应用数理统计2.2 估计量的评判准则

§2 估计量的评选标准问题：用不同的方法求出的同一参数的估计量可能不同，哪个估计量更好？怎样衡量？2.1 无偏估计引例：有一大批产品，废品率为)10(<<p p 未知，现任取n 件产品进行检验，获取子样观测值，构造统计量来估计未知参数p .如果pp >∧，则不利于产品卖方；如果pp <∧，则不利于产品买方。

事实上，∧p的值随每次抽样结果而变，因此自然希望抽样检验长期进行的话，在平均意义下能有一个不偏不倚的结果，即pp E =∧)(.——这就是估计量的无偏性要求。

定义：设∧θ是未知参数θ的估计量， ①若θθ=∧)(E ，则称∧θ是θ的无偏估计(unbiased estimator)，简记为UE ； ②若θθ≠∧)(E ，则称∧θ是θ的有偏估计(biased estimator)；③若θθ=∧∞→)(lim E n ，则称∧θ是θ的渐近无偏估计(asymptotic unbiased estimator).例 2.2.1 n X X X ,,,21 是来自母体X的一个子样，证明：X 是)(X E 的无偏估计，但子样方差∑=-=ni i n X X nS 122)(1不是)(X D 的无偏估计。

证明：)()(1)1()(11X E X E nX nE X E ni ini i ===∑∑==，故X是)(X E =μ的无偏估计；)1()(1222∑=-=ni inX XnE S E)()()(122122X E EXX E X E nni i-=-=∑=)]()([)]()([22X E X D X E X D +-+=)()(1)()(22X E X D nX E X D --+=)()(1X D X D nn ≠-=故∑=-=ni i n X X nS 122)(1不是)(2X D =σ的无偏估计，但由于)()](1[lim )(lim 2X D X D nn S E n nn =-=∞→∞→故∑=-=ni i n X X nS 122)(1是)(2X D =σ的渐近无偏估计.为得)(X D 的无偏估计，对2nS 进行修正（称为纠偏），令：∑=--=-=ni i n n X X n S n n S 1222*)(111则22*)(σ=n S E . 即2*nS 是)(X D 的无偏估计，此即修正样本方差.例 2.2.2 设母体),(~2σμN X，则Rd n1=∧σ是σ的无偏估计.例 2.2.3 nX X X ,,,21是来自母体)(~λP X 的一个子样，证明：2*)1(nS X ααλ-+=∧是λ的无偏估计。

2.2估计的质量评价 如何对某个数字特征值进行估计，估计的方法不止一种评价估计的常用指标θ——表示广义平稳随机过程序列的某个数字特征值（均值、方差、相关函数等）θ∧表示θ的估计值 []E θ∧表示估计的均值 2.2.1 估计的偏估计的偏定义为：()[]bia E θθθ∧∧=-——反映估计的均值与真值的偏离程度如果：()E θθ∧=，则()0b i a θ∧=——无偏估计（否则有偏） 当样本数：N →∞时，若()0bia θ∧→——渐进无偏估计2.2.2 估计的方差估计的方差定义为2var()[([])]E E θθθ∧∧∧=-如果1θ∧和2θ∧都是θ的无偏估计就要考虑估值的方差var(•).1、对无偏估计——因[]E θθ∧=，所以2v a r ()[()]E θθθ∧∧=-2、若12var()var()θθ∧∧<，则1θ∧比2θ∧更紧密地聚集在真值的附近，1θ∧比2θ∧好 3、若对于所有估计值'θ，有var()var()θθ∧'≤，则θ∧为最小方差估计2.2.3 估计的均方误差和一致性如果1θ∧和2θ∧不都是θ的无偏估计，这时方差就不再是有效性的唯一测度，需要同时考虑方差和偏差——以MSE （均方误差）为有效性的测度均方误差：2[()]MSE E θθ∧=- 经过简单推导：22[()][(M S E E E E θθθθθ∧∧∧∧=-=-+0可见，均方差同时反映了估计的偏差和方差。

1、最小均方误差准则选择均方误差较小的θ∧作为所希望的估计——最小均方误差准则。

2、一致估计若当样本数：N →∞时，估计的均方差0MSE →——一致估计 令θ∧是基于N 个观测样本获得的θ的估计，如果：1）lim []N E θθ∧→∞= 2）2lim [([])]0N E E θθ∧∧→∞-= 则θ∧是θ的一个一致估计+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +2.3均值、方差、自相关函数的估计 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +2.3相关函数与功率谱。

估计量的评选标准
估计量在统计学中扮演着非常重要的角色，它是对未知参数进行估计的数值。

在实际应用中，估计量的准确性和可靠性直接影响到统计结论的正确性。

因此，如何评选一个好的估计量是非常重要的。

下面将从偏差、方差和均方误差三个方面来探讨估计量的评选标准。

首先，偏差是评价估计量优劣的重要指标之一。

偏差是指估计量的期望值与真实参数值之间的差异。

一个好的估计量应当具有较小的偏差，即在重复抽样下，估计量的平均值应当接近于真实参数值。

因此，评选估计量时，需要对其偏差进行严格的评估，选择偏差较小的估计量作为最优估计。

其次，方差也是评选估计量的重要指标。

方差是用来度量估计量的离散程度，即在重复抽样下，估计量的变异程度。

一个好的估计量应当具有较小的方差，即在重复抽样下，估计量的取值应当比较稳定。

因此，评选估计量时，需要对其方差进行严格的评估，选择方差较小的估计量作为最优估计。

最后，均方误差是评价估计量优劣的综合指标。

均方误差是偏
差和方差的平方和，它综合考虑了估计量的偏差和离散程度。

一个好的估计量应当具有较小的均方误差，即在重复抽样下，估计量的预测误差应当较小。

因此，评选估计量时，需要对其均方误差进行严格的评估，选择均方误差较小的估计量作为最优估计。

综上所述，评选估计量的标准应当综合考虑偏差、方差和均方误差三个方面。

一个好的估计量应当在偏差小、方差小和均方误差小的情况下，具有较高的准确性和可靠性。

在实际应用中，需要根据具体问题和数据特点，选择合适的评选标准，以得到最优的估计量。

希望本文对您有所帮助。

估计量的评选标准估计量是指在缺乏完全准确数据的情况下，根据一定的方法和标准，对某一特定数量进行估算的过程。

在实际生活和工作中，估计量的使用是非常普遍的，比如市场调研中对某一产品的销量进行估计、工程项目中对材料和人工成本的估算等。

因此，对估计量的评选标准进行明确和规范，对于保证估计结果的准确性和可靠性具有重要意义。

首先，估计量的评选标准应当包括数据来源的可靠性。

数据来源的可靠性是估计量准确性的基础，只有在数据来源可靠的前提下，才能得到准确可靠的估计结果。

因此，在评选估计量时，需要对数据来源进行严格的审核和验证，确保数据的真实性和可靠性。

其次，估计量的评选标准还应当考虑估计方法的科学性和合理性。

不同的估计方法可能会得到不同的估计结果，因此在评选估计量时，需要对所采用的估计方法进行评估和比较，选择科学合理的估计方法，并对其进行合理性验证，以确保估计结果的准确性和可靠性。

另外，估计量的评选标准还应当考虑估计结果的稳定性和可靠性。

估计结果的稳定性是指在不同条件下得到的估计结果是否具有一致性和可比性，而可靠性则是指估计结果是否能够得到重复验证和确认。

在评选估计量时，需要对估计结果的稳定性和可靠性进行评估和验证，确保估计结果具有一定的稳定性和可靠性。

最后，估计量的评选标准还应当考虑估计结果的可比性和适用性。

估计结果的可比性是指在不同条件下得到的估计结果是否可以进行比较和分析，而适用性则是指估计结果是否能够满足具体的应用需求。

在评选估计量时，需要对估计结果的可比性和适用性进行评估和验证，确保估计结果具有一定的可比性和适用性。

综上所述，估计量的评选标准应当包括数据来源的可靠性、估计方法的科学性和合理性、估计结果的稳定性和可靠性，以及估计结果的可比性和适用性。

只有在这些方面都得到合理的保证和验证，才能够确保估计结果的准确性和可靠性，从而为实际生活和工作提供有力的支持和保障。

估计量的评价标准估计量是统计学中一个非常重要的概念，它在研究中起着至关重要的作用。

在统计学中，我们经常需要对总体参数进行估计，而估计量就是用来估计总体参数的。

在实际应用中，我们需要对估计量进行评价，以确定其准确性和可靠性。

本文将从准确性、一致性、有效性和偏倚性四个方面对估计量的评价标准进行详细介绍。

首先，准确性是评价估计量的重要标准之一。

一个好的估计量应当具有较高的准确性，即与总体参数的真值相近。

通常情况下，我们会使用均方误差（MSE）来评价估计量的准确性，MSE越小，表示估计量的准确性越高。

其次，一致性也是评价估计量的重要标准之一。

一个一致的估计量是指当样本容量增大时，估计量趋向于总体参数的性质。

在实际应用中，我们通常会使用一致性的渐近分布来评价估计量的一致性。

有效性是评价估计量的又一重要标准。

一个有效的估计量应当具有较小的方差，即在估计总体参数时具有较高的精确度。

通常情况下，我们会使用标准误差（SE）来评价估计量的有效性，SE越小，表示估计量的有效性越高。

最后，偏倚性也是评价估计量的重要标准之一。

一个好的估计量应当是无偏的，即在重复抽样的情况下，估计量的期望值等于总体参数的真值。

在实际应用中，我们通常会使用置信区间来评价估计量的偏倚性，置信区间越窄，表示估计量的偏倚性越小。

综上所述，对于估计量的评价标准，我们需要从准确性、一致性、有效性和偏倚性四个方面进行综合考量。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点，选择合适的评价标准来评估估计量的质量。

希望本文对大家对估计量的评价标准有所帮助。