数学中考热点题型一 规律探索题

２０２４年４月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀中考数学探索性问题答题策略以江苏省部分地市中考试题为例◉江苏省仪征市实验中学东区校㊀王小琪◉江苏省仪征市月塘中学㊀雷业红㊀㊀摘要:数学探索是一种重要的研究问题㊁解决问题的方法,也是人们探索和发现新知识的重要手段,有利于培养和发展创造思维能力．探索性问题已成为近年来中考数学的热点题型,本文中结合中考真题,对常见的几种探索性问题进行了归类㊁整合与解析,帮助学生熟悉探索性问题的答题策略,掌握解答的方法与技巧．关键词:规律探索型;条件探索型;结论探索型;存在性探索型;尝试性解答㊀㊀初中数学课程标准要求教师 引导学生通过实践㊁思考㊁探索㊁交流,获得知识,形成技能,发展思维,学会学习 ,探索性题型正是为了适应加强对学生综合能力考查的新形势,在近年来中考数学试题中出现的一种新颖的题型．探索性问题的解答过程本身就是一个探索㊁发现的过程,这一类问题对培养学生的创造性思维㊁想象能力㊁实践能力㊁探索创新能力有很大的帮助．１规律探索型解答规律探索类问题的策略是:运用化归思想,根据题目的设问方式,采用 提出问题－分析问题－解决问题－深度思考 逐步深入的模式分步解答;要善于从所提供的数字或图形信息中,寻求其内在的共同之处,找到这个存在于特殊之中的共性,也就找到了规律．例１㊀(２０２２年江苏省盐城市中考试题第２７题)ʌ发现问题ɔ小明在练习簿的横线上取点O为圆心,相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,如图１所示,他发现这些点的位置有一定的规律．ʌ提出问题ɔ小明通过观察,提出猜想:按此步骤继续画圆描点,所描的点都在某二次函数图象上．ʌ分析问题ɔ小明利用已学知识和经验,以圆心O 为原点,过点O的横线所在直线为x轴,过点O且垂直于横线的直线为y轴,相邻横线的间距为一个单位长度,建立平面直角坐标系,如图２所示．当所描的点在半径为５的同心圆上时,其坐标为．ʌ解决问题ɔ请帮助小明验证他的猜想是否成立．ʌ深度思考ɔ小明继续思考:设点P(０,m),m为正整数,以O P为直径画☉M,是否存在所描的点在☉M上?若存在,求m的值;若不存在,说明理由．图１㊀㊀㊀图２解析:对于 分析问题 ,根据题意可知,所描的点在半径为５的同心圆上时,其纵坐标为y＝５－１＝４,横坐标x＝ʃ５２－４２＝ʃ３,所以点的坐标为(－３,４)或(３,４)．对于 解决问题 ,设所描的点在半径为n(n为正整数)的同心圆上,则该点的纵坐标为(n－１),横坐标为ʃn２－(n－１)２＝ʃ２n－１,所以该点的坐标为(－２n－１,n－１)或(２n－１,n－１)．因为(ʃ２n－１)２＝２n－１,又n－１＝２n－１－１２,所以该点在二次函数y＝１２(x２－１),即y＝１２x２－１２的图象上．故小明的猜想正确．对于 深度思考 ,假设该点在第二象限,坐标为(－２n－１,n－１),☉M的圆心坐标为(０,１２m),所以由(ʃ２n－１－０)２＋(n－１－１２m)２＝１２m解得m＝n２n－１＝(n－１＋１)２n－１＝(n－１)２＋２(n－１)＋１n－１＝n－１＋２＋１n－１．又因为m,n均为正整数,所以n－１＝１,于是m＝１＋２＋１＝４．７４学习指导２０２４年４月下半月㊀㊀㊀故存在所描的点在☉M 上,m 的值为４．思路与方法:本题考查了勾股定理㊁二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系等知识．在 分析问题 中,根据题意可得知该点的纵坐标为４,再利用勾股定理,即可求出该点的横坐标;在 解决问题 这一步中,设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上,即可推知该点的纵坐标为(n －１),利用勾股定理又可得出该点的坐标为(－２n －１,n －１)或(２n －１,n －１),利用点横㊁纵坐标间的关系,可得出该点在二次函数y ＝１２x ２－１２的图象上,进而即可验证小明的猜想正确;在 深度思考 中,先假设该点的坐标为(－２n －１,n －１),再根据☉M 的圆心坐标,结合勾股定理,用含n 的代数式表示出m 的值,最后结合m 与n 均为正整数,即可求出m ,n 的值．２条件探索型解答条件探索类问题的策略是:从结论出发,逆向追索,补充使结论成立的条件,当然很可能满足结论的条件不唯一．这也正是开放性探索问题的一大特点．具体的解题方法因题而异,具有多样性,值得我们不断探索．例２㊀(２０２２年江苏省苏州市中考全真模拟试题第２７题)(１)ʌ问题提出ɔ苏科版«数学»九年级(上册)习题２．１有这样一道练习题:如图３①,B D ,C E 是әA B C 的高,M 是B C 的中点,点B ,C ,D ,E 是否在以点M 为圆心的同一个圆上?为什么?在解决此题时,若想要说明 点B ,C ,D ,E 在以点M 为圆心的同一个圆上 ,在连接MD ,M E 的基础上,只需证明．图３(２)ʌ初步思考ɔ如图３②,B D ,C E 是锐角三角形A B C 的高,连接D E ,求证øA D E ＝øA B C ．小敏在解答此题时,利用了 圆的内接四边形的对角互补 进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)(３)ʌ推广运用ɔ如图３③,B D ,C E ,A F 是锐角三角形A B C 的高,三条高的交点G 叫做әA B C 的垂心,连接D E ,E F ,F D ,求证:点G 是әD E F 的内心．解析:(１)根据圆的定义可知,当点B ,C ,D ,E 到点M 点距离相等时,则它们在圆M 上,所以只需证明M E ＝MD ＝M B ＝M C ．图４(２)如图４,取B C 的中点M ,连接M E ,MD ．由B D ,C E 是锐角三角形A B C的高,可知øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ．在R t әB D C 中,因为M 是B C 的中点,所以MD ＝M B ＝M C ．同理,可得M E ＝M B ＝M C ．所以M B ＝M C ＝MD ＝M E ．故四边形B C D E 是☉M 的内接四边形．因此øE B C ＋øE D C ＝１８０ʎ．又øA D E ＋øE D C ＝１８０ʎ,所以øA D E ＝øE B C ,即øA D E ＝øA B C ．(３)证明:在圆M 的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ．在圆的内接四边形E F C A 中,øC A F ＝øC E F ．因为øC B D ＋øA C B ＝９０ʎ,øC A F ＋øA C B ＝９０ʎ,所以øC B D ＝øC A F ,则øC E D ＝øC E F ,即E G 平分øD E F ．同理,可知D G 平分øE D F ．所以点G 是әD E F 的内心．思路与方法:本题主要考查了有关三角形㊁圆的综合问题,熟练掌握三角形㊁圆的相关知识及证明方法是解题的关键．第(１)问根据圆的定义即可求解．第(２)问根据题意作图４,取B C 的中点M ,再连接M E ,MD ;首先求出øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ,然后得出MD ＝M B ＝M C ＝M E ,即可证明四边形B C D E 是☉M 的内接四边形,进而求证即可．第(３)问,首先在圆的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ,在圆的内接四边形E F C A 中,可知øC A F ＝øC E F ,然后求出øC B D ＝øC A F ,即可得出øC E D ＝øC E F ,进而得出E G 平分øD E F ,同理D G 平分øE D F ,即可得证．３结论探索型解答结论探索类问题的策略是:采用 执因索果的思路,从找原因开始,一步步顺推前进．由于解题思路和推导的角度不同,使得答案具有不确定性．图５例３㊀(２０２２年江苏省扬州市中考试题第２８题)如图５,在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝６０ʎ,点D 在B C 边上由点C 向点B 运动(不与点B ,C 重合),过点D 作D E ʅA D ,交射线A B 于点E ．(１)分别探索以下两种特殊情形时线段A E 与８４２０２４年４月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀B E 的数量关系,并说明理由:①点E 在线段A B 的延长线上且B E ＝B D ;②点E 在线段A B 上且E B ＝E D ．(２)若A B ＝６．①当D E A D ＝３２时,求A E 的长;②直接写出运动过程中线段A E 长度的最小值．解析:(１)①如图５,因为在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝６０ʎ,所以øA B C ＝３０ʎ．又B E ＝B D ,所以øB D E ＝１２øA B C ＝１５ʎ．所以øB D A ＝９０ʎ－øB D E ＝９０ʎ－１５ʎ＝７５ʎ．在әA B D 中,øB A D ＝１８０ʎ－øA B D －øB D A ＝１８０ʎ－３０ʎ－７５ʎ＝７５ʎ,则øB A D ＝øB D A ＝７５ʎ,所以A B ＝B D ＝B E ．故A E ＝２B E ．图６②如图６,因为B E ＝D E ,所以øE B D ＝øE D B ＝３０ʎ,则øA E D ＝６０ʎ．所以在R tәA D E中,øE A D ＝３０ʎ,于是A E ＝２E D ．故A E ＝２B E ．图７(２)①如图７,分别过点A ,E作B C 的垂线,垂足分别为G ,H ,易知әE G D ʐәD H A (一线三垂直)．设D E ＝３a ,A D ＝２a ,则有A E ＝D E ２＋A D ２＝７a ,B E ＝６－７a ．在R t әA B C 中,øA B C ＝３０ʎ,A B ＝６,则A C ＝A B ３＝２３,B C ＝２A C ＝４３．在R t әB E G 中,øE B G ＝３０ʎ,B E ＝６－７a ,则E G ＝B E ２＝３－７２a ．在R t әAH C 中,øC ＝６０ʎ,A C ＝２３,则AH ＝３A C２＝３,DH ＝A D ２－AH ２＝４a ２－９．由әE G D ʐәDHA ,得E D A D ＝E G DH ,于是有３２＝３－７２a ４a ２－９,解得a １＝３７５,a ２＝－３７(舍)．故A E ＝７a ＝２１５．②当øE A D ＝３０ʎ时,A E 最小,且最小值为４．思路与方法:本题考查几何综合问题,涉及到特殊直角三角形㊁相似㊁等腰三角形等知识,有一定的难度;解题的思路与方法主要体现在,能够根据题意作出图７,通过添加辅助线构造 一线三垂直 ,运用三角形的相似性质来解决问题．４存在性探索型解答存在性探索类问题的策略是:先假设所探索的对象成立(即存在),再结合题设和已学过的知识进行计算㊁推理与判断．如果推出的结果符合题目要求,就肯定了存在性;如果推出的结果与题目条件或有关结论矛盾,这样就否定了存在性．图８例４㊀(２０２２年江苏省苏州市中考试题第２７题)如图８,在әA B C 中,øA C B ＝２øB ,C D 平分øA C B ,交A B 于点D ,DE ʊA C ,交B C 于点E ．(１)若D E ＝１,B D ＝３２,求B C 的长;(２)试探究A B A D －B ED E是否为定值．如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由．解析:(１)因为C D 平分øA C B ,所以øA C D ＝øD C B ＝１２øA C B ．又øA C B ＝２øB ,所以øA C D ＝øD C B ＝øB ．所以C D ＝B D ＝３２．又D E ʊA C ,则øA C D ＝øE D C ,所以øE D C ＝øD C B ＝øB ．所以C E ＝D E ＝１,әC E D ʐәC D B ．所以C E C D ＝C D C B ,则B C ＝９４．(２)因为D E ʊA C ,所以A B A D ＝B CC E ．由(１)可得C E ＝D E ,于是A B A D ＝B CD E．所以A B A D －B E D E ＝B C D E －B E D E ＝C E D E ＝１．故A B A D －B E D E 是定值,且定值为１．思路与方法:本题考查了相似三角形的性质与判定．第(１)问,先证明әC E D ʐәC D B ,再根据相似三角形的性质即可求解;第(２)问,由D E ʊA C ,可得A BA D＝B C D E ,由第(１)问可得C E ＝D E ,通过计算A B A D －B ED E ＝１可得证．由上述几类探索性问题的解答可知,解答探索性问题的思路与策略是:首先认真审题,在深刻理解题意的基础上,针对不同的题型,从不同的侧面㊁不同的角度,理清条件和结论之间㊁图形特征与数式特征之间的关系,然后运用观察㊁比较㊁类比㊁联想㊁猜想㊁证明㊁计算㊁推断等多种具体方法,进行尝试性解答．Z９４。

第33讲：如何做中考探索（规律）题随着课程改革的不断深入，规律探索型试题自近几年出现以来，正受到越来越多的省市所青睐.因此，这就需要我们在平时的学习及复习时注重进行观察能力、分析能力、探索研究能力、归纳能力和创新能力的训练与培养.规律探索型题包括探索数字规律型、探索运算规律型、探索等式的规律型、探索几何图形排列规律型等等试题，因为涉及的知识点较多，并且能够综合考查学生的探索、归纳、概括、类比等等能力，因此是中考的热点题型.解决这类问题的一般思路是：首先认真阅读所给出的条件，从中发现其变化规律，大胆猜想，由特殊的情况总结出一般性的结论，最后再进行验证以确保所归纳结论的正确性.题型一探索数字规律探索数字规律的题目在中考中经常出现，做这类试题，要认真分析所给出的数字之间的关系以及每个数字与所处的数位的关系，找出规律性，推测出所要求填写的项或者通项公式。

例1、（2007辽宁沈阳）有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为．解析：仔细分析数字的特征，1=02+1，2=12+1，5=22+1，10=32+1，17=42+1，26=52+1…，容易推测出第8个数为72+1=50。

例2、（2007重庆）将正整数按如图所示的规律排列下去。

若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是。

解析：到第6排最后共有1+2+3+4+5+6=21个数，则第7排第2个数为23。

题型二探索运算规律根据已经提供的数字之间的运算规律，探究出一般性的结论或者推测出某些算式，是解决探究运算规律试题的基本解法。

例3、（2007山东烟台）观察下列各式：===请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来．(n+例4、（2007浙江临安）已知：, ……，若符合前面式子的规律，则a + b = ___ ____．解析：首先可以猜测出a=102-1=99，b=10，所以a+b=109。

中考数学热点题型――规律探索篇新课程标准要求学生，能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.为适应新的教学理念及社会和谐发展的需要，兼具双重性质考试的中考，既要考查三基，又要考查数学应用能力，考查和测试继续学习和深造的潜在的能力，即学习潜力，为高一级学校输送合格的新生.近几年来出现了颇具新意的观察探索归纳猜想类型题，以数学概念及数学思想方法为载体，考查潜能的创新题脱颖而出.为了方便同学们搞好后期的中考复习，现以2007年全国部分省市的中考试题为例说明如下：一、从数的运算中探索规律例1（广西河池课改试题）古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第98个三角形数的差为＿＿＿.分析观察这一组数有以下特征：1＝12(12+1)，3＝12(22+2)，6＝12(32+3)，10＝1 2(42+4)，15＝12(52+5)，21＝12(62+6)，……由此可以猜想第100个三角形数和第98个三角形数的大小，即可求解.解因为1＝12(12+1)，3＝12(22+2)，6＝12(32+3)，10＝12(42+4)，15＝12(52+5)，21＝12(62+6)，……，所以第98个这样的三角形数是12(982+98)，第100个这样的三角形数是12(1002+100)，即第100个三角形数与第98个三角形数的差为12(1002+100)－12(982+98)＝12(1002－982+100－98)＝12(198×2+2)＝199.故应填199.说明同学们通过求解这道中考题，感觉一定不错吧！在数学解题中，只要我们认真地去分析题目的本质特征，找到其中隐藏的规律，求解起来还是十分地方便快捷.二、从式的运算中探索规律例2（杭州市）给定下面一列分式：3xy，－52xy，73xy，－94xy，…，（其中x≠0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式.分析（1）后一个分式除以前面一个分式其结果都是负的，并且是一个恒定的代数式，（2）观察已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号.解（1）因为－52xy÷3xy＝73xy÷(－52xy)＝－94xy÷(－73xy)＝…＝－2xy，所以任意一个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－2xy.（2）因为已知的一列分式可知分式的分母的指数依次增加1，分子的指数是分母指数的2倍加1，并且分母的指数是偶数的分式带有“－”号，所以第7个分式应该是157x y. 说明 求解此类中考试题除了要利用基础知识外，还要认真地分析每一个式子的特点，及时地发现、归纳出一般规律.三、从图形特征中探索规律例3（温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如图1正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表和如图2所示：若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是＿＿＿.分析 由数据1，1，2，3，5，8，13，…的规律可知矩形①、②、③、④、……的相应的长分别为2＝1+1，3＝1+2，5＝2+3，8＝3+5，…，89＝34+55，144＝55+89，233＝89+144，…，相应的宽分别为1，1+1，1+2，2+3，3+5，…，21+34，34+55，55+89，….由此可以获解.解 依题意，得序号为⑩的矩形的宽为34+55＝89，长为55+89＝144，所以号为⑩的矩形周长是(89+144)×2＝233×2＝466.故应填上466.说明 求解本题的关键一要正确理解1，1，2，3，5，8，13，…的规律，二是以这组数中的各个数作为正方形的长度构造正方形的意义，三是要弄清楚分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成矩形的长和宽分别是多少.四、从图案中探索规律例4（乐山市）认真观察图3①的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：① ② 图3 11231511211321④③②①图2 11235...图1（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.特征1：______；特征2：______.（2）请在图3②中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征.分析 通过观察每一个图案的特征可以发现：它们既是轴对称图案，又是中心对称图案，并且面积相等，都等于4个单位等等.由此可以再仿照设计很多的图案.解（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等等.（2）满足条件的图形有很多，即答案不惟一.如，如图4所示.说明 本题是一道开放型试题，求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就.五、从阅读理解中探索规律例5（乐山市）如图5，在直角坐标系中，已知点P 0的坐标为(1，0)，将线段OP 0 按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP 0的2倍，得到线段OP 1；又将线段OP 1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP 1的2倍，得到线段OP 2；如此下去，得到线段OP 3，OP 4，…，OP n （n 为正整数）（1）求点OP 6的坐标；（2）求△P 5OP 6的面积；（3）我们规定：把点P n (x n ，y n )(n ＝0，1，2，3，…)的横坐标x n 、纵坐标y n 都取绝对值后得到的新坐标(n x ，n y )称之为点P n 的“绝对坐标”.根据图中点P n 的分布规律，请你猜想点P n 的“绝对坐标”，并写出来.分析 先从中探索出一般规律，然后再进一步求解.解（1）根据旋转规律，点P 6落在y 轴的负半轴，而点P n 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为P 6(0，26)，即P 6(0，64).（2）由已知可得，△P 0OP 1∽△P 1OP 2∽…∽△P n －1OP n ，设P 1(x 1，y 1)，则y 1＝2sin45°所以S △P 0OP 1＝12×1＝2.又因为61OP OP ＝32，所以5601P OP P OP S S △△＝2321⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1024，即S △P 5OP 6＝1024×2＝（3）由题意知，OP 0旋转8次之后回到x 轴正半轴，在这8次中，点P n 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P n 的坐标可分三类情况：令旋转次数为n . ①当n ＝8k 或n ＝8k +4时（其中k 为自然数），点P n 落在x 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(2n ，0)；②当n ＝8k +1或n ＝8k +3或n ＝8k +5或n ＝8k +7时（其中k 为自然数），点P n 落在各象限的平分线上，此时，点P n 的绝对坐标为×2n，2×2n )，即(2n －2n －；③当n ＝8k +2或n ＝8k +6时（其中k 为自然数），点P n 落在y 轴上，此时，点P n 的绝对坐标为(0，2n).图4说明本题中定义的绝对坐标问题是我们没有见过的，但通过说明，对照图形，我们还5综上所言，规律探索试题一般是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.求解时，只要能根据已知条件或特例中发现规律即可简捷解答.。

初中数学规律探究题型“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。

这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。

不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。

因此规律探究类问题一直成为命题的热点。

题型一、一阶等差规律一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。

主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。

这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。

1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。

2、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．【解析】用一阶等差实质进行分析。

根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179例2、观察下列数：14，39，516，725，936⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．221n n + C ．221(1)n n ++ D ．221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。

中考冲刺二：探索性问题一、热点分析探索是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍.初中数学中的“探索发现”型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，从而定格于“条件——演绎——结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律.通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1.条件探索型结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目.2.结论探索型给定条件但无明确结论或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论的题目.3.存在探索型在一定的条件下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.4.规律探索型在一定的条件状态下，需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目.由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1.利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.2.反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.3.分类讨论法.当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果.4.类比猜想法.即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证.以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.二、经典例题透析类型一：条件探索型1．(呼和浩特市)在四边形中，顺次连接四边中点，构成一个新的四边形，请你对四边形填加一个条件，使四边形成为一个菱形.这个条件是__________.解：或四边形是等腰梯形(符合要求的其它答案也可以).举一反三：【变式1】(荆门市)将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1.(1)四边形ABCD是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________.(2)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________.(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________.(图3、图4用于探究)解：(1)是，此时AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(2)是，在平移过程中，始终保持AB C1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(3)，此时∠ABC1=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形.，此时点D与点B1重合，AC1⊥BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【变式2】(广东)如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的—个动点，点P不与点0、点A重合.连结CP，过点P作PD交AB于点D.(1)求点B的坐标；(2)当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标；(3)当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且=，求这时点P的坐标.解：(1)过C作CF⊥OA于F，BE⊥OA于E则△OCF≌△ABE，四边形CDEB为矩形∴OF=AE，CF=BE∵OC=AB=4，∠COA=60°∴CF=，OF=2∴CB=FE=3∴OE=OF+FE=5∵BE=CF=∴B(5，)；(2)若ΔOCP为等腰三角形，∵∠COP=60°，此时ΔOCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形若ΔOCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上，∴点P的坐标为(4，0)若ΔOCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4∴点P的坐标为(-4，0)∴点P的坐标为(4，0)或(-4，0)；(3)∵∠CPD=∠OAB=∠COP=60°∴∠OPC+∠DPA=120°又∵∠PDA+∠DPA=120°∴∠OPC=∠PDA∵∠COP=∠A=60°∴△COP∽△PAD∴∵，AB=4∴∴即∴得OP=1或6∴P点坐标为(1，0)或(6，0).类型二、结论探索型2．(云南省)已知：如图，四边形ABCD是矩形(AD＞AB)，点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F. 请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明.解：经探求，结论是：DF=AB.证明如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB.∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，∵AE=AD ，∴△ABE≌△DFA.∴AB=DF.举一反三：【变式1】(北京市)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；(2)如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，.请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；(3)在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.解：(1)回答正确的给1分(如平行四边形、等腰梯形等).(2)答：与相等的角是(或). 四边形是等对边四边形.(3)答：此时存在等对边四边形，是四边形.证法一：如图1，作于点，作交延长线于点.∵，为公共边，∴.∴.∵，，∴.可证.∴.∴四边形是等边四边形.证法二：如图2，以为顶点作，交于点.∵，为公共边，∴.∴，.∴.∵，，∴.∴.∴.∴.∴四边形是等边四边形.说明：当时，仍成立.只有此证法，只给1分.【变式2】(山东滨州)如图1所示，在中，，，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动.(1)点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置.若不能，请说明理由.(2)当时，设，，求与之间的函数解析式，写出的取值范围.(3)在满足(2)中的条件时，若以为圆心的圆与相切(如图2)，试探究直线与的位置关系，并证明你的结论.解：如图，(1)点移动的过程中，能成为的等腰三角形.此时点的位置分别是：①是的中点，与重合.②.③与重合，是的中点.(2)在和中，，，.又，..，，，.(3)与相切.，..即.又，..点到和的距离相等.与相切，点到的距离等于的半径.与相切.类型三、存在探索型存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题.解题的策略与方法是：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在.3．(山东省威海市)抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)过点A(1，-3)，B(3，-3)，C(-1，5)，顶点为M点.(1)求该抛物线的解析式；(2)试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90°.若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标.解：(1)y=x2-4x(2)易求得顶点M的坐标为(2，-4).设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为(a，a2-4a).过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，则∠POE+∠MOF=90°，∠POE+∠EPO=90.∴∠EPO=∠FOM.∵∠OEP=∠MFO=90°，∴Rt△OEP∽Rt△MFO.∴OE：MF=EP：OF.即(a2-4a)：2=a：4.解得a1=0(舍去)，.故抛物线上存在一点P，使∠POM=90°，P点的坐标为.举一反三：【变式1】(武汉市)已知：二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；(2)是否存在过点的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E 对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.解：(1)依题意，得x1x2=m，x12+x22=10，∵x1+x2=m+1，∴(x1+x2)2-2x1x2=10，∴(m+1)2-2m=10，m=3或m=-3，又∵点C在y轴的正半轴上，∴m=3.∴所求抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)假设存在过点的直线与抛物线交于两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称.∵M、N两点关于点E对称，∴. 设直线MN的解析式为：.由得∴k(k+4)-5=0，∴k=1或k=-5.当k=-5时，方程的判别式，∴k=1，∴直线MN的解析式为.∴存在过点的直线与抛物线交于M、N两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称.【变式2】(乐山)如图，在矩形中，，.直角尺的直角顶点在上滑动时(点与不重合)，一直角边经过点，另一直角边交于点.我们知道，结论“”成立.(1)当时，求的长；(2)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.解：(1)在中，由，得，由知，.(2)假设存在满足条件的点，设，则由知，，解得，此时，符合题意.类型四、规律探索型规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题.4．(湖南衡阳)观察算式：1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52 ；……用代数式表示这个规律(n为正整数)：1+3+5+7+9+…+(2n-1)=______________________.解：由以上各等式知，等式左端是从1开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.填n2.举一反三：【变式1】(吉林省)如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖数为___________.解：根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这类问题，首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论.第1个图案有白色瓷砖5(即2+3×1)块；第2个图案有白色瓷砖8(即2+3×2)块；第3个图案有白色瓷砖11(即2+3×3)块. 由此可得，第n个图案有白色瓷砖(2+3n)块. 填3n+2.【变式2】(资阳)设a1=32-12，a2=52-32，…，a n=(2n+1)2-(2n-1)2 (n为大于0的自然数).(1)探究a n是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出a1，a2，…，a n，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，a n为完全平方数(不必说明理由) .解：(1) ∵，又n为非零的自然数，∴a n是8的倍数.这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.(2) 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256.n为一个完全平方数的2倍时，a n为完全平方数.。

浅析中考数学题型中的规律探索问题拉萨市第八中学李家强纵观近年来全国各省市的中考数学题，从中可以发现一个共同的特点，那就是规律探索问题。

它已经成为中考命题中的热点试题，它的出现，对初中数学教学产生了积极的导向作用，且有利于新课程改革的进一步深化。

这类问题主要是考查学生发散性思维和所学基本知识的应用能力，同时要求学生具有一定的数学猜想能力和逻辑推理能力，能够根据题目中给出的一组有规律的数、算式或图形，通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并能对所做出的猜想进行验证；从特殊情况入手，分析特点，探索事物的内在规律，从而得出结论。

而此类问题的突破和解决往往取决于日常学习中积累的数学感悟以及对或显或隐的结构特征的认识和把握。

规律探索问题大致可分为两种类型：一种是图形规律探索问题，另一种是数字或字母规律探索问题。

两者存在一定的共性，也存在着个性；同时两者之间也可以相互转化，相互渗透，相辅相成。

图形规律探索问题往往给出几个简单的图形，通过观察、归纳、猜想等方法，进行适当的正向迁移和归纳推理，并通过计算或证明，得出符合题设条件的规律，进而得出答案。

解决与图形有关探索问题的思维方法是：采用从特殊到一般的探索思路，即通过观察几个特殊的例子进行比较、归纳和分析综合，得到一般规律，这是解决这类问题的重要方法。

数字或字母规律探索问题与图形规律探索问题相类似，对于一般数字或字母规律探索问题较为简单，只要经过观察、分析、比较、类比、归纳等探索，就能找出规律来，从几个简单的、特殊的情况出发，逐步探索，归纳出一般规律和性质，是解答有关数字或字母规律探索问题常用的方法，下面就以上方法举出几例加以说明：例1：如图所示，用小棒摆下面的图形，图形（1）需要3根小棒，图形（2）需要7根小棒，……照这样的规律继续摆下去，第n 个图形需要 根小棒（用含n 的代数式表示）。

解析：第（1）个图形的小棒数量可看成3=4×1-1，第（2）个图形的小棒数量可看成7=4×2-1，第（3）个图形的小棒数量可看成11=4×3-1，所以第n 个图形中由（4n-1）根小棒组成。

变中不变找规律㊀函数特值试一试对中考一类定值问题的探究陈㊀通(江苏省泗洪县洪泽湖路实验学校ꎬ江苏泗洪２２３９００)摘㊀要:中考中的定值问题ꎬ主要涉及三角形中的定值问题㊁圆中的定值问题和矩形中的定值问题.解决这类定值问题的方法主要是寻找变化中的不变量ꎬ先从特殊情形(比如特殊点或特殊位置)算出定值ꎬ再结合几何性质或者函数关系进行一般化的证明.关键词:中考ꎻ平面几何ꎻ定值问题ꎻ运动ꎻ探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３５－００３８－０３收稿日期:２０２３－０９－１５作者简介:陈通(１９８６.１０－)ꎬ男ꎬ江苏省泗洪县人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在一个给定的图形中ꎬ某些元素(如点㊁线㊁角㊁三角形等)按照一定的规律在运动变化ꎬ而在运动变化中ꎬ某几何量或几何量间的关系(如线段的长度㊁角的度数㊁图形的周长或面积的大小等)却始终保持固定的数值ꎬ这就是几何图形 变中不变 问题ꎬ也称 定值 问题[１].求解这类 定值问题 难度较大ꎬ解决的办法一般是将问题特殊化ꎬ即先从特殊情况入手ꎬ找出定值ꎬ然后再一般化处理.定值问题常见的题型有:线段㊁角度定值ꎻ周长定值ꎻ面积定值ꎻ线段的乘积定值等[２].比如ꎬ对于线段乘积为定值的问题ꎬ大多采用相似法ꎬ通过相似成比例把乘积问题转化为比例问题.此外ꎬ对于定值问题ꎬ还可以设变量ｘꎬ并用ｘ的代数式来表示其他变量ꎬ通过代数式变形计算解决问题.若计算结果中不含ｘ和其他变量ꎬ则为定值ꎬ否则不是.这种用 数 来研究 形 的方法ꎬ是研究定值问题的常用方法[３]ꎬ同时体现了转化思想与数形结合思想.１三角形中的定值问题例１㊀如图１ꎬ在等腰直角әＡＢＣ中ꎬøＣ＝９０ʎꎬＯ是ＡＢ的中点ꎬ且ＡＢ＝６ꎬ将一块直角三角板的直角顶点放在点Ｏ处ꎬ始终保持该直角三角板的两直角边分别与ＡＣꎬＢＣ相交ꎬ交点分别为ＤꎬＥꎬ则ＣＤ＋ＣＥ＝(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀Ｄ.６图１㊀例１题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀例１解析示意图分析㊀先探究特殊位置ꎬ当Ｅ是ＢＣ中点时ꎬＣＤ＋ＣＥ＝３ꎬ当Ｅ与点Ｃ重合时ꎬＣＤ＋ＣＥ＝３ꎬ因此只需说明点Ｅ在ＢＣ上任意位置ＣＤ＋ＣＥ的值是不变的.解㊀如图２ꎬ连接ＯＣ.ȵ等腰直角әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝６ꎬʑＢＣ＝６ˑｃｏｓ４５ʎ＝６ˑ２２＝３.ȵＯ是ＡＢ的中点ꎬʑＯＣ＝１２ＡＢ＝ＯＢꎬＯＣʅＡＢꎬʑøＣＯＢ＝９０ʎ.ȵøＤＯＣ＋øＣＯＥ＝９０ʎꎬøＣＯＥ＋øＥＯＢ＝９０ʎꎬʑøＤＯＣ＝øＥＯＢ.８３同理可得øＡＣＯ＝øＢꎬʑәＯＤＣɸәＯＥＢꎬʑＤＣ＝ＢＥꎬʑＣＤ＋ＣＥ＝ＢＥ＋ＣＥ＝ＢＣ＝３.点评㊀本题是一个选择题ꎬ我们可以通过点Ｅ的特殊位置快速选出答案.对于解答题探究定值ꎬ一般是先考虑特殊情况ꎬ得到定值ꎬ再一般化ꎬ确定求证途径.２圆中的定值问题例２㊀如图３ꎬ线段ＡＢ是☉Ｏ的直径ꎬ延长ＡＢ至点Ｃꎬ使ＢＣ＝ＯＢꎬＥ是线段ＯＢ的中点ꎬＤＥʅＡＢ交☉Ｏ于点ＤꎬＰ是☉Ｏ上一动点(不与点ＡꎬＢ重合)ꎬ连接ＣＤꎬＰＥꎬＰＣ.(１)求证:ＣＤ是☉Ｏ的切线.(２)小明在研究的过程中发现ＰＥＰＣ是一个确定的值.回答这个确定的值是多少ꎬ并对小明发现的结论加以证明.㊀㊀图３㊀例２题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４㊀例２分析示意图分析㊀如图４ꎬ先探究点Ｐ的特殊位置ꎬ当ＰＥʅＯＣ时ꎬ易得әＰＣＥ是含３０ʎ角的直角三角形ꎬ因此ＰＥＰＣ＝１２.最后再证明一般情况下比值不变即可.解㊀(１)如图５ꎬ连接ＯＤꎬＤＢꎬȵＤＥ垂直平分ＯＢꎬʑＤＢ＝ＤＯ.ȵＤＯ＝ＯＢꎬʑＤＢ＝ＤＯ＝ＯＢꎬʑәＯＤＢ是等边三角形ꎬʑøＢＤＯ＝øＤＢＯ＝６０ʎ.ȵＢＣ＝ＯＢ＝ＢＤꎬ且øＤＢＥ为әＢＤＣ的外角ꎬʑøＢＣＤ＝øＢＤＣ＝１２øＤＢＯ＝３０ʎ.ʑøＯＤＣ＝øＢＤＯ＋øＢＤＣ＝６０ʎ＋３０ʎ＝９０ʎꎬʑＣＤ是☉Ｏ的切线.图５㊀例２(１)问解析示意图(２)这个确定的值是１２.如图３ꎬ由已知可得ＯＰ＝ＯＢ＝ＢＣ＝２ＯＥꎬʑＯＥＯＰ＝ＯＰＯＣ＝１２.又ȵøＣＯＰ＝øＰＯＥꎬʑәＯＥＰʐәＯＰＣꎬʑＰＥＰＣ＝ＯＰＯＣ＝１２.点评㊀解决定值问题时ꎬ对于一些与定点㊁定长等有关的定值问题ꎬ定值一定和题目所给的 不变量 有关.因此ꎬ在 变化 的量中寻求 不变 的量是解决问题的关键.一般可先从特殊位置㊁极端位置或特殊数值入手ꎬ探究出这个定值ꎬ然后再借助特殊情况的思路作为探讨一般情况的基础ꎬ完成一般情况的证明.３矩形中的定值问题例３㊀如图６ꎬ在边长为３的正方形ＡＢＣＤ中ꎬ点Ｅ是ＣＤ边上一点ꎬ点Ｆ是ＣＢ延长线上一点ꎬＡＦ＝ＡＥꎬ连接ＥＦꎬ交ＡＢ于点Ｋꎬ过点Ａ作ＡＨʅＥＦ于Ｈꎬ延长ＡＨ交ＢＣ于点Ｇꎬ连接ＨＤꎬ若ＢＧ＝２ꎬ则ＡＫ ＤＨ＝.分析㊀可证ＲｔәＡＤＥɸＲｔәＡＢＦ(ＨＬ)ꎬ从而可得øＤＡＥ＝øＢＡＦꎬ再证әＡＤＨɸәＣＤＨ(ＳＳＳ)ꎬ可得әＡＥＦ为等腰直角三角形ꎬ从而可证әＡＫＦɸәＨＥＤꎬ可得ＡＫＥＨ＝ＡＦＤＨꎬ可证øＢＦＫ＝øＢＡＧꎬ可得ｔａｎøＢＦＫ＝ｔａｎøＢＡＧꎬ可求２３＝ＢＫＢＦꎬ设ＢＫ＝２ｘꎬＢＦ＝３ｘꎬ则ＡＫ＝３－２ｘꎬ可证әＡＫＨɸәＦＧＨ(ＡＳＡ)ꎬ可得３－２ｘ＝２＋３ｘꎬ即可求解.㊀㊀图６㊀例３题图㊀㊀㊀㊀㊀㊀图７㊀例３解析示意图解㊀ȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑＡＢ＝ＡＤꎬøＡＤＥ＝øＡＢＣ＝øＡＢＦ＝øＤＡＢ＝９０ʎꎬ在ＲｔәＡＢＦ和ＲｔәＡＤＥ中ꎬＡＢ＝ＡＤＡＦ＝ＡＥ{ʑＲｔәＡＤＥɸＲｔәＡＢＦ(ＨＬ)ꎬʑøＤＡＥ＝øＢＡＦꎬʑøＥＡＦ＝øＢＡＥ＋øＢＡＦ＝øＢＡＥ＋øＤＡＥ＝９０ʎꎬʑәＡＦＥ为等腰直９３角三角形ꎬȵＡＨʅＥＦꎬʑ点Ｈ是ＥＦ的中点ꎬʑＡＨ＝ＥＨ＝ＦＨ＝１２ＥＦꎬ如图７ꎬ连接ＣＨꎬȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑＣＤ＝ＡＤ.ȵ点Ｈ是ＥＦ的中点ꎬøＤＣＢ＝９０ʎꎬʑＣＨ＝１２ＥＦꎬʑＡＨ＝ＣＨ.在әＡＤＨ和әＣＤＨ中ꎬＡＨ＝ＣＨＤＨ＝ＤＨＡＤ＝ＣＤìîíïïïꎬʑәＡＤＨɸәＣＤＨ(ＳＳＳ)ꎬʑøＡＤＨ＝øＣＤＨ＝４５ʎꎬȵәＡＥＦ为等腰直角三角形ꎬʑøＡＦＥ＝４５ʎꎬʑøＡＦＫ＝øＥＤＨ＝４５ʎꎬȵ四边形ＡＢＣＤ为正方形ꎬʑøＢＫＦ＝øＣＥＨꎬʑøＡＫＦ＝øＤＥＨꎬʑәＡＫＦʐәＨＥＤꎬʑＡＫＥＨ＝ＡＦＤＨꎬʑＡＫ ＤＨ＝ＡＦ ＥＨ.在等腰直角三角形әＡＦＨ中ꎬＡＦ＝２ＦＨ＝２ＥＨꎬʑＥＨ＝２２ＡＦꎬȵøＢＡＧ＋øＡＧＢ＝øＡＧＢ＋øＢＦＫ＝９０ʎꎬʑøＢＦＫ＝øＢＡＧꎬʑｔａｎøＢＦＫ＝ｔａｎøＢＡＧꎬʑＢＧＡＢ＝ＢＫＢＦꎬ即２３＝ＢＫＢＦꎬ设ＢＫ＝２ｘꎬＢＦ＝３ｘꎬ则ＡＫ＝３－２ｘꎬ在әＡＫＨ和әＦＧＨ中ꎬøＢＡＨ＝øＧＦＨＡＨ＝ＦＨøＡＨＫ＝øＦＨＧìîíïïïꎬʑәＡＫＨɸәＦＧＨ(ＡＳＡ)ꎬʑＡＫ＝ＦＧꎬʑ３－２ｘ＝２＋３ｘꎬʑｘ＝１５ꎬʑＡＦ２＝ＡＢ２＋ＢＦ２＝３２＋３５æèçöø÷２＝２３４２５ꎬʑＡＫ ＤＨ＝ＡＦ ＥＨ＝２２ˑ２３４２５＝１１７２２５.点评㊀根据正方形和三角形的性质以及一般角的三角函数值等ꎬ找出ＡＫ＝ＦＧꎬ从而可得３－２ｘ＝２＋３ｘ是解题的关键.４平行四边形中的定值例４㊀如图８ꎬ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝２ꎬＢＣ＝３ꎬøＢＡＤ＝１２０ʎꎬＮ为ＡＢ上一点ꎬＥ为ＢＣ上一点ꎬＢＥ＝ＡＢꎬＡＢ＝４ＡＮꎬＰ㊁Ｍ分别为ＡＥꎬＢＣ上两点ꎬ当ＮＰ＋ＭＰ＝３时ꎬＡＰ＝.分析㊀本题主要考查了平行线之间的距离和等边三角形的判定和性质ꎬ先证明әＡＢＥ是等边三角形ꎬ再在ＡＤ上取点Ｑꎬ使ＡＱ＝ＡＮꎬ构造әＡＱＰɸәＡＮＰ(ＳＡＳ)ꎬ将折线线段和转化为平行线之间的距离ꎬ得出Ｍ㊁Ｐ㊁Ｑ在同一直线上ꎬ并且ＰＱʅＢＣꎬ通过解三角形求出ＡＰ.图８㊀例４题图(ａ)㊀㊀㊀㊀㊀图９㊀例４解析示意图解㊀ȵ在平行四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢＡＤ＝１２０ʎꎬʑøＢ＝６０ʎꎬ又ȵＢＥ＝ＡＢꎬʑәＡＢＥ是等边三角形ꎬʑøＢＡＥ＝øＤＡＥ＝６０ʎꎬ如图９ꎬ过点Ａ作ＡＨʅＢＣ垂足为Ｈꎬ在ＲｔәＡＢＨ中ꎬＡＨ＝ＡＢｓｉｎøＢ＝２ˑ３２＝３ꎬ在ＡＤ上取点Ｑꎬ使ＡＱ＝ＡＮꎬ即ＡＱ＝１４ＡＢ＝１２ꎬʑәＡＱＰɸәＡＮＰ(ＳＡＳ)ꎬʑＱＰ＝ＮＰꎬʑＮＰ＋ＭＰ＝ＱＰ＋ＭＰȡＡＨꎬȵＮＰ＋ＭＰ＝３ꎬ即:ＱＰ＋ＭＰ＝ＡＨꎬʑＭ㊁Ｐ㊁Ｑ在同一直线上ꎬ并且ＰＱʅＢＣꎬʑＡＰ＝ＡＱｃｏｓøＱＡＰ＝１２ːｃｏｓøＱＡＰ＝１.对于一些与定点㊁定长等有关的定值问题ꎬ可以将问题引向特殊情形ꎬ先求出这个定值ꎬ再进行证明ꎬ探索出的定值必须通过证明才能明确其正确性ꎬ要论证的问题就是特殊情形与一般情形的固定关系.也可直接设参数进行推理㊁计算ꎬ并在计算中消去参数ꎬ得到定值.得到了定值ꎬ做题时就有了明确的目标与方向ꎬ再证明一般情况下结论成立即可.参考文献:[１]吕小保.中考 定值 问题探究[Ｊ].中学生数学ꎬ２０１０(０６):４１－４３.[２]刁琴ꎬ石勇国.中考热点题型 动点最值问题的反思[Ｊ].数学通讯ꎬ２０２３(０１):５０－５１.[３]刘贤华.中考最值问题分析及解题技巧[Ｊ].数理天地(初中版)ꎬ２０２２(１９):２９－３０.[责任编辑:李㊀璟]０４。

第二篇热点难点篇专题06规律性问题（讲案）一讲考点——考点梳理1、规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题.2、分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．3、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想、从特殊到一般思想等．二讲题型——题型解析（一）数字变化类规律题.例1、下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（）A．135B．170C．209D．252例2、任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，，，…按此规律，若分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（）A．46B．45C．44D．43例3、一列数1x，2x，3x，…，其中1x=12，111nnxx-=-（n为不小于2的整数），则2015x=．(二)图形变化类规律题例4、下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，．．．，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．21B．24C．27D．30例5、如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2015S 的值为（）A．201222B．201322C．20121(2D．20131(2例6、挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走（）A．②号棒B．⑦号棒C．⑧号棒D．⑩号棒例7、如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3…都在x 轴上，点B 1，B 2，B 3…都在直线y x 上，△OA 1B 1，△B 1A 1A 2，△B 2B 1A 2，△B 2A 2A 3，△B 3B 2A 3…都是等腰直角三角形，且OA 1=1，则点B 2015的坐标是（）A．（20142，20142）B．（20152，20152）C．（20142，20152）D．（20152，20142）三讲方法——方法点睛探索规律型问题,一般根据题目给出的数字、算式、表格、图形（象）等信息，从简单、局部、特殊情形入手，随着对象数目的增加，观察、分析、比较后一个对象与前一个对象在数量、位置等方面的变化情况，经类比、猜想、提炼得出规律，然后经归纳、验证得出一般性结论并加以应用.四练实题——随堂小练1.在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）2.如图，已知CO 1是△ABC 的中线，过点O 1作O 1E 1∥AC 交BC 于点E 1，连接AE 1交CO 1于点O 2；过点O 2作O 2E 2∥AC 交BC 于点E2，连接AE 2交CO 1于点O 3；过点O 3作O 3E 3∥AC 交BC 于点E 3，…，如此继续，可以依次得到点O 4，O 5，…，O n 和点E 4，E 5，…，E n ．则O n E n =AC．（用含n 的代数式表示）3.如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP 1，以点P 1和线段P 1A 的中点B 为顶点作正△P 1BP 2，再以点P 2和线段P 2B 的中点C 为顶点作△P 2CP 3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P 6的坐标是4.一列数a 1，a 2，a 3，…a n ，其中a 1=-1，a 2=111a -，a 3=211a -，…，a n =111n a --，则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=5.《庄子．天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是：一根一尺的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图．由图易得：2311112222n ++++ 五练原创——预测提升1.如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第2015个图形中，点的个数为．2.如图，等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC 边在直线a 上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①可得到点P 1，此时AP 1=；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时A P 2=1+；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=2+；…，按此规律继续旋转，直至得到点P 2014为止．则AP 2015=．3.甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2015时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是分．4.观察下列运算：81=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144，…，则：81+82+83+84+…+82014的和的个位数字是.5.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA 1B 1是边长为2的等边三角形，作△B 2A 2B 1与△OA 1B 1关于点B 1成中心对称，再作△B 2A 3B 3与△B 2A 2B 1关于点B 2成中心对称，如此作下去，则△B 2n A 2n+1B 2n+1（n 是正整数）的顶点A 2n+1的坐标是（）A．）B．C．）D．）。

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

浅析中考中规律探索题[摘要] 规律探索题在近几年的中考中已经成为热点。

近几年的中考规律探索题有数字中的规律题、字母规律题、几何图形规律题等类型。

本文对这些题目进行了归纳总结分析。

[关键词] 中考规律探索题学习能力近几年来，中考中出现了一类热点题型，它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点分析其规律，从而给出结论。

这就是所谓的“规律探索题”。

纵观这几年各地的中考试题，这种题型频频出现，让老师和学生很难捉摸，也让很多学生在中考中失分严重。

这种题目要通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并能对所做出的猜想进行验证，能进行一些简单的、严密的逻辑论证，并有条理地表达自己的证明。

笔者探究发现，这种题可以分为以下几种类型。

一、数字中的规律题数字规律题给出一个数列，但其中缺少一项或找出其中的通项，要求学生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律。

在解答数字规律题时需要注意以下两点：一是反应要快；二是掌握恰当的方法和规律。

一般而言，先观察前面相邻的两三个数字之间的关系，在大脑中假设出一种符合这个数字关系的规律，并迅速将这种假设应用到下一个数字与前一个数字之间的关系上。

如果得到验证，就说明假设的规律是正确的，由此可以直接推出答案；如果假设被否定，就马上改变思路，提出另一种数量规律的假设。

另外，有时从后往前推，或者“中间开花”向两边推也是较为有效的。

两个数列规律有时交替排列在一列数字中，是数字规律测验中一种较为常见的形式。

只有当你把这一列数字判断为单数项与双数项交替排列在一起时，才算找到了正确解答这道题的方向，你的成功就已经是80%了。

由此可见，即使一些表面看起来很复杂的排列数列，只要我们对其进行细致的分析和研究，就会发现，将相邻的两个数相加或相减、相乘或相除之后，它们也不过是由一些简单的排列规律复合而成的。

只要掌握它们的排列规律，善于开动脑筋，就会获得理想的效果。

【例1】（2010辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，点a1（1,1），a2（2,4），a3（3,9），a4（4,16），……,用你发现的规律确定点a9的坐标为。

２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀如何利用图形的平移解决规律探索题◉安徽省宿州市码山县晨光中学㊀郭祖涛㊀㊀摘要:在初中数学日常思维训练中,经常会遇到规律探索题．这类题虽然趣味性强,但学生的实际解决水平比较弱,导致大部分学生在见到此类问题时往往避之不及．针对该问题,教师一方面要认识到规律探索题是中考命题热点题型,另一方面积极探索解决此类问题的方法,帮助学生不断提高探究能力．本文中结合实例探究如何利用图形的平移解决规律探索类问题．关键词:图形的平移;规律探索题;趣味;方法㊀㊀根据教学经验,规律探索题在日常检测与中考中出现的几率非常大,且难度较大,往往是学生提高学业水平的 拦路虎 [１]．基于此,本文中从例题分析出发,尝试总结出利用图形的平移解决规律探索题的方法．１规律探索题的素养体现规律探索题之所以是初中数学教学的难点,是因为规律的探索尤为注重对规律性特征的把握,而这又依赖于从情境式的问题中寻找隐含的数学关系,整个过程可以看成是对规律性结构的重建与加工．因此,规律探索题主要体现了以下素养:首先,数学抽象与逻辑推理素养．将图形的平移抽象成点的变化,通过点的变化进行逻辑推理,并得到其他点的坐标,这体现了数学抽象与逻辑推理素养．其次,直观想象与逻辑推理素养．通过图形可直观地观察点的运动情况,并总结出点的变化规律,从而运用逻辑推理得到其他点的坐标,这是直观想象与逻辑推理素养的体现．最后,逻辑推理及数学运算素养．点的运动会导致坐标的变化,而其变化规律既要通过逻辑推理得到,同时应用其规律推理其他点的坐标时,又是数学运算的体现．所以,应用图形的平移解决规律探索题时,体现了逻辑推理及数学运算素养．２例题分析及解法评析下面结合例题分析尝试总结利用图形的平移解决规律探索题的方法．例１㊀已知A１,A２,A３,A４,A５, 的坐标分别为(１,０),(１,１),(－１,１),(－１,－１),(２,－１), ,如图１进行下去,则点A２０１３的坐标是(㊀㊀)．A．(５０４,－５０３)㊀㊀㊀㊀㊀B．(５０４,５０４) C．(－５０４,５０４)D．(－５０４,－５０４)解析:根据观察不难发现,凡是角标数字为４的倍数的点全部位于第三象限．图１因为２０１３ː４＝５０３ １,所以A２０１３在第四象限,故A２０１２在第三象限．由２０１２ː４＝５０３,可知A２０１２是第三象限第５０３个点．所以A２０１２的坐标应是(－５０３,－５０３)．故A２０１３的坐标应是(５０４,－５０３)．故选答案:A．解法评析:本题主要考查学生观察规律㊁总结规律和应用规律解决问题的能力．规律的观察重在用数学眼光看待问题,规律的总结重在用数学的语言表达问题,规律的应用重在用数学方法解决问题,这是学科素养的体现．在解决这类问题时,抓住角标的变化规律,就可以抓住点的变化规律[２]．图２例２㊀如图２所示,在平面直角坐标系中,将点A(－１,０)做如下的连续平移,A(－１,０)ңA１(－１,１)ңA２(２,１)ңA３(２,－４)ңA４(－５,－４)ңA５(－５,５) ,按此规律平移下去,则点A１０２的坐标是(㊀㊀)．A．(１００,１０１)B．(１０１,１００) C．(１０２,１０１)D．(１０３,１０２)５６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀分析:根据题意可知,点A 平移时所在象限每４次为一个周期．由１０２ː４＝２５ ２,可知点A １０２的坐标与点A ４n ＋２的坐标规律相同,分别求出A ２,A ６,A １０的坐标,找出规律后即可求解．解析:根据将点A (－１,０)作如下的连续平移,A (－１,０)ңA １(－１,１)ңA ２(２,１)ңA ３(２,－４)ңA ４(－５,－４)ңA ５(－５,５) ,得到其中的规律就是点A 平移时所在象限每４次为一个周期．因为１０２ː４＝２５ ２,所以点A １０２的坐标与点A ４n ＋２的坐标规律相同．因为A ２,A ６,A １０的坐标分别是(２,１),(６,５),(１０,９),以此类推,点A ４n ＋２的坐标是(４n ＋２,４n ＋１),所以A １０２的坐标是(１０２,１０１)．故选答案:C ．解法评析:本题与例１的解法类似,都是找出点的下标的规律,据此找出点A 的平移规律或平移周期,最后根据这一规律计算即可．例３㊀有一个从原点出发的动点,按照如图３所示的箭头移动,每次移动一个单位长度,依次得到点P １,P ２,P ３,P ４,P ５,P ６, ,它们的坐标分别是(０,１),(１,１),(１,０),(１,－１),(２,－１),(２,０), ,按照这样的规律进行下去,点P ６０的坐标是．图３分析:根据图形分别求出n ＝３,６,９时对应的点的坐标,可知点P ３n (n ,０),将n ＝２０代入可得．解:因为P ３(１,０),P ６(２,０),P ９(３,０), ,所以P ３n (n ,０)．当n ＝２０时,P ６０(２０,０)．故填答案:(２０,０)．解法评析:本题考查了点的坐标的变化规律,仔细观察图形,分别求出n ＝３,６,９时对应的点的坐标是解题的关键．３方法总结通过上面几道例题的分析和解法评析不难发现,利用图形的平移解决规律探索题,既有趣又探究意义十足,是训练学生数学思维的重要方法．下面对利用图形的平移解决规律探索题的方法作如下总结:首先,利用图形的平移解决规律探索题一定会应用图形的平移知识,其中主要涉及点的平移规律[３]．所以,在教学中需帮助学生不断巩固和强化图形平移中点的平移规律．笔者建议,教师可通过例题变式或举一反三的形式,让学生接触各种点的运动方式,如例１㊁例２的 旋转式 或例３的 S 式 等．这样一来,学生就会不断积累相应的分析与解题经验,更有利于问题的解决．其次,奠定知识基础后,接着通过图形观察点的运动状态．通常点的运动蕴藏着一定规律,这个规律不仅呈现出周期变化,而且往往与点的角标规律有关．所以,结合序号分析点的角标的变化规律对解决这类问题非常关键．但是,有时候角标的规律可能比较难分析,这就需要教师补充规律探索中的数字式规律,从而帮助学生弥补这一不足．最后,在找到点的角标规律后,将题中要求的点的角标与该规律联系起来,并进行相关的计算即可求解．这种计算往往比较简单,但仍需学生多加注意．综上所述,尽管规律探究题的难度不小,且其中点的运动过程需用心分析,但并非意味着学生遇到此类问题时可 绕道而行 ,相反应 迎难而上 ．因此,作为一线初中数学教师要善于从题中总结出解题方法,帮助学生解决疑难问题[４]．只有这样,学生的探究能力和问题解决能力才会得到提高．参考文献:[１]明廷军．关注图形平移过程掌握图形变化规律 微课教学的实践探索[J ]．中学数学研究(华南师范大学版),２０２０(１８):４８Ｇ５０．[２]贺洪秋．精心设计学习问题促进目标有效达成 以«图形的平移»教学为例[J ]．数学大世界(中旬),２０２１(８):５５Ｇ５６．[３]安德枝．借助图形运动培养转化意识 以«运用平移解决问题»教学为例[J ]．湖北教育(教育教学),２０２０(８):７３Ｇ７４．[４]林海．利用平移变换的思想解决几何综合题的策略与方法[J ]．求知导刊,２０２０(４３):６５Ｇ６６．Z６６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

探究规律题型方法总结和练习一、教学内容：规律探究型问题1. 图案变化规律2. 数列、代数式运算规律3. 几何变化规律4. 探索研究二、知识要点：近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察分析及探索的能力. 题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。

这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，表达了数学思想从特殊到一般的发现规律。

是中考的一个难点，越来越引起考生重视。

下面我们根据几种不同类型的规律变化类型题进行分析。

“规律探究型问题”根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多时机体验学习和探索的“过程”与“经历”，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。

现就规律探究的几个例子，来探讨一下这类专题：一、规律探索型问题的分类：1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比〔比较同一等式中不同部分的数量关系〕或纵比〔比较不同等式间相同位置的数量关系〕找出各部分的特征，改写成要求的格式。

如：1、有一串单项式：a，2a2，3a3，4a4，…，19a19，20a20，…那么第n个单项式是。

2、争当小高斯：高斯在10岁的时候，曾计算出1+2+3+4+······+100=_________；还有另外一种解法：设S=1+2+3+······+99+100，那么也可以写成S=100+99+98+97+······+2+1，把这两个等式左右两边分别相加，可以得到2S= 〔1+100〕+〔2+99〕+〔3+97〕+······ +〔99+2〕 +〔100+1〕，2S=100×101，S= 由此，猜想前n个自然数和：1+2+3+4+······+n=-________，前n个偶数和：2+4+6+8+······+2n=________，前n个奇数和：1+3+5+7+ 9+······+ (2n-1) =________.猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律.它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.2、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。

第04讲探索与表达规律(6类热点题型讲练)1.探索运用符号表示数字规律和图形规律的方法.2.提高观察图形、探索规律的能力，培养创新意识.知识点01规律探究常见的数字规律规律总结数列形式21n -1，3，5，7，9，···，21n -2n 2，4，6，8，10，···，2n 13+n 4，7，10，13，16，···，13+n 13-n 2，5，8，11，14，···，13-n n 22，4，8，16，32，···，n 212+n 3，5，9，17，33，···，12+n 21n +2，5，10，17，26，···，21n +21n -0，3，8，15，24，···，21n -(1)n x -x -，x +，x -，x +，x -，x +，···，(1)n x-1(1)n x+-x +，x -，x +，x -，x +，x -，···，1(1)n x+-(1)2n n +1，3，6，10，15，21，···，(1)2n n +斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每个数等于与它相邻的前两个数之和知识点02规律探究方法总结1.规律探究的核心是找出每个数与对应的位次（即n ）之间的关系；2.若数列为分数数列，则分子分母分开找规律；3.若数列是正负交替排列，则在答案前加上n )1(-；若数列是负正交替排列，则在答案前加上1)1(+-n ；4.若是选择题，则可以用代值法，再利用排除法选出正确答案即可.知识点03高斯求和定理2)1(2)(14321nn n n ⋅+=⨯+=+-+⋅⋅⋅++++项数末项首项.题型01数字类规律探索之排列问题【典例1】（2023·浙江衢州·校考一模）观察下列数据：0，3，8，15，24，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第201个数据是（）A ．40400B ．40040C ．4040D ．404【变式1】（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级校考期中）一组数据x ，23x -，35x ，47x -，59x …请按这种规律写出第十个数是．【变式2】（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）从3开始的连续奇数按右图的规律排列，其余位置数字均为0．（1）第5行第10列的数字是．（2）数字2023在图中的第行，第列．题型02数字类规律探索之末尾数字问题【典例2】（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列算式：031=，133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=…归纳各计算结果中个位数字的规律，可得20033的个位数字是（）A ．1B ．3C ．9D ．7【变式1】（2023春·江苏南京·七年级校考阶段练习）观察下列算式：①2(1)(1)1x x x -+=-；②23(1)(1)1x x x x -++=-；③324(1)(1)1x x x x x -+++=-寻找规律，并判断(2011)(2017)222221++⋯+++的值的末位数字为（）A ．1B ．3C ．5D ．7【变式2】（2023春·江苏泰州·七年级统考期中）发现规律解决问题是常见解题策略之一．已知数5555551234529a =++++++ ，则这个数a 的个位数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3】（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示，即：122=，224=，328=，4216=，5232=，……，请你推算123452023222222+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+的个位数字是（）A ．8B ．6C ．4D ．2题型03数字类规律探索之新运算问题【典例3】（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n 的“F ”运算：（1）当n 是奇数时，结果为35n +；（2）当n 是偶数时，结果是2k n （其中k 是使2kn是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取58n =，第一次经F 运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74，……；若9n =，则第2020次运算结果是（）A ．1B ．2C ．7D ．8【变式1】（2022秋·江苏扬州·七年级校考阶段练习）a 是不为2的有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是2223=--，2-的“哈利数”是()21222=--，已知14a =，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，．．．，依此类推，则2022a =（）A ．4B ．1-C ．23D ．32【变式2】（2023秋·全国·七年级专题练习）已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，……满足下列条件：10a =，211a a =-+，321a a =-+，431a a =-+…，以此类推，则6a 的值为，2022a 的值为题型04数字类规律探索之等式问题【典例4】（2022秋·江西九江·七年级统考期中）观察下面的变形规律：111122=-⨯；1112323=-⨯；1113434=-⨯；解答下面的问题：(1)若n 为正整数，请你猜想()11n n =+______；(2)计算111112233420222023+++⋯⋯+⨯⨯⨯⨯．(3)计算；111124466820202022+++⋯⋯+⨯⨯⨯⨯．【变式1】（2022秋·湖南永州·七年级校考期中）观察算式：()()()132153174131351357.,222,+⨯+⨯+⨯+=++=+++=按规律填空：135799+++++=．【变式2】（2023春·安徽合肥·七年级校考期末）观察算式：①213142⨯+==；②224193⨯+==；③2351164⨯+==；④2461255⨯+==；⋯，根据你发现的规律解决下列问题：(1)写出第5个算式：______；(2)写出第n 个算式：______；(3)计算：111111111324351820⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯++⨯⨯+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．题型05图形类规律探索之数字问题【典例5】（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）如图，根据图形中数的规律，可推断出a 的值为（）A ．128B ．216C ．226D ．240【变式1】（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）根据图中数字的规律，若第n 个图中A B C D ++-的值为196，则n =（）A ．12B ．13C ．14D ．15【变式2】（2022秋·河南周口·七年级校考期中）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，则第n （n 为正整数）个三角形中，用n 表示y 的式子为（）A ．21n +B ．2n n +C ．12n n ++D ．21n n ++题型06图形类规律探索之数量问题【典例6】（2023·江苏·七年级假期作业）用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放：(1)第5个图案有张黑色小正方形纸片；(2)第n 个图案有张黑色小正方形纸片；(3)第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？【变式1】（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，用棋子摆方阵，那么，图⑥要摆枚棋子，图n 要摆枚棋子．【变式2】（2023·安徽淮北·淮北市第二中学校考二模）如图，利用黑白两种颜色的五边形组成的图案，根据图案组成的规律回答下列问题：(1)图案④中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；(2)图案n中黑色五边形有______个，白色五边形有______个；（用含n的式子表示）(3)图案n中的白色五边形可能为2023个吗？若可能，请求出n的值；若不可能，请说明理由．1．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列各单项式：234562481632a a a a a a ---，，，，，，…，根据你发现的规律，第10个单项式是（）A ．9102a -B ．9102a C ．11002a D ．10102a -2．（2023秋·全国·七年级专题练习）一列数1a ，2a ，3a …n a ，其中11a =-，2111a a =-，3211a a =-，…，11n na a =-，则1232020a a a a ⨯⨯⨯⨯= （）A ．1-B ．1C ．2020D ．2020-3．（2023春·河南信阳·七年级校联考阶段练习）如图，用棋子摆出下列一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第10个图形里棋子的个数为（）A ．72B ．66C ．56D ．784．（2023春·云南临沧·七年级统考期末）如图，用字母“C ”、“H ”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H ，第2个图案中有6个H ，第3个图案中有8个H ，……，按此规律排列下去，第2023个图案中字母H 的个数为()A ．4044B ．4046C ．6069D ．40485．（2023春·福建宁德·七年级校联考期中）我国宋代数学文杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的一角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”．请你利用杨辉三角，计算()6a b -的展开式中，含3b 项的系数是（）()0a b +=1…………1()1a b +=a b +…………11()2a b +=222a ab b ++…………121()3a b +=322333a a b ab b +++ (1331)()4a b +=++++432234a 4a b 6a b 4ab b (14641)A ．15-B ．15C ．20-D ．20【答案】C【分析】根据图中规律，可得()2a b +的展开式中含3b 项的系数，再根据()6a b -的展开式中，系数的绝对值与()2a b +的展开式中的系数相同，符号从左往后为奇数项为正，偶数项为负．【详解】解：由题意可知，下排每个数等于上方两个数字的绝对值之和，∴5()a b +的展开式系数从左往右分别是1,5,10,10,5,1，6()a b ∴+的展开式系数从左往右分别是1,6,15,20,15,6,1，根据图中，可知()6a b -含有3b 项的项为从左往右第四项，且符号为负，故()6a b -的展开式中，含3b 项的系数是20-，故选：C ．【点睛】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中规律，并应用发现的规律是解题的关键．6．（2022秋·四川南充·七年级校考期中）正整数按图中的规律排列．由图知，数字6在第二行，第三列，请写出数字2021在第行，第列．7．（2023春·山东泰安·六年级校考期中）观察下列各式，探索规律：21321⨯=-；23541⨯=-；25761⨯=-；27981⨯=-；2911101⨯=-；用含正整数n 的等式表示你所发现的规律为．8．（2023春·黑龙江绥化·七年级校考期末）观察下列算式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，⋯，根据上述算式中的规律，你认为20233的末位数字是．9．（2023春·河北石家庄·七年级行唐一中校考开学考试）观察下列图形的构成规律，按此规律，第6个图形中棋子的个数为个，第n 个图形中棋子的个数为个．10．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅、、、、满足下列条件：11a =-，212a a =-+，323a a =-+，434a a =-+，…，11n n a a n +=-++（n 为正整数）依此类推，则2025a 的值为．11．（2022春·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）观察下列三行数：2-，4，8-，16，32-，64，……0，6，6-，18，30-，66， (1)2-，1，2-，4，8-，16……(1)第①行数第七个数是128-，那么第二行数第七个数是_____，第三行第七个数是_____．(2)列式计算：取每行的第9个数，求这三个数的和．12．（2023春·云南昭通·七年级统考期中）小明计算：2399100122222++++++L 的过程如下：解：令2399100122222S =++++++①L 则23100101222222S =+++++ ②②-①得10121S =-∴239910010112222221++++++=-L 请参照小明的方法，计算：2320222023155555++++++L ．13．（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）观察下列图形，完成下列问题．(1)数一数，完成下列表格．直线的条数2345交点的个数(2)若有n 条直线相交，则最多有交点__________个．（用含n 的代数式表示）14．（2022秋·江苏连云港·七年级校考阶段练习）观察下列各式：322111124==⨯⨯，33221129234+==⨯⨯，33322112336344++==⨯⨯，33332211234100454+++==⨯⨯L 回答下面的问题：(1)333331234100+++++=（写出算式即可）；(2)计算33333312341920++++++ 的值；(3)计算333311121920++++ 的值．15．（2022秋·江苏宿迁·七年级校考阶段练习）探索规律：观察下面※由组成的图案和算式，解答问题：21342+==213593++==21357164+++==213579255++++==(1)请猜想135719++++⋅⋅⋅+=_________；(2)请猜想()135721n ++++⋅⋅⋅+-=_________；(3)请用上述规律计算：616365199+++⋅⋅⋅+的值．16．（2023秋·浙江·七年级专题练习）找规律，完成下列各题：(1)如图①，把正方形看作1，1111244+=-=．(2)如图②，把正方形看作1，111112488++=-=．(3)如图③，把正方形看作1，1111124816+++=-=．(4)计算：11111 2481632++++=．(5)计算：111111111 248163264128256512++++++++=．17．（2023春·安徽·九年级专题练习）用若干个“○”与“▲”按如图方式进行拼图：(1)观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：图1图2图3图4○的个数3921______▲的个数1410______(2)根据你所观察到的规律，分别写出图n中“○”与“▲”的个数（用含n的代数式表示）．18．（2023·河北秦皇岛·统考一模）为迎接七一建党节，某社区党委在广场上设计了一座三角形展台，需在它的每条边上摆放上相等盆数的鲜花进行装饰．若每条边上摆放两盆鲜花，共需要3盆鲜花；若每条边上摆放3盆鲜花，共需要6盆鲜花；……，按此要求摆放下去（如图所示，每个小圆圈表示一盆鲜花）．(1)填写下表：每条边上摆放的盆数（n）23456…需要的鲜花总盆数（y）369__________…(2)写出需要的鲜花总盆数y与n之间的关系式：__________(3)能否用2023盆鲜花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆放的盆数；如果不能，请说明理由．。

专题一 规律探索型问题【专题诠释】规律探索型问题是近几年来中考的热点问题，能比较系统的考查学生的逻辑思维能力、归纳猜想能力及运用所学的知识和方法分析、解决数学问题的能力，是落实新课标理念的重要途径，所以备受命题专家的青睐，经常以填空题或选择题的形式出现，在全国各地中考中，出现了不少立意新颖、构思巧妙、形式多样的规律探索型问题，虽然分值不大，但是学生不易找出其中存在的规律，容易丢分，因此必须加大此项内容的学习力度。

【重点、难点突破】规律探索型问题是指给出一系列数字、一个等式或一列图形的前几项，让学生通过“观察-----思考------探究------猜想”这一系列的活动逐步找出题目中存在的规律，最后归纳出一般的结论，再加以运用。

解决此类问题的关键是仔细审题，归纳规律，合理推测，认真验证，从而得出问题的结论。

【典型例题】【题型一】数字规律问题 例1：观察下面两行数：根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得它们的和是（要求写出最后的计算结果） ．分析：第一行数字是2的正整数次幂的值，第二行数字均比第一行相2， 4， 8， 16， 32， 64， … ①5， 7， 11， 19， 35， 67， … ②应的数字大3，所以猜想第一行第10个数为210，即1024，所以第二行的第10个数字为1027，它们的和为2051.答案：2051【题型二】图形规律问题图形是（）。

B2.按右边33方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空格内（）A(第01题图) B3.为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：行有 个正整数．8.将正整数按如图所示的规律排列下去。

若用有序实数对（n ，m ）表示第n 排，从左到右第m 个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 。

23 9.试观察下列各式的规律，然后填空：1)1)(1(2-=+-x x x1)1)(1(32-=++-x x x x1)1)(1(423-=+++-x x x x x ……则=++++-)1)(1(910x x xx _______________。