七年级上学期期中考试压轴题集训班专题讲义一

人教版七年级上册数学期中考试考前微专题集训三角形的高、中线与角平分线知识储备:1.三角形的三条重要线段:(1)作三角形的高时,一定要明确作的是三角形哪条边上的高.(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形.(3)三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线.2.三角形的稳定性:这是三角形所独有的性质,其他多边形不具有此性质.一.选择题.1.在实际生活中,我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性,下列实物图中利用了稳定性的是( )2.下列图形中AD是三角形ABC的高线的是( )3.如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是( )A.AB=2BFB.∠ACE=∠ACBC.AE=BED.CD⊥BE4.如图,AD⊥BC,GC⊥BD,CF⊥AB,垂足分别是点D,点C,点F,下列说法中,错误的是( )A.在△ABC中,AD是边BC上的高B.在△ABC中,GC是边BC上的高C.在△GBC中,GC是边BC上的高D.在△GBC中,CF是边BG上的高5.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有的性质是( )A.边BB′上的中线B.边BB′上的高C.∠BAB′的平分线D.以上三种性质都具备6.若线段AP,AQ分别是△ABC边上的高线和中线,则( )A.AP>AQB.AP≥AQC.AP<AQD.AP≤AQ二.填空题.1.如图,在△ABC中,AD,BE分别是高和中线,BC=8 cm,AD=4 cm,则△BCE的面积为.2.在△ABC中,AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,则AC= ,AB= .3.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABD的中线,若DE=3 cm,则EC= cm.4. 如图所示,在△ABC中,D,E分别为边BC,AD的中点,且S△ABC=4,则S阴影为 .5. 如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,且△ABD的周长为11,则△BCD的周长是 .三.解答题.1.在△ABC中,AD是中线,且AB=10 cm,AC=4 cm,求△ABD与△ACD的周长的差.2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,BC=12,AC=8,AD=6,则BE的长为多少?3.(1)工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋顶的钢架、输电线的支架等,这里运用的三角形的性质是________.(2)下列图形具有稳定性的有________个:正方形、长方形、直角三角形、平行四边形.(3)已知四边形的四边长分别为2,3,4,5,这个四边形的四个内角的大小能否确定?(4)要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形,工人准备再钉上两根木条,如图的两种钉法中正确的是:________.(5)要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形,至少需要加1根木条固定,要使五边形木架不变形,至少需要加2根木条固定,要使六边形木架不变形,至少需要加3根木条固定,…,如果要使一个n边形木架不变形,至少需要加________根木条固定.。

专题2.5 新定义问题【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f （3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f （4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，12）＝ ，f （5，3）＝ ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）．【思路点拨】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解题过程】解：（1）f （4，12）=12÷12÷12÷12=4，f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为：4；127．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误；②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为：②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（1a）n ﹣2（n 为正整数，a ≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）=127×9×（−18）×16 =−23．1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a 和b ，规定a ☆b ＝a b ﹣b 2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．32D ．−322．（2023秋•东港区期末）已知a 、b 皆为正有理数，定义运算符号为※：当a ＞b 时，a ※b ＝2a ；当a ＜b 时，a ※b ＝2b ﹣a ，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ） A ．﹣2B ．5C ．﹣6D ．103．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a 、b ，都有a *b ＝b 3﹣1，则12*[3*（﹣1）]的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣9C ．−12D ．04．（2023秋•洪山区期末）定义：如果a 4＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：因为72＝49，所以log 749＝2；因为53＝125，所以log 5125＝3．则下列说法中正确的有（ ）个．①log 66＝36；②log 381＝4；③若log 4（a +14）＝4，则a ＝50；④log 2128＝log 216+log 28； A ．4B ．3C ．2D ．15．（2023秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−23=2×1×23−1，2−35=2×2×35−1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）A ．（﹣3，47）B ．（4，49）C ．（﹣5，611） D ．（6，713）6．（2023秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n +5；②当n 为偶数时，结果为n 2k；（其中k 是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n ＝26．则：若n ＝49，则第2021次“F ”运算的结果是（ ） A ．68B ．78C ．88D ．987．（2023秋•大连月考）我们对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义一种新的运算：|abcd|=ad ﹣bc ．则|−4−231|的值为 ．8．（2023秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a ﹣b +c ，图形表示﹣x +y ﹣z ，则+的值为 ．9．（2023秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a *b =a+1b ，则（13*12）*2＝ ． 10．（2023秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a 、b ，当a ≤b 时，都有a △b ＝a 2b ；当a ＞b 时，都有a △b ＝ab 2，那么，2△6＝ ；(−23)△(−3)= ．11．（2023秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x ⨂y ={x 2−2y ，x ＞y1，x =y−2xy ，x ＜y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ ．12．（2023•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：（1）x Θy ＝4x +y ，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根据以上规则，计算[1Θ(−12)]+[(−2)Θ194]= ．13．（2023秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b= a+b+|a−b|2．（1）计算：（﹣6）☆5＝．（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是．14．（2023秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a ﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．（1）计算3⨂（﹣5）的值．（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．15．（2023秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab ﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：（1）（﹣3）⨂6的值；（2）[2⨂（−32）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．16．（2023秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号，异号，并把绝对值；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得．（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝．（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1a×b +1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值．17．（2023秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a ，b 满足等式a ﹣b ＝ab ．那么称a ，b 是“关联有理数对”，记作（a ，b ）．如：因为3−34=124−34=94，3×34=94．所以数对（3，34）是“关联有理数对”．（1）在数对①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“关联有理数对”的是 （只填序号）；（2）若（m ，n ）是“关联有理数对”，则（﹣m ，﹣n ） “关联有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b ＝n ，那么b 为n 的“劳格数”，记为b ＝d （n ）．由定义可知：10b ＝n 与b ＝d （n ）表示b 、n 两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d （100）＝2． 理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d （10﹣3）＝ ，d （1）＝ ；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m 、n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ），d （mn ）＝d （m ）﹣d （n ）；根据运算性质，填空：d(a 3)d(a)= ；（a 为正数）（3）若d （2）＝0.3010，计算：d （4）、d （5）；（4）若d （2）＝2m +n ，d （4）＝3m +2n +p ，d （8）＝6m +2n +p ，请证明m ＝n ＝p ．19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a ，b ，c ，计算a ﹣b ，a−c 2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a ，b ，c 的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，﹣2，3的“分差”为−53．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；（3）调整﹣1，6，x 这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x 的值．20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：第一列第二列第一排 1 2第二排4 3然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为．（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．。

七年级数学上册压轴题讲座1．数学七上的基本内容：有理数、整式的加减、一元一次方程和几何图形初步2．压轴题的呈现形式：一般有三个小问题，第一个小问题比较简单，第二小问题比较适中，第三个小问题有所提高3．压轴题的基本类型：分类讨论型、多种可能型、点线运动型、图形变换型、最大最小型、结论定值型等等4．压轴题的解题技巧：通篇精读试题，预测题量难易，考虑时间容积，根据自身实力，不可心慌泄气，做一题算一题5．数学复习基本方法：基本概念天天想，计算能力要加强，解题步骤细又详，做过题型莫遗忘，技巧方法能帮忙，反思总结回味长。

【例题1】化简代数式523x x ++-的关键在于去掉两个绝对值符号。

我们知道，只去掉一个绝对值符号很容易，如5x +，只要考虑5x +的正负，可分为5x <-与5x -≥两种情况来讨论，这里的5x =-是使50x +=的x 值，称它为5x +的一个零点．同理，对于23x -，也有一个零点32x =．为了同时去掉两个绝对值符号，将x 的取值范围分成三段，即5x <-，352x -<≤，32x ≥进行讨论，这种令各个绝对值内的代数式为0，找出零点，确定讨论范围的方法称为“零点分段法”（1）计算：523x x ++-．（2）代数式121x x --++的零点值有哪些？（3）化简121x x --++．解：（1）23)32()5(325时5当--=--+-=-++-<x x x x x ：x 8)32()5(325时235当+-=--+=-++<≤-x x x x x ：x 23)32()5(325时23当+=-++=-++≥x x x x x ：x （2）；，x x 1时01当==-,3或1,2121时021当-=±=-=-=--x ，x x ，x1时01当-==+，x x所以代数式的零点为3，11==-=x ，x x (3)11)1(2)1(原式时1当----=+---=-<x x x x ，x2211--=----=x x x11)1(2)1(原式时11当++--=++--=<≤-x x x x ，x2211+=+++=x x x41313)1(2)1(原式时31当=++-=++-=++--=<≤x x x x x x ，x 221313)1(2)1(原式时3当-=++-=++-=++--=≥x x x x x x x ，x【例题2】观察下列各式的大小关系：|－2|＋|3|＞|－2＋3|； |－6|＋|3|＞|－6＋3||－2|＋|－3|＝|－2－3|； |0|＋|－8|＝|0－8|（1）填空：|a|＋|b|_____|a ＋b|（用“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”填空）（2）根据上题中所得出的结论，若|m|＋|n|＝13，|m ＋n|＝1，求m 的值．（3）a 、b 、c 满足什么条件时，|a|＋|b|＋|c|＞|a ＋b ＋c|．解：（1）≥（只有a 与b 异号时填“>”，其他所有情况都是“=”，所以此处应填“≥”）（2）因为|m|＋|n|＝13，|m ＋n|＝1，|m|＋|n|＞|m ＋n|，所以m 、n 异号.当m>0，n<0时，|m|＋|n|=m －n ＝13，则n ＝m －13，代入|m ＋n|=1得：|m ＋m －13|＝1，m ＝7或6当m<0，n>0时，|m|＋|n|=-m+n ＝13，则n ＝m+13，代入|m ＋n|=1得：|m ＋m+13|＝1，m ＝－7或－6综上所述，m 为±6或±7（3）分析：若按a 、b 、c 中0的个数进行分类，可以分成四类：第一类：a 、b 、c 三个数都不等于0①1个正数，2个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a ＋b ＋c|②1个负数，2个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a ＋b ＋c|③3个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a ＋b ＋c|，故排除④3个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a ＋b ＋c|，故排除第二类：a 、b 、c 三个数中有1个0 【结论同第（1）问】①1个0，2个正数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a ＋b ＋c|，故排除②1个0，2个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a ＋b ＋c|，故排除③1个0，1个正数，1个负数，此时|a|＋|b|＋|c|＞|a ＋b ＋c|第三类：a 、b 、c 三个数中有2个0①2个0，1个正数：此时|a|＋|b|＋|c|＝|a ＋b ＋c|，故排除②2个0，1个负数：此时|a|＋|b|＋|c|＝|a ＋b ＋c|，故排除第四类：a 、b 、c 三个数都为0，此时|a|＋|b|＋|c|＝|a ＋b ＋c|，故排除综上所述：a 、b 、c 应该满足：1负2正、或1正2负、或1零1正1负.（至少有一个正数和一个负数）【例题3】已知:b 是最小的正整数,且a 、b 、c 满足 0|b +a |+ 5)-(c 2(1)请计算a 、b 、c 的值;(2)a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C,线段AB 的中点为M,线段BC 的中点为N,P 为动点,其对应的数为x,点P 在线段MN 上运动(包括端点).①求x 的取值范围. ②此时求表达式|94-x |+2|1-x |-|1+x | 的值为固定值时的x 的范围 解：（1）根据题意得：b=1，c-5=0，a+b=0，∴a=-1，b=1，c=5. （2）①M 点表示的数为（a+b ）/2=（-1+1）/2=0，N 点表示的数为（b+c ）/2=（1+5）/2=3，所以：x 的取值范围为：0≤x≤3.②x+1=0得x=-1； x-1=0得x=1； x 94-=0得x=94 当0≤x≤94时|x+1|-|x-1|+2|x 94-|=x+1+(x-1)-2(x 94-)=x+1+x-1-2x+98=98 当94＜x≤1时|x+1|-|x-1|+2|x-94|=x+1+(x-1)+2(x-94)=x+1+x-1+2x-98=4x-98 当1＜x≤3时|x+1|-|x-1|+2|x-94|=x+1-(x-1)+2(x-94)=x+1-x+1+2x-98=2x-910 所以，当0≤x≤94时，表达式的值为固定值98，与x 无关【例题4】已知多项式A=ax 4-(b+5)x 3+(c-1)x 2+9x-17，B=(m+1)x |m|+3+kx(1)若A 是关于x 的四次三项式，则a 的取值范围是（ ），并计算(b+4c)2019(2)若B 是关于x 的四次单项式，则m=（ ），k =（ ），(3)若关于x 的方程A=B 是一元一次方程且只有整数解，求a,b ,c ,m,k 的值及方程的解 解：（1）a ≠0，b+5=0,c-1=0,即 b=-5,c=1,所以(b+4c)2019=（-5+4×1）2019=-1（2）m+1≠0，且|m|+3=4,k=0,所以m=1, k=0(3) a=0,b=-5 ,c=1 ,m=-1,此时方程为：9x-17=kx,解得：k-917 x 因方程有整数解，而17是质数，所以9-k=±1或±17 即k=-8，8,10或26，当k=-8时x=1, 当k=8时x=17, 当k=10时x=-17, 当k=26时x=-1【例题5】如图，已知 A 、B 、C 是数轴上三点，点 C 表示的数为 6，BC=4，AB=12．写出数轴上点 A 、B 表示的数；动点 P 、Q 分别从 A 、C 同时出发，点 P 以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为 AP 的中点，点 N 在线段 CQ 上，且 CN=31CQ ，设运动时间为 t （t ＞0）秒． ② 数轴上点 M 、N 表示的数（用含 t 的式子表示）；②t 为何值时，原点 O 恰为线段 PQ 的中点．解：（1）设A ，B ，C 表示的数分别为a,b,c∵C 表示的数为c= 6，BC=4， c-b=6﹣b=4，b=2 ∴B 点表示数 2．∵AB=12， b-a=2-a=12 ∴a=-10， ∴A 点表示数﹣10；（2）①由题意得：AP=6t ，CQ=3t ，如图 1 所示：∵M 为 AP 中点， ∴AM=21AP=3t ， ∴在数轴上点 M 表示的数是（﹣10+3t ） ∵点 N 在 CQ 上，CN=31CQ ， ∴CN=t ， ∴在数轴上点 N 表示的数是 （6﹣t ）②如图 2 所示：由题意得，AP=6t ，CQ=3t ，分两种情况：i ）当点 P 在原点的左侧，点 Q 在原点的右侧时，OP=10﹣6t ，OQ=6﹣3t ，∵O 为 PQ 的中点， ∴OP=OQ ， ∴10﹣6t=6﹣3t ，得：t= 34 ii ）当 P 在点 O 的右侧，点 Q 在点 O 的左侧时，OP=6t ﹣10，OQ=3t ﹣6，∵O 为 PQ 中点，∴OP=OQ ，∴6t ﹣10=3t ﹣6，解得：t=34 (此时AP=8，说明P 点在原点的左边，所以不合题意舍去)【例题6】如图，数轴上有三个点A 、B 、C ，表示的数分别是﹣4、﹣2、3，请回答：（1）若使C 、B 两点的距离与A 、B 两点的距离相等，则需将点C 向左移动( )个单位；（2）若移动A 、B 、C 三点中的两个点，使三个点表示的数相同，移动方法有( )种，其中移动所走的距离和最小的是( )个单位；（3）若在原点处有一只小青蛙，一步跳1个单位长．小青蛙第1次先向左跳1步，第2次再向右跳3步，然后第3次再向左跳5步，第4次再向右跳7步，…，按此规律继续跳下去，那么跳第100次时，应跳( )步，落脚点表示的数是( )；跳第n 次呢？（4）数轴上有个动点P 表示的数是x ，则|x ﹣2|+|x+3|的最小值是( )．解：（1）将C 移到数字0，或者移动到数字-4，所以是左移3个单位，或7个单位（2）将A 、B 移动到C ，或将A 、C 移动到B ，或将B 、C 移动到A 。

七年级数学（上）压轴题考点集训压轴题常考类型归纳1、找规律2、绝对值与动点3、代数式化简求值一、解答题1．（2020·兴山县黄粮镇初级中学七年级月考）（阅读理解）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D 就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．（知识运用）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B 出发向左运动，当P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？2．（2020·山东七年级期中）如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为2-，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB=______，BC=______，AC=______；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC AB -的值是否随着运动时间t 的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．3．（2020·厦门市音乐学校七年级期中）（1）画出数轴，并在数轴上表示下列各数： 3.5，0，－5，－(－2)； （2）数轴上表示2和－5的两点之间的距离是 ． （3）若数轴上A 点表示的数为x ，B 点表示的数为－1，则AB 之间的距离为 ．（4）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围是 ． 4．（2020·江西七年级期中）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：（1）已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，﹣2.5，﹣3观察数轴，B ，C 两点之间的距离为 ；与点A 的距离为3的点表示的数是 ；（2）若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是 ；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为2020（M 在N 的左侧），且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则MM 两点表示的数分别是：M ： ，N ： ．（3）若数轴上P ，Q 两点间的距离为m （P 在Q 左侧），表示数n 的点到P ，Q 两点的距离相等，则将数轴折叠，使得P 点与Q 点重合时，P ，Q 两点表示的数分别为：P ，Q ．（用含m ，n 的式子表示这两个数）5．（2019·郑州枫杨语数外七年级月考）已知数轴上有 A 、B 、C 三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点 P 从 A 出发，以每秒 1 个 单位的速度向终点 C 移动，设点 P 移动时间为 t 秒．（1）用含 t 的代数式表示 P 到点 A 和点C 的距离：PA= ，PC= （2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 从 A 点出发，以每秒 3 个单位的速 度向 C 点运动，Q 点到达 C 点后，再立即以同样的速度返回，当点 P 运动到点 C 时，P 、Q 两点运动停止，①当 P 、Q 两点运动停止时，求点 P 和点 Q 的距离；②求当 t 为何值时 P 、Q 两点恰好在途中相遇．6．（2019·泉州第十六中学七年级月考）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是－2.已知点A ，B 是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．(1) 若点A 表示数1-，当点A 向_____ 移动_____个单位长度时，所表示的数恰好是4的相反数．(2) 若点A 表示数1-，点B 表示数4，当点B 不动时，点A 向_____移动_____个单位长度或向_____移动_____个单位长度，此时A ，B 两点间的距离是6．(3) 若点A 表示数2，将A 点向左移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度后到达点B ，则B 表示的数是________，此时 A ，B 两点间的距离是________．(4)若A 点表示数为a ，将A 点向右移动b 个单位长度，再向左移动c 个单位长度后到达点B ，则点B 表示的数是_____．7．（2018·常州市同济中学七年级月考）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A 、B 两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A ：_____；B ：_____； （2）观察数轴，与点A 的距离为4的点表示的数是：______； （3）若将数轴折叠，使得A 点与﹣3表示的点重合，则B 点与数______表示的点重合；（4）若数轴上M 、N 两点之间的距离为2010（M 在N 的左侧），且M 、N 两点经过（3）中折叠后互相重合，则M 、N 两点表示的数分别是：M ：_______，N ：_______．8．（2020·浙江七年级期末）同学们都知道，()52--表示5与-2的差的绝对值，实际上也理解为5与-2两数在数轴上对应的两点之间的距离，回答下列问题：（1）()52--=_______。

七年级上学期期中考试压轴题集训班专题讲义一数轴上的动点（1）【课前导读——知识要点】一、数轴上的点：分析题意时分清四种点，解决题中每一个点对应的数1．已知点；2．任意一点：单设x ；3．动点（运动）：运动的三要素：起点、方向、运动量（缺量设量）起点对应的数方向（右加、左减、不知左右可加可减） ⇒终点对应的数运动量（距离、路程、速度×时间）4．中点数轴两点对应线段的中点公式（隐藏中点的可能性语言：平分点、对称点、折叠点）（1）求中点，平均数（和的一半）（2）已知中点，中点的2倍减一个（端点）二、方程的构建1．重合、到达、相遇、追上2．几何中距离关系数轴上两点间的距离公式：求距离，大减小，不知大小绝对值三、绝对值方程的解法：方法一：相等或相反；方法二：零点分段讨论法1．若()f x a =（0a ≥），则()f x a =或()f x a =-（()0f x a +=）；2．若()()f x g x =，则()()f x g x =或()()0f x g x +=；3．若()()f x g x =，则()()f x g x =或()()0f x g x +=；4．若()()f x g x a ±=，零点分段讨论法分别去掉两个绝对值符号，再解方程，注意验根；【课前自主练】1．点A 对应的数为10，若点A 向右运动5单位到达点B ，则点B 对应的数为 ；2．点A 对应的数为-8，若点A 向右运动5单位到达点B ，则点B 对应的数为 ；3．点A 对应的数为-5，若点A 向右运动12单位到达点B ，则点B 对应的数为 ；4．点A 对应的数为3，若点A 向左运动9单位到达点B ，则点B 对应的数为 ；5．点A 对应的数为9，若点A 向左运动4单位到达点B ，则点B 对应的数为 ；6．点A 对应的数为-5，若点A 向左运动7单位到达点B ，则点B 对应的数为 ；7．点A 对应的数为5，若B 点在点A 的右．侧，且AB=8，则点B 对应的数为 ； 8．点A 对应的数为-8，若B 点在点A 的左．侧，且AB=4，则点B 对应的数为 ； 9．点A 对应的数为-13，若B 点在点A 的右．侧，且AB=6，则点B 对应的数为 ； 10．点A 对应的数为17，若B 点在点A 的左．侧，且AB=6，则点B 对应的数为 ；11．点A对应的数为-4，若B点在点A的右．侧，且AB=15，则点B对应的数为；12．点A对应的数为5，若B点在点A的左．侧，且AB=21，则点B对应的数为；13．点A对应的数为-9，若B点在点A的左．侧，且AB=10，则点B对应的数为；14．点A对应的数为3，且AB=10，则点B对应的数为；15．点A对应的数为a，且AB=m，则点B对应的数为；16．点A对应的数为a，B点对应的数为b，则线段AB的长度为；17．点A对应的数为5，点B对应的数为8，动点P从A点出发以3单位/秒的速度向左运动了t秒，则动点P对应的数为，此时PB＝，PO＝；18．点A对应的数为－9，点B对应的数为－18，动点Q从A点出发以2单位/秒的速度向右运动了x秒，则动点Q对应的数为，此时QB＝，QO＝；19．点A对应的数为13，B点对应的数为5，则线段AB的中点M对应的数为；20．点A对应的数为-8，B点对应的数为4，则线段AB的中点M对应的数为；21．点A对应的数为15，B点对应的数为-6，则线段AB的中点M对应的数为；22．点A对应的数为-12，B点对应的数为-8，则线段AB的中点M对应的数为；23．点A对应的数为a，B点对应的数为b，则线段AB的中点M对应的数为；24．已知A点对应的数为14，AB的中点M对应的数为5，则B点对应的数为；25．已知A点对应的数为5，AB的中点M对应的数为12，则B点对应的数为；26．已知A点对应的数为8，AB的中点M对应的数为-4，则B点对应的数为；27．已知A点对应的数为-4，AB的中点M对应的数为6，则B点对应的数为；28．已知A点对应的数为-18，AB的中点M对应的数为-7，则B点对应的数为；29．已知A点对应的数为-16，AB的中点M对应的数为-20，则B点对应的数为；30．已知A点对应的数为a，AB的中点M对应的数为m，则B点对应的数为；31．如图，A：a，B：b，M：x.则有：AM= ，BM= ，AB= ，x （1）∵M为线段AB的中点，即AM=BM，可列方程：∴，∴x= ，即点M对应的数为；（2）若AB=3BM，可列方程：∴，∴x= ，即点M对应的数为 .32．点A对应的数为10，B点对应的数为－6，动点P从A点出发以3单位/秒的速度向左运动，同时动点Q 从A 点出发以2单位/秒的速度向右运动，设运动时间为x 秒，则动点P 对应的数为 ，动点Q 对应的数为 ，PQ 的中点M 对应的数为 ，此时PQ ＝ ，OM ＝ ；33．解方程（1）2715x -=； （2）837x -=；（3）25310x x -=+； （4）3715x x +=-；（5）32354x x -=-； （6）6423x x -=+；（7）2313x x -++=.【新知讲授】一、已知A 点对应的数为-20，B 点对应的数为10，动点P 从A 点出发以每秒4单位的速度沿数轴正方向运动，同时动点Q从B点出以2单位每秒的速度沿数轴负方向运动.（1）试问：多少秒时动点P、Q重合？（2）试问：多少秒时，AP+BQ=40？（3）试问：多少秒时，PQ=6？（4）若M为BP的中点，N为AQ的中点，若MN=20，求运动的时间.二、已知数轴上A、B两点对应的数分别为-8和20，动点P从A点出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时动点Q从B点出发以x单位/秒的速度向左运动.若P、Q两点相遇于原点，求x的值.三、如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-30，B点对应的数为100.（1）动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（2）若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？（3）若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向右运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向右运动，M、N分别为AQ、BP的中点，在运动过程中，试问：5MO-3NO是否为定值？四、已知数轴上A、B两点对应的数分别为-2和4，P点为数轴上的一点.（1）若P点到A点的距离是P点到B点距离的2倍，求P点对应的数；（2）若A为CP的中点，B为DP的中点，试说明无论P点在数轴的什么位置，ABCD恒为定值.（3）动点M从A点出发，以3单位/秒的速度向左运动，同时运动N从B点出发，以5单位/秒的速度也向左运动，P为MN的中点，且OP=2，求运动的时间.五、已知数轴上点A、B在数轴上分别表示有理数－18、24，若点M、点N和点P分别从点A、点B、原点同时向右运动，它们的速度分别为4、2、2个长度单位/秒.（1）若C为MP的中点，D为NP的中点，求线段CD的长度；（2）若P点到M、N两点的距离之和为6，求运动的时间.（3）问：多少秒后点P、点M、点N这三个点中的两个点到另外一个点的距离相等？。

期中考试压轴题训练（一）1．如果0abcd <，0a b +=，0cd >，那么这四个数中负数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个或3个【答案】D【详解】由abcd<0，a+b=0，cd>0，得a,b 一个正数，一个是负数，c,d 同正或同负，这四个数中的负因数有1个或三个，故选D.2．对于有理数x ，y ，若0x y <，则||||||xy y x xy y x ++的值是（ ）．A ．3-B ．1-C ．1D ．3A ．7B ．3或﹣3C ．3D ．7或3【答案】A【详解】解：∵|m |＝5，|n |＝2，∴m ＝±5，n ＝±2，又∵m 、n 异号，∴m ＝5、n ＝﹣2或m ＝﹣5、n ＝2，当m ＝5、n ＝﹣2时，|m ﹣n |＝|5﹣（﹣2）|＝7；当m ＝﹣5、n ＝2时，|m ﹣n |＝|﹣5﹣2|＝7；综上|m ﹣n |的值为7，故选：A ．4．已知132n x y +与4313x y 是同类项，则n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B周长为n （图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ）A ．m n+B ．m n -C ．2m n -D ．2m n+10010AB BC CD DE ===，，则数9910所对应的点在线段（ ）上．A ．ABB ．BC C ．CD D ．DE12+2+2++2+L 2342009222+2+2+2S =++L，因此2009221S S -=-，所以23200820091+2+2++221=-L .请仿照以上推理计算出2342019144444++++++L 的值是（ ）A ．201941-B ．202041-C ．2019413-D ．2020413- 8．若代数式3x ax bx x +---的值与字母x 无关，则-a b 的值为__________．【答案】-2【详解】解：∵x2+ax-（bx2-x-3）=x2+ax-bx2+x+3=（1-b）x2+（a+1）x+3，且代数式的值与字母x无关，∴1-b=0，a+1=0，解得：a=-1，b=1，则a-b=-1-1=-2，故答案为：-2．9．已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则“ab＝﹣1；②若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；③若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数，其中正确的序号是_____．张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是________．【答案】8和9【详解】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．故答案为：8和9．11．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干+地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅……）正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”． 如1984年为甲子年，1911年为辛亥年，请问中华人民共和国成立之年（1949年）是________年．【答案】己丑【详解】1949－3=1946天干：1946÷10=194……6天干从左往右数6为已地支：1946÷12=162……2地支从左往右数2为丑∴1949年是乙丑年12．在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入212212æö+´ç÷èøW 中的□，并计算．41=+5=13．已知A=3a2b﹣2ab2+abc，小明同学错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果为4a2b﹣3ab2+4abc．(1)计算B的表达式；(2)求出2A﹣B的结果；(3)小强同学说(2)中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a=18，b=15，求(2)中式子的值．(1)如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．①如果点A所表示的数是5-，那么点B所表示的数是_______；②在图1中标出原点O的位置；(2)图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．根据小敏提供的信息，标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是____________；(3)如图3，数轴上标出若干个点，其中点A ，B ，C 所表示的数分别为a ，b ，c ．若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如AB =1），且28c a -=．①试求a 的值；②若点D 也在这条数轴上，且CD =2，求出点D 所表示的数．【答案】(1)①5；②数轴见解析(2)数轴见解析，点C 表示的数是3(3)①-2；②d =2或d =6【解析】（1）解：①点A 所表示的数是-5，点A 、点B 所表示的数互为相反数，所以点B 所表示的数是5，故答案为：5；②在图1中表示原点O 的位置如图所示：（2）原点O 的位置如图所示，点C 所表示的数是3．故答案为：3；（3）解：①由题意得：AC =6，所以c -a =6，又因为c -2a =8，所以a =-2；②设D 表示的数为d ，因为c -a =6，a =-2，所以c =4，因为CD =2，所以c -d =2或d -c =2，所以d =2或d =6．15．如图，射线OM 上有三点,,A B C ，满足40OA =cm ，30AB =cm ，20BC =cm.点P 从点O 出发，沿OM 方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发，当点Q 运动到点O 时，点,P Q 停止运动.(1)若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间,P Q 两点相遇?(2)当2PB PA =时，点Q 运动到的位置恰好是线段OB 的中点，求点Q 的运动速度;(3)自点P 运动到线段AB 上时，分别取OP 和AB 的中点,E F ，求OB AP EF-的值.。

专题1.2 绝对值【典例1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝ ；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝ ．（1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解决；（2）根据绝对值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答；（4）根据|a+4|+|a﹣2|表示数a的点到﹣4与2两点的距离的和即可求解．解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是：4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是：2﹣（﹣3）＝5，故答案为：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案为：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，当a＝5，b＝﹣3时，则A、B两点间的最大距离是8，当a＝1，b＝﹣1时，则A、B两点间的最小距离是2，则A、B两点间的最大距离是8，最小距离是2；故答案为：8，2；（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案为：6．1．（2022•高邮市模拟）若|x|+|x﹣4|＝8，则x的值为（ ）A．﹣2B．6C．﹣2或6D．以上都不对【思路点拨】根据绝对值的意义得出，|x|+|x﹣4|＝8表示到原点和4的距离和是8的数，分两种情况求出x的值即可．【解题过程】解：∵|x|+|x﹣4|＝8，∴当x＞4时，x+x﹣4＝8，解得x＝6，当x＜0时，﹣x+4﹣x＝8，解得x＝﹣2，故选：C．2．（2021秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|的最小值等于（ ）A．10B．11C．17D．21【思路点拨】由|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可．【解题过程】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，由数轴表示数的意义可知，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．3．如果有理数a，b，c满足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（ ）A．5B．6C．7D．8【思路点拨】通过对式子|a+c|＝3的变形，确定已知之间的关系，再进行分类讨论，结合对所求式子的变形，找到已知所求之间的关系，再进行求解．【解答过程】解：|a+c|＝|a﹣b+b+c|＝3，∵|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，∴a﹣b＝1，b+c＝2或a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，分两种情况讨论：①若a﹣b＝1，b+c＝2，则两式相加，得a+c＝3，∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|3+2×2|＝7；②若a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，则两式相加，得a+c＝﹣3，∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|﹣3+2×（﹣2）|＝7．故选：C．4．（2021秋•洛川县校级期末）已知：m=|a b|c+2|b c|a+3|c a|b，且abc＞0，a+b+c＝0．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（ ）A．4B．3C．2D．1【思路点拨】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．【解题过程】解：∵abc＞0，a+b+c＝0，∴a、b、c为两个负数，一个正数，a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，m=|−c|c+2|−a|a+3|−b|b∴分三种情况说明：当a＜0，b＜0，c＞0时，m＝1﹣2﹣3＝﹣4，当a＜0，c＜0，b＞0时，m＝﹣1﹣2+3＝0，当a＞0，b＜0，c＜0时，m＝﹣1+2﹣3＝﹣2，∴m共有3个不同的值，﹣4，0，﹣2，最大的值为0．∴x＝3，y＝0，∴x+y＝3．故选：B．5．我们知道|x|=x，(x＞0)0，(x=0)−x，(x＜0)，所以当x＞0时，x|x|=xx=1；当x＜0时，x|x|=x−x=−1．下列结论序号正确的是（ ）①已知a，b是有理数，当ab≠0时，a|a|+b|b|的值为0或±2；②已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则2a|a|+b|b|的值为±1；③已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，则b c|a|+a c|b|+a b|c|=−1或3；④已知a，b，c是非零的有理数，且|abc|abc=−1，则|a|a+|b|b+|c|c的值为1或﹣3；⑤已知a，b，c是非零的有理数，a+b+c＝0，则a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为0．A．①③④B．②③⑤C．①②④⑤D．①②④【思路点拨】关于绝对值化简的问题，就要严格利用绝对值的定义来化简，要考虑全面，有时可以用特殊值法．【解题过程】解：①因为ab≠0，所以有以下几种情况：a＞0，b＜0，原式值是0；a＞0，b＞0，原式值是2；a＜0，b＞0，原式值是0；a＜0，b＜0，原式值是﹣2．故①正确；②∵|ab|＝﹣ab，a，b是不为0的有理数，∴ab ＜0，有以下两种情况：a ＞0，b ＜0，此时原式值是1；a ＜0，b ＞0，此时原式值是﹣1，故②正确；③已知a ，b ，c 是有理数且a +b +c ＝0，abc ＜0，则b +c ＝﹣a ，a +c ＝﹣b ，b +c ＝﹣a ，∴原式化为−a |a|+−b |b|+−c |c|a ，b ，c 两正一负，有四种情况：a ＞0，b ＞0，c ＜0，原式值为﹣1；a ＞0，b ＜0，c ＞0，原式值为﹣1；a ＜0，b ＞0，c ＞0，原式值为﹣1；故③错误；④∵|abc|abc=−1，∴abc ＜0，分四种情况（同③）∴原式值是﹣1和3，故④正确；⑤分两种情况：当一正两负时，a |a|，b |b|.c |c|有一个1，两个﹣1，而abc ＞0，所以abc |abc|=1，此时和为1+1﹣1﹣1＝0；当一负两正时，a |a|，b |b|.c |c|有一个﹣1，两个1，而abc ＜0，所以abc |abc|=−1，此时和为﹣1+1+1﹣1＝0．故⑤正确．故选：C ．6．（2021秋•常州期末）已知x =20212022，则|x ﹣2|﹣|x ﹣1|+|x |+|x +1|﹣|x +2|的值是 20212022　．【思路点拨】根据x 的值，判断x ﹣2，x ﹣1，x +1，x +2的符号，再根据绝对值的定义化简后即可得到答案．【解题过程】解：∵x=20212022，即0＜x＜1，∴x﹣2＜0，x﹣1＜0，x+1＞0，x+2＞0，∴|x﹣2|﹣|x﹣1|+|x|+|x+1|﹣|x+2|＝2﹣x﹣（1﹣x）+x+x+1﹣x﹣2＝2﹣x﹣1+x+x+x+1﹣x﹣2＝x=2021 2022，故答案为：2021 2022．7．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是　2021　．【思路点拨】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012到﹣1009的距离．【解题过程】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，故答案为：2021．8．（2021春•杨浦区校级期末）已知a，b，c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，则|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝　0或2　．【思路点拨】因为a、b、c都为整数，而且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，所以|a﹣b|与|c﹣a|只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出．【解题过程】解：∵a、b、c为整数，且|a﹣b|2021+|c﹣a|2020＝1，∴有|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1①若|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0，则a﹣b＝±1，a＝c，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|a﹣b|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝1+1+0＝2，②|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，则a＝b，c﹣a＝±1，∴|b﹣c|＝|c﹣b|＝|c﹣a|＝1，∴|a﹣b|+|b﹣c|﹣|c﹣a|＝0+1﹣1＝0，故答案为：0或2．9．（2021秋•大田县期中）三个整数a，b，c满足a＜b＜c，且a+b+c＝0．若|a|＜10，则|a|+|b|+|c|的最大值为　34　．【思路点拨】根据a+b+c＝0，a＜b＜c，可得a＜0，c＞0，a+b＜0，则|a|＞|b|，再由|a|＜10，a，b，c都是整数，得到|a|≤9，则|b|≤8，根据|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，即可得到|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，由此求解即可．【解题过程】解：∵a+b+c＝0，a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，a+b＜0，∴|a|＞|b|，∵|a|＜10，a，b，c都是整数，∴|a|≤9，∴|b|≤8，∵|a+b|＝﹣（b+a）＝﹣b﹣a，|b|≥﹣b，|a|≥a，∴|c|＝|﹣a﹣b|＝|a+b|≤|a|+|b|≤17，∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17＝34，故答案为：34．10．（2021秋•雁塔区校级期中）如果|a+3|+|a﹣2|+|b﹣4|+|b﹣7|＝8，则a﹣b的最大值等于　﹣2　．【思路点拨】根据题意可得|a+3|+|a﹣2|＝5，|b﹣4|+|b﹣7|＝3，此时﹣3≤a≤2，4≤b≤7，可求得﹣10≤a﹣b≤﹣2，即可求解．【解题过程】解：|a +3|+|a ﹣2|≥5，|b ﹣4|+|b ﹣7|≥3，∴|a +3|+|a ﹣2|+|b ﹣4|+|b ﹣7|≥8，∵|a +3|+|a ﹣2|+|b ﹣4|+|b ﹣7|＝8，∴|a +3|+|a ﹣2|＝5，|b ﹣4|+|b ﹣7|＝3，∴﹣3≤a ≤2，4≤b ≤7，∴﹣10≤a ﹣b ≤﹣2，∴a ﹣b 的最大值等于﹣2，故答案为：﹣2．11．（2021秋•江岸区校级月考）设有理数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，这里ac ＜0且|c |＜|b |＜|a |，则|x−a b 2|+|x−b c 2|+|x +a c 2|的最小值为 2a b c 2　．【思路点拨】根据ac ＜0可知a ，c 异号，再根据a ＞b ＞c ，以及|c |＜|b |＜|a |，即可确定a ，﹣a ，b ，﹣b ，c ，﹣c 在数轴上的位置，而|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|表示到 a b 2，b c 2，−a c 2三点的距离的和，根据数轴即可确定．【解题过程】解：∵ac ＜0，∴a ，c 异号，∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，又∵|c |＜|b |＜|a |，∴﹣a ＜﹣b ＜c ＜0＜﹣c ＜b ＜a ，又∵|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|表示到 a b 2，b c 2，−a c 2三点的距离的和，当x 在b c 2时距离最小，即|x −a b 2|+|x −b c 2|+|x +a c 2|最小，最小值是a b 2与−a c 2之间的距离，即2a b c 2．故答案为：2a b c 2．12．（2020秋•海曙区期末）已知a ，b ，c 为3个自然数，满足a +2b +3c ＝2021，其中a ≤b ≤c ，则|a ﹣b |+|b ﹣c |+|c ﹣a |的最大值是　1346　．【思路点拨】根据绝对值的性质化简式子，再确定a，b，c的值，由此解答即可．【解题过程】解：由题意知b≥a，则|a﹣b|＝b﹣a，b≤c，则|b﹣c|＝c﹣b，a≤c，则|c﹣a|＝c﹣a，故|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝b﹣a+c﹣b+c﹣a＝2（c﹣a），上式值最大时，即c最大，且a最小时，（即c﹣a最大时），又a+2b+3c＝2021，2021＝3×673+2，故c的最大值为673，此时a+2b＝2，a≤b，且a，b均为自然数，a＝0时，b＝1，此时a最小，故2（c﹣a）的最大值即c＝673，a＝0时的值，即：2×（673﹣0）＝1346．故答案为：1346．13．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四个结论：①y没有最小值；②有无穷多个x的值，使y取到最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有两个值．其中正确的是 （填序号）．【思路点拨】依据绝对值的几何意义，|x﹣1|可以看成是x与1的距离，|x+1|可以看出是x与﹣1的距离，这样y可以看成两个距离之和，即在数轴上找一点x，使它到1和﹣1 的距离之和等于y．要从三个情形分析讨论：①x 在﹣1的左侧；②x在﹣1和1之间（包括﹣1，1）；③x在1的右侧．【解答过程】解：∵|x﹣1|是数轴上x与1的距离，|x+1是数轴上x与﹣1的距离，∴y＝|x﹣1|+|x+1|是数轴上x与1和﹣1的距离之和．∴当x在﹣1和1之间（包括﹣1，1）时，y的值总等于2．如下图：当x在﹣1的左侧时，y的值总大于于2．如下图：当x在1的右侧时，y的值总大于于2．如下图：综上，y有最小值2，且此时﹣1≤x≤1．∴①③不正确，②正确．∵使y＝2.5的x有﹣1，25和1，25两个值，∴④正确．故答案为②④．14．有理数a，b满足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值为 ，最小值为 ．【思路点拨】将|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|拆分开来看，从而分别得到他们的最值小均为3，而根据已知知道，它们的和为6，从而得到|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|的值均为3，从而得到a和b的取值范围，进而可以求出a2+b2的最大值和最小值．【解答过程】解：|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，∴|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，∵|a+1|表示a到﹣1的距离，|2﹣a|表示a到2的距离，∴|a+1|+|2﹣a|≥3，又∵|b+2||表示b到﹣2的距离，|b+5|表示b到﹣5的距离，∴|b+2|+|b+5|≥3，又∵|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，∴|a+1|+|2﹣a|＝3，|b+2|+|b+5|＝3，此时﹣1≤a≤2，﹣5≤b≤﹣2，∴a2的最大值为4，最小值为0，b2的最大值为25，最小值为4，∴a2+b2的最大值为29，最小值为4．故答案为：29，4．15．（2021秋•梁子湖区期中）已知|ab ﹣2|与|b ﹣2|互为相反数，求b 1a 1−b 2a−2+b 3a 3的值．【思路点拨】根据绝对值的非负性求出a ，b 的值，代入代数式求值即可．【解题过程】解：根据题意得|ab ﹣2|+|b ﹣2|＝0，∵|ab ﹣2|≥0，|b ﹣2|≥0，∴ab ﹣2＝0，b ﹣2＝0，∴a ＝1，b ＝2，∴原式=32−4−1+54=32+4+54=274．16．（2021秋•贡井区期中）如图，数轴上的点A ，B ，C ，D ，E 对应的数分别为a ，b ，c ，d ，e ，且这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等．（1）填空：a ﹣c ＜　0，b ﹣a ＞　0，b ﹣d ＜　0（填“＞“，“＜“或“＝“）；（2）化简：|a ﹣c |﹣2|b ﹣a |﹣|b ﹣d |；（3）若|a |＝|e |，|b |＝3，直接写出b ﹣e 的值．【思路点拨】（1）根据数轴得出a ＜b ＜c ＜d ＜e ，再比较即可；（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可；（3）先求出b 、e 的值，再代入求出即可．【解题过程】解：（1）从数轴可知：a ＜b ＜c ＜d ＜e ，∴a ﹣c ＜0，b ﹣a ＞0，b ﹣d ＜0，故答案为：＜，＞，＜；（2）原式＝|a ﹣c |﹣2|b ﹣a |﹣|b ﹣d |＝﹣a +c ﹣2（b ﹣a ）﹣（d ﹣b ）＝﹣a+c﹣2b+2a﹣d+b＝a﹣b+c﹣d；（3）|a|＝|e|，∴a、e互为相反数，∵|b|＝3，这五个点满足每相邻两个点之间的距离都相等，∴b＝﹣3，e＝6，∴b﹣e＝﹣3﹣6＝﹣9．17．（2021秋•铜山区期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离记为d，请回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为　4　；（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d为　|x+5|　；（3）若x表示一个有理数，且x大于﹣3且小于1，则|x﹣1|+|x+3|＝　4　；（4）若x表示一个有理数，且|x+2|+|x+3|＞1，则有理数x的取值范围为　x＜﹣2或x＞﹣3　．【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算；（2）根据数轴上两点间距离公式列式；（3）根据绝对值的意义进行化简计算；（4）根据绝对值的意义和数轴上两点间的距离进行分析求解．【解题过程】解：（1）d＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，∴数轴上表示﹣3和1两点之间的距离d为4，故答案为：4；（2）数轴上表示x和﹣5两点之间的距离d＝|x﹣（﹣5）|＝|x+5|，故答案为：|x+5|；（3）∵﹣3＜x＜1，∴x﹣1＜0，x+3＞0，∴|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，故答案为：4；（4）|x+2|+|x+3|表示数轴上数x到数﹣2和数﹣3的距离之和，∵﹣2﹣（﹣3）＝1，且|x+2|+|x+3|＞1，∴x＜﹣2或x＞﹣3，故答案为：x＜﹣3或x＞﹣2．18．x取何值时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1997|取最小值，最小值是多少？【思路点拨】利用绝对值的几何意义分析：x为数轴上的一点，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|表示：点x到数轴上的1997个点（1、2、3、…、1997）的距离之和，进而分析得出最小值为：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|求出即可．【解题过程】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；所以：当1≤x≤1997时，|x﹣1|+|x﹣1997|有最小值1996；当2≤x≤1996时，|x﹣2|+|x﹣1996|有最小值1994；…当x＝999时，|x﹣999|有最小值0．综上，当x＝999时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…|x﹣1997|能够取到最小值，最小值为：|999﹣1|+|999﹣2|+|999﹣3|+…|999﹣1997|＝998+997+996+…+0+1+2+998=(1998)×9982×2＝997002．19．（2021秋•金乡县期中）我们知道：在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解决问题．例如：我们在讨论|a|的值时，就会对a进行分类讨论，当a≥0时，|a|＝a；当a＜0时，|a|＝﹣a．现在请你利用这一思想解决下列问题：（1）8|8|=　1　．−3|−3|=　﹣1　（2）a|a|=　1或﹣1　（a≠0），a|a|+b|b|=　2或0　（其中a＞0，b≠0）（3）若abc≠0，试求a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值．【思路点拨】（1）根据绝对值的定义即可得到结论；（2）分类讨论：当a＞0时，当a＜0时，当b＞0时，当b＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论；（3）分类讨论：①当a＞0，b＞0，c＞0时，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，④当a＜0，b＜0，c＜0时，根据绝对值的定义即可得到结论．【解题过程】解：（1）8|8|=1，−3|−3|=−1，故答案为：1，﹣1；（2）当a＞0时，a|a|=1；当a＜0时，a|a|=−1；当b＞0时，a|a|+b|b|=1+1＝2；当b＜0时，a|a|+b|b|=1﹣1＝0；故答案为：1或﹣1，2或0；（3）①当a＞0，b＞0，c＞0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1+1+1+1＝4，②当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=−1+1+1﹣1＝0，③当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=1﹣1﹣1+1＝0，④当a＜0，b＜0，c＜0时，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|=−1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，综上所述，a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的所有可能的值为±4，0．20．（2021秋•江岸区期中）阅读下列材料．我们知道|x|=x(x＞0)0(x=0)−x(x＜0)，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．∴|x+1|+|x﹣2|=−2x+1(x＜−1)3(−1≤x＜2)2x−1(x≥2)，通过以上阅读，解决问题：（1）|x﹣3|的零点值是x＝　3　（直接填空）；（2）化简|x﹣3|+|x+4|；（3）关于x，y的方程|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10，直接写出x+y的最小值为　﹣5　．【思路点拨】（1）根据零点值的概念领x﹣3＝0，求解；（2）仿照材料例题分x＜﹣4；﹣4≤x＜3；x≥3三种情况结合绝对值的意义化简求解；（3）仿照材料例题，分原式为|x﹣3|+|x+4|与|y﹣2|+|y+1|两部分进行分析求其最小值．【解题过程】解：（1）令x﹣3＝0，解得：x＝3，∴|x﹣3|的零点值是x＝3，故答案为：3；（2）令x﹣3＝0，x+4＝0，解得：x＝3，x＝﹣4，①当x＜﹣4时，原式＝3﹣x﹣4﹣x＝﹣2x﹣1，②当﹣4≤x＜3时，原式＝3﹣x+x+4＝7，③当x＞3时，原式＝x﹣3+x+4＝2x+1，综上，|x﹣3|+|x+4|=−2x−1(x＜−4) 7(−4≤x＜3)2x+1(x＞3)；（3）令x﹣3＝0，x+4＝0，y﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝3，x＝﹣4，y＝2，y＝﹣1，由（2）可得，当x＜﹣4时，|x﹣3|+|x+4|＝﹣2x﹣1，又∵x＜﹣4，∴﹣2x＞8，则﹣2x﹣1＞7，当x＞3时，|x﹣3|+|x+4|＝2x+1，又∵x＞3，∴2x＞6，则2x+1＞7，∴当﹣4≤x＜3时，|x﹣3|+|x+4|取得最小值为7，同理，可得当﹣1≤y＜2时，|y﹣2|+|y+1|取得最小值为3，∴当|x﹣3|+|x+4|+|y﹣2|+|y+1|＝10时，﹣4≤x＜3，﹣1≤y＜2，∴此时x+y的最小值为﹣4+（﹣1）＝﹣5，故答案为：﹣5．。

-20-16-12-8-4201612840七上期中考试数学压轴题1．如图，点A 从原点出发沿数轴向左运动，同时，点B 也从原点出发沿数轴向右运动，3秒后，两点相距15个单位长度.已知点B 的速度是点A 的速度的4倍（速度单位：单位长度/秒）.（1）求出点A 、点B 运动的速度，并在数轴上标出A 、B 两点从原点出发运动3秒时的位置；（4分）（2）若A 、B 两点从(1)中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰好处在点A 、点B 的正中间？（4分）2．动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动，4秒后，两点相距20个单位长度.已知动点A 、B 的速度比为2∶3（速度单位：单位长度/秒）．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A 、B 两点从原点出发运动4秒时的位置；（2）若A 、B 两点从（1）中标出的位置同时出发，按原速度向数轴负方向运动，求几秒钟后原点恰好在两个动点的正中间；（3）当A 、B 两点从（1）中标出的位置出发向数轴负方向运动时，另一动点C 也同时从原点的位置出发向A 运动，当遇到A 后立即返回向B 点运动，遇到B 后又立即返回向A 运动，如此往返，直到B 追上A 时，C 立即停止运动.若点C 一直以10单位长度/秒的速度匀速运动，求点C 一共运动了多少个单位长度．3.画个数轴,想一想(1)已知在数轴上表示3的点和表示8的点之间的距离为5个单位,有这样的关系5=8-3,那么在数轴上表示数4的点和表示-3的点之间的距离是________单位；(2)已知在数轴上到表示数-3的点和表示数5的点距离相等的点表示数1，有这样的关系11(35)2=-+，那么在数轴上到表示数a 的点和表示数b 的点之间距离相等的点表示的数是__________________.(3)已知在数轴上表示数x 的点到表示数-2的点的距离是到表示数6的点的距离的2倍，求数x .4.已知：b 是最小的正整数，且a 、b 满足2(5)||0c a b -++=，请回答问题 （1）请直接写出a 、b 、c 的值。

专题01 绝对值压轴题（最值与化简）专项讲练专题1. 最值问题最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。

题型1. 两个绝对值的和的最值 【解题技巧】b x a x -+-目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离和的最小值：结论：式子b x a x -+-在b x a ≤≤时，取得最小值为b a -。

例1.（2021·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点A ，B 分别表示数a ，b ，则A ，B 两点之间的距离为AB a b ．反之，可以理解式子3x -的几何意义是数轴上表示实数x 与实数3两点之间的距离．则当25x x ++-有最小值时，x 的取值范围是（ ）A ．2x <-或5x >B ．2x -≤或5x ≥C ．25x -<<D ．25x -≤≤变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x ＋5|＋|x －2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|31|-可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的距离；|31|+可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．根据以上阅读材料探索下列问题：(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ； ①若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子|1||3|x x ++-的最小值为 ．变式2.（2022•思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ．（2）找出所有符合条件的整数x ，使得|x +5|+|x ﹣2|＝7成立的整数是 ．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x ﹣3|+|x ﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．题型2. 两个绝对值的差的最值 【解题技巧】b x a x ---目的是在数轴上找一点x ，使x 到a 和b 的距离差的最大值和最小值：结论：式子b x a x ---在a x ≤时，取得最小值为b a --；在b x ≥时，取得最大值b a -。

期中压轴题专训（1-3章）同步练习2024-2025学年苏科版七年级上册考点一 新定义与新运算1. 现定义新运算“※”，对任意有理数a 、b ，规定 a ×b =aᵇ− ab,则-1※2 024的值为 ( )A.2023B.2 024C.2025D.-2 0242. 定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果 n 2(其中是使2；为奇数的正整数)，并且运算可以重复进行,例如,取n=26,则:若n=49,则第2024次“F 运算”的结果是( )A. 152B. 19C.62D.493. 定义:若a+b=2n ，则称a 与b 是关于数n 的平均数.比如3与-4是关于 12₂的平均数，7与13是关于1的平均数.(1)填空:2025与 是关于-1的平均数, 与-2x+5 是关于2的平均数.(2)若a 与2b 是关于3的平均数，2b 与c 是关于 52的平均数，c 与d 是关于9的平均数， (a −c )+13(6b +3d )−(2b −c ).(3)现有 a =3x ²−10kx +13与 b =−3x ²+5x −6k (k 为常数)，且a 与b 始终是关于数n 的平均数，与x 的取值无关，求n 的值.考点二 整式的加减运算与化简求值4.化简求值: 3a ²b −2[2ab ²− 4(ab −32a 2b)+ab]+(4ab 2−a 2b ),其中a 、b 使得关于x 的多项式 2x 3+(a +1)x 2+(b −12)x +3不含x ²项和x 项.5.若多项式M 、N 满足:M+2N=8xy-3x-4y-2,2M-N= xy-6x+2y+11.我们可以通过添加括号求出多项式M ，过程如下：5M=(M+2N)+2(2M-N)=(8xy-3x-4y-2)+2( xy-6x+2y+11)= 10xy-15x+20则M=2xy-3x+4(1)请用类似的方法求出多项式 N；(2)当x、y互为倒数，多项式M的值为0时，求此时多项式N的值；(3)当y= 时，无论字母x取何值，多项式 M 的值总比多项式N的值大1.考点三整式加减的应用6.两个正方形如图摆放，大正方形的边长是4，小正方形边长是2，两阴影部分的面积分别为a、b(a>b),则两阴影部分的面积差(a-b)为 .7.某野生动物园门票价格为60元/张，并推出了两种购票方案，且两种方案不能同时使用.方案一：当团购门票数不超过40张时，无优惠；当团购门票数超过40张时，超过的部分每张优惠 10 元. 方案二：爱心捐款认养小动物，每捐款500元，则所购门票每张优惠2元；且捐款额必须为 500 的整数倍，最多捐款5000 元.设某旅游团一次性购买门票 x 张(x为正整数).(1)如果选择方案一，求该旅游团购买门票的费用；(2)如果选择方案二，该旅游团爱心捐款m个500元(m为正整数).①该旅游团一共需要花费的总费用为元(用含m、x的代数式表示)；②当x>40时，无论x取什么值，都存在一个正整数m，使选择方案二的总费用始终比选择方案一的总费用多某个固定值，则m的值为，固定值为 .8.工厂接到订单，需要边长为(a+3)和3的两种正方形卡纸.(1)仓库只有边长为(a+3)的正方形卡纸，现决定将部分边长为(a+3)的正方形卡纸.按图①所示裁剪得边长为 3 的正方形卡纸.①如图②，当a=2时，裁剪正方形后剩余部分的面积为；②剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图③所示的长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的周长为 (用含α的代数式表示)；(2)若将裁得的正方形卡纸与原有正方形卡纸放入长方体盒子底部，按图④，图⑤两种方式放置(图④，图⑤中两张正方形卡纸均有部分重叠)，盒子底部中未被这两张正方形卡纸覆盖的部分用阴影表示，设图④中阴影部分的面积为S₁，图⑤中阴影部分的面积为S₂，测得盒子底部长方形长比宽多5，则S₂-S₁的值为 .考点四绝对值最值问题9. 我们知道绝对值的几何意义为数轴上一点到原点的距离.如15|的几何意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为|5|=|5-0|，即表示5的点到表示0的点的距离.又如15-31表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a- bl.(1)|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+…+|x-50|的最小值是；(2)求|a+3|+2|a-2|+3|a-4|的最小值;(3)( |x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36,求x+2y+3z的最大值和最小值.考点五数轴动点问题10.阅读并理解下列材料：数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律.数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的点折叠，可使点A、B重合，例如点 M表示的数是2，点的距离为AB=|a-b|,将数轴沿表示a+b2的点折叠，可使点M、N N表示的数是6，则M、N两点之间的距离MN=|2-6|=4,将数轴沿表示2+62重合.请你解决以下问题：数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，其中a<c<b.(1)若a、b满足|a+2|+(b−6)²=0,则A、B两点之间的距离是；(2)点A、B、C在数轴上的位置如图所示，沿该数轴上某点折叠，使点A，点B 重合，则与点C 重合的点表示的数为 (用含a、b、c的代数式表示)；(3)若c=1,BC+2AC=6,求代数式3(a-2b)-9(a-b)+1的值;(4)若a=-2,b=6,c=1,点A、B、C在数轴上开始运动，点A 以每秒1 个单位长度的速度向左匀速运动，同时点 B 与点 C 分别以每秒4个单位长度和x个(x<4)单位长度的速度向右匀速运动，若运动过程中，2AB-3AC+7BC 的值不变，求x的值.11.如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D 处各折一下，得到“折线数轴”.图中点 A 表示-8,点 B 表示 8,点 C 表示 16,点 D 表示 24,点 E 表示 28.我们称点 A 和点 E 相距36个单位，动点 P 从点A 出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q 从点E出发，以每秒 3 个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变.当点 P 运动到点 E时，点P 停止运动，当点 Q 运动到点A 时，点Q 停止运动，设运动时间为t秒.(1)动点 P 从点 A 运动到点E 需要秒，此时点Q对应的数是 .(2)P、Q两点在点M处相遇，求出相遇点 M所对应的数是多少?(3)求当t为何值时，P、B两点在这个“折线数轴”上相距的长度与Q、D两点在这个“折线数轴”上相距的长度相等.。

七年级数学上册期中压轴题及答案解析
七年级数学上册期中考试一般会涉及到三个章节的内容，北师大版本教材第一章节是常见的几何体，第二章节是有理数与其运算，第三章是整式及其加减。

在数学的学习中，我们除了需要掌握基本概念、基础运算，基本的解题思路、方法和题型外，也需要做一定的拓展和提高，提升自己的思维和能力。

在常见的几何体章节大部分都属于基础题，欧拉定理的探究是本章节的一个难点内容。

有理数章节的重难点内容较多，如绝对值的几何意义，数轴与绝对值综合，有理数的简算及规律计算。

整式章节的重难点主要体现在整式的应用和规律探究上。

分享一些压轴题供各位小伙伴期中复习备考使用。

END
声明：文章图文来源网络，意在分享，仅限交流学习使用，如有分享不当或侵权，请联系删除。

第1讲相反数与绝对值【知识梳理】1.绝对值(1)绝对值的定义(几何意义)数轴上，表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作|a|．2.绝对值的性质：3.相反数(1)相反数的定义符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数．(2)相反数的表示方式这个数的前面添加一个“－”号．数本身的表示方式这个数的前面添加一个“＋”号．(3)多重符号的化简在不含绝对值形式前提下若一个正数前面有偶数个“－”，其结果为正，若一个正数前面有奇数个“－”，其结果为负．(4)相反数的一些形式a，b互为相反数←→a＋b＝0【例题精讲】【例1】已知|x+2|+（y﹣1）2＝0，则（x+y）2016＝．【例2】如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则2x+y的值为．【例3】知识前铺【例3】如果两个有理数的绝对值分别是3和1，求表示这两个数的点之间的距离．【例4】若|m|＝5，|n|＝7，m+n＜0，则m﹣n的值是（）A．﹣12或﹣2B．﹣2或12C．12或2D．2或﹣12【例5】已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【例6】若有理数x、y满足|x|＝5，|y|＝2，且|x+y|＝x+y，求x﹣y的值．【例7】已知a，b，c是非零有理数，那么++可能的值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【出门测试】【测试1】对于|m﹣1|，下列结论正确的是（）A．|m﹣1|≥|m|B．|m﹣1|≤|m|C．|m﹣1|≥|m|﹣1D．|m﹣1|≤|m|﹣1【测试2】（1）已知|a|＝8，|b|＝5，且|a+b|＝a+b，则a﹣b＝．（2）已知x、y互为相反数，a、b互为倒数，m的绝对值为3．求代数式4（x+y）﹣ab+m3的值．【测试3】若|m|＝5，|n|＝7，m+n＜0，则m﹣n的值是（）A．﹣12或﹣2B．﹣2或12C．12或2D．2或﹣12【测试4】已知|2x﹣3|＝3﹣2x，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≥1.5C．x≤3D．x≤1.5【测试5】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2．（1）直接写出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+a+bm的值．【测试6】实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简|a|+|c﹣b|﹣|a﹣b|+|a﹣c|＝．【测试7】（2017春•闵行区校级期中）已知有理数a，b，c满足|a|a +|b|b+|c|c=1，求|abc|abc的值．。

专题01 数轴（压轴题专项讲练）严老师选编1．如图，数轴上点B表示的数是﹣2.5．解答下面的问题：（1）点A表示的数为：；（2）与点A的距离为4的点表示的数是：；（3）若将数轴折叠，使得点A与﹣3表示的点重合，则点B与数表示的点重合；（4）若数轴上M、N两点之间的距离为2018（M在N的左侧），且它们经过（3）中折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：．2．（2020秋•万州区校级月考）一条直线的流水线上依次有5个机器人，它们站立的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图A1：﹣4，A2：﹣3，A3：﹣1，A4：1，A5：3．（1）怎样将点A3移动，使它先到达A2，再到达A5；（2）将零件的供应点设在这五个点中的哪点，才能使5个机器人分别到达供应点取货的总路程最短？最短路程是多少？3．（2020秋•清涧县期末）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为cm；（2）图中点A所表示的数是，点B所表示的数是；（3）由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？4．（2021春•朝阳区校级月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．，0，1，4是点A、B的“倍分点”的是；（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数−52（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，P为数轴上一个动点，①若点P是点A，B的“倍分点”，求此时点P表示的数；①若点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点P表示的数．专题02 绝对值（压轴题专项讲练）严老师选编1．（2020秋•江岸区校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运 用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a+|b|b+|c|c的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a+|b|b+|c|c=a a+b b+c c=1+1+1＝3；①当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a+|b|b+|c|c=a a+−b b+−c c=1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．综上所述，|a|a+|b|b+|c|c值为3或﹣1．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a ，b 是不为0的有理数，当|ab |＝﹣ab 时，则a |a|+b |b|的值是 ；（2）已知a ，b ，c 是有理数，当abc ＜0时，求a|a|+b |b|+c |c|的值；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，abc ＜0，求b+c |a|+c+a |b|+a+b |c|的值．2．（2020秋•海安市月考）同学们都知道，|5﹣3|表示5与3的差的绝对值，也可理解为在数轴上表示数5的点与数3的点的距离．试探索：（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣3、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）；（2）满足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值为．（3）试求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．3．（2020秋•抚顺县期中）已知a，b为实数，m＝|2a+b|，n＝|2a﹣b|，r＝|1﹣b|．（1）若a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|＞1，且2m+n+r＝11，能否确定a，b的值？能确定的，求出它的值；若不能确定，请说明理由．（2）对于任意实数a，b，求m，n，r三个数中最大的数的最小值专题03 有理数的运算（压轴题专项讲练）严老师选编1．（2021•九龙坡区校级模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2+4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2+5）．（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和．2．（2020秋•诸暨市期中）已知□，①，①分别代表1①9中的三个自然数．（1）若□+□+□＝15，①+①+①＝12，①+①+①＝18，那么□+①+①＝；（2）如果用①①表示一个两位数，将它的个位和十位上的数字交换后得到一个新的两位数①①，若①①与①①的和恰好为某自然数的平方，则该自然数是多少？这两个两位数和是多少？3．（2020秋•立山区期中）计算：25×11＝275，13×11＝143，48×11＝528，74×11＝814，观察上面的算式，我们发现两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一．仿照上面的速算方法，（1）填空：①54×11＝；①87×11＝；①95×（﹣11）＝．（2）已知一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数乘11．①若a+b＜10，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是、、，请通过计算加以验证．①若a+b≥10，请直接写出计算结果中百位上的数字．4．（2021春•綦江区期末）对于一个三位数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数n为“快乐数”．例如：n1＝934，①9+3﹣4＝8，①934是“快乐数”；n2＝701，①7+0﹣1＝6，①701不是“快乐数”．（1）判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；（2）若将一个“快乐数”m的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数t（例如：若m＝642，则t＝664），若t也是一个“快乐数”，求满足条件的所有m的值．专题04 整式加减（压轴题专项讲练）1．A＝2x2+3kx﹣200x﹣1，B＝﹣x2+kx﹣1，且3A+6B的值与x的取值无关，求11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+1 6×7+⋯+1(k−1)k的值．2．（2020秋•海珠区校级期中）已知A＝3x2+y2﹣2xy，B＝xy﹣y2+2x2，求：（1）2A﹣3B；（2）若|2x﹣3|＝1，y2＝16，|x﹣y|＝y﹣x，求2A﹣3B的值．（3）若x＝4，y＝﹣8时，代数式ax3+12by+5＝18，那么x＝﹣128，y＝﹣1时，求代数式3ax﹣24by3+10的值．3．（2021春•安丘市月考）特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．4．（2020秋•城厢区校级期中）若a，b互为相反数，b，c互为倒数，且m的立方等于它本身．（①）若a＝2，求c a的值；（①）若m≠0，试讨论：当x为有理数时，|x+m|+|x﹣m|是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由；|，求6（2a﹣s）+（s﹣2a）的值．（①）若a＞1，且m＜0，S＝|2a﹣3b|﹣2|b﹣m|﹣|b+125．（2020秋•韩城市期中）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32＝132．（1）若M的其百位数字为a，十位数字为b、个位数字为c，试说明M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），求N的“团结数”．专题05 规律探究（压轴题专项讲练）严老师选编1．（2021•蚌埠二模）观察下列等式：第1个等式：12＝13；第2个等式：（1+2）2＝13+23；第3个等式：（1+2+3）2＝13+23+33；第4个等式：（1+2+3+4）2＝13+23+33+43；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示）；（3）利用你发现的规律求113+123+133+…+1003值．2．（2021春•庐阳区校级期末）观察下列等式：①1 1×3=12×（1−13）；①13×5=12×（13−15）；①15×7=12×（15−17）…根据上述等式的规律，解答下列问题：（1）请写出第①个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含有n的等式表示），并证明这个等式．（3）应用你发现的规律，计算：2 1×3+23×5+25×7+27×9⋯+22019×2021．3．（2020秋•福田区期末）如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1即S＝2101﹣1即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1【理解运用】计算（1）1+3+32+33+…+399+3100（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．4．（2021春•邗江区校级期末）（1）填空：21﹣20＝2（）、22﹣21＝2（）、23﹣22＝2（）、…（2）探索（1）中式子的规律，请写出第n个等式：；（3）直接计算：2200﹣2199﹣2198﹣…﹣22﹣21＝；（4）利用（2）中发现的规律计算：21000+21001+21002+…+22020+22021．5．（2021•西城区校级开学）计算：13(1+12)(1+13)+14(1+12)(1+13)(1+14)+⋯+12021(1+12)(1+13)(1+14)⋯(1+12021)．6．（2021•西城区校级开学）（12+13+⋯+12021）+（23+24+⋯+22021）+（34+35+⋯+32021）+…+（20192020+20192021）+20202021．7．（2021•砀山县一模）如图，下列各正方形中的四个数之间具有相同的规律．根据此规律，回答下列问题：（1）第5个图中4个数的和为．（2）a＝；c＝．（3）根据此规律，第n个正方形中，d＝2564，则n的值为．专题06 一元一次方程（压轴题专项讲练）严老师选编1．解下列方程：（1）（5x ﹣2）×30%＝（7x +8）×20%； （2）34[43(14x −1)+8]=73+23x ；（3）4x−1.50.5−5x−0.80.2=1.2−x 0.1．2．（2021•碑林区校级开学）解方程：|x ﹣|3x +1||＝4．3．（2021春•岳麓区月考）若a 、b 、c 、d 是正数，解方程x−a−b−cd+x−a−b−dc+x−a−c−db+x−b−c−da=4．4．（2020秋•万全区校级月考）若关于x 一元一次方程253x ﹣m =512x +18有一个正整数解，则m 取最小正数是多少？并求出相应的解．16．（2020秋•雨花区校级月考）已知多项式A ＝2x 2+mx −12y +3，B ＝3x ﹣4y +7﹣2nx 2．（1）若代数式A ﹣B 的值与x 无关，求m ，n 的值．（2）在（1）的条件下，若关于x 的方程ax−bm+n−1−2x+abm−n−3=6有无数个解，求a ，b 的值． （3）在（2）的条件下，关于x 的方程|x +a |﹣|x +b |＝c 有无数个解，求c 的值．5．（2020秋•广陵区校级月考）阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）、（3）小题的解答． 解方程：|x ﹣1|＝2当x ﹣1＜0，即x ＜1时，原方程可化为：﹣（x ﹣1）＝2，解得x ＝﹣1；当x ﹣1≥0，即x ≥1时，原方程可化为：x ﹣1＝2，解得x ＝3；综上所述，方程|x ﹣1|＝2的解为x ＝﹣1或x ＝3． （1）解方程：|2x +3|＝8． （2）解方程：|2x +3|﹣|x ﹣1|＝1． （3）解方程：|x ﹣3|﹣3|x +2|＝x ﹣9．专题08 几何初步（压轴题专项讲练）严老师选编15．（2020秋•兴庆区校级月考）把正方体的六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况见下表：颜色红黄蓝白紫绿花的朵数123456如图所示，现将上述大小相同，颜色、花朵分布也完全相同的四个正方体拼成一个水平放置的长方体，问长方体的下底面共有多少朵花？16．（2020秋•中牟县期中）用若干大小相同的小立方体块搭一个几何体，使得从正面和上面看到这个几何体的形状图如图所示，其中从上面看到的形状图的小正方形中的字母表示该位置小立方体的个数．请解答：（1）c表示几？b的最大值是多少？（2）这个几何体最少是用多少个小立方体搭成的？最多呢？17．（2020秋•九江期末）图（1）是一个棱长为2的正方体空盒子ABCD﹣EFGH．图（2）是取AB，BC，BF边上的中点M，N，P，截去一个角后剩下的几何体．图（3）的8×8的网格中每一小格的边长都是1，请在这个网格中画出它的一种展开图．（要求所有的顶点都在格点上，且AM，CN，PF这三条棱中最多只能剪开一条棱）18．（2021春•南岗区校级月考）如图，两个体积相同的图柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为2厘米，．（π取3）高为20厘米且比圆柱B高14（1）求圆柱B的底面积是多少平方厘米？（2）如图，一个底面长8匣米，宽6厘米的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水面恰好与圆柱A高度相同，求将圆柱A、B放入之前水面的高度是多少厘米？（3）若要使水面下降至与圆柱B高度相同，需将圆柱A提起多少厘米？专题09 线段的计算（压轴题专项讲练）严老师选编1．（2020秋•宝鸡期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝12cm，M、N两点分别从P、B 出发以1cm/s、3cm/s的速度同时向左运动（M在线段AP上，N在线段BP上），运动时间为ts．（1）若M、N运动1s时，且PN＝3AM，求AP的长；（2）若M、N运动到任一时刻时，总有PN＝3AM，AP的长度是否变化？若不变，请求出AP的长；若变化，请说明理由；（3）在（2）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ＝PQ+BQ，求PQ的长．2．（2020秋•甘井子区期末）已知，点D是射线AB上的点，线段AB＝4a，BD＝nAB（0＜n＜1），点C是线段AD的中点．（1）如图1，若点D在线段AB上，当a＝1，n=1时，求线段CD的长；2时，求线段CD的长；（用含a的式子（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，当n=12表示）（3）若点D在射线AB上，请直接写出线段CD的长．（用含a和n的式子表示）3．（2021•建邺区校级开学）如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）．（2）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20．若点M从点B的位置开始．以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动．设运动的时间为t秒．①点M在运动的过程中表示的数为（用含t的代数式表示）．①求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”．①同时点N从点A的位置开始．以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．4．（2020秋•望城区期末）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝cm；【解决问题】（3）如图①，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t（s）．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由5．（2020秋•奉化区校级期末）已知线段AB上有若干个不重合的点，求出该线段上任意两点所决定的线段长度（包括线段AB），并记所有这些线段的长度总和为αAB．例如：图1中，AB＝12，C为AB的中点，则αAB＝AB+AC+CB＝12+6+6＝24．（1）如图2，线段AB上有C、D两点，其中AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3，求αAB；（2）如图3，线段AB上有C、D、E三点，其中C为AB的中点，E为DB的中点，且CE ＝4，αAB＝64，求AB的长度；（3）线段AB上有C、D两点，线段上任意两点所决定的线段长度是整数，若αAB＝38，且CD的长度为奇数，直接写出AB的长度．6．（2021•温江区校级开学）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，若m＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ 与1的大小关系，并说明理由．专题10 角度的计算（压轴题专项讲练）严老师选编1．（2020秋•江北区期末）将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．（1）如图1，若①AOD＝35°，求①BOC的度数．（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，①AOC与①BOD有何数量关系？请说明理由．2．（2021春•乳山市期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点O在直线AB上，OC，OD分别平分①AOE，①BOE，可求得①COD＝90°．（不用求解）【问题改编】点O在直线AB上，①COD＝90°，OE平分①BOC．（1）如图2，若①AOC＝50°，求①DOE的度数；（2）将图2中的①COD按图3所示的位置进行放置，写出①AOC与①DOE度数间的等量关系，并写明理由．3．（2020秋•温江区校级期末）已知①AOB ＝60°，求：（1）如图1，OC 为①AOB 内部任意一条射线，OM 平分①AOC ，ON 平分①BOC ，求①MON ＝ ；（2）如图2，当OC 旋转到①AOB 的外部时，①MON 的度数会发生变化吗？请说明原因； （3）如图3，当OC 旋转到①AOB （①BOC ＜120°）的外部且射线OC 在OB 的下方时，OM 平分①AOC ，射线ON 在①BOC 内部，①NOC =14①BOC ，求①COM −23①BON 的值？4．（2020秋•城厢区期末）已知①AOB 和①COD 是直角．（1）如图1，当射线OB 在①COD 的内部时，请探究①AOD 和①BOC 之间的关系，并说明理由．（2）如图2，当射线OA ，OB 都在①COD 的外部时，过点O 作射线OE ，OF ，满足①BOE =14①BOC ，①DOF =34①AOD ，求①EOF 的度数． （3）在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG ，使得①GOF ：①GOE ＝3：7？若存在，求出①GOF 的度数；若不存在，请说明理由．5．（2020秋•镇海区期末）新定义问题如图①，已知①AOB，在①AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为①AOC、①BOC、①AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为①AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，①AOB＝45°，射线OC为①AOB的“幸运线”，则①AOC的度数为；【解决问题】（3）如图①，已知①AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t 秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．。

初一年级考试压轴题1、已知a 是最大的负整数，b 是多项式23222m n m n m ---的次数，c 是单项式2-2xy 的系数，且a 、b 、c 分别是点A.B.C 在数轴上对应的数。

（1） 求a 、b 、c 的值，并在数轴上标出点A 、B 、C.（2） 若动点P 、Q 分别从A 、B 同时出发沿数轴负方向运动，点P 的速度是每秒12个单位长度，点Q 的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q 可以追上点P?（3） 若M 点在此数轴上运动，请求出M 点到A 、B 两点距离之和的最小值；（此小题只需写出答案）（4） 在数轴上找一个点N,使点N 到A 、B 、C 三点的距离之和等于10，请直接写出所有点N 对应的数。

（此小题只需写出答案，不必说明理由）2、()2++++++21,n n -=已知公式13579请利用此公式完成以下小题：()()()()()()++++++21225-3+-9+-15+-21++-597n n -=（1）若13579，求整数的值.（2）求的值.3、（中大附中）()2A B a b 120.a b -++=已知：数轴上、两点表示的有理数为、，且()22(1)(2)113339(3)1A B C bc c a c ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭、各表示哪一个有理数？点在数轴上表示的数是c ，且与A 、B 两点的距离和为11，求多项式 a 的值.小蚂蚁甲以个单位长度/秒的速度从点B 出发向其左边6个单位长度处的一颗饭粒爬去，3秒后位于点A 的小蚂蚁乙收到它的信号，以2个单位长度/秒的速度也迅速爬向饭粒，小蚂蚁甲到达后背着饭粒立即返回，与小蚂蚁乙在数轴上D 点相遇，则点D 表示的有理数是什么？从出发到此时，小蚂蚁甲共用去多少时间？4、2+21- 3.x x x x +--已知是有理数，化简：5、5阅读探究有关个位数是的整数的平方简便计算问题.c bac bac ba(1) (2) (3)2222222=12100+25=22525=23100+25=625 35=34100+25=1225(1)95(2)5-895(3)53540⨯⨯⨯⨯⨯⨯观察下列算式：15； ；请你写出的简便计算过程及结果；其实这种方法也可以推广到个位数是的三位数的平方，证明略.① 请你写出115的简便计算过程及结果.②用计算或说理的方式确定985的结果末两位数字是多少？已知一个个位数是的整数的平方是25，请用方程的相关知识求这个数.6、某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元。

七年级数学上学期压轴题专题训练讲义(数轴上的动点问题)----6767a506-6ea6-11ec-8d62-7cb59b590d7d七年级数学上学期压轴题专题训练讲义(数轴上的动点问题)上学期七年级数学终轴题专项训练讲稿数轴上的动点（2）[课前指导-知识要点]一、分析题意时分清三种点：已知点（定点）、未知可求点（单设）、动点（起点+方向+运动量：缺量设量），用数或含未知数的式子表达题中所有点；二、数轴两点对应线段的中点公式1.找到中点，平均值（总和的一半）2．已知中点，中点的2倍减一个（端点）三、数轴上两点间的距离公式：找到距离并大大缩短它。

我不知道尺寸的绝对值四、绝对值方程的解法：方法一：相等或相反；方法二：零点分段讨论法五、数轴上的动点问题拓展：1.不同时间的两个移动出发点；2.动点的两次连续运动问题（第二次运动的方向或运动的速度发生改变）；3.单动点的连续规律性运动问题（数列规律与求和技巧结合）；4.单个运动点的连续不规则运动（“疯狗”问题）；5.直线段的运动问题（两个运动点同时以相同的速度和方向运动）[课前独立练习]i.等差序列1．数列：1，2，3，4，……，则第n个数为；2021是第个数.2．数列：1，3，5，7，……，则第n个数为；2021是第个数.3．数列：2，7，12，17，……，则第n个数为；2021是第个数.4．数列：1，5，9，13，……，则第n个数为；2021是第个数.5．数列：1，7，13，19，……，则第n个数为；2021是第个数.二、正负交替的等差数列求和：分组求和1．1－2+3－4+5……－2022+2022＝； 2. 计算：-1+3-5+7-…-二千零二十一3．计算：+2－7+12－17+ (2021)4.计算：-1+5-9+13-…-二千零二十一5．计算：+1－7+13－19+ (2021)三、 a点对应的数字是5。

从点a开始，移动点P第一次向右移动一个单位，第二次向左移动两个单位，第三次向左移动两个单位向右运动3个单位，第4次向左运动4个单位，……，求第100次运动后p点对应的数.四、 a点对应的数字是12，B点对应的数字是-8。

专题1.1 数轴中的综合【典例1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 ；（2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 ．（1）根据“联盟点”的定义，分别求出两点之间的距离，然后再进行判断即可；（2）①根据点P所处的位置，由不同的线段的倍数关系求出答案即可；②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“联盟点”，点B是点A、点P的“联盟点”，点P是点A、点B的“联盟点”进行计算即可．解：（1）点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，当点C1所表示的数是3时，AC1＝5，BC1＝1，所以C1不是点A、点B的“联盟点”，当点C2所表示的数是2时，AC2＝4，BC2＝2，由于AC2＝2BC2，所以C2是表示点A、点B的“联盟点”，当点C3所表示的数是0时，AC3＝2，BC3＝4，由于2AC3＝BC3，所以C3是表示点A、点B的“联盟点”，故答案为：C2或C3；（2）①设点P 在数轴上所表示的数为x ，当点P 在AB 上时，若PA ＝2PB ，则x +10＝2（30﹣x ），解得x =503，若2PA ＝PB 时，则2（x +10）30﹣x ，解得x =103，当点P 在点A 的左侧时，由2PA ＝PB 可得2（﹣10﹣x ）＝30﹣x ，解得x ＝﹣50，综上所述，点P 表示的数为103或503或﹣50；②若点P 在点B 的右侧，当点A 是点P ，点B 的“联盟点”时，有PA ＝2AB ，即x +10＝2×（30+10），解得x ＝70，当点B 是点A 、点P 的“联盟点”时，有AB ＝2PB 或2AB ＝PB ，即30+10＝2（x ﹣30）或2×（30+10）＝x ﹣30，解得x ＝50或x ＝110；当点P 是点A 、点B 的“联盟点”时，有PA ＝2PB ，即x +10＝2×（x ﹣30），解得x ＝70；故答案为：70或50或110．1．（2022•烟台一模）如图，点A 在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2，点P 在数轴上对应的是整数，点P 不与A 、B 重合，且PA +PB ＝5．则满足条件的P 点对应的整数有几个（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】先根据数轴上两点的距离可得AB ＝5，根据PA +PB ＝5可知：P 在A ，B 之间，从而得结论．【解题过程】解：∵点A 在数轴上对应的数为﹣3，点B 对应的数为2，∴AB ＝2﹣（﹣3）＝5，∵点P 在数轴上对应的是整数，点P 不与A 、B 重合，且PA +PB ＝5，∴P 在A ，B 之间，∴满足条件的P 点对应的整数有：﹣2，﹣1，0，1，4个．故选：D．2．（2021秋•嘉鱼县期末）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ）A．2018或2019B．2019或2020C．2020或2021D．2021或2022【思路点拨】分线段AB的端点与整点重合和不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度+1，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论．【解题过程】解：若线段AB的端点恰好与整点重合，则1厘米长的线段盖住2个整点，若线段AB的端点不与整点重合，则1厘米长的线段盖住1个整点．∵2020+1＝2021，∴2020厘米的线段AB盖住2020或2021个整点．故选：C．3．（2021秋•房山区期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．下面有四个推断：①如果ad＞0，则一定会有bc＞0；②如果bc＞0，则一定会有ad＞0；③如果bc＜0，则一定会有ad＜0；④如果ad＜0，则一定会有bc＜0．所有合理推断的序号是（ ）A．①③B．①④C．②③D．②④【思路点拨】根据原点的位置可得a，b，c，d的正负情况，再根据有理数的乘法法则可得答案．【解题过程】解：①如果ad＞0，则原点在a的左边或d的右边，故bc同号，一定会有bc＞0，所以①正确；②如果bc＞0，则原点在b的左边或c的右边，故ad可能异号，会有ad＜0，所以②错误；③如果bc＜0，则原点在b、c之间，故ad异号，一定会有ad＜0，所以③正确；④如果ad＜0，则原点在a、b之间，故bc可能异号，会有bc＜0，所以④错误；故选：A．4．（2021秋•邢台期末）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，并且A'B＝6，则C点表示的数是（ ）A．1B．﹣3C．1或﹣4D．1或﹣5【思路点拨】设出点C所表示的数，根据点A、B所表示的数，表示出AC的距离，在根据A′B＝6，表示出A′C，由折叠得，AC＝A′C，列方程即可求解．【解题过程】解：设点C所表示的数为x，AC＝x﹣（﹣14）＝x+14，∵A′B＝6，B点所表示的数为10，∴A′表示的数为10+6＝16或10﹣6＝4，∴AA′＝16﹣（﹣14）＝30，或AA′＝4﹣（﹣14）＝18，根据折叠得，AC=12 AA′，∴x+14=12×30或x+14=12×18，解得：x＝1或﹣5，故选：D．5．（2021秋•九龙坡区期末）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（ ）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】分别找出圆周上数字0，1，2，3与数轴上的数重合的数字规律即可解答．【解题过程】解：先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，则圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2，2，6...﹣2+4n，圆周上数字1所对应的点与数轴上的数﹣1，3，7...﹣1+4n，圆周上数字2所对应的点与数轴上的数0，4，8...4n，圆周上数字3所对应的点与数轴上的数1，5，9...1+4n，∵2021＝1+4×505，∴数轴上的数2021与圆周上数字3重合，故选：D．6．（2021秋•瓯海区月考）如图，一电子跳蚤在数轴的点P0处，第一次向右跳1个单位长度到点P1处，第二次向左跳2个单位长度到点P2处，第三次向右跳3个单位长度到点P3处，第四次向左跳4个单位长度到点P4处，以此类推，当跳蚤第十次恰好跳到数轴原点，则点P0在数轴上表示的数为（ ）A．﹣5B．0C．5D．10【思路点拨】设P0所表示的数是x，归纳出P n＝x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，再根据P10＝0，求出x的值即可．【解题过程】解：设P0所表示的数是x，由题意知，P1所表示的数是x+1，P2所表示的数是x+1﹣2，P3所表示的数是x+1﹣2+3，...，P n所表示的数是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）n﹣1n，∴P10所表示的数的是x+1﹣2+3﹣4+...+（﹣1）10﹣1×10，∵P10＝0，即x+1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8+9﹣10＝0，∴x+（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+...+（9﹣10）＝0，即x﹣5＝0，解得x＝5，故选：C．7．（2021秋•济源期末）已知A，B，C是数轴上的三个点．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示，若BC=74AB，则点C表示的数是　−12或132．　．【思路点拨】因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC=74AB，所以BC=72，但是并不知道C点在B点的左还是右，依次讨论即可得到答案【解题过程】因为A、B两点表示的数为1，3，可以得到AB＝2，又因为BC=74AB，所以BC=72．当C点在B点的左面时C点代表的数为3−72=−12；当C点在B点的右面时C点代表的数为3+72=132；故答案为：−12或132．8．（2021秋•洛川县校级期末）如图所示，数轴（不完整）上标有若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是a，b，c，d，且有一个点表示的是原点．若d+2a+5＝0，则表示原点的应是点　C　．【思路点拨】此题用排除法进行分析：分别设原点是点A或B或C或D．【解题过程】解：若原点为A，则a＝0，d＝7，此时d+2a+5＝12，与题意不符合，舍去；若原点为B，则a＝﹣3，d＝4，此时d+2a+5＝﹣3，与题意不符合，舍去；若原点为C，则a＝﹣4，d＝3，此时d+2a+5＝0，与题意符合；若原点为D，则a＝﹣7，d＝0，此时d+2a+5＝﹣9，与题意不符合，舍去．故答案为：C．9．（2021秋•南充期末）如图，数轴上A，B两点对应的数分别为﹣1，2，若数轴上的点C满足AC+BC＝5，则点C表示的数为　﹣2或3．　．【思路点拨】分两种情况进行讨论：①点C在点A的左侧；②点C在点B的右侧，再根据所给的条件进行求解即可．【解题过程】解：设点C所表示的数为x，①当点C在点A的左侧时，∵AC+BC＝5，∴﹣1﹣x+2﹣x＝5，解得：x＝﹣2；②点C在点B的右侧时，∵AC+BC＝5，∴x﹣（﹣1）+x﹣2＝5，解得：x＝3，综上所述，点C表示的数为﹣2或3．故答案为：﹣2或3．10．（2022•石家庄二模）如图，在数轴原点O的右侧，一质点P从距原点10个单位的点A处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，则点A1表示的数为　5　；第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此跳动下去，则第四次跳动后，该质点到原点O的距离为　58　．【思路点拨】OA＝10个单位，A1是OA的中点，故A1表示的数是5，距离原点的距离就是5；依次类推，四次跳动后，距离原点的距离为10×124=58．【解题过程】解：根据题意，A1是OA的中点，而OA＝10，所以A1表示的数是10×12=5；A2表示的数是10×12×12=10×122；A3表示的数是10×1 23；A 4表示的数是10×124=10×116=58；故答案为：5；58．11．（2021秋•宜兴市期末）如图，点A 在数轴上表示的数是﹣8，点B 在数轴上表示的数是16，线段AB 的中点表示的数是 4　，若点C 是数轴上的一个动点，当2AC ﹣BC ＝10时，点C 表示的数是 ﹣42或103　．【思路点拨】根据数轴上两点间距离计算即可求出线段AB 的中点表示的数，要求点C 表示的数，分三种情况，点C 在点A 的左侧，点C 在AB 之间，点C 在点B 的右侧．【解题过程】解：∵点A 在数轴上表示的数是﹣8，点B 在数轴上表示的数是16，∴线段AB 的中点表示的数是：−8162=4，设点C 表示的数是x ，分三种情况：当点C 在点A 的左侧，∵2AC ﹣BC ＝10，∴2（﹣8﹣x ）﹣（16﹣x ）＝10，∴x ＝﹣42，∴点C 表示的数是：﹣42，当点C 在AB 之间，∵2AC ﹣BC ＝10，∴2[x ﹣（﹣8）]﹣（16﹣x ）＝10，∴x =103，∴点C 表示的数是：103，当点C 在点B 的右侧，∵AC ﹣BC ＝AB ，∴AC ﹣BC ＝16﹣（﹣8）＝24，而已知2AC﹣BC＝10，∴此种情况不存在．综上所述：点C表示的数是：﹣42或10 3，故答案为：4，﹣42或10 3．12．（2021秋•新泰市期末）我们知道，若有理数x1，x2表示在数轴上的点A1，A2，且x1＜x2，则点A1与点A2之间的距离为|x2﹣x1|＝x2﹣x1，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n．请解答下列问题：（1）若点C在数轴上表示的数为﹣6.5，求m+n的值；（2）若m+n＝8，请你直接写出点C表示的数为　﹣4或4　；（3）若C在点A、B之间（不与点A、B重合），且m=13n，求点C表示的数．【思路点拨】（1）利用两点间的距离求出m，n即可；（2）分两种情况讨论：点C在点A的左侧，点C在点B的右侧；（3）利用两点间的距离列出方程即可．【解题过程】解：（1）由题意得：m＝﹣3﹣（﹣6.5）＝﹣3+6.5＝3.5，n＝3﹣（﹣6.5）＝3+6.5＝9.5，所以m+n＝3.5+9.5＝13；（2）设点C表示的数为x，分两种情况：当点C在点A的左侧时，∵m+n＝8，∴﹣3﹣x+（3﹣x）＝8，∴x＝﹣4，当点C在点B的右侧时，∵m+n＝8，∴x﹣（﹣3）+（x﹣3）＝8，∴x＝4，故答案为：﹣4或4；（3）设点C表示的数为y，∵m=13 n，∴y﹣（﹣3）=13（3﹣y），∴y=−3 2．答：点C表示的数是−3 2．13．（2021秋•确山县期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P为AB的中点，则点P对应的数是　1　．（2）数轴的原点右侧有点P，使点P到点A，点B的距离之和为8．请你求出x的值．（3）现在点A，点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，直接写出点P对应的数．【思路点拨】（1）根据点P为AB的中点列方程即可解得答案；（2）分两种情况，当P在线段AB上时，由PA+PB＝[x﹣（﹣1）]+（3﹣x）＝4≠8，知这种情况不存在；当P在B右侧时，[x﹣（﹣1）]+（x﹣3）＝8，解得x＝5；（3）设运动的时间是t秒，表示出运动后A表示的数是﹣1+2t，B表示的数是3+0.5t，P表示的数是1﹣6t，根据点A与点B之间的距离为3个单位长度得：|（﹣1+2t）﹣（3+0.5t）|＝3，解出t的值，即可得到答案．【解题过程】解：（1）∵A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为AB的中点，∴3﹣x＝x﹣（﹣1），解得x＝1，∴点P对应的数是1，故答案为：1；（2）当P在线段AB上时，PA+PB＝[x﹣（﹣1）]+（3﹣x）＝4≠8，∴这种情况不存在；当P在B右侧时，[x﹣（﹣1）]+（x﹣3）＝8，解得x＝5，答：x的值是5；（3）设运动的时间是t秒，则运动后A表示的数是﹣1+2t，B表示的数是3+0.5t，P表示的数是1﹣6t，根据题意得：|（﹣1+2t）﹣（3+0.5t）|＝3，解得t=23或t=143，当t=23时，P表示的数是1﹣6t＝1﹣6×23=−3，当t=143时，P表示的数是1﹣6t＝1﹣6×143=−27，答：点P对应的数是﹣3或﹣27．14．（2021秋•洪江市期末）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：cm），由此可得到木棒长为　6　cm．（2）图中A点表示的数是　12　，B点表示的数是　18　．（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？【思路点拨】（1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是24﹣6＝18（cm），依此可求木棒长为6cm，（2）根据木棒长为6cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为18；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，依此可求出A，B两点所表示的数；（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷若是小红现在这么大看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为﹣38，小红若是爷爷现在这么大看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为118，所以可知爷爷比小红大[118﹣（﹣38）]÷3＝52，可知爷爷的年龄．【解题过程】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是24﹣6＝18（cm），则木棒长为：18÷3＝6（cm）．故答案为：6；（2）∵木棒长为6cm，将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为24，∴B点表示的数是18，∵将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6，∴A点所表示的数是12．故答案为：12，18；（3）借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷若是小红现在这么大看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为﹣38，小红若是爷爷现在这么大看作当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为118，∴可知爷爷比小红大[118﹣（﹣38）]÷3＝52，可知爷爷的年龄为118﹣52＝66（岁）．故爷爷现在66岁．15．（2021秋•丰台区校级期中）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化（1）平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是　D　A．（+3）+（+2）＝+5 B．（+3）+（﹣2）＝+1 C．（﹣3）﹣（+2）＝﹣5 D．（﹣3）+（+2）＝﹣1②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是　﹣1009　．（2）翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示　﹣2015　的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间的距离为2018（A 在B 的左侧，且折痕与①折痕相同），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 点表示　﹣1008　B 点表示　1010　．③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a ，b ，折叠中间点表示的数为　a b 2　．（用含有a ，b 的式子表示）【思路点拨】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB ＝2018，则A 点表示﹣1008，B 点表示1010；③利用中点坐标公式即可解决问题．【解题过程】解：（1）①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），故选D ．②一机器人从数轴原点处O 开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是﹣1009．（2）①∵对称中心是1，∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，②∵对称中心是1，AB ＝2018，∴则A 点表示﹣1008，B 点表示1010，③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a ，b ，折叠中间点表示的数为a b 2．故答案是；（1）①D ； ②﹣1009；（2）①﹣2015； ②﹣1008，1010；（3）a b 2．16．（2021秋•西城区期末）在数轴上有A，B，C，M四点，点A表示的数是﹣1，点B表示的数是6，点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，M为线段AC的中点．（1）画出点M，点C，并直接写出点M，点C表示的数；（2）画出在数轴上与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，并描述该图形的特征；（3）若数轴上的点Q满足QA=14QC，求点Q表示的数．【思路点拨】（1）根据已知可知点M表示的数是1，点C表示的数是3，即可解答；（2）分两种情况，在点B的左侧，在点B的右侧；（3）分两种情况，点Q在点A的左侧，点Q在AB的之间．【解题过程】解：（1）∵点B表示的数是6，点M位于点B的左侧并与点B的距离是5，∴点M表示的数是1，∵点A表示的数是﹣1，∴AM＝1﹣（﹣1）＝1+1＝2，∵M为线段AC的中点，∴MC＝AM＝2，∴点C表示的数是3，点M，点C在数轴上的位置如图所示：∴点M，点C表示的数分别为：1，3．（2）与点B的距离小于或等于5的点组成的图形，是一条线段EF，如图所示：线段EF是以点B为中点，距离为10的线段，且点E在数轴上表示的数为1，点F在数轴上表示的数为11；（3）设点Q表示的数为x，分两种情况：当点Q在点A的左侧，∵QA=14 QC，∴﹣1﹣x=14（3﹣x），∴x=−7 3，∴点Q表示的数为−7 3，当点Q在AB的之间，∵QA=14 QC，∴x﹣（﹣1）=14（3﹣x），∴x=−1 5，∴点Q表示的数为：−1 5，综上所述：点Q表示的数为−73或−15．17．（2022•孟村县二模）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A、B、C，其中AB＝4cm，BC＝2cm．以这条直线为基础建立数轴、设点A、B、C所表示数的和是p．（1）如果规定向右为正方向；①若以BC的中点为原点O，以1cm为单位长度建立数轴，则p＝　﹣5　；②若单位长度不变，改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且CO＝30cm，求p的值；并说明原点每向右移动1cm，p值将如何变化？③若单位长度不变，使p＝64，则应将①中的原点O沿数轴向　左　方向移动　23　cm；④若以①中的原点为原点，单位长度为ncm建立数轴，则p＝　−5n ．（2）如果以1cm为单位长度，点A表示的数是﹣1，则点C表示的数是　5　.【思路点拨】（1）①建立数轴，确定原点，找到各点表示的数，相加即可；②同①，确定原点，找到各数即可；③同①，先设原点，表示各数，相加和为64，从而确定出原点即可；④单位长度为ncm，相当于把①中的单位长度除以n即可；（2）确定原点，表示各数，相加即可．【解题过程】解：（1）①BC中点为原点O，则C表示的数是1，B表示的数为﹣1，A表示的数为﹣5，∴p＝﹣5+（﹣1）+1＝﹣5，故答案为：﹣5；②∵CO＝30cm，∴C表示的数是﹣30，B表示的数是﹣32，A表示的数是﹣36，∴p＝﹣30+（﹣32）+（﹣36）＝﹣98，原点出右移1cm，则各点表示的数就﹣1，所以和就减少3，即p值减少3；③根据②可知，原点向右平移1cm，p就减少3；原点向左平移1cm，p就增加3，∵p值是64，相对增加，∴可设左移xcm，得，﹣5+3x＝64，∴x＝23，故答案为：左；23；④单位长度除以n，则表示的数除以n，所以和除以n，即p=−5 n ；故答案为：−5 n ；（2）∵A点表示的数为﹣1，∴A点在原点左侧1cm处，∵AB＝4cm，BC＝2cm，∴C点到原点的距离为4﹣1+2＝5，∴C点表示的数是5，故答案为：5．18．（2021秋•仪征市期末）如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB 放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．（1）直尺AB的长为　20　个单位长度；（2）若直尺AB在数轴上O、C间，且满足BC＝3OA，求此时A点对应的数；（3）设直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值；②当t＝10时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m 的值．【思路点拨】（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20；（2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OA，即得OA＝40×113=10；（3）①B、C重合时t=60−302=15，即得15m＝60﹣10，故m=103；②t＝10时，运动后B表示的数是30+10×2＝50，P表示的数是10+10m，C表示的数是60，分五种情况：（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与C重合时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案．【解题过程】解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，∴AB＝BC，∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．∴OA＝AB，∴OA＝AB＝BC，∵OC＝60，∴AB＝60×13=20，故答案为：20；（2）∵AB＝20，OC＝60，∴OA+BC＝40，∵BC＝3OA，∴OA＝40×113=10，∴A点对应的数是10；（3）①由（2）知，B运动前表示的数是30，∵直尺AB以（2）中的位置为起点，以2个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，∴B、C重合时t=60−302=15（秒），根据题意得：15m＝60﹣10，∴m=10 3，答：m的值是10 3；②t＝10时，运动后B表示的数是30+10×2＝50，P表示的数是10+10m，C表示的数是60，（Ⅰ）当B是P、C中点时，依题意有10+10m+60＝50×2，解得m＝3；（Ⅱ）当B与P重合时，依题意有10+10m＝50，解得m＝4；（Ⅲ）当P是B、C中点时，依题意有50+60＝2（10+10m），解得m＝4.5；（Ⅳ）当P与C重合时，10+10m＝60；解得m＝5，（Ⅴ）当C是P、B中点时，依题意有10+10m+50＝60×2，解得m＝6．综上所述，m的值是3或4或4.5或5或6．19．（2021秋•富县月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”．（1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数−52，1，4是点A，B的“倍分点”的是　1，4　；（2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点．①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数；②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数．【思路点拨】根据题干提供新定义求解．（1）分别计算各数−52，1，4到A和B的距离，根据“倍分点”进行判断即可；（2）①分类讨论点D位置求解；②分类讨论：D，A，B分别是“倍分点”，列方程可解答．【解题过程】解：（1）∵﹣2+52=0.5，2+52=4.5，∴数−52不是点A，B的“倍分点”；∵1+2＝3，2﹣1＝1，∴数1是点A，B的“倍分点”；∵4﹣（﹣2）＝6，4﹣2＝2，∴数4是点A，B的“倍分点”；故答案为：1，4；（2）设点D对应的数为x，①当点D在A，B之间时，因为AB＝30+10＝40，所以当BD=14AB时，BD＝10，即x＝30﹣10＝20；当BD=34AB时，BD＝30，即x＝30﹣30＝0；当点D在点B右侧，AD＝3BD，即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50；当点D在点A左侧，BD＝3AD，即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30；综上，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；②由①得点D是倍分点时，点D表示的数可为20，0，50，﹣30；当点A为倍分点，点D在A，B之间时，AB＝3AD，即40＝3（x+10），解得x=10 3；点D在点A左侧时，AD＝3AB，即﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130；AB＝3AD，40＝3（﹣10﹣x），解得x=−70 3；点D在点B右侧，AD＝3AB，即x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110；当点B为倍分点时，同理可求x=503，﹣90，150，1303．综上，点D表示的数可为：20，0，50，﹣30，103，﹣130，−703，110，503，﹣90，150，1303．20．（2021秋•西湖区期末）已知点A，B，C，D是同一数轴上的不同四点，且点M为线段AB的中点，点N为线段CD的中点．如图，设数轴上点O表示的数为0，点D表示的数为1．（1）若数轴上点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，①若点C表示的数是3，求线段MN的长．②若CD＝1，请结合数轴，求线段MN的长．（2）若点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN=OA OB OC2，求点M在数轴上所表示的数．【思路点拨】（1）①先根据数轴上两点的距离可得AB的长，由线段中点的定义可得AM的长，同理得CN的长，由线段的和差关系可得MN的长；②存在两种情况：C在D的左边或右边，同理根据线段的和差关系可得MN的长；（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，结合数轴上两点间的距离公式，中点坐标公式和线段的和差关系列方程求解．【解题过程】解：（1）①如图1，∵点A，B表示的数分别是﹣5，﹣1，∴AB＝﹣1﹣（﹣5）＝4，∵M是AB的中点，∴AM=12AB＝2，同理得：CD＝3﹣1＝2，CN=12CD＝1，∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝3﹣（﹣5）﹣2﹣1＝5；②若CD＝1，存在两种情况：i）如图2，点C在D的左边时，C与原点重合，表示的数为0，∴MN＝AD﹣AM﹣DN＝1﹣（﹣5）﹣2−12=72；ii）如图3，点C在D的右边时，C表示的数为2，∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝2﹣（﹣5）﹣2−12=92；综上，线段MN的长为72或92；（2）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，∵点A、B、C、D、M、N是数轴上的点，且点M是线段AB的中点，点N是线段CD的中点，∴点M在数轴上表示的数为a b2，点N在数轴上表示1c2，∴MN＝|a b2−1c2|，∵点A，B，C均在点O的右侧，且始终满足MN=OA OB OC2，∴2|a b2−1c2|＝a+b+c，整理，得|a+b﹣1﹣c|＝a+b+c，当a+b﹣1﹣c＝a+b+c时，解得c=−12（不符合题意，舍去），当﹣a﹣b+1+c＝a+b+c时，解得：a+b=1 2，∴点M在数轴上表示的数为a b2=14，综上，点M在数轴上所对应的数为1 4．。