弹性力学1

（3）材料简化
根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。
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二、建模过程中注意的问题 （1）线性化
对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。
（2）实验验证
模型建立以后，对计算的结果进行分析整理，返回实际问 题进行验证，一般主要通过实验进行。
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§1 - 2
一、研究任务
弹性力学的基本内容
弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受 外力作用或由于温度改变等原因而发生的应力、形变和位 移。 二、研究对象 弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构件、实体 结构、板壳等。
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Y
X
O
y
图1 - 2
x
（3）集度： 集度：
∆Q 体力的平均集度为： ∆V
∆Q F P点所受体力的集度为： = lim ∆V →0 ∆V
F的方向就是 ∆ Q 的极限方向。
（4）体力分量： 体力分量： 将F沿三个坐标轴分解，可得到三个正交的分力：
F = Xi + Yj + Zk
X、Y、Z称为物体在P点的体力分量，正负号视分 力指向而定，因次是[力][长度]-3。
m
△A
σ
P
B
s
∆Qτny∆ ∆ A上的内力的平均集度为：∆ A
3.应力集度：
o
A
图1 - 4
σ
P点的应力分量为 σ、 τ ---正应力
∆Q s lim P点的应力为： = ∆ A → 0 ∆A
τ ---切应力
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因次是[力][长度]-2。
x
4.应力分量 4.应力分量
应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，不是 一般的矢量，而是二阶张量。
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§1-1
工程力学问题的建模
工程力学问题建立力 学模型的过程中，一般要 对三方面进行简化：
一、工程力学问题的建模过程
结构简化 受力简化 材料简化
图1-1
4
（1）结构简化
如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实 体结构向板、壳结构的简化。
（2）受力简化
根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系。
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其它x、z正面上的 应力分量的表示如图1－ 7所示。
凡正面上的应力沿坐 标正向为正，逆坐标正向 为负。
图1 - 7
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图1 - 8
图1－8所示单元体 面的法线为y的负向，正 应力记为 σ y ,沿y轴负向 为正。 平行于单元体面 的应力如图示的τyx、 τyz，沿x轴、z轴的 负向为正。
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2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力 ∆ Q 。如图1－3所示 。 （2）性质：面力一般是物体表面点的位置坐标的函数。 ∆ Q （3）面力集度： ∆ S 上面力的平均集度为： ∆ S z
△S
∆Q
Z
P
P点所受面力的集度为：
F
Y
y
∆Q F = lim ∆S → 0 ∆ S
C
P
B
z o x
A
y
图1 - 5
（1）为了分析一点的应力状 态，在这一点从物体内取出一个 微小的正平行六面体，各面上的 应力沿坐标轴的分量称为应力分 量。 相对平面上的应力分量在略 去高阶小量的意义上大小相等， 方向相反。
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（2）符号规定： 符号规定： 图示单元体面的法线为y,称 为y面，应力分量垂直于单元体 面的应力称为正应力。
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于物体原来的尺寸，就是小变形假设。小变形假设，在建立 物体变形以后的平衡方程时，可以用变形以前的尺寸来代替 变形以后的尺寸，并且，在考察物体的形变及位移时，转角 和位移的二次幂或乘积都可以略去不计。这样可使弹性力学 中的代数方程和微分方程简化为线性方程。
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《绪论》习题课 绪论》
[练习 练习1]弹性力学的研究对象、内容是什么？与材料力学比较 练习 有何异同？ 答：弹性力学研究物体在外界因素影响下处于弹性阶段的应力、 应变和位移，其研究对象为一般及复杂形状的构件、实体结构、 板壳等。而材料力学是研究杆件在拉、压、剪、弯、扭状态下 的应力和位移。 [练习 练习2]弹性力学中基本假设是什么？ 练习 答：为了简化计算，弹性力学中采用如下基本假设： （1）连续性假设，（2）完全弹性假设，（3）均匀性假设， （4）各向同性假设，（5）小变形假设。 [练习 练习3]什么是小变形假设？小变形假设带来那些简化？ 练习 答：假定物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远远小
弹性力学
（3）注意弹性力学 切应力符号和材料力学 是有区别的，图1－9中， 弹性力学里，切应力都 为正，而材料力学中相 邻两面的的符号是不同 的。 在画应力圆时，应 按材料力学的符号规定。
材料力学
图1 - 9
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（三）形变（应变） 形变（应变） 形变就是形状的改变。物体的形变可以归结为长度的改 变和角度的改变。 1.正应变：图1-5中线段PA、PB、PC每单位长度的伸 缩，即单位伸缩或相对伸缩，称为正应变。分别用 、 、 εx ε 表示。 y ε z
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§1 - 3
弹性力学的基本假设
在弹性力学中，在满足实用所需精度的前提下做一些 必要的假设，使问题得以求解。 弹性力学的基本假设为： （1）连续性假设：这样物体内的一些物理量，例如 应力、应变和位移等可用坐标的连续函数表示它们的变 化规律。 （2）完全弹性假设：假定物体为完全弹性体，则 服从虎克定律---应力和相应的形变成正比，弹性常数 不随应力或形变的大小而变化。 （3）均匀性假设：假定物体由同一材料组成，这 样物体的弹性不随位置坐标而变化。
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（4）各向同性假设：物体内一点的弹性性质在所有 各个方向都相同。 （5）小变形假设：假定位移和形变是微小的。这样， 可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，在考察物体的 应变和位移时，可以略去高阶小量，这对于方程的线性 化十分重要。 以上的假设对于工程中不少问题是适用的，但对于 一些问题的误差太大，就必须用另外的简化方案，但许 多概念基本理论仍然是共同的，弹性力学是学习塑性力 学、断裂力学、有限元方法等学科的基础。
（五）各物理量之间的关系
边界条件
位 移
形 变
应 力
面 力
体 力
物理
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§1 - 5
弹性力学的学习方法
弹性力学的公式推导比较繁复，公式的意义不明确，不 便记忆，因此初学者会感到困难。 在学习中，不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过 程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。 由于基本方程是偏微分方程组，接触较少，理解有困难。 偏微分方程组的直接求解是十分困难的，只有在边界条件比 较简单时，可以解出，大多需要通过数值方法求解，因此基 本方程的意义很大程度上是为将来的学习打基础。 在推导过程中，善于利用小变形略去高阶小量，在边界条 件中，要分清主要边界和次要边界，在次要边界上根据圣维 南原理，用等效力系的条件进行替代。 在每章的最后，附有一些习题，通过练习，加深对概念和 23 方法的理解。
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三、与其他学科的关系： 与其他学科的关系： 理论力学：研究刚体的静、动力学（约束力、速度、 加速度）。 材料力学：研究杆状构件在拉、压、剪、弯、扭状态 下的应力和位移； 结构力学：研究杆系结构的内力与位移； 塑性力学：结构的塑性分析、设计； 弹性力学：一般平面问题、板、壳和实体结构等的 应力和位移分析。
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第一章
绪
论
§1-1 工程力学问题的建模 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 习题课
2
弹性力学的基本内容 弹性力学问题的基本假设 弹性力学中的几个基本概念 弹性力学的学习方法
弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于外 力作用或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过程， 建立了弹性力学的基本方程和边值条件，并对一些问题进 行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法 奠定了基础。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法的 基础。
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§1 - 4 （一）外力
弹性力学中的几个基本概念
按照外力作用的不同分布方式，可分为体积力和表面力， 分别简称体力和面力。 1.体力 z
△V
Z
F
P
∆Q
（1）定义：所谓体力是分布在物 体体积内的力，如重力和惯性力。 如图1－2所示 ∆Q。 （2）性质：体力随点的位置不同 而不同；体力是连续分布的。
X
图1-3
（4）面力分量： P点的面力分量为 X、Y、， Z 因次是[力][长度]-2。
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x
（二）应力
1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内 力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其 中一部分，其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们 是分布在截面上分布力的合力。当截面面积趋于零时截面上的 分布力。如图1－4所示 s 。 2.性质：在物体内的同一点，不同截面上的应力是不同的。 z
z o x y
正应力记为σy,沿y轴的正 向为正,其下标表示所沿坐标轴 τ 的方向。
yz
τ yz
τ yx
σy
图1 - 6
平行于单元体面的应力称为 切应力，用 τ yx 、τ yz 表示，其第 一下标y表示所在的平面，第二下 标x、z分别表示沿坐标轴的方向。 τ τ 如图1－6所示的 、 yx。 yz
C
2.切应变：图1-5中线段 PA、PB、PC之间的直角的改 变，用弧度表示，称为切应变。 γ γ γ xy 分别用 、 yz 、 zx表示。
A
P P
B
图1 - 5
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（四）位移 位移：物体变形时，各点位置的改变量称为位移。 1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由 两种性质的位移组成： （1）整个物体象一个刚体一样进行的运动所引起的位移， 一般包括平移和转动。这样位移并不使物体的形状、质点间 的相对距离发生变化。（物体只有外效应而无内效应）。 （2）物体的各点间有相对位移，因而物体产生了变形。 弹性力学中主要研究物体由变形而引起的位移。 2.位移的表示方法 物体内任意一点的位移，用它在 x、y 、z 轴上的投 v 影 u 、 、w 来表示，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为 21 负。这三个投影称为该点的位移分量。