高中数学《学案导学与随堂笔记》苏教版 必修1 第二章 函 数 2.2.1(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用1．3.1 单调性 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．导函数的符号与函数的单调性的关系：如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数________，则函数y ＝f (x )这个区间上是增函数； 如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则函数f (x )这个区间上是__________．2．函数的单调性决定了函数图象的大致形状．一、填空题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的____________条件．2．函数f (x )＝2x －ln x 的单调增区间为________．3．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间上的图象大致是________．(填序号)4．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为__________．5．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为__________． 6．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．8．使y ＝sin x ＋ax 在R 上是增函数的a 的取值范围为____________．二、解答题9．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．10．(1)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为，求b ，c 的值．(2)设f (x )＝ax 3＋x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围．能力提升11．判断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．12．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．答 案知识梳理1．f ′(x )>0 减函数作业设计1．充分不必要解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．2．(12，＋∞) 解析 f ′(x )＝2－1x ＝2x －1x， ∵x >0，f ′(x )＝2x －1x >0，∴x >12. 3．①解析 ∵f (x )＝x cos x ，∴f ′(x )＝cos x －x sin x .∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，∴函数图象关于y 轴对称．由f ′(0)＝1可排除③、④.而f ′(1)＝cos 1－sin 1<0，从而观察图象即可得到答案为①.4.⎝⎛⎭⎫0，1a 解析 函数的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝1x－a ， 由f ′(x )>0，得1－ax x >0，∴a ⎝⎛⎭⎫x －1a x<0，∴x <1a，故f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 5．解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0，即⎩⎨⎧ a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3. 8． ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0， 解得x ＝－a ＋12a ， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 12．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a . 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3. 当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。

2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第1课时函数的单调性学习目标：1.理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)2.会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)3.会求函数的单调区间．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．单调增(减)函数的概念设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1<x2时，都有(1)f(x1)<f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调增函数．②I称为y＝f(x)的单调增区间．(2)f(x1)>f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调减函数．②I称为y＝f(x)的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？[提示]不能．如图所示，虽是f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是单调的．[基础自测]1．思考辨析(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．()(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．()[解析](1)×.比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．(2)×.必须对所有的都成立才能说明单调．(3)√.减函数中自变量越小函数值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．函数f(x)的图象如图2-2-1所示，则函数的单调递增区间是____________________．图2-2-1[解析]在区间[－1,2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴为增函数．[答案][－1,2]3．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是__________.【导学号：48612078】[解析]由减函数的定义知a＜b.[答案]a＜b[合作探究·攻重难](1)y ＝x 2－4；(2)y ＝－2x ；(3)f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2，x ≥0，x ＋4，x <0.[思路探究] 在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．[解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1) (2) (3)(1)y ＝x 2－4的单调递减区间为(－∞，0)，递增区间为(0，＋∞)． (2)y ＝－2x 的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间． (3)f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)．1．函数f (x )＝－x 2＋|x |(x ∈R )的单调递增区间为________.【导学号：48612079】[解析] (1)f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，－x 2－x ，x ≤0，图象如图所示：∴f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12用定义证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． [思路探究] 解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．[解] 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵－1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．2．证明函数f(x)＝x2＋1x在(1，＋∞)上单调递增．[证明]任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋1x1－x22＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋1x1－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫x1x2－1x1x2.∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0.又x1<x2，∴x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．[1．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？[提示]先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，当x1<x2时，则f(x1)<f(x2)，如果f(x)在D上是减函数，结论则相反．2．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？[提示]能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x的取值范围为________．[思路探究] 根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域． [解] ∵f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，∴x <32.又f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2≤2，－2≤1－x ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，－1≤x ≤3，∴0≤x ≤3，综上，0≤x <32. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，323．已知f (x )在R 上为减函数且f (2m )≥f (9－m )，则m 的取值范围是________.【导学号：48612080】[解析] 由题意可得2m ≤9－m ， ∴m ≤3.[答案] m ≤3[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )的图象如图2-2-2所示，则f (x )的单调减区间为________.【导学号：48612081】图2-2-2[解析] 由题图知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上图象呈下降趋势，∴单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是________． (1)f (x )＝－1x ＋1；(2)f (x )＝x 2－3x ； (3)f (x )＝3－x ；(4)f (x )＝－|x |. [解析] 函数f (x )＝－1x ＋1的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f (x )＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增；函数f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数；函数f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上是减函数，故(2)(3)(4)错误．[答案] (1)3．若函数f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为________.【导学号：48612082】[解析] ∵f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数， ∴k －2＜0，∴k ＜2. [答案] k ＜24．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥1，－2x ，－1<x <1，x ＋2，x ≤－1，则f (x )的单调增区间为________．[解析] f (x )为分段函数，当x ≥1时，f (x )单调递增，当x ∈(－1,1)时，f (x )单调递减，当x ≤－1时，f (x )单调递增．[答案] [1，＋∞)，(－∞，－1]5．已知函数f (x )＝x ＋12x ＋2，x ∈[1，＋∞)． (1)判断函数f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008). 【导学号：48612083】[解] (1)设1≤x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.由1≤x 1＜x 2得 x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴2x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)∵f (x )在[1，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥1，2x －12＜x ＋1 008，解得34≤x ＜2 0172，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2 0172.。

2.1.2函数的表示方法学习目标 1.理解函数的三种表示方法.2.能根据需要选择恰当的函数表示方法.3.了解分段函数，并能进行简单应用．知识点一解析法思考一次函数如何表示？答案y＝kx＋b(k≠0)．梳理用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．知识点二图象法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？答案一图胜千言．梳理用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．知识点三列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？怎样表示这种对应关系？答案对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．梳理用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．三种表示法的优缺点：知识点四分段函数思考某市规定出租车收费标准：起步价(不超过2km)为5元．超过2km时，前2km依然按5元收费，超过2km部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？收费额y 元是行驶里程x km 的函数吗？当x ∈[0,2]时的计费方法与x ∈(2，＋∞)时计费方法一样吗？答案 因为任一行驶里程x 都对应唯一的收费额y ，故y 是x 的函数；但由于起步价的规定，x ∈[0,2]时，y ＝5，x ∈(2，＋∞)时，y ＝5＋(x －2)×1.5.计费方法不一样．梳理 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．类型一 解析式的求法例1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2；(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .解 (1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1，∴⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2. (2)∵f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－2，∴f (x )＝x 2－2.又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )中的x 与f (x ＋1x )中的x ＋1x 取值范围相同，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ， ∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ， ∴f (x )＝13x 2－2x .反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2)如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t 的表达式．(3)如果条件是一个关于f (x )、f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9； (2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)2f (1x)＋f (x )＝x (x ≠0)．解 (1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1， 即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2. (3)∵f (x )＋2f (1x )＝x ，将原式中的x 与1x 互换，得f (1x )＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f (1x )＝x ，f (1x )＋2f (x )＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．类型二 列表法及函数表示法的选择例2 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.(1)(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析． 解 (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高． 反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练2 若函数f (x )如下表所示：则f (f (1))＝________. 答案 1解析 ∵f (1)＝2，∴f (f (1))＝f (2)＝1. 类型三 分段函数命题角度1 建立分段函数模型例3 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7cm ，腰长为22cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．解 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H.因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝22cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2cm ， 又BC ＝7cm ，所以AD ＝GH ＝3cm. (1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示：反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．解 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：命题角度2 研究分段函数的性质例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，x 2＋2，x >2.(1)求f (f (32))；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (3)解不等式f (x )>8. 解 (1)∵32≤2，∴f (32)＝2×32＝3，∴f (f (32))＝f (3)．∵3＞2，∴f (3)＝32＋2＝11， 即f (f (32))＝11.(2)当x 0≤2时，由2x 0＝8，得x 0＝4，不符合题意；当x 0>2时，由x 20＋2＝8，得x 0＝6或x 0＝－6(舍去)，故x 0＝ 6.(3)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，2x >8，①或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x 2＋2>8，② 解①得x ∈∅，解②得x > 6.综合①②，f (x )>8的解集为{x |x >6}．反思与感悟 已知函数值求变量x 取值的步骤 (1)先对x 的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出x 的解．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来．跟踪训练4 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象；(2)若f (x )≥14，求x 的取值范围；(3)求f (x )的值域．解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由于f (±12)＝14，结合此函数图象可知，使f (x )≥14的x 的取值范围是(－∞，－12]∪[12，＋∞)．(3)由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]， 当x >1或x <－1时，f (x )＝1. 所以f (x )的值域为[0,1]．1．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.答案 12．如果二次函数的图象开口向上顶点坐标为(1，－1)，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为______________． 答案 f (x )＝(x －1)2－13．已知正方形的边长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为________． 答案 y ＝22x 4．如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为________．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ≤1，－x 2＋4x －2，1<x <3，x －2，x ≥35．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图象． 解 (1)因为5>4， 所以f (5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1. (2)f (x )的图象如图：1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f 的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)． 2．如何用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题． 3．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．课时作业一、填空题1．若正比例函数y ＝(m －1)xm 2－3的图象经过二、四象限，则m ＝________. 答案 －2解析 因为y ＝(m －1)xm 2－3是正比例函数，所以有m 2－3＝1，m ＝±2. 又图象经过二、四象限，所以m ＝－2.2．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，若把它的高y 表示成x 的函数，则解析式为________． 答案 y ＝50x(x >0)解析 由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x(x >0)．3．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 答案 2x －23解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.4．函数y ＝f (x )的图象如图所示，观察图象可知其值域是________．答案 {1,4}5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________．答案 0解析 ∵π为无理数， ∴g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.6．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是________． 答案 f (x )＝3x ＋2解析 设t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝3(t －2)＋8＝3t ＋2， 所以f (x )＝3x ＋2.7．若g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2，则f (12)的值为______．答案 15解析 令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.8．已知函数f (x )的图象如图，则函数f (x )的解析式为__________________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2解析 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，代入(1,2)，得k ＝2， ∴f (x )＝2x .当1<x <2时，f (x )＝2， 当x ≥2时，f (x )＝3， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.9．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值为________.答案 2,4解析 x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3. x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝3. x ＝3时，f (g (3))＝f (3)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3. x ＝4时，f (g (4))＝f (2)＝3，g (f (4))＝g (3)＝3. 满足f (g (x ))＝g (f (x ))的x 的值为2,4.10．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________. 答案 2解析 由题意可知f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2. 因此，有f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 二、解答题11．求下列函数的解析式．(1)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式； (2)求满足f ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＝1x 2－1的函数f (x )． 解 (1)以－x 代x 得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x . 与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得 f (x )＝13x 2－2x .(2)令t ＝1＋1x (x ≠0)，则x ＝1t －1(t ≠1)，所以f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t (t ≠1)， 所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1)．12．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．解 当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动， 即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝{ 2x ， 0≤x ≤4， 8，4<x ≤8， 24－2x ，8<x ≤12. 13．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ， 列表：描点，连线，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 三、探究与拓展14．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是________．(填序号)答案②解析根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有②③符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，故填②.15．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．解设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.。

2．2.2函数的奇偶性学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？★★答案★★①②关于y轴对称，③④关于原点对称．梳理图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义思考1为什么不直接用图象关于y轴(或原点)对称来定义函数的偶奇性？★★答案★★因为很多函数图象我们不知道，即使画出来，细微之处是否对称也难以精确判断．思考2利用点对称来刻画图象对称有什么好处？★★答案★★好处有两点：(1)等价：只要所有点均关于y轴(原点)对称，则图象关于y轴(原点)对称，反之亦然．(2)可操作：要判断点是否关于y轴(原点)对称，只要代入解析式验证即可．梳理设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．知识点三奇(偶)函数的定义域特征思考如果一个函数f(x)的定义域是(－1,1]，那这个函数f(x)还具有奇偶性吗？★★答案★★ 由函数奇偶性定义，对于定义域内任一元素x ，其相反数－x 必须也在定义域内，才能进一步判断f (－x )与f (x )的关系．而本问题中，1∈(－1,1]，－1∉(－1,1]，f (－1)无定义，自然也谈不上是否与f (1)相等了．所以该函数是既非奇函数，也非偶函数． 梳理 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．类型一 证明函数的奇偶性命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性 例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数．证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既非奇函数又非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既非奇函数又非偶函数； (2)证明 f (x )＝x |x |是奇函数.证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为R ，因f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数． 命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)的奇偶性．解 由题意可知f (x )的定义域为(－6，－1]∪[1,6)， 关于原点对称，当x ∈(－6，－1]时，－x ∈[1,6)，所以f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )；当x ∈[1,6)时，－x ∈(－6，－1]，所以f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )． 综上可知对于任意的x ∈(－6，－1]∪[1,6)， 都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)是偶函数． 反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点 (1)定义域是否关于原点对称．(2)对于定义域内的任意x ，是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))，只不过对于不同的x ，f (x )有不同的表达式，要逐段验证是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))．跟踪训练2 证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x >0是奇函数．证明 定义域为{x |x ≠0}． 若x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝x 2，f (x )＝－x 2， ∴f (－x )＝－f (x )； 若x >0，则－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2＝－x 2，f (x )＝x 2， ∴f (－x )＝－f (x )；即对任意x ≠0，都有f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．命题角度3 证明抽象函数的奇偶性例3 f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，试判断y ＝f (x )＋g (x )，y ＝f (x )g (x )，y ＝f [g (x )]的奇偶性．解 ∵f (x )，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]，y ＝f (x )＋g (x )是奇函数． f (－x )g (－x )＝[－f (x )][－g (x )]＝f (x )g (x )，y ＝f (x )g (x )是偶函数． f [g (－x )]＝f [－g (x )]＝－f [g (x )]，y ＝f [g (x )]是奇函数．反思与感悟 利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x ，看总的结果．跟踪训练3 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①f (x )g (x )是奇函数； ②f (x )g (x )是偶函数；③|f(x)|g(x)是偶函数；④f(x)|g(x)|是奇函数．★★答案★★①③④解析①令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故①对，②不对；③令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，故③对；④令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，故④对．类型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示．(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练4 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象； (2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．解 (1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D .分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)． 命题角度2 利用函数奇偶性的定义求值例5 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.★★答案★★ 13解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称， ∴a －1＝－2a ，解得a ＝13，f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1.又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝13(－x )2＋b (－x )＋b ＋1＝f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1，对定义域内任意x 恒成立，即2bx ＝0对任意x ∈[－23，23]恒成立，∴b ＝0.综上，a ＝13，b ＝0.(2)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， 又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，f (x )＝－x －1.反思与感悟 函数奇偶性的定义有两处常用 (1)定义域关于原点对称．(2)对定义域内任意x ，恒有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))成立，常用这一特点得一个恒成立的等式，或对其中的x 进行赋值．跟踪训练5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.★★答案★★ 0解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数， 故a ＋b ＝0.1．函数f (x )＝0(x ∈R )的奇偶性是________． ★★答案★★ 既是奇函数又是偶函数2．函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是________． ★★答案★★ 既不是奇函数又不是偶函数3．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝________. ★★答案★★ 5解析 ∵函数y ＝f (x )＋x 是偶函数， ∴x ＝±2时函数值相等．∴f (－2)－2＝f (2)＋2，∴f (－2)＝5.4．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋m 2－7m ＋12为偶函数，则m 的值是________． ★★答案★★ 25．下列说法错误的是________．(填序号) ①图象关于原点对称的函数是奇函数； ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③奇函数的图象一定过原点；④偶函数的图象一定与y 轴相交． ★★答案★★ ③④1．两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．3．证明一个函数是奇函数，必须对f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．课时作业一、填空题1．如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，f (x )，x ＜0是奇函数，则f (－2)＝________.★★答案★★ －1解析 f (－2)＝－f (2)＝－(2×2－3)＝－1.2．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －x 2，则当x ≤0时，y ＝f (x )的解析式为________． ★★答案★★ f (x )＝x 2＋2x解析 设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )－(－x )2]＝2x ＋x 2. 因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 所以f (x )＝x 2＋2x ，x ≤0.3．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是________．(填序号)①f (x )＋|g (x )|是偶函数； ②f (x )－|g (x )|是奇函数； ③|f (x )|＋g (x )是偶函数； ④|f (x )|－g (x )是奇函数． ★★答案★★ ①解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数，可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx (a ≠0)满足f (－3)＝3，则f (3)＝________. ★★答案★★ －3解析 ∵f (－x )＝a (－x )3＋b (－x )＝－(ax 3＋bx )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数， ∴f (3)＝－f (－3)＝－3.5．函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为________．(填“奇函数”或“偶函数”) ★★答案★★ 奇函数 解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)， ∴f (x )不是偶函数．6．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． ★★答案★★ 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为________．★★答案★★ (－3,0)∪(3，＋∞) 解析 ∵f (x )为奇函数，f (3)＝0， ∴f (－3)＝0.又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上也为增函数， ∴f (x )－f (－x )2＝f (x )>0，①当x >0时，则f (x )>f (3)＝0，∴x >3； ②当x <0时，则f (x )>f (－3)＝0，∴－3<x <0， 综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．8．若函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________． ★★答案★★ (1，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数， ∴f (－x )＝f (x )且f (－x )≠－f (x )．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，a －x 2≥0，∴a ≥1.当a ＝1时，函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且为奇函数， 故a >1.9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.★★答案★★ 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________．(填“奇函数”或“偶函数”)★★答案★★ 奇函数 解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0 ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 二、解答题11．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x 3＋x 5； (2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|； (3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数． 12．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，求实数a 的值． 解 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |， ∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，即|x －a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上为单调增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，即1－m ＝－(－1＋2)， 解得m ＝2.经检验m ＝2时函数f (x )是奇函数． 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上为单调增函数，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]． 三、探究与拓展14．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．★★答案★★ [－6，－3)∪(0,3)解析 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．15．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式． 解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (0)＝0，即b1＋02＝0，∴b ＝0. 又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12a 1＋14＝25， ∴a ＝1，∴f (x )＝x1＋x 2.。

步步高学案导学与随堂笔记数学必修第一册2023【学习目标】
1. 理解双曲函数的基本性质。

2. 掌握绘制双曲函数图形的方法。

【知识重组】
双曲函数作为一种特殊的曲线函数，有着自己的注意事项，需要考生在记忆双曲函数的基本性质的同时，能够掌握绘制双曲函数的技巧。

双曲函数的性质：
（1）定义：双曲函数的一般形式为：y=a*sec(x+b)，其中a为系数，b为常数。

（3）如果a>0，则有：y=a*Sec(x+b)>0 ，y=a*Cosec(x+b)<0。

（4）极值：双曲函数的极值点的x 值是b的值；y值由a的正负大小决定。

（5）导数：双曲函数的导数形式为： y'=a*tan(x+b)；也可以用其通式记作
y'=a*cot(x+b)。

绘制双曲函数图形:
1.根据双曲函数[y=（a/2）*sec（2x+b）]的参数a和b来决定曲线的大小、方向、偏移、极值和导数。

2.先求取双曲函数对应的坐标（x，y）得出函数图像。

3.在函数图像中画出极值点和导数点。

4.根据原函数所提供的x，y的定义域确定绘图范围，画好函数的图像。

【能力反思】
今天的学习任务，是学习关于双曲函数的基本性质，以及掌握绘制双曲函数图形的方法，在广泛阅读有关资料之后，最终对双曲函数也有了比较深入的理解，一步步认识到双曲函数的定义、通式、极值、导数，明白了如何根据双曲函数参数a和b绘制双曲函数图像，以及根据函数定义域确定绘图范围。

希望以后能够以此学习数学知识，扩大自己的视野，释放思维的丰富性。

2.1.1 第2课时函数的图象1．理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．(重点)2．能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 函数的图象阅读教材P27开始至例4上的一段，完成下列问题．将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f (x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f (x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f (x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f (x)的图象．1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)直线x＝a和函数y＝f (x)，x∈[m，n]的图象有1个交点．( )(2)设函数y＝f (x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f (x)，x∈A}与集合Q＝{y|y ＝f (x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f (x)的图象．( ) 【解析】(1)若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f (x)有一个交点，若a∉[m，n]，则x＝a 与y＝f (x)无交点，故(1)错误．(2)Q是一个数集，P是一个点集，显然P≠Q，故(2)错误，但是P的图形表示的是函数y＝f (x)的图象．【答案】(1)×(2)×2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f (x)的图象的有________．(填序号)【解析】能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．【答案】②④教材整理2 作图、识图与用图阅读教材P27例4至P28例6，完成下列问题．作函数的图象(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－b2a.函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是__________．(填序号)【解析】由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．【答案】③[小组合作型]作函数的图象作出下列函数的图象，并求函数的值域．(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2).【精彩点拨】(1)中函数的定义域为{－2，－1,1,2}，图象为直线上的孤立点．(2)中函数图象为抛物线的一部分．【自主解答】(1)∵|x|∈N*且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．由图象可知，值域为{5,4,2,1}．(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，x＝1时，y＝1，x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1,5]．1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．2．描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．3．函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．[再练一题]1．将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了．【解】图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．∵x＝0时，y＝2，x＝3时，y＝5.∴值域变为[1,5)．函数图象的应用已知函数f (x)＝－x2＋2x＋3的图象如图2­1­2所示，据图回答以下问题：(1)比较f (－2)，f (0)，f (3)的大小；(2)求f (x)在[－1,2]上的值域；(3)求f (x)与y＝x的交点个数；(4)若关于x的方程f (x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．图2­1­2【精彩点拨】从图象上找到对应问题的切入点进而求解．【自主解答】(1)由题图可得f (－2)＝－5，f (0)＝3，f (3)＝0，∴f (－2)<f (3)<f (0)．(2)在x∈[－1,2]时，f (－1)＝0，f (1)＝4，f (2)＝3，∴f (x)∈[0,4]．(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如图所示，观察可得，f (x)与y＝x有两个交点．(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．∴0≤k<3或k＝4.1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．2．常借助函数图象求解以下几类问题(1)比较函数值的大小；(2)求函数的值域；(3)分析两函数图象交点个数；(4)求解不等式或参数范围．[再练一题]2．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．【解】原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，即(x－2)2＝1－m，设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0，∴m＝1或－3<m≤0.(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解)[探究共研型]利用图象的平移变换作函数图象探究1 设f (x)＝x2，则f (x＋1)的表达式是什么，在同一坐标系中，做出两者的图象，这两个图象形状一样吗？位置呢？【提示】 f (x＋1)＝(x＋1)2，两者图象的形状相同，f (x＋1)的图象比f (x)的图象向左了一个单位．如下图(1)．探究2 同一坐标系中做出f (x)＝x2，f (x－2)的图象，观察两者的形状和位置有什么异同？【提示】 f (x－2)＝(x－2)2，f (x)与f (x－2)的图象形状相同，f (x－2)的图象比f (x)的图象向右了2个单位．如下图(1)．(1)探究3 若已知y＝f (x)的图象，如何得到y＝f (x＋a)的图象？【提示】当a>0时，y＝f (x＋a)可由y＝f (x)向左移动a个单位．当a<0时，y＝f (x＋a)可由y＝f (x)向右移动|a|个单位．探究4 若f (x)＝x2，写出y＝f (x)＋1和y＝f (x)－2的表达式，并在同一坐标系中做出三者的图象，观察其形状和位置的异同，由此，结合探究3，若已知f (x)的图象，如何得到y ＝f (x )＋b 的图象？【提示】 y ＝f (x )＋1＝x 2＋1，y ＝f (x )－2＝x 2－2，如图(2)． 由y ＝f (x )的图象得到y ＝f (x )＋b 的图象时，若b >0，把f (x )的图象向上移动b 个单位得y ＝f (x )＋b 的图象． 若b <0，把f (x )的图象向下移动|b |个单位得y ＝f (x )＋b 的图象．(2)用平移图象的方式作出y ＝2＋1x －1的图象，并说明函数y ＝2＋1x －1的值域．【精彩点拨】 y ＝2＋1x －1可以看作y ＝1x先向右移动一个单位，又向上移动2个单位得到．【自主解答】从图象可以看出y ＝2＋1x －1的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．函数图象的平移变换(1)左右平移：a ＞0时，y ＝f (x )的图象向左平移a 个单位得到y ＝f (x ＋a )的图象；a ＞0时y ＝f (x )的图象向右平移a 个单位得到y ＝f (x －a )的图象．(2)上下平移：b ＞0时y ＝f (x )的图象向上平移b 个单位得到y ＝f (x )＋b 的图象；b ＞0时y ＝f (x )的图象向下平移b 个单位得到y ＝f (x )－b 的图象．[再练一题]3．已知函数y ＝1x，将其图象向左平移a (a >0)个单位，再向下平移b (b >0)个单位后图象过坐标原点，则ab 的值为________．【解析】 y ＝1x ――→左移a y ＝1x ＋a ――→下移b y ＝1x ＋a －b 过(0,0)，故1a－b ＝0，∴1－ab ＝0，∴ab ＝1.【答案】 11．对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A 到B 的函数的是________．(填序号)【解析】 (1)中有一部分x 值没有与之对应的y 值；(2)中出现“一对多”的关系，不是函数关系；(3)中当x ＝1时对应两个不同的y 值，不构成函数；(4)中对应关系符合函数定义．【答案】 (4)图2­1­32．函数y ＝f (x )的图象如图2­1­3所示．填空： (1)f (0)＝________； (2)f (－1)＝________； (3)f (－3)＝________； (4)f (－2)＝________；(5)f (2)＝________； (6)f (4)＝________；(7)若2<x 1≤x 2<4，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是________．【解析】 由图象知f (0)＝4，f (－1)＝5，f (－3)＝0，f (－2)＝3，f (2)＝2，f (4)＝6，当2<x 1≤x 2<4时，f (x 1)≤f (x 2)．【答案】 (1)4 (2)5 (3)0 (4)3 (5)2 (6)6 (7)f (x 1)≤f (x 2)3．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是________．(填序号)【解析】 y ＝－|x |，当x ＝2时，y ＝－2，当x ＝－2时，y ＝－2.故选②. 【答案】 ②4．一次函数y ＝3x ＋1，x ∈N *且3≤x ≤6的图象上有________个孤立的点． 【解析】 当x ∈[3,6]，且x ∈N *时，x 的取值为3,4， 5,6，共有4个孤立点． 【答案】 45．作出下列函数的图象，并指出其值域． (1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x(－2≤x ≤1，且x ≠0).【解】 (1)用描点法可以作出y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的图象，如图所示．易知y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.(2)用描点法可以作出y ＝2x(－2≤x ≤1，且x ≠0)的图象，如图所示．2 x (－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．易知y＝。

2．1.1 第1课时函数的概念1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点) 2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)[基础·初探]教材整理1 函数的定义阅读教材P23至P25“例1”，完成下列问题．1．函数的定义一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为：y＝f (x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．2．函数的三要素指函数的定义域、对应关系和值域．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数．( )(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.( )【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2 函数的定义域阅读教材P25“例2”，完成下列问题．1．定义域的意义定义域实质上是使函数表达式有意义的自变量的取值范围．2．求定义域的常用方法已知函数y＝f (x)，(1)若f (x)为整式，则定义域为R；(2)若f (x )为分式，则定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)若f (x )是偶次根式，那么函数的定义域是被开方数不小于零的实数的集合； (4)若f (x )是x 0的形式，则f (x )的定义域为{x |x ≠0}；(5)若f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子均有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(6)若f (x )是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．(1)函数f (x )＝x －10的定义域为________． (2)函数f (x )＝1x －2的定义域为________．(3)函数f (x )＝49－x (x ∈N )的定义域为________． 【解析】 (1)x －10≥0，∴x ≥10，即{x |x ≥10}． (2)x －2>0，∴x >2，即{x |x ＞2}．(3)⎩⎪⎨⎪⎧9－x ≥0，x ∈N⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x ∈N ，∴x 的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．【答案】 (1){x |x ≥10} (2){x |x >2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 教材整理3 函数的值域阅读教材P 25例2后一段～例3，完成下列问题．若A 是函数y ＝f (x )的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．1．若f (x )＝x 2－3x ＋2，则f (1)＝________. 【解析】 f (1)＝12－3×1＋2＝0. 【答案】 02．若f (x )＝x －3，x ∈{0,1,2,3}，则f (x )的值域为________． 【解析】 f (0)＝－3，f (1)＝－2，f (2)＝－1，f (3)＝0.【答案】{－3，－2，－1,0}|[小组合作型]函数的概念判断下列对应f 是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→1x2；(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4；(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.【精彩点拨】求解本题的关键是判断在对应法则f 的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．【自主解答】(1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±9＝±3，即在对应法则f 之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．(2)对于A中的元素x＝22，在f 作用下，|22－2|∉B，故不能构成函数．(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故(3)不能构成函数．(4)依题意，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4，即A中的每一个元素在对应法则f 之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．[再练一题]1．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的有________．(填序号) ①A ＝B ＝[－1,1]，x ∈A ，y ∈B 且x 2＋y 2＝1； ②A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图2­1­1；图2­1­1③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2； ④A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1.【解析】 对于①项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．【答案】 ②求函数的定义域求下列函数的定义域．(1)f (x )＝3x －83x －2； (2)f (x )＝x ＋1＋12－x ；(3)f (x )＝x ＋4＋x 0＋1x ＋2； (4)f (x )＝x ＋12x ＋1.【精彩点拨】 根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x 的范围，就是所求函数的定义域．【自主解答】 (1)要使f (x )有意义，则有3x －2>0， ∴x >23，即f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.(2)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0⇒x ≥－1且x ≠2，即f (x )的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．(3)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4≥0，x ≠0，x ＋2≠0⇒x ≥－4且x ≠0，－2，即f (x )的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)． (4)要使f (x )有意义，则x ＋1≠0，∴x ≠－1， 即f (x )的定义域为{x |x ≠－1}．1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．[再练一题]2．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝11－3x ＋1x；(2)f (x )＝3－x ＋1＋x 且 x ∈Z .【解】 (1)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ＞0，x ≠0，所以x ＜13且x ≠0，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13且x ≠0. (2)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，1＋x ≥0，所以－1≤x ≤3.又x ∈Z ，所以x ＝－1,0,1,2,3. 所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}．求函数的值域或函数值已知f (x )＝x 2－4x ＋2.(1)求f (2)，f (a )，f (a ＋1)的值； (2)求f (x )的值域；(3)若g (x )＝x ＋1，求f (g (3))的值．【精彩点拨】(1)将x＝2，a，a＋1代入f (x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f [g(3)]．【自主解答】(1)f (2)＝22－4×2＋2＝－2，f (a)＝a2－4a＋2，f (a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a－1.(2)f (x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，∴f (x)的值域为[－2，＋∞)．(3)g(3)＝3＋1＝4，∴f (g(3))＝f (4)＝42－4×4＋2＝2.1．函数值f (a)就是a在对应法则f 下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f (x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．2．求f (g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．[再练一题]3．上例(3)中，g(x)＝x＋1，求f (g(x))，g(f (x))．【解】 f (g(x))＝g(x)2－4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，g(f (x))＝f (x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3.[探究共研型]抽象函数求定义域探究1 在y＝f (x)中，f (x)的定义域指的是什么？x是什么？【提示】 f (x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．探究2 在函数y＝f (x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？【提示】y＝f (x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．探究3 如何将函数y＝f (x)与y＝f (x＋1)中的自变量联系起来？【提示】由于x，x＋1均为f 的作用对象，故二者均应在f (x)定义域之中，即y＝f (x)中x的范围与y＝f (x＋1)中x＋1的范围一致．(1)已知函数y＝f (x)的定义域为[1,4]，则f (x＋2)的定义域为________．(2)已知函数y＝f (x＋2)的定义域为[1,4]，则f (x)的定义域为________．(3)已知函数y ＝f (x ＋3)的定义域为[1,4]，则f (2x )的定义域为________． 【精彩点拨】 找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题． 【自主解答】 (1)由题知对于f (x ＋2)有x ＋2∈[1,4]，∴x ∈[－1,2]， 故f (x ＋2)的定义域为[－1,2]．(2)由题知x ∈[1,4]，∴x ＋2∈[3,6]，∴f (x )的定义域是[3,6]．(3)由题知x ∈[1,4]，∴x ＋3∈[4,7]，对于f (2x )有2x ∈[4,7]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72， 即f (2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72. 【答案】 (1)[－1,2] (2)[3,6] (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72抽象函数的定义域1．已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f (g (x ))的定义域．2．已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的取值范围即为f (x )的定义域．用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话： (1)定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么) (2)括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)[再练一题]4．已知函数y ＝f (x －1)的定义域为[－3,2]，则f (x ＋1)的定义域为________. 【解析】 对于y ＝f (x －1)有x ∈[－3,2]，∴x －1∈[－4,1]，∴在f (x ＋1)中有x ＋1∈[－4,1]，∴x ∈[－5,0]．【答案】 [－5,0]1．下列图象表示函数图象的是________．(填序号)【解析】 根据函数定义知，对定义域内的任意变量x ，都有唯一的函数值y 和它对应，即作垂直x 轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x 是定义域内的一个变量，无交点即x 不是定义域内的变量)．显然，只有答案(3)中图象符合．【答案】 (3) 2．函数y ＝x ＋1＋12－x的定义域是________． 【解析】 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解不等式得定义域为{x |x ≥－1且x ≠2}．【答案】 {x |x ≥－1且x ≠2}3．已知函数y ＝f (x )的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f (x )的图象与直线x ＝2的交点个数为________．【解析】 在函数定义域内，任意实数x 对应唯一实数y ，所以直线x ＝2与函数图象交点为1个．【答案】 14．下列四组函数中，表示相等函数的一组是________．(填序号) (1)f (x )＝|x |，g (x )＝x 2；(2)f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2；(3)f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1；(4)f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1.【解析】 (1)中定义域，对应关系都相同，是同一函数；(2)中定义域不同；(3)中定义域不同；(4)中定义域不同．【答案】 (1) 5．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1x －3.【解】 (1)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．(2)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．(3)y ＝2x ＋1x －3＝2x －3＋7x －3＝2＋7x －3，显然7x －3≠0，所以y ≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．。

章末检测(二)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.2．函数f (x )＝1x －2x 在区间[－2，－12]上的最小值为________． 答案 －1解析 ∵f (x )在[－2，－12]上为单调减函数， ∴f (x )min ＝f (－12)＝1－12－2·(－12)＝－1. 3．函数y ＝(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为________．答案 92解析 因为(3－a )(a ＋6)＝18－3a －a 2 ＝－(a ＋32)2＋814， 所以当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92. 4．下列函数中，既是奇函数又是单调增函数的为________．(填序号)①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x；④y ＝x |x |. 答案 ④5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x >0，1－x ，x ＝0，－1，x <0，则f (f (0))＝________.答案 2解析 f (0)＝1－0＝1，f (f (0))＝f (1)＝1＋1＝2.6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有________个．答案9解析当2x2－1＝1时，x＝1或－1；当2x2－1＝7时，x＝2或－2.定义域为2个元素的集合有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，共4个；定义域为3个元素的集合有{1，－2,2}，{－1，－2,2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，共4个；定义域为4个元素的集合有{1，－1,2，－2}，共1个．因此符合题意的“孪生函数”共有9个．7．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1)解析令g(x)＝f(x)－3，则g(x)为奇函数，且在R上为单调减函数，f(a)＋f(a－2)>6可化为f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－[f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，即g(a)>g(2－a)，∴a<2－a，∴a<1.8．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是单调________函数．(填增、减)答案减解析∵f(x)为偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，∴f(x)在(2,5)上是单调减函数．9．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有最________值为________．答案小－4解析设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，∴F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＋2≤8且存在x0∈(0，＋∞)使F(x0)＝8.又∵f(x)，g(x)都是奇函数，∴f(－x)＋g(－x)＝－[f(x)＋g(x)]≤6，∴f(x)＋g(x)≥－6，∴F(x)＝f(x)＋g(x)＋2≥－4，且存在x0∈(－∞，0)使F(x0)＝－4.∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.10．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断是________．(填序号)答案 ①解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．11．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________. 答案 －2解析 f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，∵1∈(0,2)，∴f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝－f (1)＝－2.12．已知m ＞2，点(m －1，y 1)(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是________．(用“＜”连接)答案 y 1＜y 2＜y 3解析 因为二次函数y ＝2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1在[1，＋∞)上为单调增函数，且1＜m －1＜m ＜m ＋1，所以y 1＜y 2＜y 3.13．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，＋∞)，若f (2)＝4，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2]解析 若2∈(－∞，a )，则f (2)＝2不合题意．∴2∈[a ，＋∞)，∴a ≤2.14．定义在R 上的函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且x ≥1时，f (x )＝x ＋1，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥1，2－x ＋1，x <1解析 设x <1，则2－x >1，且f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [1－(x －1)]＝f (2－x )＝2－x ＋1. ∴f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥12－x ＋1，x <1.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知函数f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|.(1)证明：函数f (x )是R 上的奇函数；(2)画出函数f (x )的图象；(3)写出函数f (x )的单调区间．(1)证明 因为f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝|2x ＋1|－|2x －1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，所以函数f (x )是R 上的奇函数． (2)解 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x ≤－12)，－4x (－12＜x ＜12)，－2(x ≥12)，画出函数f (x )的图象如图所示．(3)单调减区间为[－12，12]． 16．(14分)已知f (x )，g (x )在(a ，b )上是单调增函数，且a <g (x )<b ，求证：f [g (x )]在(a ，b )上也是单调增函数．证明 设a <x 1<x 2<b ，∵g (x )在(a ，b )上是单调增函数，∴g (x 1)<g (x 2)，且a <g (x 1)<g (x 2)<b ，又∵f (x )在(a ，b )上是单调增函数，∴f [g (x 1)]<f [g (x 2)]，∴f [g (x )]在(a ，b )上也是单调增函数．17．(14分)如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)求f (x )的解析式；(2)写出f (x )的值域．解 (1)当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．代入(－1,0)，(0,1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1. ∴y ＝x ＋1.当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1，∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0. (2)当－1≤x ≤0时，y ∈[0,1]．当x >0时，y ∈[－1，＋∞)．∴函数值域为[0,1]∪[－1，＋∞)＝[－1，＋∞)．18．(16分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．解 (1)函数f (x )在[1，＋∞)上是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1). ∵x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴函数f (x )在[1，＋∞)上是单调增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是单调增函数，故最大值为f (4)＝95，最小值为f (1)＝32.19．(16分)某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解 (1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由图1，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15. 由图2，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6，∴k 2＝45. 故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)． (2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设企业利润为y 万元，由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)． ∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10. ∴当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8. 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元．20．(16分)已知函数y ＝x ＋t x有如下性质： 如果常数t ＞0，那么该函数在(0，t ]上是单调减函数，在[t ，＋∞)上是单调增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8， 设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]． 由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )为单调减函数，所以单调减区间为[0，12]； 当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )为单调增函数，所以单调增区间为[12，1]； 由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113，得f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g (x )＝－x －2a 为单调减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]．由题意得，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1－2a ≤－4，－2a ≥－3，所以a ＝32.。

2.1.1函数的概念和图象(二)一、基础过关1．若函数g(x＋2)＝2x＋3，则g(3)的值是________．2．函数f(x)＝x－2＋2－x的定义域是________，值域是________．3．已知f满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(72)＝________.4．函数y＝1－1x－1的图象是________(填序号)．5．若函数y＝f(x)的图象经过点(0,1)，那么函数y＝f(x＋4)的图象经过点________．6．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝1－x2x2，则f(12)的值为________．7．已知函数f(x)＝6x－1－x＋4：(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(12)的值．8．画出下列函数的图象：(1)y＝|x－1|＋|x＋1|；(2)y＝x|2－x|.二、能力提升9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则满足f(g(x))＝g(f(x))的x值为________.10.若函数f (x )＝mx 4x －3(x ≠34)在定义域内恒有f [f (x )]＝x ，则m ＝________.11．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________． 12．用描点法画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域． 三、探究与拓展 13．已知函数y ＝1ax ＋1(a <0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值．答案1．5 2．{2} {0} 3．3p ＋2q 4．② 5．(－4,1) 6．157．解 (1)根据题意知x －1≠0且x ＋4≥0， ∴x ≥－4且x ≠1，即函数f (x )的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f (12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.8．解 (1)y ＝|x －1|＋|x ＋1|＝{ －2x ，x ≤－1， 2，－1<x ≤1， 2x ，x >1.图象如图(1)所示．(2)y ＝x |2－x |＝{ －x 2＋2x ，x ≤2， x 2－2x ，x >2.图象如图(2)所示． 9．2,4 10．3 11．612．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]． 13．解 已知函数y ＝1ax ＋1(a <0且a 为常数)， ∵1a x ＋1≥0，a <0，∴x ≤－a ， 即函数的定义域为(－∞，－a ]， ∵函数在区间(－∞，1]上有意义， ∴(－∞，1]⊆(－∞，－a ]，∴－a ≥1， 即a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．。

第2课时课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．用数学语言描述为：如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的____________． 2．导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为________________________，记作f ′(x 0)．3．函数的导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)．4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________.5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________一、填空题1．任一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx的值为________． 3．一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________． 4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是________． 5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________． 6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________.7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________．8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．二、解答题9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．10．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s ．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．能力提升11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，求函数在x ＝2处的导数．12．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为s(t)＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数的步骤：(1)计算函数的增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)．(2)计算函数的增量与自变量增量Δx 的比Δy Δx. (3)计算上述增量的比值．当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx无限趋近于A. 2．导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度．答 案知识梳理1．瞬时速度 瞬时速度2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx可导 函数f (x )在点x ＝x 0处的导数 4．S ′(t ) 5.v ′(t )作业设计1．3解析 ΔS Δt ＝S (Δt )－S (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt无限趋近于3. 2．－f ′(x 0)解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx， ∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)．3．at 0解析 ΔS Δt ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt ＝12a (Δt )＋at 0， 当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt无限趋近于at 0. 4．－3解析 ∵Δf Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3， 当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx无限趋近于－3. 5．0解析 Δy Δx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于0. 6．1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx ＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝a (Δx )2－3a (Δx )＋3a . ∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx无限趋近于3a ， 即3a ＝3，∴a ＝1.7.14解析 Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)Δx ＝4＋Δx －2Δx ＝14＋Δx ＋2， ∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx 无限趋近于14. 8．4＋Δt 4解析 在内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt ＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，Δv Δt无限趋近于4.9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx ) ∴Δy Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－12. 10．解 运动方程为S ＝12at 2. 因为ΔS ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2， 所以ΔS Δt ＝at 0＋12a Δt . 所以当Δt 无限趋近于0时，ΔS Δt无限趋近于at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c )＝4a (Δx )＋a (Δx )2＋b (Δx )，∴Δy Δx ＝4a (Δx )＋a (Δx )2＋b (Δx )Δx＝4a ＋b ＋a (Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近于4a ＋b . 所以函数在x ＝2处的导数为4a ＋b .12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g (Δt )， 当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于v 0－gt 0. 故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.。

第2章 单元检测(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．以x 轴为对称轴，抛物线通径长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程为__________．2．双曲线9x 2－4y 2＝－36的渐近线方程是__________．3．若抛物线y 2＝2px 上的一点A (6，y )到焦点F 的距离为10，则p ＝________.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为62，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率为________． 5．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是________．6．过双曲线M ：x 2－y 2h 2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且AB ＝BC ，则双曲线M 的离心率是________．7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为________．8．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________． 9．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.10．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点时，实数k 的取值范围是__________．11．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点分别为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则该椭圆离心率的取值范围是________．13．若点M 是抛物线y 2＝4x 到直线2x －y ＋3＝0的距离最小的一点，那么点M 的坐标是__________．14．过双曲线x 29－y 218＝1的焦点作弦MN ，若MN ＝48，则此弦的倾斜角为________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．16.(14分)抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y＝2x，斜边长是53，求此抛物线方程．17．(14分)设P是椭圆x2a2＋y2＝1 (a>1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值．18.(16分)点A、B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，P A⊥PF.求点P的坐标．19．(16分)已知抛物线y 2＝2x ，直线l 过点(0,2)与抛物线交于M ，N 两点，以线段MN 的长为直径的圆过坐标原点O ，求直线l 的方程．20.(16分)已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N .(1)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．第2章 圆锥曲线与方程(B)1．y 2＝±8x解析 2p ＝8，抛物线开口向左或向右．2．y ＝±32x 3．8解析 ∵6＋p 2＝10，∴p ＝8. 4.22解析 ∵a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫622＝64＝32，∴a 2－b 2a 2＝12. ∴椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为22. 5．1解析 由题意，得PF 1－PF 2＝±4，PF 21＋PF 22＝5×4＝20.∴2PF 1·PF 2＝20－16＝4，∴S △F1PF2＝12PF 1·PF 2＝1. 6.10解析 直线l 的方程是y ＝x ＋1，两条渐近线方程为y ＝±hx ，由AB ＝BC ，可得B 是A 、C 的中点，－2h ＋1＝－1＋1h －1，解得h ＝0(舍去)或h ＝3，故e ＝1＋h 21＝10. 7.3 8.－1925或21 9．－14解析 y 2－x 2－1m＝1，∴－1m ＝4，∴m ＝－14. 10.⎝⎛⎦⎤512，34解析 y ＝1＋4－x 2即为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)表示上半圆．直线过(－2,1)时k ＝34；直线与半圆相切时，|3－2k|k 2＋1＝2，得k ＝512.所以k ∈⎝⎛⎦⎤512，34. 11.22解析 由2c ＝2，所以c ＝1.因为两条切线互相垂直，所以a 2c ＝2R ＝2a ，所以c a ＝22. 12.⎣⎡⎭⎫22，1 解析 MN ＝2a 2c，F 1F 2＝2c ，MN ≤2F 1F 2， 则a 2c ≤2c ，该椭圆离心率e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫22，1. 13.⎝⎛⎭⎫14，1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，2x －y ＋m ＝0，得y 2－2y ＋2m ＝0. 因为Δ＝0得m ＝12，所以y ＝1，x ＝14， 所以M ⎝⎛⎭⎫14，1.14．60°或120°解析 设弦的方程为y ＝k(x －33)，代入2x 2－y 2＝18得(2－k 2)x 2＋63k 2x －27k 2－18＝0，所以x 1＋x 2＝63k 2k 2－2，x 1x 2＝27k 2＋18k 2－2. ∴MN ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，∴k ＝±3.故倾斜角为60°或120°.15．解 由于椭圆焦点为F(0，±4)，离心率为e ＝45， 所以双曲线的焦点为F(0，±4)，离心率为2，从而c ＝4，a ＝2，b ＝2 3.所以所求双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 16．解 设△AOB 为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O ，AO 边的方程是y ＝2x ，则OB 边方程为y ＝－12x. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x y 2＝2px ，可得A 点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x y 2＝2px，可得B 点坐标为(8p ，－4p)． ∵AB ＝53，∴ (p ＋4p )2＋⎝⎛⎭⎫p 2－8p 2＝5 3. ∵p>0，解得p ＝23913， ∴所求的抛物线方程为y 2＝43913x. 17．解 依题意可设P(0,1)，Q(x ，y)，则PQ ＝x 2＋(y －1)2，又因为Q 在椭圆上， 所以，x 2＝a 2(1－y 2)，PQ 2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2＝(1－a 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －11－a 22－11－a 2＋1＋a 2. 因为|y|≤1，a>1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1， 当y ＝11－a 2时，PQ 取最大值a 2a 2－1a 2－1. 18．解 由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y)，则AP →＝(x ＋6，y)，FP →＝(x －4，y)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0， 则2x 2＋9x －18＝0，x ＝32或x ＝－6. 由于y>0，只能x ＝32，于是y ＝523， ∴点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，523.19．解 由题意知直线l 的斜率存在， 设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2y 2＝2x ， 消去x 得ky 2－2y ＋4＝0，Δ＝4－16k>0⇒k<14 (k ≠0)， 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4k， ⎩⎨⎧x 1＝12y 21x 2＝12y 22⇒x 1x 2＝14(y 1y 2)2＝4k 2. OM ⊥ON ⇒k OM ·k ON ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴4k 2＋4k＝0，解得k ＝－1. 所以所求直线方程为y ＝－x ＋2， 即x ＋y －2＝0.20．(1)证明如图，设A(x 1,2x 21)，B(x 2，2x 22)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2得2x 2－kx －2＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2，x 1x 2＝－1， ∴x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4， ∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28.设抛物线在点N 处的切线l 的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0， ∵直线l 与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k)2＝0，∴m ＝k.即l ∥AB.(2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0，则NA ⊥NB ，又∵M 是AB 的中点，∴MN ＝12AB. 由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2) ＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2) ＝12＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2. ∵MN ⊥x 轴，∴MN ＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168. 又AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1) ＝12k 2＋1k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1k 2＋16，解得k＝±2.即存在k＝±2，使NA→·NB→＝0.。

2．1.1 函数的概念和图象(二)学习目标 1.理解函数图象的定义.2.会画简单的函数图象.3.能利用图象初步研究函数的性质．知识点一 函数的图象思考 在上一节中我们提到A ＝{0}，B ＝{1}，从A 到B 是函数关系，那么这个函数的图象是什么？答案 这个函数的图象是一个点(0,1)．梳理 将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f (x 0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x 0，f (x 0))．当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x ，f (x ))|x ∈A }，即{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }，所有这些点组成的图形就是函数y ＝f (x )的图象． 知识点二 函数图象的初步应用思考 如图是一个函数f (x )的图象，那么函数f (x )的定义域、值域是什么？f ⎝⎛⎭⎫12和f ⎝⎛⎭⎫13谁大？答案 由定义知图象上每一点的横坐标组成的集合是定义域，故f (x )定义域为[－1,1]．图象上每一点的纵坐标组成的集合是值域，故f (x )的值域为[0,1]． 由图知f (x )在(0,1]上的图象呈下降趋势，故f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13.梳理 如果已知函数图象，可以从中知道函数的定义域、值域、上升、下降趋势、某些特殊点的坐标等性质．类型一 画函数的图象 例1 画出下列函数的图象． (1)y ＝x 2＋x ，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)y ＝x 2＋x ，x ∈R ；(3)y ＝x 2＋x ，x ∈[－1,1)． 解 (1)列表：描点得该函数的图象如图：(2)y ＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14， 故函数对称轴为x ＝－12，顶点为⎝⎛⎭⎫－12，－14. 又y ＝x 2＋x 开口向上，且与x 轴，y 轴分别交于点(－1,0)，(0,0)． 故图象如图：(3)y ＝x 2＋x ，x ∈[－1,1)的图象是y ＝x 2＋x ，x ∈R 的图象上x ∈[－1,1)的一段，其中点(－1,0)在图象上，用实心点表示；点(1,2)不在图象上，用空心点表示：反思与感悟 函数图象受对应法则和定义域的双重影响，故画图时要关注定义域，另外画图时要标明关键点坐标，如最高点、最低点、与x 轴、y 轴交点，点的虚实要分清． 跟踪训练1 试画出下列函数的图象． (1)y ＝2x；(2)y ＝2x，x ∈[－2,1)且x ≠0；(3)y ＝2x ＋1.解 (1)如图：(2)y ＝2x在x ∈[－2,1)上的一段，如图：(3)由y ＝2x 向左平移一个单位得y ＝2x ＋1的图象，如图：类型二 函数图象的应用例2 函数f (x )，g (x )图象分别为如图(1)，(2)所示．试指出f (x )，g (x )的定义域、值域，并求当y ＝1时，f (x )，g (x )对应的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为{－1,0,1,2}，值域为{0,1,4}． 当y ＝1时，x ＝0或2.(2)g (x )的定义域为(－∞，2)，值域为[1,4)． 当y ＝1时，x ∈(－∞，1]．反思与感悟 由图求定义域看横坐标的范围，求值域看纵坐标的范围．函数定义允许多个x 值对应一个y 值，但不允许一个x 值对应多个y 值．跟踪训练2 已知函数f (x )，g (x )的图象分别为如图(1)，(2)．试指出f (x )，g (x )的定义域、值域，设x 1，x 2分别是f (x )，g (x )定义域内的两个数，且x 1<x 2，试指出f (x 1)，f (x 2)的大小关系和g (x 1)，g (x 2)的大小关系．解 (1)f (x )的定义域为[1,3)，值域为(13，1]，对于x 1，x 2∈[1,3)，且x 1<x 2，有f (x 1)>f (x 2)； (2)g (x )的定义域为(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)， 对于x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，有g (x 1)＜g (x 2)．1．下列图形中，可以作为函数y ＝f (x )的图象的是______．(填序号)答案 ①②④2．将函数y ＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的函数解析式为______________________________________________________________． 答案 y ＝(x －1)2＋33．若函数y ＝f (x )的图象经过点(0,1)，则函数y ＝f (x －1)的图象必经过点________． 答案 (1,1)4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，建立坐标系，其中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中较符合此学生走法的是________．(填序号)答案④5．画出下列函数的图象，并求值域．(1)f(x)＝2；(2)f(x)＝1－x，x∈Z，－2≤x≤2；(3)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈(－2,3]．解(1)图象：值域：{2}．(2)图象：值域：{－1,0,1,2,3}．(3)图象：值域：[1,10)．1．函数图象受对应法则和定义域双重影响，画图时要注意定义域．2．对于y ＝kx ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝kx 这类我们熟知的图象，通常是先画整体，再根据定义域剪裁，同时标注关键点的坐标．3．y ＝f (x )向左平移a 个单位，可得y ＝f (x ＋a )的图象；向上平移b 个单位，可得y ＝f (x )＋b 的图象．口诀为“左加右减，上加下减”．4．读图求定义域、值域要理解定义域、值域与图象的关系．课时作业一、填空题1．将函数y ＝3x 2的图象向上平移一个单位长度，得到函数y ＝________的图象，再将所得的图象向右平移两个单位长度，得到函数y ＝________的图象． 答案 3x 2＋1 3(x －2)2＋1解析 左右平移遵循“左加右减”的原则，上下平移遵循“上加下减”的原则．2．函数y ＝4(x ＋3)2＋4的图象可以看作由函数y ＝4(x －3)2－4的图象经过________________________变换得到．答案 向左平移6个单位长度，向上平移8个单位长度 解析 根据平移遵循的原则．3．函数f (x )＝1＋23x 的图象与y ＝g (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________，函数f (x )与y＝h (x )关于原点对称，则h (x )＝________. 答案 －1－23x －1＋23x解析 根据函数图象关于轴与原点的对称性质．4．函数y ＝1x 的图象关于点________对称，则函数y ＝1x ＋1－1的图象关于点________对称．答案 (0,0) (－1，－1)解析 根据函数图象关于点的对称性质．5．下列可作为函数y ＝f (x )的图象的是________．(填序号)答案 ④解析 ①中，当x ∈(－1,1)时，y 有两个值与它对应； ②中，当x >－1时，y 有两个值与它对应； ③中，当x ＝0时，y 有两个值与它对应； ④中，图象所体现的对应特点符合函数的概念． 6．函数f (x )＝x ＋2x ＋1的图象为________．(填序号)答案 ④解析 因为f (x )＝x ＋2x ＋1＝1＋1x ＋1，所以将函数y ＝1x 的图象向左平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长度就可得到f (x )的图象，故④正确．7．已知二次函数的图象开口向上，函数的图象关于直线x ＝1对称，若实数x 1<1，x 2>1，且x 1＋x 2>2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是________． 答案 f (x 2)>f (x 1)解析 因为x 1<1，x 2>1，且x 1＋x 2>2，所以x 2－1>1－x 1，根据二次函数的图象可得f (x 2)>f (x 1)． 8．若函数f (x )＝x 2－2x 在区间[a ，b ]上的值域是[－1,3]，则点(a ，b )的集合是如图中的线段________．答案 AC 和AB解析 f (x )＝(x －1)2－1，a ＝－1，1≤b ≤3或b ＝3，－1≤a ≤1.9．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．答案 2解析 依题意知，f (3)＝1，∴f (1f (3))＝f (1)＝2.10．某工厂从2002年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y 随年数t 变化的图象是________．(填序号)答案 ②解析 由前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随t 的变大而变小，由后四年年产量的增长速度不变，知图象的斜率不变．故填②. 二、解答题11．画出函数y ＝x 2－4|x |＋3的图象，若该图象与y ＝b 有4个交点，求实数b 的取值范围． 解 函数y ＝x 2－4|x |＋3可化为y ＝|x |2－4|x |＋3，在平面直角坐标系中画出y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1的图象，删去y 轴左侧的图象并将轴右侧的图象关于y 轴作对称即得y ＝|x |2－4|x |＋3＝x 2－4|x |＋3的图象(如下图)，由图象知若y ＝|x |2－4|x |＋3＝x 2－4|x |＋3与y ＝b 有4个交点，则b ∈(－1,3)．12．设f (x )＝|2－x 2|，若a <b <0，且f (a )＝f (b )，求a 2＋b 2的值．解 保留函数y ＝2－x 2在x 轴上方的图象，将其在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即可得到函数f (x )＝|2－x 2|的图象(如图所示)．通过观察图象，由a <b <0，且f (a )＝f (b )可知a <－2<b <0，所以f (a )＝a 2－2，f (b )＝2－b 2，从而a 2－2＝2－b 2，即a 2＋b 2＝4.13．作下列函数的图象，并指出其值域． (1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x ≤1，且x ≠0)．解 (1)如图所示，其值域为[－14，2]．(2)如图所示，其值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．三、探究与拓展14．已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．答案[－2,4]∪[5,8][－4,3]解析函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．15．函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图象如图，f(x)与直线y＝m图象有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.。

2.1.2 函数的表示方法1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的表示方法阅读教材P33开头至例1，完成下列问题．函数的表示方法1．判断(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)有些函数能用三种方法来表示．( )【答案】(1)×(2)×(3)√2．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f (x)．【解】列表法：笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y510152025解析法：y ＝5x ，x ∈{1,2,3,4,5}．图象法：教材整理2 分段函数阅读教材P 34例2，例3，完成下列问题．1．在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数． 2．分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．3．分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2－1，x <0，则f (x )的定义域为________，值域为________．【解析】 定义域为{x |x >0或x <0}＝{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>－1，∴值域为{y |y >－1}． 【答案】 {x |x ≠0} {y |y >－1}[小组合作型]求函数解析式求下列函数的解析式．(1)已知f (x )为一次函数，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝－4x ＋6，则f (x )＝________. (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(3)已知f (x )为一次函数，且f (f (x ))＝4x －1，则f (x )＝________.(4)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________．(5)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)(3)(4)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把x ＋1看作一个整体来求解．(5)可以把x －2x看作一个整体来求解．【自主解答】 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)＋b ， f (2x －1)＝a (2x －1)＋b ，f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝4ax ＋2b ＝－4x ＋6，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－4，2b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，即函数f (x )的解析式为f (x )＝－x ＋3. (2)法一 令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2， ∴f (t )＝(t －1)2＋2t －12＝t 2－1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二 f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(3)设所求函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，所以f (f (x ))＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x＋kb ＋b ＝4x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1，所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(4)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x ＞0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，(5)f ⎝⎛⎭⎪⎫x －2x ＝x 2＋4x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2＋4，∴f (x )＝x 2＋4.【答案】 (1)－x ＋3 (2)x 2－1(x ≥1) (3)2x －13或－2x ＋1(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ＞0x 2＋4x ＋2，x ≤0 (5)x 2＋4求函数解析式的常用方法1．待定系数法：已知函数f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．2．换元法：令t ＝g (x )，注明t 的范围，再求出f (t )的解析式，然后用x 代替所有的t 即可求出f (x )，一定要注意t 的范围即为f (x )中x 的范围．3．配凑法：已知f (g (x ))的解析式，要求f (x )时，可从f (g (x ))的解析式中拼凑出“g (x )”，即用g (x )来表示，再将解析式两边的g (x )用x 代替即可．4．代入法：已知y ＝f (x )的解析式求y ＝f (g (x ))的解析式时，可直接用新自变量g (x )替换y ＝f (x )中的x .[再练一题]1．(1)已知f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝________.(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________.【解析】 (1)设f (x )＝k 1x ＋k 2x ，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝k 1＋k 2＝3，f 2＝2k 1＋k 22＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ＋2x.(2)令t ＝x ＋1x (t ≠1)，则x ＝1t －1，∴f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12＋(t －1)＝t 2－t ＋1，∴f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．【答案】 (1)x ＋2x(2)x 2－x ＋1(x ≠1)分段函数已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2－2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52的值； (2)若f (a )＝3，求实数a 的值； (3)作出f (x )的图象，并求值域．【精彩点拨】 (1)先分析－5，－3，－52在哪一段上，再分别求值．(2)函数值为3的a ，应逐段分析讨论． (3)逐段作出图象并观察值域．【自主解答】 (1)f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2－2(－3)＝3＋2 3.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫－52＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫214＝2·214－1＝192.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1, 当a ＋1＝3时，则a ＝2(舍去)， 当－2<a <2时，f (a )＝a 2－2a ＝3，∴a ＝－1或a ＝3(舍)，∴a ＝－1. 当a ≥2时，f (a )＝2a －1＝3，∴a ＝2.综上a＝－1或2.(3)由图可得f (x)的值域为R.1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．[再练一题]2．例2中求f (x)与直线y＝b的交点个数．【解】当b<－1时，y＝b与y＝f (x)有一个交点；当－1≤b<0时，y＝b与y＝f (x)有两个交点；当0≤b<3时，y＝b与y＝f (x)有一个交点；当3≤b<8时，y＝b与y＝f (x)有两个交点；当b≥8时，y＝b与y＝f (x)有一个交点．[探究共研型]方程组法求解析式探究1 解二元一次方程组的主导思想是什么？【提示】 主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．探究2 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝4，①A －B ＝6，②【提示】 法一(代入消元法)：由②得A ＝B ＋6，代入①得B ＋6＋B ＝4，∴B ＝－1，代入A ＝B ＋6，得A ＝5，∴A ＝5，B ＝－1.法二(加减消元法)：①＋②得2A ＝10，∴A ＝5， ①－②得2B ＝－2，∴B ＝－1.探究3 探究2中，每个等式右边如果是代数式，如⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝x 2，A －B ＝4x ，能求A ，B 吗？【提示】 能求A ，B .仍可以采用上述两种方法． 两式相加得2A ＝x 2＋4x ，∴A ＝x 2＋4x2，两式相减得2B ＝x 2－4x ，∴B ＝x 2－4x2.求解析式，(1)已知f (x )＋2f (－x )＝1x，求f (x )；(2)已知2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，求f (x )． 【精彩点拨】 将f (x )与f (－x )，f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f (x )．【自主解答】 (1)∵f (x )＋2f (－x )＝1x，①用－x 替换x 得f (－x )＋2f (x )＝－1x，②②×2－①得3f (x )＝－2x －1x ＝－3x ，∴f (x )＝－1x.(2)∵2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x替换x 得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋f (x )＝3x，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数⎝ ⎛⎭⎪⎫f x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，互为相反数(f (－x )，f (x ))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用1x或－x 替换原式中的x 即可．[再练一题]3．已知f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x ，则f (x )的解析式为________. 【解析】 用1x替换x 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )＋1x，代入上式得f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2f x ＋1x ＋x ，解得f (x )＝－23x －x3.【答案】 f (x )＝－23x －x31．已知函数f (3x ＋1)＝x 2＋3x ＋2，则f (10)＝________.【解析】 令3x ＋1＝10，∴x ＝3，代入得f (10)＝32＋3×3＋2＝20. 【答案】 202．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝________. 【解析】 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 【答案】 3x －23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f ( f (－3))等于________．【解析】 由分段函数式可知f (f (－3))＝f (0)＝π. 【答案】 π4．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f(x )的表达式为____________．【解析】 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)． 【答案】 f (x )＝x 2＋2(x ≠0)5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值.【解】 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.。

2.1.1函数的概念和图象（3）教学目标：1．进一步理解函数的概念，理解函数的本质是数集之间的对应，能作出给定函数的图象；2．通过作图，了解图象可以是连续的曲线，也可以是散点，并能通过图象揭示函数的本质属性；3．通过教学，培养学生数形结合的能力，能由具体逐步过渡到符号化，并能对其进行理性化思考，对事物间的联系的进行数学化的思考．4．理解作图是由点到线，由局部到整体的过程，培养学生辩证地看待事物的观念和数形结合的思想．教学重点：作函数的图象．教学过程：一、问题情境1．情境．回忆初中所学的一次函数，反比例函数和二次函数的图象．2．问题．是不是每一个函数都可以用图象表示呢？怎样才能准确地作出一个函数的图象呢？二、学生活动1．回忆初中作函数图象的步骤；2．按初中的作图步骤作出函数f(x)＝x－1，f(x)＝x2－1，f(x)＝1x等函数的图象；3．思考课本27页的思考题并给出答案；4．阅读课本27页的阅读内容，尝试借助于电脑完成有关函数的图象．三、数学建构1．函数的图象：一般地，我们将自变量的一个值x0作为横坐标就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，自变量取遍函数定义域A的每个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，这些点组成的曲线就是函数y=f(x)的图象．（1）函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成，或是几个孤立的点；（2）函数图象上每一点的纵坐标y＝f(x0)，即横坐标为x0时的相应函数值；（3）每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示一个函数．2．利用图象初步了解函数图象的对称性与单调性；3．用E x cel帮助作图（1）赋值；（2）命令函数；（3）进行函数运算；（4）选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图”插入图表．四、数学运用1．例题．例1画出下列函数的图象：（1）f(x)＝x＋1；（2）f(x)＝x＋1，x∈{－1，0，1，2，3}；（3）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈R；（4）f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)．例2从人口统计年鉴中查到我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示：把人口数y(百万人)看作是年份x的函数，试根据表中数据画出函数的图象．例3试画出函数f(x)＝x2＋1的图象，并根据图象回答下列问题：（1）较f(－2)，f(1)，f(3)的大小；（2）若0＜x1＜x2，试比较f(x1)与f(x2)的大小．2．练习：（1）课本28页练习1，2，3；（2）作出下列函数的图象；①f(x)＝|x－1|＋|x＋1|；②f(x)＝|x－1|－|x＋1|；③f(x)＝x|2－x|．五、回顾小结1．函数图象的作法；2．函数的作图是利用局部来反映全部；3．函数的图象具有直观性，生活因有图而美丽，函数因有图而生动．六、作业课堂作业：课本29页第3小题；课外作业：利用E x cel帮助研究函数f(x)与f(x＋a)、f(x)＋a的关系．。