三年级奥数.计算综合.数阵图与幻方(B级).学生版

尤新教育奥数标准教程第八讲简单的数阵与幻方【知识点与方法】一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。

（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。

二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。

然后对称找和相等的成对的项。

【经典例题】例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。

例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。

例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。

例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。

例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。

练习与思考1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。

2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。

（2题图）（3题图a）（3题图b）3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。

(至少找出两种本质上不同的填法)4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。

（4题图）（5题图）5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。

7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

蔚然教育精品班导学案例题1从小华家到学校有3条路可走，从学校到文峰公园有4条路可走。

从小华家到文峰公园，有几种不同的走法？例题2 用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？思路导航：要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进行列举：例题3一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？思路导航：由于长方形的周长是22米，可知它的长与宽之和为11米。

.5-1-3-2.数阵图教学目标1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题知识点拨.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关 系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．例题精讲复合型数阵图【例 1】 由数字 1、2、3 组成的不同的两位数共有 9 个，老师将这 9 个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选 5 个数来求和．小刚选的 5 个数的和是 120，小明选的 5 个数的和是 111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．112131122232132333【例2】如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是。

【例3】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.49817（1）【例4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【例5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

将左下图中每个圆圈中的数改为3个相邻圆圈所填数的平均值，便得到右下图。

1.了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2010年，学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

拓展、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。

例2、将1—7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

拓展、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

例3、把1～5这五个数填入下图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

拓展、将 10～20填入下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

例4、将1—10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

拓展、将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,22。

例5、把1—10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

拓展、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

例6、将1—6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

拓展、将1—8八个数分别填入下图的○内，使每条边上三个数的和相等。

例7、将1—8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。

拓展、将1—8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。

例8、将1—9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。

拓展、将1—9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。

例9、如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

拓展、将1—9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。

这五个数之和最大是多少？例10、将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

拓展、下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的九个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因为56+A 为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步:运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图）【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

CBA【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是 ．789fedcba 789【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．BA【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A 与B 的和是________。

BA【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22 的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？111098765432【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?861102912311457【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．246824688642【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【例 11】一个3 3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。

三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

数阵与幻方【知识点与方法】一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。

（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。

二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。

然后对称找和相等的成对的项。

【经典例题】例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。

例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。

例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。

例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。

例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。

练习与思考1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。

2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。

（2题图）（3题图a）（3题图b）3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。

(至少找出两种本质上不同的填法)4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。

（4题图）（5题图）5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。

6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。

7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。

数阵与幻方完成日期在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵图，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

它一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15。

不信你就算算。

幻方的概念：：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。

本节课我们将学习简单数阵和简单三阶幻方。

【精讲1】把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与王牌例题剖析 专题要点 数阵幻方竖列三数之和都等于9。

分析与引导：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

【好题精练】1、将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。

2、把2、4、6、8、10这五个数填入下图中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于18。

3、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。

【精讲2】将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。

分析与引导：由精讲1分析知，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。

【篇一】数阵图就是把一些数按照一定的规则,排列成各种各样的图形,这种图形就称作数阵图。

幻方就是一种特殊的数阵图，而数独可以说是幻方的延伸。

数阵图一般分为三大类型：封闭型、辐射型和复合型。

但具体的数阵图种类繁多、新奇有趣，有一定的难度。

填数阵图时不宜乱填乱试，急于求成，要认真观察、分析数阵图的内在规律，按步骤求解。

首先要找出数阵中的关键位置(如不同线路的交点,封闭图形的顶点等),根据题目的要求,经过必要的计算,先填写这些关键位置的数；再利用已求出的一些数据和条件，通过尝试、调整，填写出其它位置上的数。

数阵图的解法往往很多，解题时一般只列举几种主要的解法。

学习数阵图，可以培养孩子的观察能力、分析能力，训练孩子思维的灵活性和严密性。

【篇二】将1-8这8个数字分别填入下图中的小圆圈内，使每个五边形上的五个数字的和都等于21：这是个封闭型的数阵图，主要有两种填法。

如下图中，红色圆圈里的数既属于左边五边形，又属于右边五边形。

每个五边形上的五个数字的和都等于21，两个五边形上10个数字总和是42，这样计算，其中红色圆圈里的数字被重复计算，即多算了一遍。

图中1-8八个数字的实际和为：1+2+3+4+5+6+7+8=36。

因此被重复计算的两个红色圆圈里的数字和为：42-36=6。

在1-8中，和为6的只有：2+4=6；1+5=6。

所以红色圆圈里可能是2和4，也可能是1和5。

先试着在红色圆圈里填上2和4（如下左图），还剩下数字1、3、5、6、7、8。

因为每个五边形上的五个数字的和都等于21，所以剩下三个数的和为：21-6=15；又因为7、8两个数的和已经是15了，所以7和8只能在不同的五边形里；填好7和8，剩下的数字凑一凑就可以了。

再尝试在红色圆圈里填上1和5（如下右图），同上理，依次填好7、8和其它的数字，可以得到第二种填法。

【篇三】将1-8填入T形图中，使横行□中所有数的和等于竖行□中所有数的和：红色方框里的数是横行和竖行重叠的数，只要横行剩下4个黑色方框里数字之和等于竖行剩下3个黑色方框里的数字和相等，那么图中横行方框中所有数的和就等于竖行方框中所有数的和。

学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型授课日期时段教学内容第十讲：数阵图．把1～6这六个数字分别填入图10 - l的六个圈内．使得每个正方形顶点上的数的和都为13．从l到6这六个数的和是21．而两个正方形8个顶点上的数之和是26(=13×2)，比六个数的总和大5．这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是中间两个圈内的数的和．每个正方形，去掉这中间的两个数，剩下的两个数，和都是8（=13 -5）．解在1到6六个数中，两个数的和为8，只可能足2+6、3+5．所以中间两个圈内填1与4．得到如幽10 - 2的填法．将3、4、6这二个数填入图10-3的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的和等于11．．将2到7这六个数，填入图10- 4的圈中，使得每条线上的三个数的和相等．由2+7= 4+5=3+6=9．得到如图10-5的解将l到7这七个数填入图10-6，使得每条线上的三个数的和相等．．将1到9这九个数填入图10-7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．．将1到9这九个数填入图10-7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．l+2+…+9=45去掉中心的数后，每条线上两个数的和相等．4条线上8个数的和是每条线上的和乘以4．所以中心的数只能是1、5、9，去掉中心后的8个数的和分别是44、40、36，每条线上两个数的和分别是11、10、9．即有三种情况：（1）中心填1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可．（2）中心填5时，1与9、2与8、3与7、4与6搭配．（3）中心填9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配这样得到如图10-8所示的三个解将1~8填入图10-9，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等．．将1到5这五个数填入图10 - 10，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等．设中心的数是a．因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和，所以a等于它左、右两个数的和．同理，a等于它上、下两个数的和．从而a是最大的数5．其余四个数，2与3搭配．1与4搭配，写在同一条线上，得到的解如图10-11所示．在图10 – 12中填上7、8、10、1 2，使得每个圆内的四个数的和相等．．将l~6这六个数填入图10-13的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等．如果1与6都不在顶点处，那么在图10 -14中，a+l+c=b+6+c．所以a+1=6+b但6比a大，b比1大，所以a+l与6+b不可能相等．1与6至少有一个在顶点处．设1在顶点．2、3、4、5、6中取4个数，分成和相等的2组，只有3种可能：2+6=3+5．3+6=4+5．2+5=3+4前两种可得图10-15的(1)，(2)．第3种不可能，因为另一行3个数的和至少是2+3+6．超过1+2+5．同样，6在顶点时，可以得到图10 - 15的(3)，(4)因此，本题的答案是图10-15的(1)～(4)．用7减去1在顶点的图10 - 15(1)、(2)的每一个数，便得到（3）、（4）．反过来也是这样．将l到16填入图10 -16，使得每条线段上四个数的和相等，两个八边形八个顶点上的数的和也相等．将1~16填入图10 - 17的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等．本题也就是造一个四阶幻方四阶幻方的造法很多，解也不唯一．下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法．先将1~16依照次序先左后右，先上后下逐一填入图10 - 18(1)中得四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是(1+2+…+16)÷4= (1+16)×16÷2÷4=34现在图10 - 18(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求所以对角线上的数不要再动．先来调整行，将第一行的2、3分别与第四行的14，1 5对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图10 - 18(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的和也都是34．再调整列．将图10 - 18(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调，第二列的14、2分别与15、3对调，得图10 -18(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方．比较例6所得的幻方与巩固练习5的答案．有何联系？可能与必然上节末，说到一个游戏“数独”数独怎么填呢？比如先看第一行，在上节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字，每个空格填的数有6种可能，难以确定．如果看第二列，只有2个空格，心填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定．可能性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦．所以应先考虑可能较小的方格，最好能发现一些方格，只有一种填法，也就是说这些方格填什么数是必然的．将这些方格先填好，对填其他方格会有帮助．同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法，比如中间的3×3的正方形，只有3个空格，应填2、6、8．再结合第四行已经有8，第六行也已经有8，所以8必须填在中央．接下去，因为第四行已经有6，所以6必须填在第六行，2填在第四行．现在再看第四行，只剩2个空格，应填9与3．第九列有9，所以第四行的9只能（必然）在第三列，3在第九列．同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行，第六行第一列必填2．左中3×3的正方形中，5必在第一列，7在笫三列．第八列3必填在第九行，9必填在第二行．右上3×3的正方形中，7必填在第七列．右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第八行，1在第九列第七行，6在第七行第七列．右中3×3的正方形中，6在第九列，2在第七列，左下3×3的正方形中，2、3、8、6的填法郡是必然的．左上3×3的正方形中．按行依次填2、1、4、7、6．右上3×3的正方形中，填4、8．中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4．中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7．填法都是必然的，最后结果如图．当然，上面填数的顺序可以变更但应尽量先填只有一种可能的方格，而不要先填邮些难以确定的方格．1．如果图中每行、每列、每条对角线的和都相等，那么填入的数a、b、c、d有什么关系？2．将1到8这八个数填入下图，使得每条线上的三个数的和相等．3．将1到9这九个数填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．4．将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等．5．将5到12填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．6．将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等．7．将1到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等．8．将l到10填入下图，使每条线段上的四个数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等．（三角形顶点上的数的和不必与线段上的数的和相等）9．将1到8填入圈内，使得每个圆上的五个数的和相等．10．将l到8填入圈内，使每一圆周上的四个数、每条线上的四个数的和相等．11．在下面由圆分割出的9个区域中，填入1到9这九个数，使得每个圆内的数的和都等于11．12．将1到12填入下图，使每条边上的五个数的和相等．你做对了吗？答案：巩固练习6 图中的4条对角线是四阶幻方的4行，另有4组共线的点，如l、12、8、13等是幻方的4列，外面八边形的4个相邻顶点上的数16、1、6、11是幻方的一条对角线，另4个相邻顶点上的数10，7，4，13是幻方的另一条对角线。