2017-2018版高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积一学案北师大版必修4

2.5 从力做的功到向量的数量积整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.图1我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课 新知探究 提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a ,b ∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2A.b+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a .方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ＜2π时，cos θ＞0,从而a ·b ＞0;当2π＜θ≤π时,cos θ＜0,从而a ·b ＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bca =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .图3(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b)c=a (b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立. 讨论结果①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a .(交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律); (a .+b )·c =a ·c+b·c (分配律).③1°(a+b )2=(a +b )·(a +b )=a ·a +a .·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;2°(a .+b )·(a .-b )=a .·a .-a .·b +b ·a .-b ·b =a .2-b 2. 提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？ ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b|Cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量. 1°e ·a =a ·e =|a |cos θ. 2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |. 特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.4°cos θ=||||b a ba ∙. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.应用示例思路1例1 已知|a .|=3,|b |=4,且a 与b 的夹角θ=150°,求a ·b . 活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念. 解:a ·b =|a ||b |cos θ=3×4×c os150°=12×(-23)=-63. 点评:直接利用向量数量积的定义.例 2 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1,||=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°, 从而sin∠A.BC=23,sin∠BAC=21 ∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°. 故·+·+·=2×1×c os120°+1×3c os90°+3×2c os150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ). 解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a .·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×c os60°-6×42 =-72.例3 已知|a |=3,|b |=4,且a .与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k=±43 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a .-k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练(007海南三亚)设a 、b 、c 是非零向量,下列命题正确的是( ) A.(a .·b )·c =a .·(b ·c )B.|a .-b |2=|a .|2-2|a .||b |+|b |2C.若|a .|=|b |=|a .+b |,则a 与b 的夹角为60°D.若|a |=|b |=|a .-b |,则a .与b 的夹角为60°解析:设θ是a .和b 的夹角,∵|a |=|b |,∴|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2|a |2-2a ·b =|a |2. ∴cos θ=21. 又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°. 答案:D例4 在△A.BC 中,设边BC,CA.,A.B 的长度分别为a,b,c.证明a 2=b 2+c 2-2bcCosA., b 2=c 2+a 2-2cacosB, c 2=a 2+b 2-2acosC.图5证明:如右图,设=c ,=a ,=b ,则a 2=|a |2=||2=·=(AC -AB )·(AC -AB )=(b -c )·(b -c ) =b ·b +c ·c -2b ·c=|b |2+|c |2-2|b ||c |cosA. =b 2+c 2-2bccosA.同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.思路2 例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,CD =c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a .,试问四边形ABCD 的形状如何？ 解:∵+BC +CD +=0, 即a +b +c +d =0, ∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即A.B=CD,且BC=DA., ∴四边形A.BCD 是平行四边形. 故=-CD ,即a =-c . 又a ·b =b ·c =-a .·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,四边形ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的 A.BCD,若AB =a ,BC =b ,则CA =a +b ,DB =a -b 由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC=60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a .|,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2. ∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=-21|b |2-|b |2=-23|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(-21)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a .-b 〉=||||)(b a b b a b --∙,代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b .又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a .⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c ∴|c |2=n b ·c.由已知|c |2=16,b ·c =-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |c os120°=-4, ∴|b |·4·(-21)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b , ∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m.①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②，得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4. 例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.图6证明:菱形ABCD 中,=(如图6), 由于AC =AD +AB ,BD =AD -AB , 可得·BD =(AD +AB )·(AD -AB ) =(AD )2-(AB )2=|AD |2-|AB |2=0,所以⊥BD ，即菱形的两条对角线互相垂直.例4 已知单位向量e 1,e 2的夹角为60°,求向量a =e 1+e 2,b =e 2-2e 1的夹角. 解:由单位向量e 1、e 2的夹角为60°,得e 1·e 2=c os60°=21, 所以a ·b =(e 1+e 2)·(e 2-2e 1) =-2e 1·e 1-e 1·e 2+e 2·e 2 =-2-21+1=-23.① 又|a |2=|e 1+e 2|2=|e 1|2+2e 1·e 2+|e 2|2=3,|b |2=|e 2-2e 1|2=4|e 1|2-4e 1·e 2+|e 2|2=3, 所以|a |=|b |=3.②由①②可得cos θ=213323||||-=⨯-=∙b a b a 又0＜θ＜π,所以θ=120°. 知能训练课本本节练习1—5. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. 作业课本习题2—53、5.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.备课资料一、向量的向量积在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下: 两个向量a .与b 的向量积是一个新的向量c :(1)c 的模等于以a .及b 两个向量为边所作成的平行四边形的面积; (2)c 垂直于平行四边形所在的平面;(3)其指向使a .、b 、c 三向量成右手系——设想一个人站在c 处观看a .与b 时,a .按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b ，如图8.图8向量a 与b 的向量积记作a ×b .设a 与b 两个向量的夹角为θ,则|a .×b |=|a ||b |sin θ.在上面的定义中已默认了a 、b 为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则 a ×b =0.向量的向量积服从以下运算律: (1)a ×b =-b ×a ;(2)a ×(b +c )=a ×b +a ×c ; (3)(m a )×b =m(a ×b ). 二、备用习题1.已知a ,b ,c 是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为( ) ①|a ·b |=|a ||b ⇔|a ∥b ②a 与b 反向⇔a ·b =-|a ||b | ③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b | ④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |A..1B.2C.3D.4 2.有下列四个命题:①在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 是锐角三角形; ②在△ABC 中,若AB ·＞0,则△ABC 为钝角三角形; ③△ABC 为直角三角形的充要条件是·=0; ④△ABC 为斜三角形的充要条件是·BC ≠0.其中为真命题的是( )A..①B.②C.③D.④ 3.设|a |=8,e 为单位向量,a 与e 的夹角为60°,则a 在e 方向上的投影为( ) A..43 B.4 C.42D.8+23 4.设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:①(a ·b )c -(c ·a .)b =0;②|a |-|b |＜|a .-b |;③(b ·c )a -(c ·a )b 不与c 垂直;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2. 其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.②④ 5.在△A.BC 中,设=b ,AC =c ,则22)(|)||(|c b c b ∙-等于( ) A..0 B.21S △ABC C.S △ABC D.2S △ABC 6.设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量,且a =(m+1)i -3j ,b =i +(m-1)j ,如果(a +b )⊥(a -b ),则实数m=_____________. 7.若向量a ,b ,c 满足a +b +c =0,且|a |=3,|b |=1,|c |=4,则a ·b +b ·c +c ·a =________________.8.设|a |=3,|b |=4,a .与b 的夹角为150°,求: (1)(a -3b )·(2a +b ); (2)|3a -4b |.9.已知|a |=2,|b |=3,a 与b 的夹角为45°,且向量λa +b 与a +λb 的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.解：已知|a |=2,|b |=1,a 与b 的夹角为3π,求向量m =2a +b 与n =a -4b 的夹角的余弦值.解答:1.C2.B3.B4.D5.D6.-27.-138.(1)-30+303;(2)3144337+. 9.{λ|λ＜6851168511+->--λ或}. 10.解：由向量的数量积的定义,得a ·b =2×1×cos3π=1. ∵m =2a +b ,∴m 2=4a .2+b 2+4a .·b =4×4+1+4×1=21.∴|m |=21. 又∵n =a -4b ,∴n 2=a .2+16b 2-8a .·b =4+16-8=12. ∴|n |=23.设m 与n 的夹角为θ,则m ·n =|m ||n |cos θ.①又m ·n =2a 2-7a ·b -4b 2=2×4-7-4=-3.把m ·n =-3,|m|=21,|n |=23代入①式,得-3=21×23cos θ, ∴cos θ=-147,即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为-147.。

从力做的功到向量的数量积班级 姓名 组号【学习目标】1理解平面向量的数量积定义及其几何意义；2.理解并掌握平面向量数量积的性质及运算律；【学习重点】数量积的定义和性质【学习难点】投影概念的理解【学习过程】一、预习自学（阅读书第93页—95页练习以前内容，思考回答下列问题）1.平面向量数量积（内积）的定义：2．作图说明a 在b 方向上的“投影”的概念，并写出它的表达式。

3.向量的数量积的几何意义：4．说一说数量积的性质，为什么？设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1eb =b e = 2 a b a b = 3 当a 与同向时，a = 当a 与反向时，a= 特别的aa = |a |2或a a a ⋅=|| 4 cos = 5 |ab | ≤ |a ||b |，当且仅当 时等号成立。

5、向量有哪些数量积的运算律？二、合作探究（深化理解）探究1．已知｜a ｜＝３，｜｜＝６，当①a ∥，②a ⊥，③a 与的夹角是60°时，分别求a ·.探究2：已知︱a ︱=6，︱︱=4, a 与的夹角为60°，求（a +2 ）·（a -3）探究3：证明：（1）(a +)2=a 2+2a ·+2（2）(a +b )·(a -b )= a 2—b 2探究4：.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，求向量m =a -4b 的模。

三、达标检测1 .已知|a |=5， ||=4， a 与的夹角θ=120o ，求a ·.2. 已知|a |=6， ||=4，a 与的夹角为60o求(a +2)·(a -3).3 .已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a +k b 与a -k b 互相垂直.4.已知|a |=1，||=2，(1)若a ∥，求a ·；(2)若a 、的夹角为６０°，求|a +|；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.。

[核心必知]1．平面向量数量积的概念(1)向量的夹角a和b，如图所示，作AOB＝θ叫作向量a与b(2)规定：零向量与任一向量垂直．(3)向量b在a方向上的射影①定义：如图，＝a，＝b，过点B作BB1⊥OA于点B1则OB1＝|b|cos θ.|b|cos_θ叫作向量b在a方向上的射影．②数值特征：续表(4)向量的数量积2.数量积的性质(1)若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos_θ．(2)若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b.通常记作a⊥b⇔a·b＝0．(3)|a|(4)cos θ＝a·b|a||b|(|a||b|≠0)(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.当且仅当a∥b时等号成立．3．数量积的运算律若给定向量a，b，c和实数λ，则数量积满足：(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘向量结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．[问题思考]1．向量b 在a 方向上的射影仍是一个向量，对吗？提示：不对．向量b 在a 方向上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于两向量夹角θ的取值范围．2．两向量a 与b 的数量积是一个向量，对吗？提示：不对．向量的数量积是一个实数，其值可正，可负，可以为0.讲一讲1．已知向量a 与b 的夹角θ＝120°，且|a |＝4，|b |＝2，求 (1)a ·(－b )；(2)(a －2b )·(a ＋b )[尝试解答] (1)∵向量a 与b 的夹角θ＝120°， ∴向量a 与－b 的夹角为180°－θ＝60°. ∴a ·(－b )＝|a |·|b |·cos 60°＝4·2·12＝4.(2)(a －2b )·(a ＋b ) ＝a 2＋a ·b －2b ·a －2b 2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝42－4×2×cos 120°－2×22＝12.1．求两向量数量积的一般步骤是： (1)求向量a 与b 的夹角θ； (2)分别求|a |，|b |； (3)计算a ·b ＝|a ||b |cos θ.2．对于形如本讲(2)的数量积运算，类似于多项式的乘法运算，但注意展开时两向量的“积”为数量积，需用“·”连接，不能写成ab 或a ×b .练一练1．[多维思考] 在本讲的条件不变的情况下，求： (1)(a －b )2；(2)(a ＋2b )·(a －3b )． 解：(1)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a |·|b |cos 120°＋|b |2＝42－2×4×2×(－12)＋22＝28.(2)(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－3a ·b ＋2b ·a －6b 2＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a |·|b |×cos 120°－6|b |2＝42－4×2×(－12)－6×22＝－4.讲一讲2．已知|a |＝|b |＝2，(1)若a ·b ＝22，试求a 与b 的夹角； (2)若a 与b 的夹角为150°，试求|a ＋b |. [尝试解答] (1)设a 与b 的夹角为θ，则：cos θ＝a ·b |a ||b |＝222·2＝22.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. (2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a |·|b |cos 150°＋|b |2＝22＋2×2×2×(－32)＋22＝8－4 3. ∴|a ＋b |＝8－43＝6－ 2.1．求向量的夹角主要是利用数量积的变形公式cos θ＝a ·b|a ||b |.求解时应抓住两个“积”考虑，一是数量积a ·b ，二是模的积|a ||b |，同时注意向量夹角的取值范围是[0，π]．2．求向量的长度，关键是合理运用性质|a |＝a 2，以及数量积公式a ·b ＝|a |·|b |cos θ. 练一练2. 已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．∵|a |＝|b |＝|a －b |.∴△OAB 是等边三角形，设其边长为m . 则a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos 60° ＝m 2＋12m 2＝32m 2.|a ||a ＋b |＝m （a ＋b ）2＝m a 2＋2a ·b ＋b 2＝m |a |2＋2|a ||b |cos 60°＋|b |2＝mm 2＋2m 2×12＋m 2＝3m 2.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a ||a ＋b |＝32m 23m2＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.讲一讲3．已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 垂直？ [尝试解答] ∵(a ＋k b )⊥(a －k b )，∴(a ＋k b )·(a －k b )＝0，∴a 2－(k b )2＝0，即|a |2－k 2|b |2＝0， 又|a |＝3，|b |＝4， ∴9－16k 2＝0，得k ＝±34，∴当k ＝±34时，向量a ＋k b 与a －k b 垂直．有关向量的垂直问题是向量数量积的重要应用之一，解决该类问题主要运用性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0，同时注意运算时要正确把握向量数量积的运算律．练一练3．已知a ，b 是非零向量，且满足(3a －b )⊥a ，(4a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角是( ) A.56π B.23π C.π3 D.π6解析：选D 设a 与b 的夹角为θ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧（3a －b ）·a ＝0，（4a －b ）·b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧3|a |2－a ·b ＝0，4a ·b －|b |2＝0，∴|a |＝13a ·b ，|b |＝2a ·b . ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝3a ·b 2a ·b ＝32. ∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.设正三角形ABC 的边长为2，＝b ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .[错解] ∵△ABC 为正三角形，且边长为 2. ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝|a |·|b cos 60°＋|b ||c |cos 60°＋|c |·|a |cos 60° ＝3×(2)2×12＝3.[错因] 错解在于未正确理解向量夹角的含义，向量a 与b 、b 与c ，c 与a 的起点均不同，所以它们夹角并非60°，应是120°.[正解] ∵△ABC 为正三角形，边长为2， ∴向量a 与b ，b 与c ，c 与a 的夹角均为120°. |a |＝|b |＝|c |＝2， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝3a ·b ＝3|a ||b |cos 120° ＝3×(2)2×(－12)＝－3.1．设向量a ·b ＝40，|b |＝10，a 在b 方向上的射影为( ) A ．4 B ．4 3 C ．4 2 D ．8＋32解析：选A ∵a ·b ＝|a ||b |cos θ， ∴a 在b 方向上的射影． |a |cos θ＝a ·b |b |＝4010＝4. 2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝ ( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.3．若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72 D.72解析：选 C a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋4e 1·e 2－3e 1·e 2＋2e 22＝－6|e 1|2＋|e 1||e 2|cos π3＋2|e 2|2＝－6＋12＋2＝－72.4．(新课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝________.答案：25．(全国新课标)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________． 解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0， ∴|b |＝32(负值舍去)． 答案：3 26．已知|a |＝1，|b |＝2，设a 与b 的夹角为θ. (1)若θ＝π3，求|a －b |；(2)若a 与a ＋b 垂直，求θ. 解：(1)∵|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 21＝|a |2－2|a ||b |cos π3＋|b |2＝1－22×12＋2＝3－ 2∴|a －b |＝3－ 2. (2)若a 与a ＋b 垂直，则a ·(a ＋b )＝0，∴a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－|a |2＝－1. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－11×2＝－22.∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝135°.一、选择题1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的射影是32，则a ·b ＝( )A ．3 B.92C ．2 D.12解析：选B 设a ，b 的夹角为θ(0≤θ≤π) 依题意，|a |cos θ＝32，而|b |＝3.∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×32＝92.2．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.7解析：选B ∵|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 21＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝1－4×12＋4＝3，∴|a ＋2b |＝ 3.3．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：选C 设向量a 与向量b 的夹角为θ(0≤θ≤π)， 由条件得a ·b －a 2＝2，所以a ·b ＝2＋a 2＝3＝|a ||b |cos θ＝1×6×cos θ， 所以cos θ＝12，又因为0≤θ≤π， 所以θ＝π3.4．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析：选D ∵a ⊥c ， ∴a ·c ＝0. ∵a ∥b ， ∴b ⊥c . ∴b ·c ＝0，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2b ·c ＝0. 二、填空题5．已知|a |＝1，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝________． 解析：由|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2得16＝1－2a ·b ＋9，2a ·b ＝－6 ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－6＋9＝4 |a ＋b |＝2. 答案：26．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，且|2a ＋b |＝10，则向量a 与a －2b 的夹角为________．解析：由|2a ＋b |＝10得，4|a 2|＋4a ·b ＋|b |2＝10，∴4·12＋4a ·b ＋22＝10，∴a ·b ＝12， ∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝1－2×12＝0. 故a ⊥(a －2b )，即a 与a －2b 的夹角为90°.答案：90°7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________．解析：∵a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝k ＋(1－2k )×1×1×cos 2π3－2 ＝2k －52＝0， ∴k ＝54. 答案：548．设a ，b ，c 是三个任意的非零向量，且互不平行，以下四个命题：①|a |＋|b |>|a ＋b |；②若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；③向量a ，b 满足：a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；④若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影长．其中正确的命题是________(填序号)解析：①正确，根据三角形两边之和大于第三边；②错误，由a ≠0，a ·b ＝0可得b ＝0或a ⊥b ；③错误，a ·b >0时a 与b 可以同向；④错误，|b |cos θ表示b 在a 方向上的射影，不是长度，故正确的个数只有1个．答案：①三、解答题9．已知|a |＝3，|b |＝4，且(a ＋2b )·(2a －b )≥4，求a 与b 的夹角θ的范围．解：由(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝2×32－2×42＋3a ·b ≥4得a ·b ≥6，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b 3×4≥63×4＝12. 又θ∈[0，π]，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3. 10．已知a ⊥b ，且|a |＝2，|b |＝1，若有两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．解：∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，又由已知得[a ＋(t －3)b ]·[－k a ＋t b ]＝0，∴－k a 2＋t (t －3)b 2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴－4k ＋t (t －3)＝0.∴k ＝14(t 2－3t ) ＝14(t －32)2－916(t ≠0)． 故当t ＝32时，k 取最小值－916.。

2.5 从力做的功到向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 和向量b 的____．(2)范围：_______.(3)规定：零向量与任意向量____． 预习交流1若向量预习交流2在等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是__________，AC →与CB →的夹角是__________． 2．向量的数量积(或内积) (1)定义：________叫作向量a 和b 的数量积，记作a·b ，即______＝__________.(2)几何意义：a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影______的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影______的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积______． 预习交流3若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( )．A ．12B ．12 2C ．－12 2D ．－12 3．向量数量积的性质(1)a·a ＝|a |2；(2)若e 1，e 2是单位向量，则e 1·e 2＝__________＝____； (3)若e 是单位向量，则e ·a ＝______＝________； (4)a ⊥b ⇔________；(5)____＝a ·a ；(6)cos θ＝________(|a ||b |≠0)；(7)对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |__|a ||b |，当且仅当a ∥b 时____成立． 预习交流4(1)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 夹角的大小为__________； (2)a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝__________. 4．向量数量积的运算满足以下运算律 给定向量a ，b ，c 和实数λ，有 (1)交换律：__________.(2)分配律：________________.(3)数乘以向量的数量积，可以与一个向量交换结合，即对任意实数λ，有(λa )·b ＝________＝________.预习交流5(1)a ·b ＝b·c ⇒a ＝c ，上述推理正确吗？为什么？ (2)向量数量积的运算适合乘法结合律吗？为什么？答案：1．(1)夹角 (2)[0°，180°] (3)垂直 预习交流1：同向 垂直 反向 预习交流2：120° 120°2．(1)|a ||b |cos θ a·b |a ||b |cos θ (2)|b |cos θ |a |cos θ (3)F·s预习交流3：C 解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－12 2.3．(2)|e 1||e 2|cos θ cos θ (3)a ·e |a |cos θ (4)a ·b ＝0 (5)|a | (6)a ·b |a ||b |(7)≤ 等号 预习交流4：(1)120° (2)74．(1)a ·b ＝b·a (2)a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c (3)λ(a·b ) a ·(λb )预习交流5：(1)提示：若a ，b ，c 为实数，当b ≠0时，ab ＝bc ⇒a ＝c ，但对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b ＝b·cD ⇒/a ＝c .由下图很容易看出，虽然a·b ＝b·c ，但a≠c .(2)提示：对实数a ，b ，c 而言，(ab )c ＝a (bc )；但对向量a ，b ，c 而言，(a·b )c ＝a (b·c )未必成立，这是因为(a·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a·b )c ＝a (b·c )未必成立．1．向量数量积的定义及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a·b ；(2)求a 在b 上的射影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a·b 及a 在b 上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．(1)在题设不变的情况下，求b 在a 上的射影；(2)把“a 与b 的夹角θ＝120°”换成“a ∥b ”，求a·b .(1)数量积的符号同夹角的关系：①若a·b >0⇔θ为锐角或零角；②若a·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；③若a·b ＜0⇔θ为钝角或平角． (2)求平面向量数量积的方法①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b ＝|a||b|cos θ. ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求a·b . 2．平面向量数量积的运算若向量a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值．思路分析：先由已知条件分析出a ，b ，c 的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．1．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，则a ·a ＋a ·b ＝__________. 2．(2012·吉林实验中学一模，13)已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )＝__________.向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a 2＝|a |2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3．求向量的模(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( )． A ．0B ．2 2C ．4D ．8(2)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a ＋2b |.思路分析：(1)要求|2a －b |，利用|2a －b |＝a －b 2求解； (2)先求出a ·b 的值，由于|a ＋b |＝a ＋b 2，|a ＋2b |＝a ＋2b2，利用数量积中的完全平方公式展开求解．已知平面向量a ，b ，|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －2b )，求|3a ＋b|，|a －2b|.求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系要灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方．(2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．4．求向量的夹角问题已知|a|＝1，a·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值．思路分析：(1)由(a －b )和(a ＋b )的数量积可得出|a|，|b|的关系； (2)计算a －b 和a ＋b 的模．1．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为__________．2．已知非零向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|. 求：(1)a 与a ＋b 的夹角； (2)a 与a －b 的夹角．求向量夹角问题要利用数量积的变形公式cos θ＝a·b|a||b|，一般要求两个整体a·b ，|a|·|b|，不方便求出的，可寻求两者关系，转化条件解方程组，利用向量的几何意义简捷直观，另外本题还可以利用坐标形式解决．5．解决有关垂直问题已知a ⊥b ，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k ，t ，使得a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直，试求k 的最小值．思路分析：由a ⊥b 知，a·b ＝0.由a ＋(t －3)b 与－k a ＋t b 垂直知，[a ＋(t －3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.解决本题可先通过向量运算将k 表示出来，通过建立k 与t 的函数关系式，进而求出函数k 的最小值．已知a ，b 是两个非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，试求a 与b 的夹角θ.非零向量a ⊥b ⇔a ·b ＝0是非常重要的性质，它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．答案：活动与探究1：解：(1)a·b ＝|a||b|·cos θ＝5×4×cos 120°＝－10；(2)a 在b 上的射影为|a |·cos θ＝a·b |b|＝－104＝－52.迁移与应用：解：(1)b 在a 上的射影为|b |cos θ＝a·b |a|＝－105＝－2；(2)∵a ∥b ，∴a 与b 的夹角θ＝0°或180°. 当θ＝0°时，a·b ＝|a||b|cos 0°＝20.当θ＝180°时，a·b ＝|a||b|cos 180°＝－20.活动与探究2：解：方法一：由已知得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，所以有a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝3cos 0°＋4cos 180°＋12cos 180° ＝3－4－12＝－13.方法二：∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝(a ＋b ＋c )2－(a 2＋b 2＋c 2)2＝0－(32＋12＋42)2＝－13.迁移与应用：1.1＋22 解析：a ·a ＋a ·b ＝1＋1×1×cos 45°＝1＋22. 2．0 解析：b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋b 2＝2|a ||b |cos 120°＋|b |2＝2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋42＝－16＋16＝0.活动与探究3：(1)B 解析：|2a －b |＝(2a －b )2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4－4×0＋4＝2 2.(2)解：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b＝25＋25＋25＝5 3.|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝25＋4×252＋4×25＝175＝57.迁移与应用：解：∵a⊥(a －2b )， ∴a·(a －2b )＝0，∴a 2－2a·b ＝0，∴a·b ＝12.|3a ＋b|＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a·b ＋b 2＝9×1＋6×12＋4＝4.|a －2b|＝(a －2b )2＝a 2－4a·b ＋4b 2＝12－4×12＋4×22＝15.活动与探究4：解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝12，又|a |＝1，∴|b |2＝12，∴|b |＝22.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝121×22＝22，∴θ＝45°.∴a与b的夹角为45°.(2)|a－b|＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝22，|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝102.设a－b与a＋b的夹角为φ，则cos φ＝(a－b)·(a＋b)|a－b||a＋b|＝1222×102＝55.∴a －b与a＋b 的夹角的余弦值为55.迁移与应用：1.135°解析：设夹角为θ，∵a·(a＋b)＝1，∴|a|2＋a·b＝1，即2＋2×1×cos θ＝1，∴cos θ＝－22，∴a，b的夹角为135°.2. 解：如下图所示，在平面内取一点O，作OA=a，OB =b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，使|OA|=|OB|，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时OC=a+b，BA=a-b.(1)由于|a|=|b|=|a+b|，即|OA|=|AC|=|OC|，所以∠AOC=60°，即a与a+b的夹角为60°.(2)∵∠AOC=60°，∴∠AOB=120°.又|OA|=|OB|，∴∠OAB=30°，即a与a-b的夹角为30°.活动与探究5：解：∵a⊥b，∴a·b＝0.又a＋(t－3)b与－k a＋t b垂直，∴[a＋(t－3)b]·(－k a＋t b)＝0.∴－k a2＋t a·b＋(t－3)(－k)a·b＋(t－3)t b2＝0，∴－4k＋(t－3)t＝0.∴k＝14(t2－3t)＝14⎝⎛⎭⎪⎫t－322－916(t≠0)．∴当t＝32时，k取最小值－916.迁移与应用：解：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋3b )·(7a －5b )＝0，(a －4b )·(7a －2b )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0.①②由①－②得46a ·b －23b 2＝0，即2a ·b ＝b 2，代入①式得a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b2b 2＝12.∴θ＝60°.1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为150°，则m·n ＝( )．A ．12B ．12 3C ．－12 3D ．－122．已知|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角为( )．A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°3．(2012·辽宁高考，理3)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )．A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b4．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋3b |＝__________.5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，D 是BC 的中点，则AD →·BC →＝__________.答案：1．C 解析：m·n ＝|m||n|·cos 150°＝4×6×cos 150°＝－12 3. 2．B 解析：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°.3．B 解析：|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，即2a ·b ＝－2a ·b ，所以a ·b ＝0，a ⊥b .故选B.4.43 解析：∵|a ＋3b |2＝a 2＋2a ·3b ＋9b 2＝1＋6×1×2×cos 60°＋9×4＝43， ∴|a ＋3b |＝43. 5.52 解析：由已知得AD ＝12(AB ＋AC )，BC ＝AC －AB ， ∴AD ·BC ＝12(AB ＋AC )· (AC －AB )＝12(|AC |2－|AB |2)＝12(9－4)＝52.。

5 从力做的功到向量的数量积(二)学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2。

会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确．运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a结合律（ab）c＝a(bc)（a·b)c＝a （b·c)分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b）·c＝a·c＋b·c消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·c(b≠0）⇒a＝c知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质．多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2（a－b)2＝a2－2ab＋b2(a＋b）（a－b）＝a2－b2（a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca梳理与多次式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0,则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b）c＝a（b·c);④a·［b(a·c）－c(a·b）］＝0,其中正确结论的序号是________．反思与感悟向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系,同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律．跟踪训练1设a，b,c是任意的非零向量，且互不平行，给出以下说法：①（a·b）·c－（c·a）·b＝0;②（b·c）·a－(c·a)·b不与c垂直；③（3a＋2b）·(3a－2b）＝9｜a｜2－4|b｜2.其中正确的是________．（填序号）类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1已知向量垂直求参数值例2已知两个单位向量a,b的夹角为60°，c＝t a＋（1－t)·b，且b⊥c，则t＝________________。

第二章 5.1A 组·素养自测一、选择题1．已知△ABC 中,AB →＝a ,AC →＝b ,若a ·b <0,则△ABC 是( A ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．任意三角形[解析] 由a ·b <0易知〈a ,b 〉为钝角．2．对于向量a 、b 、c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A ．若a ·b ＝0,则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0,则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2,则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ,则b ＝c[解析] A 中,若a ·b ＝0,则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ,故A 错；C 中,若a 2＝b 2,则|a |＝|b |,C 错；D 中,若a ·b ＝a ·c ,则可能有a ⊥b ,a ⊥c ,但b ≠c ,故只有选项B 正确,故选B ．3．若向量a 与b 的夹角为60°,|b |＝4,(a ＋2b )·(a －3b )＝－72,则|a |＝( C ) A ．2 B ．4 C ．6D ．12[解析] ∵(a ＋2b )·(a －3b )＝－72, ∴a 2－a ·b －6b 2＝－72.∴|a |2－|a ||b |cos 60°－6|b |2＝－72. ∴|a |2－2|a |－24＝0.又∵|a |≥0,∴|a |＝6.4．已知非零向量a ,b 满足|b |＝4|a |,且a ⊥(2a ＋b ),则a 与b 的夹角为( C ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6[解析] 由题意,得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0,即a ·b ＝－2a 2,所以cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12,所以〈a ,b 〉＝2π3,故选C ． 5．(多选)下列命题中正确的是( ACD ) A ．对于任意向量a 、b ,有|a ＋b |≤|a |＋|b | B ．(a ·b )2＝a 2·b 2C ．对于任意向量a ·b ,有|a ·b |≤|a ||b |D ．若a 、b 共线,则a ·b ＝±|a ||b |[解析] (a ·b )2＝(|a ||b |cos 〈a ,b 〉)2＝a 2·b 2cos 2〈a ,b 〉≤a 2·b 2,故B 错误,A,C,D 均正确．6．P 是△ABC 所在平面上一点,若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →,则P 是△ABC 的( D ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心[解析] 由PA →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(PA →－PC →)＝0,即PB →·CA →＝0,∴PB ⊥CA ． 同理PA ⊥BC ,PC ⊥AB ,∴P 为△ABC 的垂心． 二、填空题7．已知e 1,e 2是夹角为2π3的两个单位向量,a ＝e 1－2e 2,b ＝k e 1＋e 2,若a ·b ＝0,则实数k的值为 54.[解析] 由a ·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理,得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0,解得k ＝54.8．(2020·全国Ⅰ卷理)设a ,b 为单位向量,且|a ＋b |＝1,则|a －b |＝ 3 . [解析] 因为a ,b 为单位向量,所以|a |＝|b |＝1, 所以|a ＋b |＝a ＋b 2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝2＋2a ·b ＝1,解得2a ·b ＝－1, 所以|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝ 3.9．已知向量a ,b ,其中|a |＝2,|b |＝2,且(a －b )⊥a ,则|2a －b |＝ 2 . [解析] 设向量b 和a 的夹角是α, 因为|a |＝2,|b |＝2,且(a －b )⊥a , 所以(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝2－a ·b ＝2－22cos α＝0,所以cos α＝22, 所以|2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝8＋4－4×2×2×22＝4,故|2a －b |＝2. 三、解答题10．已知|a |＝4,|b |＝3,(2a －3b )·(2a ＋b )＝61． (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |.[解析] (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61,得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61．将|a |＝4,|b |＝3代入上式求得a ·b ＝－6,所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又θ∈[0,π],所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13,所以|a ＋b |＝13.B 组·素养提升一、选择题1．定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ,其中θ为向量a 与b 的夹角,若|a |＝2,|b |＝5,a ·b ＝－6,则|a ×b |等于( B )A ．－8B ．8C ．－8或8D ．6[解析] 由|a |＝2,|b |＝5,a ·b ＝－6,得cos θ＝－35,sin θ＝45,∴|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ＝2×5×45＝8.2．(2020·全国Ⅰ卷)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP →·AB →的取值范围是( A )A ．(－2,6)B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6)[解析] 如图,AB →的模为2,根据正六边形的特征,可以得到AP →在AB →方向上的投影的取值范围是(－1,3),结合向量数量积的定义式, 可知AP →·AB →等于AB →的模与AP →在AB →方向上的投影的乘积, 所以AP →·AB →的取值范围是(－2,6), 故选A ．3．已知△ABC 中,若AB → 2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →,则△ABC 是( C ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形[解析] 解法1：由AB → 2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →,得AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →), 即AB →·CB →＝BC →·BC →,∴AB →·BC →＋BC →·BC →＝0, ∴BC →·(AB →＋BC →)＝0,则BC →·AC →＝0,即BC →⊥AC →, 所以△ABC 是直角三角形,故选C ．解法2：由条件得AB →2＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →, ∴CA →·CB →＝0,∴CA →⊥CB →.4．(多选)设a ,b ,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则有( BD ) A ．(a ·b )c －(c ·a )b ＝0 B ．|a |－|b |<|a －b |C ．(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直D ．(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2[解析] 由于b ,c 不共线,因此(a ·b )c 不一定等于(c ·a )b ,只有在a ⊥b 且a ⊥c 时,等式才成立,故A 错误；由三角形的三边关系知B 正确；由于[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0,即(b ·c )a －(c ·a )b 与c 垂直,故C 错；根据向量数量积的运算可知D 正确．二、填空题5．若非零向量a ,b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |,则a 与b 夹角的余弦值为 －13 .[解析] ∵|a |＝3|b |＝|a ＋2b |,∴|a |2＝9|b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b , ∴a ·b ＝－|b |2,∴cos 〈a ,b 〉＝a ·b |a ||b |＝－|b |23|b |·|b |＝－13.6．如图所示,已知圆O 为△ABC 的外接圆,AB ＝6,BC ＝7,CA ＝8,则OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝ －1492.[解析] OA →·AB →＝|OA →||AB →|cos(180°－∠BAO ), ∵|OA →|cos(180°－∠BAO )＝－|OA →|cos ∠BAO＝－12|AB →|,∴OA →·AB →＝－12|AB →|2,同理,OB →·BC →＝－12|BC →|2,OC →·CA →＝－12|CA →|2,∴OA →·AB →＋OB →·BC →＋OC →·CA →＝－12×(62＋72＋82)＝－1492.三、解答题7．已知|m |＝3,|n |＝5,(3m ＋2n )·(2m －n )＝－2. (1)求|m ＋n |；(2)求向量m 在向量m ＋n 方向上的投影向量的长度． [解析] (1)∵(3m ＋2n )·(2m －n )＝－2, ∴6m 2＋m ·n －2n 2＝－2, ∵|m |＝3,|n |＝5,∴m ·n ＝－6. ∴|m ＋n |＝|m |2＋|n |2＋2m ·n ＝32＋52＋2×－6 ＝22.(2)∵m ·(m ＋n )＝m 2＋m ·n ＝9－6＝3, ∴向量m 在向量m ＋n 上的投影向量的长度为m ·m ＋n |m ＋n |＝322＝32222.8．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,以点A 为圆心,r 为半径作圆,如图所示,其中PQ 为圆A 的直径,试判断P ,Q 在什么位置时,BP →·CQ →有最大值．[解析] ∵BP →＝AP →－AB →,CQ →＝CA →－QA →＝－AC →－AP →, ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(－AC →－AP →) ＝(－AP →·AC →)＋AB →·AC →－AP →2＋AB →·AP → ＝AB →·AC →－r 2＋AP →(AB →－AC →) ＝AB →·AC →－r 2＋AP →·CB →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC －r 2＋AP →·CB →＝bc cos ∠BAC －r 2＋AP →·CB →.当AP →与CB →同向时,AP →·CB →的最大值为|AP →||CB →|＝ra ,即当QP →与CB →共线且同向时,BP →·CQ →有最大值bc cos ∠BAC ＋ar －r 2.。

§5　从力做的功到向量的数量积内容要求　1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．知识点1　向量的夹角与投影(1)夹角：①定义：已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠AOB ＝θ叫作向量a 与b 的夹角；OA → OB→ ②范围：0°≤θ≤180°；③大小与向量共线、垂直的关系；θ＝Error!(2)投影：①定义：如图所示：＝a ，＝b ，过点B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OA → OB→ OB 1＝|b |cos θ.|b |cos θ叫作向量b 在a 方向上的投影数量(简称投影)．②大小与夹角的关系：夹角0°锐角90°钝角180°射影|b |正值负值－|b |【预习评价】等边△ABC 中，与的夹角是多少？与，与的夹角又分别是多少？BA → BC → BA → AC → AC → BC→ 提示　与的夹角就是△ABC 的一个内角(∠ABC )，因此与的夹角是.BA → BC → BA → BC→π3与首尾相接，由∠BAC ＝知它的补角为π，因此与的夹角是π.BA → AC → π323BA → AC→23与有共同的终点C ，若延长AC ，BC ，则可知所得的角的大小与∠ACB 的大小相等，均AC → BC→ 是，因此与的夹角是.π3AC → BC→π3知识点2　向量的数量积(1)定义：已知两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上投影|a |cos θ的乘积．(3)物理意义：力对物体做功，就是力F 与其作用下物体的位移s 的数量积F ·s .(4)性质：①若e 是单位向量，则e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ；②a ⊥b ⇔a ·b ＝0(其中a ，b 为非零向量)；③|a |＝；a ·a ④cos θ＝(|a ||b |≠0)；a ·b|a |·|b |⑤对任意两个向量a ，b ，有|a ·b |≤|a ||b |.(5)运算律：交换律：a ·b ＝b ·a .结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .【预习评价】1．已知三角形ABC 中，·＜0，则三角形ABC 的形状为( )BA → BC→ A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析　∵·＝||·||·cos B ＜0，BA → BC → BA → BC→ ∴cos B ＜0，又∵B 为△ABC 的内角．∴＜B ＜π.π2答案　A2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________．解析　|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋2|a |·|2b |·cos60°＋(2|b |)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，∴|a ＋2b |＝＝2.12123答案　23题型一　数量积的基本概念【例1】　下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ·c |＝|b ·c |；③a ，b 共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是________（填序号）．解析　由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错；对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错；对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；对于⑦，当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．答案　①②⑥规律方法　对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等．【训练1】　给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．答案　④题型二　数量积的运算【例2】　已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．解　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18，a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝9－18＝－9.②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°.∴a ·b ＝0，a ·(a ＋b )＝a 2＝9.③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×＝9.12a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝18.规律方法　(1)向量的数量积在表示时，a 与b 之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略．(2)求平面向量数量积的步骤是：①求a 与b 的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b |和|a |.③求它们的数量积，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.【训练2】　已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，试求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(a －b )；(3)(a ＋b )·(a ＋b )；(4)(a －2b )·(3a ＋b )．解　(1)a ·b ＝|a |·|b |·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6.(2)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝－7.(3)(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2|a |·|b |·cos θ＋|b |2＝13.(4)(a －2b )·(3a ＋b )＝3a 2－5a ·b －2b 2＝25.方向1　求向量的模【例3－1】　已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：(1)|a ＋b |；(2)|3a －4b |；(3)|(a ＋b )·(a －2b )|.解　由已知a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a 2＝|a |2＝16，b 2＝|b |2＝4.(1)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12.∴|a ＋b |＝2.3(2)∵|3a －4b |2＝(3a －4b )2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，∴|3a －4b |＝4.19(3)∵(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a ＋b )·(a －2b )|＝12.方向2　求向量的夹角【例3－2】　设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．解　∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×＝.1212|a |＝|2m ＋n |＝＝ 2m ＋n 24×1＋1＋4m·n＝＝，4×1＋1＋4×127|b |＝|2n －3m |＝ 2n －3m 2＝4×1＋9×1－12m·n＝＝，4×1＋9×1－12×127a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝－6×1＋2×1＝－.1272设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.a·b |a||b |－727×712又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a 与b 的夹角为120°.方向3　数量积的综合应用【例3－3】　设两个向量e 1，e 满足|e 1＝2，|e 2|＝1，向量e 1与e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，求实数t 的取值范围．解　由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝＜0， 2t e 1＋7e 2 · e 1＋t e 2 |2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.化简，得2t 2＋15t ＋7＜0，解得－7＜t ＜－.12当夹角θ为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0，但此时夹角不是钝角．设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ＜0，则Error!∴Error!故实数t 的取值范围是∪.(－7，－142)(－142，－12)规律方法　1.求向量夹角时要注意：(1)当已知a ·b 是非坐标形式时，需求得a ·b 及|a |，|b |或它们之间的关系；(2)当已知a ，b 的坐标时，可直接利用公式求解．(3)注意夹角的范围θ∈[0，π]．2．对于a 2＝|a |2体现了数形结合思想，也给出了解决与模有关问题的思路.课堂达标1．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( )A ．|a |＝B ．|a·b |＝|a ||b |a ·a C ．λ(a·b )＝λa·bD ．|a·b |≤|a ||b |解析　因为|a·b |＝||a |·|b |cos θ|(θ为向量a 与b 的夹角)＝|a |·|b |·|cos θ|，当且仅当θ＝0或π 时，使|a ·b |＝|a |·|b |，故B 错．答案　B2．已知|a |＝1，|b |＝，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是( )2A ．60°B ．30°C ．135°D ．45°解析　∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－a 2＝－1，设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝－.a ·b|a ||b |－11×222又∵ θ∈[0°，180°]，∴ θ＝135°.答案　C3．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________.解析　a ·a ＋a ·b ＝12＋1×1×cos 120°＝.12答案　124．已知向量a 在向量b 方向上的射影是，|b |＝3，则a·b 的值为________．23解析　a·b ＝|a |·|b |cos〈a ，b 〉＝|b ||a |cos〈a ，b 〉＝3×＝2.23答案　25．已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？解　要想(k a －b )⊥(a ＋2b )，则需(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k |a |2＋(2k －1)a·b －2|b |2＝0，∴52k ＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，解得k ＝，即当k ＝时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．14151415课堂小结1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．向量数量积的性质及作用：设a 和b 是非零向量，a 与b 的夹角为θ.(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.即当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |.此性质可用来证明向量共线．(3)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算a 2的相互转化．(4)cos θ＝，此性质可求a 与b 的夹角.a ·b|a ||b |基础过关1．下面给出的关系式中正确的个数是( )①0·a ＝0；②a ·b ＝b ·a ；③a 2＝|a |2；④|a ·b |≤a ·b ；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2.A ．1B ．2C ．3D ．4解析　①②③正确，④错误，⑤错误，(a ·b )2＝(|a |·|b |cos θ)2＝a 2·b 2cos 2θ≠a 2·b 2，选C.答案　C2．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝，|a －b |＝，则a ·b 等于( )106A ．1B ．2C ．3D ．5解析　|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10，|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.答案　A3．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析　由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，|b |22|a ||b ||b |22|b |212∴θ＝120°.答案　C4．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为，则实数π3λ＝________.解析　由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos ，即π3λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.答案　－8或55．已知a ⊥b ，(3a ＋2b )⊥(k a －b )，若|a |＝2，|b |＝3，则实数k 的值为________．解析　由已知a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝9，由(3a ＋2b )·(k a －b )＝0⇒3k a 2＋(2k －3)a ·b －2b 2＝0，∴12k －18＝0，∴k ＝.32答案　326．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．解　由向量垂直得Error!即Error!化简得Error!设a 与b 的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝，a ·b |a |·|b |12|b |2|b |212又∵θ∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为.π37．已知|a |＝1，|b |＝1，a ，b 的夹角为120°，计算向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影．解　(2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.12|a ＋b |＝＝ a ＋b 2a 2＋2a ·b ＋b 2＝＝1.1＋2×1×1×cos 120°＋1设向量2a －b 与向量a ＋b 的夹角为θ，∴|2a －b |cos θ.＝|2a －b |· 2a －b · a ＋b|2a －b |·|a ＋b |＝＝.2a －b · a ＋b |a ＋b |12∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的射影为.12能力提升8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，]B ．[，π]π6π3C ．[，π]D ．[，π]π323π6解析　因为Δ＝a 2－4|a |·|b |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)若方程有实根，则有Δ≥0即a 2－4|a |·|b |cos θ≥0，又|a |＝2|b |，4|b |2－8|b |2cos θ≥0，∴cos θ≤，又0≤θ≤π，12∴≤θ≤π.π3答案　B9．设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1.( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定解析　|b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b ·t ＋t 2a 2＝|a |2t 2＋2|a |·|b |cos θ·t ＋|b |2.因为|b ＋t a |min ＝1，所以4|a |2·|b |2－4|a |2·|b |2cos2θ4|a |2＝|b |2(1－cos 2θ)＝1.所以|b |2sin 2θ＝1，所以|b |sin θ＝1，即|b |＝.1sin θ即θ确定，|b |唯一确定．答案　B10．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________.解析　b ·c ＝b ·[t a ＋(1－t )b ]＝t a ·b ＋(1－t )b 2＝t ＋1－t ＝1－t ＝0，解得t ＝2.1212答案　211．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若·＝1，则AB AD → BE→ 的长为________．解析　因为E 为CD 的中点，所以＝＋＝－＝－，＝＋.因为·BE → BC → CE → AD → 12DC → AD → 12AB → AC → AD → AB → AC→ ＝1，所以·＝·(＋)＝2－2＋·＝1，即BE → AC → BE → (AD → －12AB → )AD → AB → AD → 12AB → 12AB → AD→ 1－2＋||cos 60°＝1，所以－2＋||＝0，解得||＝.12AB → 12AB → 12AB → 14AB → AB→ 12答案　1212．已知单位向量e 1，e 2的夹角为，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角．π3解　∵e 1，e 2为单位向量且夹角为，π3∴e 1·e 2＝1×1×cos ＝.π312∵a·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝－2－e 1·e 2＋1＝－2－＋1＝－，1232|a |＝＝＝＝，a 2 e 1＋e 2 21＋2×12＋13|b |＝＝＝＝，b 2 e 2－2e 1 21＋4－4×123∴cos θ＝＝－×＝－.a·b |a ||b |3213×312又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.∴a 与b 的夹角为.2π32π313.(选做题)如图所示，在平行四边形ABCD 中，||＝2，||＝1，∠DAB ＝60°.求：AB → AD →(1)·；AD → AB → (2)与夹角θ的余弦值．AC → DB → 解　(1)·＝||||cos∠DAB ＝2×＝1.AD → AB → AD → AB → 12(2)＝＋，＝－，AC → AD → AB → DB → AB → AD → ∴·＝2－2＝4－1＝3，AC → DB → AB → AD → 2＝2＋2＋2·＝1＋4＋2＝7，AC → AD → AB → AB → AD → ||＝，AC → 72＝2＋2－2·＝4＋1－2＝3，DB → AB → AD → AB → AD → ||＝3.DB → cos θ＝＝＝.37×3217。