否被选中相互之间没有影响. (1)求三人都被选中的概率; (2)求只有两人被选中的概率.A ,B ,C ,则P (A )=25,P (B )=34,P (C )=13.(1)∵A ,B ,C 是相互独立事件,∴三人都被选中的概率为P 1=P (ABC )=P (A )P (B )P (C )=25×34×13=110.(2)三种情形:①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P (A BC )=P (A )P (B )P (C )=(1-25)×34×13=320. ②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=25×(1-34)×13=130.③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P (AB C )=P (A )P (B )P (C )=25×34×(1-13)=15.以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P 2=320+130+15=2360. 能力提升1.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为15,身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( ) A.1320B.15C.14D.25(1-15)×(1-14)=35,则至少有一项合格的概率是1-35=25.2.荷花池中,有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一片荷叶跳到另一片荷叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图.假设现在青蛙在X 荷叶上,则跳三次之后停在X 荷叶上的概率是( ) A.13B.29C.49D.827由题知逆时针跳一次的概率为23,顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在X 上的概率为P 1=23×23×23=827,顺时针跳三次停在X 上的概率为P 2=13×13×13=127.所以跳三次之后停在X 上的概率为P=P 1+P 2=827+127=13.3.在电路图中(如图),开关a ,b ,c 闭合与断开的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78a ,b ,c 闭合的事件分别为A ,B ,C ,则灯亮这一事件E=ABC ∪AB A C ,且A ,B ,C 相互独立,ABC ,AB C ,A B C 互斥,则P (E )=P ((ABC )∪(AB C )∪(A B C ))=P (ABC )+P (AB C )+P (A B C )=P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )=12×12×12+12×12×(1-12)+12×(1-12)×12=38.4.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这20名学生中随机抽取一人,将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A ;“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ,则P (A|B )的值是 .20名学生中随机抽取一人,基本事件总数为20个.事件A 包含的基本事件有10个,故P (A )=12;事件B 包含的基本事件有9个,P (B )=920,事件AB 包含的基本事件有5个,故P (AB )=14,故P (A|B )=P (AB )P (B )=59.5.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是12,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为13,23;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为35,25.记第n (n ∈N ,n ≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n . (1)求P 2的值;(2)当n ∈N ,n ≥2时,求用P n-1表示P n 的表达式.P 2=12×13+12×35=715.(2)P n =P n-1×13+(1-P n-1)×35 =-415P n-1+35(n ∈N ,n ≥2).6.甲、乙二人进行一次围棋比赛,一共赛5局,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,同时比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.A i表示事件“第i局甲获胜”,i=3,4,5,B j表示事件“第j局乙获胜”,j=3,4,5.(1)记A表示事件“再赛2局结束比赛”.A=(A3A4)∪(B3B4).由于各局比赛结果相互独立,故P(A)=P((A3A4)∪(B3B4))=P(A3A4)+P(B3B4)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.(2)记事件B表示“甲获得这次比赛的胜利”.因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=(A3A4)∪(B3A4A5)∪(A3B4A5),由于各局比赛结果相互独立,故P(B)=P(A3A4)+P(B3A4A5)+P(A3B4A5)=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.。