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例如
掷一颗质地均匀的骰子,观察其出现的点数.
设i 表示出现的点数为i(i 1,2,,6), 则i为样本点,
记
{1 , 2 ,, 6} A=“出现奇数点” {1 , 3 , 5} B=“点数大于零” {1 , 2 ,, 6 } C=“点数大于6”
解
(1) ABC .
(2) AB C A BC A B C (3) A B C AB C A BC A B C
(4) A B C A B C
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3、随机事件的概率
(1)古典概型 设Ω 为随机试验E的样本空间，若 ①（有限性）Ω 只含有限个样本点， ②（等概性）每个基本事件出现的可能性相等， 则称E为古典概型。 (2)古典概型中事件概率的定义
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P( A j | B)
P( A j ) P( B | A j )
n
( j 1,2,..., n)
5. 独立性
定义
若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。
注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事 件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
取值为有限个和至多可列个值 的随机变量.
连续型 可以取区间内一切值的随机变量.
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1.2.2 常见的随机变量及其描述
（一）离散型随机变量 1、离散型随机变量的描述——分布律
定义 设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,...,xn,...,且
pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为X的概率分布或分布律.
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1. 条件概率
对于两个事件A、B,若P(A)＞0,则称 P(B|A）=P（AB）/ P（A） 为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 注意 (1)P(B|A)是在改变了的样本空间下考虑概率值. (2)条件概率P(B|A)满足概率的三条公理. (3) P(B|Ω)=P(B); P(B|B)=1; (4) 若B1，B2互不相容,则有: P[(B1+B2)|A]=P(B1|A)+P(B2|A) (5) P( B |A)=1-P(B|A) ……
在计算条件概率时,一般有两种方法: (1) 由条件概率的公式;
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定义
(2) 由P(B|A)的实际意义计算.
2. 乘法公式 对于两个事件A与B， 有 P(AB)=P(A)P(B|A), 也有 P(AB)=P(B)P(A|B), P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 推广情形 对 于 n 个 事 件 A1 ,A2,…,An , 则 有
9Leabharlann (6) A B,表示事件A发生,而事件B不发生.且 A B AB .
(7) A B A B , (8) A B A B ,
注 （7）（8）结果可推广为
Ai Ai , Ai Ai
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
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例1.2 设A、B、C为任意三个事件,试用它们表示 下列事件: (1) A、B发生，C不发生； (2) A、B、C中恰有一个发生； (3) A、B、C中至多有一个发生； (4) A、B、C中至少有一个发生.
性质 6 P( A B) P( A) P( B) P( AB) ;
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4、概率的公理化定义
由于实际问题的不同和处理问题的角度不同,有很 多计算随机事件概率的方法.但它们都要求具有下面三 个基本性质. 设P(A)为随机事件的实值函数,若P(A)满足 ① 非负性 P(A) ≥0; ② 规范性 P(Ω)=1;
(2) Ai , P( Ai ) 0(i 1,2,, n)
i 1
n
则 对于任何一个正概率事件B，有
P( Ai ) P( B | Ai ) 注： i 1 1.以上两个公式中的A1,A2,...,An可以看作是导致事件B 出现的因素（原因）;
2.P(Aj|B)一般称为 “后验概率”;Bayes公式又称为 “后验概率公式”或“逆概公式”;P(Aj)对应可以称 为“先验概率”.
事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与 运算一致，只是术语不同。 记号 Ω φ ω 概率论 样本空间,必然事件 不可能事件 样本点 集合论 空间,全集 空集 元素
A
事件
集合
A
A的对立事件(逆事件)
A的余(补)集
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(1) A B,
A是B的子集,表示若事件A发生,事件B一定发生.
(2) A B( A B),
1.1.2 随机现象及研究 1、自然界中的两种现象：
确定性现象； 随机现象： 在条件相同的一系列重复观察中，会时 而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且 在每次观察之前不能准确预料其是否出现， 这类现象称之为随机现象。
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随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一试验或观察时， 其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种 规律性称之为统计规律性。 概率论与数理统计的研究对象 概率论与数理统计是研究随机现象统计规 律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定 了它的广泛应用性。
第1章
概率论复习与补充
•§1.1 基本概念 •§1.2 一维随机变量及相关内容 •§1.3 多维随机变量及相关内容 •§1.4 大数定律与中心极限定理
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§1.1
基本概念
1.1.1 概率统计发展历史
16世纪 概率论起源于赌博问题 Fermat; Pascal; Huggens 等 17~19世纪 Bernoulli; Poisson; Buffon; Laplace; Gauss 等 20世纪30年代 苏联数学家 Kolmogrov建立了 概率论的公理化结构 19世纪末20世纪初 Fisher; Pearson; Neyman 等 数理统计发展 2 参考《数理统计学简史》 陈希孺 湖南教育出版社
注意：随机事件发生当且仅当该事件包含的某一个样本 点出现。 6
例1.1：写出下列试验的样本空间:
1.某袋子中装有5个球,其中3个红球,编号A、B、 C, 有2个黄球，编号D、F，现从中任取一个球,观察颜色. 若是观察编号呢？
2.观察某路口在某时间段经过的人数； 3.测量某个电子元器件的寿命。
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事件的关系与运算
③ 可列可加性 若Ai (i 1,2,)是两两互不相容的事件组,
(即Ai A j , i j ), 则P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
则称P(A)为概率的公理化定义.
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概率的重要性质
(1)P(φ)=0，P(Ω)=1，逆不一定成立. (2)若AB=φ,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互 斥事件的情形.即:若A1,A2,…,An两两互斥,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(Ω-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)≤P(B); (4)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB), （加法公式） P(A ∪ B ∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形.
i 1 n
则 对于任何一个事件B，有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+…+P(An)P(B|An)
BA1
B = BA1 BA2 BAn
BA2
…... …...
S
BAn
A1
A2
An
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4. 贝叶斯(Bayes)公式
设Ω是随机试验E的样本空间,事件组 A1,A2,…,An满 足: (1) Ai A j (i j );
P( AB ) P( A B ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A )P( B ) P( A )( 1 P( B )) P( A )P( B )
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法: ① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
推论1 A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
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推论2 在 A 与 B, A与 B, A 与 B ， A 与 B这四对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。 证明 不妨设A，B独立,则
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（3）古典概型概率的性质 ① P(A) ≥0; ② P(Ω)=1;
③ 若Ai (i 1,2,, n)是两两互不相容的事件组
P( A1 A2 An) P( A1) P( A2) P( An)
性质 4 P() 0 ;
性质 5 P ( A ) 1 P ( A) ;
§1.2
一维随机变量及相关内容
1.2.1 随机变量的概念及描述
1. 为什么要引入随机变量? 2. 什么是随机变量?
定义 设E为随机试验,它的样本空间记为Ω={ω},如
果对于每一个ω都有实数X(ω)与之对应,则称这个定 义在Ω上的单值实函数X(ω)为随机变量.
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3. 随机变量的类型
离散型 非离散型
或者 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn ... ...
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性质 (1)pn≥0,n=1,2,... ； (2)p1+p2+...+pn+…=1；
