2014年高考真题——文科数学(天津卷)

ED CBA 2014高考数学【天津文】一、选择题： 1．i 是虚数单位，复数7i34i++=( ) A ．1-iB ．-1+iC ．1731i 2525+ D ．1725i 77-+ 2．设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数z =x +2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知命题p ：∀x ＞0，总有(x +1)e x ＞1，则⌝p ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0+1)0e x ≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0+1)0e x ≤1C ．∀x ＞0，总有(x +1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x +1)e x ≤14．设a =log 2π，12log b π=，c =π -2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a5．设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列， 则a 1=( )A ．2B ．-2C ．12D ．12-6. 已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y =2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=7．如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ， 过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结 论：①BD 平分∠CBF ； ②FB 2=FD ·F A ； ③AE ·CE =BE ·DE ； ④AF ·BD =AB ·BF ． 则所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④8. 已知函数f (xωx +cos ωx (ω＞0)，x ∈R ，在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中，若相 邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π二、填空题9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查． 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．10．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为 _______m 3．11．阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________． 12．函数f (x )=lg x 2的单调递减区间是________．13．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上， BC =3BE ，DC =λDF ．若1AE AF ⋅=，则λ的值为_______．14. 已知函数()20,54,22,0.x x x f x x x ⎧++⎪=⎨->≤⎪⎩若函数y =f (x )-a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题15．某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． (I)用表中字母列举出所有可能的结果；俯视图侧视图正视图PFEDCBA(II)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知a c -=，sin B C ． (I)求cos A 的值； (II)求πcos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是平行四边形，BA =BD，AD =2，P A =PD，E ， F 分别是棱AD ，PC 的中点．(I)证明：EF ∥平面P AB ； (II)若二面角P -AD -B 为60°，(i)证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；(ii)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．18. 设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ．已知12AB F =． (I)求椭圆的离心率；(II)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过点F 2的直 线l 与该圆相切于点M，2MF =19．已知函数232()3f x x ax =-(a ＞0)，x ∈R ．(I)求f (x )的单调区间和极值；(II)若对于任意的x 1∈(2，+∞)，都存在x 2∈(1，+∞)，使得f (x 1)·f (x 2)=1．求a 的取值范 围．20. 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ={0，1，2，…，q -1}，集合A ={x | x =x 1+x 2q +…+x n q n -1，x i ∈M ，i =1，2，…，n }(I)当q =2，n =3时，用列举法表示集合A ；(II)设s ，t ∈A ，s =a 1+a 2q +…+a n q n -1，t =b 1+b 2q +…+b n q n -1，其中a i ，b i ∈M ，i =1，2，…， n ．证明：若a n ＜b n ，则s ＜t ．2014高考数学天津【文】参考答案一．选择题1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C二．填空题9．60 10．20π311．－4 12．(－∞，0)13．214．(1，2)三．解答题15．(I)解：从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种．(II)解：选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为 {A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种． 因此，事件M 发生的概率62()155P M ==．16．(I)解：在△ABC 中，由sin sin b cB C=，及sin B C ，可得b =．又由a c -=，有a =2c ．所以222222cos 2bc a A bc +-===(II)解：在△ABC中，由cos A =sin A =， 于是，21cos22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A =⋅=，所以πππcos 2cos2cos sin 2sin 666A A A ⎛⎫-=⋅+⋅= ⎪⎝⎭17．(I)证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ，因为F 为PC 中点，故MF ∥BC ，且12M F B C =．由已知有BC ∥AD ，BC =AD ．又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE ，且MF =AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB ． (II)(i)证明：连接PE ，BE ．因为P A =PD ，BA =BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ．所以∠PEB 为二面角P －D －B 的平面角．在△P AD 中，由P A =PDAD =2，可解得PE =2．在△ABD 中，由BA =BD，AD =2，可解得BE =1．在△PEB 中，PE =2，BE =1，∠PEB =60°，由余弦定理，可解得PBPBE =90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ．又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD ．(ii)解：连接BF ．由(i)知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由PB ，得∠ABP为直角．而12MB PB ==AM =，故EF =． 又BE =1，故在直角三角形EBF中，sin BE EFB EF ∠== 所以，直线EF 与平面PBC18．(I)解：设椭圆右焦点F 2(c ，0)．由12AB F =，可得a 2＋b 2=3c 2， 又b 2=a 2－c 2，则2212c a =．所以椭圆的离心率e =．(II)解：由(I)知a 2=2c 2，b 2=c 2，故椭圆方程为222212x y c c+=．C设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有1F P =(x 0＋c ，y 0)，1F B =(c ，c )． 由已知有，110F P F B ⋅=，即(x 0＋c )c ＋y 0c =0，又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c =0 ①因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=②由①和②可得3x 02＋4cx 0=0．而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则1402323c x c -+==-，12323c cy c +==，进而圆的半径为r =． 由已知，有|TF 2|2=|MF 2|2＋r 2，又2||MF =，故有22222508339c c c c ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得c 2=3．所以，所求椭圆的方程为22163x y +=．19．(I)解：由已知，有f ′(x )=2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )=0，解得x =0或1x a=． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；单调递减区间是(－∞，0)，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．当x =0时，f (x )有极小值，且极小值为f (0)=0； 当1x a =时，f (x )有极大值，且极大值为2113f a a⎛⎫= ⎪⎝⎭． (II)解：由f (0)=32f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0及(I)知，当30,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f (x )＞0；当3,2xa⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，f(x)＜0．设集合A={f(x)｜x∈(2，＋∞)}，集合B=1(1,),()0 ()x f xf x⎧⎫⎪⎪∈+∞≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭．则“对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)=1”等价于A⊆B，显然0∉B．下面分三种情况讨论：(1)当322a>，即34a<<时，由32fa⎛⎫=⎪⎝⎭可知，0∈A，而0∉B，所以A不是B的子集．(2)当3122a≤≤，即3342a≤≤时，有(2)0f≤，且此时f(x)在(2，＋∞)上单调递减，故A=(－∞，f(2))，因而A⊆(－∞，0)；由f(1)≥0，有f(x)在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B．所以，A⊆B．(3)当312a<，即32a>时，有f(1)＜0，且此时f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故1,0(1)Bf⎛⎫= ⎪⎝⎭，A=(－∞，f(2))，所以A不是B的子集．综上，a的取值范围是33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．20．(I)解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x｜x=x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i=1，2，3}．可得，A={0，1，2，3，4，5，6，7}．(II)证明：由s，t∈A，s=a1＋a2q＋…＋a n q n-1，t=b1＋b2q＋…＋b n q n-1，a i，b i∈M，i=1，2，…，n及a n＜b n，可得s－t=(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n-1－b n-1)q n-2＋(a n－b n)q n-1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n-2－q n-1=11 (1)(1)1nn q qqq------=－1＜0．所以，s＜t．。

【全国高考数学试卷】2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，复数=++ii437（ ） A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+-（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 53.已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:（ ） A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有4.设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.21 D .21 6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④ 8.已知函数()3sin cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2πB.23πC.πD.2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数()3lg f x x =的单调递减区间是________.13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.14.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同） （1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin =（1）求A cos 的值； （2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1） 证明平面； （2） 若二面角P-AD-B 为，① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分） 设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19 （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈（1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围20（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-，（1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.精心整理资料，感谢使用！。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数734ii+=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i + D.172577i -+ 2.设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5 3.已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1xx e +>，则p ⌝为 A.00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤ B.00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤ C.0x ∀>，总有00(1)1x x e+≤ D.0x ∀≤，总有00(1)1x x e +≤4.设2log a π=，12log b π=，2c π-=，则A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c b a >>5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S 、2S 、4S 成等比数列，则1a =A.2B.-2C.21 D.21 6.已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 A.221520x y -= B.221205x y -= C.2233125100x y -= D.2233110025x y -= 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF ∠；②2FB FD FA =⋅；③AE CE BE DE ⋅=⋅；④AF BD AB BF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④ 8.已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>，x R ∈.在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为 A.2πB.23πC.πD.2π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数2()lg f x x =的单调递减区间是______________.13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AF ⋅=，则λ的值为________.14.已知函数2|54|(0)()2|2|(0)x x x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩.若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学A 、B 、C 和3名女同学X 、Y 、Z ，其年级情况如下表：一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）. ⑴用表中字母列举出所有可能的结果； ⑵设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知66a cb -=，sin 6sin B C =. ⑴求cos A 的值；⑵求cos(2)6A π-的值.17.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，2BA BD ==，2AD =，5PA PD ==，E 、F 分别是棱AD 、PC 的中点. ⑴证明：//EF 平面PAB ；⑵若二面角P AD B --为60︒， ①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ； ②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知123||||2AB F F =. ⑴求椭圆的离心率；⑵设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ，2||22MF =.求椭圆的方程.19.（本小题满分14分） 已知函数232()(0)3f x x ax a =->，x R ∈. ⑴求()f x 的单调区间和极值；⑵若对于任意的1(2x ∈，)+∞，都存在2(1x ∈，)+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.参考答案一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.A2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.60 10.320π11.-4 12.)0,(-∞ 13.2 14.(1,2)三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）16.（本小题满分13分）17.（本小题满分13分）(2)18.（本小题满分13分）19.（本小题满分14分）20.（本小题满分14分）。

x2014年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）数学（文史类）解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的某某、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么•圆锥的体积公式13V Sh =. ()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =.h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734i i（ ）（A ）1i （B ）1i （C ）17312525i （D ）172577i 解：73472525134343425i i i i i i i i，选（2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点1,1时，z 取得最小值3，选B. （3）已知命题p ：0x，总有11xx e ，则p 为（ ）（A ）00x ，使得011x x e （B ）00x ，使得011x x e（C ）0x ，总有11x x e （D ）0x，总有11xx e解：依题意知p 为：00x ，使得0011x x e ，选B.（4）设2log a，12log b，2c，则（ ）（A ）a b c （B ）b a c （C ）ac b （D ）c b a解：因为1a，0b ，01c，所以acb ，选C.（5）设n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a （ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S ，所以21112146a a a ，解得112a ，选D. （6）已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210yx，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y （C ）2233125100x y （D ）2233110025x y解：依题意得22225ba cc a b ，所以25a，220b ，选A.（7）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BDAB BF .FED CBA 则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ，又BFD AFB ，所以BFD ∽AFB ，所以BF BDAFAB， 即AF BD AB BF ，排除A 、C. 又FBDEACDBC ，排除B ，选D.（8）已知函数3sin cos f x x x0，x R ，在曲线y f x 与直线1y 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则f x 的最小正周期为（ ）（A ）2（B ）23（C ） （D ）2 解：因为2sin6f x x，所以1f x得1sin 62x， 所以266xk或5266xk ，k Z .因为相邻交点距离的最小值为3，所以233，2，T，选C.第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A，B互斥，那么•圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B=+其中S表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh=.h表示圆锥的高.其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i是虚数单位，复数734ii（）（A）1i （B）1i（C ）17312525i（D ）172577i（2）设变量x，y满足约束条件0,20,12,yx yyx+-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y=+的最小值为（）（A）2（B）3（C）4（D）5FED CBA （3）已知命题p ：0x，总有11xx e ，则p 为（ ）（A ）00x ，使得011x x e （B ）00x ，使得011x x e （C ）0x ，总有11xx e （D ）0x，总有11xx e（4）设2log a，12log b，2c，则（ ）（A ）a b c （B ）b a c （C ）a c b （D ）c b a（5）设n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a （ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12（6）已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y （B ）221205x y（C ）2233125100x y （D ）2233110025x y（7）如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CEBE DE ；④AF BD AB BF .则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ （8）已知函数3sin cos f xx x0，x R ，在曲线y f x 与直线1y 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则f x 的最小正周期为（ ）（A ）2（B ）23（C ） （D ）2 第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

x2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）解析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（ ）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-，选A （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B . （3）已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p Ø为（ ）（A ）00x $£，使得()0011xx e £+ （B ）00x $>，使得()0011xx e £+（C ）0x ">，总有()11x x e +£ （D ）0x "£，总有()11x x e +£ 解：依题意知p Ø为：00x $>，使得()0011xx e £+，选B .（4）设2log a p =，12log b p =，2c p -=，则（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> 解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选C .（5）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . （6）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：依题意得22225b ac c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，选A . （7）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA =?；③AE CEBE DE ??；④AF BD AB BF ??.ED CBA 则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ???，又BFDAFB ??，所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=， 即AF BD AB BF ??，排除A 、C . 又FBDEACDBC ???，排除B ，选D .（8）已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，x R Î，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()f x 的最小正周期为（ ） （A ）2p（B ）23p （C ）p （D ）2p解：因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫， 所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+，k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p，所以233p pw =，2w =，T p =，选C . 第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2014年天津高考文科数学真题及答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，复数=++ii 437（ ） A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+- （2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为（ ）A.2B. 3C. 4D. 53.已知命题为则总有p e x x p x ⌝>+>∀,1)1(,0:（ ）A.1)1(,0000≤+≤∃x ex x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x e x x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有 4.设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（ ）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >>5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ） A.2 B.-2 C.21 D .21 6.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（ ）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④8.已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（ ） A.2π B.23π C.π D.2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数()3lg f x x =的单调递减区间是________. 13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.（14）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.（16）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值；（2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B 为， ① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.（1） 求椭圆的离心率；（2） 设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19 （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围 20（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-， （1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t qa q a a s A t s 其中,,2,1,,n i Mb a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学试题答案与解析1. 解析 ()()()()7i 34i 7i2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-，故选A.2. 解析 由线性约束条件画出可行域（如图所示）.由2z x y =+，得1122y x z =-+，12z 的几何意义是直线1122y x z =-+在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线1122y x z =-+过点()1,1A 时，z 最小，最小值为3，故选B.3. 解析 命题p 为全称命题，所以p ⌝为00x ∃>，使得()001e 1x x +….故选B.4. 解析 因为π3>，所以2log π1a =>，12log π0b =<，2210π1πc -<==<，故a c b >>，选C.5. 解析 由题意知11S a =，2121S a =-，4146S a =-，因为1S ，2S ，4S ，成等比数列，所以2214S S S =⋅，即()()21112146a a a -=-，解得112a =-，故选D. 6. 解析 由题意知，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐进线为2y x =，所以2ba =，即224b a =，又双曲线的一个焦点是直线l 与x 轴的交点，所以该焦点的坐标为()5,0-，所以5c =，即2225a b +=，联立得2222425b a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得25a =，220b =，故双曲线的方程为221520x y -=，故选A. 7. 解析 由题意知F B D B A D ∠=∠，DBC DAC ∠=∠，BAD DAC ∠=∠，所以F B D D B C ∠=∠，故①正确；由切割线定理知②正确；易证ACE BDE △∽△，所以AE BECE DE=，所以③不正确；因为在ABF △和BDF △中，F B D B F A ∠=∠，BFD BFA ∠=∠，所以ABF BDF △∽△，所以AF ABBF BD=，所以AF BD AB BF ⋅=⋅，所以④正确.故选D.8.分析 本题考查三角函数值及图像变换，可利用三角函数图像的变换原理求解.解析 因为()cos f x x x ωω=+π=2sin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以可以将曲线2sin y x =向左平移π6个单位，再将所有点横坐标变为原来的1ω倍得到. 曲线()y f x =与直线1y =的交点横坐标即为方程π2sin 16x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解. 由图像变换原理知，又1sin 2x =相邻实数距离的最小值为5ππ2π663-=，5πππ663ωω-=，即2ω=，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.故选C. 评注 本题也可用推理法处理，令1ππ2π66x k ω+=+，k ∈Z ，得12πx k ω=⋅，k ∈Z ，再令2π5π2π66x k ω+=+，k ∈Z ，得22π2π3x k ωω=+⋅，k ∈Z .则12min 2ππ33x x ω-==，解得2ω=，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.故选C. 9. 解析 413003006045565⨯=⨯=+++（名）. 10. 解析 由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱构成的组合体，其体积为22120ππ22π1433⨯⨯+⨯⨯=3m . 11. 解析 3n =，()3028S =+-=-，121n -=>；()2824S =-+-=-，111n -=…，终止循环，故输出4S =-.12. 解析 ()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，lg y u =在()0,+∞上为增函数，2u x =在(),0-∞上递减，在()0,+∞上递增，故()f x 在(),0-∞上单调递减.13. 解析 如图，13AE AB BE AB BC =+=+uu u r uu u r uur uu u r uu u r ，11AF AD DF AD DC BC AB λλ=+=+=+uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r ，所以22111111333AE AF AB BC BC AB AB BC AB BC λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r144122cos120133λλ⎛⎫+⨯⨯⨯++= ⎪⎝⎭.解得2λ=.14.分析 本题考查函数的图像变换，零点问题，利用导函数秒杀.分段函数的零点问题，通常借助函数图象处理更快捷.解析 首先作函数()y f x =的图像，如图所示.当0x ≤时，函数()y f x =的图像是将抛物线254y x x =++在x 轴下方的部分沿x 轴对称到x 轴的上方，原x 轴上方，以及y 轴左侧的部分不变；当0x >时，只需将直线24y x =-在x 轴下方且y 轴右侧的部分沿着x 轴对称到x 轴的上方，原来x 轴上方的保持不变.其次要将()y f x a x =-恰有4个零点进行转化处理. 等价于方程()f x a x =恰有4个不等实根，又等价于曲线()y f x =与折线y a x =恰有4个公共点.又函数y a x =为偶函数，故需考虑折线y a x =与曲线()y f x =在y 轴两侧的交点个数.最后根据a 的取值，大致可以分成3类.① 当0a =时，0y =与曲线()y f x =有三个公共点，故不符合题意； ② 当0a <时，y a x =与曲线()y f x =无公共点，故不符合题意； ③ 当0a >时，设y a x =与曲线()y f x =相切于点P ，如图所示，易知方程254x x ax ---=-的()25160a ∆=--=，解得1a =或9a =（舍）.D当1a =时，1y x =与()y f x =在y 轴左侧有3个公共点，在y 轴右侧有2个公共点；当2a =时，22y x =与()y f x =在y 轴左侧有2在y 轴右侧有1个公共点.结合图像知，实数a 的取值范围为()1,2.15. 解析 （I ）从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A X ，{},A Y ，{},A Z ，{},B C ，{},B X ，{},B Y ，{},B Z ，{},C X ，{},C Y ，{},C Z ，{},X Y ，{},X Z ，{},Y Z ，共15种.（II ）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{},A Y ，{},A Z ，{},B X ，{},B Y ，{},B Z ，{},C X ，{},C Y ，共6种.因此，事件M 发生的概率()62155P M ==. 评注 本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 16. 解析 （I ）在ABC △中，由sin sin b cB C=，及sin B C =，可得b =.又由a c -=，有2a c =.所以，222222cos 2b c a A ab +-===（II ）在ABC △中，由cos 4A =，可得sin 4A =.于是，21cos 22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos 4A A A =⋅=. 所以，πππcos 2cos 2cos sin 2sin 6668A A A ⎛⎫-=⋅+= ⎪⎝⎭. 评注 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公x式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.17. 解析 （I ）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，故//MF BC且12MF BC =.由已知有//BC AD ，BC AD =.又由于E 为AD 中点，因而//MF AE 且MF AE =，故四边形AMFE 为平行四边形，所以//EF AM .又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以//EF 平面PAB .（II ）（i ）证明：连接PE ，BE .因为PA PD =，BA BD =，而E 为AD 中点，故PE AD ⊥，BE AD ⊥，所以PEB ∠为二面角P AD B --的平面角.在PAD △中，由PA=2AD =，可解得2PE =.在ABD △中，由BA=BD ，2AD =，可解得1BE =.在PEB △中，2PE =，1BE =，60PEB =∠，由余弦定理，可解得PB =，从而90PBE =∠，即BE PB ⊥.又//BC AD ，BE AD ⊥，从而BE BC ⊥，因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ，所以，平面PBC ⊥平面ABCD .（ii ）连接BF .由（i ）知，BE ⊥平面PBC ，所以EFB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角.由PB =及已知，得ABP ∠为直角.而12MB PB ==，可得AM =，故EF =，又1BE =，故在直角三角形EBF中，sin BE EFB EF ∠==.所以，直线EF 与平面PBC所成角的正弦值为11. 评注 本题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.MFECBAP18. 解析 （I ）设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F =，可得2223a b c +=，又222b ac =-，则2212c a =.所以，椭圆的离心率2e =.（II ）由（I ）知222a c =，22b c =.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -，()0,B c ，有()100,F P x c y =+uuu r ，()1,F B c c =uuu r.由已知，有110F P F B ⋅=uuu r uuu r，即()000x c c y c ++=.又0c ≠，故有000x y c ++=.①因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c+=②由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点，故043x c =-，代入①得03cy =，即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫-⎪⎝⎭. 该圆的圆心为()11,T x y ，则1402323c x c -+==-，12323ccy c +==，进而圆的半径r ==.由已知，有22222TF MF r =+，又2MF =22222508339c c c c ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23c =.所以，所求椭圆的方程为22163x y +=.评注 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.分析 本题考查导数、不等式恒成立与存在性问题.（1）利用导数求解函数的单调性，极值（最值）问题；（2）存在、任意问题与函数零点、单调性，值域之间的关系. 解析 （1）求导()()2'2221f x x ax x ax =-=-，x ∈R . 因为0a >，令()'0f x =，即()210x ax -=，解得10x =，21x a=. x 、()'f x 、()f x 的变化如下表：所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当0x =时，()f x 取得极小值为()00f =， 当1x a=时，()f x 取得极大值为222112133f a aa a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.（2）因为对于任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=， 所以任意的()12,x ∈+∞，()1f x 都不能为0， 结合（1）可知，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且()12103f x a =>，故12a ≥且()20f ≤，即16403a -≤，解得34a ≥. 此时()()()211,0f x f x =∈-∞. 对任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=， 需使得()(){},0,1y y f x x -∞⊆=>，即()231134f a =-≥，解得32a ≤. 综上，实数a 的取值范围是33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 评注 对含量词“任意∀”，“存在∃”的问题，关键在于将其等价转化为相关的单调性或极值（最值）问题.20 分析 本题考查数列与不等式.新定义与数列相关的集合问题，要理解集合中元素的性质特征.解析 （1）当2q =，3n =时，由题意{}0,1M =，12324x x x x =++，(),1,2,3i x M i ∈=. 则{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.（2）因为,s t A ∈，所以112+++n n a s a a q q -=()()11+1++n n q q q a q ---≤…()()1111+n n n q q qa q --=-+++… ()111=1+1n n n q q a q q-----11=1n n n q a q ---+()1=11n n a q -+-.1112+++n n n n t b b b q b q q --=≥，又,n n a b M ∈，且n n a b <，所以1n n b a +≥. 所以()()111111n n n n n n q q b a a q ---+>+-≥.即()1111n n n n q q t s b a -->-+≥≥，所以n n a b <，则s t <.。